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2 Quadratische Funktionen

Der Wasserbogen hat ungefähr die Form einer Parabel. Denkt man sich die x-Achse eines Koordinatensystems auf Höhe des Wasserspiegels, ist der Scheitelpunkt der Parabel aber nicht der Koordinatenur-sprung.

Bisher wurden rein quadratische Funktionen betrachtet. Die zugehörigen Graphen sind Parabeln, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Es werden jetzt verschiedene Normalpa-rabeln betrachtet, bei denen der Scheitelpunkt nicht im Ursprung liegt.

Verschiebung der Normalparabel in y-RichtungDer grüne Graph ist gegenüber der blau gezeichneten Normalparabel um 2 nach oben verschoben und hat den Scheitel-punkt S (0 | 2).

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

f (x) = x 2 9 4 1 0 1 4 9

g (x) = x 2 + 2 11 6 3 2 3 6 11

Alle Funktionswerte von g sind gegenüber denen der Funktion f mit f (x) = x 2 um 2 erhöht. An jeder Stelle x gilt g (x) = f (x) + 2, also g (x) = x 2 + 2.

Verschiebung der Normalparabel in x-RichtungDer grüne Graph ist gegenüber der blau gezeichneten Normalparabel um 3 nach links verschoben und hat den Scheitel-punkt S (–3 | 0).

x – 3 – 2 – 1 0 1 2

f (x) = x 2 9 4 1 0 1 4

g (x) = (x + 3 ) 2 0 1 4 9 16 25

Der Funktionswert, der von f an der Stelle 2 angenommen wird, wird von g bereits an der um 3 kleineren Stelle – 1 angenommen. Dies gilt an jeder Stelle x. Der Funktions-term lautet g (x) = (x + 3 ) 2 .

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Bei einer Verschiebung

einer Parabel in

y-Richtung bleibt

die x-Koordinate des

Scheitels gleich.

Es ist auch g (x) = f (x) + 2.

Bei einer Verschiebung

einer Parabel in

x-Richtung bleibt die

y-Koordinate des

Scheitels gleich.

Es ist auch g (x) = f (x + 3).

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II Quadratische Funktionen und Gleichungen

2 Quadratische Funktionen

Verschiebung der Normalparabel in x- und y-RichtungDer gelbe Graph ist gegenüber der blau gezeichneten Normalparabel um 2 nach oben und um 3 nach links verschoben und hat den Scheitelpunkt S (– 3 | 2). Der Funk-tionsterm lautet h (x) = (x + 3 ) 2 + 2.

x – 3 – 2 – 1 0 1 2

f (x) = x 2 9 4 1 0 1 4

g (x) = (x + 3 ) 2 0 1 4 9 16 25

h (x) = (x + 3 ) 2 + 2 2 3 6 11 18 27

Verschiebung einer beliebigen Parabel in x- und y-RichtungVerschiebt man den Graphen der Funktion f mit f (x) = 0,5 x 2 um 3 nach links und um 2 nach oben, so erhält man den Graphen der Funktion h mit h (x) = 0,5 (x + 3 ) 2 + 2.

x – 3 – 2 – 1 0 1 2

f (x) = 0,5 x 2 4,5 2 0,5 0 0,5 2

g (x) = 0,5 (x + 3 ) 2 0 0,5 2 4,5 8 12,5

h (x) = 0,5 (x + 3 ) 2 + 2 2 2,5 4 6,5 10,5 14,5

Verschiebt man den Graphen einer Funktion f mit f (x) = a x 2 um u Einheiten nach rechts parallel zur x-Achse und um v Einheiten nach oben parallel zur y-Achse, so lautet der Funktionsterm der verschobenen Parabel g (x) = a (x – u ) 2 + v. Der Scheitelpunkt der verschobenen Parabel ist S (u | v).Solche Funktionen heißen allgemeine quadratische Funktionen oder quadratische Funk-tionen.

Verschobene Parabeln können keinen, einen oder zwei Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Die zugehörige quadrati-sche Funktion hat somit keine, eine oder zwei Nullstellen.Die Funktion f mit f (x) = 0,5 x 2 hat eine Nullstelle bei x = 0. Der Graph der Funkti-on g mit g (x) = 0,5 x 2 + 2 ist um 2 Einhei-ten nach oben verschoben und schneidet die x-Achse nicht. Die Funktion g hat keine Nullstelle. Der Graph der Funktion h mit h (x) = 0,5 x 2 – 4,5 ist um 4,5 Einheiten nach unten verschoben. DieseFunktion hat die Nullstellen + 3 und – 3.

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2Es ist auch h (x) = f (x + 3) + 2.

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Zur Erinnerung: Eine Nullstelle von f ist eine Zahl x, für die f (x) = 0 gilt. An einer Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.

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