1차상미분방정식 -...
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Dept. of Physics, Hallym University
물리학과 미분방정식물리학의 연구과정
물리법칙 → 미분방정식
2
2
dtrdmamF
자연의 관찰 → 수학적 기술 (자연을 기술하는 함수의 추출) → 실험 → 방정식으로 기술 (미분방정식) → 미분방정식의 풀이→ 자연현상의 예측 및 검증 → 물리법칙 도출
뉴튼의 법칙
파동방정식 012
22
dtEd
cE
슈뢰딩거 방정식 ErVm
)(2
22
Dept. of Physics, Hallym University
RLC 회로저항 (R), 코일 (L), 및 축전기 (C) 로 구성된 회로
키르히호프의 법칙: 폐회로에서 전압강하양은 전압상승양과 같다.
0 CLR VVV
전류를 전하량으로 표기
CQV
dtdiLViRV CLR ,,
02
2
CQ
dtQdLR
dtdQ
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우변이 0 (homogeneous eq.)
우변이 1 (inhomogeneous eq.)
상미분방정식
1차 상미분방정식
2차 상미분방정식
다변수 1차상미분방정식
편미분방정식
1차 편미분방정식
2차 편미분 방정식 (Laplace eq.) (Poissoneq.)
미분방정식의 종류
02
kxdtdx
dtxdm
02
0 NdtdN
dtrdBq
dtrdm
2
VdtdQR
CQ
)(2
tFkxdtdx
dtxdm
),,(2 zyxf 222 / dtd
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1차 상미분방정식: 방사성 붕괴 (homogeneous equation)방사성 붕괴물질의 붕괴율은 남은 원자수에 비례
NdtdN
변수분리법으로 풀이함.
dtNdN
양변 적분 tCt eNeNCtNdtNdN 0ln
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일반해, 특수해
상미분 방정식의 일반해: teNN 0
미정계수
상미분 방정식의 특수해: 미정계수의 특정화초기조건 (initial condition, t=0 일 때, N의 값) 또는 경계조건 (boundary condition)의 대입을 통해 미정계수를 특정화함.
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축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
Homogeneous solution (E=0인 경우)먼저 추출
ECQ
dtdQR
RCt
HH
HHH
AeQaRCtQ
RCdt
QdQ
CQ
dtdQR
ln
0
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축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
Non-Homogeneous solution (E=E인 경우) 상수해의 추출
ctQN )( (상수해)
0)(
dttQN 에서
CEQEC
QN
N 0
Homogeneoous solution 과 Non-Homogeneous solution 의 합으로 최종 해를 구함
CEAeQQQ RCt
NH
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축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
검산
초기조건: t=0 일 때 Q=0
)1()(
0)0()(
RCt
RCt
RCt
eCECECEetQ
CEACEAQCEAetQ
EC
CEeCAe
CA
CCEAee
RCAR
CQ
dtdQR
RCt
RCt
RCt
RCt
숙제 1, 문제중심학습 B급 (김영만)
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인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
전기장이 주기함수인 경우
)(tERIdtdIL
tieERIdtdIL 0
0
Homogeneous solution (E=0인 경우)
tLR
eIIdtLR
IdIRI
dtdIL
00
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인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
Ayet
LR
라 하면
Non-homogeneous solution: Homogeneous solution 을 이용
)(1)( RydtdyLe
Lye
LRe
dtdye
dtdye
dtdyye
dtd t
LRt
LRt
LRt
LRt
LRt
LR
y 를 주어진 미분방정식의 해라고 하면
CdteeLEye
eEeL
yedtdee
LRy
dtdyLe
Ltit
LRt
LR
titLRt
LR
titLRt
LR
0
00
0
01)(1)(1
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인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
tLRti
eLiR
EiLReEtI
0
0
0
00
)(
Steady state solution
Transient solution
초기조건: t=0 에서 y=0
LiRECC
LiREye
tLR
0
0
0
00
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인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
)cos())(Re(
)(
0220
2
0
220
2
0
0
0
0
0 000
tLR
EtI
eeLR
EeeiLR
EiLReEtI tiitii
ti
Steady state solution
위상차)arctan( 0
RL I
V
숙제 2, 문제중심학습 B급, 박성호
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Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법
Homogeneous solution
)()( tQxtPdtdx
dttP
AexxtPdtdx )(
0)(
dttPI )( 로 치환하면
AxeAex II
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Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법
를 미분Ixe
QePxdtdxe
dtdIxee
dtdx
dtdexe
dtdxxe
dtd IIII
III )()(
양변을 적분하면
IIIII CedtQeexCdtQexe
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라듐의 붕괴
시간 t=0에서 라듐의 원자수: N0라돈의 원자수: 0
라듐 (붕괴율 λ1) → 라돈 (붕괴율 λ2) → 폴로늄
시간 t=t0에서 라듐의 원자수: N1라돈의 원자수: N2
라듐의 붕괴율 방정식: 111 N
dtdN
라돈의 붕괴율 방정식: 22112 NN
dtdN
라듐 붕괴에 의한 라돈 생성
라돈 붕괴
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라듐의 붕괴
시간 t 에서 라듐의 숫자
라돈 붕괴방정식에 대입
teNNNdt
dN1
01111
t
t
eNNdt
dN
NeNNNdt
dN
1
1
01222
220122112
tdtI 22 CeNCdteNCdteeNeN ttttt
)(
12
01)(01012
1212212
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라듐의 붕괴
초기조건: t=0 에서 N2=0
12
01
12
0120
NCCNN
)( 21122
12
012
12
01)(
12
012
tttt eeNNNeNeN
숙제 3, 문제중심학습 C급, 신준형
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연립 1차 상미분 방정식
Lorentz 힘이 작용할 때 전자의 운동
BveF
zBB ˆ
일 때
zdtvmy
dtdv
mxdtdvmFzvyvxvv zyx
zyx ˆˆˆ,ˆˆˆ
)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ( yvxvBzBzvyvxvBv xyzyx
)ˆˆ(ˆˆˆ yvxvmeBz
dtvy
dtdv
xdtdv
xyzyx
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연립 1차 상미분 방정식
xy
yx
vmeB
dtdv
vmeB
dtdv
한 번 미분하여 연립하여 풀면
xyx v
mBe
tdv
eBdt
vd2
22
2
2
Trial solution tix Aev
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연립 1차 상미분 방정식
다른 한 식에 대입
tix
tix
tix
AevmeB
emBeAvBeeA
dtvd
2
22222
2
2
,
)2/(1
titix
y AeiAedtdvv
물리적 해 추출을 위해 실수부 채택
Ω: cyclotron frequency
tmeBAiAevt
meBAAev ti
yti
x sin)Re(,cos)Re(