2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감(2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상)

2018년 2월 13일, 고사시간 90분

2018년 1번 limx→1

x3 + x2 + x− 3

x2 − 1= .

[풀이]

limx→1

x3 + x2 + x− 3

x2 − 1= lim

x→1

(x− 1)(x2 + 2x+ 3)

(x− 1)(x+ 1)

= limx→1

x2 + 2x+ 3

x+ 1

=limx→1 x

2 + 2x+ 3

limx→1 x+ 1

=6

2= 3

2018년 2번 함수 f(x) = x3+ax2+12x− 7이 실수 전체에서 증가 함수이기위한 a값의 범위는 이다.

[풀이] 다항 함수 f(x)가 증가 함수이면 도함수 f ′(x) ≥ 0 임을 사용한다.

f ′(x) = 3x2 + 2ax+ 12 ≥ 0

그리고 2차 다항 함수가 항상 양수라는 것은 판별식D ≤ 0과 동치이다.

D = (2a)2 − 4 · 3 · 12 ≤ 0

따라서, a값의 범위는 −6 ≤ a ≤ 6 이다.

2018년 3번 limx→0

sin(5x)

2x= .

[풀이]

limx→0

sin(5x)

2x= lim

x→0

sin(5x)

5x· 5x2x

=5

2

1

2018년 4번 곡선 y = (x − 2) ln(x2 + x + 1) + cosx 위의 점 (0, 1)에서의접선의 기울기는 이다.

[풀이] 곡선 y 위의점(0, 1)에서의접선의기울기는함수f(x) = (x−2) ln(x2+x+ 1) + cosx의 x = 0에서의 미분계수 f ′(0)와 같다.

f ′(x) = ln(x2 + x+ 1) + (x− 2)2x+ 1

x2 + x+ 1− sinx

f ′(0) = ln 1− 2− 0 = −2

따라서, 곡선 y 위의 점(0, 1)에서의 접선의 기울기는 −2이다.

2018년 5번 limn→∞

1

n

n∑k=1

{1− 2

(k

n

)+ 3

(k

n

)2}

= .

[풀이]

limn→∞

1

n

n∑k=1

{1− 2

(k

n

)+ 3

(k

n

)2}

= limn→∞

1

n

{n− 2 · n(n+ 1)

2n+ 3 · n(n+ 1)(2n+ 1)

6n2

}

= limn→∞

1− n+ 1

n+

2n2 + 3n+ 1

2n2

= 1− 1 + 1 = 1

2018년 6번 좌표공간에서 평면 2x − y + 3z = 1에 수직이고 점 (3, 1, 1) 을지나는 직선은

x− 3

2=y − 1

a=z − 1

b

로 나타낼 수 있다. 이 경우 a+ b = 이다.

[풀이] 평면에 수직인 벡터가 (2,−1, 3)이고, 문제에 주어진 직선의 방향 벡터는 (2, a, b)이다. 두 벡터가 평행이므로 a = −1, b = 3 임을 알 수 있다. 따라서a+ b = 2 이다.

[채점기준] 단답식이므로 답이 맞으면 3점, 틀리면 0점입니다.

[채점소감] 대부분의 학생들이 잘 계산하였습니다. 간혹 증가 함수의 도함수가0 이상인데 0을 포함하지 않아 생긴 실수가 보였습니다.

2

2018년 7번 구간 [0, π2 ]에서 정의된 함수 f(x) = x sinx와 그 역함수의 그래프에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 이다.

[풀이] 함수f(x)와 그 역함수는 y = x 대칭이므로 구해야하는 문제의 영역의넓이는 구간 [0, π2 ]에서 곡선 y = f(x) 와 직선 y = x 사이 넓이의 2 배와 갈다.∣∣∣∣∣

∫ π2

02(x sinx− x)dx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣[2 sinx− 2x cosx− x2

]π2

0

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣2− π2

4

∣∣∣∣=π2

4− 2

2018년 8번 limn→∞

n

∫ 3n

1n

e2x+1 cos(x3) dx = .

[풀이] 치환적분과 미적분학의 기본정리를 이용한다.다음과 같이 함수 F (s)를 정의하여 이와 관련있는 성질을 관찰한다.

F (s) =

∫ s

0e2x+1 cos(x3)dx

관찰1: 피적분함수가 모든 실수에서 정의되므로 x = 0 을 적분 구간 시작점으로 잡는 것은 타당하다.(함수가 잘 정의되었다.)관찰2: F (0) = 0관찰3: F ′(s) = e2s+1 cos(s3), F ′(0) = e

3

주어진 식에 t = 1n로 치환한다.

limn→∞

n

∫ 3n

1n

e2x+1 cos(x3)dx = limt→0

1

t

∫ 3t

te2x+1 cos(x3)dx

= limt→0

1

t

{∫ 0

te2x+1 cos(x3)dx+

∫ 3t

0e2x+1 cos(x3)dx

}

= limt→0

1

t

{−∫ t

0e2x+1 cos(x3)dx+

∫ 3t

0e2x+1 cos(x3)dx

}

= limt→0

1

t

{− F (t) + F (3t)

}

= limt→0

1

t

{−(F (t)− F (0)

)+ F (3t)− F (0)

}

= limt→0−F (t)− F (0)

t+ 3 · F (3t)− F (0)

3t

= −F ′(0) + 3F ′(0)

= 2F ′(0) = 2e

2018년 9번 방정식 x[x[x]] = 36의 양수 해는 이다. (단, [x]는 x보다크지 않은 최대 정수이다.)

[풀이] 다음과 같은 관찰을 한다.

[x]3 ≤ x[x[x]] ≤ [x+ 1]3, 33 < 36 < 43

따라서 x[x[x]] = 36 을 만족하는 수가 존재한다면, 3 < x < 4 이다. 그렇다면[x] = 3 이고 9 < x[x] < 12이므로, [x[x]] = 9, 10, 11 일 수 밖에 없다.[x[x]] = 9인 경우:

x[x[x]] = 36

x · 9 = 36

x = 4

한편, [x] = 4 6= 3는 가정에 모순이므로 x = 4는 해가 아니다.[x[x]] = 10인 경우:

4

x[x[x]] = 36

x · 10 = 36

x =36

10=

18

5= 3.6

또한, [x] = [3.6] = 3, [x[x]] = [3.6 × 3] = [10.8] = 10 이므로, x = 3.6는방정식 x[x[x]] = 36 을 만족하는 해이다.[x[x]] = 11인 경우:

x[x[x]] = 36

x · 11 = 36

x =36

11

한편, [x[x]] = [10811 ] < 11는 가정에 모순이므로 x = 3611는 해가 아니다.

2018년 10번 일렬로 나열된 열 개의 칸을 각각 빨강색과 파랑색으로 칠하려

한다. 이 중 빨간색을 연이어 칠하지 않는 경우의 수는 가지이다.

[풀이] 빨강색으로 칠할 수 있는 칸의 갯수는 최대 5개이다. 이를 기준으로 다음과 같이 경우를 나누어서 생각한다.빨강색 없이 모두 파랑색인 경우 : 1 가지빨강색 1칸과 파랑색 9칸인 경우 : 10C1 = 10 가지빨강색 2칸과 파랑색 8칸인 경우 : 9C2 = 36 가지빨강색 3칸과 파랑색 7칸인 경우 : 8C3 = 56 가지빨강색 4칸과 파랑색 6칸인 경우 : 7C4 = 35 가지빨강색 5칸과 파랑색 5칸인 경우 : 6C5 = 6 가지따라서, 빨강색을 연이어 칠하지 않는 경우의 수는 144 가지이다.

2018년 11번 삼차원 공간의 사면체 ABCD 각 변의 길이가 AB = 4, BC =

7, CD = 11,DA = 9, AC = 10, BD = 10라고할때,−→AC ·−−→BD =

이다.

[풀이] 다음과 같이 좌표를 설정한다.

A = (0, 0, 0), B = (4, 0, 0), C = (a, b, c), D = (x, y, z)

5

그러면 다음과 같이 벡터와 문제에 주어진 길이를 표현할 수 있다.

−→AC = (a, b, c)−−→BD = (x− 4, y, z)

(a− 4)2 + b2 + c2 = 72

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = 112

x2 + y2 + z2 = 92

위 식들을 연립하여 다음을 구할 수 있다.

−→AC ·

−−→BD = (x− 4) · a+ y · b+ z · c = −7

2

(별해) 제2 코사인 법칙을 이용하여 풀수 있다.

−→AC ·

−−→BD =

−→AC · (

−−→BA+

−−→AD)

=−→AC · (−

−−→AB +

−−→AD)

= −−→AC ·

−−→AB +

−→AC ·

−−→AD

= −|−→AC||

−−→AB| cos a+ |

−→AC||

−−→AD| cosα

= −10 · 4 · 6780

+ 10 · 9 · 13

= −67

2+

60

2= −7

2

여기서 a는−→AC과

−−→AB 이루는 사잇각이고, α는

−→AC와

−−→AD 이루는 사잇

각이다. 제2 코사인 법칙을 이용하여, 4ABC에서 cos a = 6780와 4ACD 에서

cosα = 13을 구할 수 있다.

[채점기준] 단답식이므로 답이 맞으면 7점, 틀리면 0점입니다.

[채점소감] 7번에서 넓이를 구하는 문제에서∣∣∣2 − π2

4

∣∣∣를 대소 비교하지 않고2− π2

4 < 0로 쓰는 실수를 범한 학생이 많이 있었습니다. 그리고 10번에서 경우의가지수를구하는문제에서빨강색이없이모두파란색인경우를고려하지

않아 틀린 학생이 다수 있었습니다.

6

2018년 12번 좌표평면에서 함수 y = ax3 + bx2 + cx+ d (a > 0)의 그래프가직선 y = y1과는 왼쪽부터 차례대로 서로 다른 세 점 B,C, F에서 만나고, 직선y = y2와는왼쪽부터차례대로서로다른세점 A,D,E에서만난다. y1 > y2이고 선분 AB,CD,EF를 x축에 정사영시켜 얻은 선분들의 길이를 각각 α, β, γ라 할 때, α+ β + γ = 4가 되었다. β의 값을 구하시오.

[풀이] 점 A,B,C,D,E, F의 x축 좌표를 각각 xA, xB, xC , xD, xE , xF라 하자.그러면 xA < xB < xC < xD < xE < xF의 관계가 성립하고, 따라서

α = xB − xA, β = xD − xC , γ = xF − xE

이다.주어진식에서점 xB, xC , xF는 ax3+bx2+cx+d−y1 = 0의세실근이고점 xA, xD, xE는 ax3 + bx2 + cx + d − y2 = 0의 세 실근이므로 근과 계수의관계에 따라

α− β + γ = xB − xA − (xD − xC) + xF − xE= xB + xC + xF − (xA + xD + xE)

= − ba− (− b

a)

= 0

이다. 이 식을 주어진 식인 α+ β + γ = 4 와 연립하면 β = 2 임을 알 수 있다.

[채점기준] 정확한 논리에 따라 서술을 하였으면 7점 이고 부분점수는 없습니다. 일적인 경우가 아닌 주어진 식의 미지수 a, b, c, d, y1, y2에 적절한 가정을하여 풀었을 경우 논리가 모두 맞은 경우에 한하여 2점 입니다.

[채점소감] 근과 계수의 관계를 적절히 사용하지 않고 풀 수 없다고 생각하여부분점수를 주지 않았고 실제로 그렇게 풀어서 논리가 완벽한 학생은 없었습

니다. 풀이과정에서 문자가 많이 등장하다 보니 서술형 문제가 익숙하지 않은학생들이 식 전개과정에서 실수를 종종 했는데, 사소한 실수는 감안하는 형식으로 채점을 하였습니다.

2018년 13번 임의의실수 s > 1와 2이상의자연수 n에대하여다음부등식이성립함을 보이시오.

1

2s+

1

3s+ · · ·+ 1

ns<

1

s− 1

[풀이] 함수 f(x) = 1xs는 [1,∞)에서 단조감소하므로, 자연수 k에 대하여

1

ks=

∫ k+1

kf(k) dx ≤

∫ k+1

kf(x) dx =

∫ k+1

k

1

xsdx

7

가 성립한다. k에 1, . . . , n− 1을 각각 대입하여 얻어지는 식을 변변 더하여

n∑k=2

1

ks≤∫ n

1f(x) dx

을 얻는데, 여기서 ∫ n

1f(x) dx =

1

s− 1

(1− 1

ns−1

)≤ 1

s− 1(∵ s > 1)

이므로 결론이 증명된다.

[채점기준] 적분구간을 잘못 쓰는 등의 실수가 있거나, f(x)의 단조성을 언급한 부분이 없는 답안에 대해서는 2점을 감점했다.(단, f(x)의 그래프를 그린경우에는 f(x)의 단조성을 언급했다고 간주한다.) 그 외에 논리적인 결함이 큰경우에는 0점을 주었다.

[채점소감] 이 문제를 제대로 맞춘 학생은 20% 정도 되는 것 같다. 많은 학생들이 수학적 귀납법을 쓰거나, 혹은 좌변의 식의 각 항을 등비수열에 의해근사하려는 등 틀린 보조정리를 이용하여 이 문제를 풀려고 시도했다. 하지만모범답안과 다른 발상으로 이 문제의 풀이를 모순 없이 쓰는 데 성공한 학생은

단 한 명도 없었다.

2018년 14번 두 실수√2017

√2018과√2018

√2017의 대소를 판정하시오.

[풀이] f(x) = log x는 증가함수이고√2017 · 2018이 양수이므로 비교하고자

하는 두 수의 자연로그 값을√2017 · 2018로 나눈 것을 비교하면 충분하다. 즉

log√2017√

2017,

log√2018√

2018,

위 두 숫자의 대소를 비교하면 충분하다. 이제 g(x) := log xx 를 생각해보자.

g′(x) = 1−log xx2

이므로 g′(x)는 x > e에서 음수가 되는 것을 알 수 있다. 그러므로 g(x)는 x > e에서 감소함수이다. 이때

e <√9 <√2017 <

√2018

8

이므로 g(√2017) > g(

√2018)임을 알 수 있다. 따라서

log√2017√

2017>

log√2018√

2018

⇐⇒√2018 log

√2017 >

√2017 log

√2018

⇐⇒ log√2017

√2018

> log√2018

√2017

⇐⇒√2017

√2018

>√2018

√2017

,

이다.

[채점기준] 11점 만점으로 log xx 이 외의 함수를 설정한 경우에도 마찬가지로

도함수를 계산하고 열린 구간 (2017, 2018)에서 설정한 함수가 감소, 혹은 증가함을 보인 후 올바르게 답을 유추하면 만점을 부여하였음. 논리가 잘못된경우나 답만 적은 경우 점수를 부여하지 않았으며 다만 다음의 경우에 해당되

면 4점을 감점하였음.

• 사용하고자 하는 함수의 그래프 모양만을 이용하고 도함수 계산과 같이그래프 개형을 정당화할 수 있는 내이 없는 경우

• log xx , log x√

x와같이비교적쉽게도함수가계산될수있는경우도함수계산

없이 감소한다는 말만 적은 경우.

[채점소감] 특정 구간에서 증가 혹은 감소하는 함수를 이용하여 비교한다는 아이디어만 떠올린다면 쉽게 해결할 수 있는 문제였습니다. 다만 도함수를 직접계산하여함수의증감을구체적으로적지않아감점된사례가제법있었습니다.모범답안과같이쉬운함수를이용한학생들이대부분이었다면넘어갈수도있

었지만학생들이사용한함수가다양하게등장하였고그도함수계산이복잡한

경우도 있어 형평성을 위해 도함수 계산에 대한 내용을 고려해야 하였습니다.

2018년 15번 고정된 유리수 k에 대하여, 함수 fn : [0, 1] → [0, 1] (n =0, 1, 2, . . .)을 다음과 같이 귀납적으로 정의하자.

f0(x) = kx− [kx],

fn(x) = fn−1(1) + kx− [fn−1(1) + kx] (n ≥ 1).

(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대 정수이다.)임의의 x0 ∈ [0, 1]에 대하여, 다음 집합의 원소의 개수는 유한 개임을 보이

시오.{f0(x0), f1(x0), f2(x0), · · · }

9

[풀이] 우선 수학적 귀납법을 이용하여 다음 등식을 증명한다:

fn(x) = (n+ x)k − [(n+ x)k] (1)

1. n = 0: f0의 정의와 일치한다.

2. n = s = 0일 때 위 등식이 성립한다고 가정하자. 그러면

fs+1(x) = fs(1) + kx− [fs(1) + kx]

= (s+ 1)k − [(s+ 1)k] + kx− [(s+ 1)k − [(s+ 1)k] + kx]

= (s+ 1 + x)k − [(s+ 1)k]− [(s+ 1 + x)k] + [(s+ 1)k]

= (s+ 1 + x)k − [(s+ 1 + x)k]

이때 [(s + 1)k]가 정수이며, 임의의 정수 n과 실수 x에 대해 [x + n] =[x] + n임을 이용했다. 수학적 귀납법에 의해 등식 (1)의 증명 완료.

편의상 k가 양의 유리수라 가정하면, 서로소인 두 양의 정수 a, b에 대해k = a

b로 쓸 수 있다. 등식 (1)을 이용하면 임의의 자연수 n에 대해

fn+b(x) = (n+ b+ x)k − [(n+ b+ x)k]

= (n+ x)k + a− [(n+ x)k + a]

= (n+ x)k − [(n+ x)k] + a− a = fn(x)

이므로, 임의의 x0 ∈ [0, 1]에 대해 함수값 fn(x0)는 n에 대한 주기를 가진다.따라서 주어진 집합

{f0(x0), f1(x1), . . . } = {f0(x0), f1(x0), . . . , fb(x0)}

은 유한집합이다. 물론 k가 0이거나 음의 유리수여도 같은 증명이 성립한다.참고로, 실수 전체에서 정의된 함수 f : R → R을 f(x) = kx − [kx]로

정의하면 등식 (1)은 fn(x) = f(n + x)란 뜻이다. 따라서 함수 fn의 그래프는y = f(x) 그래프에서 정의역이 [n, n + 1]인 부분이므로, 금방 보인 fn(x0)의주기성을 시각적으로 확인할 수 있다.

[별해] 만약 서로 다른 두 정수 p, q에 대해 fp(1) = fq(1)이라면, 함수 fn의정의에 의해 모든 실수 x ∈ [0, 1]에 대해 fp+1(x) = fq+1(x)가 성립한다. 따라서 주어진 집합이 유한집합임을 보이기 위해서는 집합 {f0(1), f1(1), . . . }이유한집합임을 증명해도 된다.역시 편의상 k가 양의 유리수라 가정하고 k = a

b가 되는 서로소인 두 양의

정수 a, b를 고르자. 수학적 귀납법을 이용해 다음을 보이려 한다:

각 자연수 n마다 어떤 정수 an이 존재해서 fn(1) =anb이다. (2)

10

Figure 1: k = 54일 때 y = f(x)의 그래프

1. n = 0: f0(1) = k − [k] = rb . 이때 r은 a를 b로 나눈 나머지.

2. n = s = 0일때위주장이사실이라고가정하자.즉,어떤정수 as에대해fs(1) =

asb 이다. 그러면

fs+1(1) = fs(1) + k − [fs(1) + k]

=as + a

b−[as + a

b

]=as+1

b

이때 as+1은 as + a를 b로 나눈 나머지이며 정수이다. 그러므로 수학적귀납법에 의해 위 명제 (2)는 사실이다.

그런데 fn의 정의를 살펴보면 fn(x)는 실수 fn−1(1)+ kx의 소수부이므로 0 5fn(x) < 1이고, 즉 0 5 an < b이다. 따라서

{f0(1), f1(1), . . . } ={a0b,a1b, . . .

}⊂{cb| 0 5 c < b, c ∈ Z

}이며 우변이 유한집합이므로 원하던 결과를 얻는다.

[채점기준] 첫 번째 모범답안을 기준으로,

• 등식 (1)을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 것이 4점

• 이를 통해 fn(x)의 n에 대한 주기성을 파악하는 것이 4점

• 증명을 잘 마무리짓는 것이 3점

11

으로 총 11점 만점. x = 1일 때만 증명한 경우에는 4점 부여, k가 정수일 때만증명한 경우에는 0점.

(1)이나 (2)와 같은 명제들을 보일 때 수학적 귀납법을 이용한다고만 쓰고실제로 증명을 제시하지 않은 경우에는 그 부분에 대한 점수 없음.

[채점소감] 주어진 집합이 유한집합임을 증명하라는, 고등학교까지는 거의 볼수 없었던 유형의 문제여서인지 상당수의 학생들이 손을 대지 못했다. 이 문제의 경우 fn을 정의에 따라 직접 계산해보거나 그래프를 그리다 보면 단서를찾을 수 있었지만, 풀지 못한 학생들은 대체로 초반의 f1, f2 정도 계산해보고 포기한 것 같아 아쉬움이 남는다. 첫 시도가 실패하더라도 주어진 정보를이용해서 여러가지 방법으로 문제에 접근하는 자세가 필요해 보인다.

2018년 16번 좌표공간에서 원 x2+y2 = 1, z = 1 위의 점 P와, 원 x2+y2 =4, z = 0 위의 점 R, Q에 대하여,

PQ2+ PR

2 −QR2

의 최솟값을 구하시오.

[풀이] PQ2 + PR2 −QR2에서 ~QR = ~QP + ~PR 이므로|PQ|2 + |PR|2 − |QR|2 = 2 ~PQ · ~PR이다. 점 P를 xy평면에 정사영한 점을 H라 하면, 2 ~PQ · ~PR = 2 + 2 ~HQ · ~HR이다.H를 고정하고 임의의 Q에 대해 ~HQ · ~HR가 최소가 되려면 원점 O에 대해RO//HQ이다.한편 R에 대해 ~HQ · ~HR가 최소가 되려면 OQ//HR이다.따라서 사각형 ORHQ는 평행사변형이 될 때(정확히는 마름모) ~HQ · ~HR가최소가 된다.이때,

~HQ · ~HR = −7

2

그러므로, 구하고자 하는 최소값은 −5이다.[별해] 선분 QR의 중점을 M이라 하면, 파푸스 정리에 의해,

PQ2 + PR2 = 2(PM2 +QM2)

PQ2 + PR2 −QR2 = 2(PM2 −QM2)

이때 OM = x,MH = y라 하면,

PM2 = y2 + 1,MQ2 = 4− x2, 2(PM2 −QM2) = 2(x2 + y2 − 3)

12

0 ≤ x < 1 에서 1− x ≤ y ≤ 1 + x, 1 ≤ x ≤ 2에서 x− 1 ≤ y ≤ x+ 1이고,위 부등식 영역에서 x2 + y2의 최솟값은 1

2이다.[별해]일반성을 잃지 않고 P의 좌표를 (1, 0, 1)로 고정할수 있다.Q = (2 cosφ, 2 sinφ, 0), R = (2 cos θ, 2 sin θ, 0)로 두면

|PQ|2 + |PR|2 − |QR|2 = 8 cos(θ − φ)− 4(cos θ + cosφ) + 4 (3)

φ가 고정되있을 때 위 식이 극값을 가지기 위한 θ 찾기 위해 θ로 미분하면−8 sin(θ− φ) + 4 sin θ = 0을 얻는다. 마찬가지로, θ를 고정하고 φ로 미분하면sinφ = −2 sin(θ − φ)를 얻는다. 이를 만족하는 θ, φ는

θ = π + φ 또는 θ = −φ

첫번째경우에서 θ = 0, φ = π에서주어진식은 −4,두번째경우에서 cos θ = 14

에서 −5

[채점기준] -5라는 결과가 나오는 과정이 정확하지 않으면 5점. 그외 부분점수없음. (Q,R의 대칭성에 관한 구체적인 설명이 필요함)

[채점소감] -4라는 답을 쓴 학생이 굉장히 많았다. H,Q,R 세 점이 일직선 상에있고, QR이 주어진 원의 지름일 경우 이 값이 나오는데, 대칭성을 쉽게 생각한학생들이 이렇게 답을 많이 쓴 것으로 보인다. 내적의 절대값이 가장 커지기위해서는 두 벡터가 ’가능한’ 평행선에 가까워져야 한다. Q,R이 대칭성을 가진다는 의미를 명확하게 쓰지 않은 학생들이 많았다.(-5라는 답을 쓰더라도 11점을받을수없음)본문제를푸는학생들이가장많이시도한것은두번째별해처럼 좌표를 직접 놓거나(제대로 답을 쓴 학생이 거의 없었다.) 파푸스 정리를쓰는 것인데, 일반 고등학생들에게 극좌표가 익숙치 않다는 점, 파푸스 정리의경우 교과 과정에서 가르치지 않고, 파푸스 정리를 언급하는 교과서가 있더라도 본문 내용이 아니라 심화 학습 등의 차례에서 간단하게 언급하는 경우가

많아 별해로 두었다.

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