20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01
TRANSCRIPT
![Page 1: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/1.jpg)
Квантовые алгоритмы:возможности и ограничения.
Лекция 1: стандартная модель
М. Вялый
Вычислительный центрим. А.А.Дородницына
Российской Академии наук
Санкт-Петербург, 2011
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 1 / 36
![Page 2: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/2.jpg)
План
1 Введение
2 Состояния классических систем
3 Чистые состояния квантовых систем
4 Преобразования чистых состояний
5 Стандартная идеализация квантового компьютера
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 2 / 36
![Page 3: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/3.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 4: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/4.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 5: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/5.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
Передача информации
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 6: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/6.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
Объединение систем
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 7: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/7.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
Разделение систем
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 8: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/8.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
Забывание информации
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 9: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/9.jpg)
С кем и чем имеют дело в информатике?
Носитель информации:
Преобразование информации
Измерение 1М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36
![Page 10: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/10.jpg)
План
1 Введение
2 Состояния классических систем
3 Чистые состояния квантовых систем
4 Преобразования чистых состояний
5 Стандартная идеализация квантового компьютера
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 4 / 36
![Page 11: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Система с конечным числом состояний
Классическая детерминированная система: конечное множество.
Пример: битМножество из двух элементов. Обычное обозначение 0 и 1.
Вероятностная система.
Пример: подбрасывание монетыРавновероятны оба исхода. Поэтому состояние описывается линейнойкомбинацией
12«орел» +
12«решка».
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 5 / 36
![Page 12: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Система с конечным числом состояний
Классическая детерминированная система: конечное множество.
Пример: битМножество из двух элементов. Обычное обозначение 0 и 1.
Вероятностная система.
Пример: подбрасывание монетыРавновероятны оба исхода. Поэтому состояние описывается линейнойкомбинацией
12«орел» +
12«решка».
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 5 / 36
![Page 13: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Система с конечным числом состояний
Классическая детерминированная система: конечное множество.
Пример: битМножество из двух элементов. Обычное обозначение 0 и 1.
Вероятностная система.
Пример: подбрасывание монетыРавновероятны оба исхода. Поэтому состояние описывается линейнойкомбинацией
12«орел» +
12«решка».
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 5 / 36
![Page 14: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Система с конечным числом состояний
Классическая детерминированная система: конечное множество.
Пример: битМножество из двух элементов. Обычное обозначение 0 и 1.
Вероятностная система.
Пример: подбрасывание монетыРавновероятны оба исхода. Поэтому состояние описывается линейнойкомбинацией
12«орел» +
12«решка».
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 5 / 36
![Page 15: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/15.jpg)
Состояния вероятностной системы
Исход — это результат наблюдения над системой.
Два возможных исхода 0, 1Отрезок
{(p0, p1) : p0 > 0, p1 > 0, p0 + p1 = 1}.
Конечное множество возможных исходов 0, 1, . . . , n − 1Симплекс
{(p0, . . . , pn−1) : pi > 0,n−1∑i=0
pi = 1}.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 6 / 36
![Page 16: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/16.jpg)
Состояния вероятностной системы
Исход — это результат наблюдения над системой.
Два возможных исхода 0, 1Отрезок
{(p0, p1) : p0 > 0, p1 > 0, p0 + p1 = 1}.
Конечное множество возможных исходов 0, 1, . . . , n − 1Симплекс
{(p0, . . . , pn−1) : pi > 0,n−1∑i=0
pi = 1}.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 6 / 36
![Page 17: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/17.jpg)
План
1 Введение
2 Состояния классических систем
3 Чистые состояния квантовых систем
4 Преобразования чистых состояний
5 Стандартная идеализация квантового компьютера
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 7 / 36
![Page 18: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/18.jpg)
Квантовая система с двумя состояниями: кубит
Пространство состояний кубита — это 2-мерная сфера. Сфераописывает только «чистые» состояния.В самом общем случае, когда возможны рандомизированные смеси«чистых» квантовых состояний, получается шар.
0
1
0
1
бит кубит: сфера Блоха
0
1
0
1
случайный бит смешанное состояние кубита: шар Блоха
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 8 / 36
![Page 19: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/19.jpg)
Пространство чистых состояний
Пусть квантовая система имеет конечное количество n исходов(результатов наблюдения).
ОпределениеПространство чистых состояний — (n − 1)-мерное комплексноепроективное пространство.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 9 / 36
![Page 20: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/20.jpg)
Напоминание
Комплексное число представляется в виде z = x + iy , где i2 = −1, аx , y — вещественные числа.Другая форма представления: r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ. Здесь|z | =
√x2 + y2 — модуль числа z , ϕ — аргумент (фаза, как говорят
физики).
|z|
x
yz = x+ iy
'
1
i
0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 10 / 36
![Page 21: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/21.jpg)
d -мерное комплексное проективное пространство
ОпределениеТочки d -мерного комплексного проективного пространства задаютсяненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа.Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если ониразличаются на комплексный множитель:
(α0, α1, . . . , αd ) ∼ (β0, β1, . . . , βd ) ⇔ αi = γβi .
Обычно квантовое состояние системы с n исходами задается наборомn комплексных чисел — амплитуд, которые нормированы на 1:
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
При этом остается еще одна степень свободы: умножение всехамплитуд на множитель e iϕ, по модулю равный 1 (сдвиг фазы).Состояние от такого умножения не меняется.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36
![Page 22: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/22.jpg)
d -мерное комплексное проективное пространство
ОпределениеТочки d -мерного комплексного проективного пространства задаютсяненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа.Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если ониразличаются на комплексный множитель:
(α0, α1, . . . , αd ) ∼ (β0, β1, . . . , βd ) ⇔ αi = γβi .
Обычно квантовое состояние системы с n исходами задается наборомn комплексных чисел — амплитуд, которые нормированы на 1:
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
При этом остается еще одна степень свободы: умножение всехамплитуд на множитель e iϕ, по модулю равный 1 (сдвиг фазы).Состояние от такого умножения не меняется.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36
![Page 23: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/23.jpg)
d -мерное комплексное проективное пространство
ОпределениеТочки d -мерного комплексного проективного пространства задаютсяненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа.Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если ониразличаются на комплексный множитель:
(α0, α1, . . . , αd ) ∼ (β0, β1, . . . , βd ) ⇔ αi = γβi .
Обычно квантовое состояние системы с n исходами задается наборомn комплексных чисел — амплитуд, которые нормированы на 1:
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
При этом остается еще одна степень свободы: умножение всехамплитуд на множитель e iϕ, по модулю равный 1 (сдвиг фазы).Состояние от такого умножения не меняется.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36
![Page 24: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/24.jpg)
Вернемся к кубиту
ВопросПочему пространство состояний кубита (1-мерное комплексноепроективное пространство) — 2-мерная вещественная сфера?
Точки вида (α0, α1) ∼ (1, α1/α0), α0 6= 0, образуютвещественную плоскость. Есть еще одна точка (0, α)(бесконечно удаленная точка). Получается сфера.
(0, 1)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36
![Page 25: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/25.jpg)
Вернемся к кубиту
ВопросПочему пространство состояний кубита (1-мерное комплексноепроективное пространство) — 2-мерная вещественная сфера?
Точки вида (α0, α1) ∼ (1, α1/α0), α0 6= 0, образуютвещественную плоскость. Есть еще одна точка (0, α)(бесконечно удаленная точка). Получается сфера.
(0, 1)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36
![Page 26: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/26.jpg)
Вернемся к кубиту
ВопросПочему пространство состояний кубита (1-мерное комплексноепроективное пространство) — 2-мерная вещественная сфера?
Точки вида (α0, α1) ∼ (1, α1/α0), α0 6= 0, образуютвещественную плоскость. Есть еще одна точка (0, α)(бесконечно удаленная точка). Получается сфера.
(0, 1)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36
![Page 27: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/27.jpg)
Состояния из многих кубитов
В классическом случае состояния n битов — это двоичные словадлины n и их 2n штук.
В вероятностном случае мы получаем «многомерное» распределение
(pi0i1...in−1), pi0i1...in−1 > 0,∑
(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
pi0i1...in−1 = 1. (Pn)
В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве:∑(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
αi0i1...in−1 |i0, i1, . . . , in−1〉,∑
|αi0i1...in−1 |2 = 1. (Qn)
Обозначения Дирака: |ψ〉 обозначает вектор, а если этот векторпринадлежит вычислительному базису, то мы между | и 〉 пишем егоиндекс.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36
![Page 28: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/28.jpg)
Состояния из многих кубитов
В классическом случае состояния n битов — это двоичные словадлины n и их 2n штук.В вероятностном случае мы получаем «многомерное» распределение
(pi0i1...in−1), pi0i1...in−1 > 0,∑
(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
pi0i1...in−1 = 1. (Pn)
В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве:∑(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
αi0i1...in−1 |i0, i1, . . . , in−1〉,∑
|αi0i1...in−1 |2 = 1. (Qn)
Обозначения Дирака: |ψ〉 обозначает вектор, а если этот векторпринадлежит вычислительному базису, то мы между | и 〉 пишем егоиндекс.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36
![Page 29: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/29.jpg)
Состояния из многих кубитов
В классическом случае состояния n битов — это двоичные словадлины n и их 2n штук.В вероятностном случае мы получаем «многомерное» распределение
(pi0i1...in−1), pi0i1...in−1 > 0,∑
(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
pi0i1...in−1 = 1. (Pn)
В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве:∑(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
αi0i1...in−1 |i0, i1, . . . , in−1〉,∑
|αi0i1...in−1 |2 = 1. (Qn)
Обозначения Дирака: |ψ〉 обозначает вектор, а если этот векторпринадлежит вычислительному базису, то мы между | и 〉 пишем егоиндекс.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36
![Page 30: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/30.jpg)
Состояния из многих кубитов
В классическом случае состояния n битов — это двоичные словадлины n и их 2n штук.В вероятностном случае мы получаем «многомерное» распределение
(pi0i1...in−1), pi0i1...in−1 > 0,∑
(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
pi0i1...in−1 = 1. (Pn)
В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве:∑(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
αi0i1...in−1 |i0, i1, . . . , in−1〉,∑
|αi0i1...in−1 |2 = 1. (Qn)
Обозначения Дирака: |ψ〉 обозначает вектор, а если этот векторпринадлежит вычислительному базису, то мы между | и 〉 пишем егоиндекс.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36
![Page 31: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/31.jpg)
Обратите внимание
(pi0i1...in−1), pi0i1...in−1 > 0,∑
(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
pi0i1...in−1 = 1. (Pn)
∑(i0,i1,...,in−1)∈{0,1}n
αi0i1...in−1 |i0, i1, . . . , in−1〉,∑
|αi0i1...in−1 |2 = 1. (Qn)
ЗамечаниеДовольно часто особенную силу квантовых вычислений видят в том,что пространство состояний системы из n кубитов имеет оченьбольшую размерность 2n. Сравнение формул (Pn) и (Qn) показываетнеточность такого наблюдения: 300 кубитов описываются таким жеколичеством амплитуд, что и 300 случайных битов (вещественныхпараметров в два раза больше, конечно).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 14 / 36
![Page 32: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/32.jpg)
Объединение систем
ПравилоПространство состояний составной системы является тензорнымпроизведением пространств состояний ее частей.
Тензорное произведение: простое определениеЕсли есть пространства с выделенными базисами U = (u1, . . . , un);V = (v1, . . . , vk), то их тензорное произведение U ⊗ V имеетвыделенный базис
uj ⊗ v`, 1 6 j 6 n; 1 6 ` 6 k ,|j , `〉 (в обозначениях Дирака).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 15 / 36
![Page 33: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/33.jpg)
Разложимые векторы
Тензорное произведение векторов билинейно
(λu′ + µu′′)⊗ v = λ(u′ ⊗ v) + µ(u′′ ⊗ v);
u ⊗ (λv ′ + µv ′′) = λ(u ⊗ v ′) + µ(u ⊗ v ′′).
Используя билинейность, можно выразить тензорное произведениелюбой пары векторов через базисные векторы.Разложимые вектора имеют u ⊗ v .В вероятностном случае разложимое распределение обладает такимсвойством, что величины, относящиеся к двум подсистемамнезависимы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 16 / 36
![Page 34: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/34.jpg)
Разложимые векторы
Тензорное произведение векторов билинейно
(λu′ + µu′′)⊗ v = λ(u′ ⊗ v) + µ(u′′ ⊗ v);
u ⊗ (λv ′ + µv ′′) = λ(u ⊗ v ′) + µ(u ⊗ v ′′).
Используя билинейность, можно выразить тензорное произведениелюбой пары векторов через базисные векторы.Разложимые вектора имеют u ⊗ v .В вероятностном случае разложимое распределение обладает такимсвойством, что величины, относящиеся к двум подсистемамнезависимы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 16 / 36
![Page 35: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/35.jpg)
Разложимые векторы
Тензорное произведение векторов билинейно
(λu′ + µu′′)⊗ v = λ(u′ ⊗ v) + µ(u′′ ⊗ v);
u ⊗ (λv ′ + µv ′′) = λ(u ⊗ v ′) + µ(u ⊗ v ′′).
Используя билинейность, можно выразить тензорное произведениелюбой пары векторов через базисные векторы.Разложимые вектора имеют u ⊗ v .В вероятностном случае разложимое распределение обладает такимсвойством, что величины, относящиеся к двум подсистемамнезависимы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 16 / 36
![Page 36: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/36.jpg)
Разложимые векторы
Тензорное произведение векторов билинейно
(λu′ + µu′′)⊗ v = λ(u′ ⊗ v) + µ(u′′ ⊗ v);
u ⊗ (λv ′ + µv ′′) = λ(u ⊗ v ′) + µ(u ⊗ v ′′).
Используя билинейность, можно выразить тензорное произведениелюбой пары векторов через базисные векторы.Разложимые вектора имеют u ⊗ v .В вероятностном случае разложимое распределение обладает такимсвойством, что величины, относящиеся к двум подсистемамнезависимы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 16 / 36
![Page 37: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/37.jpg)
Неразложимые состояния
Вероятностное распределение
p00 =12; p11 =
12; p01 = p10 = 0.
Квантовое состояние1√2|00〉+
1√2|11〉
ЗамечаниеДля неразложимых состояний составных квантовых системиспользуется специальный термин «сцепленность». Сцепленностьиграет большую роль в квантовой теории информации. Как, впрочем,и понятие независимости в теории вероятностей.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 17 / 36
![Page 38: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/38.jpg)
Неразложимые состояния
Вероятностное распределение
p00 =12; p11 =
12; p01 = p10 = 0.
Квантовое состояние1√2|00〉+
1√2|11〉
ЗамечаниеДля неразложимых состояний составных квантовых системиспользуется специальный термин «сцепленность». Сцепленностьиграет большую роль в квантовой теории информации. Как, впрочем,и понятие независимости в теории вероятностей.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 17 / 36
![Page 39: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/39.jpg)
Неразложимые состояния
Вероятностное распределение
p00 =12; p11 =
12; p01 = p10 = 0.
Квантовое состояние1√2|00〉+
1√2|11〉
ЗамечаниеДля неразложимых состояний составных квантовых системиспользуется специальный термин «сцепленность». Сцепленностьиграет большую роль в квантовой теории информации. Как, впрочем,и понятие независимости в теории вероятностей.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 17 / 36
![Page 40: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/40.jpg)
План
1 Введение
2 Состояния классических систем
3 Чистые состояния квантовых систем
4 Преобразования чистых состояний
5 Стандартная идеализация квантового компьютера
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 18 / 36
![Page 41: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/41.jpg)
Наблюдение (измерение)
Основное правилоПусть система находится в состоянии
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
Тогда при наблюдении этой системы вероятность исхода k равна |αk |2.
Умножение всех амплитуд на одно и то же число, равное помодулю 1, не меняет вероятностей исходов.Поэтому-то мы и считаем пространством состояний комплексноепроективное пространство.Однако и умножение амплитуд на разные множители, равные помодулю 1, не изменяет вероятности исходов. Почему же мы несчитаем все такие состояния одинаковыми? (В таком случаеквантовое пространство состояний выродится в вероятностное.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 19 / 36
![Page 42: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/42.jpg)
Наблюдение (измерение)
Основное правилоПусть система находится в состоянии
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
Тогда при наблюдении этой системы вероятность исхода k равна |αk |2.
Умножение всех амплитуд на одно и то же число, равное помодулю 1, не меняет вероятностей исходов.Поэтому-то мы и считаем пространством состояний комплексноепроективное пространство.Однако и умножение амплитуд на разные множители, равные помодулю 1, не изменяет вероятности исходов. Почему же мы несчитаем все такие состояния одинаковыми? (В таком случаеквантовое пространство состояний выродится в вероятностное.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 19 / 36
![Page 43: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/43.jpg)
Наблюдение (измерение)
Основное правилоПусть система находится в состоянии
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
Тогда при наблюдении этой системы вероятность исхода k равна |αk |2.
Умножение всех амплитуд на одно и то же число, равное помодулю 1, не меняет вероятностей исходов.Поэтому-то мы и считаем пространством состояний комплексноепроективное пространство.Однако и умножение амплитуд на разные множители, равные помодулю 1, не изменяет вероятности исходов. Почему же мы несчитаем все такие состояния одинаковыми? (В таком случаеквантовое пространство состояний выродится в вероятностное.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 19 / 36
![Page 44: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/44.jpg)
Наблюдение (измерение)
Основное правилоПусть система находится в состоянии
{(α0, α1, . . . , αn−1) : αk ∈ C,n−1∑k=0
|αk |2 = 1}.
Тогда при наблюдении этой системы вероятность исхода k равна |αk |2.
Умножение всех амплитуд на одно и то же число, равное помодулю 1, не меняет вероятностей исходов.Поэтому-то мы и считаем пространством состояний комплексноепроективное пространство.Однако и умножение амплитуд на разные множители, равные помодулю 1, не изменяет вероятности исходов. Почему же мы несчитаем все такие состояния одинаковыми? (В таком случаеквантовое пространство состояний выродится в вероятностное.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 19 / 36
![Page 45: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/45.jpg)
Ответ
Мы считаем состояния разными, если можно опытным путемобнаружить отличия между ними.Разницу между состояниями, амплитуды которых различаются лишьфазовыми множителями (модуль равен 1), можно обнаружить двумяспособами:
Выполнить некоторое преобразование (одно и то же в обоихслучаях) и потом произвести то же самое измерение.Выполнить измерение другим прибором.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 20 / 36
![Page 46: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/46.jpg)
Ответ
Мы считаем состояния разными, если можно опытным путемобнаружить отличия между ними.Разницу между состояниями, амплитуды которых различаются лишьфазовыми множителями (модуль равен 1), можно обнаружить двумяспособами:
Выполнить некоторое преобразование (одно и то же в обоихслучаях) и потом произвести то же самое измерение.Выполнить измерение другим прибором.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 20 / 36
![Page 47: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/47.jpg)
Свойства измерения
Важно!Состояние системы после наблюдения k описывается набором чисел
(0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸k
, 1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n − k − 1
).
Повторные наблюдения будут давать k с вероятностью 1 (если ссистемой ничего не делать).Это полностью аналогично вероятностному случаю: когдаподброшенная монета упала на «орла», она так и будет лежать этойстороной вверх, если ее не трогать.
Еще важнее!!В квантовой физике могут быть разные приборы для наблюдения.Последовательные измерения разными приборами могут менятьсостояние системы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 21 / 36
![Page 48: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/48.jpg)
Свойства измерения
Важно!Состояние системы после наблюдения k описывается набором чисел
(0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸k
, 1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n − k − 1
).
Повторные наблюдения будут давать k с вероятностью 1 (если ссистемой ничего не делать).Это полностью аналогично вероятностному случаю: когдаподброшенная монета упала на «орла», она так и будет лежать этойстороной вверх, если ее не трогать.
Еще важнее!!В квантовой физике могут быть разные приборы для наблюдения.Последовательные измерения разными приборами могут менятьсостояние системы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 21 / 36
![Page 49: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/49.jpg)
Свойства измерения
Важно!Состояние системы после наблюдения k описывается набором чисел
(0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸k
, 1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n − k − 1
).
Повторные наблюдения будут давать k с вероятностью 1 (если ссистемой ничего не делать).Это полностью аналогично вероятностному случаю: когдаподброшенная монета упала на «орла», она так и будет лежать этойстороной вверх, если ее не трогать.
Еще важнее!!В квантовой физике могут быть разные приборы для наблюдения.Последовательные измерения разными приборами могут менятьсостояние системы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 21 / 36
![Page 50: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/50.jpg)
Пример с кубитом и сферой Блоха
Прибор описывается направлением x из центра сферы Блоха (это одини тот же прибор, но по-разному повернутый в пространстве).Вероятность наблюдения 1 в состоянии, описываемом вектором yравна
1 + x · y2
.
y2
y1Пусть измерение прибором y1дало исход 1. Состояние куби-та после измерения стало y1.Оно обязательно изменится по-сле измерения прибором y2.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 22 / 36
![Page 51: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/51.jpg)
Что такое прибор в нашем формализме?
ОтветПрибор — это ортонормированный базис {uk} в n-мерном унитарномпространстве:
uk · u` = δk` =
{1, если k = `,
0, иначе.
Слово «унитарный» означает, что пространство снабжено эрмитовымскалярным произведением
(α0, . . . , αn−1) · (β0, . . . , βn−1) = α∗0β0 + · · ·+ α∗n−1βn−1.
Здесь z∗ = x − iy обозначает число, комплексно сопряженное числуz = x + iy .Амплитуда состояния x относительно k-го вектора uk в базисе равнаскалярному произведению x · uk .Это не то скалярное произведение, которое использовалось в примересо сферой Блоха!
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 23 / 36
![Page 52: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/52.jpg)
Что такое прибор в нашем формализме?
ОтветПрибор — это ортонормированный базис {uk} в n-мерном унитарномпространстве:
uk · u` = δk` =
{1, если k = `,
0, иначе.
Слово «унитарный» означает, что пространство снабжено эрмитовымскалярным произведением
(α0, . . . , αn−1) · (β0, . . . , βn−1) = α∗0β0 + · · ·+ α∗n−1βn−1.
Здесь z∗ = x − iy обозначает число, комплексно сопряженное числуz = x + iy .Амплитуда состояния x относительно k-го вектора uk в базисе равнаскалярному произведению x · uk .Это не то скалярное произведение, которое использовалось в примересо сферой Блоха!
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 23 / 36
![Page 53: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/53.jpg)
Стандартное предположение
Мы почти всегда будем обсуждать ситуации, в которых «прибор»фиксирован. Поэтому у нас, как и в вероятностном случае, естьвыделенный базис, который обычно называют вычислительнымбазисом.
В этом случае разницу между состояниями, амплитуды которыхразличаются лишь фазовыми множителями, можно обнаружить,применяя одно и то же преобразование к обоим системам.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 24 / 36
![Page 54: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/54.jpg)
Стандартное предположение
Мы почти всегда будем обсуждать ситуации, в которых «прибор»фиксирован. Поэтому у нас, как и в вероятностном случае, естьвыделенный базис, который обычно называют вычислительнымбазисом.
В этом случае разницу между состояниями, амплитуды которыхразличаются лишь фазовыми множителями, можно обнаружить,применяя одно и то же преобразование к обоим системам.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 24 / 36
![Page 55: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/55.jpg)
Преобразования чистых состояний
Постулат стандартной квантовой механикиПреобразования должны быть линейными.
ПравилоВозможны преобразования, задаваемые произвольными унитарнымиоператорами:
ψ 7→ Uψ, где U†U = I .
Унитарный оператор сохраняет длину вектора
〈ψ|U†U|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉
и, более общим образом, скалярное произведение между векторами
〈ξ|U†U|ψ〉 = 〈ξ|ψ〉
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36
![Page 56: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/56.jpg)
Преобразования чистых состояний
Постулат стандартной квантовой механикиПреобразования должны быть линейными.
ПравилоВозможны преобразования, задаваемые произвольными унитарнымиоператорами:
ψ 7→ Uψ, где U†U = I .
Унитарный оператор сохраняет длину вектора
〈ψ|U†U|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉
и, более общим образом, скалярное произведение между векторами
〈ξ|U†U|ψ〉 = 〈ξ|ψ〉
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36
![Page 57: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/57.jpg)
Преобразования чистых состояний
Постулат стандартной квантовой механикиПреобразования должны быть линейными.
ПравилоВозможны преобразования, задаваемые произвольными унитарнымиоператорами:
ψ 7→ Uψ, где U†U = I .
Унитарный оператор сохраняет длину вектора
〈ψ|U†U|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉
и, более общим образом, скалярное произведение между векторами
〈ξ|U†U|ψ〉 = 〈ξ|ψ〉
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36
![Page 58: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/58.jpg)
Обозначения Дирака: более тесное знакомство
Кет-векторы: |ψ〉 ∈ V (вектор-столбцы).Бра-векторы: 〈ψ| ∈ V ∗ — линейные функционалы на V(вектор-строки).Скалярное произведение: 〈ψ|ξ〉. Индуцирует изоморфизмV → V ∗:
|ψ〉 7→ 〈ψ|; 〈ψ|(|ξ〉) = 〈ψ|ξ〉.
Пример
|ψ〉 =1√2
(i1
), 〈ψ| = 1√
2
(−i 1
).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 26 / 36
![Page 59: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/59.jpg)
Обозначения Дирака: более тесное знакомство
Кет-векторы: |ψ〉 ∈ V (вектор-столбцы).Бра-векторы: 〈ψ| ∈ V ∗ — линейные функционалы на V(вектор-строки).Скалярное произведение: 〈ψ|ξ〉. Индуцирует изоморфизмV → V ∗:
|ψ〉 7→ 〈ψ|; 〈ψ|(|ξ〉) = 〈ψ|ξ〉.
Пример
|ψ〉 =1√2
(i1
), 〈ψ| = 1√
2
(−i 1
).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 26 / 36
![Page 60: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/60.jpg)
Обозначения Дирака: более тесное знакомство
Кет-векторы: |ψ〉 ∈ V (вектор-столбцы).Бра-векторы: 〈ψ| ∈ V ∗ — линейные функционалы на V(вектор-строки).Скалярное произведение: 〈ψ|ξ〉. Индуцирует изоморфизмV → V ∗:
|ψ〉 7→ 〈ψ|; 〈ψ|(|ξ〉) = 〈ψ|ξ〉.
Пример
|ψ〉 =1√2
(i1
), 〈ψ| = 1√
2
(−i 1
).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 26 / 36
![Page 61: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/61.jpg)
Обозначения Дирака: более тесное знакомство
Кет-векторы: |ψ〉 ∈ V (вектор-столбцы).Бра-векторы: 〈ψ| ∈ V ∗ — линейные функционалы на V(вектор-строки).Скалярное произведение: 〈ψ|ξ〉. Индуцирует изоморфизмV → V ∗:
|ψ〉 7→ 〈ψ|; 〈ψ|(|ξ〉) = 〈ψ|ξ〉.
Пример
|ψ〉 =1√2
(i1
), 〈ψ| = 1√
2
(−i 1
).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 26 / 36
![Page 62: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/62.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 63: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/63.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 64: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/64.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 65: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/65.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 66: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/66.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 67: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/67.jpg)
Операторы и матрицы в обозначениях Дирака
〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉 = 〈ξ|A|η〉Второе равенство задает линейный функционал 〈ψ| = 〈ξ|A.Соответствующий кет-вектор |ψ〉 получается из |ξ〉 применениемлинейного оператора A†, который называется эрмитовосопряженным к A.Из определения сразу следует, что
〈A†ξ|η〉 = 〈ξ|A|η〉.Операторы можно задавать матрицами в ортонормированномбазисе:
A =∑j ,k
ajk |j〉〈k |, где ajk = 〈j |A|k〉 — матричный элемент.
Упражнение
Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированиеми комплексным сопряжением: (A†)jk = (Akj)
∗.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36
![Page 68: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/68.jpg)
Какие бывают унитарные операторы
ТеоремаДля любого унитарного оператора есть ортонормированный базис, вкотором его матрица диагональна:
Ujk = λjδjk .
Из условия унитарности следует, что λ∗j λj = 1, т. е. все собственныечисла унитарного оператора равны по модулю 1.В вычислительном базисе унитарный оператор записываетсяматрицей, столбцы (и строки) которой образуют ортонормированныйбазис.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 28 / 36
![Page 69: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/69.jpg)
Эрмитовы операторы
Определение
Оператор A эрмитов, если A† = A.
ТеоремаДля любого эрмитова оператора есть ортонормированный базис, вкотором его матрица диагональна.
СледствиеСобственные числа эрмитова оператора вещественны: akk = a∗kk
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 29 / 36
![Page 70: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/70.jpg)
Эрмитовы операторы
Определение
Оператор A эрмитов, если A† = A.
ТеоремаДля любого эрмитова оператора есть ортонормированный базис, вкотором его матрица диагональна.
СледствиеСобственные числа эрмитова оператора вещественны: akk = a∗kk
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 29 / 36
![Page 71: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/71.jpg)
Эрмитовы операторы
Определение
Оператор A эрмитов, если A† = A.
ТеоремаДля любого эрмитова оператора есть ортонормированный базис, вкотором его матрица диагональна.
СледствиеСобственные числа эрмитова оператора вещественны: akk = a∗kk
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 29 / 36
![Page 72: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/72.jpg)
Наблюдаемые
Наблюдаемая A — это эрмитов оператор. Возможные значениянаблюдаемой — собственные числа A.
Правило из физикиЕсли оператор A имеет собственные числа λk и собственные векторы|ψk〉, то при измерении состояния
|ψ〉 =∑k
ck |ψk〉
наблюдается значение λk с вероятностью |ck |2.
Среднее значение наблюдаемой
E (|ψ〉,A) =∑k
|ck |2λk =∑k
〈ψk |c∗k ckλk |ψk〉 = 〈ψ|A|ψ〉.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 30 / 36
![Page 73: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/73.jpg)
Наблюдаемые
Наблюдаемая A — это эрмитов оператор. Возможные значениянаблюдаемой — собственные числа A.
Правило из физикиЕсли оператор A имеет собственные числа λk и собственные векторы|ψk〉, то при измерении состояния
|ψ〉 =∑k
ck |ψk〉
наблюдается значение λk с вероятностью |ck |2.
Среднее значение наблюдаемой
E (|ψ〉,A) =∑k
|ck |2λk =∑k
〈ψk |c∗k ckλk |ψk〉 = 〈ψ|A|ψ〉.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 30 / 36
![Page 74: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/74.jpg)
Наблюдаемые
Наблюдаемая A — это эрмитов оператор. Возможные значениянаблюдаемой — собственные числа A.
Правило из физикиЕсли оператор A имеет собственные числа λk и собственные векторы|ψk〉, то при измерении состояния
|ψ〉 =∑k
ck |ψk〉
наблюдается значение λk с вероятностью |ck |2.
Среднее значение наблюдаемой
E (|ψ〉,A) =∑k
|ck |2λk =∑k
〈ψk |c∗k ckλk |ψk〉 = 〈ψ|A|ψ〉.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 30 / 36
![Page 75: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/75.jpg)
События
Событие L — подпространство унитарного пространства.Наблюдаемая, связанная с событием: проектор наподпространство ΠL.Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0(событие не происходит).Вероятность события в состоянии |ψ〉
Pr(|ψ〉, L) = 〈ψ|ΠL|ψ〉 = 〈ψ|Π†LΠL|ψ〉,
так как Π2L = ΠL.
Вероятность события равна квадрату длину проекции векторасостояния на подпространство, отвечающее этому событию.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36
![Page 76: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/76.jpg)
События
Событие L — подпространство унитарного пространства.Наблюдаемая, связанная с событием: проектор наподпространство ΠL.Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0(событие не происходит).Вероятность события в состоянии |ψ〉
Pr(|ψ〉, L) = 〈ψ|ΠL|ψ〉 = 〈ψ|Π†LΠL|ψ〉,
так как Π2L = ΠL.
Вероятность события равна квадрату длину проекции векторасостояния на подпространство, отвечающее этому событию.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36
![Page 77: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/77.jpg)
События
Событие L — подпространство унитарного пространства.Наблюдаемая, связанная с событием: проектор наподпространство ΠL.Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0(событие не происходит).Вероятность события в состоянии |ψ〉
Pr(|ψ〉, L) = 〈ψ|ΠL|ψ〉 = 〈ψ|Π†LΠL|ψ〉,
так как Π2L = ΠL.
Вероятность события равна квадрату длину проекции векторасостояния на подпространство, отвечающее этому событию.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36
![Page 78: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/78.jpg)
События
Событие L — подпространство унитарного пространства.Наблюдаемая, связанная с событием: проектор наподпространство ΠL.Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0(событие не происходит).Вероятность события в состоянии |ψ〉
Pr(|ψ〉, L) = 〈ψ|ΠL|ψ〉 = 〈ψ|Π†LΠL|ψ〉,
так как Π2L = ΠL.
Вероятность события равна квадрату длину проекции векторасостояния на подпространство, отвечающее этому событию.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36
![Page 79: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/79.jpg)
События
Событие L — подпространство унитарного пространства.Наблюдаемая, связанная с событием: проектор наподпространство ΠL.Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0(событие не происходит).Вероятность события в состоянии |ψ〉
Pr(|ψ〉, L) = 〈ψ|ΠL|ψ〉 = 〈ψ|Π†LΠL|ψ〉,
так как Π2L = ΠL.
Вероятность события равна квадрату длину проекции векторасостояния на подпространство, отвечающее этому событию.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36
![Page 80: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/80.jpg)
Преобразования составной системы
Если мы применяем оператор U к первой части (первому регистру)составной системы AB, то на составную систему действует операторU ⊗ I .
ОпределениеТензорное произведение операторов на разложимых векторахдействует покомпонентно:
Z = X ⊗ Y ⇔ Z (u ⊗ v) = (Xu)⊗ (Yv),
а на остальные продолжается по линейности.
ВопросПочему это определение корректно? (Не зависит от выборапредставления суммой разложимых векторов.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 32 / 36
![Page 81: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/81.jpg)
Преобразования составной системы
Если мы применяем оператор U к первой части (первому регистру)составной системы AB, то на составную систему действует операторU ⊗ I .
ОпределениеТензорное произведение операторов на разложимых векторахдействует покомпонентно:
Z = X ⊗ Y ⇔ Z (u ⊗ v) = (Xu)⊗ (Yv),
а на остальные продолжается по линейности.
ВопросПочему это определение корректно? (Не зависит от выборапредставления суммой разложимых векторов.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 32 / 36
![Page 82: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/82.jpg)
Преобразования составной системы
Если мы применяем оператор U к первой части (первому регистру)составной системы AB, то на составную систему действует операторU ⊗ I .
ОпределениеТензорное произведение операторов на разложимых векторахдействует покомпонентно:
Z = X ⊗ Y ⇔ Z (u ⊗ v) = (Xu)⊗ (Yv),
а на остальные продолжается по линейности.
ВопросПочему это определение корректно? (Не зависит от выборапредставления суммой разложимых векторов.)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 32 / 36
![Page 83: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/83.jpg)
Корректность определения тензорного произведенияоператоров
ЗадачаПусть α : U × V → W — билинейное отображение. Тогда существуетединственное линейное отображение β : U ⊗ V → W , для которогоравенство β(u ⊗ v) = α(u, v) выполняется для любых векторов u ∈ U,v ∈ V .
Если α(u, v) = (Xu)⊗ (Yv), то β является искомым тензорнымпроизведением.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 33 / 36
![Page 84: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/84.jpg)
Корректность определения тензорного произведенияоператоров
ЗадачаПусть α : U × V → W — билинейное отображение. Тогда существуетединственное линейное отображение β : U ⊗ V → W , для которогоравенство β(u ⊗ v) = α(u, v) выполняется для любых векторов u ∈ U,v ∈ V .
Если α(u, v) = (Xu)⊗ (Yv), то β является искомым тензорнымпроизведением.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 33 / 36
![Page 85: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/85.jpg)
Свойства тензорного произведения операторов
ЗадачаДокажите, что тензорное произведение унитарных операторовунитарно.
Указание: используйте следующий факт.
УпражнениеПроверьте мультипликативность скалярного произведения наразложимых векторах в тензорном произведении унитарныхпространств
〈ψ′, ξ′|ψ′′, ξ′′〉 = 〈ψ′|ψ′′〉 · 〈ξ′|ξ′′〉.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 34 / 36
![Page 86: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/86.jpg)
Свойства тензорного произведения операторов
ЗадачаДокажите, что тензорное произведение унитарных операторовунитарно.
Указание: используйте следующий факт.
УпражнениеПроверьте мультипликативность скалярного произведения наразложимых векторах в тензорном произведении унитарныхпространств
〈ψ′, ξ′|ψ′′, ξ′′〉 = 〈ψ′|ψ′′〉 · 〈ξ′|ξ′′〉.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 34 / 36
![Page 87: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/87.jpg)
План
1 Введение
2 Состояния классических систем
3 Чистые состояния квантовых систем
4 Преобразования чистых состояний
5 Стандартная идеализация квантового компьютера
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 35 / 36
![Page 88: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/88.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36
![Page 89: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/89.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36
![Page 90: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/90.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36
![Page 91: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/91.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36
![Page 92: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/92.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36
![Page 93: 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022110308/557fa0f9d8b42ad60b8b48ae/html5/thumbnails/93.jpg)
Использование квантового ресурса в алгоритмах
Использование квантового ресурса в алгоритмахПредварительные манипуляции с классическими системами;приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно изсостояний вычислительного базиса);унитарные преобразования;измерение в вычислительном базисе;обработка результатов измерения классическими средствами;циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36