203404553...
TRANSCRIPT
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Διαφορικός λογισμός
Γ΄Λυκείου
Ερωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα
1η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;
Απάντηση
Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο
( ) ( )0
0x x
0
f x f xlim
x x→
−
−
και είναι πραγματικός αριθμός
Το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x0),οπότε έχω
( ) ( ) ( )
0
0x x 0
0
f x f xlim f x
x x→
−′=
−
2η Ερώτηση
Να δείξετε ότι
( ) ( ) ( )0 0h 0 0
f x h f xlim f x
h→
+ −′=
1
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απάντηση
Θέτω στη σχέση
( ) ( ) ( )0
0x x 0
0
f x f xlim f x
x x→
−′=
−
x=x0 + h (1),
παρατηρώ ότι όταν x->x0
τότε(1)->x0= x0 + h->h=0
δηλαδή h->0
επομένως
( ) ( ) ( )0 0h 0 0
f x h f xlim f x
h→
+ −′=
1ο Παράδειγμα
Να εξετασθεί αν η συνάρτρηση f με
( )2x 3x, x 0f xx 3, x 0
− < = − ≥
είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
Λύση
( ) ( ) ( )2
x 0 x 0 x 0
f x f 0 x x 3x 3xlim lim lim 3x 0 x x− − −→ → →
− −−= = = −
−
2
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
( ) ( )x 0 x 0
x 0
f x f 0 x 3 ( 3)lim limx 0 x
x 3 3 lim 1x
+ +
+
→ →
→
− − − −= =
−− +
=
Παρατηρώ ότι
( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0
f x f 0 f x f 0lim lim
x 0 x 0− +→ →
− −≠
− −
Αυτό σημαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
3η Ερώτηση
Τί εκφράζει γεωμετρικά ο πραγματικός αριθμός f΄(x0);
Απάντηση
Ο πραγματικός αριθμός f΄(x0) εκφράζει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο A(x0,f(x0))
3
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
4η Ερώτηση
Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0));
Απάντηση
Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0)) είναι
( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = −
Όπου
( )0f x εφω′ =
και ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0))
με τον άξονα xx΄
5η Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο
αυτό.
Εξετάστε αν ισχύει το αντίστροφο
Απάντηση
Το αντίστροφο δεν ισχύει
4
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
(Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα)
Έστω η συνάρτηση f με ( )f x x=
Και έστω x0=0
έχω
f(0)=0 και
( )x 0 x 0lim f x lim x 0→ →= =
Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0=0
Αναπτύσω το τύπο της f
( )x, x 0
f x x, x 00, x 0
> = − < =
( ) ( )x 0 x 0
f x f 0 x 0lim lim (1 x 0 x
I)− −→ →
− − −= = −
−
( ) ( )x 0 x 0
f x f 0 x 0lim lim 1 x 0 x
(II)+ +→ →
− −= =
−
Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
6η Ερώτηση
Τι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση της f;
5
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f με f:A->B
Αν η f παραγωγίζεται σε κάθε σημείο 0x A∈
Τότε η συνάρτηση f΄ με
( )f : A f A′ ′→
Όπου σε κάθε 0x A∈ ,
απεικονίζει τον αριθμό
( ) ( )0f x f A′ ′∈
7η Ερώτηση
Πως ορίζεται η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(x0) τότε η
συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0
και ισχύει
( )( ) ( )′ ′ ′= 0 0 0(f g) (x ) f g x g x
2οΠαράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος της f
6
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
με ( ) =f x ln(ημx)
στο πεδίο ορισμού της
Λύση
Η συνάρτηση ( ) =f x ln(ημx)
είναι ορισμένη στο
{ }= ∈ > =Δ x R : ημx 0 (0, π)
Η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g με g(x)=ημx
και h με h(x)=lnx
Η h(x)=lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Η g(x)=ημx είναι παραγωγίσιμη στο h(0,π)
Άρα και η f= h g είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Επομένως έχω
( )′ ′ ′ ′= = = = =1 συνxf x (h g) (x) [ln(ημx)] (ημx) σφx
ημx ημx
3ο Παράδειγμα
Έστω η περιττή συνάρτηση g η οποία παραγωγίσιμη στο R
Να δειχτεί ότι
1)g(0)=0
2)Aν Α(x0,g(x0)) και Β(-x0,g(-x0))
7
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
είναι σημεία της γραφικής παράστασης της g , να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία αυτά είναι παράλληλες
Λύση
1)Η g είναι περιττή συνάρτηση ,αυτό σημαίνει ότι
( ) ( )− = − ∈g x g x , για κάθε x R (I)
Θέτω x=0 και έχω
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
− = − ↔ = − ↔
+ = ↔ = ↔
=
g 0 g 0 g 0 g 0g 0 g 0 0 2g 0 0 g 0 0
2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΑ στο σημείο Α(x0,g(x0)) είναι g΄(x0)
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΒ στο
σημείο Β(-x0,g(-x0)) είναι g΄(-x0)
Για να δείξω ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες,αρκεί να δείξω ότι έχουν τον ίδιο
συντελεστή διεύθυνσης,δηλαδή
g΄(x0)= g΄(-x0)
Παραγωγίζω τη σχέση (Ι) και έχω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′− = − ↔ − − = − ↔
′ ′ ′ ′− − = − ↔ − =
g x [ g x ] g x x g xg x g x g x g x
8
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή
( ) ( )′ ′− = ∈g x g x , για κάθε x R
Θέτω x=x0 και έχω
( ) ( )′ ′− =0 0g x g x
Άρα
οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες
8η Ερώτηση
Έστω δύο μεγέθη x και y τα οποία μεταβάλλονται με τη σχέση y=f(x).Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ο αριθμός f΄(x0) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως
προς x στο σημείο x0
4ο Παράδειγμα
Έστω s(t) το διάστημα που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t
Το s΄(t)=υ(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του διαστήματος s ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει τη
ταχύτητα του κινητού
Το υ΄(t) =α(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει την
επιτάχυνση του κινητού
9
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
9η Ερώτηση
Πως διατυπώνεται το Θεώρημα του Rolle;
Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
f(α)=f(β) τότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )∈ξ α,β
τέτοιο ώστε
( )′ =f ξ 0
10η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα του Rolle; Aπάντηση
Το θεώρημα του Rolle εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )∈ξ α,β
τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον
άξονα xx΄
10
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
5ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-1
Na εξετάσετε εάν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [-1,1]
Απάντηση
Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο R ,επομένως και στο κλειστό διάστημα [-1,1]
Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-1,1)
με
( )′′ = − =2f (x) x 1 2x
= − −2f(-1) ( 1) 1=1-1=0
= −2f(1) (1) 1=1-1=0
11
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή
( )=f(-1) f 1
Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈ −ξ 1,1
τέτοιο ώστε
( )′ = ↔ = ↔ =f ξ 0 2ξ 0 ξ 0
11η Ερώτηση
Πώς διατυπώνεται το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )∈ξ α,β
τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( )f β f αf ξ
β α−
′ =−
12
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
12η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )∈ξ α,β
τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ
όπου
Α(α,f(a)) και Β(β,f(β))
13
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
6ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με
( )f x lnx, x 0= >
Να εξετάσετε αν ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] όπου
1<α<β Λύση
Η f είναι συνεχής στο R* ,επομένως είναι συνεχής και στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R* ,επομένως είναι παραγωγίσιμη και στο διάστημα [α,β] με 1<α<β
όπου
( ) 1f x (lnx)x
′ ′= =
Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β]
14
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ α,β∈
τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( )f β f αf ξ
β α−
′ =−
13η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ είναι σταθερή;
Aπάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ
Και
f΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε
η f είναι σταθερή σε όλο το Δ
14η Ερώτηση
Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδίου ορισμού το Δ που είναι συνεχείς στο Δ
Αν f΄(x)=g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
Ποιά σχέση συνδέει τις δυο συναρτήσεων;
Απάντηση
Η σχέση που συνδέει τις δυο συναρτήσεις είναι
f (x)=g (x)+c , για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
15
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
15η Ερώτηση
Τί ισχύει για μια συνάρτηση f με f΄(x)=λf(x) ,για κάθε x R∈
όπου λ R∈ ;
Απάντηση
Ισχύει f(x)=ceλx
16η Ερώτηση
Ποια σχέση συνδέει τη μονοτονία μιας συνάρτησης f με την παράγωγό της;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ
Αν f΄(x)>0 για κάθε x R∈
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ
Αν f΄(x)<0 για κάθε x R∈
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ
7ο Παράδειγμα
Να εξετασθεί η συνάρτηση f με
f(x) 1 lnx= −
ως προς τη μονοτονία
16
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Λύση
Εύρεση πεδίου ορισμού της f(x) 1 lnx= −
Για να ορίζεται η lnx ,πρέπει x>0
Επομένως
{ } ( )Df x R : x 0 0,= ∈ > = +∞
Η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
Η παράγωγος της f είναι
1f (x) (1 lnx)x
′ ′= − = −
Παρατηρώ ότι ( )f (x) 0, για κάθε x 0,′ < ∈ +∞
Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα
( )για κάθε x 0,∈ +∞
17
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
17η Ερώτηση
Πώς προσδιορίζονται τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β]
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 , στο οποίο όμως είναι συνεχής
τότε
Aν f΄(x)>0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)<0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο
της f Aν f΄(x)<0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)>0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο
της f
18η Ερώτηση
Τί συμβαίνει αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο
στο ( ) ( )0 0a, x x ,β∪
Απάντηση Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο
( ) ( )0 0a, x x ,β∪
τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (α,β)
18
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
19η Ερώτηση
Τι αναφέρει το θεώρημα του Fermat;
Απάντηση
1)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ
και έστω x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο (x0, f(x0))
τότε
f΄(x0)=0
20η Ερώτηση
Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat;
Απάντηση
το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει.
Δηλαδή εάν f΄(x0)=0 στο 0χ Δ∈
Τότε δεν σημαίνει ότι το (x0, f(x0))
είναι σημείο τοπικού ακρότατου απαραίτητα.
Σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω
(15η ερώτηση-απάντηση)
για να είναι το (x0, f(x0))
19
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Σημείο τοπικού ακροτάτου πρέπει η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0
8ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με
( ) 2 4f x ax x= −
Να προσδιορισθεί το a R∈
ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει στο x0= 1 τοπικό ακρότατο
Λύση
Η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πολυωνυμική)στο R και παραγωγίσιμη με
( ) 2 4 3f x (ax x ) 2ax 4x′ ′= − = −
Επειδή παρουσιάζει στο x0=1 τοπικό ακρότατο
σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat
f΄(x0)=0-> f΄(1)=0
( )32a.1 4.1 0 2a 4 0
2 a 2 0 a 2− = ↔ − = ↔
− = ↔ =
Όμως η συνθήκη f΄(x0)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή ώστε να εμφανίζει η f τοπικό ακρότατο στο x0 ,επομένως
πρέπει να εξετάσω
20
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
αν η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0=1
Για α=2 η f γίνεται
( ) 2 4f x 2x x= −
Επομένως
( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 2f x (2x x ) 4x 4x 4x 1 x 4x 1 x 1 x′ ′= − = − = − = − +
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
21
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απο το παραπάvω πίνακα παρατηρώ ότι πράγματι η f παρουσιάζει στο σημείο (1,f(1))=(1,1) τοπικό μέγιστο
9ο Παράδειγμα
Να δειχτεί ότι xe x 1, για κάθε x R≥ + ∈
Απόδειξη
Τρόπος δράσης
Θεωρώ τη συνάρτηση f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
και στη συνέχεια με τη βοήθεια της μονοτονίας ή των ακροτάτων θα αποδείξω τη σχέση
xe x 1, για κάθε x R≥ + ∈
Eπομένως
H f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
είναι συνεχής για κάθε x R∈
Παραγωγίζω την f και έχω
( ) ( ) ( )x x xf x e x 1 e . x 1 0 e 1′ ′′ = − − = − + = −
Βρίσω το σημείο που μηδενίζεται η f΄
( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ = ↔ − = ↔ = ↔ = ↔ =
Βρίσκω το πρόσημο της f΄ «γύρω» από το μηδέν
22
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ > ↔ − > ↔ > ↔ > ↔ >
( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ < ↔ − < ↔ < ↔ < ↔ <
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
Παρατηρώ ότι για χ=0 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
Αυτό σημαίνει ότι ( ) ( )για κάθε x R , f x f 0∈ ≥
23
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή για κάθε
x R∈
x 0 x xe x 1 e 0 1 e x 1 0 e x 1− − ≥ − − ↔ − − ≥ ↔ ≥ +
Τα παραπάνω φαίνονται και στη γραφική παράσταση της f(x)= ex-x-1
21η Ερώτηση
Πώς γίνεται η μελέτη ως προς τα κοίλα και τα κυρτά μιας συνάρτησης f;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ
24
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κυρτή στο Δ
Αν f΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κοίλη στο Δ
22η Ερώτηση
Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f παρουσιάζει σημείο καμπής;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β)
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής
Αν η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β)
ή αντίστροφα
και
η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0,f(x0))
τότε
το σημείο Α(x0,f(x0)) λέγεται
σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και
το x0 λέγεται θέση του σημείου καμπής
25
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
23η Ερώτηση
Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ;
Απάντηση
οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι
τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η f΄΄
10ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με
( ) 4 3f x ax x= −
Αν το σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α
Απάντηση
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R
Υπολογίζω τη πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f
( ) ( )4 3 3 2f x ax x 4ax 3x′′ = − = −
( ) 3 2 2f x (4ax 3x ) 12ax 6x′′ ′= − = −
Tο σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
26
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Υπολογίζω την f΄΄(1)
( ) 2f 1 12a.1 6.1 12a 6′′ = − = −
Λύνω την εξίσωση
( )f 1 0′′ =
6 112a 6 0 12a 6 a a12 2
− = ↔ = ↔ = ↔ =
Επειδή η συνθήκη
( )f 1 0′′ =
είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , θα δείξουμε ότι για α=1/2 η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο Α(1,f(1))
Για α=1/2 η f γίνεται
( ) 4 31f x x x2
= −
Για x=1
( ) 4 31 1 1 2 1f 1 .1 1 12 2 2 2 2
= − = − = − = −
( ) 4 3 3 2 3 21 1f x ( x x ) 4 x 3x 2x 3x2 2
′ ′= − = − = −
( ) 3 2 2f x (2x 3x ) 6x 6x′′ ′= − = −
27
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
( ) ( )2 x 0f x 0 6x 6x 0 6x x 1 0x 1
=′′ = ↔ − = ↔ − = ↔
=
Aπό το πίνακα επιβεβαιώνεται ότι το σημείο Α(1,f(1))=Α(1,-1/2)
είναι σημείο καμπής της Cf
28
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
24η Ερώτηση
Ποια ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf;
Απάντηση
Αν
( ) ( )0 0x x x x
lim f x ή lim f x− +→ →= ±∞ = ±∞
Τότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
25η Ερώτηση
Που αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες ;
Απάντηση
Κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η f δεν ορίζεται ή στα σημεία που η f δεν είναι συνεχής
110 Παράδειγμα
Έστω η συνάρτηση f με ( ) 1f xx 2
=−
Να εξετασθεί αν έχει ασύμπτωτες
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R-{2}
Εξετάζω το όριο της f στο x=2
29
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
( )x 2 x 2
1lim f x limx 2− −→ →
= = −∞−
( )x 2 x 2
1lim f x limx 2+ +→ →
= = +∞−
Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της f
26η Ερώτηση
Πότε η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή
−∞
Απάντηση
Η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞
30
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
αν xlim [f(x) (λx β)] 0→+∞ − + =
ή αντίστοιχα
xlim [f(x) (λx β)] 0→−∞ − + =
27η Ερώτηση
Με ποιό τρόπο μπορούμε να εξετάσουμε αν μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞
Απάντηση
Μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞
Αν
( )x x
f xlim λ R και lim f(x) λx β R
x→+∞ →+∞ = ∈ − = ∈
Ή αντίστοιχα
( )x x
f xlim λ R και lim f(x) λx β R
x→−∞ →−∞ = ∈ − = ∈
28η Ερώτηση
Που αναζητούνται ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f;
Aπάντηση
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f
31
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
αναζητούνται :
Στα σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται Στα σημεία στα οποία η f ορίζεται αλλά δεν είναι
συνεχής Στο +∞ και στο −∞ εφόσον η f είναι ορισμένη σε
διαστήματα της μορφής ( )a, +∞ και ( ),β−∞
αντίστοιχα
120 Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=1/x
Nα βρεθούν οι ασύμπτωτές της
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το
( ) ( ), 0 0,−∞ ∪ +∞
Εξετάζω το όριο της f στο x=0
( )x 0 x 0
1lim f x limx− −→ →
= = −∞
( )x 0 x 0
1lim f x limx+ +→ →
= = +∞
Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
32
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Στη συνέχεια εξετάζω αν η C f έχει ασύμπτωτη την ευθεία y=λx+β στο +∞ και στο −∞
( )x x
f xlim λ R και lim f(x) λx β R
x→+∞ →+∞ = ∈ − = ∈
x x x x2
11 1 1xlim lim =0 και lim 0.x lim 0
x x xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= − = =
Ομοίως
x x x x2
11 1 1xlim lim =0 και lim 0.x lim 0
x x xx→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
= − = =
Eπομένως
Η ευθεία y=0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ και στο −∞
33
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
και η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
29η Ερώτηση
Να διατυπωθεί ο κανόνας του de l’ Hopital
Απάντηση
1. Aν ( ) ( )0 0x x x xlim f x 0 και lim g x 0 → →= =
όπου { }0x R ,∈ ∪ +∞ −∞
και υπάρχει το όριο
( )( )0x x
f xlim
g x→
′
′
είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο
τότε
( )( )
( )( )0 0x x x x
f x f xlim lim
g x g x→ →
′=
′
2. Aν ( ) ( )0 0x x x xlim f x και lim g x→ →= ±∞ = ±∞
όπου { }0x R ,∈ ∪ +∞ −∞
και υπάρχει το όριο
( )( )0x x
f xlim
g x→
′
′
34
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο,τότε
( )( )
( )( )0 0x x x x
f x f xlim lim
g x g x→ →
′=
′
130 Παράδειγμα
Na υπολογισθεί το 2
x 0lim x lnx+→
Λύση
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g(x)=x2lnx είναι το ( )0, +∞
Επίσης γνωρίζω ότι
x 0lim lnx+→
= −∞
όπως φαίνεται και στη γραφική παράσταση της f(x)= lnx
35
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Eπομένως
2x 0
lim x lnx 0( )+→= −∞ , απροσδιόριστη μορφή
Άρση της απροσδιοριστίας με τη βοήθεια του θεωρήματος του de l’hospital
2x 0 x 0
2
lnxlim x lnx lim , απρ.μορφή1x
+ +→ →
−∞= = +∞
Οι συναρτήσεις lnx και 21x
είναι παραγωγίσιμες στο ( )0, +∞
Επομένως
( )2x 0 x 0 x 0
22
32
x 0 x 0 x 0
3
lnxlnxlim x lnx lim lim1 1x x
1x 1xlim lim lim x 0
2 2x 2x
+ + +
+ + +
→ → →
→ → →
′= = =
′
= − = − =−
30η Ερώτηση
Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;
36
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απάντηση
1.Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f
2.Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
3.Υπολογίζουμε τις f΄ και f΄΄, τις ρίζες τους, και σχηματίζουμε τους πίνακες των προσήμων τους
4.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄ βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f
5.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής
6.Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄
7.Μελετάμε τη «συμπεριφορά» της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της (δηλ τις οριακές τιμές)
8.Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν
9.Τέλος σχηματίζουμε ένα πίνακα μεταβολών της f με τις παραπάνω πληροφορίες με τη βοήθεια του οποίου
κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της f
140 Παράδειγμα
Na μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f με
37
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
( ) 3f x x 12x= −
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R
Η f με ( ) 3f x x 12x= − , είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της
Υπολογίζω την f΄
( ) ( )3 2f x x 12x 3x 12′′ = − = −
( ) 2 2 2f x 0 3x 12 0 3x 12 x 4 x 2′ = ↔ − = ↔ = ↔ = ↔ = ±
Σχηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
με τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f
38
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Υπολογίζω την f΄΄
( ) 2f x (3x 12) 6x′′ ′= − =
( )f x 0 6x 0 x 0′′ = ↔ = ↔ =
Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής
Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄
Θέτω στην ( ) 3f x x 12x= −
x=0 και έχω
( )f 0 0=
Θέτω στην
( ) 3f x x 12x= −
39
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
y=0 και έχω
( )3 20 x 12x x x 12 0
x 0x 12 2 3
x 12 2 3
= − ↔ − = ↔
= = = = − = −
Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ στα
σημεία ( )A 2 3, 0 , ( )B 2 3, 0−
και τον yy΄ στο σημείο Κ(0,0)
δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Η γραφ. παράσταση της ( ) 3f x x 12x= −
40
http://www.mathschool-online.gr/elearning
http://www.mathschool-online.gr/elearning
Ο πίνακας μεταβολών της f
Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online
Kαλή ανάγνωση !
41