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SUBSECRETARA DE EDUCACIN E

INVESTIGACIN TECNOLGICAS

SEPSECRETARA DE

EDUCACIN

PBLICA

Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico

Departamento de Ingeniera Electronica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

Aplicacion del Control Predictivo Multivariablea una Columna de Destilacion Binaria

presentada por

Guillermo Valencia PalomoIng. Electronico por el I. T. de Merida

como requisito para la obtencion de grado de:

Maestra en Ciencias en Ingeniera Electronica

Director de tesis:

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Co-Director de tesis:

Dr. Manuel Adam Medina

Jurado:Dr. Victor Vctor Manuel Alvarado Martnez - Presidente

Dr. Enrique Quintero-Marmol Marquez - SecretarioDr. Alejandro Rodriguez Palacios - Vocal

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza - Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, Mexico. 18 de Diciembre de 2006

Dedicatoria

A mis , por luchar siempre por mi y por ser el mejor ejemplo en mi vida. Los amo.

A mis , con quienes he pasado los mejores momentos de mi vida.

A mis , con toda mi admiracin y respeto, gracias por estar siempre tan cerca de mi.

A , que siempre ha estado de mi lado.

Con todo mi amor y cario, para ustedes:

El amor nunca dejar de ser. Un da cesarn las profecas, y no se hablar ms en lenguas ni ser

necesaria la ciencia. Porque la ciencia y la profeca son imperfectas.

1 Corintios 13; 8:9.

Agradecimientos

Durante este tiempo en que realice mi maestra pude constatar el apoyo

de profesores, familiares y amigos, a los cuales quiero expresar mi mas sin-

cero agradecimiento.

A mis asesores el Dr. Carlos M. Astorga Zaragoza y el Dr. Manuel

Adam Medina, gracias por guiarme en este trabajo de investigacion mediante

sus invaluables consejos y observaciones, por su confianza y sobre todo por

su amistad.

A los miembros de mi comite revisor; el Dr. Victor Manuel Alvarado, el

Dr. Enrique Quintero-Marmol Marquez y el Dr. Alejandro Rodrguez Pala-

cios, gracias por sus acertados comentarios y correcciones que contribuyeron

a enriquecer este trabajo.

Agradezco tambien a todos mis profesores de CENIDET, por su labor

dentro y fuera de las aulas. A mis companeros de potencia: Enrique Contre-

ras, Jorge A. Perez, Rosendo Flores, Alfonso Perez, Roberto Ovando, Palo-

ma E. Torres, Arnoldo Pacheco, Juan Carlos Tujillo y Francisco Pereyra;

y de control: Fernando A. Alegra, Leonel Alonso, Marcos A. Mendez, Juan

Carlos Gracia, J. Hector Ramirez, Eber J. Martnez, Jose E. Martnez y

Cesar A. Villanueva, con quienes compart momentos agradables de trabajo

y la ilusion de algun da ver nuestros estudios concluidos, por esos ratos de

diversion y por su amistad.

Les agradesco al Dr. David Juarez Romero, a Fernando Rivas y a Fran-

cisco Ronay, con quienes pase horas en la columna, gracias por sus aporta-

ciones dentro del Grupo de Destilacion, por su amistad y por los ratos que

compartimos.

Agradezco profundamente a mis padres Guillermo y Mara Luca, para

quienes sus hijos son la esencia de su vida, su dicha y la ilusion de su exis-

tencia ha sido verlos convertidos en personas de provecho. A mis hermanos

Jorge y Lizardo; ustedes son parte de mi inspiracion. Gracias por quererme

como solo ustedes podran hacerlo.

A mis abuelos, Papa Guillermo y Mama Mechita que han velado por

mi en todo momento.

Sin duda he dejado de mencionar a muchas otras personas que hicieron

mas placentera mi estancia en Cuernavaca, tanto los que aqu conoc como

a los que desde Merida y otros lugares siempre estuvieron pendientes de

mi. No obstante, a todos ustedes los tengo presentes y les reitero mi mas

profundo agradecimiento.

Agradezco al CONACYT y DGEST por el apoyo economico brinda-

do, sin el cual no hubiera sido posible dedicarme de tiempo completo al

desarrollo de este trabajo de tesis.

Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigacion de Desarro-

llo Tecnologico por proporcionarme los medios necesarios para mi formacion

academica y por las facilidades otorgadas durante mi estancia.

Resumen

En un proceso, las variables pueden clasificarse en variables controladas

y variables manipuladas. La mayor parte de estas variables se encuentran

acopladas, como en el caso de una columna de destilacion. Para hacer

frente a esto, en la mayora de los casos, se busca desacoplar las variables

del proceso y disenar multiples controladores monovariables. En aquellos

casos en los que el controlador PI se usa para regular estos lazos de

control, la sintona normalmente se realiza en un punto de operacion.

Esta sintona no puede ser efectiva si los puntos de operacion cambian

considerablemente, pudiendo originar una degradacion del desempeno

del controlador. Esto podra incluso causar, en el caso mas extremo, la

inestabilidad del proceso.

Cuando estas interacciones entre variables no se pueden evitar, la plan-

ta, debe considerarse como un proceso multivariable en vez de un con-

junto de procesos monovariables.

En este trabajo se exponen las bases conceptuales para el diseno de un

controlador predictivo multivariable basado en modelo. El controlador

es formulado en espacio de estados y se programa en Matlabr para suevaluacion. Este controlador combina la simplicidad de los modelos linea-

les con las no linealidades esenciales del proceso utilizando una tecnica

conocida como linealizacion en lnea. El controlador se desarrolla para

una planta piloto de destilacion binaria, presentando como principales

ventajas la facilidad de sintona y su adaptacion a los distintos puntos

de operacion de la planta sin necesidad de reajustar los parametros de

los controladores. Se presentan los resultados obtenidos en simulacion

para diversos casos estudiados. Entre estos se incluye la compensacion

de perturbaciones medibles que permite eliminar los errores de estado

estacionario.

Como caso particular del caso multivariable, se presenta la imple-

mentacion experimental de un controlador monovariable para regular el

flujo de agua al condensador de la planta piloto de destilacion.

Abstract

In a process, the variables can be classified in manipulated variables

and controlled variables. Most of these variables are coupled, as in the

case of a distillation column. In order to face this, the most popular

way of control the multivariable processes, is by designing decoupling

compensators to suppress the interactions and then designing multiple

monovariable controllers. In those cases in which PI controllers are used

to regulate these control loops, the tuning normally is made in a operating

point. As the set points are modified, the poor tuning originates a loss of

yield in the controller, causing a high variability in the controlled outputs

that even can arrived in instability.

When these interactions are not negligible, the process must be con-

sidered to be a multivariable process instead of a set of monovariable

process.

In this work the conceptual bases for the design of a multivariable

model-based predictive controller are exposed. The controller uses a space

state formulation and is programed in Matlabr for his evaluation. Thiscontroller combines the simplicity of the linear models with the essen-

tial nonlinearities of the process using a technique known as on-line

linearization. The controller has been developed for a bench-scale disti-

llation column, presenting as main advantages the facility of tuning and

its adaptation to the different set points of the plant with no need of

readjusting the controller parameters. The results obtained in simulation

for diverse studied cases are exposed. Between these, the compensation of

measurable disturbances is included, this allows to eliminate the steady

state errors.

As particular case of the multivariable controller, appears the experi-

mental implementation of a monovariable controller to regulate the flow

of cooling water to the condenser of the bench-scale distillation column.

Indice general

Lista de figuras V

Lista de tablas IX

Notacion XI

1. Introduccion 1

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Ventajas del control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1. Temas abiertos a la investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Organizacion del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Conceptos basicos del control predictivo 13

2.1. Estrategia de los controladores predictivos . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Elementos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Modelo de prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Funcion objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3. Obtencion de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Revision de los principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1. Control por matriz dinamica (DMC) . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2. Control algortmico de modelo (MAC) . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3. Control predictivo funcional (PFC) . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii Indice general

2.3.4. Control autosintonizado de prediccion extendida

(EPSAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5. Control adaptable de horizonte extendido (EHAC) . . . . . . . 26

2.3.6. Control predictivo generalizado (GPC) . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.7. Control predictivo no lineal (NLMPC) . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. El control predictivo multivariable 31

3.1. El control multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Formulacion del MPC en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Estimacion de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Alternativas del vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1. Restricciones en el control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.2. Solucion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.3. Gestion de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Pruebas realizadas al controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.1. Caso 1: Control monovariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.2. Caso 2: Modelo de prediccion diferente a la planta . . . . . . . . 50

3.6.3. Caso 3: Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.4. Caso 4: Control multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Modelado matematico de una columna de destilacion binaria 57

4.1. Perspectiva historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Hipotesis sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3. Relacion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1. Mezcla ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.2. Mezcla no ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.3. Eficiencias de Murphree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.4. Diagrama de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Flujos y masas molares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5. Parametros de alimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Indice general iii

4.6. Balance de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.7. Balance de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8. Pruebas en la columna de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8.1. Descripcion del la planta piloto de destilacion . . . . . . . . . . 65

4.8.2. Validacion del modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Diseno e implementacion de controladores 79

5.1. Configuraciones de control en la CDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1. Configuracion de balance de energa (L V ) . . . . . . . . . . . 805.1.2. Configuracion de balance de materia (D V ) y (LB) . . . . 815.1.3. Otras configuraciones de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Metodologa para la implementacion de controladores predictivos en la

columna de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3. Controlador MPC para el flujo de agua al condensador . . . . . . . . . 83

5.3.1. Seleccion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.2. Obtencion de la respuesta temporal del proceso . . . . . . . . . 85

5.3.3. Obtencion del modelo de prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.4. Pruebas en simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.5. Desarrollo de una interfaz operador-proceso . . . . . . . . . . . 89

5.3.6. Pruebas experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.7. Validacion y analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4. Controlador MPC para la columna de destilacion . . . . . . . . . . . . 94

5.4.1. Seleccion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.2. Obtencion de la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.3. Obtencion del modelo de prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.4. Pruebas en simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.5. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6. Conclusiones generales y perspectivas 111

6.1. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Trabajos futuros propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

iv Indice general

Bibliografa 115

A. Tablas de parametros 119

B. Descripcion de los programas 121

B.1. El modelo de la columna de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.2. El controlador MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Lista de figuras

1.1. Diagrama esquematico de una columna de destilacion. . . . . . . . . . . 2

1.2. Columna de destilacion fraccionaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Principio de operacion de la columna de destilacion. . . . . . . . . . . . 3

1.4. Esquema del objetivo de la tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Estrategia de control predictivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Estructura basica del control predictivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Respuestas del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

a. Respuesta al impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

b. Respuesta al escalon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Estructura ARIMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Respuestas libre y forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Puntos de coincidencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Estructura del control MPC en espacio de estados. . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Estructura del control MPC en espacio de estados con observador. . . . 38

3.3. Punto de control optimo en un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Diagrama de flujo del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Calentador de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Respuesta al escalon del calentador de agua. . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7. Caso 1. Respuesta a diferentes valores de y . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8. Caso 2. Modelo diferente de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.9. Caso 3. Restricciones en el controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.10. Sistema de cuatro tanques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11. Caso 4. Respuesta del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

vi Lista de figuras

4.1. Diagrama de equilibrio lquido-vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Esquema de un plato generico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Planta piloto de destilacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. Diagrama de instrumentacion de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5. Cuerpo de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

a. Seccion del cuerpo de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

b. Plato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6. Alimentacion de la mezcla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

a. Bomba de alimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

b. Termorresistencia de precalentamiento. . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7. Tablero de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8. Interpolacion de los puntos de operacion de la bomba de alimentacion. 69

4.9. Adicion de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

a. Termorresistencia de calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 70

b. Hervidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.10. Parte superior de la columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

a. Condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

b. Valvula de control para el flujo del agua. . . . . . . . . . . . . . 71

c. Electrovalvula de reflujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.11. Bomba de anillo lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.12. Regulador Digitric 500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13. Diagrama de equilibrio Metanol-Etanol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.14. Comparacion entre los datos del modelo y la planta piloto de destilacion. 76

5.1. Configuracion de control en la columna de destilacion. . . . . . . . . . . 82

a. Columna en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

b. Configuracion (L V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82c. Configuracion (D V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82d. Configuracion (LB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2. Diagrama de instrumentacion de la seccion del condensador. . . . . . . 84

5.3. Variables manipulada y controlada para el control de flujo de agua de

alimentacion al condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Lista de figuras vii

a. Valvula neumatica FV1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

b. Sensor de flujo FI1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4. Respuesta al escalon del flujo de agua de alimentacion. . . . . . . . . . 85

5.5. Esquema de simulacion para el control MPC de flujo de agua al conden-

sador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Simulacion del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 88

5.7. Pantalla principal del programa para el control en tiempo real. . . . . . 89

5.8. Jerarqua de la interfaz operador-proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9. Programa del control interactuando con la planta piloto. . . . . . . . . 90

5.10. Control del lazo de flujo de agua al condensador (tiempo real). . . . . . 92

5.11. Parametros estimados (tiempo real). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.12. Control del lazo de flujo de agua al condensador (tiempo real). . . . . . 93

5.13. Respuesta al escalon de la CDD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.14. Esquemas de simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

a. Esquema MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

b. Esquema PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.15. Caso 1. Modelo de prediccion lineal, Regulacion. . . . . . . . . . . . . . 103

5.16. Caso 1. Modelo de prediccion lineal, Seguimiento. . . . . . . . . . . . . 104

5.17. Caso 2a. R (apertura proporcional). MPC y PI, Regulacion. . . . . . . 105

5.18. Caso 2a. R (apertura proporcional). MPC y PI, Seguimiento. . . . . . . 106

5.19. Caso 2b. R (On/Off). MPC y PI, Regulacion. . . . . . . . . . . . . . . 107

5.20. Caso 2b. R (On/Off). MPC y PI, Seguimiento. . . . . . . . . . . . . . . 108

B.1. Simulador de la columna de destilacion en lazo abierto. . . . . . . . . . 122

B.2. Comparacion de la columna de destilacion en lazo abierto y la columna

de destilacion linealizada en lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.3. Bloque del controlador MPC en Simulinkr. . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.4. Cuadro de dialogo del controlador MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.5. Simulador del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 125

B.6. Cuadro de dialogo del bloque de estimacion de parametros. . . . . . . . 125

B.7. Programa en LabViewr para el control MPC en tiempo real. . . . . . . 126

a. Pantalla inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

viii Lista de figuras

b. Salida del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

c. Entrada al sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.8. Programa en LabViewr para el control MPC en tiempo real, parametros

estimados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

a. Estimados a1 y a2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

b. Estimados b0 y b1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B.9. Simulador del control de flujo de agua al condensador. . . . . . . . . . 128

Lista de tablas

3.1. Dimensiones de las matrices y vectores involucrados en el calculo de u(k) 38

3.2. Valores de los parametros del sistema de cuatro tanques. . . . . . . . . 54

4.1. Calidad de la alimentacion q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Nomenclatura del diagrama de instrumentacion. . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Elementos monitoreados y controlados por los reguladores. . . . . . . . 73

4.4. Senales de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5. Error del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1. Configuraciones de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Parametros de los controladores del flujo de agua al condensador. . . . 87

5.3. Error medio cuadratico del control del flujo de agua de alimentacion. . 93

5.4. Parametros de sintona los controladores de la planta piloto de destilacion.101

5.5. Error medio cuadratico de las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1. Tabla comparativa entre el controlador programado y el toolbox de MPC

de Matlabr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1. Caractersticas fsicas de la planta piloto de destilacion. . . . . . . . . . 119

A.2. Propiedades termodinamicas de la mezcla Metanol-Etanol. . . . . . . . 120

A.3. Parametros iniciales de las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ix

x Lista de tablas

Notacion

Letras mayusculas

Ac Constante de Antoine.

B Flujo molar del producto de fondo (mol/min).

Bc Constante de Antoine.

Cc Constante de Antoine.

Cpc Calor especfico (kJ/moloC).

D Flujo molar del producto destilado (mol/min).

E Eficiencia de Murphree en la seccion de empobrecimiento.

F Flujo molar en la alimentacion (mol/min).

FC Flujo de agua al condensador (L/hr).

FPB Porcentaje de variacion en la frecuencia de la bomba.

FV Flujo volumetrico en la alimentacion (mL/min).

Hci Entalpa de vapor (J/mol).

HC Horizonte de control.

HP Horizonte de prediccion.

Kci Coeficiente de equilibrio.

L Flujo molar lquido (mol/min).

LR Flujo molar lquido en la seccion de enriquecimiento (mol/min).

LS Flujo molar lquido en la seccion de empobrecimiento (mol/min).

Mci Masa molar retenida en cada estado (mol).

MWc Peso molecular (gr/mol).

PT Presion total (kPa).

Pci Presion del componente c puro (kPa).

PAB Porcentaje de apertura de la valvula de fondo.

QB Potencia calefactora anadida al hervidor (Watt).

R Reflujo {0,1}.T Perodo de la senal aplicada a la valvula.

Ti Temperatura en cada estado (oC).

TF Temperatura de la alimentacion (oC).

Tbc Temperatura de ebullicion (oC).

xi

xii Notacion.

V Flujo molar de vapor (mol/min).

Vci Volumen de cada estado (mL).

VF Volumen de un componente en la alimentacion (mL).

VR Flujo molar de vapor en la seccion de enriquecimiento (mol/min).

VS Flujo molar de vapor en la seccion de empobrecimiento (mol/min).

Wtc Porcentaje de peso de un componente en la alimentacion.

Letras minusculas

e Eficiencia de Murphree en la seccion de enriquecimiento.

f Plato de alimentacion.

f 0ci Fugacidad del lquido en un estado de referencia.

hci Entalpa lquida (J/mol).

n Numero total de estados.

q1 Operador de desplazamiento hacia atras.q Calidad de la alimentacion.

s Senal de salida deseada.

td Tiempo de duracion de la senal aplicada a la valvula de reflujo (s).

ton Tiempo de apertura de la valvula (s).

w Trayectoria interna o de referencia.

xFc Concentracion lquida en la alimentacion.

xci Concentraciones molares lquidas.

yci Concentraciones molares de vapor.

Letras griegas

Hvapc Entalpa de vaporizacion (kJ/mol).

u Incremento en u.

Peso de la senal de control.

f Factor de olvido.

ci Coeficiente de actividad.

ci Coeficiente de fugacidad.

c Densidad (g/cm3).

Caracteres especiales

R Campo de los numeros reales.

Notacion. xiii

Subndices

c Componente.

i i-esima etapa de la columna.

F Etapa de alimentacion.

R Seccion de enriquecimiento.

S Seccion de empobrecimiento.

Superndices

equ En equilibrio.

min Valor mnimo.

max Valor maximo.

real Valor real.

set Valor deseado.

mod Valor calculado por el modelo.

vap En la fase de vapor.

Marcas diacrticas

Predicho.

Estimado.

Abreviaturas

CENIDET Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico.

CDD Columna de destilacion.

EMC Error medio cuadratico.

EOH Etanol.

MeOH Metanol.

MIMO Multiples entradas, multiples salidas.

MPC Control predictivo basado en modelo.

PI Control proporcional-integral.

PID Control proporcional-integral-derivativo.

PWM Modulacion por ancho de pulso.

SISO Una entrada, una salida.

xiv Notacion.

Captulo 1

Introduccion

La destilacion se define como la separacion fsica de una mezcla lquida en dos

o mas fracciones que tienen diferentes puntos de ebullicion. Esta operacion es la mas

empleada e importante en las refineras e industrias qumicas, aunque tambien encuentra

aplicaciones en otras areas como lo son la industria farmaceutica, alimenticia, perfumera

y licorera. El equipo utilizado para llevar a cabo este proceso es la columna de destilacion

y representa una fuerte inversion para las industrias en el mundo. Ademas, una gran

parte de la energa usada en estas empresas se consume en los procesos de destilacion.

Es por ello que la destilacion es una de las areas de control de procesos mas investigada

en el mundo y se dice que es el proceso mas beneficiado por estas tecnicas (de control)

en las plantas industriales [Schmitz, 2001].

Los procesos de separacion alcanzan sus objetivos mediante la creacion de dos

o mas zonas (etapas) que coexisten y que tienen diferencia de temperatura, presion,

composicion y fase. Cada componente molecular de la mezcla que se vaya a separar

reaccionara de modo unico ante los diversos ambientes presentes en esas etapas. En

consecuencia, conforme el sistema se desplaza hacia el equilibrio, cada componente

establecera una concentracion diferente en cada etapa y esto da como resultado una

separacion entre los componentes.

El proceso de destilacion utiliza fases de vapor y lquido, esencialmente a la misma

temperatura y a la misma presion, para las etapas coexistentes. Se utilizan varios tipos

de dispositivos, como, por ejemplo el hervidor, el condensador y las bandejas o platos

para que las dos fases entren en contacto ntimo. Los platos se colocan uno sobre otro

y se encierran con una cubierta cilndrica para formar una columna. Una columna de

destilacion cuenta con n 2 platos, se etiqueta al condensador como numero 1 y alhervidor como numero n y los platos intermedios son numerados ascendentemente del

condensador al hervidor. En la Figura 1.1 aparece la representacion esquematica de

una columna caracterstica de destilacion del tipo de platos, junto con sus principales

accesorios externos.

1

2 Captulo 1. Introduccion.

n

n-1

f

f+1

f-1

2

1

F

B

D

R

Condensador

Hervidor

Seccin de

enriquecimiento

Seccin de

empobrecimiento

Figura 1.1: Diagrama esquematico de una columna de destilacion.

C1 a C4 Gases

20

Naftalina

70

Petrleo

(Gasolina)

120

Keroseno

170

Diesel

270

Lubricantes

Aceite

combustible

600

Residuos

Petrleo

crudo

Combustible

para

vehculos

Combustible

para

aviones,

parafina,

etc..

Qumicos

Diesel

Lubricantes,

aceites,

ceras, etc..

Betn para

caminos y

techos.

Petrleo liquado

Combustible

para barcos,

industrias

etc..

Figura 1.2: Columna de destilacion fraccionaria.

3Flujo de vapor

Flujo lquido

Lixci

Viyci

Vi-1yci-1

Li+1Xci+1

Figura 1.3: Principio de operacion de la columna de destilacion.

En cada etapa de la columna se tienen diferentes concentraciones o grado de pureza

de los elementos (ver ejemplo en la Figura 1.2), para ello se emplea una variable

fsica denominada fraccion molar e indica la relacion que hay entre los moles de un

componente y los moles totales de la solucion. xci es la fraccion molar lquida del

componente c en el plato i y yci es la fraccion molar de vapor del componente c en el

plato i.

La alimentacion se introduce en un punto situado a lo largo de la coraza de la

columna, conocido como plato de alimentacion y etiquetado con el numero f. La columna

se divide en una seccion superior, que se denomina con frecuencia seccion de rectificacion

o enriquecimiento, y otra inferior, que suele recibir el nombre de seccion de agotamiento

o empobrecimiento. Estos terminos se vuelven bastante indefinidos en columnas en las

cuales se retira una corriente lateral de producto en algun punto a lo largo de la columna,

ademas de las dos corrientes de productos de los extremos.

El material de alimentacion que se debe separar en fracciones, se introduce en uno

o mas puntos a lo largo de la coraza de la columna. Debido a la diferencia de gravedad

entre la fase de vapor y la lquida, el lquido corre hacia abajo de la columna, cayendo

en cascada de plato a plato, mientras que el vapor asciende por la columna, para entrar

en contacto con el lquido en cada uno de los platos, como se muestra en la Figura 1.3.

El lquido que llega al fondo de la columna se vaporiza parcialmente en un hervidor

para proporcionar vapor que asciende por la columna. El resto del lquido se retira como

producto del fondo (B). El vapor que llega a la parte superior de la columna se enfra

y condensa como lquido en el condensador superior. Parte de este lquido regresa a la

columna como reflujo (R), para proporcionar un derrame lquido en los platos. El resto


de la corriente superior se retira como producto destilado o superior (D).

Este patron de flujo en la columna de destilacion proporciona un contacto, a contra

corriente de la corriente de vapor y lquido, en todos los platos de la columna. Las fases

de vapor y lquido en un plato dado se acercan a los equilibrios de temperatura, presion

y composicion, hasta un punto que depende la eficiencia del plato de contacto.

Los componentes de punto de ebullicion mas bajo, llamados componentes ligeros,

tienden a concentrarse en la fase de vapor, mientras que los de punto de ebullicion

mas altos, llamados componentes pesados, tienden a la fase lquida. El resultado es una

fase de vapor que se hace mas rica en componentes ligeros al ir ascendiendo por la

columna, y una fase lquida que se va haciendo cada vez mas rica en los componentes

pesados conforme desciende en cascada. La separacion general que se logra entre el

producto superior y del fondo depende primordialmente de las volatilidades relativas

de los componentes, el numero de platos de contacto y la relacion de reflujo.

1.1. Planteamiento del problema

Aunque en el pasado poda considerarse que el unico objetivo del control consista

en mantener una operacion estable del proceso, actualmente la industrias se enfrentan

a un mercado cambiante y difcil de predecir, lo que les obliga a operar sus proce-

sos productivos en consonancia con la evolucion del mercado para poder mantenerse

competitivas y rentables.

La competencia en muchos sectores industriales as como el creciente interes social

por los problemas medioambientales relacionados con los procesos de produccion provo-

ca la necesidad de disponer de tecnicas fiables que permitan la operacion del proceso

con gran eficiencia y alto grado de flexibilidad.

Actualmente los sistemas de control en la industria de procesos deben satisfacer

criterios economicos, asociados con el mantenimiento de las variables de proceso en

sus puntos de ajuste (set points) minimizando dinamicamente una funcion de costo

de operacion, criterios de seguridad, medioambientales, y de calidad en la produccion,

la cual debe satisfacer ciertas especificaciones sujetas a una demanda normalmente

variable.

Por ello, se puede considerar que en la actualidad el objetivo de todo sistema de

control consiste en actuar sobre las variables manipuladas de forma que puedan satis-

facerse multiples y cambiantes criterios de funcionamiento (economicos, de seguridad,

medioambientales o de calidad) en presencia de cambios en las caractersticas del pro-

ceso.

La gran variedad de metodologas actuales de control de procesos se enfrenta al

cumplimiento de este objetivo. La diferencia entre las diversas tecnicas radica basica-

1.2. Ventajas del control predictivo. 5

mente en los compromisos hechos en la formulacion matematica de los criterios de

funcionamiento y en la eleccion de la manera de representar el proceso.

Todas las operaciones de separacion requieren un suministro de energa en forma

de calor o trabajo. En la operacion convencional de destilacion, la energa requerida

para la separacion de los componentes se agrega en forma de calor al hervidor, en el

fondo de la columna, donde la temperatura es maxima. Ademas, se elimina calor del

condensador en la parte superior de la columna, donde la temperatura es mnima. Con

frecuencia, esto da por resultado un requerimiento elevado de energa y una baja eficien-

cia termodinamica en general, que tena poca importancia (excepto para los procesos

criogenicos y de alta temperatura) cuando los costos de la energa eran bajos. Con el

reciente incremento en los costos de energa, las operaciones complejas de destilacion

requieren una eficiencia termodinamica mas elevada. La mejor manera de reducir gastos

de explotacion de unidades existentes, es mejorar la eficacia y operacion por medio de

la optimizacion y control del proceso para que los productos se obtengan con la pureza

deseada en el menor tiempo posible, y con la menor inversion en energa aplicada al

sistema.

Adicionalmente, en la industria de procesos, los reguladores PID solucionan bien

la mayora de los problemas de control monovariable, como lo son flujo, presion, tempe-

ratura etc., sin embargo, en sistemas mas complejos con interaccion entre sus variables,

perturbaciones etc., como lo es una columna de destilacion, las llamadas estructuras de

control convencionales no siempre dan buenos resultados y son difciles de mantener.

En consecuencia, a menudo la unidad se regula manualmente por un operador.

Para cada uno de todos los problemas mencionados, podemos encontrar en la li-

teratura trabajos que proponen alguna solucion, sin embargo en la mayora de estos

trabajos, las soluciones que se proponen no han sido probadas experimentalmente ni

mucho menos explotadas a nivel industrial. En el Centro Nacional de Investigacion y

Desarrollo Tecnologico se cuenta con una planta piloto de destilacion, que posee la

instrumentacion necesaria para poner en practica conceptos teoricos de control, con la

finalidad de obtener resultados en un caso real de manera experimental.

1.2. Ventajas del control predictivo

La tecnica de control predictivo parece constituir una poderosa herramienta para

afrontar los retos anteriormente planteados. El control predictivo es una de las areas

de control que mas exito ha tenido en la industria. Este exito se debe principalmente a

que [Maciejowsky, 2002]:

1. La idea general de funcionamiento no es difcil de entender.


2. Las restricciones en las senales de control, debido a los actuadores as como las

restricciones en los estados del proceso son faciles de incorporar al algoritmo de

control.

3. Es una tecnica de control mas poderosa que los PID, aun para los lazos de control

sencillos y sin restricciones.

4. Posee intrnsecamente compensacion del retardo.

5. La sintonizacion de estos controladores no es complicada, aun en los lazos de

control que presentan cierto grado de dificultad de sintonizacion (utilizando otras

tecnicas de control) debido a retardos de tiempo.

El control predictivo basado en modelo Model (Based) Predictive Control (MBPC

o MPC) constituye un campo muy amplio de metodos de control desarrollados en

torno a ciertas ideas comunes e integra diversas disciplinas como control optimo, control

estocastico, control de procesos con tiempos muertos, control multivariable o control

con restricciones.

Las ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familia de contro-

ladores predictivos son basicamente:

Uso explcito de un modelo para predecir la salida del proceso en instantes detiempo futuros (horizonte).

Calculo de las senales de control minimizando una cierta funcion objetivo. Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va despla-zando hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera senal de control en cada

instante y desechar el resto, repitiendo el calculo en cada instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC difieren entre s casi exclusivamente en (i) la

funcion de costo a minimizar y (ii) en el modelo usado para representar el proceso y los

ruidos. Aunque las diferencias puedan parecer pequenas a priori, pueden provocar dis-

tintos comportamientos en lazo cerrado, siendo crticas para el exito de un determinado

algoritmo en una determinada aplicacion.

1.3. Hipotesis

Dado el problema planteado para este trabajo y las ventajas expuestas anteriormen-

te de los controladores predictivos, se plantea la siguiente hipotesis para este trabajo:

Con el control predictivo multivariable se obtendra una mejora en

el desempeno del proceso de una columna de destilacion binaria

comparado con un controlador convencional (PI).

1.4. Objetivo. 7

1.4. Objetivo

El objetivo de este trabajo es desarrollar un controlador predictivo multivariable

para una columna de destilacion binaria, con el fin de controlar las composiciones

lquidas de los productos en el fondo y la salida del condensador.

F

B

D

R

FCFT

TT

TT

FT

LCLT

MPC

Multivariable

LT

LC

Figura 1.4: Esquema del objetivo de la tesis.

El esquema del objetivo de la tesis se puede ver en la Figura 1.4. La validacion

del controlador multivariable se hara en simulacion. Sin embargo, se desarrollara un

controlador monovariable (como caso particular del controlador multivariable) para el

control del flujo de agua al condensador de la columna de destilacion. Este controlador

monovariable se validara en tiempo real ya que se cuenta con los sensores y actuadores

necesarios para llevar a cabo la validacion experimental.

1.5. Justificacion

Dada la expansion y desarrollo que tendra el sector qumico en los proximos anos, es

necesario prepararse para hacer frente a la demanda masiva de un producto calificado.

Debido a la complejidad que presentan las unidades de destilacion que se encuentran en

las plantas industriales (tales como en la petroqumica), la demanda de un producto con


calidad y de bajo costo no podra satisfacerse si no se usan herramientas matematicas y

nuevas tecnicas para el control del procesos. Lo que conlleva un cierto tipo de ventajas

que han motivado fuertemente su estudio hoy en da en algunos pases de Europa y de

Norteamerica. Estas ventajas pueden ser:

Aumentar la eficiencia y confiabilidad de una unidad de destilacion. Optimizar el proceso a su maxima capacidad. Mejorar los procedimientos de operacion. Adiestramiento de operadores para la reduccion de riesgos e incremento de laseguridad.

Promover la investigacion de este campo en el pas para lograr tener una tecnologade vanguardia.

1.6. Estado del arte

El control predictivo fue introducido por [Richalet et al., 1978] presentando el con-

trol predictivo heurstico basado en modelo (Model Predictive Heuristic Control,

MPHC), mas tarde conocido como control algortmico basado en modelo (Model Al-

gorithmic Control, MAC); y por otro lado, de forma independiente: Cutler y Ramaker,

ingenieros de la compana Shell, presentaron en [Cutler y Ramaker, 1980] sobre control

con matriz dinamica (Dynamic Matrix Control, DMC). Ambos algoritmos utilizan

explcitamente un modelo dinamico del proceso (obtenido de la respuesta impulso en el

primer caso y de la respuesta escalon en el segundo) para predecir el efecto de las futuras

senales de control en las variables a controlar. Estas formulaciones eran heursticas.

Estos controladores estaban ntimamente ligados al problema de control optimo

en tiempo mnimo y a la programacion lineal [Zadeh y Whalen, 1962]. El concepto de

horizonte deslizante, una de las ideas centrales del control predictivo, fue propuesto

por [Propoi, 1963], en el marco de realimentacion optima en lazo abierto (open-loop

optimal feedback) que fue utilizada extensamente en los anos 70.

El control predictivo llego a ser popular particularmente en la industria de procesos

qumicos debido a la simplicidad del algoritmo y a la utilizacion del modelo de respuesta

ante impulso que, aunque requiriendo muchos mas parametros que las formulaciones en

el espacio de estado o en el dominio de entrada y salida, resulta mas intuitivo y requiere

mucha menos informacion a priori para la identificacion.

La mayora de estas aplicaciones se llevaron a cabo en sistemas multivariables que

incluan restricciones. A pesar de este exito, estas formulaciones carecan de una teora

formal para proveer resultados sobre la estabilidad y robustez. De hecho, el caso de

horizonte finito pareca demasiado difcil de analizar excepto en casos muy especficos.

1.6. Estado del arte. 9

Otra lnea de trabajo se desarrollo independientemente en torno a las ideas de con-

trol adaptable, desarrollandose estrategias de control predictivo para sistemas mono-

variables y formulada sobre modelos de entrada y salida. El control autosintoniza-

do basado en predictores (Predictor-Based Self-Tuning Control) en el trabajo de

[Peterka, 1984], el control adaptable de horizonte extendido (Extended Horizon Adap-

tive Control, EHAC) por [Ydstie, 1984], el controlador autosintonizado (Extended

Prediction Self Adaptive Control, EPSAC) [Keyser y Cuawenberghe, 1985], y el con-

trol predictivo generalizado (Generalized Predictive Control, GPC) desarrollado por

[Clarke et al., 1987] se pueden mencionar en este contexto. El GPC utiliza ideas de

los controladores de varianza mnima generalizada (Generalized Minimum Variance,

GMV) [Clarke y Gawthrop, 1979] y es en la actualidad uno de los metodos mas utiliza-

dos a nivel academico.

Existen numerosas formulaciones de control predictivo basadas en las mismas ideas

comunes, entre las que se puede incluir control adaptable multivariable multipaso (Mul-

tistep Multivariable Adaptive Control, MUSMAR) [Greco et al., 1984], control pre-

dictivo funcional (Predictive Functional Control, PFC) [Richalet, 1992]. El MPC,

tambien ha sido formulado en el espacio de estados [Morari, 1994], lo que permite una

utilizacion de resultados bien conocidos sobre estabilidad y tambien la generalizacion

a casos mas complejos como procesos multivariables, procesos no lineales y sistemas

con perturbaciones estocasticas. Aunque los primeros trabajos sobre GPC contienen

algunos resultados de estabilidad para el caso nominal, la falta de resultados generales

sobre la estabilidad de los controladores de horizontes finito y deslizante constituyo un

inconveniente para su utilizacion al principio. Para hacer frente a esto, aparecio en

los noventa una nueva lnea de trabajo sobre controladores predictivos con estabilidad

garantizada, imponiendo que la senal de salida alcanzara a la referencia al final del

horizonte.

Existen muchas aplicaciones del control predictivo en la industria. La mayor parte

de las aplicaciones estan en el sector petroqumico en el area de refinera

[Qin y Badgwell, 2003], pero tambien existen numerosas aplicaciones en los sectores

de pulpa y papel, procesado de alimentos, gas, mineral, hornos, metalurgia, industria

aeroespacial e industria automotriz. Una excelente revision sobre MPC dirigida princi-

palmente a personal de la industria con experiencia en control se puede encontrar en

[Rawlings, 2000].

Recientemente han aparecido en la literatura aplicaciones de los controladores pre-

dictivos a sistemas hbridos1 [Camacho, 2004]. Donde los sistemas hbridos se han mo-

delado de distintas formas, bien, como un grafo de transicion de estados (con dinamica

continua dentro de cada estado) o bien como un conjunto de ecuaciones diferenciales

con variables discretas.

1 Un sistema hbrido es un sistema continuo con eventos discretos.


Para el caso de las columnas de destilacion, cuyo control es predictivo, existen

diferentes trabajos, en los que actualmente se trata el caso del control MPC aplica-

do a procesos mal condicionados [Pannocchia, 2003], [Waller et al., 2005]; y el caso del

MPC no lineal [Jana et al., 2005], [Volk et al., 2005], en los que la principal alternativa

esta basada en una linealizacion iterativa (linealizacion en cada instante de muestreo)

de la respuesta del modelo, para asegurar una solucion factible al problema de la mini-

mizacion. De igual forma se encuentran reportados en la literatura trabajos que presen-

tan resultados experimentales, como en [Alpbaz et al., 2002], donde se aplica el control

a una planta piloto de destilacion, pero usando el control predictivo multivariable en

su forma lineal, sin restricciones y trabajando dentro de una region de operacion.

1.6.1. Temas abiertos a la investigacion

No se puede considerar al control predictivo como una disciplina ya cerrada a la

investigacion, sino que, al contrario, es una rama del control de gran efervescencia. Esto

se puede constatar por el hecho de que en todos los congresos de control de estos ultimos

anos siempre hay sesiones especficas de control predictivo y raro es el numero de las

revistas de control donde no aparezca algun artculo sobre este tema.

Los temas todava no del todo resueltos y que son objeto de investigacion se pueden

clasificar en problemas de implementacion y problemas de analisis y diseno.

Temas abiertos a

Anlisis de estabilidad y robustez de estos controladores

Aplicados a sistemas:

Hbridos

No lineales

Muy rpidosla investigacin

Implementacin y anlisis de diseo

El control predictivo es muy difcil de implementar en tiempo real para procesos

no lineales, procesos hbridos o procesos muy rapidos. En el caso de sistemas no lineales

e hbridos han aparecido soluciones para casos particulares y normalmente de pequena

dimension, pero no existen soluciones generales. Se ha demostrado recientemente que

la estructura de control predictivo para procesos lineales es afn a trozos (picewise

affine systems) y por lo tanto el controlador puede calcularse previamente. Esto ha

permitido que el control predictivo pueda ser aplicado a procesos mas rapidos, pero,

desafortunadamente, la tecnica solo es aplicable a problemas especficos (incluyendo

horizontes de control pequenos).

El otro gran problema todava no resuelto es el problema del analisis de estabilidad

1.7. Organizacion del documento. 11

y robustez de estos controladores. Es decir, aun en el caso de que los controladores sean

implementables, analizar como se puede asegurar su estabilidad en el caso nominal o

en el caso de que el modelo no sea exacto. Para el caso de restricciones, el analisis

de estabilidad pareca ser un problema demasiado complicado de resolver. Aun en el

caso de que el optimizador fuera capaz de encontrar una solucion, no esta garantizada

la estabilidad del sistema en lazo cerrado. La utilizacion de penalizaciones terminales

y/o restricciones, funciones de Lyapunov, o conjuntos invariantes han dado lugar a una

familia de tecnicas que garantizan la estabilidad del sistema. Este problema ha sido

atacado desde distintos puntos de vista y han aparecido numerosas contribuciones en

anos recientes, siempre analizando el problema del regulador (llevar el estado al reposo)

y normalmente en espacio de estados. Se han obtenido resultados que utilizan tecnicas

de control robusto en el contexto de controladores predictivos. La idea basica es tener

en cuenta las incertidumbres sobre el proceso de una manera explcita y disenar el

controlador predictivo para optimizar la funcion objetivo ante la peor situacion posible

de las incertidumbres. En cualquier caso, estos resultados exigen el computo de regiones

invariantes que, salvo en el caso de sistemas lineales, son difcilmente calculables.

Estos avances prometedores permiten pensar que el control predictivo experimen-

tara una mayor diseminacion tanto en el mundo academico como en la comunidad

industrial en los proximos anos.

1.7. Organizacion del documento

El presente documento consta de 6 captulos y 2 apendices.

En el Captulo 2 se presentan los conceptos basicos del control predictivo basado

en modelo, se incluyen sus puntos clave y hace una revision de los principales algoritmos

presentando sus caractersticas mas importantes.

En el Captulo 3 se desarrolla la formulacion en espacio de estados del control pre-

dictivo, siendo esta formulacion facilmente extendible al caso multivariable. Finalmente,

se integra este controlador a un programa y se realizan unas pruebas en simulacion de

su funcionamiento.

En el Captulo 4 se presenta el modelo dinamico de la planta piloto de destilacion,

se estudian los fenomenos involucrados en su dinamica, posteriormente se hace una

descripcion de la planta piloto utilizada para las pruebas y se valida modelo comparando

valores experimentales con los teoricos.

En el Captulo 5 se muestran los resultados obtenidos al aplicarle el control

predictivo al lazo de flujo de agua al condensador (caso SISO) en simulacion y de

forma experimental, as como las simulaciones del control al modelo de la columna

(caso MIMO).


En elCaptulo 6 se dan las conclusiones generales de la tesis, y los trabajos futuros

propuestos.

En el Apendice A se muestran los valores numericos de los parametros utilizados

en esta tesis para las simulaciones y los experimentos realizados.

En elApendice B se da una descripcion de los programas utilizados y una pequena

gua de su uso.

Captulo 2

Conceptos basicos del control

predictivo

En este captulo se presentan los conceptos basicos del control predictivo basado

en modelo y se describen los elementos que son comunes a todos estos controladores,

mostrando algunas alternativas que son utilizadas en diferentes implementaciones.

En la Seccion 2.1 se describe la estrategia general que siguen los controladores que

pertenecen a la familia de los controladores predictivos. En la Seccion 2.2 se detallan

los elementos comunes de los controladores predictivos, como lo son: el modelo utiliza-

do para la prediccion, la funcion objetivo y la obtencion de la ley de control. En la

Seccion 2.3 se presenta una revision general de los principales algoritmos reportados en

la literatura. Finalmente, en la Seccion 2.4 se dan las conclusiones del captulo en base

a lo estudiado.

2.1. Estrategia de los controladores predictivos

El principio de operacion de todos los controladores pertenecientes a la familia del

MPC se caracteriza por la estrategia siguiente, representada en la Figura 2.1:

1. En cada instante k y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las futuras

salidas para un determinado horizonte, llamado horizonte de prediccion HP . Estas

salidas predichas yf (k + i|k) 1 (para i = 1, 2, ..., HP ), dependen de los valoresconocidos hasta el instante k (entradas y salidas pasadas) y de las senales de

control futuras u(k + i|k) (para i = 0, 1, ..., HP 1) que se pretenden mandar alsistema y que son las que se quieren calcular.

1 La notacion indica el valor de la variable en el instante k+ i, calculado en el instante k. As comola marca diacrtica denota prediccion.

13

14 Captulo 2. Conceptos basicos del control predictivo.

k k+HC

s(t)

w(k+i|k)

y(t)

k+HPk

y(k+i|k)^

yf (k+i|k)^

Hp

HcEntrada

Salida

u(t)u(k+i|k)

Figura 2.1: Estrategia de control predictivo.

2. El conjunto de senales de control futuras se calcula optimizando un determinado

criterio en el que se pretende mantener el proceso lo mas proximo posible a la

trayectoria de referencia w(k + i|k) (que puede ser directamente la salida deseadas(k) o una suave aproximacion a esta). Este criterio suele tomar la forma de

una funcion cuadratica de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de

referencia tambien predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control.

Si el criterio es cuadratico, el modelo lineal y no existen restricciones se puede

obtener una solucion explcita, de otra manera se debe usar un metodo iterativo

de optimizacion. Adicionalmente se hace alguna suposicion sobre la estructura de

la ley de control futura, como por ejemplo que va a ser constante a partir de cierto

instante HC .

3. La primera senal de control u(k|k) es enviada al proceso mientras que las siguientessenales de control calculadas son desechadas. Puesto que en el siguiente instante

de muestreo ya se conoce y(k + 1), se repite el paso 1 con este nuevo valor y to-

das las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto la nueva senal de control

u(k + 1|k + 1) (que en principio sera diferente a la secuencia de salida anterioru(k + 1|k), al disponer de nueva informacion), haciendo uso del concepto de hori-zonte deslizante.

2.2. Elementos basicos. 15

s(k)

yf (k+i|k)^

u(k|k)y(k)

Predictor

Optimizador Proceso

v(k)

Figura 2.2: Estructura basica del control predictivo.

Para llevar a cabo esta estrategia, se usa una estructura como la mostrada en la

Figura 2.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso

basandose en las futuras senales de control propuestas. Estas senales son calculadas por

el predictor teniendo en cuenta la funcion de costo (donde aparece el futuro error de

seguimiento) as como las restricciones.

Por lo tanto, el modelo del proceso juega un papel decisivo en el controlador.

El modelo elegido debe ser capaz de reproducir la dinamica del proceso para poder

predecir correctamente las salidas futuras. Al mismo tiempo, debe ser sencillo de usar

y de comprender.

El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues proporciona las

acciones de control. Si la funcion de costo es cuadratica, el mnimo se puede obtener

como una funcion explcita (lineal) de las entradas pasadas, las salidas pasadas y de

la trayectoria de referencia. Sin embargo, cuando existen restricciones de desigualdad

la solucion debe de ser calculada por metodos numericos con mas carga de calculo.

La complejidad del problema de optimizacion depende directamente del numero de

variables y el tamano de los horizontes elegidos.

2.2. Elementos basicos

Todos los controladores predictivos poseen elementos comunes y para cada uno de

estos elementos se pueden elegir diversas opciones, dando lugar a distintos algoritmos.

Estos elementos son:

Modelo de prediccion. Funcion objetivo. Obtencion de la ley de control.


2.2.1. Modelo de prediccion

La piedra angular del MPC es el modelo del proceso; un diseno completo debe de

incluir los mecanismos necesarios para la obtencion del mejor modelo posible, el cual

debe de ser lo suficientemente rico para capturar al maximo la dinamica del proceso y

debe de ser capaz de permitir el calculo de las predicciones. A la vez, debe ser intuitivo

y debe ser posible llevar a cabo en el un analisis teorico. El uso del modelo del proceso

viene determinado por la necesidad del calculo de la salida predicha en instantes futu-

ros yf (k+ i|k). Las diferentes estrategias del MPC pueden usar distintos modelos pararepresentar la relacion de las salidas con las entradas medibles, que pueden ser compen-

sadas con una accion prealimentada. Ademas se debe de tener en cuenta un modelo de

las perturbaciones para intentar describir el comportamiento que no aparece reflejado

en el modelo del proceso, englobandose aqu el efecto de las entradas no medibles, el

ruido y los errores de modelado.

Para este fin, se puede separar el modelo en dos partes: el modelo del proceso

propiamente dicho y el modelo de las perturbaciones. Cualquier metodo utilizara ambas

partes para la prediccion.

Modelo del proceso

Casi todas las formas posibles de modelar un proceso aparecen en alguna formu-

lacion del MPC siendo las mas usadas las siguientes:

Respuesta al impulso. Tambien conocida por secuencia de ponderacion o modelode convolucion. La salida viene relacionada con la entrada por la ecuacion:

y(k) =j=1

hju(k j)

donde hj son los valores muestreados obtenidos al someter al proceso a un impulso

unitario de amplitud igual a un perodo de muestreo (ver Figura 2.3a). Esta suma

es truncada y solo se consideran N valores (por lo tanto solo permite representar

procesos estables y sin integradores), teniendo

y(k) =Nj=1

hju(k j) = H(q1)u(k) (2.1)

donde: H(q1) = h1q1 + h2q2 + + hNqN , siendo q1 el operador de des-plazamiento hacia atras. Un inconveniente de este metodo es el gran numero de

parametros que necesita, ya que N normalmente es de un valor elevado (del orden


y(k)

k k+1 k+2 k+N. . .

h1

h2

hj

hN

a Respuesta al impulso.

y(k)

k k+1 k+2 k+N. . .

g1

g2

gj gN

b Respuesta al escalon.

Figura 2.3: Respuestas del sistema.

de 30-40) [Camacho, 2001]. La prediccion vendra dada por:

y(k + i|k) =Nj=1

hju(k + i j|k)

= H(q1)u(k + i|k)

Este metodo es ampliamente aceptado en la practica industrial debido a que es

muy intuitivo y no requiere de informacion previa del proceso, con lo que el pro-

cedimiento de identificacion se simplifica, a la vez que permite describir facilmente

dinamicas complejas como fase no mnima o retardos.

Respuesta al escalon. Es muy similar al anterior solo que la senal de entrada esun escalon. Para sistemas estables se tiene la respuesta truncada que sera (ver

Figura 2.3b):

y(k) = y0 +Nj=1

gju(k j) = y0 +G(q1)(1 q1)u(k) (2.2)

donde las gj son los valores muestreados ante la entrada escalon y u(k) =

u(k) u(k 1). El valor de y0 puede tomarse como 0 sin perdida de generalidad,con lo cual el predictor sera:

y(k + i|k) =Nj=1

gju(k + i j|k)

Este metodo presenta las mismas ventajas y desventajas que el metodo anterior.


Funciones de transferencia. Se utiliza el concepto de funcion de transferenciaG = B/A con lo que la salida viene dada por:

A(q1)y(k) = B(q1)u(k)

donde:

A(q1) = 1 + a1q1 + a2q2 + + anaqnaB(q1) = b1q1 + b2q2 + + bnbqnb

Por lo tanto la prediccion viene dada por:

y(k + i|k) = B (q1)

A (q1)u(k + i|k)

Esta representacion tambien es valida para procesos inestables y posee la ventaja

de necesitar pocos parametros, aunque es fundamental un conocimiento a priori

del proceso, sobre todo en cuanto al orden de los polinomios A y B.

Espacio de estados. Tiene la siguiente representacion:

x (k + 1) = Ax (k) +Bu (k)

y (k) = Cx (k)

siendo x el estado y A, B y C las matrices del sistema, de entrada y salida respec-

tivamente. Para este modelo la prediccion viene dada por:

y(k + i|k) = Cx(k + i|k) = C[Aix(k) +i

j=1

Aj1Bu(k + i j|k)]

Posee la ventaja de que sirve tambien para sistemas multivariables a la vez que

permite analizar la estructura interna del proceso (aunque a veces los estados

obtenidos al discretizar no tienen ningun significado fsico). Los calculos pueden

ser complicados, con la necesidad adicional de incluir un observador si los estados

no son accesibles.

Otros. Los modelos no lineales tambien pueden ser utilizados para representar alproceso pero el problema de su uso radica en el hecho de que es muy complicado

encontrar la respuesta al problema de optimizacion. Las redes neuronales as como

la logica difusa son otras formas de representacion usadas en algunas aplicaciones.

Modelo de perturbaciones

Tan importante es la eleccion de un determinado modelo del proceso como lo

es la eleccion del modelo utilizado para representar las perturbaciones. Un modelo


q-nk B(q

-1)

C(q-1)

D(q-1)

1

A(q-1)

u(k) y(k)

e(k)

n(k)+

+

Figura 2.4: Estructura ARIMA.

bastante extendido es el Autoregresivo Integrado de Media Movil (Auto-Regressive

and Integrated Moving Average, ARIMA) mostrado en la Figura 2.4, en el que las

perturbaciones, es decir, las diferencias entre la salida medida y calculada por el modelo

vienen dadas por:

n(k) =C(q1)e(k)D(q1)

donde el polinomio D(q1) incluye explcitamente el integrador = 1 q1, e(k) esun ruido de media cero y normalmente el polinomio C se considera igual a uno. Este

modelo se considera apropiado para dos tipos de perturbaciones: cambios aleatorios

ocurridos en instantes aleatorios (por ejemplo la calidad del material) y movimiento

browniano (en procesos con balance de energa) y es usado en varios metodos. Notese

que al incluir un integrador se consigue un control sin errores en el estado estable.

Respuestas libre y forzada

Una caracterstica tpica de los controladores predictivos es el empleo de los con-

ceptos de respuesta libre y forzada. La idea es expresar la secuencia de acciones de

control como la suma de dos senales:

u(k) = u(k)f + uc(k)

La senal u(k)f corresponde a las entradas pasadas (anteriores al instante k) y en el

futuro se mantiene constante e igual al ultimo valor de la variable manipulada. Es

decir:

uf (k j) = u(k j) para j = 1, 2, . . .uf (k + j) = u(k 1) para j = 0, 1, 2, . . .


Proceso

u y

k

k k

k

k k

ucuf yf yc

Figura 2.5: Respuestas libre y forzada.

La senal uc vale cero en el pasado y corresponde a las senales de control en los tiempo

futuros:

uc(k j) = 0 para j = 1, 2, . . .uc(k + j) = u(k + j) u(k 1) para j = 0, 1, 2, . . .

La prediccion de la secuencia de salida se separa en dos partes, como se ve en la

Figura 2.5. Una de ellas yf (k), la respuesta libre, corresponde a la prediccion de la

salida cuando se toma como entrada unicamente uf (k), y la otra, la respuesta forzada

yc(k), corresponde a la salida cuando la senal de control es uc(k). La respuesta libre

corresponde a la evolucion del proceso debido a su estado actual (influido principalmente

por las acciones de control pasadas) mientras que la respuesta forzada es la debida a

las acciones de control futuras.

2.2.2. Funcion objetivo

Los diversos algoritmos de MPC proponen distintas funciones de costo para la

obtencion de la ley de control. En general se busca que la salida futura (y) en el horizonte

considerado siga una determinada senal de referencia (w) al mismo tiempo que se puede

penalizar el esfuerzo de control (u) requerido para hacerlo. La expresion general de

esta funcion objetivo es:

J(H1, HP , HC) =

HPi=H1

(i)[y(k + i|k) w(k + i|k)]2 +HCi=1

(i)[u(k + i 1|k)]2 (2.3)

En algunos metodos el segundo sumando, que se considera el esfuerzo de control,

no se toma en cuenta, mientras que en otros aparecen directamente los valores de la

senal de control (no sus incrementos). En la funcion de costo se pueden considerar:


Parametros. H1 y HP son los horizontes mnimo y maximo de costo (o de predic-cion) y HC es el horizonte de control, que no tiene que coincidir con el horizonte

maximo, como se vera posteriormente. El significado de H1 y HP resulta bastante

intuitivo: marcan los lmites de los instantes en que se desea que la salida siga la

referencia. As si se toma un valor grande de H1 es porque no importa que haya

errores en los primeros instantes, lo cual provocara una respuesta suave del pro-

ceso. Notese que para procesos con tiempo muerto d no tiene sentido que H1 sea

menor que dicho valor puesto que la salida no empezara a evolucionar hasta el

instante k+d. Ademas, si el proceso es de fase no mnima, este parametro permite

eliminar de la funcion objetivo los primeros instantes de respuesta inversa.

Los coeficientes (i) y (i) son secuencias que ponderan el comportamiento fu-

turo. Usualmente se consideran valores constantes o secuencias exponenciales. Por

ejemplo se puede conseguir un paso exponencial de (i) a lo largo del horizonte

usando:

(i) = HPi

Si esta comprendido entre 0 y 1 significa que se penaliza mas a los errores alejados

del instante k que a lo mas proximos, dando lugar a un control mas suave y con

menor esfuerzo. Si, por el contrario, > 1 es que se penalizan mas los primeros

errores, provocando un error mas brusco.

Todos estos valores pueden ser usados como parametros de sintonizacion, obtenien-

do muchas posibilidades con las que se puede cubrir una amplia gama de opciones,

desde un control estandar hasta una estrategia disenada especficamente para un

proceso en particular.

Trayectoria de referencia. Una de las ventajas del control predictivo es que si seconoce de antemano la evolucion futura de la referencia, el sistema puede empezar

a reaccionar antes de que el cambio se haya efectivamente realizado, evitando los

efectos de retardo en la respuesta del proceso. En muchas aplicaciones la evolu-

cion futura de referencia es conocida de antemano, como en robotica, los servos o

procesos en lote; en otras aplicaciones aunque la referencia es constante, se puede

conseguir una sensible mejora de prestaciones simplemente conociendo el instante

de cambio de valor y adelantandose a esa circunstancia.

En el criterio de minimizacion (2.3), la mayora de los metodos suelen utilizar

una referencia w(k + i|k) que no tiene por que coincidir con la referencia real.Normalmente sera una suave aproximacion desde el valor actual de la salida y(k)

a la referencia conocida s(k) mediante un sistema de primer orden:

w(k|k) = y(k) w(k + i|k) = w(k + i 1|k) + (1 )s(k + i|k) i = 1...HP(2.4)

es un parametro comprendido entre 0 y 1 (mientras mas proximo a 1 mas suave

sera la aproximacion) que constituye un valor ajustable que influira en la respues-


ta dinamica del sistema. Otra estrategia es la utilizada en el control predictivo

funcional, la cual es util para puntos de ajuste (set points) variables:

w(k + i|k) = s(k + i|k) i (y(k) s(k)) (2.5)

Restricciones. Una de las grandes bondades que proporciona el control predictivo esla posibilidad de tomar en cuenta las restricciones propias del proceso. El principal

motivo para considerar restricciones en las variables del proceso consiste en que

violarlas puede ser muy costoso o peligroso, porque puede originar danos en los

equipos y perdidas en la produccion. Por ejemplo, en la mayora de los reactores

por lote, la calidad de la produccion requiere que las variables del proceso se

mantengan dentro de lmites durante la reaccion; violar estos lmites puede llevar

a una produccion de calidad inferior a la requerida. Cuando los lmites han sido

impuestos por razones de seguridad, la violacion de estos lmites puede producir

danos en los equipos, derrames de los productos nocivos o en la mayora de los casos

que se activen los dispositivos de seguridad produciendo paradas de emergencia.

2.2.3. Obtencion de la ley de control

Para obtener los valores de u(k+ i|k) sera necesario minimizar la funcion de costo,la ecuacion (2.3). Para ello se calculan los valores de la salida predicha y(k + i|k) enfuncion de los valores pasados de entradas y salidas y de senales de control futuras,

haciendo uso del modelo del proceso que se haya elegido y se sustituyen en la funcion

de costo, obteniendo una expresion cuya minimizacion conduce a los valores buscados.

Para el criterio cuadratico, si el modelo es lineal y no existen restricciones, se puede

obtener la solucion de forma analtica; en otro caso se debe de usar un metodo iterativo

de optimizacion.

De cualquier manera, la obtencion de la solucion no resulta tan trivial pues existiran

HP HC + 1 variables independientes, valor que puede ser elevado (del orden de 10 a30). Con la idea de reducir estos grados de libertad se puede proponer cierta estructura

a la ley de control. Ademas se ha encontrado en [Clarke y Morari, 1989] que estructurar

la ley de control produce una mejora en la robustez y en el comportamiento general

del sistema. Lo anterior se debe fundamentalmente a que el hecho de permitir la libre

evolucion las variables manipuladas (sin estructurar) puede conducir a senales de control

de alta frecuencia no deseables y que en el peor de los casos podran conducir a la

inestabilidad. Esta estructura a la ley control se plasma en el uso del concepto de

horizonte de control HC , que consiste en considerar que tras un cierto tiempo HC(0 < HC < HP ) no hay variacion en las senales de control propuestas, es decir:

u(k + i 1|k) = 0 i > HC

2.3. Revision de los principales algoritmos. 23

lo cual es equivalente a dar pesos infinitos a los cambios en el control a partir de HC .

El caso extremo sera considerar HC igual a 1 con lo que todas las senales de control

futuras seran igual a u(k|k) 2 .Otra manera de estructurar la senal de control es mediante el uso de funciones base:

un procedimiento utilizado en el control predictivo funcional, que consiste en representar

la senal de control como una combinacion lineal de ciertas funciones predeterminadas.

2.3. Revision de los principales algoritmos

A continuacion se presentan los principales algoritmos de control predictivo, mos-

trando de manera general sus principales caractersticas. Se pueden encontrar estu-

dios comparativos de las diferentes tecnicas en [Garca et al., 1989], [Kramer, 1991],

[Keyser et al., 1989] y [Qin y Badgwell, 2003].

2.3.1. Control por matriz dinamica (DMC)

Este metodo desarrollado por [Cutler y Ramaker, 1980], usa la respuesta ante un

escalon (2.2) para modelar el proceso, considerando solo los HP primeros terminos, asu-

miendo por tanto que el proceso es estable. En cuanto a las perturbaciones, se considera

que su valor permanece constante e igual al existente en el instante actual durante todo

el horizonte, es decir, igual al valor medido de la salida ym menos el estimado por el

modelo y(k + i|k).

n(k + i|k) = n(k|k) = ym(k) y(k|k)

y por lo tanto el valor predicho sera:

y(k + i|k) =i

j=1

gju(k + i j) +HP

j=i+1

gju(k + i j) + n(k + i|k)

donde el primer termino contiene las acciones de control futuras (que seran calculadas),

el segundo los valores pasados de las acciones de control (conocidas) y el ultimo repre-

senta las perturbaciones. La funcion de costo puede considerar solo errores futuros o

incluir tambien el esfuerzo de control.

Una de las caractersticas de este metodo que lo ha hecho muy popular en la

industria es la inclusion de restricciones, que se traduce en inecuaciones de la forma

2 Recuerde que en el control predictivo: se calculan HP movimientos de control durante cadainstante de muestreo; se le enva al proceso solo la primera de estas senales calculadas; y, debido alconcepto de horizonte deslizante, en el siguiente instante de muestreo de repite el calculo con nuevainformacion.


generica:

HPj=1

Cryj y (k + i|k) + Cruju (k + i j|k) + cr 0 r = 1, ..., HC .

Donde:

Cyj Corresponde a la relacion que existe entre j-esima salida restingida y la

senal de control.

Cuj Corresponde a la relacion que existe entre j-esima entrada restingida y la

senal de control.

c Valor de la restriccion.

En este caso la optimizacion debe ser numerica y se lleva a cabo en cada periodo

de muestreo, enviandose la senal u(k|k) y recalculando todo en el nuevo periodo demuestreo, como en todos los metodos MPC. Los principales inconvenientes de este

metodo son el tamano del modelo empleado y la imposibilidad de tratar procesos ines-

tables.

2.3.2. Control algortmico de modelo (MAC)

Este metodo fue presentado por [Richalet et al., 1978]. Se conoce tambien como

control predictivo heurstico y el producto comercial se llama IDCOM3 (Identification-

Command). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de usar un modelo de

respuesta al impulso (2.1). No utiliza el concepto de horizonte de control, por lo que

calcula todos los movimientos de control correspondientes al horizonte de prediccion.

Introduce el concepto de trayectoria de referencia como un sistema de primer orden que

evoluciona desde la salida actual a la salida deseada segun una determinada constante

de tiempo, utilizando la expresion (2.4). La varianza del error entre esta trayectoria y

la salida es lo que marca la minimizacion de la funcion objetivo.

Las perturbaciones se pueden tratar como en el metodo anterior o se pueden estimar

segun la siguiente expresion:

n (k + i|k) = n (k + i 1|k) + (1 ) [ym (k) y (k|k)]con:

n(k|k) = 0siendo ym el valor medido de la salida y un parametro ajustable (0 < 1) rela-cionado con el tiempo de respuesta, el ancho de banda y la robustez del sistema en lazo

cerrado.

El metodo tambien considera restricciones en los actuadores, en las variables in-

ternas o en salidas secundarias.3 Fabricado por la compana Adersa.


2.3.3. Control predictivo funcional (PFC)

Este controlador fue desarrollado por [Richalet et al., 1987] para procesos rapidos.

Emplea un modelo en espacio de estados, por lo que permite el manejo de procesos

inestables, y tambien la extension al caso no lineal. Este esquema de control tiene dos

caractersticas que lo distinguen del resto de controladores de la familia: el uso de puntos

de coincidencia y de funciones base.

El concepto de puntos de coincidencia (ver Figura 2.6) se emplea para simplificar

los calculos considerando solo un subconjunto de puntos en el horizonte de prediccion.

La salida deseada y la predicha deben coincidir en dichos puntos, no en todo el horizonte

de prediccion.

Figura 2.6: Puntos de coincidencia.

La otra idea innovadora de este metodo es la parametrizacion de la senal de con-

trol como una combinacion lineal de ciertas funciones base, que son elegidas segun la

naturaleza del proceso y la referencia:

u (k + i|k) =nBj=1

j (k)B (i)

Estas funciones se escogen de acuerdo a la naturaleza del proceso y normalmente son

de tipo polinomico: escalones (B1(i) = 1), rampas (B2(i) = i) o parabolas

(B3(i) = i2), ya que la mayora de referencias se pueden especificar como combinacion

de estas funciones. Con esta estrategia, un perfil de entrada complejo se puede especi-

ficar usando un numero pequeno (generalmente nB es del orden de 2 o 3) de parametros

desconocidos j que son las incognitas del problema de minimizacion. De esta manera,

el concepto de horizonte de control, no existe en esta formulacion porque se reemplaza

por el numero de funciones base utilizadas.


La funcion a minimizar es:

J =

HPj=1

[y (k + hj|k) w (k + hj|k)]2

donde hj corresponde a los puntos de coincidencia elegidos. Notese que el numero

de puntos de coincidencia, debe de ser, al menos igual al numero de funciones base

utilizadas.

2.3.4. Control autosintonizado de prediccion extendida

(EPSAC)

El algoritmo EPSAC usa un modelo de funcion de transferencia

A(q1)y(k) = B(q1)u(k d) + v(k) (2.6)

donde d es el retardo y v(k) la perturbacion a la salida. Este modelo puede am-

pliarse para tratar perturbaciones medibles d(k) anadiendo un termino D(q1)d(k)para incluir efecto de prealimentacion. La prediccion se obtiene segun se muestra en

[Keyser et al., 1989] y la estructura de la ley de control es muy simple, ya que se con-

sidera que la senal de control permanecera constante a partir del instante k (es decir,

horizonte de control igual a 1): u(k + i|k) = 0 para i > 0. Para obtener la senal decontrol se minimiza una funcion de costo de la forma:

J =

HPi=d

(i)[w(k + i|k) P (q1)y(k + i|k)]2

donde P (q1) es un polinomio de diseno con ganancia unitaria y (i) es una secuenciade ponderacion similar a la de la ecuacion (2.3). La senal de control se puede calcular

analticamente de la forma:

u (k|k) =

HPi=d

hi (i) [w (k + i|k) P (q1) y (k + i|k)]HPi=d

(i)h2i

siendo hi los coeficientes de la respuesta al impulso del sistema.

2.3.5. Control adaptable de horizonte extendido (EHAC)

Esta formulacion tambien emplea un modelo de funcion de transferencia (2.6) sin

tomar en cuenta las perturbaciones v(k) y pretende minimizar la diferencia entre la


salida calculada y la referencia en el instante k +HP : y(k +HP |k) w(t+HP |k), conHP d. La solucion a este problema no es unica (a menos que HP = d) [Ydstie, 1984];una posible estrategia es considerar horizonte de control igual a 1:

u (k + i+ 1|k) = 0 1 < i HP d

o minimizar el esfuerzo de control

J =

HPdi=0

u2 (k + i|k)

Este metodo utiliza un predictor de HP pasos de la forma

y (k +HP |k) = y (k) + F(q1)y (k) + E

(q1)B(q1)u (k +HP d|k)

donde E(q1) y F (q1) son polinomios que satisfacen la relacion:(1 q1) = A (q1)E (q1) (1 q1)+ qHPF (q1) (1 q1)

con el grado de E igual a HP 1. Una ventaja de este metodo es que se puede encontrarfacilmente una solucion explcita, dada por:

u (k|k) = u (k 1) + 0 [w (k +HP |k) y (k +HP |k)]HPdi=0

2j

siendo i el coeficiente correspondiente a u(k + i|k) en la ecuacion de prediccion.Por lo tanto, la ley de control depende solo de los parametros del proceso y puede

hacerse facilmente adaptable si se emplea un identificador en lnea. El unico coeficiente

de ajuste es el horizonte de prediccion HP , lo cual simplifica el uso pero proporciona

poca libertad para el diseno. En este metodo no puede usarse trayectoria de referencia

porque el error se considera solo en un instante (k + HP ), ni tampoco la ponderacion

del esfuerzo de control.

2.3.6. Control predictivo generalizado (GPC)

El control predictivo generalizado fue desarrollado por [Clarke et al., 1987] y se ha

convertido en uno de los metodos mas populares en el ambito de control predictivo, sobre

todo en el mundo academico. Puede resolver muchos problemas de control diferentes

para un amplio campo de procesos con un numero razonable de variables de diseno, que

son especificadas por el operador dependiendo de los conocimientos previos del proceso

y de los objetivos de control.


El GPC emplea un modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Mo-

ving Average) para la prediccion de la salida:

A(q1)y (k) = B

(q1)qdu (k 1) + C (q1) e (k)

1 q1

donde u(k) y y(k) son respectivamente la senal de control y salida del proceso y e(k) es

un ruido blanco de media cero. A, B y C son los siguientes polinomios en el operador

de desplazamiento hacia atras q1:

A(q1) = 1 + a1q1 + a2q2 + + anaqnaB(q1) = b0q1 + b1q2 + + bnbqnbC(q1) = 1 + c1q1 + c2q2 + + cncqnc

Como en la practica es difcil encontrar el verdadero valor del polinomio C(q1),se puede emplear como parametro de diseno para rechazo de perturbaciones o mejora

de la robustez.

La prediccion optima se lleva a cabo resolviendo una ecuacion diofantina4 , lo

cual puede hacerse eficazmente de forma recursiva [Camacho, 2004]. Este algoritmo, al

igual que otros que usan el modelo de funcion de transferencia, se puede implementar

facilmente en forma adaptable usando un algoritmo de identificacion en lnea como los

mnimos cuadrados recursivos. El control predictivo generalizado usa una funcion de

costo cuadratica de la forma:

J (H1, HP , HC) =

HPi=H1

(i) [y (k + i|k) w (k + i|k)]2 +HCi=1

(k) [u (k + i 1|k)]2

Las bases teoricas del algoritmo GPC han sido ampliamente estudiadas

[Clarke et al., 1987], [Clarke y Morari, 1989] y se puede demostrar que, para distin-

tos conjuntos de parametros, el algoritmo es estable y que otros controladores, como el

control por establecimiento finito (dead beat), son casos incluidos en este.

2.3.7. Control predictivo no lineal (NLMPC)

En general, los procesos industriales son no lineales, pero aun as, la mayora de

aplicaciones del MPC estan basadas en el uso de modelos lineales. Existen dos impor-

tantes razones para ello: por un lado, la identificacion de un modelo lineal a partir de

datos de proceso es relativamente sencilla y por otro, los modelos lineales proporcio-

nan buenos resultados cuando la planta opera en las cercanas del punto de operacion.

4 Una ecuacion diofantina es aquella que tiene solamente coeficientes enteros, exponentes enteros ycuyas soluciones son tambien numeros enteros.


Ademas, el uso de un modelo lineal junto con una funcion de costo cuadratica da lu-

gar a un problema convexo haciendo uso de la programacion cuadratica (Quadratic

Programming, QP), cuya solucion esta bien estudiada y existen numerosos productos

comerciales disponibles.

Sin embargo, la

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