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Unidad 1: a) Cinemática de la partícula b) Mediciones y erroresa) Movimiento: sistemas de referencia y coordenadas. Movimiento rectilíneo: velocidad media e instantánea. Aceleración, media e instantánea. Ecuaciones horarias, o paramétricas, de la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimientos verticales libres bajo la acción de la gravedad. Gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Representación vectorial de la velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo. Movimiento curvilíneo en dos dimensiones. Vectores posición, velocidad media e instantánea, aceleración media e instantánea. Aceleración normal y tangencial. Movimiento curvilíneo con aceleración constante. Tiro oblicuo. Movimiento circular: velocidad angular, aceleración angular. Relaciones vectoriales en el movimiento circular. Movimiento circular uniforme. Período y frecuencia. Movimiento relativo. Composición de velocidades y aceleraciones. b) Mediciones. Precisión. Incerteza. Errores de medición, absoluto, relativo y relativo porcentual. Propagación de errores.

IntroducciónLa Física. Explicación y PredicciónUna ciencia, tal como la Física tiene valor explicativo y valor predictivo . La Física permite explicar fenómenos. Desarrollar una explicación significa construir un razonamiento en el que se utilizan leyes como premisas. Estas leyes están incluidas en sistemas de leyes y definiciones que se conocen con el nombre de Teorías. Como estas Teorías son sistemas lógicos permiten el desarrollo de razonamientos y deducciones que a veces alcanzan conclusiones que no han sido observadas experimentalmente. En este caso se está realizando una predicción. Es decir se anuncia la posibilidad de que ocurra un fenómeno desconocido. Este fenómeno desconocido podrá ser observado en el futuro, es decir luego de haber realizado la predicción, y en ese caso la teoría que lo predijo recibe un fuerte apoyo de la comunidad científica.Para ejemplificar lo que estamos diciendo en forma muy general vamos a referirnos a un caso histórico real. Durante el siglo XVII se había alcanzado un conocimiento bastante preciso acerca del movimiento de los planetas 1. Se sabía por ejemplo que los planetas se trasladaban en órbitas elípticas alrededor del Sol. Se conocía cuánto tardaba cada planeta en completar su órbita y la distancia de cada uno hasta el Sol. Utilizando estos y otros conocimientos Isaac Newton elaboró la Teoría de Gravitación Universal. En dicha teoría se establecen leyes matemáticas generales que se deben cumplir siempre que un cuerpo celeste está en órbita alrededor de otro. Con esta teoría Newton pudo explicar por qué los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Nuevamente, ¿qué significa explicar algo que ya se sabía? Lo que se pudo hacer utilizando la Teoría de Newton es construir un razonamiento, una deducción matemática a partir de ciertas leyes fundamentales, en el que se llegaba a la conclusión que una órbita posible es la elíptica. Pero también se pudo calcular, a partir del tiempo que un planeta tarda en completar su órbita, a qué distancia del Sol se encuentra. Como estos resultados realizados sobre la base de cálculos teóricos coincidieron con lo que habían observado los astrónomos, se dice que la Teoría de Gravitación Universal explica los movimientos de los planetas. No sólo existen planetas girando en órbitas alrededor del Sol sino que existen también otros cuerpos, los satélites, que giran alrededor de los planetas. La teoría de Newton funciona perfectamente también en este caso.Pero si esta función explicativa fuera la única finalidad de la Física, no tendría el enorme status, como Ciencia, que todos conocemos. Y esto también lo sabía Newton en su época: explicar con elegancia formal, y con precisión en los cálculos, fenómenos que ya eran bien conocidos no es una empresa demasiado relevante. En la época de Newton no se conocían las órbitas de los Cometas. Newton aplicó su teoría al movimiento de éstos y utilizó los datos experimentales de los cuales disponía. Sus deducciones lo llevaron a la conclusión de que cierto cometa que había sido observado en cierta época en ciertas posiciones del cielo debía tener un período de cierta cantidad de años. Por lo tanto realizó la predicción que ese mismo cometa se podría observar nuevamente y determinó cuándo y dónde. Este hecho ocurrió y por lo tanto la teoría de Newton fue aceptada por los demás científicos.Hasta aquí, si nos basamos en el ejemplo anterior, parece que la Física es una ciencia teórica con muy poca aplicación práctica y que sólo puede interesar para aquellos que quieren comprender los fenómenos. Es decir, ¿qué tiene que ver este ejemplo con la Ingeniería? Bueno, durante el siglo XX, ciertos adelantos técnicos permitieron que el hombre

1 Las leyes de Kepler son leyes matemáticas que “describen” con bastante precisión el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Constituyen la cinemática del movimiento planetario ya que no explican las causas de dicho movimiento.

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produjera artificialmente los movimientos que habían sido explicados y predichos por Newton. El hombre se encontró en condiciones de construir objetos y de ponerlos en órbita alrededor de la Tierra, de otros planetas y del mismo Sol. Estos objetos son los satélites y las sondas artificiales que describen sus movimientos verificando las leyes que enunció Newton varios siglos atrás.

Otro ejemplo de explicación y predicción (mucho más sencillo)Vamos a desarrollar ahora un ejemplo tan simple y de aplicación cotidiana que incluso parecerá que la Física le “queda grande”. Un tren realiza el viaje entre dos estaciones con cierta velocidad que se mantiene constante durante la mayor parte del trayecto. Por supuesto la velocidad no puede ser constante cuando arranca ni cuando se detiene. Supongamos que la distancia entre ambas estaciones es de 330 km y la velocidad del tren es de 120 km/h. El tren sale de A a las 12:00 y se dirige hacia B. Podríamos querer saber a qué hora pasará por un punto determinado del trayecto. Por ejemplo, ¿a qué hora el tren estará a 30 km de distancia de su destino? También nos podemos preguntar: ¿A qué distancia del punto de partida se encontrará a las 13:45? Comencemos por la segunda pregunta. A las 13:45 habrán transcurrido 1 hora y 45 minutos desde la partida del tren. Sabemos que éste se moverá2 durante ese tiempo a cierta velocidad constante. En nuestro caso 120 km/h. Dicho de otra manera durante una hora recorrerá3 120 km. Entonces en 1 hora y 45 minutos recorrerá 210 km y por lo tanto el tren se encontrará a esta distancia de la estación A. Toda nuestra predicción está fundamentada en suponer que la velocidad se mantendrá constante durante el viaje (ésta es la “ley”) y en el conocimiento de la hora de partida y el valor de la velocidad del tren.Como ya habíamos anunciado este ejemplo es muy simple porque se basa en la proporcionalidad directa entre dos magnitudes: el desplazamiento (o distancia recorrida) y el tiempo transcurrido. Pero su simplicidad no minimiza el hecho de que hemos realizado una predicción y esto es lo que queremos enfatizar. Sabemos dónde está el tren a las 12:00 y conocemos su velocidad. Podemos averiguar dónde estará a las 13:45. ¿Por qué? Porque si la velocidad es constante el desplazamiento es proporcional al tiempo transcurrido. Es decir, lo más importante que conocemos es la “ley”.A partir del ejemplo que hemos desarrollado, vamos a formalizar el procedimiento. Lo primero que hemos calculado es cuánto dura el viaje. A esto lo llamaremos intervalo o lapso de tiempo. En nuestro ejemplo:

La fórmula expresa que el intervalo de tiempo es la diferencia entre dos instantes de tiempo: El instante t para el cuál queremos conocer la posición menos el instante to para el cual ya conocemos la posición, nos da la duración, es decir el lapso, t. Luego hemos calculado la distancia recorrida, o desplazamiento:

Esta segunda fórmula expresa que la velocidad v, si es constante, multiplicada por el intervalo de tiempo t, da el desplazamiento x. Este desplazamiento es la diferencia entre la posición x, correspondiente al tiempo t, y la posición inicial conocida xo, correspondiente al instante to. Es decir, si conocemos la posición de la estación A, podemos calcular la futura posición del tren a las 13:45. La estación A podría estar ubicada digamos, en el km 50 de la línea. Generalmente se toma como 0 la posición de la estación cabecera. Entonces a las 12:00 sabemos que el tren está en xo

= 50 km. ¿Adónde estará a las 13:45? Como suponemos que durante todo ese tiempo la velocidad no variará, entonces predecimos que recorrerá 210 km. Conclusión: A las 13:45 estará en x = 260 km.

2 Esto es una suposición. El tren puede tener un desperfecto o por algún otro motivo puede tener que detenerse o disminuir la velocidad.3 Esto es cierto sólo si la velocidad es constante.

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Ahora vamos a resumir todo el procedimiento pero utilizando solamente los símbolos sin tener en cuenta los datos numéricos:

La última expresión a la que hemos llegado incluye en forma simbólica todos los pasos necesarios para realizar nuestra predicción: El cálculo del intervalo de tiempo, t to; el cálculo del desplazamiento, vt; y finalmente el cálculo de la posición esperada: x = xo + x.

La fórmula se denomina ecuación HORARIA del movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Este

movimiento se caracteriza porque la trayectoria es una recta y porque la velocidad se mantiene constante. En estas condiciones es válida la ecuación horaria que contiene 2 valores fijos que constituyen las condiciones iniciales (instante inicial to y posición inicial xo), una “constante” (la velocidad v) y dos variables: el tiempo t y la posición x. Por lo tanto la posición x es función del tiempo t. Es decir x = x(t). Sólo en el caso del MRU esta función es lineal (polinomio de 1er grado) porque v es constante.

Durante el curso de Física I, estudiaremos otros movimientos rectilíneos para los cuales la función x = x(t) puede adoptar otras formas (por ejemplo, cuadrática o trigonométrica).

Problemas:1) La distancia entre dos estaciones A y B es de 330 km. El tren 1 recorre ese trayecto a una velocidad de 120 km/h. El tren 1 pasa por A, ubicada en el km50, a las 12:00 y se dirige hacia B, ubicada en el km380. a) ¿A qué hora el tren estará a 30 km de distancia de su destino?b) Escribir la ecuación horaria de posición en función del tiempo, especificando los valores de to , xo y vc) Graficar la posición x en función del tiempo t, a escala, indicando unidades y algunos valores numéricos.d) Otro tren 2 pasa por la estación B a las 12:30 y llega a la estación A a las 15:00. Calcular su velocidad.e) Escribir la ecuación horaria de posición para el segundo tren en función del tiempo, especificando los valores de to ,

xo y v.f) Graficar la posición x en función del tiempo t, para el tren 2, sobre el mismo gráfico realizado en (c)g) ¿A qué hora y a qué distancia de cada estación se cruzan ambos trenes?

2) Un automovilista circula por una avenida recta a 15 m/s, cuando percibe la luz roja de un semáforo que está 60 m más adelante. Decide frenar, y comienza a hacerlo (con aceleración constante) 0.8 segundos después de haber visto la luz. El coche se detiene 3 m antes de llegar el semáforo. Adoptar e indicar claramente un sistema de referencia, y luego: a) Calcular la aceleración de frenado del coche;b) Calcular el tiempo que tardó en detenerse desde que el conductor vio la señal;c) Trazar los gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempod) Calcular la velocidad media del automóvil para los siguientes intervalos de tiempo: (i) desde t = 0 hasta t = 0,8 seg (ii) desde t = 0,8 seg hasta el instante en que se detiene (iii) desde t = 0 hasta el instante en que se detiene.

3) Un automóvil que avanza a razón de 108 km/h por una recta donde la máxima velocidad permitida es 90 km/h, pasa frente a un policía en motocicleta que se encuentra a un costado de la ruta. El policía sale inmediatamente en su persecución acelerando durante 12 seg. a razón de 3 m/s2 y continuando luego a velocidad constante.a) Plantear las ecuaciones horarias de posición y velocidad en función del tiempo para cada uno de los móviles indicando el sistema de referencia utilizado.b) Calcular cuánto tardará el policía en alcanzar el automóvil y a qué distancia del primer punto de encuentro lo conseguirá.

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c) Realizar los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo para ambos móviles e interpretar gráficamente la solución hallada en (b)

4) Un tren A se mueve sobre una vía rectilínea a 108 km/h. Por la misma vía y en sentido opuesto se acerca otro tren B a 144 km/h. Cuando los dos trenes están separados por una distancia de 800 metros los dos conductores aplican los frenos. Éstos le provocan una aceleración de módulo 1 m/s2 al tren A y de 2 m/s2 al tren B.a) ¿Podrán evitar el choque? (Responder Sí o No). Si el choque se puede evitar, determinar qué distancia separa a ambos trenes cuando quedan detenidos. Si es inevitable, determinar la velocidad de ambos trenes en el instante del choque.b) Realizar el gráfico de velocidad en función del tiempo para ambos trenes en un mismo par de ejes cartesianos.c) Realizar el gráfico de posición en función del tiempo para ambos trenes en un mismo par de ejes cartesianos e interpretar gráficamente la solución hallada en (a)

5) En la figura se muestra el gráfico de velocidad en función del tiempo para un auto que se mueve en línea recta. a) Realizar el gráfico de posición en función del tiempo a escala e indicando valores numéricos*. Expresar x en metros y t en segundos. Considerar que para to = 0 es xo = 0. ( * Por lo menos para t = 10, 20, 30 y 40 segundos)b) Calcular la velocidad media del vehículo para el intervalo desde t = 0 hasta t = 40 seg.

6) El gráfico representa la velocidad en función del tiempo para el nuevo tren bala Buenos Aires – Rosario. Sale de la estación Buenos Aires a las 10:00 y llega a la estación Rosario a las 11:45. a) Determinar la distancia entre las estaciones cabeceras del recorrido.b) Realizar el gráfico de posición en función del tiempoc) Calcular la velocidad media del tren para todo el viaje.

7) En la siguiente figura se ha graficado la posición de un vehículo, que se desplaza en línea recta, en función del tiempo:

a) Describa cualitativamente el movimiento del móvil.

b) ¿En qué instantes se encuentra en la posición inicial?

c) ¿En qué instantes la velocidad instantánea es nula?

d) Indicar los intervalos de tiempo durante los cuales la velocidad se mantiene constante y determinar la velocidad en dichos lapsos.¿En qué instante (o lapso) el vehículo tiene su máxima velocidad?.

e) Indique en que tramos el móvil se acelera o desacelera. Indique el signo de la aceleración. f) Dibuje esquemáticamente un gráfico de velocidad en función del tiempo.g) Dibuje esquemáticamente un gráfico de aceleración en función del tiempo.

t (horas)

30km

10km

Posición (km)

6h5h4,5h3,5h3h2,5

h0,5h

25km

5km

50km

60km

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8) El conductor de un automóvil que marcha a 30 m/s por una ruta rectilínea, avista delante de él a un camión que avanza en su mismo sentido, con velocidad constante de 10 m/s. Cuando la distancia entre ambos vehículos es 150 m, el automovilista aplica los frenos, reduciendo su velocidad con una aceleración de 2 m/s2.a) ¿A qué distancia del camión quedará el automóvil cuando su velocidad iguale a la del camión? En caso de chocar antes, hallar qué distancia habrá recorrido el automóvil desde que aplicó los frenos. b) Trazar los gráficos de velocidad y de posición en función del tiempo para ambos móviles, a escala y con valores numéricos.

9)Un hombre situado en la azotea de un edificio lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12,25m/s.. La pelota llega al suelo, en la vereda, 4,25 s después. a) ¿Cuál es la altura del edificio?b) Graficar la posición, la velocidad y la aceleración de la pelota en función del tiempo

10) Indicar, subrayando, cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta y desarrollar una justificación completa de la misma:

a) Cuando en un tiro vertical hacia arriba, el proyectil alcanza la altura máxima, su aceleración es nula.b) Si se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de magnitud v0, cuando llega a la mitad de su

altura máxima su velocidad es la mitad de v0 c) Si se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de magnitud v0 y llega a una altura máxima H

entonces cuando tenga la mitad de esa velocidad habrá alcanzado las ¾ partes de Hd) Si se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y llega a una altura máxima H en un tiempo t, entonces en

la mitad de ese tiempo llega a la mitad de H.e) En un tiro vertical cuando el proyectil alcanza su altura máxima la aceleración cambia de sentido

11) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s. En el mismo instante y desde un punto situado a 120 metros de altura, se deja caer un ladrillo.a) ¿A qué altura, respecto del piso, se cruzan ambos objetos?b) ¿Cuánto tardan en cruzarse?c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? ¿Se están moviendo en el mismo sentido o con sentidos opuestos?d) Realizar los gráficos que representen la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos objetos.e) ¿Cuál llegará en primer lugar al piso?f) Cuando el ladrillo llega al piso, ¿a qué altura está la piedra?

12) Una piedra se deja caer en un pozo. Algunos segundos después se escucha el sonido del golpe de la piedra contra el fondo del pozo. a) Diseñar un procedimiento para calcular la profundidad del pozo conociendo el tiempo desde que se suelta la piedra hasta que se escucha el sonido, la aceleración de la gravedad (g = 10 m/s2) y la velocidad del sonido en el aire (vs = 340 m/s). b) Aplicar el método suponiendo que se ha realizado el experimento en distintos pozos y los tiempos medidos en cada caso han sido: i) 3 segundos ii) 5 segundos iii) 7 segundos

13) Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial v0 =15 m/s. Un segundo después se deja caer otro cuerpo desde una altura de 15 m, sin velocidad inicial.a) Calcular el tiempo que tardan en encontrarse.b) Calcular a que distancia del piso se encuentran.c) Calcular la velocidad de ambos cuerpos en el instante del encuentro.d) Graficar la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos cuerpos e interpretar gráficamente los resultados hallados en (a) (b) y (c)

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14) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo. Cuando llega a la mitad de su altura máxima su velocidad es: a) menor que vo /2 b)igual a vo /2 c)mayor que vo /2

15) Se lanza desde el suelo un cuerpo A verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo = 40 m/s. En el mismo instante se deja caer otro cuerpo B desde una altura de Ho = 80 metros, sin velocidad inicial. a) Determinar en qué instante y a qué altura se encuentran ambos cuerpos, en forma analítica y gráfica (aproximada).b) ¿Existe la posibilidad de que para cierto par de datos vo y Ho se produzcan dos encuentros? ¿Existe la posibilidad de que para cierto par de datos vo y Ho no se produzca ningún encuentro?

16) Se lanza un cuerpo A verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo = 40 m/s. Desde una altura de Ho = 80 metros, respecto al punto de partida de A, se deja caer otro cuerpo B, 2 segundos después, sin velocidad inicial. a) Determinar en qué instante y a qué altura, respecto al punto de partida de A, se encuentran ambos cuerpos, en forma analítica y gráfica (aproximada).b) Cuando el cuerpo A llega a su altura máxima, a qué altura se encuentra el cuerpo B. ¿Qué velocidades tienen ambos móviles en ese instante?

17) Desde la terraza de un edificio de altura h = 50 m se lanza un proyectil con una velocidad de módulo 12,5 m/s formando un ángulo de 37 º con la horizontal.a) Adoptar un sistema de referencia y plantear las ecuaciones de posición y velocidad en función del tiempo.b) Calcular el módulo de la velocidad final del proyectil justo antes de tocar el suelo, en la calle.c) Calcular a qué distancia del edificio el proyectil toca el suelod) Deducir la ecuación de la trayectoria, y = y (x), y graficarla a escala.e) Determinar el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto más alto.

18) Un auto fue encontrado a cierta distancia de un barranco y se supone que cayó desde lo alto de éste. ¿Qué magnitudes habría que medir en el lugar del hecho para determinar a qué velocidad se estaba moviendo el auto cuando se desbarrancó? Con dichos datos, ¿cómo se determinaría esta velocidad?

19) Una pulga está parada en el piso. Salta y cae a 5 centímetros de distancia. La pulga permanece “en el aire” durante ½ segundo. ¿Qué altura máxima alcanzó?

20) a) ¿Con qué velocidad mínima debe llegar el auto al extremo superior de la rampa para no caer en el pozo?b) ¿Cuánto tiempo durará el salto?

Datos: D = 12 m h = 4 m = 18o

21) Desde una altura H respecto al piso se lanzan, en to = 0, horizontalmente dos proyectiles 1 y 2 con velocidades iniciales vo1 = 10 m/s y vo2 = 1 m/s respectivamente. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas? (JUSTIFICAR en todos los casos)

¿V o F?

i) El proyectil 2 llega al piso antes que el proyectil 1

ii) El proyectil 1 tiene menor alcance horizontal que el proyectil 2

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iii) Ambos proyectiles llegan al piso simultáneamente

iv) La aceleración de ambos proyectiles es en todo instante perpendicular al vector velocidad

v) La velocidad final del proyectil 1 es mayor que la velocidad final del proyectil 2 (justo antes de llegar al piso)

22) Un albañil situado en el tejado de una casa deja caer involuntariamente su martillo, y este resbala por el tejado con velocidad constante de 4 m/s. El tejado forma un ángulo de 30º con la horizontal y su punto más bajo está a 10 m de altura sobre el suelo.a) Realice un esquema indicando el sistema de referencia que utiliza y escriba las ecuaciones de movimiento.b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el martillo después de abandonar el tejado de la casa antes de que choque contra el suelo?c) Calcule la velocidad con que llegará el martillo al suelo.

23) Dos proyectiles A y B se disparan simultáneamente desde el origen de coordenadas con distintas velocidades iniciales que forman con el eje x ángulos = 76º y = 45º respectivamente. Ambos tienen el mismo alcance horizontal. a) ¿Llegan juntos nuevamente al suelo? Si ocurre esto, justificar. Si no: ¿Cuál de ellos llegan antes nuevamente al suelo? En este caso: ¿qué relación hay entre sus tiempos de “vuelo”?b) ¿Qué relación existe entre las alturas máximas alcanzadas por cada uno?

24) En un movimiento de una partícula en un plano, se comienza a medir el tiempo (cronómetro en t = 0s) cuando la

posición de la partícula es . Se sabe que la velocidad de la partícula varía como

, donde los tiempos se miden en segundos y las posiciones en metros.

a) Calcular

b) Encontrar la expresión de la posición de la partícula en función del tiempo.c) Encontrar la expresión de la aceleración de la partícula en función del tiempod) Graficar la trayectoria para el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 4 segundos. Elegir tres puntos de la misma y en ellos graficar los vectores velocidad y aceleración.

25) Un bloque desliza, de sur a norte, sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad .

Cuando llega al origen de coordenadas comienza a actuar una fuerza que le provoca una aceleración de

oeste a este. Esta fuerza actúa sólo durante 4 segundos, al cabo de los cuales la fuerza resultante sobre el bloque vuelve a ser nula y por lo tanto la velocidad se mantiene constante.a) Determinar el vector posición y el vector velocidad del bloque para el instante t = 4 segundos y para el instante t = 8 segundos b) Graficar, a escala y con valores numéricos, la trayectoria del móvil sobre un sistema cartesiano xy desde t = 0 hasta t = 8 segundos

26) Las coordenadas de un ave que vuela en el plano horizontal xy están dadas por las expresiones: x = 2,0 m – 3,6 m/s. t y = 1,8 m/s2. t2

a) Dibujar la trayectoria del ave.b) Determinar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.c) Determinar el módulo, dirección y sentido de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 3 s.d) Dibujar los vectores velocidad y aceleración para t = 3 s sobre la trayectoria. En ese instante, ¿el ave está acelerando, frenando o su rapidez no está cambiando? ¿El ave está girando? De ser así ¿en qué dirección?

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27) Se conocen algunos datos acerca de un movimiento en el plano: vx = 2 t - 4 ; ay = 2 t ; v0 = 5 m/s ; x0 = 4 m ; y0 = 3 mConsidere que t se mide en segundos, x e y en metros. a) Complete la información faltante. b) Dibuje las dos trayectorias compatibles con los datos iniciales. Dado que son complicadas, se espera que realicen un trazado tentativo, ayudándose con los vectores velocidad y aceleración para establecer concavidades. c) Dibuje en la trayectoria los vectores velocidad y aceleración para t = 2 s y t = 3 s. d) Calcule en dichos instantes el radio de curvatura.

28) Responder las siguientes preguntas desarrollando una explicación que justifique la respuesta: a) ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero y sin embargo estar acelerado?b) ¿Puede un cuerpo tener rapidez* constante y sin embargo tener una velocidad variable?c) ¿Puede un cuerpo tener velocidad constante y sin embargo tener rapidez variable?d) Para las siguientes situaciones indicar si el ángulo que forman el vector velocidad y el vector aceleración es 0º, menor que 90º, 90º, mayor que 90º o 180º

I. Un auto que se mueve en línea recta y está frenandoII. Una piedra fue arrojada horizontalmente desde un balcón y está cayendo

III. Una camioneta está bajando por una pendiente curva con rapidez constante(B)

IV. Una camioneta está subiendo por una pendiente curva y su rapidez está disminuyendo(S)

29) Un muchacho revolea alrededor de su cabeza una piedra atada a una cuerda describiendo una circunferencia horizontal. El radio de la circunferencia es 0.96 m, y el tiempo de una revolución es 1.1 s . Calcular a) el módulo de la velocidad de la piedra b) el módulo de su aceleración

30) Un cuerpo puntual recorre una circunferencia horizontal, de radio 2,5 m. En cierto instante to = 0 el vector aceleración, cuyo módulo es de 15m/s2, forma un ángulo de 30° con el radio de la circunferencia. Hallar, para ese instante: a) Las componentes tangencial y centrípeta de la aceleraciónb) La rapidez de la partícula c) ¿Tiene sentido físico la definición de período para este movimiento? Si tiene sentido calcular su valor. Si no tiene sentido, calcular cuánto tarda la partícula en dar la primera vuelta, la segunda vuelta y la tercera vuelta.

31) Dos automóviles que se mueven a lo largo de carreteras perpendiculares se desplazan hacia el norte y hacia el este, respectivamente. (a) Si sus velocidades con respecto al suelo son de 60 km/h y 80 km/h, calcule sus velocidades relativas en forma vectorial. (b) ¿La velocidad relativa, en este caso, depende de la posición de los coches en sus respectivas carreteras? Justifique la respuesta. (c) Si en el instante to = 0 ambos autos pasan por el cruce de las carreteras, hallar la distancia D que los separa en función del tiempo t. Es decir D = f(t)

32) Un bote se mueve en dirección NO, 600 medidos del Norte al 0este, a 40 km/h en relación con el agua. La corriente se encuentra en dirección y sentido tales que el movimiento resultante con relación a la tierra es hacia el Oeste a 50 km/h. Calcule la velocidad y el sentido de la corriente con respecto a tierra.

* rapidez = módulo de la velocidad

v

a30°

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EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS MARCAR LA OPCIÓN CORRECTA Y DESARROLLAR UNA EXPLICACIÓN QUE LA JUSTIFIQUE 33) Una persona arroja verticalmente y hacia arriba una piedra. La piedra está inicialmente en reposo y recorre

1 metro en contacto con la mano de la persona con una aceleración (supuesta constante). Luego la suelta y en

consecuencia ésta sigue subiendo libremente con aceleración , recorriendo 5 metros más para luego caer. Si es la

aceleración de la gravedad, ¿cuál es la relación vectorial correcta?

= = = – y = = – 5 y = = – y =

+ = 0 pero no se pueden determinar sus valores no se puede calcular y =

34) Una lancha realiza un viaje a velocidad constante respecto del agua, entre dos puntos que distan 5 km a lo largo de un río. A la ida, con la corriente a favor, tarda 5 minutos. Al regresar, con la corriente en contra, recorre la misma distancia en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo (en minutos) duraría el viaje total, de ida y vuelta, si el agua estuviera inmóvil? 32 25 16 12,5 8 20

35) ¿Cuáles de los siguientes gráficos pueden corresponder al movimiento de una partícula que se está desplazando a lo largo del eje x? A y B B y C A y D C y D TODOS NINGUNO

36) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con cierta velocidad inicial que le permite alcanzar una altura máxima H. En el instante en que su velocidad sea la mitad de la velocidad inicial, ¿qué altura h habrá alcanzado? h = ½ H h = ¼ H h = 3/4 H h = 1/3 H h = 4/5 H h = 7/8 H

37) El área comprendida debajo de la gráfica velocidad–tiempo correspondiente a un objeto en movimiento rectilíneo, entre dos instantes dados, representa:

su velocidad media su posición final su desplazamiento su velocidad instantánea su variación de velocidad su aceleración media

38) Una avioneta desarrolla una velocidad de 200 km/h con respecto al aire. Necesita desplazarse exactamente hacia el Norte en un día en que sopla viento del Este a 75 km/h con respecto a Tierra. Para conseguirlo, el piloto debe desviar su rumbo un ángulo de la dirección Sur–Norte, de modo que:

= 22º, hacia el Este = 20,5º, hacia el Este = 68º, hacia el Este = 22º, hacia el Oeste = 20,5º, hacia el Oeste = 68º, hacia el Oeste

39) En un tren que se mueve en línea recta y con una velocidad constante, una persona en reposo respecto al tren, arroja una moneda verticalmente hacia arriba que luego de 1 segundo vuelve a caer en su mano. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? La trayectoria de la moneda en un sistema de referencia fijo al tren es un arco de parábola Para un sistema de referencia fijo al tren la velocidad de la moneda nunca es cero. Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda nunca es cero. Para un sistema de referencia fijo al tren la aceleración de la moneda tiene componentes vertical y horizontal. Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda cuando regresa a la mano de la persona es vertical y hacia abajo Para un sistema de referencia fijo a las vías el desplazamiento de la moneda en 1 segundo es nulo.

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40) En una calesita que gira con velocidad angular constante hay caballitos de madera fijos ubicados a diferentes distancias r del centro de la calesita. Entonces, para los caballitos se cumple: Todos tienen aceleración de igual módulo a 0 Todos tienen aceleración igual a cero El módulo de la aceleración es directamente proporcional al radio El módulo de la aceleración es inversamente proporcional al radio Todos tienen velocidades de igual módulo. Los vectores velocidad y la aceleración tienen igual dirección y sentido

41) Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En A el cometa se está acercando al Sol. En B se está alejando. En todo instante la aceleración del cometa está dirigida hacia el Sol. a) Si designamos con al ángulo que forma el vector velocidad con el vector aceleración en A y con al ángulo en B, dichos ángulos verifican: = 90º = 90º < 90º > 90º = 0º = 0º = 45º = 45º > 90º < 90º = 0º = 180ºb) El módulo de la velocidad del cometa en A, ¿está aumentando o disminuyendo? ¿Y en B? Justificar

42) Un proyectil se arroja oblicuamente y describe la trayectoria que se indica. En los puntos A, B y C de la trayectoria el vector velocidad y el vector aceleración forman los ángulos , y . a) Cuál de las siguientes relaciones se verifican: = 90º = 90º = 90º < 90º = 0º > 90º = 0º = 0º = 0º = 45º = 90º = 0º = 180º = 90º = 0ºb) El módulo de la velocidad del proyectil en A, ¿está aumentando o disminuyendo? ¿Y en C? Justificar y relacionar con la respuesta del ítem (a)c) Supongamos que el proyectil alcanza el punto B en el instante t*. Comparar los módulos de la velocidad del proyectil en los instantes t*t y t*+t, considerando que t 0. Relacionar el resultado de esta comparación con la respuesta dada en (a)

PROBLEMAS ADICIONALES

43) Las ecuaciones paramétricas correspondientes al movimiento de una partícula son.

En estas expresiones t está en segundos y las coordenadas en metros. a) Escribir la expresión del vector posición en función del tiempo.b) Determinar las expresiones de los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.c) Determinar la ecuación de la trayectoria y = y(x). Graficarla a escala.44) Un partícula se mueve de manera tal que el vector posición en función del tiempo está dado por:

En esta expresión t está en segundos y las componentes del vector en metros.a) Determinar la ecuación y = y(x) de la trayectoria. Graficarla a escala.b) Determinar la velocidad y la aceleración para t = 0 segundos y para t = 3 segundos. Graficar estos vectores sobre la trayectoria en las posiciones correspondientes.

45) Las ecuaciones paramétricas del movimiento de un ciclista en un velódromo son las siguientes:

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El tiempo está expresado en minutos y las posiciones en kilómetros.a) Escribir las expresiones del vector posición, del vector velocidad y del vector aceleración en función del tiempo. Calcular el módulo de cada uno de estos vectores. ¿Son dependientes del tiempo o se mantienen constantes?b) Determinar la ecuación de la trayectoria y graficarla a escala.c) Elegir 4 posiciones del ciclista en esa trayectoria. Determinar en qué instante de tiempo el ciclista se encuentra en dichas posiciones. Graficar el vector velocidad y el vector aceleración en las posiciones elegidas.d) ¿Tiene sentido físico la definición de período para este movimiento? Si tiene sentido calcular su valor. Si no tiene sentido, calcular cuánto tarda el ciclista en dar la primera vuelta, la segunda vuelta y la tercera vuelta.

46) Un disco fonográfico (“vinilo”) gira a razón de 33 1/3 r.p.m. a) ¿Cuánto segundos tarda en completar una vuelta?b) ¿Cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de un punto de la periferia (r = 15 cm)?c) ¿Cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de un punto del borde de la etiqueta (r = 5 cm)?

47) La aguja horaria y el minutero de un reloj coinciden a las 0:00 (ambas señalan el 12). a) ¿A qué hora se volverán a encontrar?b) Si la aguja horaria mide 1 cm, ¿cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de su extremo en mm/seg?c) Si el minutero mide 2 cm, ¿cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de su extremo en mm/seg?d) Una partícula con la velocidad calculada en (c) moviéndose en línea recta, ¿cuánto tardaría aproximadamente en recorrer una distancia de 12 cm?¿ 1 minuto, 1 hora, 1día…?

48) Un cuerpo puntual tiene un movimiento rectilíneo cuya ecuación horaria es .

a) Determinar la posición del móvil para t1 = 2,244 seg y para t2 =6,732 seg.b) Determinar las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo.c) Calcular la velocidad y la aceleración para los instantes indicados en (a) d) Determinar la expresión de la aceleración en función de la posición. ¿Cuánto vale la aceleración para las siguientes posiciones? x = 0 0,25 0,5 0,25 0,5 metros.e) Basándonos en las respuestas anteriores analizar las siguientes afirmaciones:

¿V o F?i) Cuando la velocidad es cero, la aceleración también es ceroii) El movimiento es periódico y su período es T 8,976 seg.iii) Cuando el módulo de x es máximo la aceleración es ceroiv) Cuando x = 0, el módulo de la velocidad es máximov) Cuando x > 0, la aceleración es negativa

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Respuestas:

1) a) 14,5 h = 14:30 b) d) 132 km/h

e) g) 13:34 188,6 km 141,4 km

2) a) 2,5m/s2 b) 6,8 seg d) 15 m/s 7,5 m/s 8,38 m/s

3) a) Adoptando to = 0 y xo = 0 correspondientes al 1er encuentro:

b) 1080 m

4) a) El choque se produce para t = 20 s. El tren A tiene una velocidad de 36 km/h y el tren B justo se detiene (v = 0)

5) b) 31,5 km/h

6) a) 297 km b) 169,7 km/h

7) b) 0 h 4,5 h otro t > 6 h c) 0 h 3 h 5,25 h otro t > 6 h

d) 0,5 < t < 2,5 h v = 22,5 km/h 3,5 < t < 5 hv = 33,93 km/h (máx) 5,5 < t < 6 hv = 30 km/h

e) 0 < t < 0,5 h a > 0 2,5 < t < 3,5 h a < 0 5 < t <5,5 ha > 0

2,5 < t < 3 h desacelera 3 < t < 3,5 h acelera

5 < t < 5,25 h desacelera 5,25 h < t < 5,5 h acelera

8) a) 50 m

9) a) 38,25 m

10) Ayudas: La altura es una función cuadrática del tiempo y la velocidad es una función lineal del tiempo. La aceleración es un vector que para todo el movimiento tiene dirección vertical y sentido hacia abajo. La velocidad es un vector con dirección vertical, sentido hacia arriba cuando el cuerpo sube, sentido hacia abajo cuando el cuerpo desciende

11) a) 40 m b) 4 seg c) vpiedra = 10 m/s vladrillo = 40 m/s e) ladrillo

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12) Ayuda: Obviamente en este problema no podemos dar la respuesta a la parte (a). Pero daremos algunos resultados de la parte b. Si el tiempo total es 3 segundos, la caída de la piedra duró 2,878 segundos y el sonido sube en 0,122 segundos. Esto da una profundidad de 41,4 metros. Si el tiempo total es 5 segundos, los resultados son 4,678 segundos, 0,322 segundos y 109,4 metros.

13)

14) Ayuda 1: v es función lineal de t y h es función cuadrática de t. ¿Cómo se relacionan h y v?Ayuda 2: Graficar v función de t y h función de t. Determinar v para h= H/215) a) 2 segundos 60 metros16) a) 3 segundos 75 metros b) 0 20 m/s17) b) 11,2 m/s d) 25 metros e) 10 metros 18) Para pensar…19) 31,25 cm20) a) 10 m/s b) 1,26 segundos21) F F V F V

22) b) 4,255 m c)

23) a) NO. Llega 1ro B. B llega en la mitad del tiempo que A. b) A llega 4 veces más alto que B24)

25)

26) Está explicado en forma completa en un archivo aparte27)

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29) a) 5,48 m/s b) 31,32 m/s2

30) a) 7,5 m/s2 13 m/s2 b) 5,7 m/s c) 1,423 s; 0,809 s; 0,633 s31) a) auto1: el que va hacia el norte auto2: el que va hacia el este

b) NO c)

32) Explicado en archivo aparte

33) = – 5 y =

34) 16 minutos35) A y D36) h = 3/4 H37) su desplazamiento38) = 22º, hacia el Este39) Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda nunca es cero.40) El módulo de la aceleración es directamente proporcional al radio41) < 90º > 90º; en A aumentando; en B disminuyendo42) > 90º = 90º < 90º

43) a)

b)

c)

46) a) 1,8 segundos b) 52,36 cm/s c) 17,45 cm/s47) Resultados aproximadosa) 1:05:27 b) 0,000145 mm/s c) 0,034906 mm/s d) 1 hora48) a) x1 = 0,5 m x2 = 0,5 mc) v1 = 0 a1 = 0,245 m/s2 v2 = 0 a2 = 0,245 m/s2

d)

e) F V F V V

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Problemas sobre mediciones y errores:

1) Un vaso lleno de líquido se coloca sobre una balanza digital y en ésta se lee el valor de una masa M = 453,8 gramos. Luego se coloca el vaso vacío y la indicación es m = 199,3 gramos. La menor división de la escala de la balanza es de 0,1 gramos. Determinar entre qué valores se encuentra el “verdadero” valor de la masa del líquido.2) El conductor de un automóvil observa el tablero de instrumentos y el kilometraje en cierto instante es 49999 km. Piensa: “Cuando recorra, a partir de ahora 1 km más, el tablero cambiará a 50000 km”. a) ¿Es correcto lo que piensa? ¿Puede predecir en qué momento el instrumento cambiará a 50000 km?b) Si luego de 45 minutos de viaje el contador marca 50038 km, ¿entre qué valores se encuentra el “verdadero” valor de la velocidad media del auto?3) La longitud de una mesa se mide con una regla milimetrada de 30 cm. Como la longitud a medir es mayor a 30 cm hay que utilizar la regla varias veces. Se obtienen los siguientes resultados: 30 cm; 30 cm; 38,5 cm. a) ¿Cuál es el valor más probable, o representativo, de la longitud de la mesa?b) ¿Cuánto vale el error absoluto de la medición?c) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son las que más se adecuan al resultado de la medición con sentido físico?i) 98,5cm ± 0,1 cm ii) 98,65 cm ± 0,15 cm iii) 98,5 cm ± 0,3 cm iv) 98,5 cm ± 0,05 cm4) Se miden los lados de un “cubo” macizo de madera con una regla que está dividida en medios centímetros. Se obtienen los siguientes resultados: a = 85,50 cm ± 0,25 cm b = 84,00 cm ± 0,25 cm c = 86,5 cm ± 0,25 cma) Calcular el volumen del cuerpo y expresar el resultado con sentido físicob) Calcular el error relativo en la medición de cada lado y en el volumen.c) La masa del cuerpo se determina con una balanza rudimentaria cuya escala está dividida en kg. Se obtiene 491 kg. Calcular la densidad de la madera en gramos/cm3 o en kg/dm3 y expresar el resultado con sentido físico.

Respuestas: Atención: Las respuestas a estos problemas pueden diferir según los criterios utilizados para determinar el error absoluto de cada medición y los criterios para redondear.

1) 254,3 g < mL < 254,7 g mL = (254,5 ± 0,2) g2) b) 49,565 km/h < VM < 45,545km/h VM =(52,06 ± 2,5) km/h3) c) ii) 98,65 cm ± 0,15 cm iii) 98,5 cm ± 0,3 cm 4) a) V = (621200 ± 5500) cm3 b) 0,00292 0,00298 0,00289 0,00879c) δ = (0,791 ± 0,008) g/ cm3

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Unidad 2: Dinámica de la partícula Concepto de interacción. Primera ley de Newton. Masa. Fuerza. Segunda y tercera ley del movimiento. Unidades de fuerza y masa. Diagrama del cuerpo libre. Descomposición de fuerzas. Distintos tipos de interacciones: Peso, Fuerzas de vínculo, fuerzas de rozamiento estática y dinámica(cinética), fuerza elástica, ley de Hooke, fuerza gravitatoria, ley de gravitación universal (Newton), fuerzas viscosas.Movimiento armónico simple. Período, frecuencia, amplitud. Posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Sistema masa-resorte y péndulo simple: Justificación de la solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento para pequeñas amplitudes. Fórmulas del período. Medición de la aceleración de la gravedad. Movimiento de planetas y satélites. Órbitas. Período de revolución. Leyes de Kepler. Sistemas de referencia inerciales y no inerciales. Fuerzas de inercia (ficticias o seudofuerzas): fuerza centrifuga y fuerza de Coriolis