機械力学１講義

第８回

2006.12.11

ラプラス変換

実f(t) → 複素F(s)

∫∞ −=

0)()( dtetfsF st

∫∞+

∞−=

i

i

stdsesFi

tfσ

σπ)(

21)(

積分の収束条件 Re[s]=σ>0

o σt

s( )i虚

実

tとsの変数域

ラプラス逆変換

ラプラス変換による強制振動の解析

（前回の復習）

t：時間，s：複素数

複素F(s) → 実f(t)

微分方程式を機械的に解く方法

ラプラス変換表

atcosh

ata

sinh1

atcos

ata

sin1

t

)(tu

)(tδ

22 ass−

221as −

22 ass+

221as +

21s

s1

1

)(tf )(sF

atea

bt sinh1( ) 22

1abs −−

( ) 22 absbs−−

−atebt cosh

atea

bt sin1( ) 22

1abs +−

att cos

atat sin

2

atebt cos

( )222

22

as

as

+

−

( )222 as

s

+

( ) 22 absbs+−

−

)(tf )(sF

∫∞ −=

0)()( dtetfsF st ∫

∞+

∞−=

i

i

stdsesFi

tfσ

σπ)(

21)(

機械振動では無数の関数が現れるが，これだけあれば，ほとんどの場合が解ける．

表があれば，無限積分，複素積分不要．

ラプラス変換の公式

)( tfe at )( asF −

dtdf )0()( fssF −

2

2

dtfd )0()0()(2 fsfsFs ′−−

)0()0(

)0()()1(2

1

−−

−

−−′−

−nn

nn

ffs

fssFs

Ln

n

dtfd

指数関数の積

微分

２階微分

n階微分

)( tf )( sF

ラプラス変換表と公式を組合わせれば，ほとんどの問題が解ける．

x

k c

m ( )tf

6.4 ラプラス変換による任意外力の応答計算

( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &① ②

⑥

⑦

ラプラス変換

( )sXx→③

④

⑤

⑧

)(tfkxxcxm =++ &&&

( )sFf →( ) ( )002 xsxXsx &&& −−→

( )0xsXx −→&

{ } { } FkXxsXcvsxXsm ooo =+−+−−2

（未知）

（表の値を代入）

初期値を代入

kcsmsmv

kcsmscmsx

kcsmsFX

+++

+++

+++

= 20202

ooo mvcxmsxFkXcsXXms +++=++2Xで整理

ラプラス逆変換

⑧

+++

+++

+

++= −−−

kcsmsmLv

kcsmscmsLx

kcsmsFLx 2

102

102

1

⑩

kcsmsmv

kcsmscmsx

kcsmsFX

+++

+++

+++

= 20202

⑨

mkn /=ω 21 ζωω −= nd

簡単な分数に分解

=x

000 == vx の解（特解） 00 == vf の解（基本解）

00 == xf の解（基本解）

tev dt

dn ω

ωζω sin1

0−

+− ttex d

d

nd

tn ωωζωωζω sincos0

++−

kcsmsFL 2

1+

+

減衰振動系のステップ応答（前回の復習）

部分分数に分解

)(tFukxxcxm =++ &&& 0)0()0( == xx &

[ ]s

uL 1=

22 211

nnsssmF

ωζω ++⋅⋅=

++

+−=

++

+−⋅= 22222 2

212

211

nn

n

nn

n

n sss

skF

sss

smFX

ωζωζω

ωζωζω

ω

c

m x

k

)( tFu

u

0

1

t

21

2 kmωn =

mk

n =ω mkc

2=ζ

sFkXcsXXms 12 ⋅=++

sF

kcsmsX

++= 2

1

u(0)は何でもよい

両辺ラプラス変換

( ) ( ) XsxsxXsx 22 00 =−−→ &&& ( ) sXxsXx =−→ 0&

分母：sの2次式，分子：1次式

( ) 221sin1

absate

aL bt

+−=

[ ]

( ) 22cosabs

bsateL bt

+−−

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅

++−

++

+−=

++−

++

+−=

++

+−=

+−+

+−=

ndndn

n

dn

n

dn

n

dn

n

nnn

n

sss

skF

sss

skF

ss

skF

ss

skFX

ζωωζωωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζωζω

ζω

2222

2222

22

222

11

1

21

21

　　

　　

　　

+

+++

−=sss

skFX

nn

n 12

222 ωζω

ζω

21 ζωω −= nd

da ω→

nb ζω−→

[ ]s

uL 1=

−−= −− tetetu

kFtx d

tn

dnd

tn ωω

ζωω ζωζω sin1cos)()(

−−−= −− tete

kF

dtn

dtn ω

ζ

ζω ζωζω sin1

cos12

da ω→

nb ζω−→

( ) ( )

⋅

++−

+++

−= ndndn

n

sss

skFX ζω

ωζωωζωζω

222211

( ) 221sin1

absate

aL bt

+−=

[ ]( ) 22cos

absbsateL bt

+−−

=

[ ]s

uL 1=

不連続関数があっても問題なし

（t>0)

−

−

+−= − )cos(

1

11

2

2

φωζ

ζ ζω tekF

dtn

21tan

ζ

ζφ−

=

21 ζωω −= nd

x

kF

o tステップ応答

−

+± − tne

kF ζω

ζ

ζ2

2

1

11

0)0()0( == xx &

−

−

+−= − )cos(

1

11

2

2

φωζ

ζ ζω tekFx d

tn

図8.1A

2k

1k

m

c

x

y

図8.1B

x

0

0x

t

xがx=xou(t)とステップ状に移動．xoは定数，uは単位ステップ関数．

mkk 21

1+

=ω 12 1

<=ω

ζmc

◎問8.2 前問をラプラス変換により解け．また，t→∞におけるyは，x=xoに対するmの静的釣合位置hに一致することを確かめよ．

021

1 xkk

kh

+=

( ) ( ) 000 == yy &

krrckxxcxm +=++ &&&&

0)0()0( == xx &

)()( sXtx → [ ]sAAuLsRtr ==→ )()(

{ } kRrsRckXcsXXms +−=++ )0(2

6.3.4 ステップ関数の初期値が問題になる場合

ステップ関数uの初期値は１か0か

)()( xrkxrcxm −+−= &&&&

1)(lim)0(0

==+→

tuut

0)(lim)0(0

==−→

tuut

0)0( =u

1

u, w

u w

0 t1 t

k

m

c

( )tx

( ) )(tAutr =

[ ]s

dttuetuL st 1)()(0

== ∫∞ − 0)0( =u

[ ]s

dttvetvL st 1)()(0

== ∫∞ − 1)0( =v

1

u

v

0 t

ラプラス変換が同じで，初期値1の関数がある．

t>0ではu=v．よって，uとvのラプラス変換

は同じ

1

1

sAkAuAckXcsXXms o +−=++ )(2

)1(22 222onnnn uA

sAXsXXs −+=++ ζωωωζω

−+++

= )1(22

2

22 onn

nn

usss

AX ζωωωζω

++−

+++

+−= 2222 )(

)21()(

1

dn

on

dn

n

su

ss

sAX

ωζωζω

ωζωζω

{ } kRrsRckXcsXXms +−=++ )0(2

sAsR =)( ( )0)0()0( === oAuAur

mkn =ω

uの初期値をuoとおく

両辺mで割る

Xで整理

部分分数分解

mkc 2=ζ

−

−−−= − tutetuAx d

od

t ωζ

ζωζω sin1

)21(cos)(2

su 1→

221

1

)(cos1

dd

t

s

steωζω

ζωωζω

++

+→−

221)(

sin1

d

dd

t

ste

ωζω

ωωζω

++→−

++−

+++

+−= 2222 )(

)21()(

1

dn

on

dn

n

su

ss

sAX

ωζωζω

ωζωζω

ラプラス変換公式

ラプラス逆変換

muAcu

mcAuAx o

onn

on)1()1(

22)1(2)0( −

=−=−=+ ωω

ζω&

0/)0( ≠= mAcx&

−

−−−= − tutetuAx d

od

tn ωζ

ζωζω sin1

)21(cos)(2

uo=0のとき（ｒ＝Au)

uo=1のとき（ｒ＝Av) 0)0( =x&

−

−++−= − tutueAx d

odo

tnn ω

ζ

ζωζω ζω sin1

)1(21cos)1(22

2&

0)0( =+x

初期条件は 0)0()0( == xx &

?

のはず

1

t>0

t>0

（t>0からの極限）

1 1 0

1 1 0

nmcω

ζ2

=

1

u(0)=0

v(0)=1

0 t

−

−−−= − tutetuAx d

od

tn ωζ

ζωζω sin1

)21(cos)(2

0)0( =x&r=Au，uo=0

A

mAcx /)0( =&

r=Av，uo=1

質点は無限大の加速度で移動

速度が不連続に変化

t=0でrが無限大の速度

ダンパーは無限大の力を発生k

m

c

( )tx

( ) )(tAutr =

1t>0

t=0でuは不連続dx/dt も不連続

0)0()0( == xx &

撃力

krrckxxcxm +=++ &&&&

)()( tkAutcA += δ

to

)( tu

)( tδ∞

1

δ=dtduAur =

ラプラス変換後に微分公式使用

微分後にラプラス変換

skAcAkXcsXXms 112 +⋅=++

[ ] 1)( =tL δ [ ]s

tuL 1)( =

u(0)=0と置いたものと同じ．

u(0)を使わない解法

微分公式で初期値発生

)0()()( rssRtr −→&

t=0近傍の力積（力×時間）

∫∫ −−+=+=

ε

ε

ε

εdtkAuucAdtkrrcI )()( &&

t=0の運動量変化＝力積＝I

mcA

mI=

初速度に一致

t=0の速度変化

[ ] [ ] [ ] cAuucAkAtcAu =−−=+= − )()(0 εεεεε

0 0

=1

初期値に関する考察

krrckxxcxm +=++ &&&&

)()( tkAutcA += δ

to

)( tu

)( tδ∞

1

ε− ε

δ関数（∞）の影響は初速度に現れる．u関数（有限）

は初期値に影響しない．

以下の方程式は等価

)()( tcAtkAukxxcxm δ+=++ &&&0)0( =x 0)0( =x& 0≥t

0)0( =xmcAx =)0(& 0>t

x x&

)(tcAδto

∞

kAkxxcxm =++ &&&

①

②

撃力

k

m

c

( )tx

( ) Atr =

δ関数は初期値に置き換えられる．

撃力が過ぎた後

特解

基本解

一般解

運動方程式

初期条件

デルタ関数を除けば，時間領域解法も可能

0)0( =x mcAx =)0(&kAkxxcxm =++ &&&

( )tDtCex ddtn ωωζω sincos += −

Ax =

( )tDtCeAx ddtn ωωζω sincos ++= −

0)0( =+= CAx

mcADCx dn =+−= ωζω)0(&初期条件に代入

21 ζζ −= AD AC −=

−+−+= − tAtAeAx dd

tn ωζ

ζωζω sin1

cos2

未定係数の決定

解

(t>0)

δcA

δcA

kAuucAkxxcxm +=++ &&&&0)0()0( == xx & k

m

c

( )tx

( ) )(tAutr =

ステップ応答のまとめ

skAu

sscAkXcsXXms 1)0(12 +

−⋅=++

①直接ラプラス変換，u(0)=0を使用．

)()( tkAutcAkxxcxm +=++ δ&&&

skAcAkXcsXXms 112 +⋅=++

②uを微分した後にラプラス変換 δ=dtdu

を使用

0)0( =xmcAx =)0(& 0>tkAkxxcxm =++ &&&

kAuucAkxxcxm +=++ &&&& 0)0()0( == xx &

k

m

c

( )tx

( ) )(tAutr =

③δ関数を初速度に変換

ラプラス変換

skAcAkXcsX

mcAXsm 112 +⋅=++

−

( ) ( )002 xsxXsx &&& −−→

④時間領域解法，初期条件によりC1，C2決定

teCteCkFx d

td

t nn ωω ζωζω sincos 21−− ++=

運動量変化=力積を利用

特解 基本解１ 基本解２

+++

++= −− txvtxe

kcsmssFLx d

d

nd

tn ωωζω

ωζω sincos)( 0002

1

デュアメル積分による解法

ラプラス変換，逆変換はともに積分 → 第１項は積分

（不減衰系）n

nn

tvtx

kmssFLx

ωω

ωsin

cos)(002

1 ++

+= −

( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &)(tfkxxcxm =++ &&&

{ } { } FkXxsXcvsxXsm ooo =+−+−−2

kcsmsmv

kcsmscmsx

kcsmsFX

+++

+++

+++

= 20202

ラプラス変換

逆変換

時間領域ラプラス変換デュアメル積分

∫ −=t

nn

dftm

x0

)()(sin1 τττωω

∫ −= −−td

tn

ddfte

mx

0)( )()(sin

1τττω

ωτζω

（不減衰系）

（減衰系）

∫ ∫∞+

∞−

∞ −−

+=

+

i

i

stst dsedtetfkmsikms

sFLσ

σπ 0221 )(1

21)(

+++

++= −− txvtxe

kcsmssFLx d

d

nd

tn ωωζω

ωζω sincos)( 0002

1

n

nn

tvtxkms

sFLxωωω sincos)(

0021 ++

+= −

ラプラス変換，逆変換はともに積分 → 第１項は積分

（不減衰系）

（減衰系）

（減衰系）

コラム13 デュアメル積分の証明

入力fがδ関数のときの応答（インパルス応答）をh(t)とする

∫ −= −−td

t

ddfte

mx n

0)( )()(sin1 τττω

ωτζω

)(tfkxxcxm =++ &&&

)(tkhhchm δ=++ &&& )0()0( hh &=

12 =++ kHcsHHms

ラプラス変換

H=L[h]

（特解を積分で書き下す）

1][ =δL

( ){ }22211)(

dnsmkcsmssH

ωζω ++=

++=

tem

th dtn

dω

ωζω sin1)( −=

逆変換

tm

th nn

ωω

sin1)( =

不減衰系では

12 =++ kHcsHHms

ラプラス変換

( ) 221sin1

absate

abt

+−⇒

公式

畳み込み積分 ∫ −=∗t

dftftftf0 2121 )()()()( τττ

[ ]2121 )()( ffLsFsF ∗=合成公式

)()()()( 2 sFsHkcsms

sFsX =++

=

[ ])()()( 1 sFsHLtx −=

)(tfkxxcxm =++ &&&

kcsmssH

++= 2

1)(

一般の入力に対する応答

)0()0( xx &=

FkXcsXXms =++2

教科書 コラム13

tem

th dtn

dω

ωζω sin1)( −= ，t→t-τ

∫

−= −−t

dtn

ddfte

m0)( )()(sin1 τττω

ωτζω

[ ] ∫ −=∗== − tdfthfhsFsHLtx

01 )()()()()( τττ

畳み込み積分

任意外力に対する応答の計算法

( )tfkxxm =+&&

( ) ( ) tBtAtxtx nnp ωω sincos ++=

特解 自由振動解（基本解）

インパルス応答

( ) ( )kms

vkms

sxkms

sFsX+

⋅++

⋅++

= 20202

1

000 == vx 0== fFkms +2

1

( )[ ] 1=tL δ特解 自由振動解

( ) ( ) ( ) tvtxdftm

tx nn

n

t

nn

ωω

ωτττωω

sincossin1 00

0++−= ∫

0=f

k

m fx

１．初等解法

２．ラプラス変換

３．デュアメル積分

運動方程式と初期条件

不減衰系の強制振動

( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &

特解 自由振動解000 == vxt

m nn

ωω

sin1インパルス応答

・初等解法：特解を求めるのが難しい．

・ラプラス変換：ラプラス変換表が必要．

・デュアメル積分：積分計算が難しい．

6.6 ２自由度系のラプラス変換

12212111 )( fxkxkkxm =−++&&

22321222 )( fxkkxkxm =++−&&

図6.8

1x

2x

1k

2k

3k

1m

2m

1f

2f

=

+−−+

+

2

1

2

1

322

221

2

1

2

1

00

ff

xx

kkkkkk

xx

mm

&&

&&

( ) 12121111 fxxkxkxm +−−−=&&

22312222 )( fxkxxkxm +−−−=&&

（あまり使わない）

=

+−−+

+

2

1

2

1

322

221

2

1

2

1

00

ff

xx

kkkkkk

xx

mm

&&

&&

[ ] [ ]

=

+

2

1

2

1

2

1

ff

xx

Kxx

M&&

&&

[ ]

=

2

1

00m

mM [ ]

+−

−+=

322

221

kkkkkk

K

101 )0( xx = 202 )0( xx =

101 )0( vx =& 202 )0( vx =&初期条件

x1，x2からξ1，ξ2へ変数変換

固有モードベクトル

[ ][ ] [ ][ ] [ ]0)()(2 =+− iii XKXMω

自由振動解

（5.3.2モード座標系での解法）

[ ] [ ]

=

+

2

1

2

1

2

1

ff

xx

Kxx

M&&

&&

（独立．任意のベクトルを線形和で表せる）

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

=+=

2

1)2()1()2(2

)1(1

2

1 ,ξξ

ξξ XXXXxx

固有値問題固有ベクトル

[ ] [ ]

=

+

2

1

2

1

2

1

ff

xx

Kxx

M&&

&&

を代入

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )

=+++

2

1)2(2

)1(1

)2(2

)1(1 f

fXXKXXM ξξξξ &&&&

[ ] [ ])2(2

)1(1

2

1 XXxx

ξξ +=

[ ]TX )1( を左から掛ける

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]

=

+++

2

1)1(

)2(2

)1(1

)1()2(2

)1(1

)1(

ff

X

XXKXXXMX

T

TTξξξξ &&&&

直交性 [ ] [ ][ ] 0)2()1( =XMX T [ ] [ ][ ] 0)2()1( =XKX T

0 0

[ ] [ ][ ] 1)1()1( mXMX

t= [ ] [ ][ ] 1

)1()1( kXKXt

=

)(11111 tfkm =+ ξξ&&

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]

=

+++

2

1)1(

)2(2

)1(1

)1()2(2

)1(1

)1(

ff

X

XXKXXXMX

T

TTξξξξ &&&&

直交性

0 0

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=+

2

1)1(1

)1()1(1

)1()1(

ff

XXKXXMX TTT ξξ&&

[ ] )(12

1)1( tfff

X T=

[ ]

=

2

1)2(2 f

fXf T

)(22222 tfkm =+ ξξ&&

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )

=+++

2

1)2(2

)1(1

)2(2

)1(1 f

fXXKXXM ξξξξ &&&&

[ ]TX )2( を左から掛ける

[ ] [ ][ ] 2)2()2( mXMX T= [ ] [ ][ ] 2

)2()2( kXKX T=

直交性

0 0

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=+

2

1)2(2

)2()2(2

)2()2(

ff

XXKXXMX TTTξξ&&

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

=+=

2

1)2()1()2(2

)1(1

2

1 ,ξξ

ξξ XXXXxx

[ ]

=

−

)0()0(

)0()0(

2

11)2()1(

2

1

xx

XXξξ

[ ]

=

−

)0()0(

)0()0(

2

11)2()1(

2

1

xx

XX&

&

&

&

ξξ

初期条件

解ξ1，ξ2をラプラス変換により求める．

)(11111 tfkm =+ ξξ&&

)(22222 tfkm =+ ξξ&& [ ]

=

−

)0()0(

)0()0(

2

11)2()1(

2

1

xx

XXξξ

[ ]

=

−

)0()0(

)0()0(

2

11)2()1(

2

1

xx

XX&

&

&

&

ξξ

ξ1，ξ2に関する独立な方程式．１自由度系が２個あるのと同じ．

[ ] [ ])2(2

)1(1

2

1 XXxx

ξξ +=

自由度が増大しても，モード座標ξに関する運動方程式の数が増えるだけで，個々の方程式を解く手間は同じである．１自由度系の計算を繰り返し行えば解に到達できる．ただし，固有モードベクトルの計算は必要であり，その手間は自由度の増大とともに増大する．

講義予定

12/18 中間試験＋講義

1/ 9 （火） 講義（13:00開始？）

1/15 講義（休講？）

1/22 講義1/29 予備3/ 5（月）最終試験

演習問題 「3．力学の基礎」～「7．強制振動」および問8.1，8.2，8.8，8.9，教科書6.3.3

のうち，◎○△の問題

＝授業で解いたもの，教科書に載っているもの

12/18 中間試験

コンピュータのハードウェアと機械力学

DRAM

HDD

情報処理：電子の動き機械的運動は不要

メカを使うメモリが存在する理由？

MP3プレーヤー

PCのマザーボード

ハードディスク（磁気ディスク）

LSI： DRAM，フラッシュメモリ機械：HDD，DVD 混在

HDD

MOS型

トランジスタ

コンデンサ

磁気ディスク・１個の磁気ヘッドで

データの読み書き．構造単純・大容量，安価，低速

LSIメモリ・１ビットごとにコンデンサと

トランジスタ・小容量，高価，高速

磁気ヘッド（電磁石）ガラス円板に磁石の膜

256MB=256×100万×8ビット＝20億ビット

メモリには機械式と半導体式がある

33904円/5GB=6,780円/GB 17306円/0.5GB=34,612円

12857円/120GB=107円/GB

11052円/0.25GB=44,208円/GB

12474円/0.5GB=24,948円/GB

不揮発性メモリの比較

磁気ディスクの構造 浮動ヘッド機構

磁気ディスク媒体

浮動ヘッド

ベース電磁アクチュエータ

キャリッジ

ジンバルばね部（板ばね）

スライダ

電磁変換ヘッド（コイル）

ロードばね部（板ばね）

記録再生

NS

磁気記録の原理10nm

100km/h

面振れ 数μm

(b) トラック変動

10nm：1μm＝1:100

スライダの浮上原理

磁気ヘッド

隙間の距離と速度に比例

ばね

空気圧力

①ゆっくりディスクup→隙間小→圧縮大→圧力大→スライダup

②ゆっくりディスクdn→隙間大→圧縮小→圧力小→スライダdn

③速くディスクup→空気圧縮→圧力大→スライダ速くup

④速くディスクdn→空気膨張→吸引→スライダ速くdn

ダンパー

支持機構

スライダ

空気膜

ディスク

スライダの１自由度力学モデル

集中質量

1mm

磁気ヘッド

焦点深度1μm

a

面振れ100μm

固定端

平行板ばね

永久磁石可動コイル

対物レンズO

フォーカスサーボ機構

レンズを傾けずに上下動するためのガイド

上下に移動

電磁力により上下動

焦点誤差efに

比例する力が発生

ディスクとレンズ（焦点）のばね結合に等価

（焦点ずれの速度に比例する電圧も発生）

フォーカスサーボ系

光ディスクフォーカスサーボの力学モデル

（レンズ）

磁気ディスク

①正弦波外力による振動x風によるヘッドの振動

F=Asinωt

②正弦波変位による振動

x r=Asinωtディスクのうねり

追従

F=Asinωt

r=Asinωt

③初期偏差に対する過渡応答

磁気ディスクのトラックアクセス

x

r=A

移動開始 整定 時間

アクセスタイム

目標トラック

ヘッド位置

（固定）

0≠= Arxr=A

④ステップ状変位に対する過渡応答

（磁気ディスクの突発振動）

ｘ

ｒ

ステップ変位 整定 時間

応答時間

ディスク高さ

ヘッド位置

ステップ移動)(tAur =x

)(tAur =

光ディスクと眼球運動（サッケード）

問 8.2 解答

運動方程式

( ) 012 =−+++ xykykycym &&& (1) 0)0()0( == yy & ， )(tuxx o= (2)

mkk 212

1+

=ω ，12 ω

ζmc

= (3)

umxk

xmk

yyy o112112 ==++ ωζω &&& (4)

ラプラス変換

msxk

YsYYs o12112

2

=++ ωζω (5) 公式s

u 1⇒ を使用

( ) ( )

++−

++

+−=

++= 22

1

122

1

12

1

112

11

12

12

dd

oo

sss

smxk

msxk

ssY

ωζωζω

ωζωζω

ωωζω (6)

ただし 21 1 ζωω −=d (7)

ラプラス逆変換

公式s

u 1⇒

( ) 22cosabs

bsatebt

+−−

⇒ ( ) 22

1sin1abs

atea

bt

+−⇒ を利用

−−

+=

−−=

−−

−−

tetetukk

xk

tetetum

xky

dt

dd

to

dt

dd

to

ωωζω

ω

ωω

ζωωω

ζωζω

ζωζω

sincos)(

sin1cos)(

11

11

1

21

1

121

1

(8)

∞→t のとき 01 →− te ζω ， 1)( →tu なので

hkk

xky o =+

→21

1 (9)

静的釣合い：m，c を無視．k1，k2のみ考慮．

( )hxkhk o −= 12 (10)

oxkk

kh21

1

+= (11)

h

xo

圧縮量h

圧縮量xo-h

k2

k1

図8.1A

2k

1k

m

c

x

y