2. a hidrogÉnatom szerkezete
DESCRIPTION
2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE. 2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete. A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje. Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering. A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete általános formában. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/1.jpg)
2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE
![Page 2: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/2.jpg)
2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
![Page 3: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/3.jpg)
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
![Page 4: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/4.jpg)
A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete
általános formában
EVT )ˆˆ(
![Page 5: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/5.jpg)
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
Er
e
mm op
pe
e
)422
(2
22
22
Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal,
e az elektron töltése (-1,602x10-19 C),
r az elektron protontól való távolsága,
o vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).
![Page 6: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/6.jpg)
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete megoldható!
A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.
![Page 7: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/7.jpg)
r : vezérsugár
: hajlásszög
: azimut
![Page 8: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/8.jpg)
Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba
cossin
sinsin
cos
rz
ry
rz
![Page 9: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/9.jpg)
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátérték.
222
4 1
8 nmm
mm
h
eE
pe
pe
on
n: főkvantumszám 1, 2, 3...
![Page 10: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/10.jpg)
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátfüggvények.
n : főkvantumszám : mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 …
![Page 11: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/11.jpg)
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Degenerált állapotok.
Azonos az energia (sajátérték),de különféle függvények
tartoznak hozzá.
![Page 12: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/12.jpg)
A sajátfüggvények alakja
),()( ,,,, mllnmln rR
radiális rész anguláris (szögtől függő) rész
![Page 13: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/13.jpg)
Lineár-kombinációk(ábrázolhatóság miatt)
)(2
)(2
1
,,,,
,,,,
mlnmln
mlnmln
i
Ha = 0, akkor s = 1, akkor p
= 2, akkor d indexeket használnak!Mágneses spinkvantumszám helyett x, y, z-t írnak.
![Page 14: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/14.jpg)
A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei
io
io
o
eo
eea
eea
a
r
lm
ha
cossin81
1
cossin81
1
322
3
321
322
3
321
2
2
![Page 15: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/15.jpg)
A hidrogénatom valós hullámfüggvényei
sincossin81
2
2
coscossin81
2
2
322
3132321
3
322
3132321
3
eai
ea
od
od
yz
xz
![Page 16: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/16.jpg)
A hidrogénatom Rn,l radiális hullámfüggvényei
![Page 17: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/17.jpg)
1s 2px 2py 2pz
3dX2- y
2
3dz2
3dyz 3dxz 3dxy
z
y
x
A hidrogénatomanguláris
hullámfüggvényei
![Page 18: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/18.jpg)
2.2 A hidrogénatom színképe
![Page 19: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/19.jpg)
Kiválasztási szabályok
A 4. Axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.
![Page 20: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/20.jpg)
1. szabályEnergiamegmaradás
hE
![Page 21: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/21.jpg)
Átmeneti momentum
d)(ˆ)(P 12
1 2és állapotfüggvény
1-es index: kiindulási állapotban
2-es index: végállapotban
dipólus-momentum operátor
![Page 22: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/22.jpg)
Dipólus momentum
+ -
d1 pozitív és 1 negatív töltés
q : a töltésd: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat
dq
![Page 23: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/23.jpg)
Több töltés esetén
q : a töltés
i
iiy yqi
iix xq i
iiz zq
![Page 24: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/24.jpg)
Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok
n
m bármennyi
bármennyi
1
![Page 25: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/25.jpg)
A hidrogénatom színképe
h)n
1
n
1(
mm
mm
h8
eE
22
21pe
pe
20
2
4
diszkrét vonalak!
![Page 26: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/26.jpg)
Az atomos hidrogén spektruma
![Page 27: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/27.jpg)
A hidrogénatom energiaszintjei
![Page 28: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/28.jpg)
A hidrogénatom megengedett
átmenetei
![Page 29: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/29.jpg)
A hidrogénatom vonalszériái
Lymann-széria
n1 = 1 n2 = 2, 3, 4… UVtartomány
Balmer-széria
n1 = 2 n2 = 3, 4… VIStartomány
Paschen-széria
n1 = 3 n2 = 4… IRtartomány
![Page 30: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/30.jpg)
2.3 A hidrogénatom elektronjának pálya-impulzusmomentuma
![Page 31: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/31.jpg)
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
![Page 32: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/32.jpg)
A klasszikus mechanikában
prP
![Page 33: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/33.jpg)
P
három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.
![Page 34: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/34.jpg)
Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei.
Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.
2P
zP
![Page 35: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/35.jpg)
sajátértékek2P
22 )1(P
)1(P
mellékkvantumszám
P absz. érték, hossza
![Page 36: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/36.jpg)
sajátértékezP
mP z m: mágneses kvantumszám
P vetülete a z tengelyen
![Page 37: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/37.jpg)
,2,1,0m
Minden P sajátértékhez 12 Pz sajátérték tartozik.
![Page 38: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/38.jpg)
Az -hoz tartozó pályaimpulzusmomentum térbeli
kvantáltsága
3
![Page 39: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/39.jpg)
2.4 Az elektron pálya-mágnesesmomentuma
![Page 40: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/40.jpg)
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
![Page 41: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/41.jpg)
A klasszikus fizikában
I : a köráram erőssége
A : a körbejárt felület
: a felületre merőleges egységvektor
n
nAIM
![Page 42: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/42.jpg)
Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az
impulzusmomentummal!
![Page 43: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/43.jpg)
T
eI
2rA
nT
erM
2
nAIM
![Page 44: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/44.jpg)
Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon
nT
r2rmvrmP ee
![Page 45: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/45.jpg)
nT
erM
2 n
T
r2rmvrmP ee
Pm2
eM
e
![Page 46: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/46.jpg)
A mágneses momentum operátora
Pm
eM
e
ˆ2
ˆ
![Page 47: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/47.jpg)
és operátorok sajátértékegyenletei oldhatók meg.
2M zM
![Page 48: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/48.jpg)
Bem
eM )1(
2)1(
M abszolút értéke
eB em
e Bohr-magneton
12410724,9 JTeslaB
![Page 49: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/49.jpg)
A mágneses momentum z irányú vetülete
m : mágneses kvantumszám
Be
z mm
emM
2
![Page 50: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/50.jpg)
Mágneses térben levő részecske potenciális energiája
Klasszikus fizika:
Kvantummechanika
: mágneses indukcióB
BMBMV zmág
BmV Bmág
ˆ
![Page 51: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/51.jpg)
Zeeman-effektus
![Page 52: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/52.jpg)
2.5 Az elektronspin
![Page 53: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/53.jpg)
Stern-Gerlach-kísérlet
![Page 54: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/54.jpg)
Ezüst-atom sugár kísérlet(hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény ugyanaz.)
Alapáll.: n =1;
0 Bz mM nem térül el
Eredmény: két irányba eltérül!!
és m csak 0 lehet!
![Page 55: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/55.jpg)
Értelmezés
Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.
Ez az impulzusmomentum a spin.
![Page 56: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/56.jpg)
Spin operátor
Jele: S
Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.
![Page 57: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/57.jpg)
sajátértéke2S
)1( sssP
2
1s
Ps : spinhez tartozó imp. momentum
: spinre utaló mellékkvantumszáms
22 )1( sssP
abszolút érték
![Page 58: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/58.jpg)
sajátértékezS
sP zs 2
1s
zsP : z irányú komponens
![Page 59: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/59.jpg)
Spinből származó mágneses momentum
Bsses gM )1(
Bezs sgM
abszolút érték
z irányú komponens
ge : Lande-faktor
hidrogénatomban ge=2,0023
![Page 60: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/60.jpg)
A spin operátorok sajátfüggvénye
)(ˆ
ˆ 2
sS
Sz
(közös a két operátoré)
![Page 61: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/61.jpg)
A spin létezése nem kvantummechanikai axióma.
Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)
![Page 62: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/62.jpg)
Relativitáselmélet
•Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel.•Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel.•Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel.
![Page 63: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/63.jpg)
A hidrogénatom Dirac-egyenletének megoldása
E függ n-től nagyon és j-től picit
s
0
21
: az elektronpálya impulzusmomentuma
: a spin impulzusmomentuma
ha
d pálya
s pálya
p pálya
2
1j
2
3;
2
1j
2
5;
2
3j
sj belső kvantumszám
![Page 64: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/64.jpg)
Spin-pálya felhasadás
21
d pálya
p pálya 2
3;
2
1j
2
5;
2
3j
Ha 0-től eltér a mellékkvantumszám, a belső kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak
![Page 65: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/65.jpg)
A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek
![Page 66: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/66.jpg)
Kiválasztási szabály
1,0 j
1
![Page 67: 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062807/56815012550346895dbdf5d0/html5/thumbnails/67.jpg)
A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei
)()(,, smn
„spin-koordinátor”