2016年度秋学期 画像情報処理 第１０回 画像の集合演算とオープニング...
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, Kan
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2016年度秋学期 画像情報処理
浅野 晃 関西大学総合情報学部
画像の集合演算とオープニング第１０回
A. A
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, Kan
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
マセマティカル・モルフォロジとは
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
画像には，「構造」がある 構造によって説明ができる
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
画像には，「構造」がある 構造によって説明ができる
func(1); func(2); ... func(9);
for(i = 1; i < 10; i++){ func(i); }
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
画像には，「構造」がある 構造によって説明ができる
func(1); func(2); ... func(9);
for(i = 1; i < 10; i++){ func(i); }
これが「構造」
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マセマティカル・モルフォロジとは
2016年度秋学期 画像情報処理
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マセマティカル・モルフォロジとは
画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する
2016年度秋学期 画像情報処理
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, Kan
sai U
niv.
マセマティカル・モルフォロジとは
画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する
École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源）
2016年度秋学期 画像情報処理
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, Kan
sai U
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マセマティカル・モルフォロジとは
画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する
École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源）
International Symposium on Mathematical Morphology: 40 years onが開催
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, Kan
sai U
niv.
マセマティカル・モルフォロジとは
画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する
École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源）
International Symposium on Mathematical Morphology: 40 years onが開催
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モルフォロジの演算のしかた
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モルフォロジの演算のしかた
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モルフォロジの演算のしかた
（○＝画素）
画像＝図形 X
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モルフォロジの演算のしかた
（○＝画素）
構造要素 B (structuring element)
（●＝原点）
画像＝図形 X
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モルフォロジの演算のしかた
画像を 構造要素で 操作する
（○＝画素）
構造要素 B (structuring element)
（●＝原点）
画像＝図形 X
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もっとも基本的な演算：オープニング
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形 構造要素が図形上を 移動し，
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形 構造要素が図形上を 移動し，
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
原図形のうち 構造要素が入りきらない 部分を取り除く
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
原図形のうち 構造要素が入りきらない 部分を取り除く
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
原図形のうち 構造要素が入りきらない 部分を取り除く
構造要素が 図形に完全に含まれたら
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
（構造要素のサイズに もとづく定量的操作）
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sai U
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
原図形のうち 構造要素が入りきらない 部分を取り除く
構造要素が 図形に完全に含まれたら
移動してきた 構造要素の位置にある 画素間でのAND/OR演算 によるerosion/dilationで 表現可能
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
（構造要素のサイズに もとづく定量的操作）
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もっとも基本的な演算：オープニング
原図形
原図形のうち 構造要素が入りきらない 部分を取り除く
構造要素が 図形に完全に含まれたら
移動してきた 構造要素の位置にある 画素間でのAND/OR演算 によるerosion/dilationで 表現可能
構造要素が図形上を 移動し，
オープニング
その位置での 構造要素全体を保存
（構造要素のサイズに もとづく定量的操作）
XB = {Bz |Bz ⊆ X,
z ∈ Z2},
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さらに分解すると：erosion
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
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さらに分解すると：erosion構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）
X ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
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さらに分解すると：dilation
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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, Kan
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
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さらに分解すると：dilation構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）
X ⊕ B̌ = {x|Bx ∩ X ̸= ∅}
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オープニングをerosion／dilationで
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オープニングをerosion／dilationで
原図形
構造要素
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オープニングをerosion／dilationで
原図形
構造要素
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オープニングをerosion／dilationで
原図形
構造要素
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オープニングをerosion／dilationで
原図形
構造要素
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オープニングをerosion／dilationで
原図形
構造要素
opening
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素
erosion
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
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, Kan
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
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, Kan
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素
反転してdilation
を反転
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
opening
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
opening
XB = (X ⊖ B̌) ⊕ B
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Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation
原図形
構造要素 を反転
opening
XB = (X ⊖ B̌) ⊕ B
はBの反転を表す
B̌)
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, Kan
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Opening = erosion + Minkowski和
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
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, Kan
sai U
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
erosion
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, Kan
sai U
niv.
Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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, Kan
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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, Kan
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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, Kan
sai U
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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sai U
niv.
Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
Minkowski和
構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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sai U
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
opening
構造要素ではなく，図形のほうを動かす
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Opening = erosion + Minkowski和
原図形
構造要素
opening
構造要素ではなく，図形のほうを動かす
X ⊕ B =⋃
b∈B
Xb
Minkowski和
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グレースケール画像の場合
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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sai U
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
構造要素（多値）
原点
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sai U
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
画素毎の 最大値Minkowski和 反転すると dilation
構造要素（多値）
原点
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sai U
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グレースケール画像の場合
画素の位置
輝度 多値図形
明 ↑ ↓ 暗
構造要素の各画素への ベクトルに沿って構造要素の値を足して 図形を動かして重ね合わせる
画素毎の 最大値Minkowski和 反転すると dilation
画素毎の 最小値Minkowski差 反転すると erosion
構造要素（多値）
原点
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数式でどうやって表すか？
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オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
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オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
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A. A
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オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
２次元座標平面の 格子点
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
Bz = {b+ z | b ∈ B}
Bをzだけ移動
２次元座標平面の 格子点
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, Kan
sai U
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オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
Bz = {b+ z | b ∈ B}
Bをzだけ移動
２次元座標平面の 格子点
BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡
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sai U
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オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
Bz = {b+ z | b ∈ B}
Bをzだけ移動
２次元座標平面の 格子点
BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡
これが
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
Bz = {b+ z | b ∈ B}
Bをzだけ移動
２次元座標平面の 格子点
BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
これが であることを示す？？？？
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
x
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
xもし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b xもし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b
x ‒ b ∈ Xであるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
x ‒ b ∈ Xであるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
x ‒ b ∈ Xであるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
Xbはこうなるからx ‒ b ∈ Xであるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
Xbはこうなるからx ‒ b ∈ Xであるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
Xbはこうなるからx ‒ b ∈ Xであるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
どんなbに対してもXbに含まれるxの集まり
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：Minkowski集合差Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
x ∈ Xb
B b‒b
X
‒b x
x‒b +b
Xbはこうなるからx ‒ b ∈ Xであるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
X ⊖B =⋂
b∈BXb
は Minkowski差はXが移動
どんなbに対してもXbに含まれるxの集まり
つまり
⋂
b∈BXb,
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：反転と集合差
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
B̌ = {−b|b ∈ B}
をBの反転
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
X ⊖B = {x|x− b ∈ X, ∀b ∈ B}
Minkowski集合差を使って表すと，
X⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ B̌}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：集合和
すなわち
X ⊕B
= {x+ b|x ∈ X, ∀b ∈ B}
X ⊕B = {b+ x|b ∈ B, x ∈ X}
Minkowski集合和は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
オープニングの分解：集合和
すなわち
X ⊕B
= {x+ b|x ∈ X, ∀b ∈ B}
X ⊕B = {b+ x|b ∈ B, x ∈ X}
BのコピーをXを構成する各画素に くまなく貼付ける
Minkowski集合和は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
X ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
X ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
以上から，オープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
以上から，オープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
以上から，オープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
BがXの内部を動く ときのBの原点
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
BがXの内部を動く ときのBの原点
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
BがXの内部を動く ときのBの原点
その原点にBを 貼り付ける
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は
2016年度秋学期 画像情報処理
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
以上から，オープニングは
X ⊖B = {x|B̌x ⊆ X}
B̌
がXの内部を動くときの，
B̌
の原点の軌跡
BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosionX ⊖ B̌ = {x|Bx ⊆ X}
XB = (X ⊖ B̌)⊕B
以上から，オープニング
BがXの内部を動く ときのBの原点
その原点にBを 貼り付ける
XB = {Bz |Bz ⊆ X, z ∈ Z2}
は