2015 - sc.im.uj.edu.plsc.im.uj.edu.pl/images/videos/wstep.pdf · algebra zaczęła się ponownie...

Wersjawstępnaz 9czerwca2015

Notatki do wykładu

Wstęp do algebry(I rok sekcja teoretyczna)

Instytut MatematykiUniwersytetu JagiellońskiegoSemestr letni 2015

Sławomir Cynke-mail: [email protected]


ROZDZIAŁ I

Podstawowe struktury algebraiczne

1. Historia

Nazwa pochodzi od arabskiego słowa Al–jabr z traktatu Al Khwarizmiego (Pers/Uzbek, ok. 780 – ok. 850, w latach

813–833 Dom mądrości w Bagdadzie) Kitab al–muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (w tłumaczeniu “Kompendium

obliczeń przez uzupełnianie i przenoszenie”), termin ten często po jest tłumaczony na polski jako przenoszenie na drugą

stronę ze zmienionym znakiem. Jego prace w XII w. przetłumaczone na łacinę stały się znane w Europie i wprowadziły

system dziesiętny z cyframi indyjskimi (zwanymi obecnie arabskimi).

To co nam się obecnie wydaje istotą matematyki czyli zapis symboliczny pojawił się dopiero około XIII wieku

(najpierw u matematyków islamskich takich jak np. Ibn al-Banna czy al-Qalasadi) ale zwykle przymuje się, że kulmi-

nacja jego rozwoju nastąpiła w pracach Kartezjusza (np. indeks górny jako potęga). Początkowo (np. u starożytnych

babilończyków) używano zapisu opisowego. Począwszy od Arytmetyki Diofantosa (III w.), a poźniej w Brahma Sphuta

Siddhanta Brahmagupty (VII w.) używano zapisu pośredniego (ang. syncopated algebra).

Również współczesny abstrakcyjny charakter algebry nie zawsze był jej nieodłączną cechą, pierwotnie (starożytny

Babilon, początkowo starożytni Grecy) algebra miała charakter geometryczny. Kolejne etapy rozwoju algebry można

określić jako rozwiązywanie równań statycznych (począwszy od Diofantosa, ale ostatecznie ukształtowałą się dopiero

u al Khwarizmiego) oraz dynamiczny etap funkcji (zapoczątkowany przez matematyków islamskich – złota era islamu,

ale ukształtował się dopiero u Leibniza). Algebra abstrakcyjna to wiek XIX–XX (no i XXI).

Egipt: Najstarszy papirus z ok. 1850BC: Moskiewski Papirus Matematyczny (Golenidenov), 25 zadań z rozwiąza-

niami (sugestiami rozwiązań), dotyczą m.in. brył (piramid) ściętych, ciągów arytmetycznych, a nawet obliczania mocy

piwa.

Rysunek 1. Moskiewski papirus

Zadanie 6: dane jest prostokątne ogrodzenie o powierzchni 12 jednostek kwadratowych i stosunku boków 1 : 3/4,

wyznaczyć długości boków.

1


2 1. Historia

Rysunek 2. Moskiewski papirus – zadanie nr 6 (transkrypcja)

linia 1 Przykład obliczania prostokąta

linia 2 Jeśli ktoś Ci powie: prostokąt ma 12 jednostek powierzchni i ma szerokość 1/2 1/4 (t.j. 3/4) jego długości.

linia 3 Wyznaczamy 1/2 1/4 aby otrzymać 1. Wynik to 1 1/3

linia 4 Oblicz 12 jednostek 1 1/3 razy. Wynik to 16.

linia 5 Oblicz pierwiastek kwadratowy. Wynik to 4 dla długości oraz 1/2 1/4 z tego czyli 3 dla szerokości

W szóstej lini jest rysunek prostokąta z powierzchnią 12 wpisaną wewnątrz, 4 na górze oraz 3 na boku.

Egipski zapis opierał się na następujących hieroglifach powtarzanych wielokrotnie1 10 100 1000 10000 100000 100000

| 2 3 4 5 6 7

Rysunek 3. papirus Rhinda

Wersja wstępna z dnia: 9 czerwca 2015


Rozdział I. Podstawowe struktury algebraiczne 3

Egipcjanie używali wyłącznie ułamków “jednostkowych” z licznikiem jeden zapisywanym hieroglifem “usta”: r,

np. 1/5 jest zapisywana jakor|||||. Używano jeszcze ułamka 2/3, ponadto do zapisu danej liczby uzywano wyłącznie

różnych ułamków, stąd konieczność znajdowania przedstawień postaci 2/7 = 1/4 + 1/28.

Arytmetyka liczb wymiernych zajmowała znaczną część spośród 84 problemów omawianych w kolejnym słynnym

rękopisie zwanym Papirusem Matematycznym Rhinda. Papirus Rhinda został napisany ok. 1700BC przez skrybę Ah-

mesa, arytmetyka opiera się głównie na podwajaniu i dzieleniu na dwa (połowieniu). W tym rękopisie rozwiązywane są

równania liniowe z jedną niewiadomą metodą fałszywego rozwiązania (znajdujemy przybliżone rozwiązanie, a następ-

nie je skalujemy). Poza tym identyfikuje (zadanie 50) powierzchnię kwadratu o boku 8 z powierzchnią koła o średnicy

9, co daje przybliżenie π ≈ 4× (8/9)2 ≈ 3, 1605. Papirus Rhinda zawiera tablicę przedstawień 2/n dla n ¬ 101.

Znacznie młodszy papierus z Kairu (ok. 300BC) zawiera rozwiązanie układu równań kwadratowych, pokazuje, że

Egipcjanie znali trójkąty prostokątne (3; 4; 5), (5; 12; 13) oraz (20; 21; 29) (znali twierdzenie Pitagorasa).

Babilon: najstarsze zapiski matematyczne pochodzą z ok. 2100BC, są to gliniane tabliczki z zapiskami pismem

klinowym w systemie pozycyjnym o podstawie 60. Nie był to jednak czysty system sześdziesiątkowy, gdyż uzywano w

nim jedynie dwóch cyfr:

• : oznaczający 1

• : oznaczający 10

za pomocą których zapisywali liczby od 1 do 59, następnie z nich tworzyli liczby w systemie pozycyjnym. W Babilonie

nie używano cyfry 0 pozostawiając puste miejce – powodowało to problem końcowych zer, ich liczbe można było

odgadnąć jedynie z kontekstu. Balilończycy posługiwali się liczbami wymiernymi (skończone rozwinięcie).

Około 1900BC Babilończycy mieli dobrze rozwiniętą algebrę, umieli m.in. rozwiązywać równania kwadratowe

(dodatnie współczynniki i dodatnie rozwiązania). Jedna z tablic (Plimpton 322) zawiera wyrażenia z2/y2, x, z dla 15

trójek Pitagorejskich (m.in. 12709, 13500, 18541).

Inna tablca zawiera przybliżenie liczby√

2 ≈ 3054721600 (z błędem mniejszym od 10−6).

Grecja: System liczbowy greków opierał się na stosowaniu liter alfebetu na oznaczanie liczb od 1 do 9, następ-

nie wielokrotności 10 i 100, łąćznie 27 znaków (trzy ekstra znaki w porównaniu do zwykłego alfabetu), dalej dla

wielokrotności 1000, 10000, 100000 używali również liter ale z dodaną dolną lewą kreską (lewa keraja).

Matematyka grecka różniła się od egipskiej i babilońskiej odejściem od badania wyłącznie przykładów na rzecz

ogólnych problemów (dowód). Początkowo grecy przejęli algebrę od Egipcjan, póżniej (ok. 500BC) nauczyli się od

Persów Babilońskiej geometrycznej algebry.

Pitagoras (ok. 569 BC – 475 BC), wierzył, że każdy związek da się wyrazić przy pomocy liczb, wyprowadził

(udowodnił) pewne związki dla liczb, z drugiej strony odnosił sie do liczb z mistycyzmem (każda liczba ma swoją

osobowość: męska/żeńska, doskonała/niepełna, piękna brzydka).

Tyramidas (ok. 400BC–ok. 350BC), był Pitagorejczykiem, zajmował się m.in. liczbami pierwszymi (które nazywał

prostoliniowymi) oraz złożonymi (prostokątne). Rozwiązywał układy równań liniowych specjalnej postaci – kwiat

Tyramidasa x+ x1 + · · ·+ xn−1 = S

x+ x1 = a1

. . .

x+ xn−1 = an−1

Rozwiązaniem jest x = (a1 + · · ·+ an−1 − S)/(n− 2), pokazał, że pewne równania można sprowadzić do tej postaci.

Euklides z Aleksandrii (ok. 325BC – ok. 265BC) był jednym pierwszych i jednym z największych nauczycieli Mu-

zeum – nazywany ojcem geometrii, Jego najważniejszym dziełem są Elementy, 13 Ksiąg, co najmniej 467 Propozycji

zbudowanych z rygorystycznym przestrzeganiem zasad logicznych (twierdzenia mają dowody, problemy: konstrukcje



4 1. Historia

cyrklem i linijką). Elementy zawierają m.in. dowody elementarnych formuł algebraicznych (ks. II), własności pro-

pocji (ks. V) oraz propocji liczbowych (ks. VII), ciągi geometryczne (ks. VIII), elementarne własności liczb parzy-

stuch/nieparzystych, dowód nieskończoności liczb pierwszych (ks. IX), liczby niewymierne (Hippazos z Metapontu,

Pitagorejczyk), głównie prace Theaetetusa (ks. X), stereometria (ks. XI), długości, pola objętości okręgów, walców,

piramid, stożków, metoda wyczerpywania i dowód nie wprost (ks. XII), bryły Platońskie, dowód, że znanych wcześniej

pięć to jedyne (ks. XIII).

Księgi VIII i X poświęcone proporcjom zawierają algorytm Euklidesa i ułamki łańcuchowe.

Diofantos z Aleksandrii (ok. 200 – ok. 284), podobno żył 84 lata. zwany ojcem arytmetyki, najważniejszym dziełem

jest Arithmetica. Diofantos zmienił sposób zapisu matematycznego na pośredni między retorycznym a symbolicznym

– zapoczątkował używanie symboli na niewiadome. Arithmetica zawiera 189 problemów, głównie równań lub układów

równań (również z nieskończoną liczbą rozwiązań) ale zajmuje sie wyłącznie dodatnimi rozwiązaniami całkowitymi lub

wymiernymi: równania diofantyczne, aproksymacje diofantyczne.

Chiny: Chińska matematyka rozwinęła się od około wieku XIBC, chińczycy posługiwali się systemem pozycyj-

nym (dziesiętnym), znali system dwójkowy, mieli rozwinięte geometrię i algebrę. Była to matematyka nawiązująca

do babilońskiej, a nie greckiej, odzwierciedlając tradycję koncentrowała się za nagadnieniach praktycznych. Najstar-

szym znanym zabytkiem matematycznym jest Chiu-chang suan-shu (“Dziweięć rozdziałow sztuki matematycznej”)

ok. 200BC, autorem najprawdopodobniej jest Chang Tsang.

Rysunek 4. Dziewięć rozdziałów

Dzieło zawiera 246 zadań, Księga VII zawiera metodę regula falsi rozwiązywania równań, Ks. XVIII rozwiązywania

układów równań liniowych polegającą na eliminacji oraz wstecznym podstawianiu (tzw. metodę Gaussa), natomiats Ks.

IX dowód twierdzenia Pitagorasa. Najprawdopodobniej jest to najstarsze źródło, w którym dyskutuje się znaczenie

liczb ujemnych. Ponadto w Ks. I poświęconej obliczaniu pól, objętości wyznaczonych jest 6 cyfr liczby π (poprzez

badanie 3072–kąta foremnego), w ciągu kolenych kilku wieków chińscy matematycy wykazali się w tym wielką biegłością

(w V w. Tsu Ch’ing–chih zastąpił “błędną” wartośc 7/3 “poprawną” 355/113 – trzecie “najlepsze” przybliżenie).

Kulminacja matematyki chińskiej “Morskie (nefrytowe/cenne) lustro czterech elementów (niewiadomych)” (Si-

yuan yu-jian) napisane ok. 1303r. przez Zhu Shijie. Dzieło rozpoczyna trójkąt Pascala (z okrągłym symbolem 0),

zawiera szereg wzorów sumacyjnych (ciągów), ale przede wszystkim rozwiązywanie równań układów równań i równań

wielomianowych (nawet stopnia 14) przy pomocy odkrytej w 1819 roku metody Hornera.




“Traktat matematyczny w dziewięciu częściach” (Shu-shu chiu-chang) napisany przez Qin Jiushao około 1247r.

Składa się z IX Ksiąg, poza chińskim twierdzeniem o resztach (z efektywnym dowodem), równania liniowe nieoznaczone,

układy równań liniowych, metoda “Lin Long” (czyli Hornera).

Indie: W okresie między upadkiem matematyki greckiej a powstaniem matematyki muzułmańskiej centralne miej-

sce w rozwoju matematyki zajmowała matematyka hinduska. Najbardziej znanym wkładem w matematykę światową

jest dziesiętny system pozycyjny, używany obecnie na całym świecie.

Najstarszym znanym zabytkiem jest “Aryabhatiya” napisana w 499r. przez Aryabhatę (476–550), zawiera m.in.

ułamki łańcuchowe, równania kwadratowe, sumy szeregów potęgowych, tablice sinusów, rozwiązanie ułąmka liniowego

w liczbach całkowitych (opartą na metodzie rozdrabniania, de facto wykorzystującej algorytm Euklidesa).

Najważniejszym matematykiem hinduskim był Brahmagupta (598–670), autor m.in. “ Brahma Sphuta Siddhanta”

(Otwarcie/początek Wszechświata). W dziele tym rozwinięta jest arytmetyka z uwzględnieniem zera i liczb ujemnych

(co prawda uwzględnia mozliwość dzielenia przez 0), opisana jest metoda mnożenia liczb całkowitych w zapisie dzisięt-

nym (podobna do mnożenia pisemngo). Brahmagupta rozwiązuje w liczbach całkowitych równania postaci ax+ c = by

oraz ax2 + c = y2, jego metoda sprowadza się de facto do wykorzystania ułamków łańcuchowych. W szczególności

znajduje rozwiązanie x = 226153980, y = 1766319049 równania Pella 61x2 + 1 = y2 (jest to najmniejsze rozwiązanie).

Brahmagupta używa zapisu mieszanego.

Kontynuatorem Brahmagupty był Bhaskara II (1114–1185), znany głównie za pomocą ksiązki “Lilavati” napisanej

dla córki o imieniu Lilavati, a poświeconej arytmetyce.

Wielki Kalifat Islamski: Większość dzieł starożytnych, czy wczesnośredniowiecznych dostrwało do nas za po-

średnictwem arabskich tłumaczeń, rozwój matematyki muzułmańskiej wiąże się z istniejącym w latach 830–1258 Do-

mem mądrości w Bagdzadzie.

Najbardziej znanym jest wspomniany Al Khwarizmi, autor dwóch dzieł poświęconych arytmetyce i algebrze.

Pierwsze z nich zachowało sie tylko w łacińskim przekładzie “Algoritmi de numero Indorum” (czyli Al Khwarizmi o

hinduskiej sztuce liczenia), od tytułu łacińskiego pochodzi słowo algorism oznaczającego arytmetykę liczb w zapisie

hinduskim, i dalej słowo algorytm. Drugim ważnym dziełem było wspomniane “Kitab al–muhtasar fi hisab al-gabr

wa-l-muqabala”. Są to głównie tłumaczenia wcześniejszych dzieł indyjskich (ale zapisane w sposób wyłącznie opisowy).

Al Khwarizmi podaje szęść typów równań stopnia 1 lub 2 oraz opisuje sposób ich rozwiązywania.

Zasługą matematyków islamskich jest przeniesienie osiągnięć starożytnej matematyki greskiej do matematyki

europejskiej oraz wprowadzenie nowoczesnego zapisu indyjskiego (w 1299 władze Florencji zakazały stosowania ko-

mercyjnego zapisu arabskiego).

Leonardo z Pizy – Fibonacci: (1170–1250), jego najważniejszym dziełem jest “Liber Abaci” (1202) czyli

Księga Obliczeń (czasami mylnie tłumaczona jako Księga abakusa – starej wersji liczydla dla zapisu rzymskiego). Jest

to zapis arytmetyki i algebry poznanej przez Fibonacciego podczas jego podróży, Fibonacci używa bardzo dziwnego

zapisu ułamków. W części trzeciej Liber Abaci pojawia się problem, którego rozwiązaniem jest ciąg Fibonacciego.

Algebra zaczęła się ponownie rozwijać w okresie renesansu, Scipione del Ferro (1465–1526), Niccoló Tartaglia

(1499–1557), Girolamo Cardano (1501–1576) – autor Artis magnae sive de regulis algebraicis zw. Ars Magna (1545),

Lodovico Ferrari (1522–1565) podali metody rozwiązywania równań algebraicznych stopnia 3 i 4, wzory te, nawet w

przypadku pierwiastków rzeczywistychm wymagały stosowania liczb zespolonych.

Rafael Bombelli: (1526–1572), “L’Algebra” zawiera kurs liczb zespolonych, Bombelli stosował bardzo precyzyjny

zapis

Robert Recorde (ok. 1512–1558): wymyślił znak równości.



6 2. Struktury algebraiczne

Rysunek 5. Notacja Bombelliego

Francois Viete (1540–1603), wprowadził współczesną symbolikę algebraiczną, w szczególności jako pierwszy

używał liter nie tylko dla oznaczenia niewiadomych, ale również “ogólnych” współczynników w równaniach.

Rene Descartes, Kartezjusz (1596–1650), użycie algebry w geometrii (geometria kartezjańska), doprowadził

notację algebraiczną wo współczesnej postaci (małe litery z końca alfabetu to zmienne, z początku – stałe):

Pierre de Fermat (1601–1665) uważany za twórcę współczesnej teorii liczb (punktem wyjścia była Arithmetica

Diofantosa), poza fundamentalnymi wynikami (Małe Twierdzenie Fermata, tw. o dwóch kwadratach, równanie Pella)

jest “autorem” Wielkiego Twierdzenie Fermata odpowiedzialnego za rozwój algebry w następnych stuleciach.

Leonard Euler (1707–1783) o nim nie da się opowiedzieć krótko.

Rufini, Abel, Galois , Gauss, Wantzel, Cayley o nich będzie.

W XX w. nastąpiła całkowita zmiana pozycji algebry w matematyce, zostałą usankcjonowana przez założoną w

1935 r. grupę matematyków posługujących się pseudonimem Nicolas Bourbaki.

2. Struktury algebraiczne

Definicja I.1. Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

h : A×A −→ A

iloczynu kartezjańskiego A×A w zbiór A, czyli odwzorowanie przyporządkowujące parze elementów zbioru A element

tego zbioru.

Oprócz nazwy działanie wewnętrzne używana jest (m.in przez Bourbakistów) nazwa prawo składania, wartość

h(x, y) nazywa się wtedy złożeniem elementów x i y. Zbiór działaniem wewnętrznym (prawem składania) nazywamy

Magma lub grupoid (w teorii kategorii termin ten ma zupełnie inne znaczenie).

Poniższa tabelka zawiera przykłady działań znanych z arytmetyki

N N+ Z Q∗ Q+ Q R∗ R+ Rx+ y + + + + + + + + +x− y − − + − − + − − +x · y + + + + + + + + +x/y − − − + + − + + −xy + + − − + − − + −

Definicja I.2. Jeśli h : A×A −→ A jest działaniem wewnętrznym w A, to działanie wewnętrzne hopp : A×A 3

(x, y) 7→ hopp(x, y) := h(y, x) ∈ A nazywamy działaniem przeciwnym do h.

Jeśli (A, h) jest Magmą, to parę (A, h) nazywamy Magmą przeciwną.

Definicja I.3. Działanie h nazywamy łącznym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b, c ∈ A mamy

h(a, h(b, c) = h(h(a, b), c).




Lemat I.1. Działanie przeciwne do działania łącznego jest łączne.

Działanie łączne zwykle oznaczamy symbolem mnożenia (jeśli nie prowadzi to do nieporozumień to nazywamy je

mnożeniem).

Definicja I.4. Jeśli · : A× A −→ A jest działaniem wewnętrznym łącznym, to iloczyn x1 · · · · · xn n elementów

x1, . . . , xn zbioru A definiujemy indukcyjnie

• n = 1: x1 := x1,

• n = 2: x1x2 := x1 · x2,

• n > 2: x1 . . . xnxn+1 := (x1 . . . xn)xn+1

Lemat I.2. Jeśli · : A × A −→ A jest działaniem wewnętrznym łącznym, to dla dowolnych x1, . . . , xn ∈ A i do

wolnego 1 < k < n mamy x1 . . . xn = (x1 . . . xk)(xk+1 . . . xn).

To znaczy definiując iloczyn wielu elementów możemy nawiasy stawiać w sposób dowolny, gdybyśmy chcieli defi-

nować iloczyn wielu elementów w przypadku działania, które nie jest łączne MUSIMY wykonywać działania od prawej.

Będziemy stosować zapis x1 . . . xn =n∏k=1

xk.

Definicja I.5. Działanie wewnętrzne h : A× A −→ A nazywamy przemiennym, jeżeli dla dowolnych elementów

a, b ∈ A mamy

h(a, b) = h(b, a).

Działanie h jest przemienne wtedy i tylko wtedy gdy hopp = h.

Przykład I.3. Działanie wewnętrzne R× R 3 (x, y) 7→ 12 (x+ y) ∈ R jest przemienne, ale nie jest łączne.

Łączność działania oznacza, że wynik mnożenia trzech elementów nie zależy od kolejności w jakiej wykonujemy

mnożenie (kolejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wynik nie zależy od kolejności czynników.

Definicja I.6. Element e ∈ A nazywamy elementem neutralnym działania h, jeżeli dla dowolnego a ∈ A zachodzi

h(e, a) = h(a, e) = a.

Lemat I.4. Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny.

Dowód. Załóżmy, że e1 i e2 są elementami neutralnymi, wtedy

e1 = e1e2 = e2.

�

Definicja I.7. Element a′ ∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a ze względu na działanie h z elementem

neutralnym e, jeżeli

h(a, a′) = h(a′, a) = e.

Uwaga. Jeżeli a′ jest elementem odwrotnym do a, to a jest elementem odwrotnym do a′.

Lemat I.5. Jeżeli działanie h jest łączne to dowolny element a ∈ A ma co najwyżej jeden element odwrotny.

Dowód. Załóżmy, że a′ i a′′ są elementami odwrotnymi do a. Wtedy

a′ = a′e = a′(aa′′) = (a′a)a′′ = a′′.

�



8 2. Struktury algebraiczne

Lemat I.6. Jeżeli działanie h : A × A −→ A jest łączne, elementy a, b są odwracalne, to h(a, b) jest odwracalny.

Jeśli a′ (odp. b′) jest elementem odwrotnym do a (odp. b) to b′a′ jest odwrotny do ab.

Dowód. Musimy pokazać, że (ab)(b′a′) = (b′a′)(ab) = e. Na mocy łącznosści

(ab)(b′a′) = a(bb′)a′ = (ae)a′ = aa′ = e,

drugiej równości dowodzimy identycznie. �

Uwaga. Jeśli działanie jest zapisywane multyplikatywne, to element neutralny oznaczamy przez 1 natomiast

element odwrotny przez a−1. Jeżeli działanie jest zapisywane multyplikatywne, to element neutralny oznaczamy przez

0, natomiast element odwrotny (zwany wtedy przeciwnym), przez −a.

Definicja I.8. Jeśli działanie · : A×A −→ A jest łączne, a ∈ A, n ∈ Z+ to n–tą potęgę elementu a definiujemy

jako an := a · · · · · a︸︷︷︸n razy

.

Jeśli e jest elementem neutralnym działania, to definiujemy a0 = e.

Jeśli a ∈ A posiada element odwrotny, x ∈ Z− to definiujemy an := (a−1)−n.

Jeśli działanie zapisujemy w sposób addytywny, to potęgę nazywamy wielokrotnością i zapisujemy na := a+ · · ·+ a︸︷︷︸n razy

.

Lemat I.7. Równości

anam = an+m, an−m = an · ((am)−1), (an)m = anm

zachodzą zawsze, gdy wszystkie występujące wyrażenia mają sens.

Przykład I.8. Niech X będzie dowolnym zbiorem, przykładem działania lącznego w zbiorze A = XX =

Func(X,X) = {f : X −→ X} jest operacja składania odwzorowań. Jeżeli X jest zbiorem z dodatkową strukturą,

to zamiast zbioru eszystkich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę strukturę.

Przykłady, izometrie podzbioru płaszczyzny.

Przykładami naturalnego działania, które nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwektorowy w R3.

Przykładami działań, które są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna

(ćwiczenia).

Definicja I.9. Odwzorowanie grupoidów Φ : (A, h) −→ (A′, h′) nazywamy homomorfizmem, jeżeli dla dowolnych

x, y ∈ A zachodzi

Φ(h(x, y)) = h′(Φ(x),Φ(y)).

Homomorfizm Φ : A −→ A′ nazywamy monomorfizmem jeżeli odwzorowaniem Φ jest iniekcją,

epimorfizmem jeżeli odwzorowaniem Φ jest suriekcją,

izomorfizmem jeżeli odwzorowaniem Φ jest bijekcją (wtedy odwrotnej jest również homormofizmem),

endomorfizmem jeżeli A = A′,

automorfizmem jeżeli jest endomorfizmem i izomorfizmem.

Uwaga. Obraz elementu neutralnego działania przez dowolny homomorfizm nie musi być elementem neutralnym.

Lemat I.9. Jeżeli Φ; (A, h) −→ (A′, h′) jest epimorfizmem, e ∈ A jest elementem neutralnym h to Φ(e) jest

elementem neutralnym h′.

Lemat I.10. Niech Φ; (A, h) −→ (A′, h′) będzie homomorfizmem, e ∈ A elementem neutralnym h takim, że Φ(e)

jest elementem neutralnym h′. Jeśli y jest elementem odwrotnym do x to Φ(y) jest elementem odwrotnym do Φ(x).




Propozycja I.11. Jeśli h : A × A −→ A jest działaniem wewnętrznym, Φ : A′ −→ A jest bijekcją, to h′ :

A′ ×A′ −→ A′ określone wzorem

h′(x, y) := h(Φ(x),Φ(y))

jest (jedynym) działaniem w A′ takim, że Φ jest izomorfizmem.

Definicja I.10. Podzbiór B ⊂ A nazywamy zamkniętym ze względu na działanie wewnętrzne h : A × A −→ A

jeżeli h(B × B) ⊂ B. W zbiorze B zamkniętym względem działania h : A × A −→ A możemy wprowadzić działanie

indukowane hB := h|(B ×B) : B ×B −→ B.

Przykład I.12. Podzbiór N ⊂ Z nie jest zamknięty ze względu na odejmowanie.

Lemat I.13. Jeżeli B jest podzbiorem zamkniętym ze względu na działania struktury h : A× A −→ A, to odwzo-

rowanie włożenie (inkluzji)

i : B 3 x 7→ x ∈ A

jest homomorfzimem.

Uwaga. Jeżeli działania h w zbiorze A spełnia warunek przemienności, łączności, rozdzielności, to w działanie

indukowane te warunki również spełnia.

Element neutralny działania w A, jeżeli należy do B to jest elementem neutralnym działania indukowanego,

podobnie element odwrotny w A, jeżeli należy do B jest odwrotny w działaniiu indukowanym.

Element neutralny działania indukowanego w B nie musi być elementem neutralnym w A.

Jeżeli w A jest element neutralny należący do B, elementy x i y są odwrotne w B to są odwrotne w A.

Przykład I.14. Podzbiory B1 = N+, B2 = N są podzbiorami Z zamkniętymi za względu na dodawanie, B1 nie

ma elementu neutralnego, w B2 jest element neutralny, ale żaden element różny od neutralnego nie ma przeciwnego.

Lemat I.15. Niech Φ : A −→ A′ będzie homomorfizmem grupoidów.

(a) Jeżeli B ⊂ A jest pozbiorem zamkniętym A to zbiór Φ(B) jest zamknięty. W szczególności obraz Im(Φ) :=

Φ(A) ⊂ A′ jest podzbiorem B zamkniętym.

(b) Jeżeli B′ ⊂ A′ jest pozbiorem zamkniętym A′ to zbiór Φ−1(B′) jest zamknięty.

Uwaga. Jeżeli działania w A spełniają warunek przemienności, łączności, rozdzielności to odpowiadające im

działania w obrazie Φ(A) spełniają ten sam warunek.

Obraz elementu neutralnego działania w A jest elementem neutralnym odpowiadającego mu działania w Φ(A) (ale

na ogól nie jest elementem neutralnym w B). Jeżeli y jest elementem odwrotnym do x w A, to Φ(y) jest elementem

odwrotnym do Φ(x) w Φ(A). Jeżeli obraz elementu neutralnego w A jest elementem neutralnym w B, to również Φ(y)

jest odwrotny do Φ(x) w B.

Uwaga. W zasadzie żadne dobre własności nie przenoszą się z C na Φ−1(C).

Definicja I.11. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

g : F ×A −→ A

iloczynu kartezjańskiego F ×A w zbiór A, elementy zbioru F nazywamy operatorami.

Przykład I.16. Przykładem działania zewnętrznego jest mnożenie wektora przez skalar, inny przykład to mno-

żenie funkcji o wartościach rzeczywistych zadanych na danym zbiorze X przez liczby rzeczywiste

R× Func(X,R) 3 (r, f) 7−→ r · f ∈ Func(X,R).



10 3. Działania ilorazowe

Definicja I.12. Działanie zewnętrzne g : F ×A −→ A nazywamy rozdzielnym względem działania wewnętrznego

h : A×A −→ A jeżeli dla dowolnych elementów a, b ∈ A i dowolnego p ∈ F mamy

g(p, (h(a, b)) = h(g(p, a), g(p, b))

Działanie zewnętrzne g : F×A −→ A nazywamy łącznym względem lącznego działania wewnętrznego h : F×F −→

F jeżeli dla dowolnych elementów p, q ∈ F i dowolnego a ∈ A mamy

g(h(p, q), a) = g(p, g(q, a)).

Działania zewnętrzne g1 : F1 × A −→ A i g2 : F2 × A −→ A nazywamy przemiennymi, jeżeli dla dowolnych

p ∈ F1, q ∈ F2, a ∈ A mamy

g1(p, g2(q, a)) = g2(q, g1(p, a)).

Podobnie zbiór B nazywamy zamkniętym ze względu na działanie zewnętrzne g : F×A −→ A, jeżeli g(F×B) ⊂ B,

w zbiorze B możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane h|F ×B : F ×B −→ B.

3. Działania ilorazowe

Definicja I.13. Relację równoważnościR w zbiorze A nazywamy zgodną z działaniem wewnętrznym h : A×A −→

A jeżeli dla dowolnych a, b, a′, b′ ∈ A zachodzi

(a, a′) ∈ R, (b, b′) ∈ R ⇒ (h(a, b), h(a′, b′)) ∈ R.

Relację równoważności R w zbiorze A nazywamy zgodną z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A jeżeli dla

dowolnych a, a′ ∈ A, p ∈ F zachodzi

(a, a′) ∈ R ⇒ (g(p, a), g(p, a′)) ∈ R.

Jeżeli R jest relacją równoważnościową w A, to zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy przez A/R. Jeżeli relacja

R jest zgodna z działaniem wewnętrznym h : A×A −→ A, to w zbiorze klas abstrakcji A/R możemy określić działanie

wewnetrzne hR : A/R×A/R :−→ A/R za pomocą wzoru

hR([a], [b]) = [h(a, b)], dla dowolnych a, b ∈ A.

Podobnie jeżeli relacja R jest zgodna z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A, to na zbiorze klas abstrakcji

A/R możemy określić działanie zewnetrzne gR : F ×A/R :−→ A/R za pomocą wzoru

gR(p, [a]) = [g(p, a)], dla dowolnych p ∈ F, a ∈ A.

Propozycja I.17. Działania ilorazowe sa poprawnie określone.

Dowód. Należy sprawdzić niezależność od wyboru reprezentantów. Dla działania wewnętrznego, niech [a] =

[a′] oraz [b] = [b′]. Wtedy mamy (a, a′) ∈ R oraz (b, b′) ∈ R, ze zgodnośc relacji z działaniem otrzymujemy

(h(a, b), h(a′, b′)) ∈ R czyli [h(a, b)] = [h(a′, b′)], co mieliśmy udowodnić. �

Przykład I.18. Relacja R := {(a, b) ∈ Z : a ≡ b mod n} jest relacją równoważności zgodną z dodawaniem,

strukturę ilorazową oznaczamy Zn (reszty modulo n z dodawaniem).

Propozycja I.19. Jeżeli h : A×A −→ A jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A, R jest zgodną z nim relacją

równoważności to odzworowanie ilorazowe A 3 a 7−→ [a] ∈ A/R jest epimorfizmem (A, h) −→ (A/R, hR).




Jeśli F : A −→ B jest odwzorowaniem, R jest relacją w B, to F ∗R := (F × F )−1(R) jest relacją w A taką, że

x(F ∗R)y ⇔ F (x)RF (y).

Jeżeli R jest relacją równoważności, to F ∗R również.

W szczególności, jeśli ∆B := {(x, y) ∈ B ×B : x = y} jest przekątną w B (identycznością na B), to

Ker(F ) := {(x, y) ∈ A×A : f(x) = f(y)}

jest relacją równoważności w A zwaną jądrem B, odwzorowanie

A/Ker(F ) 3 [x] 7→ F (x) ∈ B

jest iniekcją (czyli bijekcją A na obraz F (A)).

Jeżeli R jest relacją równoważności w A, ψ : A −→ A/R jest naturalnym rzutowaniem, to R = Ker ψ.

Jeżeli F : (A, hA) −→ (B, hB) jest homomorfizmem, R relacją równoważności zgodną z hB to F ∗R jest relacją

równoważności zgodną z hA.

Twierdzenie I.20 (Pierwsze twierdzenie o izomorfiźmie). Dla dowolnego homomorfizmu grupoidów F : A −→ B

relacja Ker(F ) := {(x, y) ∈ A×A : f(x) = f(y)} jest zgodna z działaniami oraz naturalane odwzorowanie

B/Ker(F ) −→ Im(F )

jest izomorfizmem.

4. Grupy

Definicja I.14. (1) Półgrupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym.

(2) Monoidem nazywamy półgrupę, która zawiera element neutralny.

(3) Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element posiada element odwrotny.

(4) Grupą przemienną (abelową) nazywamy grupę, w której działanie jest przemienne.

Przykład I.21. (1) Zbiór liczb całkowitych (odp. wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) z działaniem doda-

wania jest grupą.

(2) Zbiór Q+, (odp. Q∗,R+,R∗,C+,C∗) jest grupą z mnożeniem.

(3) Zbiór Zn reszt modulo n z dodawaniem jest grupą.

(4) Zbiór Z∗n reszt modulo n względnie pierwszych z n jest grupą z mnożeniem.

(5) Zbiór bijekcji Bij(X) zbioru X na siebie jest grupą ze składaniem.

(6) Zbiór permutacji Σn zbioru n-elementowego jest grupą z mnożeniem. Grupa symetryczna. Uwaga Σn =

Bij({1, . . . , n}).

(7) Zbiór Dn symetrii n–kąta foremnego (oznaczany Dn, czasammi D2n), jest grupą ze składaniem zwaną grupą

gihedralną.

Uwaga. Grupa D2 składa się z czterech elementów, identyczności E, dwóch symetrii osiowych H,V i symetrii

środkowej C. Działanie w tej grupie zapisujemy przy pomocy następującej tabelki Cayleya.

E H V C

E E H V C

H H E C V

V V C E H

C C V H E

Grupa D2 jest symetryczna i jest izomorficzna z tzw. grupą czwórkową (ViererGruppe) Kleina. Grupy Dn są (dla

n 3) nieprzemienne.



12 5. Pierścienie i ciała

Uwaga. Zwykle będziemy oznaczać działanie w grupie sybolm mnożenia, element neutralny symbolem e, nato-

miast element odwrotny symbolem a−1. Tam gdzie możeme to prowadzić do nieporozumień będziemyu pisać ·G oraz

eG.

Twierdzenie I.22. Niech G będzie skończoną grupą przemienną, n = #G i niech a ∈ G. Wtedy an = 1.

Dowód. Niech G = {g1, . . . , gn}, Wtedy ciąg ag1, . . . , agn jest permutacją ciągu g1, . . . , gn, a zatem

g1 . . . gn = (ag1) . . . (agn) = ang1 . . . gn

i ostatecznie

an = 1.

�

5. Pierścienie i ciała

Definicja I.15. Pierścieniem nazywamy układ (R,+, ·) złożony ze zbioru R i dwóch działań wewnetrznych w R

(zwanych dodawaniem i mnożeniem) spełniający następujące warunki

• (R,+) jest grupą abelową,

• x(yz) = (xy)z dla dowolnych x, y, z ∈ R,

• x(y + z) = xy + xz dla dowolnych x, y, z ∈ R,

• (x+ y)z = xz + yz dla dowolnych x, y, z ∈ R.

Lemat I.23. Jeżeli R jest pierścieniem, to

• 0x = x0 = 0,

• (−x)y = x(−y) = −(xy).

• (−x)(−y) = (xy).

Definicja I.16. Element a 6= 0 pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera jeżeli istnieje b ∈ R \ 0 taki, że ab = 0.

Pierscień R nazywamy przemiennym jezeli ab = ba dla dowolnych a, b ∈ R.

Pierscień R nazywamy pierścieniem z jedynką jeżeli istnieje element neutralny 1 ∈ R mnożenia.

Element a ∈ R pierścienia z jedynką nazywamy odwracalnym jeżeli istnieje element a−1 ∈ R taki, że aa−1 =

a−1a = 1.

Pierścieniem całkowitym nazywamy niezerowy pierścień przemienny z jedynką i bez dzielników zera.

Pierścieniem z dzieleniem nazywamy pierścień z jedynką, w którym kazdy element różny od zera jest odwracalny.

Ciało jest to pierścień przemienny z dzieleniem, tzn. (R \ 0) jest grupą abelową.

Przykład I.24. Następujące zbiory (z naturalnymi) działaniami są pierścieniami

Z, Zn, Mn×n(C), 2Z, Z[X], Q[X], R[X], C[X].

Z[√

2] = {a+ b√

2, a, b ∈ Z}

Z[i] = {a+ bi, a, b ∈ Z}

Następujące zbiory sa z naturalnymi działaniami ciałem

R,C,Q, Zp (p liczba pierwsza),

Q[√

2] = {a+ b√

2, a, b ∈ Q}

Q[ 3√

2] = {a+ b 3√

2 + c 3√

4, a, b, c ∈ Q}

Q[√

2,√

3] = {a+ b√

2 + c√

3 + d√

6, a, b, c, d ∈ Q}

Propozycja I.25. Zbiór R∗ elementów odwracalnych pierścienia z jedynką R jest grupą (ze wzgledu na mnożenie).




Dowód. Na mocy lematu mnożenie w zbiorze elementów odwracalnych pierścienia jest działaniem wewnętrznym,

ponieważ element neutralny jest odwracalny, więc R∗ posiada element neutralny. Ponieważ (a−1)−1 = a dla dowolnego

a ∈ R∗, więc R∗ jest grupą. �

Propozycja I.26. Pierścień skończony bez dzielników zera jest pierścieniem z dzieleniem. Skończony pierścien

całkowity jest ciałem.

Dowód. Dla danego a ∈ R∗ odwzorowanie R∗ 3 b 7→ ab ∈ R∗ jest iniekcją zbioru skońćzonego w siebie, więc jest

surjekcją, a zatem istnieje b ∈ R∗ ta.że ab = e, podobnie istnieje b′ ∈ R∗ taki, że b′a = e. Wtedy b = eb = (b′a)b =

b′(ab) = b′e = b′. �

Uwaga. Element a ∈ R nie jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi dla niego prawo skracania,

tzn. ab = ac⇒ b = c oraz ba = ca⇒ b = c.

6. Moduły, przestrzenie wektorowe, algebry

Definicja I.17. Lewym modułem nad pierścieniem z jedynkąR (lewymR–modułem) nazywamy układ (M,R,+, ·)

złożony ze zbioru M , działania wewnętrznego + : M×M −→M zadającego na M struktuę grupy abelowej i działania

zewznętrznego · : A×M −→M spełniający następujące warunki

• r(u+ v) = ru+ rv, dla dowolnych r ∈ R, u, v ∈M ,

• (r + s)v = rv + sv, dla dowolnych r, s ∈ R, v ∈M ,

• (rs)v = r(sv), dla dowolnych r, s ∈ R, v ∈M ,

• 1 · v = v, dla dowolnego v ∈M (1 jest jedynką pierścienia R).

Jeżeli zamiast warunku

• (rs)v = r(sv), dla dowolnych r, s ∈ R, v ∈M ,

zażądamy warunku

• (sr)v = r(sv), dla dowolnych r, s ∈ R, v ∈M ,

to otrzymamy definicję lewego R–modułu.

Definicja I.18. Lewy i prawy R–moduł nazywamy R–modułem.

Uwaga. Moduł nad ciałem nazywamy przestrzenią wektorową.

Definicja I.19. Algebrą nad pierścieniem przemiennym R nazywamy R–moduł A z dodatkowym działaniem

A×A 3 (x, y) 7→ xy ∈ A spełniającym następujące dwa dodatkowe warunki

• (rozdzielność mnożenia względem dodawania) (u+ v)w = uw + vw oraz u(v + w) = uv + uw dla dowolnych

u, v, w ∈ A,

• r(uv) = (ru)v = u(rv) dla dowolnych r ∈ R, u, v ∈ A.

Uwaga. Dla dowolnego działania definiujemy działanie odwrotne (dualne, ang. opposite)

hop(x, y) := h(y, x),

Dla pierścienia R określamy pierścień odwrotny

R(+, ·)op := R(+, ·op)

Wtedy lewy moduł nad pierścieniem R jest to prawy moduł nad pierścieniem Rop.



14 7. Zbiór licb naturalnych

7. Zbiór licb naturalnych

Aksjomaty Peano

(P1) zero jest liczbą naturalną (0 ∈ N),

(P2) każda liczba naturalna ma jedyny następnik (s : N −→ N jest funkcją),

(P3) zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej (0 6∈ s(N)),

(P4) liczby o równych następnikach są równe (s jest iniekcją, ∀n,m ∈ N : s(n) = s(m)⇒ n = m),

(P5) zbiór, który zawiera zero i wraz z dowolną liczbą naturalną zawiera jej następnik jest równy całemu zbiorowi

liczb naturalnych (∀X ⊂ N : (0 ∈ X, (∀n ∈ N : n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X)⇒ X = N)).

Na wykładzie ze wstępu do matematyki aksjomaty Peano były podane w 1trochę innej ale równoważnej postaci. Dowód

istnienia zbioru liczb naturalnych (czyli zbioru spełniającego aksjomaty Peano) jest kwestią przyjętej aksjomatyki teorii

mnogości. Na gruncie aksjmatów Zermelo-Fraenkela (AZF).

Jako zbiór liczb naturalnych (spełniający aksjomaty Peano) możemy przyjąć najmniejszą nieskończoną liczbę

porządkową ω (lub najmniejszy nieskończony typ porządkowy). Łatwo jest natomiast dowieść jednoznaczności zbioru

liczb naturalnych,

Twierdzenie I.27. Jeżeli N, 0, s oraz N′, 0′, s′ spełniają aksjomaty Peano, to istnieje jedyna bijekcja

Φ : N −→ N′ taka, że Φ(0) = 0′ oraz Φ(s(n)) = s′(Φ(n)).

Dowód opiera się na definiowaniu indukcyjnym.

Własności zbioru liczb naturalnych:

(1) Istnieje jedyne działanie dodawania liczb naturalnych

+ : N× N −→ N

spełniające następujące warunki

• dla dowolnego x ∈ N mamy

x+ 0 = x

• dla dowolnych x, y ∈ N mamy

x+ s(y) = s(x+ y)

(2) (łączność) dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi x+ (y + z) = (x+ y) + z,

(3) Dla dowolnych x, y ∈ N mamy s(x) + y = x+ s(y).

(4) przemienność

x+ y = y + x.

(5) Dla dowolnych x, y ∈ N istnieje z ∈ N takie, że x = y + z lub x+ z = y.

(6) Relacja w N określona

x ¬ y ⇔ ∃z ∈ N : x+ z = y.

jest liniowym porządkiem

(7) Dla dowolnych x, y, z ∈ N mamy x ¬ y ⇔ x+ z ¬ y + z.

(8) 0 jest elementem najmniejszym N

(9) Zbiór N nie ma elementu największego.




(10) (zasada minimum) Dowolny niepusty podzbiór N ma element najmniejszy.

(11) (x ¬ y)⇒ (s(x) ¬ s(y))

(12) Istnieje jedyne działanie mnożenia liczb naturalnych

· : N× N −→ N

spełniające następujące warunki

• dla dowolnego x ∈ N mamy

x0 = 0

• dla dowolnych x, y ∈ N mamy

xs(y) = xy + x

(13) 0x = 0,

(14) s(x)y = xy + y

(15) (przemienność) dla dowolnych x, y ∈ N zachodzi xy = yx,

(16) (rozdzielność) dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi x(y + z) = xy + xz

(17) (łączność) dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi x(yz) = (xy)z,

(18) (prawo skracania dodawania) (x+ y = x+ z)⇒ y = z

(19) (prawo skracania mnożenia) (xy = xz, x 6= 0)⇒ y = z

W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, a nie są wykonalne odejmowania i

dzielenia.

8. Liczby całkowite

W zbiorze N× N wprowadzamy relację (a, b) ∼ (c, d) wtedy i tylko wtedy gdy a+ d = b+ c.

W zbiorze Z := N× N/ ∼ wprowadzamy działania

• + : (a, b)× (c, d) 7→ (a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d),

• · : (a, b)× (c, d) 7→ (a, b)(c, d) := (ac+ bd, ad+ bc)

Działania te są poprawnie określone gdyż zachodzą następujące własności

(a, b) ∼ (a′, b′), (c, d) ∼ (c′, d′)⇒ (a+ c, b+ d) ∼ (a′ + c′, b′ + d′)

(a, b) ∼ (a′, b′), (c, d) ∼ (c′, d′)⇒ (ac+ bd, ad+ bc) ∼ (a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′)

Wyróżniamy dwie liczby całkowite 0 = (0, 0) i 1 = (1, 0), liczbą przeciwną do liczby całkowitej (a, b) nazywamy liczbę

−(a, b) = (b, a).

Twierdzenie I.28. Zbiór liczb całkowitych z powyżej zdefiniowanymi działaniami oraz elementami 0 i jest pier-

ścieniem całkowitym.

Odwzorowanie i : N 3 n 7→ (n, 0) ∈ Z jest iniekcją taką, że

i(n) + i(m) = i(n+m)

i(n)i(m) = i(nm.)

Z dokładnością do tej funkcji możemy traktować zbiór liczb naturalnytch jako podzbiór zbioru liczb całkowitych.



16 9. Liczby wymierne

Uwaga. Nie istnieje taka liczba całkowita m, że 2m = 1 (gdyby m = (a, b), to mielibyśmy 2m = (2a, 2b) ∼ (1, 0),

czyli 2a = 2b+ 1. Stą a > b oraz a < b+ 1 - sprzeczność).

W zbiorze liczb całkowitych wprowadzamy relację porządku liniowego

(a, b) < (c, d)⇔ a+ d < b+ c.

Twierdzenie I.29. Zbiór liczb całkowitych Z jest jedynym (z dokładnością do izomorfizmu) pierścieniem całko-

witym zawierającym zbiór liczb naturalnych N (ze zgodnymi działaniami) takim, że

∀n ∈ Z : n ∈ N lub − n ∈ N.

Uwaga. Drugi warunek twierdzenia oznacza, że N ∪ (−N) = Z. Mamy ponadto N ∩ (−N) = {0}.

Propozycja I.30. Porządek w zbiorze liczb całkowitych spełnia następujące warunki

a ¬ b, c ¬ d⇒ a+ c ¬ b+ d

a ¬ b, 0 ¬ c⇒ ac ¬ bc

9. Liczby wymierne

W zbiorze Z× Z∗ (gdzie Z∗ = Z \ {0}) wprowadzamy relację równoważności (a, b) ∼ (c, d)⇔ ad = bc.

Zbiór liczb wymiernych definiujemy jako iloraz Q := Z× Z∗/ ∼ z działaniami zdefiniowany następująco

• + : (a, b)× (c, d) 7→ (a, b) + (c, d) := (ad+ bc, bd),

• · : (a, b)× (c, d) 7→ (a, b)(c, d) := (ac, bd).

W zbiorze liczb wymiernych wyróżniamy element 0 = [(0, 1)] oraz 1 = [(1, 1)]. Dla dowolnej liczby wymiernej [(a, b)]

definiujemy liczbę przeciwną

−[(a, b)] := [(−a, b)],

dla dowolnej liczby wymiernej różnej od zera definiujemy liczbę wymierną odwrotną

[(a, b)]−1 := [(b, a)].

Dodawanie i mnożenie są działaniami dwuargumentowymi, natomiast branie elementu odwrotnego i przeciwnego

jednoargumentowymi. Powyższe działania są poprawnie określone, to znaczy ich definicja nie zależy od wyboru repre-

zentanta klasy abstrakcji (ćw).

Twierdzenie I.31. Zbiór liczb wymiernych z wyżej określonymi działaniami oraz elementami 0 i 1 jest ciałem.

W zbiorze liczb wymiernych wprowadzamy relację

[(a, b)] ¬ [(c, d)]⇔ (ad− bc)bd ¬ 0.

Propozycja I.32. Relacja ¬ jest relacją liniowego porządku w zbiorze liczb wymiernych spełniającą następujące

warunki (ciało uporządkowane)

(1) a b⇔ a+ c b+ c dla dowolnych a, b, c ∈ Q,

(2) a b, c 0⇒ ac bc.




Odwzorowanie

j : Z 3 n 7→ (n, 1) ∈ Q

jest monomorfizmem (iniekcją zachowującą działania), to znaczy

j(a) + j(b) = j(a+ b)

j(a)j(b) = j(ab)

j(0Z) = 0Q

j(1Z) = 1Q.

Ponadto odwzorowanie j zachowuje porządek

a ¬Z b⇔ j(a) ¬Q j(b).

Uwaga. Odzworowanie, dla którego zachodzi implikacja w prawo powyżej nazywamy (słabo)–rosnącym.

Możemy więc utożsamiać zbiór liczb całkowitych z podzbiorem liczb wymiarnych. W szczególności niech 0 :=

(0, 1), 1 := (1, 0)

Twierdzenie I.33. Zbiór liczb wymiernych Q jest jedynym ciałem takim zawierającym pierścień liczb całkowitych

(jako podpierścień) i takim, że dla dowolnego q ∈ Q istnieje n ∈ N+ takie, ze nq ∈ Z.

Uwaga. Konstrukcje N 7→ Z oraz Z 7→ Q są w pewnym sensie analogiczne.

Uwaga. Nie istnieje liczba wymierna q taka, że q2 = 2.

10. Liczby rzeczywiste

Konstrukcja ciała liczb rzeczywistych jest bardziej skomplikowana: albo przez przekroje Dedekinda, albo przez

ciągi Cauchy’ego.

Twierdzenie I.34. Ciało liczb rzeczywistych to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) ciało uporządkowane

gęste ciągłe.

Ciało liczb rzeczywistych jest ciałem archimedosowym

Propozycja I.35 (Aksjomat Archimedesa). Jeżeli x ∈ R, y ∈ R oraz x > 0 to istnieje dodatnia liczba całkowita

n taka, że

nx > y.

Propozycja I.36. Porządek w zbiorze liczb rzeczywistych posiada następujące własności

(1) x 0⇔ ∃y ∈ R : x = y2.

(2) x21 + · · ·+ x2n 0 dla dowolnych x1, . . . , xn ∈ R,

(3) jeśli x21 + · · ·+ x2n = 0 to x1 = · · · = xn = 0.



18 11. Liczby zespolone

11. Liczby zespolone

W zbiorze liczb rzeczywistych nie można rozwiązać równań kwadratowych z ujemnym wyróżnikiem. Problem ten

stał się szczególnie dotkliwy po odkryciu przez Tartaglię w 1535 roku wzorów Cardano na rozwiązywanie równań

trzeciego stopnia. Tzw. przypadek nieprzywiedlny (casus irreducibilis) czyli przypadek rozwiązania równania stopnia

3 mającego trzy pierwiastki rzeczywiste (a więc np. gdybyśmy chcieli rozwiązać stosując wzory Cardano równanie

x3 − x = 0, x = −1, 0, 1) wymaga rozwiązania równania kwadratowego o ujemnym wyróżniku. Aby temu zaradzić

wprowadzono liczby zespolone przez dołączenie tzw. jednostki urojonej (i2 = −1, potocznie “pierwiastek kwadratowy

z −1), pierwszy “systematyczny wykłąd” liczb zespolonych podał Raphaelo Bombelli w traktacie L’Algebra (1557-60),

a więc w czasie gdy liczby ujemne nie były jeszcze powszechnie akceptowane przez matematyków.

Definicja I.20. Zbiór liczb zespolonych C to zbiór par liczb rzeczywistych R2 z następującymi działaniami

+ : ((a, b), (c, d)) 7→ (a+ c, b+ d)

· : ((a, b), (c, d)) 7→ (ab− cd, ad+ bc)

Propozycja I.37. Zbiór liczb zespolonych z wyżej określonymi działaniami jest ciałem.

Propozycja I.38. Odwzorowanie

j : R 3 a 7→ (a, 0) ∈ C

jest monomorfizme.

Korzystając z powyższej iniekcji będziemy utożsamiać zbiór liczb rzeczywistych z podzbiorem zbioru liczb zespo-

lonych (zamiast (a, 0) będziemy pisać a).

Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną (łac. imaginarius) i oznaczamy i, spełnia ona warunek i2 = −1.

Propozycja I.39. Dla dowolnej liczby zespolonej (a, b) ∈ C mamy

(a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a+ bi.

Propozycja I.40. W zbiorze liczb zespolonych C nie istnieje porządek zgodny z działaniami.

Dowód. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że taki porządek istnieje. Ponieważ 12 = 1, więc 1 > 0. Ponieważ

i2 = −1, więc −1 > 0. Ostatecznie 0 = 1 + (−1) > 0, sprzeczność. �

Definicja I.21. Częścią rzeczywistą liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Re z := a. Częścią

urojoną liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Im z := b.

Definicja I.22. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę z := (a,−b). Modułem liczby

zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą |z| =√a2 + b2

Propozycja I.41.

(1) z · z = a2 + b2 = |z|2, dla z = a+ bi ∈ C,

(2) z1 + z2 = z1 + z2,

(3) z1z2 = z1z2,

(4) |z1z2| = |z1| · |z2|,

(5) |z1 + z2| ¬ |z1|+ |z2|,

(6) |z1 − z2| ||z1| − |z2||

Dowód. Ćwiczenia. �




Jeśli z ∈ C \ {0}, to a + bi := z|z| spełnia warunek a2 + b2 = 1, a zatem istnieje φ ∈ R t.że a = cosφ, b = sinφ.

Mamy więc z = |z|(cosφ+ i sinφ). Liczba φ jest wyznaczona z dokładnością do wielokrotności 2π.

Definicja I.23. Dowolną liczbę rzeczywistą φ taką, że

z = |z|(cosφ+ i sinφ)

nazywamy argumentem z. Zbiór argumentów liczby z oznaczamy przez arg(z). Argumentem głównym liczby z ∈ C\{0}

nazywamy jedyną liczbę rzeczywistą Arg(z) ∈ [0, 2π) ∩ arg(z).

Propozycja I.42 (Wzór de Moivre’a). Dla dowolnych liczb zespolonych w, z ∈ C zachodzi

arg(wz) = arg(w) arg(z).

Jeżeli z = |z|(cosφ+ i sinφ), w = |w|(cosψ + i sinψ) to

zw = |z||w|(cos(φ+ ψ) + i sin(φ+ ψ)).

Wniosek I.43. Dla dowolnej liczby zespolonej z = |z|(cosφ+ i sinφ) oraz dowolnej liczby całkowitej n ∈ Z mamy

zn = |z|n(cosnφ+ i sinnφ).

Wniosek I.44. Dla dowolnej liczby zespolonej z = |z|(cosφ+i sinφ) 6= 0 i dowolnej liczby całkowitej n 1 istnieje

dokładnie n różnych rozwiązań równania

wn = z

danych wzorem

wk = n√|z|(

cosφ+ 2kπ

n+ i sin

φ+ 2kπn

).

Propozycja I.45. Cało liczb zespolonych C jest algebrą nad ciałem liczb rzeczywistych R, odwzorowanie sprzężenia

C 3 z 7→ z ∈ C

jest automorfizmem (inwolucją) ciała C takim, że R jest jego zbiorem punktów stałych.

Twierdzenie I.46 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Wielomian f ∈ C[X] dodatniego stopnia posiada pierwiastek

zespolony.

Dowód (szkic). Niech M > 0 będzie dowolna liczbą dodatnia taką, że |f(0)| < M . Jeżeli f(z) = a0 + a1z +

. . . anzn, an 6= 0, to

|f(z)| = |an||z|n∣∣∣∣1 +

an−1zan

+an−2z2an

+ · · ·+ a0znan

∣∣∣∣ |an||z|n

(1− |an−1||z||an|

+|an−2||z|2|an|

+ · · ·+ |a0||z|n|an|

)więc istnieje R1 takie, że |f(z)| 12 |an||z|

n, dla |z| R1. Ponadto istnieje R2 takie, że 12 |an||z|n > M dla |z| R2.

Zatem |f(z)| > M dla |z| R = max{R1, R2}.

Funkcja |F (z) jest ciagła więc osiaga minumum na zbiorze zwartym K(0, R) w punkcie z0 ∈ K(0, R), jest to

minimum globalne funkcji |f(z)| na C.

Chcemy pokazac, że f(z0) = 0, przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że f(z0) 6=. Bezstraty ogólności (zastepując w

razie potrzeby f przez 1f(z0)

f(z+z0)) możemy przyjąć, że z0 = 0 i f(z0) = 1. Niech f(z) = 1 = akzk+ · · ·+anzn, (ak 6=

0), czyli f(z) = 1+akzk+zkg(z), gdzie g(0) = 0. Niech ζ ∈ C takie, że ζk = −ak. Wtedy f(rζ) = 1−rk(|ak|2−ζkg(rζ)).

Istnieje r0 > 0 takie, że dla r ∈ (0, r0) zachodzi |ζkg(rζ)| < 12 |ak|

2, a stąd f(rζ) < 1− 12 |ak|2, sprzeczność. �



20 12. Kwaterniony

12. Kwaterniony

Kwaterniony można zdefiniować jako pary liczb zespolonych, podobnnie jak definiowaliśmy liczby zespolone jako

pary liczb rzeczywistych.

Definicja I.24. Zbiór kwaternionów H jest to zbiór par liczb zespolonych C2 z działaniami

+ : ((a, b), (c, d)) 7→ (a+ c, b+ d)

· : ((a, b)(c, d)) 7→ (ac− bd, ad+ bc)

Sprzężeniem kwaternionu (a, b) nazywamy kwaternion (a, b) := (a,−b).

Normą kwaternionu z nazywamy liczbę rzeczywistą |z| =√zz.

Propozycja I.47. Kwaterniony tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem.

Liczby zespolone są parami liczb rzeczywistych, można więc traktować kwaterniony jako czwórki liczb rzeczywi-

stych, jeśli a = (p, q), b = (r, s), to (a, b) = (p, q, r, s). Przyjmując oznaczenia (UWAGA: nie należy pomylić rzeczywi-

stegi i zespolonego i)

i := (0, 1, 0, 0)

j := (0, 0, 1, 0)

k := (0, 0, 0, 1)

Mamy wtedy

i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.

Lemat I.48. Odwzorowanie

φ : C 3 z 7→ (z, 0) ∈ H

jest iniekcją taką, że

• φ(z1 + z2) = φ(z1) + φ(z2),

• φ(z1z2) = φ(z1)φ(z2),

• φ(−z) = −φ(z),

• φ(z−1) = φ(z)−1,

• φ(z) = φ(z).

A zatem możemy utożsamiać zbiór liczb zespolonych z podzbiorem zbioru kwaternionów, w ten sposób znika

problem z “myleniem i zespolonym i kwaternionowym”, a każdy kwaternion możemy zapisać w postaci

z + wj.

Ćwiczenie 1. Wyznaczyć iloczyn kwaternionów we współrzędnych rzeczywistych, tzn wyliczyć

(x1 + x2i+ x3j + x4k)(y1 + y2i+ y3j + y4k).

wyprowadzić wzór czterech kwadratów (Eulera).

Ćwiczenie 2. Wyznaczyć wszystkie kwaterniony spełniające równanie

z2 + 1 = 0.

Jeżeli z = (x1, x2, x3, x4) ∈ H jest kwaternionem, to x1 nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast x2, x3, x4 ∈ R3

częścią wektorową. Wektory w R3 możemy więc traktować jako kwaterniony o zerowej części skalarnej.




Ćwiczenie 3. Jeżeli p, q ∈ R3 to ich iloczyn skalarny p· jest równy częśći rzceywistej następujących kwaternionów

pq, pq, qp, qp,

a zatem

p · q =12

(pq + qp) =12

(pq + qp).

Części wektorowe iloczynów kwaternionowych pq i −qp są równe iloczynowi wektorowemu p× q wektorów p i q,

p× q =12

(pq − qp).

Dla dowolnych kwaterninów p = ps + ~pv, q = qs + ~qv (ps, qs są częściami skalarnymi, natomiast ~pv, ~qv częściami

wektorowymi) mamy

pq = psqs − ~pv · ~qv + ps~qv + qs~pv + ~pv × ~qv.

Ćwiczenie 4. Dwa kwaterniony p, q są przemienne (tzn. pq = qp) wtw gdy ich części wektorowe są równoległe

(tzn. istnieją (α, β) ∈ R2 \ {0} takie, że α~pv + β~qv = 0).

Ćwiczenie 5. Niech u = (x, y, z) ∈ R3 będzie wektorem jednostkowym, α dowolnym kątem. Przyjmijmy

q = (cosα

2, sin

α

2x, sin

α

2y, sin

α

2z).

Wtedy dla dowolnego wektora v ∈ R3 (traktowanego jako kwaternion o zerowej części skalarnej) iloczyn kwater-

nionowy

qvq−1

ma zerową część skalarną, a jako wektor w R3 jest równy obrotowi v o kąt α wokół osi u.

13. Oktoniony i sedoniony

W podobny sposób w zbiorze par kwaternionów wprowadzamy operacje dodawania i mnożenia (dla a, b ∈ H)

+ : ((a, b), (c, d)) 7→ (a+ c, b+ d)

· : ((a, b)(c, d)) 7→ (ac− db, da+ bc)

Propozycja I.49. Zbiór O = H2 z tak określonymi działaniami spełniają warunki łączności i przemienności

dodawania oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania, mnożenie nie jest ani łączne ani przemienne.

Oktoniony tworzą przestrzeń wektorową rzeczywistą wymiaru 8, jeśli stosownie wybierzemy bazę {1, e1, e2, . . . , e7},

to mnożenie możemy zapisać przy pomocy diagramu z wykorzystaniem tzw. płaszczyzny Fano.

Powyższy zapis oznacza, że• 1 jest elementem neutralnym mnożenia,• e2i = −1,• jeśli wierzchołki i, j, k są kolejne zgodnie z kierunkiem strzałek, toeiej = ek, ejei = −ek, np. e1e2 = e4.



22 15. Sedeniony

14. Konstrukcja Cayleya–Dicksona

Niech A będzie algebrą z inwolucyjnym automorfizmem liniowym

∗ : A 3 x 7→ x∗ ∈ A

spełniającym warunek

(xy)∗ = y∗x∗

W zbiorze A×A wprowadzamy działania

(x, y) + (z, t) := (x+ z, y + t)

(x, y)(z, t) := (xz − t∗y, tx+ yz∗)

oraz inwolucję

(x, y)∗ = (x∗,−y).

Wtedy A × A z tak określonymi działaniami jest algebrą nad A mającą “o jedną dobrą własność mniej” niż algebra

A. Inwolucja na A×A spełnia ponadto warunek (xy)∗ = y∗x∗. Konstrukcja Cayleya–Dicksona daje kolejno:

• liczby rzeczywiste (R),

• liczby zespolone (C),

• kwaterniony (H — Hamilton, 1843),

• oktoniony, liczby Cayleya (O — Graves, 1843),

• sedeniony (S).

Twierdzenie I.50 (Frobenius). Jedynymi skończenie–wymiarowymi łącznymi R–algebrami z dzieleniem są R,C,H.

Twierdzenie I.51 (Hurwitz). Jedynymi skończenie–wymiarowymi unormowanymi R–algebrami z dzieleniem są

R,C,H,O.

15. Sedeniony

Z dodawaniem tworzy grupę przemienną, natomiast mnożenie nie jest ani łączne ani przemienne, dobrze zdefinio-

wana jest jedynie potęga.



ROZDZIAŁ II

Arytmetyka liczb całkowitych

1. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych

Definicja II.1. Mówimy, że liczba całkowita a dzieli liczbe całkowitą b (a | b) jeżeli istnieje liczba całkowita c

taka, że ac = b.

Definicja II.2. Wartością bezwzględną licby całkowitej c nazywamy liczbę naturalną |c| = max{−c, c}.

Jest to jedyna liczba naturalna taka, że c = |c| lub c = −|c|.

Lemat II.1. Dla dowolnych liczb całkowitych a | b wtw gdy |a| | |b|.

Relacja podzielności jest częściowym porządkiem w zbiorze liczb naturalnych.

Jeżeli a|b i b|a dla pewnych a, b ∈ Z, to a = ±b.

Dowód. Zauważmy, że jeśli a = 0 i a|b to oczywiście b = 0.

Możemy więc założyć, że a 6= 0, b 6= 0. Jeśli a|b i b|a, to a = c1b, b = c2a, stąd a = c1c2a i c1c2 = 1. Jeśli c1 > 1,

to c1c2 > 1 lub c1c2 < −1, podobnie jeśli c1 < 0. Zatem c1 = c2 = 1 lub c1 = c2 = −1. �

Lemat II.2. Jeżeli a|b i a|c, a, b, c ∈ Z to dla dowolnych x, y ∈ Z mamy a|bx+ cy

Propozycja II.3 (Twierdzenie o dzieleniu z resztą). Jeżeli a, b, b 6= 0 są liczbami całkowitymi, to istnieją jedyne

q, r ∈ Z takie, że a = bq + r oraz 0 ¬ r < |b|.

Dowód. Jedyność: jeśli p1, q1 oraz p2, q2 spełaniają powyższe warunki, to b|r1 − r2. Ponieważ 0 ¬ r1, r2 < |b|,

więc b = c(r1 − r2), gdzie c ∈ Z spełnia nierówność −1 < c < 1. Stąd c = 0, czyli r1 = r2 i ostatecznie q1 = q2.

Istnienie: zbiór X := {n ∈ Z : b | n − a} ∩ N jest niepusty. Niech r := minX. Musimy pokazać, że 0 ¬ r < |b|.

Jeśli r |b|, to r − |b| ∈ X oraz r − |b| < r, sprzeczność. �

Definicja II.3. Największym wspólnym dzielnikiem nwd(a1, . . . , an) liczb całkowitych a1, . . . , an nazywamy

największą liczbę całkowitą, która dzieli wszystkie ai, i = 1, . . . , n.

Lemat II.4. Największy wspólny dzielnik liczb a1, . . . , an istnieje wtedy i tylko wtedy gdy co najmniej jedna z nich

jest różna od zera.

Jeżeli a1 = · · · = an−1 = 0, an 6= 0, to nwd(a1, . . . , an) = |an|.

Jeżeli a1, . . . , an są liczbami całkowitymi, nie wszystkie równe zero, to

nwd(a1, . . . , an) = nwd(|a1|, . . . , |an|).

23


24 1. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych

Lemat II.5. Załóżmy, że liczby a1, . . . , an są całkowite i nie wszystkie równe zero. Oznaczmy przez X zbiór

X := {N ∈ Z : N = k1a1 + · · ·+ knan : dla pewnych k1, . . . , kn ∈ Z}

oraz

X+ := X ∩ Z+.

Wtedy

nwd(a1, . . . , an) := minX+

X = X+ ∪ (−X+) ∪ {0}

X = nwd(a1, . . . , an)Z oraz X+ = nwd(a1, . . . , an)Z+

Dowód. Równość X = X+ ∪ (−X+) wynika bezpośrednio z oczywistych równości X = (−X), 0 ∈ X, 0 6∈ X+.

Oczywiście ponieważ nie wszystkie ai są równe 0, więc X+ 6= ∅, niech e = k1a1 + · · ·+ knan := minX+.

Pokażemy, że e | ai, i = 1, . . . , n. Niech r będzie resztą z dzielenia ai przez e, wtedy r = ai − qe ∈ X oraz r < e,

więc r 6∈ X+, czyli r = 0 to znaczy e | ai. Z drugiej strony d := nwd(a1, . . . , an) dzieli każdą z liczb ai, więc dzieli

każdy element zbioru X, w szczególności d | e, a ponieważ d, e > 0, więc d ¬ e, z definicji największego wspólnego

dzielnika wnioskujemy, że d = e.

Inkluzje X ⊃ nwd(a1, . . . , an)Z oraz X+ ⊃ nwd(a1, . . . , an)N wynikają natychmiast z nwd(a1, . . . , an) ∈ X+ ⊂ X.

Dla dowodu, że dowolny element z e ∈ X dzieli się przez d rozważamy resztę z dzielenia e przez d (podobnie jak

poprzednio). �

Wniosek II.6. Dowolny wspólny dzielnik liczb a1, . . . , an dzieli ich największy wspólny dzielnik nwd(a1, . . . , an).

Wniosek II.7. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a1, . . . , an nie wszystkich równych 0, jest jedyną

liczbą naturalną d taką, że

• d|ai, i = 1, . . . , n

• dla dowolnej liczby całkowitej e jeżeli e|ai, i = 1, . . . , n i to e|d.

Twierdzenie II.8. Dla dowolnych liczb całkowitych a1, . . . , an nie wszystkich równych zero i dowolnej liczby

całkowitej e następujące warunki są równoważne

(1) nwd(a1, . . . , an)|e,

(2) istnieją liczby całkowite x1, . . . , xn takie, że e = a1x1 + · · ·+ anxn.

Wniosek II.9. Dla dowolnych liczb całkowitych a1, . . . , an nie wszystkich równych zero istnieją liczby całkowite

x1, . . . , xn takie, że

nwd(a1, . . . , an) = a1x1 + · · ·+ anxn.

Uwaga. Przedstawienie największego wspólnego dzielnika w postaci ax + by możemy otrzymać korzystając z

algorytmu Euklidesa.



Rozdział II. Arytmetyka liczb całkowitych 25

Algorytm Euklidesa Algorytm euklidesa umożliwia wyznaczanie największego wspólnego dzielnika przez wielo-

krotne dzielenie z resztą. Ponieważ nwd(a, b) = nwd(|a|, |b|), więc wystarczy rozważyć dwie liczby naturalne a b > 0.

Oznaczamy przez q1 iloraz a przez r1 resztę z dzielenia a przez b oraz przez q2 i r2 iloraz i resztę z dzielenia b

przez r1. Następnie postępujemy rekurencyjnie, qn i rn są ilorazem i resztą z dzielenia rn−2 przez rn−1.

Otrzymujemy ciąg równościa = q1b+ r1, 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + 0.

Twierdzenie II.10.

rn = nwd(a, b).

Lemat II.11. Jeśli a = qb+ r, to nwd(a, b) = nwd(b, r).

Dowód. Jeśli d = nwd(a, b), to d|a i d|b, więc d|r = a− qb. Stąd nwd(a, b)|nwd(b, r). Ponieważ r = a− qb, więc

nwd(b, r)|nwd(a, b) i ostatecznie nwd(a, b) = nwd(b, r). �

Dowód Twierdzenia. Stosując wielokrotnie lemat otrzymujemy

nwd(a, b) = nwd(b, r1) = nwd(r1, r2) = · · · = nwd(rn−1, rn) = nwd(rn, 0) = rn.

�

Propozycja II.12. Algorytm Euklidesa zadaje następujące rozwinięcie liczby wymiernej w skończony ułamek

łańcuchowy

q1 +1

q2 + . . . +1

qn +1

qn+1

Definicja II.4. Liczby całkowite a, b, a 6= 0 lub b 6= 0, nazywamy względnie pierwszymi jeżeli nwd(a, b) = 1.

Wniosek II.13. Niech a, b będą liczbami całkowitymi takimi, że a 6= 0 lub b 6= 0. Wtedy NWSR

(i) a i b są względnie pierwsze,

(ii) (d|a i d|b)⇒ d = ±1,

(iii) istnieją liczby całkowite x, y takie, że ax+ by = 1.

Propozycja II.14. Jeżeli a|c i b|c oraz nwd(a, b) = 1 to ab|c

Dowód. Istnieją liczby całkowite x, y takie, że ax+ by = 1 oraz p, q takie, że c = ap, c = bq. Wtedy

c = acx+ bcy = abqx+ abpy = ab(px+ qy).

�

Twierdzenie II.15. Jeżeli a, b, c ∈ Z, a|bc i nwd(a, b) = 1, to a|c.

Dowód. Z równości ax+ by = 1 wynika, że acx+ bcy = c. Ponieważ a|acx oraz a|bc, więc a|(acx+ bcy) = c. �



26 1. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych

Propozycja II.16. Równanie

ax+ by = k, (a, b ∈ Z)

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtw gdy d := nwd(a, b)|k.

Jeśli x0 i y0 są dowolnymi liczbami całkowitymi t.że

ax0 + by0 = d

to dowolne rozwiązanie równania jest dane przez

x =k

dx0 +

b

dt, y =

k

dy0 −

a

dt, t ∈ Z.

Lemat II.17. Dla dowolnych liczb całkowitych a1, . . . , an+1 (nie wszystkie a1, i = 1, . . . , n są równe zero) mamy

nwd(a1, . . . , an+1) = nwd(nwd(a1, . . . , an), an+1).

Dzięki temu możemy w analogiczny sposób rozwiązywać równania liniowe diofantyczne wielu zmiennych.

Propozycja II.18. Równanie

a1x1 + · · ·+ anxn = b, (a1, . . . , an, b ∈ Z)

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy gdy nwd(a1, . . . , an) | b.Jeśli rozwiązanie istnieje to wszystkie rozwiązania zależą od n− 1 niezależnych parametrów.

Dowód. Pierwsza część jest oczywista. Jeśli chodzi o drugą to zauważamy, dzieląc równanie stronami przez

nwd(a1, . . . , an) możemy założyć, że nwd(a1, . . . , an) = 1. Przenosząc anxn na prawą stronę mamy

a1x1 + · · ·+ an−1xn−1 = b− anxn.

Wtedy δ := nwd(a1, . . . , an−1) jest dzielnikiem b− anxn czyli istnieje xn+1 ∈ Z takie, że

anxn + δxn+1 = b.

Dla dowolngo rozwiązania xn, xn+1 powyższego równania wyznaczamy rozwiązania równania

a1x1 + · · ·+ an−1xn−1 = δxn+1.

W ten sposób wyznaczamy wszystkie rozwiązania. �

Przykład II.19. Rzwiązać w liczbach całkowitych równaia

4x+ 6y + 5z = 1.

Najpierw rozwiązujemy równanie

5z + 2t = 1

otrzymując

z = 1 + 2k, t = −2− 5k

a następnie

4x+ 6y = −4− 10k

czyli

2x+ 3y = −2− 5k.

Rozwiązaniem ostatniego równania jest

x = −4− 10k + 3l, y = 2 + 5k − 2l

i ostatecznie

x = −4− 10k + 3l, y = 2 + 5k − 2l, z = 1 + 2k.

Rozwiązanie to wygodniej jest zapisać w postaci−421

+ k

−1052

+ l

3−20




Uwaga. Jeśli mamy układ równań liniowych o współczynnikach całkowitych, mmożemy rozwiązać jedno i zapisać

rozwiązanie od n − 1 parametrów, redukujemy układ do układu z o jeden mniej równań i n − 1 zmiennych. Istnieje

lepszy sposób zwany postać normalna Smitha. Równanie

4x+ 6y + 5z = 1

zapisujemy w postaci

4(x1 − y − z) + 6y + 5z = 1

czyli

4x1 + 2y + z = 1.

Przyjmując x1 = k, y = l otrzymujemy z = 1− 4k− 2l. Wtedy x = x1 − y − z = k− l− (1− 4k− 2l) = −1 + 5k+ l i

ostatecznie

x = −1 + 5k + l, y = l, z = 1− 4k − 2l.

Algebraicznie oznacza to, że oprócz operacji wierszowych dopuszczamy również operacje kolumnowe. Ale nie

zezwalamy na mnożenie kolumny przez skalar różny od ±1.

Lemat II.20. Niech a, b ∈ Z+ będą dwiema liczbami całkowitymi dodatnimi. Wtedy największa liczba naturalna n

dla której nie istnieją liczby naturalne x, y ∈ Z+ takie, że ax+ by = n jest równa ab− a− b.

Dla n 3 analogiczne pytanie jest trudne.

Definicja II.5. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb całkowitych a1, . . . , an różnych od 0 nazywamy naj-

mniejszę dodatnią liczbę całkowitą N = nww(a1, . . . , an) taką, że ai|N dla i = 1, . . . , n.

Propozycja II.21. Jeżeli nwd(a, b) = 1, to nww(a, b) = |ab|

Dowód. Ponieważ a|nww(a, b) i b|nww(a, b), więc ab|nww(a, b). Z drugiej strony oczywiście nww(a, b) ¬ |ab|,

więc nww(a, b) = |ab|. �

Lemat II.22. Jeżeli d|a i d|b, d ∈ N, to dnwd(ad ,bd ) = nwd(a, b) oraz dnww(ad ,

bd ) = nww(a, b).

Wniosek II.23. Dla dowolnych liczb naturalnych a, b ∈ N, a, b 1 mamy nwd(a, b) nww(a, b) = ab.

Dowód. Niech d := nwd(a, b). Wtedy nwd(a, b) nww(a, b) = d2 nwd(ad ,bd ) nww(ad ,

bd ) = d2 ad

bd = ab. �



28 2. Liczby pierwsze

2. Liczby pierwsze

Definicja II.6. Liczbę naturalną nazywamy pierwszą, jeśli posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne. Liczbę

naturalną większą od1, która nie jest pierwsza nazywamy złożoną.

Twierdzenie II.24. Zbiór P liczb pierwszych jest niezkończonych.

Dowód Euklidesa. Dowód nie wprost. Jeśli P = {p1, . . . , pn}, to N = 1 + p1 . . . pn musi być podzielne przez

jedną z liczb pi, a stąd pi|1, sprzeczność. �

Dowód Eulera–ćw. Jeśli p1 < p2 < . . . jest ciągiem wszystkich liczb pierwszych, to∞∑n=1

1pn

=∞.

�

Twierdzenie II.25. Jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną, n 2, to n ma jedyne przedstawienie postaci

n = p1 . . . pk, gdzie p1 ¬ p2 ¬ · · · ¬ pk, pi ∈ P.

Dowód. Indukcja ze względu na n. Dla n = 2 twierdzenie jest prawdziwe.

Jedyność: Niech

n = p1 . . . pk = q1 . . . ql, p1 ¬ p2 ¬ · · · ¬ pk, q1 ¬ · · · ¬ ql, pi, qj ∈ P.

Ponieważ p1 jest liczbą pierwszą, więc pi|qj dla pewnego j, a ponieważ qj jest liczbą pierwszą, więc pi = qj q1.

Symetrycznie p1 ¬ q1, a więc p1 = q1. Jeśli n = p1, to otrzymaliśmy tezę, jeśli n 6= p1, to

n

p1= p2 . . . pk = q2 . . . ql,

a ponieważ np1< n, więc z założenia indukcyjnego k = l oraz pi = qi dla i = 2, . . . , k.

Istnienie: Jeśli n jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest oczywiste. W przeciwnym przypadku istnieje najmniejsze

p1 ∈ P takie, że p1|n. Wtedy n1 : np1

jest liczbą naturalną, 1 ¬ n1 < n, a zatem istnieją p2, . . . , pk ∈ P takie, że

p2 ¬ · · · ¬ pk oraz n1 = p2 . . . , pk. A zatem n = p1 . . . pk jest poszukiwanym przedstawieniem. �

Wniosek II.26. Liczbę naturalna n ∈ N, n > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci

n =r∏i=1

pαii ,

przy czym p1 < p2 < · · · < pr, pi ∈ P, αi ∈ N, αi 1.

Wniosek II.27. Liczbę naturalna n ∈ N, n > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci

n =∏p∈P

pαp ,

przy czym p1 < p2 < · · · < pr, pi ∈ P, αp ∈ N, αp 1 dla skończenie wielu p ∈ P.

Wniosek II.28. Liczba całkowita p 2 jest pierwsza wtw gdy dla dowolnych liczb całkowitych n1, . . . , nk zachodzi

p|n1 . . . nk ⇒ ∃i : p|ni.

Definicja II.7. Mówimy, że a przystaje do b modulo n, zapisujemy

a ≡ b (mod n)

jeśli a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez n czyli

a ≡ b (mod n)⇔ n | a− b.

Relację przystawania nazywamy kongruencją.




Propozycja II.29. Relacja przystawania modulo n jest relacją równoważności, czyli następujące własności

• zwrotność: a ≡ a (mod n),

• symetryczność: a ≡ b (mod n)⇔ b ≡ a (mod n),

• przechodniość: a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)⇒ a ≡ c (mod n)

Relacja przystawania modulo n jest zgodna z działaniami, czyli kongrunecje możemy dodawać i mnożyć stronami.

• Dodawanie kongruencji stronami:(a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n)

)⇒ a+ c ≡ b+ d (mod n).

• mnożenie kongruencji stronami:(a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n)

)⇒ ac ≡ bd (mod n).

Ostatnia własność ma częściowe odwrócenie

Jeżeli ad ≡ bd (mod n), to a ≡ b (modn

nwd(n, d)).

Jeżeli ad ≡ bd (mod n) i nwd(n, d) = 1 to a ≡ b (mod n).

Wniosek II.30. Jeżeli ad ≡ bd (mod n), to a ≡ b (modn

nwd(n, d)).

Wniosek II.31. Jeżeli ad ≡ bd (mod n) i nwd(n, d) = 1 to a ≡ b (mod n).

Powyższe dwa wnioski są prostą konsekwencją następującego

Wniosek II.32. Jeśli n, d, k są liczbami całkowitymi różnymi od zera, to

n|dk ⇔ n|nwd(n, d)k ⇔ n

nwd(n, d)|k.

Dowód. Druga równoważność podobnie jak implikacja⇐ w pierwszej są oczywiste. Jeśli n|dk, to nnwd(n,d) |

dnwd(n,d)k

i wobec nwd( nnwdn,d ,

dnwdn,d ) = 1 otrzymujemy n

nwd(n,d) |k. �

Wniosek II.33. Jeśli F ∈ Z[X] jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to

a ≡ b (mod n)⇒ F (a) ≡ F (b) (mod n).

Definicja II.8. Przez Zn oznaczamy pierścień ilorazowy pierścienia liczb całkowitych przez relację przystawania

modulo n.

Uwaga. Równoważnie (czyli przez jednoznaczny wybór reprezentantów) możemy Zn utożsamiać ze zbiorem reszt

modulo n, czyli Zn = {0, 1, . . . , n− 1} z działaniami modulo n (tzn. suma odp. iloczyn jest resztą z dzielenia przez n

sumy odp. iloczynu).

Lemat II.34. Odwzorowanie Φ : Z −→ Zn jest epimorfizmem pierścieni, Ker Φ = nZ := {a ∈ Z : n|a}.

Jeśli n | m to odwzorowanie Zm 3 [a]Zm 7→ [a]Zn ∈ Zn jest epimorfizmem.

Twierdzenie II.35 (Chińskie Twierdzenie o resztach). Jeżeli N = N1 . . . Nk, przy czym nwd(Ni, Nj) = 1 dla

i 6= j, to układ kongruencji a ≡ k1 (mod N1)a ≡ k2 (mod N2). . .

a ≡ kr (mod Nr)ma rozwiązanie całkowite dla dowolnych liczb całkowitych k1, . . . , kr. Jeżeli a jest rowiązaniem układu kongruencji, to

dowolna liczba naturalna b jest również rozwiązaniem tego układu konkurencji wtedy i tylko wtedy gdy b ≡ a (mod N),

gdzie N = N1 . . . Nr.

Dowiedziemy tego twirdzenia zapisanego inaczej



30 3. Kongruencje

Twierdzenie II.36 (Chińskie Twierdzenie o resztach). Jeżeli N = N1 . . . Nk, przy czym nwd(Ni, Nj) = 1 dla

i 6= j, to odwzorowanie

Φ : ZN 3 [a]N 7→ ([a]N1 , . . . , [a]Nk) ∈ ZN1 × · · · × ZNk

jest bijekcją.

Dowód. Ponieważ #ZN = #(ZN1 × · · · × ZNk), więc wystarczy pokazać, że Φ jest iniekcją. Jeśli Φ([a]) = Φ(b),

to Φ([a− b]) = 0, a zatem Ni|a− b. Ale ponmieważ Ni są parami względnie pierwsze, więc N |(a, b), tzn. [a] = [b]. �

Lemat II.37. Zbiór Zm (dla m 2) jest pierścieniem przemiennym.

Element a ∈ Zm \ {0} jest dzielnikiem zera w Zm wtw gdy nwd(a,m) > 1.

Wniosek II.38. Pierścień Zn jest ciałem wtw gdy n jest liczbą pierwszą.

Wniosek II.39.

U(Zm) = {a ∈ Zm : nwd(a,m) = 1}.

Wniosek II.40.

#U(Zm) = φ(n).

Twierdzenie II.41. Jeżeli N1, . . . , Nr są parami względnie pierwszymi liczbami naturalnymi Ni 2, N = N1 ·

· · · ·Nr, to odwzorowanie

Φ : U(ZN ) 3 [a]N 7→ ([a]N1 , . . . , [a]Nk) ∈ U(ZN1)× · · · × U(ZNk)

jest bijekcją.

Dowód. Twierdzenia wynika z chińskiego tw. o resztach i następującej równoważności

nwd(a,N) = 1⇔ nwd(a1, N nwd(a2, N) = 1.

�

Wniosek II.42. Jeżeli N1, . . . , Nr są parami względnie pierwszymi liczbami naturalnymi Ni 2, to

φ(N1 . . . Nr) = φ(N1) . . . φ(Nr).

Lemat II.43. Dla dowolnej liczby pierwszej p, dowolnej liczby naturalnej n 1 mamy

φ(pn) = pn − pn−1 = (p− 1)pn−1.

Dowód. Ponieważ nwd(a, pk) > 1, (p ∈ P, k 1) wtw gdy p|a, więc #Zpk = #U(Zpk) + #Zpk−1 . �

Wniosek II.44. Jeżeli n = pk11 . . . pkrr jest rozkładem na czynniki pierwsze (pi ∈ P, p1 < p2 < · · · < pr, ki 1), to

φ(n) = (p1 − 1)pk1−11 . . . (pr − 1)pkr−1r .

Uwaga. Jeśli p ∈ P, p 6= 2, to U(Zpk) ∼= Z(p−1)pk−1 .

Wniosek II.45 (Twierdzenie Eulera). Dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 i dowolnej liczby całkowitej a względnie

pierwszej z n mamy

aφ(n) ≡ 1 (mod n).

Wniosek II.46 (Małe Twierdzenie Fermata). Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby całkowitej a

ap ≡ a (mod p).




3. Kongruencje

Kongruencje: niech F = anXn+. . . a0 będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, rozwiązanie kongruencji

F (X) ≡ 0 (mod N)

jest równoważne rozwiązaniu równania

G(X) = 0

w pierścieniu ZN .

Propozycja II.47. Jeśli p jest liczbą pierwszą, a F (X) ∈ Z[X], wielomianem którego nie wszystkie współczynniki

są podzielne przez p to kongruencja ma co najwyżej p rozwiązań (niekongruentnych mod p).

Dowód. Jeśli a jest rozwiązaniem kongruencji F (X) = 0 (mod p), oraz

F (X) = Q(X)(X − a) +R,

to R jest podzielna przez p, oraz wszystkie rozwiązania kongrunecji

F ≡ 0 (mod p)

nie kongruentne a są rozwiązaniami kongruencji

Q ≡ 0 (mod p).

�

Oznaczmy przez λF (n) liczbę niekongruentnych rozwiązań kongruencji

F ≡ 0 (mod n).

Twierdzenie II.48. Jeżeli N = N1 . . . Nr, Ni są parami względnie pierwsze, to

λF (N) = λF (N1) . . . λF (Nr).

Przykład II.49. Kongruencja

X2 − 3X − 4 ≡ 0 (mod 6)

ma cztery rozwiązania.

Twierdzenie II.50. Kongruencja liniowa

ax ≡ b (mod N)

ma rozwiązanie wtw gdy

nwd(a,N)|b.

Jeśli ten warunek jest spełniony, to kungrunecja ma nwd(a,N) rozwiązań, wszystkieprzystają do siebie (modN

nwd(a,N)).

Dowód. Kongruencja liniowa jest równoważna równaniu diofantycznemu

ax+Ny = b.

�

Lemat II.51. Niech F (X) = cnXn + cn−1X

n−1 + · · · + c0 będzie wielomicnem o wspołczynnikcch ccłkowitych,

F ′(X) = ncnXn−1 + (n− 1)cn−1Xn−2 + · · ·+ c1 jego pochodną. Dla dowolnych liczb całkowitych u, v,N zachodzi

F (u+Nv) ≡ F (u) +NvF ′(u) (mod N)2.



32 3. Kongruencje

Dowód. Dla wielomianu Xn wynika ze wzoru Newtona (lub prosto indukcyjnie) dla dowolnego wielomianu ko-

rzystamy z własności kongruencji. �

Twierdzenie II.52 (Lemat Hensela). Niech F (X) = cnXn + cn−1X

n−1 + · · ·+ c0 będzie wielomianem o wspoł-

czynnikach całkowitych, F ′(X) = ncnXn−1 + (n− 1)cn−1Xn−2 + · · ·+ c1 jego pochodną.

Jeżeli a1 ∈ Z jest liczbą całkowitą taką, że

F (a1) ≡ 0 (mod N), nwd(F ′(a1), N) = 1

to istnieją liczby całkowite ak, k 2 takie, że

F (ak) ≡ 0 (mod Nk) oraz ak ≡ ak−1 (mod Nk−1).

Ciąg ak jest przez powyższe warunki wyznaczony jednoznacznie.

Dowód. Dowód indukcyjny na k, załóżmy, że mamy daną liczbę całkowitą ak spełniającą warunki F (ak) ≡ 0

(mod Nk) oraz ak ≡ a1 (mod N). Wtedy nwd(F ′(ak), N) = nwd(F ′(a1), N) = 1 więc istnieje v takie, że F ′(ak)v ≡ 1

(mod N), z założenia istnieje istnieje u takie, ze F (ak) = uNk. Przyjmijmy ak+1 = ak − vF (ak) = ak − uvNk. Wtedy

ak+1 ≡ ak (mod Nk), oraz F (ak+1) = F (ak)− F ′(ak)Nkuv = uNk(1− F ′(ak)v) ≡ 0 (mod Nk+1). �

Uwaga. Możemy zapisać poprzednie rozwiązanie w postaci ak+1 = ak − F (ak)F ′(ak)

(mod Nk+1).

Przykład II.53. Kongruencja x2 = 2 (mod 7) ma rozwiązanie a1 = 3 spełniające warunek F ′(3) = 6 (gdzie

F = X2 − 2). Wtedy a2 = a1 − F (a1)F ′(a1)

= 3− 7/6 = 3 + 7 = 10, 102 = 100 = 2 + 2× 49.

Następnie a3 = a2 − F (a2)F ′(a2)

= 10− 98/20 = 10 + 98 = 108, 1082 − 2 = 11664− 2 = 34 · 343 itd.

Korzystając z lematu Hensela i Chińskiego Twierdzenia o resztach wystarczy rozwiązywać kongruencje modulo

potęga liczby pierwszej.

Kongruencja kwadratowa:

ax2 + bx+ c = 0 (mod pk),

gdzie p jest liczbą pierwszą, p - nwd(a, b).

Jeśli p | a, to dla k = 1 otrzymamy kongruencję liniową bx + c (mod p), która ma jedyne rozwiązanie. Ponadto

rozwiązanie to spełnia założenia lematu Hensela, ma więc podniesienie (jedyne) do rozwiązania modulo pk.

Przykład II.54.

3x2 + x+ 1 ≡ 0 (mod 3k)

Dla k = 1 otrzymujemy kongruencję x+ 1 ≡ 0 (mod 3), którego rozwiązaniem jest a1 = 2.

Następnie stosujemy Lemat Hensela wyliczając a2 = a1 − F (a1)/F ′(a1) = 2 − 15 = 5 (mod 9). Dalej a3 = 5 =

a4 = 5, a5 = 5− 81/31 = 167 (mod 243).

Załóżmy teraz dodatkowo, że p 6= 2.

Niech d będzie ustalonym rozwiązaniem kongruencji 2ax = 1 (mod pk). Wtedy

ax2 + bx+ c = a(x+ bd)2 − a(b2 − 4ac)d2 (mod pk)

więc x jest rozwiązaniem badanej kongruencji wyw gdy y = x + bd jest rozwiązaniem kongruencji ay2 = B (mod p),

gdzie B = a(b2 − 4ac)d2. Mnożąc stronami przez 2d i przyjmując a = 2Bd otrzymujemy kongruencję

x2 = A (mod pk).

Mamy trzy możliwości

(1) p | A, jedynym rozwiązaniem kongruencji jest x = 0 (mod p).




(2) p - A oraz [A]p jest kwadratem w grupie U(Zp), wtedy kongruencja ma dwa rozwiązania x i −x (bo p 6= 2),

(3) p - A oraz [A]p nie jest kwadratem w grupie U(Zp), wtedy kongruencja nie ma rozwiązania.

Definicja II.9. Liczbę A (p - A) nazywamy resztą kwadratową (mod p), jeśli zachodzi punkt (2), a nieresztą

kwadratową (mod p), jeśli zachodzi punkt 3.

Lemat II.55. Dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej p istnieje dokłądnie p−12 reszt i p−12 niereszt kwadratowych

(mod p).

Dowód. Odwzorowanie Zp\{0} 3 a 7→ a2 ∈ Zp\{0} ma włókna puste i dwuelementowe, a więc dokładnie połowa

elementów należy do jego obrazu. �

Definicja II.10. Symbolem Legendre’a dla modułu p nazywamy funkcję(.

p

): Z 3 a 7→

1, gdy [a]p jest resztą kwadratową (mod p)−1, gdy [a]p jest nieresztą kwadratową (mod p)0, gdy p | a

Twierdzenie II.56. Jeżeli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, to kongruencja

x2 ≡ A (mod pk)

• nie ma rozwiązań jeżeli(Ap

)= −1

• ma dwa rozwiązania jeżeli(Ap

)= 1

• ma pbn2 c rozwiązań gdy pn|A

• ma 2pr/2 gdy A = pra, r < n, 2 | r i(ap

)= −1

• nie ma rozwiązań gdy A = pra, r < n oraz 2 | r lub(ap

)= −1

Dowód. Pierwsze dwa przypadki wynikają natychmiast z wcześniejszej analizy, ostatni dowodzi się przez analizę

przypadków. �

Kongruencja kwadratowa ax2+bx+c (mod 2)k ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy a jest parzyste, b nieparzyste,

jeśli natomiast a jest nieparzyste, to kongruencję – podobnie jak poprzednio – możemy sprowadzić do jednej z dwóch

postaci (w zależności od parzystości b)

x2 ≡ A (mod 2k), x2 + x ≡ A (mod 2k)

Do rozwiązywania drugiej kongruencji możemy zastosować lemat Hensela otrzymując

Propozycja II.57. Kongruencja x2 + x ≡ A (mod 2k) ma dwa rozwiązanie dla A parzystego i nie ma rozwiązań

dla A nieparzystego.

Kongruencja x2 ≡ A (mod 2n) dla A nieparzystego. Jeśli n = 1, to A = 1 i kongruencja ma jedno rozwiązanie,

jeśli n = 2 to kongruencja ma dwa rozwiązania (1 i −1) dla A = 1 (mod 4) oraz nie ma rozwiązań dla A = 3 (mod 4).

Dla n = 3 kongruencja ma rozwiązanie dla A ≡ 1 (mod 8) oraz nie ma rozwiązań dla A ≡ 3, 5, 7 (mod 8),

pokażemy, że pdobna charakterzacja ma miejsce dla n 3.

Propozycja II.58. Dla n 3 kongruencja x2 = A (mod 2n) (gdzie a jest liczbą nieparzystą)

• ma cztery rozwiązania dla A = 1 (mod 8),

• nie ma rozwiązań dla A = 3, 5, 7 (mod 8).



34 3. Kongruencje

Dowód. Twierdzenie jest oczywiste dla n = 3, wynika z niego druga część tezy w przypadku ogólnym. Dowód

indukcyjny, pokażemy, że rozwiązaniami są liczby a, 2n − a, 2n−1 − a, 2n−1 + a. Dla n 3 i a nieparzystego są to

cztery różne liczby, jeśli jedn z nich jest rozwiązaniem kongruencji, to pozostałe trzy również. Zauważmy, że jeśli b jest

rozwiązaniem kongrunecki x2 = A (mod 2)n+1, to b jest jedną z ośmiu liczb

a, a+ 2n, 2n − a, 2n+1 − a, 2n−1 − a, 2n + 2n−1 − a, 2n−1 + a, 2n + 2n−1 + a

Ponadto kwadraty czterech pierwszych z tych liczb przystają do a2 (mod 2n+1), natomiast kwadraty pozostałych

czterech – do a2+2n (mod 2n+1). Ponieważ a2 ≡ A (mod 2n), więc a2 ≡ A (mod 2n+1) albo a2 ≡ A+2n (mod 2n+1).

�

Definicja II.11. Symbolem Legendre’a dla modułu 2 nazywamy funkcję(.

p

): Z 3 a 7→

1, gdy a ≡ 1 (mod p)−1, gdy a ≡ 3, 5, 7 (mod p)0, gdy 2 | a

Propozycja II.59.

(1)(abp

)=(ap

)(bp

)(2) Dla p - a,

(ap

)= +1⇔ x2 = a (mod p) ma rozwiązanie,(

ap

)= −1⇔ x2 = a (mod p) nie ma rozwiązania,

(3) Jeżeli a ≡ b (mod p), to(ap

)=(bp

)Twierdzenie II.60 (Kryterium Eulera). Jeżeli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, a ∈ Z liczbą całkowitą to(

a

p

)≡ a 12 (p−1) (mod p).

Dowód. Jeżeli a jest resztą kwadratową, to na macy Małego Twierdzenia Fermata a12 (p−1) ≡ (mod p), a ponie-

waż kongruencja ta ma co najwyżej 12 (p− 1) rozwiązań, więc rozwiązaniami są dokładnie reszty kwadratowe.

Dla dowolnego a, jeśli p - a oraz b = a12 (p−1), to b2 = 1 (mod p), a zatem b = ±1 (mod p), czyli jeżeli a jest

nieresztą kwadratową, to a12 (p−1) ≡ −1 (mod p). �

Wniosek II.61.(−1p

)= 1 wtw gdy p ≡ 1 (mod 4).

Twierdzenie II.62 (Prawo wzajemności reszt kwadratowych). Jeżeli p i q są różnymi liczbamipierwszymi niepa-

rzystymi, to (p

q

)(q

p

)= (−1)

14 (p−1)(q−1).

Dowód. Zbiór U(Zpq) = U(Zp)×U(Zq) składa się z 12 (p− 1)(q− 1) par liczb przeciwnych (mod pq). Policzymy

iloczyn po jednym reprezentancie każdej pary

N :=∏

k∈U(Zpq)k¬ 12 (p−1)(q−1)

k

Wyznaczamy N (mod p)

N =

∏p−1k=1 k

∏p−1k=1(p+ k) · · ·

∏p−1k=1((

q−12 − 1)p+ k)

∏ p−12

k=1(q−12 p+ k)

1 · q · 2q · · · · · p−12 q=

((p− 1)!)q−12

qp−12

= ((p− 1)!)q−12

(q

p

)(mod p).

Symetrycznie

N = ((q − 1)!)p−12

(p

q

)(mod q).




Innym sposobem wyboru z każdej pary przeciwnych elementów z U(Zpq) jest wybranie podzbioru

{[k]pq ∈ U(Zpq) : (reszta z dzielenia k przez q ) <q − 1

2}.

Oznaczmy ich iloczyn przez M , wtedy M = ±N . Obliczamy resztę z dzielenia M przez p i q.

M = ((p− 1)!)q−12 (mod p)

oraz

M = ((q − 1

2)!)p−1 (mod q).

Ale (( q−12 )!)2 = (−1)q−12 (q − 1)! (mod q) więc

M = (−1)p−12q−12 ((q − 1)!)

p−12 (mod q).

�

Symbol Lgendra ma następujące uogólnienie na przypadek dowolnej nieparzystej liczby całkowitej n

Definicja II.12. Dla dowolnej liczby całkowitej a i dowolnej nieparzystej liczby naturalnej n symbol Jacobiego

definiujemy jako iloczyn symboli Legendre’a(an

)=(a

p1

)k1( a

p2

)k2. . .

(a

pr

)kr, gdzie n = pr11 p

r22 . . . p

krr jest rozkładem na czynniki pierwsze.

W szczególności (a1

)= 1

dla dowolnej liczby całkowitej a.

Twierdzenie II.63.

(1) Jeżeli n jest liczbą pierwszą to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre’a.

(2) a ≡ b (mod n)⇒(an

)=(bn

).

(3)(an

)=

{0, jeżeli nwd(a, n) 6= 1,±1, jeżeli nwd(a, n) = 1,

.

(4)(an

)( bn

)=(ab

n

). W szczególności jeśli nwd(a, n) = 1 to

(a2

n

)= 1.

(5)(an

)( am

)=( a

mn

). W szczególności jeśli nwd(a, n) = 1 to

( an2

)= 1.

(6) (prawo wzajemności reszt kwadratowych) Dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych nieparzystych a, b zacho-

dzi (ab

)=(b

a

)(−1)

a−12b−12 .

(7)(−1n

)= (−1)

n−12 =

{1, gdy n ≡ 1 (mod 4),−1, gdy n ≡ 3 (mod 4),

(8)(

2n

)= (−1)

n2−18 =

{1, gdy n ≡ 1, 7 (mod 8),−1, gdy n ≡ 3, 5 (mod 8),

Dowód. Własności (1)–(7) są oczywiste lub wynikają natychmiast z odpowiednich własności symbolu Legendre’a.

Ad (8). Niech n = 4k + e, dla e = ±1. Wtedy a = n+e2 = 2k + e jest liczbą nieparzystą dodatnią. Stąd(

2en

)=(

2e+ 2nn

)=(

4an

)=(an

)=(na

)(−1)

n−12a−12 = (−1)k

1−e2

(na

)=( ea

)(na

)=(ena

)=(

2ea− 1a

)=(−1a

)a stąd (

2n

)=(

2en

)( en

)=( en

)(−1a

)= (−1)k = (−1)

n2−18 .

�



36 3. Kongruencje

Uwaga. Prawo wzajemności wraz z uzupełnieniami (7) (8) umożliwia wyliczanie symboli Jacobiego, np.(1791

)=(

9117

)=(

617

)=(

217

)(317

)=(

317

)=(

173

)=(

23

)= −1

więc 17 nie jest resztą kwadratową (mod 91)(19107

)= −

(10719

)= −

(1219

)= −

(319

)=(

193

)=(

13

)= 1

i rzeczywiście

333 ≡ 19 (mod 107).

Zauważmy, ze algorytm Euklidesa dla nwd(19, 107) daje,

107 = 5× 19 + 12

19 = 1× 12 + 7

12 = 1× 7 + 5

7 = 1× 5 + 2

5 = 2× 2 + 1

Mamy więc ciąg par

(107, 19), (19, 12), (12, 7), (7, 5), (5, 2), (2, 1)

wśród nich jest jedna złożona z liczb ≡ 3 (mod 4), więc(10719

)= −1 (zasada Eisensteina), i w konsekwencji

(19107

)= 1.

Uwaga. Dla symbolu Legendre’a zachodzi implikacja: jeśli nwd(a, n) = 1, a jest resztą kwadratową molulo n to(an

)= 1, ale nie zachodzi implikacja przeciwna.

Przykład II.64. Liczba 2 nie jest resztą kwadratową modulo 15, ale(215

)= 1.

Jeśli dla danej liczby n i losowo wybranej liczby a symbol Legendre’a(an

)6≡ a(n−1)/2 (mod n), to n nie jest liczbą

pierwszą. Jeśli kongruencja zachodzi dla “wielu” a, to n “prawdopodobnie jest liczba pierwszą”.

Istnieją liczby złożone dla których powyzszy test zachodzi, takie liczby nazywamy liczbami pseudo–pierwszymi

Eulera–Jacobiego przy bazie a, jest to warunek znacznie mocniejszy niż bycie liczbą pseudopierwszą Fermata. Liczbę,

która jest pseudo–pierwsza Fernata przy dowolnej podstawie względnie pierwszej nazywamy liczbą Carmichela.

Definicja II.13. Liczbę n nazywamy liczbą Carmichela jeśli

• jest liczba złożoną

• dla każdej liczby naturalnej a z przedziału 1 < a < n, względnie pierwszej z n, liczba an−1− 1 jest podzielna

przez n.

Liczba Carmichela jest jest iloczynem różnych dzielników pierwszych (bezkwadratowa), ma conajmniej trzy dziel-

niki, najmniejszą liczbą Carmichela jest 561 = 3 · 11 · 17. Mamy bowiem

3− 1 | 561− 1, 11− 1 | 561− 1, 17− 1 | 561− 1.

Liczba 561 nie jest pseudopierwsza Jacobiego-Eulera przy bazie 5, mamy bowiem

5280 ≡ 67 (mod 561).

Jest to możliwe, bo

67 ≡ 1 (mod 3), 67 ≡ 1 (mod 11), 67 ≡ −1 (mod 17).



ROZDZIAŁ III

Teoria grup

1. Przykłady grup

Definicja III.1. (1) Półgrupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym.

(2) Monoidem nazywamy półgrupę, która zawiera element neutralny.

(3) Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element posiada element odwrotny.

(4) Grupą przemienną (abelową) nazywamy grupę, w której działanie jest przemienne.

Lemat III.1. Jeśli G jest grupą, to zachodzi prawo skracania

ab = ac⇒ b = c oraz ac = bc⇒ a = b.

Ćwiczenie 6. Uogólnić konstrukcję zbioru liczb całkowitych ze zbioru liczb naturalnych na przypadek dowolnej

półgrupy. Czy prawo skracania coś tu zmienia?

Przykład III.2. (1) Zbiór liczb całkowitych (odp. wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) z działaniem doda-

wania jest grupą.

(2) Zbiór Q+, (odp. Q∗,R+,R∗,C∗) jest grupą z mnożeniem.

(3) Zbiór Zn reszt modulo n z dodawaniem jest grupą.

(4) Zbiór U(Zn) reszt modulo n względnie pierwszych z n jest grupą z mnożeniem.

(5) Zbiór M(n,m;R) jest grupą z dodawaniem.

(6) Zbiór GL(n,R) := {A ∈M(n, n;R) : detA 6= 0} jest grupą z mnożeniem. Liniowa

(7) Zbiór GL+(n,R) := {A ∈M(n, n;R) : detA > 0} jest grupą z mnożeniem. Orientacji

(8) Zbiór SL(n,R) := {A ∈M(n, n;R) : detA = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna liniowa

(9) Zbiór SL(n,Z) := {A ∈M(n, n;Z) : detA = 1} jest grupą z mnożeniem.

(10) Zbiór O(n) := {A ∈M(n, n;Z) : At ·A = A ·At = I} jest grupą z mnożeniem. Ortogonalna

(11) Zbiór SO(n) := {A ∈ O(n) : detA = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna ortogonalna

(12) Zbiór U(n) := {A ∈M(n, n;C) : At ·A = A · At = I} jest grupą z mnożeniem. Unitarna

(13)Zbiór SU(n) := {A ∈ U(n) : detA = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna unitarna

(14) Zbiór bijekcji Bij(X) zbioru X na siebie jest grupą ze składaniem.

(15) Zbiór permutacji Σn zbioru n-elementowego jest grupą z mnożeniem. Grupa symetryczna. Uwaga Σn =

Bij({1, . . . , n}).

(16) Zbiór Dn symetrii n–kąta foremnego (oznaczany Dn, czasammi D2n), jest grupą ze składaniem zwaną grupą

dihedralną.

Lemat III.3.

(1) Iloczyn elementów odwracalnyc a, b jest odwracalny oraz (ab)−1 = b−1a−1,

(2) Element odwrotny do elementu odwracalnego a jest odwracalny oraz (a−1)−1 = a.

37


38 1. Przykłady grup

Definicja III.2. Podzbiór H ⊂ (G, ·) nazywamy podgrupą jeżeli jest zamknięty ze względu na działanie w grupie

G i tworzy z działaniem indukowanym grupę, to znaczy:

(1) eG ∈ H,

(2) jeżeli a, b ∈ H to ab ∈ H,

(3) jeżeli a ∈ H to a−1 ∈ H.

Lemat III.4. Niepusty podzbiór H ⊂ G grupy G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy gdy

a, b ∈ H ⇒ a · b−1 ∈ H.

Dowód. Jeżli H ⊂ G jest podgrupą oraz a, b ∈ H to b−1 ∈ H, a zatem a · b−1 ∈ H.

Na odwrót, niech H ⊂ G będzie podzbioren spełniającym warunek w Lemacie. Wtedy biorąc dowolne a ∈ H

stwierdzamy, że e = aa−1 ∈ H.

Jeżeli a ∈ H to a−1 = ea−1 ∈ H.

Ustalmy dowolne a, b ∈ H. Wtedy b−1 ∈ H, a więc ab = a((b−1)−1) ∈ H.

�

Wniosek III.5. Jeżeli (Hj)j∈J jest rodziną podgrup grupy G to⋂j∈J

Hj jest podgrupą G.

Definicja III.3. Najmniejszą podgrupę grupy G zawierającą ustalony zbiór A ⊂ G nazywamy podgrupą genero-

waną przez A i oznaczamy 〈A〉.

Lemat III.6. Dla dowolnego podzbioru A ⊂ G mamy

〈A〉 =⋂{H ⊂ G : A ⊂ H, H jest podgrupą G}.

Zamiast 〈{a1, . . . , an}〉 będziemy pisać 〈a1, . . . , an〉.

Będziemy używać nastepujących oznaczeń a0 = e, an = a · . . . · a︸︷︷︸n razy

dla n > 0 oraz an = (a−1)−n dla n < 0.

Lemat III.7. Dla dowolnego a ∈ G mamy 〈a〉 = {an : n ∈ Z}.

Dowód. Ponieważ an(am)−1 = an−m, więc zbiór {an : n ∈ Z} jest podgrupą G zawierającą {a}, a zatem

〈a〉 ⊂ {an : n ∈ Z}. Z drugiej strony jeżeli H ⊂ G jest dowolną podgrupą taką, że a ∈ H, to an ∈ H dla dowolnego

n ∈ Z, co dowodzi inkluzji przeciwnej. �

Definicja III.4. Odwzorowanie Φ : G1 −→ G2 grup nazywamy homomorfizmem jeżeli Φ(g1 ·G1 g2) = Φ(g1) ·G2Φ(g2). Homomorfizm Φ : G1 −→ G2 nazywamy izomorfizmem, jeżeli odwzorowaniem Φ jest bijekcją (wtedy odwzoro-

wanie odwrotne jest również homomorfizmem). Homomorfizm grupy w siebie nazywamy endomorfizmem, natomiast

endomorfizm, który jest izomorfizmem nazywamy automorfizmem.

Jądrem homomorfizmu Φ : G1 −→ G2 nazywamy zbiór Ker Φ := {g ∈ G1 : Φ(g) = e}.

Lemat III.8. Jeżeli Φ : G1 −→ G2 jest homomorfizmem, to

(1) Φ(eG1) = eG2 ,

(2) Φ(x−1) = (Φ(x))−1

(3) Φ(G1) jest podgrupą G2.

(4) Jełśi H jest podgrupą G2, to Φ−1(H) jest podgrupą G1. W szczególności jądro Ker Φ jest podgrupą G1.

(5) Φ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker Φ = 〈eG1〉



Rozdział III. Teoria grup 39

Dowód. (1) Niech a := Φ(eG1). Wtedy a2 = Φ(eG1) ·Φ(eG1) = Φ(e2G1) = Φ(eG1) = a, a stąd a = a2a−1 = aa−1 =

eG2 .

(2) Ponieważ Φ(x−1)Φ(x) = Φ(x−1x) = Φ(eG1) = eG2 , więc Φ(x−1) = (Φ(x))−1.

(3) Niech Φ(a),Φ(b) będą dowolnymi elementami Φ(G1). Wtedy Φ(a)(Φ(b))−1 = Φ(ab−1) ∈ Φ(G1).

(4) Niech x ∈ G, a ∈ Ker(Φ). Wtedy Φ(xnx−1) = Φ(x)Φ(n)Φ(x−1) = Φ(x)eG2Φ(x−1) = Φ(xx−1) = Φ(eG1) = eG2 ,

czyli xnx=1 ∈ Ker(Φ). �

Przykład III.9. Grupy Σ3 i D3 są izomorficzne, natomiast grupy Z2n oraz Dn nie są izomorficzne.

Lemat III.10. Jeżeli f : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup, A ⊂ G1, to f(〈(A〉) = 〈f(A)〉.

Lemat III.11. Jeżeli A ⊂ G jest podzbiorem grupy G takim, że dla dowolnych a, b ∈ A zachodzi ab = ba to

podgrupa 〈A〉 generowana przez zbió c© A jest przemienna.

2. Grupa cykliczna

Definicja III.5. Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest ona generowana przez jeden element zwany generatorem.

Przykład III.12. Niech φ będzie dowolną (dodatnią) liczbą rzeczywistą. Zbiór obrotów o całkowite wielokrotności

liczby φ tworzy grupę cykliczną skończoną lub nie. Zbiór pierwiastków zespolonych stopnia n z jedynki jest (skończoną)

grupą cykliczną.

Lemat III.13. (1) Grupa cykliczna jest przemienna.

(2) Każda grupa cykliczna jest izomorficzna z Z lub Zm.

(3) Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.

(4) Obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest cykliczny.

Dowód. (1) Wynika z równości anam = an+m = am+n = aman.

(2) Niech a będzie generatorem grupy G. Jeżeli istnieje liczba całkowita rózna od zera m taka, że am = e, to

istnieje również liczba całkowita dodatnia o tej własności (bo a−m = (am)−1 = e−1 = e). Niech n będzie najmniejszą

liczbą liczbą naturalną dodatnią taką, że an = e. Pokażemy, że odwzorowanie

Φ : (Zn,+) 3 [m] 7→ am ∈ G

jest izomorfizmem. Φ jest dobrze określone: jeśli [m] = [m′], czyli n|m − m′, to istnieje liczba całkowita k taka, że

m′ = kn+m. Wtedy am′

= aknam = (an)kam = ekam = am. W podobny sposób sprawdzamy, że odwzorowanie jest

homomorfizmem, z definicji grupy cyklicznej wynika, że jest surjekcją.

Sprawdzimy, że Φ jest iniekcją. Niech am = am′

(m m′), wtedy am−m′

= am(am′)−1 = e. Niech m−m′ = kn+r,

gdzie r ∈ N, r < n. Ponadto że ar = ar(an)k = akn+r = am−m′

= e, ale ponieważ r < n więc r = 0, czyli [m] = [m′].

W ten sposób sprawdziliśmy, że Φ jest bijekcją, pozostaje zauważyćć, że funkcja odwrotna Φ−1 jest homomorfi-

zmem.

(3) Niech G będzie grupą cykliczną, H jej podgrupą, jeżeli H zawiera co najmniej dwa elelementy to wybieramy

najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią n taką, że an ∈ H. Pokażemy, że an jest generatorem H. Niech am będzie

dowolnym elementem grupy H, jeżeli m = 0, to am = e ∈ 〈an〉.

Przyjmijmy, że m > 0, to niech m = nk + r, gdzie r ∈ N, r < n. Ponieważ, ar = am−nk = am(an)−k ∈ H, więc

r = 0, czyli am = (an)k.

Jeśli m < 0, to a−m = (am)−1 ∈ H, więc z poprzedniego −m = nk, a stąd am = (an)−k.

(4) Oczywiste. �



40 3. Grupa symetryczna

Wniosek III.14. Jeżeli G jest grupą cykliczną nieskończoną, a ∈ G \ {e}, n ∈ Z to an = e wtw gdy n = 0.

Jeżeli G = 〈a〉 jest grupa cykliczną, #G = n < ∞, to ak = e wtw gdy n|k. W szczególności: jeśli b = am ∈ G to

bk = e wtw gdy nnwd(n,m) |k.

Wniosek III.15. Niech G = 〈a〉 będzie grupą cykliczną i niech b = am ∈ G.

Jeśli #G =∞ to b generuje G wtw gdy m = ±1.

Jeśli #G <∞ to b generuje G wtw gdy m ≡ 1 (mod n).

Wniosek III.16. Dowolna podgrupa grupy Z (różna od {0}) jest izomorficzna Z, natomiast dowolna podgrupa

grupy Zn jest izomorficzna z Zd, gdzie d jest dzielnikiem n. Na odwrót, jeżeli d jest dzielnikiem n to grupa Zn zawiera

jedyną podgrupę izomorficzną z Zd.

Dowód. Pokażemy jedynie ostatnią część. Jeżeli d|n oraz m = nd , to grupa 〈am〉 ma d elementów, ponieważ

〈am〉 = 〈anwd(n,m)〉, więc jest to jedyna podgrupa mająca d elementów. �

3. Grupa symetryczna

Definicja III.6. Permutacją zbioru {1, . . . , n} nazywamy dowolna bijekcję σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. Złoże-

niem (iloczynem) permutacji σ1, σ2 nazywamy odwzorowanie σ1σ2 określone jako σ(i) = σ1(σ2(i). Zbiór wszystkich

permutacji zbioru {1, . . . , n} oznaczamy Σn.

Propozycja III.17. Zbiór permutacji ze składaniem stanowi grupę. Dla n > 2 grupa Σn jest nieprzemienna.

Zapis(

1 2 . . . na1 a2 . . . an

)oznacza permutację σ dla której σ(i) = ai.

Definicja III.7. Cyklem k–wyrazowym (długości k, k ¬ n) nazywamy permutację σ taką, że

σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, . . . , σ(ak−1) = ak, σ(ak) = a1

σ(j) = j dla j 6= a1, a2, . . . , ak.

Cykl długości 2 nazywamy transpozycją.

Cykl zapisujemy jako

(a1, a2, . . . , ak).

Twierdzenie III.18. (a) Cykle rozłączne są przemienne.

(b) Każda permutacja jest złożeniem cykli rozłącznych.

(c) Każda permutacja zbioru {1, 2, . . . , n} jest złożeniem co najwyżej n− 1 transpozycji.

(d) Każda transpozycja jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich.

Dowód. (a) Rozważmy dwa rozłączne cykle σ = (a1, a2, . . . , ak) oraz τ = (b1, b2, . . . , bl). Jeżeli m 6= ai, bj to

στ(m) = τσ(m) = m. Jeżeli m = ai, to στ(m) = σ(ai) = ai+1 = τ(ai + 1) = τσ(m). Podobnie gdy m = bj .

(b) W zbiorze {1, . . . , n} wprowadzamy relację równoważności (i, j) ∈ R, jeżeli ∃k ∈ Z taka, że σk(i) = j.

Permutacja σ zacieśniona do dowolnej klasy abstrakcji relacji R jest cyklem.

(c) Wystarczy zauważyć (indukcja na k), że

(a1, a2, . . . , ak) = (a1, ak)(a1, ak−1) . . . (a1, a3)(a1, a2).

(d) Jeżeli i < j to

(i, j) = (i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2) . . . (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(j − 2, j − 1) . . . (i+ 1, i+ 2)(i, i+ 1)

(zauważmy, żeli liczba k < i lub k > j nie jest ruszana w ogóle, liczba i < k < j najpierw przejdzie w k−1, a następnie

z powrotem w k, liczba i przejdzie kolejnow i+ 1, i+ 2, . . . , j, j1, . . . , i, podobnie j). Liczba transpozycji w powyższym

rozkładzie jest równa 2(j − i)− 1. �




Dla dowolnej permutacji σ =(

1 2 . . . na1 a2 . . . an

)określamy liczbę

R(σ) =∏

1¬i<j¬n

(aj − ai).

Uwaga. Liczba R(σ) jest równa wyznacznikowi Vandermonde’a

Vn = det

1 a1 a21 . . . an−111 a2 a22 . . . an−12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 an a2n . . . an−1n

Lemat III.19. Jeżeli σ jest permutacją, a τ transpozycją, to R(στ) = −R(σ).

Dowód. Najpierw dowiedziemy lematu w szczególnym przypadku, gdzy τ = (i, i+ 1) jest permutacją sąsiednich

elementów. Jeżeli σ =(

1 2 . . . na1 a2 . . . an

)to

στ =(

1 2 . . . i i+ 1 . . . na1 a2 . . . ai+1 ai . . . an

).

A zatem w iloczynie określającym R(στ) w porównaniu z iloczynem określającym R(σ) występuje ai−ai+1 zamiast

ai+1 − ai, pozostałe czynniki są bez zmian. To kończy dowód w szczególnym przypadku. Przypadek ogólny wynika z

tw. III.18.(d). �

Wniosek III.20. Dla dowolnej permutacji σ zachodzi R(σ) = ±R(1).

Definicja III.8. Permutację σ nazywamy parzystą (odp. nieparzystą) jeżeli R(σ) = R(1) (odp. R(σ) = −R(1)).

Znakiem permutacji nazywamy liczbę R(σ)/R(1)

Twierdzenie III.21. Permutacja σ jest parzysta (odp. nieparzysta) jeżeli w dowolnym rozkładzie σ na iloczyn

transpozycji występuje parzysta (odp. nneparzysta) liczba czynników.

Zbiór permutacji parzystych tworzy podgrupę grupy Σn zwaną grupą alternującą An.

Odwzorowanie sgn : Σn −→ ({−1, 1}, ·) ∼= Z2 jest homomorfizmem grup.

Uwaga. Nieporządkiem w permutacji σ =(

1 2 . . . na1 a2 . . . an

)nazywamy dowolną parę 0 ¬ i < j ¬ n taką,

że ai > aj . Permutacja jest parzysta (nieparzysta) gdy liczba nieporządków jest parzysta (nieparzysta).

4. Grupa ilorazowa

Definicja III.9. Rzędem grupy G nazywamy liczbę |G| jej elementów, rzędem |x| elementu a ∈ G nazywamy rząd

grupy 〈x〉.

Lemat III.22. (1) |Z| =∞, |Zn| = n, |Dn| = 2n, |Σn| = n!, |An| = n!2

(2) Jeżeli |a| =∞, to ak = e wtw gdy k = 0.

(3) |a| = min{k ∈ Z+ : ak = e},

(4) ak = e⇔ |a| | k,

(5) ak = al ⇔ k ≡ l mod |a|,

(6) Jeśli |a| = n to |ak| = nnwd(n,k) ,

(7) Jeśli k | |a| to |ak| = |a|k .

Dowód. Wykażemy, że |An| = n!2 (reszta jest oczywista – ćwiczenie). Niech τ będzie dowolną ustaloną transpo-

zycją. Zauważmy, odwzorowanie An 3 σ 7−→ στ ∈ Σn \An jest bijekcją. �



42 4. Grupa ilorazowa

Uwaga. Zbiór elementów rzędu skończonego w grupie abelowej jest podgrupą, a w nieabelowej nie musi być

(ćwiczenie, np. w grupie macierzy).

Definicja III.10. Niech H ⊂ G będzie podgrupą.

R = {(a, b) ∈ G : ab−1 ∈ H} prawa równoważność

L = {(a, b) ∈ G : a−1b ∈ H} lewa równoważność

Klasy abstrakcji tych relacji nazywamy warstwami prawostronnymi i lewostronnymi podgrupy H w G.

Twierdzenie III.23. (1) Wartstwy prawostronne są postaci Ha = {ha : a ∈ H}.

Wartstwy lewostronne są postaci aH = {ah : a ∈ H}.

(2) Dla dowolnego a ∈ G mamy #Ha = #aH = #H.

(3) #(G/R) = #(G/L).

Dowód. (3) Bijekcja G/L 3 Ha 7−→ a−1H ∈ G/R. �

Definicja III.11. Indeksem podgrupy H ⊂ G nazywamy liczbę [G : H] := #(G/R) = #(G/L) prawych (lewych)

warstw względem H.

Twierdzenie III.24. Jeżeli K ⊂ H są podgrupami G, to

[G : K] = [G : H][H : K].

Dowód. Niech aαH,α ∈ A będą warstwami H w G, natomiast bβK,β ∈ B warstwami K w H. To znaczy⋃α∈A

aαH = G,⋃β∈B

bβK = H

aαH ∩ aα′H = ∅, dla α 6= α′

bβK ∩ bβ′K = ∅, dla β 6= β′.

Pokażemy, że aαbβK, (α, β) ∈ A×B są warstwami K w G. Jeżli aαbβK ∩ aα′bβ′K 6= ∅, to ponieważ bβK, bβ′K ⊂ H,

więc aαH ∩aα′H ⊃ aαbβK ∩aα′bβ′K 6= ∅, a stąd aαH ∩aα′H 6= ∅. A zatem α = α′. Mamy więc bβK ∩ bβ′K = ∅, skąd

β = β′ i ostatecznie (α, β) = (α′, β′). Ponadto⋃(α,β)∈A×B aαbβK =

⋃α∈A

⋃β∈B aαbβK =

⋃α∈A aα

⋃β∈B bβK =⋃

α∈A aαH = G.

A zatem [G : H] = #A, [G : K] = #B, [G : H] = #(A×B) = #A#B = [G : H][H : K]. �

Wniosek III.25 (Twierdzenie Lagrange’a). Jeżeli H jest podgrupą G to

|G| = [G : H]|H|

Jeżeli grupa G jest skończona, to dla dowolnej podgrupy H ⊂ G mamy |H| | |G| oraz dla dowolnego a ∈ G mamy

|a| | |G|.

Wniosek III.26. Jeżeli G jest grupą skończoną, |G| = k, to dla dowolnego a ∈ G zachodzi ak = e.

Wniosek III.27. Grupa, której rząd jest liczbą pierwszą nie zawiera podgrup nietrywialnych i jest grupą cykliczną

izomorficzną z Zp.

Dowód. Jeżeli G = 〈e〉, to Wniosek jest oczywisty. Jeżeli nie. to niech a ∈ G, a 6= e. Wtedy |〈a〉| jest liczbą

większą od 1 i dzielącą liczbę pierwszą |G|, a zatem G = 〈a〉. �

Niech φ(n) będzie liczbą reszt modulo n względnie pierwszych z n, można pokazać, że φ(n) = (p1−1)pk1−11 . . . (pm−

1)pkm−1m , gdzie n = pk11 . . . pkmm jest rozkładem na czynniki pierwsze. (Funkcję φ nazywamy funkcją Eulera).




Wniosek III.28 (Ćwiczenie).

Jeżeli (a, n) = 1, to aφ(n) ≡ 1 mod n, (Twierdzenie Eulera).

Jeżeli p jest liczba pierwszą i p - a, to ap−1 ≡ 1 mod p, (Małe Twierdzenie Fermata).

Definicja III.12. Podgrupę N grupy G nazywamy normalną (oznaczamy N /G) jeżeli xnx−1 ∈ N dla dowolnych

n ∈ N, x ∈ G.

Lemat III.29. Dowolna podgrupa grupy abelowej jest normalna.

Dowód. Jeżeli G jest grupą abelową to dla dowolnych n ∈ N, x ∈ G mamy xnx−1 = xx−1n = en = n ∈ N . �

Propozycja III.30. Niech N będzie podgrupą grpy G. Następujące warunki są równoważne

(1) N jest podgrupą normalną G,

(2) xNx−1 ⊂ N dla dowolnego x ∈ G,

(3) xNx−1 = N dla dowolnego x ∈ G,

(4) xN = Nx dla dowolnego x ∈ G,

(5) Dowolna lewa warstwa jest również warstwą prawą,

(6) R = L,

(7) Relacja L jest zgodna z działaniem w grupie,

(8) Relacja R jest zgodna z działaniem w grupie,

Dowód. (1)⇒ (2), (4)⇒ (5)⇒ (6) są oczywiste.

(2) ⇒ (3). Ustalmy dowolny x ∈ G. Wiemy, że xNx−1 ⊂ N . Ale mamy również N = x−1(xNx−1)x ⊂ xNx−1 a

zatem xNx−1 = N .

(3)⇒ (4). Mamy xN = (xNx−1)x = Nx.

(6) ⇒ (1). Wybierzmy dowolne n ∈ N, x ∈ G. Ponieważ n−1 = n−1x−1x = (xn)−1x ∈ N , więc (xn, x) ∈ L = R.

Stąd xnx−1 ∈ N , czyli N jest podgrupą normalną.

(1)⇒ (7). Niech a, b, a′, b′ ∈ N takie, że (a, b) ∈ L, (a′, b′) ∈ L, tzn, a−1b ∈ N, a′−1b′ ∈ N . Wtedy a′−1a−1ba′ ∈ N ,

więc (aa′)−1bb′ = a′−1a−1bb′ = a′−1a−1ba′a′−1b′ ∈ N , czyli (aa′, bb′) ∈ L.

(1)⇒ (8) dowodzi się analogicznie.

Implikacje (7)⇒ (1) oraz (8)⇒ (1) są szzególnym przypadkiem poniższego Lematu. �

Lemat III.31. Jeżeli relacja równoważności R jest zgodna z działaniem w grupie G to zbiór

{a ∈ G : (a, e) ∈ R}

jest podgrupą normalną.

Dowód. Oznaczmy N := {a ∈ G : (a, e) ∈ R}. Jeżeli a, b ∈ N , to (a, e) ∈ R oraz (b, e) ∈ R. Z symetrii relacji

mamy (e, b) ∈ R, a ze zwrotności (b−1, b−1) ∈ R. Ponieważ relacja R jest zgodna z działaniem więc mnożąc stronami

dostajemy (ab−1, e) = (aeb−1, ebb−1) ∈ R, więc N jest podgrupą.

Niech teraz a ∈ N, x ∈ G. Ze zwrotności R i definicji N mamy (x, x) ∈ R, (n, e) ∈ R, (x−1, x−1) ∈ R, Mnożąc

stronami otrzymujemy (xnx−1, e) = (xnx−1, xex−1) =∈ R, więc xnx−1 ∈ N , czyli N / G. �

Definicja III.13. Niech N będzie pdogrupą normalną grupy G. Grupą ilorazową G/N nazywamy zbiór warstw

N w G z działaniem mnożenia (xN)(yN) = xyN .

Uwaga. Powyższ definicja pokrywa się z definicją ilorazu grupy przez relację zgodną, G/N = G/L.

Lemat III.32. Dowolna podgrupa indeksu 2 jest normalna.

Dowód. Warstwmi są podgrupa i jej dopełnienie. �

Przykład III.33. An jest podgrupą normalną Σn indeksu 2. Jedynymi podgrupami normalnymi A4 są 〈e〉, A4oraz grupa indeksu 2 izomorficzna z czwórką Kleina.

Zbiór obrotów jest podgrupą normalną grpuy Dn indeksu 2. Wyznaczyć wszystkie podgrupy (normalne) grupy

Dn.


2015 - sc.im.uj.edu.plsc.im.uj.edu.pl/images/videos/wstep.pdf · algebra zaczęła się ponownie...

Documents