LÍMITES

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Idea intuitiva de límite de una función en un punto

Considérese la función lineal y = 2x + 1.

¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima

al valor 3 ?

Por la izquierda

x y = f(x)

2.5 6

2.8 6.6

2.9 6.8

2.99 6.98

Por la derecha

x y = f(x)

3.5 8

3.3 7.6

3.1 7.2

3.01 7.02

Cuando x tiende a 3,

el límite de la

función

y = 2x + 1 es 7,

y se escribe

3lim 2 1 7x

x

Ejemplo : Sea , calcular

Izquierda Derecha

Solución

Ejemplo

Definición Informal del Limite de una función :

y se dice “ el límite de f(x) es igual a L cuando x tiende

a “c” si podemos acercar arbitrariamente los valores

de f(x) a L aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”

lim ( )x c

f x LSe escribe

Tres funciones para las que

Ejemplos

lim ( )x c

f x L

Dos funciones para las que no existe)(xflimcx

Ejemplos

Ejemplo:

04 4

xLim x

4

LIMITES LATERALES

4( )

xLim f x

4( )

xLim f x

Límites Laterales

LIMITE POR LA DERECHA :

Sea f una función definida en < a , c > ;

entonces : Lim f(x) = L

xa+

significa que f(x) puede acercarse

arbitrariamente a L eligiendo x

cercano de “ a “ ( x > a )

LIMITE POR LA IZQUIERDA :

Sea f una función definida en < c , a > ;

entonces : Lim f(x) = L

xa–

significa que f(x) puede acercarse

arbitrariamente a L eligiendo x

cercano de “ a “ ( x < a )

)( )( si sóloy si )( xflimLxflimLxflimaxaxax

Teorema:

Problemas

1

1

1

1) :

) lim ( )

) lim ( )

) ¿ lim ( ) ?

x

x

x

Calcular

a f x

b f x

c Existe f x

2) Determinar la existencia de:

0

1

2

4

) lim ( )

) lim ( )

) lim ( )

) lim ( )

x

x

x

x

a f x

b f x

c f x

d f x

3) Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

3) En los siguientes gráficos determinar

3

3

1

1

0

3

3

) ( 5)

) ( )

) ( )

) ( 3)

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

x

x

x

x

x

x

x

i f

ii Lim f x

iii Lim f x

iv f

v Lim f x

vi Lim f x

vii Lim f x

viii Lim f x

ix Lim f x

PROPIEDADES :

1.- Límite de una suma de funciones

2.- Límite de una resta de funciones

3.- Límite de un producto de funciones

4.- Límite de un cociente de funciones

/

limx

x x

x

7 5 8

41

1 1

1

limx x

xx

x x

x

3 2

22

15 3

16

PROBLEMAS3

23

1 5

3x

x xLim

x x

4

2 1 3lim

2 2x

x

x

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Determine “ a ” de modo que

el límite exista

22

ax

aaxxlim

ax

9.

10.

11.

3lim ( )

( ) 4

xCalcular f x

Si f x x x12.

2

3

3lim

3x

x

x

5/ 2lim 3 4

xx x

3

3

23 3

33

lim9 ( 1)x

xx x

Sgn x x

Calcule el siguiente límite

4lim ( )x

f x si

-4 xsi 127x

16-x

-4 xsi 4x

86x

)(

2

2

2

x

x

xf

Límites infinitos

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional,

no representa ningún número real .

Consideramos la función , determinar el

comportamiento de la función cuando

1( )

2f x

x

2x

2x

2x

DEFINICIÓN

Sea f una función definida en ambos lados de “ a “ , excepto quizás

en el propio “ a “ . Entonces :

Lim f(x) =

xa

Significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente

grande eligiendo un x lo bastante cerca de “ a “

* Lim f(x) =

xa+

* Lim f(x) =

xa–

x

y

ax

y

a

DEFINICIÓN

Sea f una función definida en ambos lados de “ a “ , excepto quizás

en el propio “ a “ . Entonces :

Lim f(x) = –

xa

Significa que los valores de f(x) son tan grandes negativos como

deseemos para todos los valores de x cercanos de “ a “

* Lim f(x) = –

xa+

* Lim f(x) = –

xa–

x

y

ax

y

a

Propiedades

1.- Lim 1 = + , si n es entero positivox0+ x n

2.- Lim 1 + , si n es par

x0– x n - , si n es impar

NOTA : Si c 0

0,

0,

0 csi

csic

0,

0,

0 csi

csic

PROBLEMAS

22 2

3)1

xlímx

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

x

y

11

1

12

)()2xsi

x

xsix

xf-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

2

2

43) lim

2x

x

x

0

24) lim

x

x

x x

3

3 210

10005) lim

20 100x

x

x x x

22

1 56) lim

2 4x x x

LIMITES EN EL INFINITO

DEFINICION :

Sea f una función definida en un intervalo < a, > . Entonces

Lim f(x) = L

x

Significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto

como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande .

1

1)(

2

2

x

xxf 1

1

12

2

x

xLimx

1

PROPIEDADES

1.-

2.-

Límite de una función racional en el infinito

Si :

Entonces :

mnsi

mnsib

a

mnsi

m

n

,0

,

,

)(

)(

xQ

xPLimx

EJEMPLOS

3 2

3 5

4 2

6

2 2

3

lim :

3 2 1) lim

2 4 5

) lim3

5 2) lim

8 4) lim

3 2

) lim 2 2

x

x

x

x

x

Calcular los siguientes ites

x xa

x x

x xb

x

xc

x b

xd

x x

e x x x x

En cada caso, utilizando el dibujo que se da,

determine los límites que se indican

a) b) c) d)

14

12)(

2

xsi

xsixxfSea encontrar

)(lím;)(lím;)(lím1

xfxfxfxxx

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

47

41)(

xsix

xsixxf )(lím;)(lím;)(lím

4xfxfxf

xxx

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y