16 mars 2007cours de graphes 7 - intranet1 cours de graphes problèmes np-complets. réductions...

16 mars 2007 Cours de graphes 7 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Problèmes NP-complets.Problèmes NP-complets.

Réductions polynômiales.Réductions polynômiales.


Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, graphes Coloriage de graphes, graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets


Rappels sur la NPRappels sur la NP--complétudecomplétude----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

R A P P E L SR A P P E L S

S U R L AS U R L A

N P – C O M P L E T U D EN P – C O M P L E T U D E



• La question :La question :

• Y aurait-il par hasard des problèmes dont la Y aurait-il par hasard des problèmes dont la complexité intrinsèque est exponentielle ?complexité intrinsèque est exponentielle ?

• Pour un tel problème, tout algorithme pour le Pour un tel problème, tout algorithme pour le résoudre serait exponentiel en temps !résoudre serait exponentiel en temps !



• La question :La question :

• Y aurait-il par hasard des problèmes dont la complexité Y aurait-il par hasard des problèmes dont la complexité intrinsèque est exponentielle ?intrinsèque est exponentielle ?

• Pour un tel problème, tout algorithme pour le résoudre serait Pour un tel problème, tout algorithme pour le résoudre serait exponentiel en temps !exponentiel en temps !

• La réponse :La réponse :

• Probablement OUI !Probablement OUI !

• Malheureusement ! ! !Malheureusement ! ! !

• On ne sait rien de définitif ! ! !On ne sait rien de définitif ! ! !

P = N PP = N P

ou bienou bien

P = N PP = N P

//



• La classe de problèmes « La classe de problèmes « P »P » ! !

• Ce sont les problèmes qui acceptent un algorithme : Ce sont les problèmes qui acceptent un algorithme :

– polynômial,polynômial,

– déterministe,déterministe,

– qui résout toutes les instances.qui résout toutes les instances.



• La classe de problèmes « La classe de problèmes « P »P » ! !



– déterministe,déterministe,


La complexité est un polynômeLa complexité est un polynômeen termes de la taille du problème.en termes de la taille du problème.

Il n’y a aucun élément de chance ouIl n’y a aucun élément de chance oud’indication venant de l’extérieur.d’indication venant de l’extérieur.

Aucune instanceAucune instancen’est trop difficile.n’est trop difficile.



• La classe de problèmes « La classe de problèmes « N N P »P » ! !



– nonnon--déterministe,déterministe,




• La classe de problèmes « La classe de problèmes « N N P »P » ! !



– nonnon--déterministe,déterministe,


Il peut y a avoir des élémentsIl peut y a avoir des élémentsde chance ou desde chance ou des

indications venant de l’extérieur.indications venant de l’extérieur.



• Nous remplaçons une exploration à l’aide du back-track Nous remplaçons une exploration à l’aide du back-track

– par un appel à l’oracle.par un appel à l’oracle.

• L’oracle répond au bout de . . . ?L’oracle répond au bout de . . . ?

– La complexité de l’oracle est bien-sûr en O ( 1 ) .La complexité de l’oracle est bien-sûr en O ( 1 ) .

• Je sais réaliser un oracle en temps exponentiel !Je sais réaliser un oracle en temps exponentiel !

– Il suffit de faire un back-track en cachette ! ! !Il suffit de faire un back-track en cachette ! ! !



• Autre formulation de la classe de Autre formulation de la classe de problèmes « problèmes « N N P »P » ! !

• Ce sont les problèmes qui : Ce sont les problèmes qui :

– acceptent, pour chaque instance, un nombre acceptent, pour chaque instance, un nombre borné de candidats à être la solution,borné de candidats à être la solution,

– pour lesquels, la vérification qu’un candidat pour lesquels, la vérification qu’un candidat quelconque est solution appartient à « quelconque est solution appartient à « P P ». ».



• Théorème :Théorème :

P N PP N P

UU

N PN P

PP



• Théorème :Théorème :

P N PP N P

UU

N PN P

PP

P = N P P = N P c’est-à-dire c’est-à-dire N P \ P = N P \ P = oo//?? ??

? ? ? ? ?? ? ? ? ?



• Définissons la classe « Définissons la classe « N P C N P C », c’est-à-dire les », c’est-à-dire les problèmes « Nproblèmes « N--PP--complets » :complets » :

N PN P

PP

N P CN P C



• Définissons la classe « Définissons la classe « N P C N P C », c’est-à-dire les », c’est-à-dire les problèmes « Nproblèmes « N--PP--complets » :complets » :

N PN P

PP

N P CN P C

Ce seront les problèmes les plus difficiles de « Ce seront les problèmes les plus difficiles de « N P » !N P » !

L’idée : Si eux sont dans « L’idée : Si eux sont dans « PP », alors », alors « « P = N P P = N P »» ! ! !! ! !

Facile.Facile.

Difficile.Difficile.



• Il nous faut une notion de traduction !Il nous faut une notion de traduction !

– Soit un problème P : D Soit un problème P : D --> BOOL> BOOL


1111

2222



• Il nous faut une notion de traduction !Il nous faut une notion de traduction !



• P se réduit polynômialement en P , noté P <= P P se réduit polynômialement en P , noté P <= P

si et seulement si :si et seulement si :

– il existe f : D il existe f : D --> D avec f > D avec f PP

– telle que pour tout x telle que pour tout x D : D :

P ( x ) = P ( f ( x ) )P ( x ) = P ( f ( x ) )

1111

2222

11 1122 22

11 22

11

11 22

PP



• L’idée derrière la traduction :L’idée derrière la traduction :

PP11

xx Vrai ou FauxVrai ou FauxCalcul !Calcul !

PP22

f ( x )f ( x )

Traduction !Traduction !

Vrai ou FauxVrai ou FauxCalcul !Calcul !

Le mêmeLe mêmerésultat !résultat !



• Définition :Définition :

• La classe « La classe « N P CN P C » est la classe des problèmes P tels » est la classe des problèmes P tels que :que :

– P P N PN P . .

– Pour tout Q Pour tout Q N PN P on a : Q <= P . on a : Q <= P .PP



• Définition :Définition :

• La classe « La classe « N P CN P C » est la classe des problèmes P tels que : » est la classe des problèmes P tels que :

– P P N PN P . .

– Pour tout Q Pour tout Q N PN P on a : Q <= P . on a : Q <= P .

• Tout le monde se réduit vers P .Tout le monde se réduit vers P .

• P est donc le plus difficile ! ! !P est donc le plus difficile ! ! !

• Si P , P’ Si P , P’ N P CN P C , alors il sont ex aequo en difficulté : , alors il sont ex aequo en difficulté :

P <= P’ et P’ <= P .P <= P’ et P’ <= P .

PP PP

PP



• Et si « Et si « N P CN P C » était vide ? ? ? » était vide ? ? ?

– C’est-à-dire, un tel problème universel n’existe pas ! ! C’est-à-dire, un tel problème universel n’existe pas ! ! !!

• Théorème (Cook, 1971) :Théorème (Cook, 1971) :

– SAT SAT N P CN P C . .



• Et si « Et si « N P CN P C » était vide ? ? ? » était vide ? ? ?

– C’est-à-dire, un tel problème universel n’existe pas ! ! !C’est-à-dire, un tel problème universel n’existe pas ! ! !

• Théorème (Cook, 1971) :Théorème (Cook, 1971) :

– SAT SAT N P CN P C . .

• Il n’y a pas plus difficile (dans Il n’y a pas plus difficile (dans N P CN P C) que la logique.) que la logique.

• Principe de la preuve :Principe de la preuve :

– Tout problème dans « Tout problème dans « N PN P » peut être traduit en une formule » peut être traduit en une formule logique.logique.

– Analogie : Tout texte peut être traduit en une formule Analogie : Tout texte peut être traduit en une formule alphabétique.alphabétique.



N PN P

PP

N P CN P CSATSAT


• Conséquences :Conséquences :

• S’il existe un seul problème PS’il existe un seul problème P N P CN P C

– pour lequel on trouve un algorithme en temps pour lequel on trouve un algorithme en temps polynômial et déterministe,polynômial et déterministe,

– alors alors P = N P P = N P !!





– pour lequel on trouve un algorithme en temps polynômial pour lequel on trouve un algorithme en temps polynômial et déterministe,et déterministe,



– pour lequel on prouve qu’un algorithme en temps pour lequel on prouve qu’un algorithme en temps polynômial et déterministe ne peut pas exister,polynômial et déterministe ne peut pas exister,



//



• Concrètement :Concrètement :

• Vous avez un problème qui vous résiste ?Vous avez un problème qui vous résiste ?

• Essayez de savoir s’il est Essayez de savoir s’il est NN--PP--complet !complet !

– le Garey and Johnson, ou Internet, ou . . .le Garey and Johnson, ou Internet, ou . . .







• Comment prouver qu’il est Comment prouver qu’il est NN--PP--complet ? ? ?complet ? ? ?

– Prouvez que votre problème P est dans Prouvez que votre problème P est dans N P N P etet

– prenez un problème A de prenez un problème A de N P C N P C et montrez queet montrez que

A <= PA <= P

PP







• Comment prouver qu’il est Comment prouver qu’il est NN--PP--complet ? ? ?complet ? ? ?

– Prouvez que votre problème P est dans Prouvez que votre problème P est dans N P N P etet

– prenez un problème A de prenez un problème A de N P C N P C et montrez queet montrez que

A <= PA <= P

PP

On vous donneOn vous donnela solution etla solution etvous vérifiezvous vérifiezque c’en estque c’en est

bien une !bien une !


Réductions polynômialesRéductions polynômiales----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Q U E L Q U E SQ U E L Q U E S

R E D U C T I O N SR E D U C T I O N S

P O L Y N O M I A L E SP O L Y N O M I A L E S



• Nous construirons les réductions polynômiales Nous construirons les réductions polynômiales suivantes :suivantes :

PPSATSAT

PP

CIRCUITCIRCUIT--SATSAT

PP33--SAT FNCSAT FNC

SUBSET SUMSUBSET SUM

CLIQUECLIQUE VERTEX COVERVERTEX COVERPP

et VERTEX C.et VERTEX C.PP PP

PP SET PARTITIONSET PARTITION

00--1 LINEAR PROG.1 LINEAR PROG.




PPSATSAT

PP









SAT se réduit en CIRCUITSAT se réduit en CIRCUIT--SATSAT----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• CIRCUITCIRCUIT--SATSAT

– « n » variables logiques et un circuit logique « n » variables logiques et un circuit logique construit à partir des circuits de base construit à partir des circuits de base et et , , ou ou ou ou not not ..

– La question : Le circuit peut-il rendre la valeur La question : Le circuit peut-il rendre la valeur « Vrai » pour un choix adéquat des valeurs des « Vrai » pour un choix adéquat des valeurs des variables ?variables ?




– « n » variables logiques et un circuit logique « n » variables logiques et un circuit logique construit à partir des circuits de base construit à partir des circuits de base et et , , ou ou ou ou not not ..

– La question : Le circuit peut-il rendre la valeur La question : Le circuit peut-il rendre la valeur « Vrai » pour un choix adéquat des valeurs des « Vrai » pour un choix adéquat des valeurs des variables ?variables ?

CIRCUITCIRCUIT--SAT est bien dans SAT est bien dans NPNP , car si on nous , car si on nousdonne une solution nous sommes capables dedonne une solution nous sommes capables de

vérifier que c’en est bien une en tempsvérifier que c’en est bien une en tempspolynômial et de façon déterministe !polynômial et de façon déterministe !




– « n » variables logiques et un circuit logique construit à « n » variables logiques et un circuit logique construit à partir des circuits de base partir des circuits de base et et , , ou ou ou ou not not ..

– La question : Le circuit peut-il rendre la valeur « Vrai » La question : Le circuit peut-il rendre la valeur « Vrai » pour un choix adéquat des valeurs des variables ?pour un choix adéquat des valeurs des variables ?

• La réduction :La réduction :

– Nous allons traduire une formule logique de SAT en un Nous allons traduire une formule logique de SAT en un circuit de circuit de CIRCUITCIRCUIT--SATSAT qui donne les mêmes résultats ! qui donne les mêmes résultats !




– Variable 3Variable 3--SAT SAT --> variable CIRCUIT> variable CIRCUIT--SAT.SAT.





– x x --> > xx





– x x --> > xx

– ( a v b v . . . v z ) ( a v b v . . . v z ) --> > aa

bb . . . . . .. . . . . .

zz

. . .. . .





– x x --> > xx

– ( a v b v . . . v z ) ( a v b v . . . v z ) --> > aa

bb . . . . . .. . . . . .

zz

– ( a b . . . z ) ( a b . . . z ) -->> aa bb . . . . .. . . . . ..

zz

vvvv vv

. . .. . .

. . .. . .





– x x --> > xx

– ( a v b v . . . v z ) ( a v b v . . . v z ) --> > aa

bb . . . . . .. . . . . .

zz

– ( a b . . . z ) ( a b . . . z ) -->> aa bb . . . . .. . . . . ..

zz

vvvv vv

. . .. . .La réductionLa réductionest dans est dans PP ! !

. . .. . .




PPSATSAT

PP









SAT se réduit en 3SAT se réduit en 3--SAT FNCSAT FNC----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une formule SAT est une formule de profondeur Une formule SAT est une formule de profondeur quelconque qui comporte des littéraux ou leurs quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations ainsi que des conjonctions et des négations ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.disjonctions binaires.

( ( x v ( ( x v y ) v ( ( y ( z v t ) ) y ) v ( ( y ( z v t ) ) x ) ) x ) )

vv vv



• Une formule SAT est une formule de profondeur Une formule SAT est une formule de profondeur quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.


• Une formule 3Une formule 3--SAT FNC (forme normale conjonctive) est SAT FNC (forme normale conjonctive) est une formule qui comporte une conjonction n-aire composée une formule qui comporte une conjonction n-aire composée de disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.de disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.

( a v ( a v b v c ) ( a v d v e ) . . . ( b v c ) ( a v d v e ) . . . ( d v c v e d v c v e ))

vv vv

vv vv vv



• Une formule SAT est une formule de profondeur Une formule SAT est une formule de profondeur quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.


• Une formule 3Une formule 3--SAT FNC (forme normale conjonctive) est SAT FNC (forme normale conjonctive) est une formule qui comporte une conjonction n-aire composée une formule qui comporte une conjonction n-aire composée de disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.de disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.

( a v ( a v b v c ) ( a v d v e ) . . . ( b v c ) ( a v d v e ) . . . ( d v c v e d v c v e ))

vv vv

vv vv vv

33--SAT FNC est bien dans SAT FNC est bien dans NPNP , car si on nous donne une , car si on nous donne unesolution nous sommes capables de vérifier que c’en estsolution nous sommes capables de vérifier que c’en est

bien une en temps polynômial et de façon déterministe !bien une en temps polynômial et de façon déterministe !



• Une formule SAT est une formule de profondeur quelconque qui Une formule SAT est une formule de profondeur quelconque qui comporte des littéraux ou leurs négations ainsi que des comporte des littéraux ou leurs négations ainsi que des conjonctions et des disjonctions binaires.conjonctions et des disjonctions binaires.


• Une formule 3Une formule 3--SAT FNC (forme normale conjonctive) est une SAT FNC (forme normale conjonctive) est une formule qui comporte une conjonction n-aire composée de formule qui comporte une conjonction n-aire composée de disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.disjonctions avec trois littéraux ou leurs négations.

( a v ( a v b v c ) ( a v d v e ) . . . ( b v c ) ( a v d v e ) . . . ( d v c v e ) d v c v e )

• Nous allons « aplatir » notre formule SAT en une formule 3Nous allons « aplatir » notre formule SAT en une formule 3--SAT SAT FNC.FNC.

vv

vv vv

vv vv



• A une variable SAT nous associons une variable 3A une variable SAT nous associons une variable 3--SAT SAT FNC.FNC.




• A une formule SAT de la forme ( A op B ) nous A une formule SAT de la forme ( A op B ) nous associons une nouvelle variable y pour laquelle nous associons une nouvelle variable y pour laquelle nous affirmons queaffirmons que





– y est vraiey est vraie

yy





– y est vraiey est vraieetet– y est équivalente à ( A op B )y est équivalente à ( A op B )vvyy ( y <=> A op B )( y <=> A op B )



• A une variable SAT nous associons une variable 3A une variable SAT nous associons une variable 3--SAT FNC.SAT FNC.

• A une formule SAT de la forme ( A op B ) nous associons une A une formule SAT de la forme ( A op B ) nous associons une nouvelle variable y pour laquelle nous affirmons quenouvelle variable y pour laquelle nous affirmons que

– y est vraiey est vraieetet– y est équivalente à ( A op B )y est équivalente à ( A op B )

• Ensuite, il suffit de traduire cette équivalence en une disjonction.Ensuite, il suffit de traduire cette équivalence en une disjonction.

vvyy ( y <=> A op B )( y <=> A op B )



• Une formule de la forme ( y <=> A op B ) Une formule de la forme ( y <=> A op B ) correspond à une table de vérité avec 8 lignes. Nous correspond à une table de vérité avec 8 lignes. Nous en sélectionnons les 4 lignes qui sont fausses et nous en sélectionnons les 4 lignes qui sont fausses et nous les traduisons en une formule les traduisons en une formule qui est une qui est une disjonction de conjonctions :disjonction de conjonctions :

( y A B ) v ( ( y A B ) v ( y y A B ) v ( y A B ) v ( y A A B ) B ) v . . .v . . .

vv vv vv vv vv vv



• Une formule de la forme ( y <=> A op B ) correspond à Une formule de la forme ( y <=> A op B ) correspond à une table de vérité avec 8 lignes. Nous en sélectionnons les une table de vérité avec 8 lignes. Nous en sélectionnons les 4 lignes qui sont fausses et nous les traduisons en une 4 lignes qui sont fausses et nous les traduisons en une formule formule qui est une disjonction de conjonctions : qui est une disjonction de conjonctions :

( y A B ) v ( ( y A B ) v ( y y A B ) v ( y A B ) v ( y A A B ) v . . . B ) v . . .

• La négation de La négation de est la formule recherchée. D’après de est la formule recherchée. D’après de « De Morgan », nous obtenons :« De Morgan », nous obtenons :

( ( y v y v A v A v B ) ( y v A v B ) ( y v A v B ) ( B ) ( y v A v y v A v B ) . . .B ) . . .

vv

vv vv vv vv vv vv

vv vv



• Une formule de la forme ( y <=> A op B ) correspond à une Une formule de la forme ( y <=> A op B ) correspond à une table de vérité avec 8 lignes. Nous en sélectionnons les lignes qui table de vérité avec 8 lignes. Nous en sélectionnons les lignes qui sont fausses et nous les traduisons en une formule sont fausses et nous les traduisons en une formule qui est une qui est une disjonction de conjonctions :disjonction de conjonctions :

( y A B ) v ( ( y A B ) v ( y y A B ) v ( y A B ) v ( y A A B ) B )

• La négation de La négation de est la formule recherchée. D’après de « De est la formule recherchée. D’après de « De Morgan », nous obtenons :Morgan », nous obtenons :

( ( y v y v A v A v B ) ( y v A v B ) ( y v A v B ) ( B ) ( y v A v B ) y v A v B )

• La même approche reste vraie pour tous les opérateurs binaires, La même approche reste vraie pour tous les opérateurs binaires, comme et , ou , => , <=> , . . .comme et , ou , => , <=> , . . .

vv

vv vv vv vv vv vv

vv



U NU N

E X E M P L EE X E M P L E



( ( ( x => x ) x ) v x )( ( ( x => x ) x ) v x )vv

22 33 22 11



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

vv

xx11

vv

xx22=>=>

xx33

xx22



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

vv

xx11

vv

xx22=>=>

xx33

xx22

yy11

yy22

yy33



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

vv

xx11

vv

xx22=>=>

xx33

xx22

yy11

yy22

yy33

yy11

vv

( ( yy <=> ( y v x ) ) <=> ( y v x ) )11 22 11

vv

. . .. . .



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

vv

xx11

vv

xx22=>=>

xx33

xx22

yy11

yy22

yy33

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

. . .. . .

( ( yy <=> ( y x ) ) <=> ( y x ) )22 33 22

vv

22 11



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

vv

xx11

vv

xx22=>=>

xx33

xx22

yy11

yy22

yy33

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

( ( yy <=> ( x => x ) ) <=> ( x => x ) )33 22 33

22 11

33 22

vv



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

( ( yy <=> ( x => x ) ) <=> ( x => x ) )33 22 33

22 11

33 22

vv

yy33

xx22

xx33

. . .. . .



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

( ( yy <=> ( x => x ) ) <=> ( x => x ) )33 22 33

22 11

33 22

vv

yy33

xx22

xx33

. . .. . .

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 00 0 1 0

0 1 0 10 1 0 1

0 1 1 00 1 1 0

1 0 0 11 0 0 1

1 0 1 11 0 1 1

1 1 0 01 1 0 0

1 1 1 11 1 1 1



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

( ( yy <=> ( x => x ) ) <=> ( x => x ) )33 22 33

22 11

33 22

vv

yy33

xx22

xx33

. . .. . .

0 0 0 0 0 0 00

0 0 1 0 0 1 00

0 1 0 10 1 0 1

0 1 1 0 1 1 00

1 0 0 11 0 0 1

1 0 1 11 0 1 1

1 1 0 1 1 0 00

1 1 1 11 1 1 1

= ( = ( y y x x x ) x )

v ( v ( y y x x ) v . . . x x ) v . . .

vv

33 22

vv

33

vv

33 22

vv

33



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

( ( yy <=> ( x => x ) ) <=> ( x => x ) )33 22 33

22 11

33 22

vv

yy33

xx22

xx33

. . .. . .

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 00 0 1 0

0 1 0 0 1 0 11

0 1 1 00 1 1 0

1 0 0 1 0 0 11

1 0 1 1 0 1 11

1 1 0 01 1 0 0

1 1 1 1 1 1 11

= ( y v x v x )= ( y v x v x )

( y v ( y v x v x v x ) . . .x ) . . .

vv

33 22 33

vv

33 22 33



( ( ( x ( ( ( x =>=> x ) x ) x ) x ) vv x ) x )vv

22 33 22 11

yy11

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy v x ) ) v x ) )11

vv

vv

( ( yy <=> ( <=> ( yy x ) ) x ) )22

22 11

33 22

vv

yy33

xx22

xx33

. . .. . .

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 00 0 1 0

0 1 0 0 1 0 11

0 1 1 00 1 1 0

1 0 0 1 0 0 11

1 0 1 1 0 1 11

1 1 0 01 1 0 0

1 1 1 1 1 1 11

( y v x v x )( y v x v x )33 22 33

vv ( y v x v ( y v x v x ) x )33 22 33

vv . . .. . .




PPSATSAT

PP









33--SAT FNC se réduit en CLIQUESAT FNC se réduit en CLIQUE----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une clique d’un graphe G = ( V , E ) est un sous-Une clique d’un graphe G = ( V , E ) est un sous-ensemble des sommets qui sont tous voisins les uns ensemble des sommets qui sont tous voisins les uns des autres !des autres !




Une clique deUne clique de3 sommets !3 sommets !




L’unique cliqueL’unique cliquede 4 sommets !de 4 sommets !




• Question : Y a-t-il G une clique de k sommets ?Question : Y a-t-il G une clique de k sommets ?




• Une clique d’un graphe G = ( V , E ) est un sous-ensemble des Une clique d’un graphe G = ( V , E ) est un sous-ensemble des sommets qui sont tous voisins les uns des autres !sommets qui sont tous voisins les uns des autres !

• Question : Y a-t-il G une clique de k sommets ?Question : Y a-t-il G une clique de k sommets ?

• CLIQUE est dans CLIQUE est dans NPNP car nous savons vérifier dans car nous savons vérifier dans PP si un si un ensemble de sommets est une clique ou non !ensemble de sommets est une clique ou non !




F = C . . . CF = C . . . Cvv

11

C = T v T v TC = T v T v T ii i,1i,1 T = x | T = x | x x

ppi,ji,j pp

kk

vv

i,2i,2 i,3i,3

• Soit une formule 3Soit une formule 3--SAT FNC constituée de k SAT FNC constituée de k conjonctions :conjonctions :



F = C . . . CF = C . . . Cvv

11


ppi,ji,j pp

kk

vv

i,2i,2 i,3i,3

• Soit une formule 3Soit une formule 3--SAT FNC constituée de k SAT FNC constituée de k conjonctions :conjonctions :

• Nous allons montrer que cette formule peut être Nous allons montrer que cette formule peut être rendue vraie si et seulement s’il existe une clique de rendue vraie si et seulement s’il existe une clique de taille k dans un certain graphe.taille k dans un certain graphe.



F = C . . . CF = C . . . Cvv

11


ppi,ji,j pp

kk

vv

i,2i,2 i,3i,3

• Soit une formule 3Soit une formule 3--SAT FNC constituée de k conjonctions :SAT FNC constituée de k conjonctions :

• Nous allons montrer que cette formule peut être rendue Nous allons montrer que cette formule peut être rendue vraie si et seulement s’il existe une clique de taille k dans vraie si et seulement s’il existe une clique de taille k dans un certain graphe.un certain graphe.

• CLIQUE sera donc au moins aussi difficile que 3CLIQUE sera donc au moins aussi difficile que 3--SAT FNC, SAT FNC, c’est-à-dire vraisemblablement exponentiel en général.c’est-à-dire vraisemblablement exponentiel en général.



• La construction du graphe :La construction du graphe :

• A chaque terme T nous associons un sommet.A chaque terme T nous associons un sommet.i,ji,j




• A chaque terme T nous associons un sommet.A chaque terme T nous associons un sommet.

• Les sommets T et T sont voisins dans le graphe Les sommets T et T sont voisins dans le graphe ssi : ssi :

– i et m sont différents,i et m sont différents,

– les termes ne sont pas la négation l’un de l’autre.les termes ne sont pas la négation l’un de l’autre.

i,ji,j

i,ji,j m,nm,n








i,ji,j

i,ji,j m,nm,n








• Cette construction est clairement déterministe et peut Cette construction est clairement déterministe et peut se faire en temps polynômial.se faire en temps polynômial.

i,ji,j

i,ji,j m,nm,n



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44

En construction . . .En construction . . .



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44

En construction . . .En construction . . . NONNONCOMPATIBLES !COMPATIBLES !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44




( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44

Le voilà !Le voilà !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

• Clairement, notre formule peut être rendu vraie Clairement, notre formule peut être rendu vraie seulement si nous trouvons dans chaque terme de seulement si nous trouvons dans chaque terme de la conjonction au moins une fois la valeur vrai.la conjonction au moins une fois la valeur vrai.

• De plus, ces choix doivent être compatibles !De plus, ces choix doivent être compatibles !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv





( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv



• Autrement dit, ils doivent correspondre à une Autrement dit, ils doivent correspondre à une clique que nous pouvons former dans le graphe ! clique que nous pouvons former dans le graphe !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv



• Autrement dit, ils doivent correspondre à une Autrement dit, ils doivent correspondre à une clique que nous pouvons former dans le graphe ! clique que nous pouvons former dans le graphe !

• Rendre vraie la formule ou trouver une clique Rendre vraie la formule ou trouver une clique dans le graphe sont donc des problèmes de même dans le graphe sont donc des problèmes de même difficulté ! ! !difficulté ! ! !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44

Une solution !Une solution !



( x v ( x v x v x v x ) x )11 22 33

( ( x v x v x v x v x )x )11 22 33

vv ( x v x v ( x v x v x )x )11 22 44

vv

xx11 xx

22xx

33

xx11

xx22

xx33

xx11

xx22

xx44

Une autreUne autre solution !solution !




PPSATSAT

PP









CLIQUE se réduit en VERTEX COVERCLIQUE se réduit en VERTEX COVER----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous nous donnons un graphe G = ( V , E ) avec Nous nous donnons un graphe G = ( V , E ) avec n sommets et une constante naturelle k .n sommets et une constante naturelle k .

• Question : Pouvons-nous trouver un sous-Question : Pouvons-nous trouver un sous-ensemble V’ d’au plus k sommets de façon à ce ensemble V’ d’au plus k sommets de façon à ce que toute arête ait au moins une extrémité dans que toute arête ait au moins une extrémité dans V’ ?V’ ?





k = 2k = 2





k = 2k = 2

OUI ! ! !OUI ! ! !





k = 2k = 2

OUI ! ! !OUI ! ! !

Les arêtes sont dansLes arêtes sont dansl’ensemble ou ellesl’ensemble ou elles

traversent la frontière !traversent la frontière !





k = 2k = 2

OUI ! ! !OUI ! ! !

Les arêtes sont dansLes arêtes sont dansl’ensemble ou ellesl’ensemble ou elles

traversent la frontière !traversent la frontière !

Nous sommesNous sommescapablescapablesde vérifierde vérifierune solution enune solution entemps polynômialtemps polynômialet déterministe ! ! !et déterministe ! ! !



• Pourquoi est-ce un VERTEX COVER ?Pourquoi est-ce un VERTEX COVER ?




• C’en est un parce que les sommets en dehors de C’en est un parce que les sommets en dehors de V’ n’ont aucune arête en commun ! ! !V’ n’ont aucune arête en commun ! ! !





• Autrement dit, les arêtes absentes comportent Autrement dit, les arêtes absentes comportent une clique de taille | V | – | V’ | , c’est-à-dire n – k une clique de taille | V | – | V’ | , c’est-à-dire n – k ..






Considérons leConsidérons legraphe G’ quigraphe G’ qui

contient les arêtescontient les arêtesabsentes de G !absentes de G !








G’ possède alorsG’ possède alorsune clique deune clique detaille n – k .taille n – k .



• Pour un graphe avec n sommets, il est équivalent Pour un graphe avec n sommets, il est équivalent de de

– de trouver un VERTEX COVER de taille k oude trouver un VERTEX COVER de taille k ou

– de trouver une CLIQUE de taille n – k dans le de trouver une CLIQUE de taille n – k dans le graphe complémentaire.graphe complémentaire.






• Pour un graphe avec n sommets, il est équivalent Pour un graphe avec n sommets, il est équivalent de de

– de trouver un VERTEX COVER de taille k oude trouver un VERTEX COVER de taille k ou

– de trouver une CLIQUE de taille n – k dans le de trouver une CLIQUE de taille n – k dans le graphe complémentaire.graphe complémentaire.




La transformation estLa transformation estdéterministe etdéterministe etpolynômiale.polynômiale.




PPSATSAT

PP





et et VERTEX C.VERTEX C.PP PP




VERTEX COVER se réduit en SUBSET SUMVERTEX COVER se réduit en SUBSET SUM--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----• Nous avons :Nous avons :

– un ensemble S d’entiers naturels non nuls,un ensemble S d’entiers naturels non nuls,

– une constante k .une constante k .






• La question est la suivante :La question est la suivante :

– Pouvons-nous trouver un sous-ensemble de S Pouvons-nous trouver un sous-ensemble de S dont la somme vaut k ?dont la somme vaut k ?








S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 67 } et k = 105S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 67 } et k = 105








S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 69 } et k = 105S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 69 } et k = 105

OUI ! ! !OUI ! ! !








S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 69 } et k = 105S = { 13 , 17 , 23 , 41 , 65 , 69 } et k = 105

OUI ! ! !OUI ! ! !Une autre solution ! ! !Une autre solution ! ! !








• Le problème est dans Le problème est dans NPNP , car la vérification est , car la vérification est polynômiale et déterministe !polynômiale et déterministe !



----• Nous considérons une matrice d’adjacence :Nous considérons une matrice d’adjacence :




44

1122

33

55

11

22

33

44

55




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

L’arête b est incidenteL’arête b est incidenteaux sommets 1 et 2 !aux sommets 1 et 2 !




44

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00 Il y a deux occurrencesIl y a deux occurrencesde 1 sur chaque colonne !de 1 sur chaque colonne !

1122

L’arête b est incidenteL’arête b est incidenteaux sommets 1 et 2 !aux sommets 1 et 2 !




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11



---- aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11



----• Nous rajoutons uneNous rajoutons une matrice identité !matrice identité !

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

0000 00 00 00 110000 00 00 11 00

0000 00 11 00 00

0000 11 00 00 00

1100 00 00 00 00

0011 00 00 00 00




• Nous rajoutons uneNous rajoutons une colonne au début !colonne au début !

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00





• A lire en base 4, ilA lire en base 4, il n’y a pas de retenue !n’y a pas de retenue !

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

++

33 33 33 33 3333| V || V |






• Et les nombres sontEt les nombres sont tous différents !tous différents !

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

33 33 33 33 3333| V || V |

++= 1= 1= 4= 4

= 16= 16

= . . .= . . .

= x= x

= y= y







• Chaque ligne de laChaque ligne de la matrice donne unmatrice donne un nombre de S !nombre de S !

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

33 33 33 33 3333| V || V |

++= 1= 1= 4= 4

= 16= 16

= . . .= . . .

= x= x

= y= y



----Le graphe contient un VERTEX COVER de taille kLe graphe contient un VERTEX COVER de taille ksi nous pouvons choisir de telles lignes afinsi nous pouvons choisir de telles lignes afinque chaque colonne comporteque chaque colonne comporte2 occurrences de 1 !2 occurrences de 1 !

44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

VV




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

VV

{ 1 , 2 , 5 } est un VERTEX{ 1 , 2 , 5 } est un VERTEXCOVER de 3 sommets ! ! !COVER de 3 sommets ! ! !




44

1122

33

55aa

bb

cc

dd

ee

ff

aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

11

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

VV


16 mars 2007 Cours de graphes 7 - Intranet 146Soit k = k Soit k = k







aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

22 22 22 22 2222

++= 1= 1= 4= 4

= 16= 16

= . . .= . . .

= x= x

= y= y

SS VV

16 mars 2007 Cours de graphes 7 - Intranet 147Soit k = k Soit k = k







aa bb cc dd ee ff

11

22

33

44

55

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

22 22 22 22 2222

++= 1= 1= 4= 4

= 16= 16

= . . .= . . .

= x= x

= y= y

SS VV



----• Nous avons un Nous avons un

VERTEXVERTEX

COVER de taille k COVER de taille k ssissi

nous avons un nous avons un SUBSET SUBSET

SUM de valeur k .SUM de valeur k .

VV

SS




VERTEXVERTEX




VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00




VERTEXVERTEX




• Soit le VERTEX Soit le VERTEX COVER.COVER.

VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

k k VV



----• Nous avons un VERTEXNous avons un VERTEX

COVER de taille k ssiCOVER de taille k ssi

nous avons un SUBSET nous avons un SUBSET


• Soit le VERTEX COVER.Soit le VERTEX COVER.

• Chaque colonne comporte Chaque colonne comporte au moins une fois le au moins une fois le 1 ! ! ! Nous choisissons 1 ! ! ! Nous choisissons d’autres lignes pour d’autres lignes pour compléter à 2 !compléter à 2 !

VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

k = k k = k VV 22 22 22 22 2222SS









VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

k = k k = k VV 22 22 22 22 2222SS









VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

Nous avons une somme de k = k Nous avons une somme de k = k VV 22 22 22 22 2222SS







• Soit le SUBSET SUM.Soit le SUBSET SUM.

VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

k = k k = k VV 22 22 22 22 2222SS







• Soit le SUBSET SUM.Soit le SUBSET SUM.

• Nous en extrayons un Nous en extrayons un VERTEX COVER !VERTEX COVER !

VV

SS

11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00



----

U NU N

E X E M P L EE X E M P L E

N U M E R I Q U EN U M E R I Q U E



----11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

1 =1 =4 =4 =

16 =16 =

64 =64 =

256 =256 =

1024 =1024 =

5440 =5440 =

4356 =4356 =

4101 =4101 =

5136 =5136 =4177 =4177 =



----11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

1 =1 =4 =4 =

16 =16 =

64 =64 =

256 =256 =

1024 =1024 =

5440 =5440 =

4356 =4356 =

4101 =4101 =

5136 =5136 =4177 =4177 =

k = 15018 = 3 k = 15018 = 3 22 22 22 22 2222SS



----11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

1 =1 =4 =4 =

16 =16 =

64 =64 =

256 =256 =

1024 =1024 =

5440 =5440 =

4356 =4356 =

4101 =4101 =

5136 =5136 =4177 =4177 =

Le VERTEX COVERLe VERTEX COVER{ 1 , 2 , 5 } donne :{ 1 , 2 , 5 } donne :

544054404356435641774177

1144

161610241024

1501815018

k = 15018 = 3 k = 15018 = 3 SS 22 22 22 22 2222



----11

11

00

00

00

11

00

00

00

11

00

00

00

11

11

00

11

11

00

00

00

00

11

00

11

00 00 00 00 1100 00 00 11 00

00 00 11 00 00

00 11 00 00 00

11 00 00 00 00

00 00 00 00 00

11

00

00

11

00

0000

00

00

00

11

11

11

11

11

11

0000

00

00

00

00

1 =1 =4 =4 =

16 =16 =

64 =64 =

256 =256 =

1024 =1024 =

5440 =5440 =

4356 =4356 =

4101 =4101 =

5136 =5136 =4177 =4177 =

Le VERTEX COVERLe VERTEX COVER{ 2 , 4 , 5 } donne :{ 2 , 4 , 5 } donne :

435643565136513641774177

1144

6464256256

10241024

1501815018

k = 15018 = 3 k = 15018 = 3 SS 22 22 22 22 2222




PPSATSAT

PP









SUBSET SUM se réduit en 0-1 LINEAR PROG.SUBSET SUM se réduit en 0-1 LINEAR PROG.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------• Nous avons un n-uplet X de variables qui Nous avons un n-uplet X de variables qui

prennent 0 ou 1 comme valeurs.prennent 0 ou 1 comme valeurs.





• Nous avons p inéquations d’inconnue X :Nous avons p inéquations d’inconnue X :

a x + . . . + a x <= ba x + . . . + a x <= b1,11,1 11 1,n1,n nn 11

a x + . . . + a x <= ba x + . . . + a x <= bp,1p,1 11 p,np,n nn pp

. . .. . .






a x + . . . + a x <= ba x + . . . + a x <= b1,11,1 11 1,n1,n nn 11


. . .. . .Sous formeSous formematricielle :matricielle :

A X <= BA X <= B






• La question : Pouvons-nous trouver un vecteur La question : Pouvons-nous trouver un vecteur X qui satisfait toutes les inéquations ?X qui satisfait toutes les inéquations ?

a x + . . . + a x <= ba x + . . . + a x <= b1,11,1 11 1,n1,n nn 11



A X <= BA X <= B



--------------• Nous avons un n-uplet X de variables qui prennent 0 Nous avons un n-uplet X de variables qui prennent 0

ou 1 comme valeurs.ou 1 comme valeurs.


• La question : Pouvons-nous trouver un vecteur X qui La question : Pouvons-nous trouver un vecteur X qui satisfait toutes les inéquations ?satisfait toutes les inéquations ?

• Le problème est bien dans Le problème est bien dans NPNP ! !

a x + . . . + a x <= ba x + . . . + a x <= b1,11,1 11 1,n1,n nn 11



A X <= BA X <= B



--------------• Soit l’ensemble S = { s , . . . , s } de Soit l’ensemble S = { s , . . . , s } de

nombres et la constante k .nombres et la constante k .11 nn




nombres et la constante k .nombres et la constante k .

• Nous construisons les deux inégalités :Nous construisons les deux inégalités :

s x + . . . + s x <= ks x + . . . + s x <= k11 11 nn nn

11 nn

– – s x – . . . – s x <= – ks x – . . . – s x <= – k11 11 nn nn






s x + . . . + s x <= ks x + . . . + s x <= k11 11 nn nn Celles-ciCelles-ci

équivalent àéquivalent àune égalité !une égalité !

11 nn

– – s x – . . . – s x <= – ks x – . . . – s x <= – k11 11 nn nn

==

==






• La transformation est dans La transformation est dans PP . .



11 nn

– – s x – . . . – s x <= – ks x – . . . – s x <= – k11 11 nn nn

==

==



--------------• Soit l’ensemble S = { s , . . . , s } de nombres Soit l’ensemble S = { s , . . . , s } de nombres

et la constante k .et la constante k .


• La transformation est dans La transformation est dans PP . .

• Trivial : k peut être obtenue comme somme de Trivial : k peut être obtenue comme somme de nombres de S , si et seulement si, le système de nombres de S , si et seulement si, le système de programmation 0–1 admet une solution. programmation 0–1 admet une solution.



11 nn

– – s x – . . . – s x <= – ks x – . . . – s x <= – k11 11 nn nn

==

==




PPSATSAT

PP









SUBSET SUM se réduit en SET PARTITIONSUBSET SUM se réduit en SET PARTITION--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------• Le problème SET PARTITION consiste à savoir si un Le problème SET PARTITION consiste à savoir si un

ensemble S de nombres naturels peut être ensemble S de nombres naturels peut être décomposé en deux sous-ensembles de nombres décomposé en deux sous-ensembles de nombres de sommes égales. de sommes égales.



--------

S = { 17 , 37 , 48 , 70 , 76 }S = { 17 , 37 , 48 , 70 , 76 }

• Le problème SET PARTITION consiste à savoir si un Le problème SET PARTITION consiste à savoir si un ensemble S de nombres naturels peut être ensemble S de nombres naturels peut être décomposé en deux sous-ensembles de nombres décomposé en deux sous-ensembles de nombres de sommes égales. de sommes égales.



--------

S = { S = { 1717 , , 3737 , , 4848 , , 7070 , , 7676 } }

OUI ! ! !OUI ! ! !




--------

S = { S = { 1717 , , 3737 , , 4848 , , 7070 , , 7676 } }

OUI ! ! !OUI ! ! !


• Le problème est bien dans Le problème est bien dans NPNP ! !



--------• Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k

pour lesquels nous cherchons une solution à pour lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de S .S .





• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.PARTITION.





• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.PARTITION.

• Les deux problèmes sont équivalents.Les deux problèmes sont équivalents. La La transformationtransformation

est polynômiale et est polynômiale et déterministe.déterministe.



--------• Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k pour Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k pour

lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de S .Soit T la somme des éléments de S .

• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.



• Preuve ( => ) :Preuve ( => ) :

– Si A est un sous-ensemble de S de somme k , Si A est un sous-ensemble de S de somme k , alors son complément AC est de somme T–k .alors son complément AC est de somme T–k .




lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de S .la somme des éléments de S .

• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.nous cherchons une solution à SET PARTITION.

• Les deux problèmes sont équivalents.Les deux problèmes sont équivalents. La transformationLa transformation est polynômiale et déterministe.est polynômiale et déterministe.• Preuve ( => ) :Preuve ( => ) :

– Si A est un sous-ensemble de S de somme k , alors son Si A est un sous-ensemble de S de somme k , alors son complément AC est de somme T–k .complément AC est de somme T–k .

– Il suffit de choisir les ensembles B = A v { T–k+1 } et Il suffit de choisir les ensembles B = A v { T–k+1 } et BC = AC v { k+1 } pour avoir une solution à SET BC = AC v { k+1 } pour avoir une solution à SET PARTITION avec la somme identique T+1 .PARTITION avec la somme identique T+1 .




lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. lesquels nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de S .Soit T la somme des éléments de S .

• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.



• Preuve ( <= ) :Preuve ( <= ) :

– Soient B et BC une partition de Z en solution de Soient B et BC une partition de Z en solution de SET PARTITION. k+1 et T–k+1 ne figurent pas dans SET PARTITION. k+1 et T–k+1 ne figurent pas dans le même sous-ensemble.le même sous-ensemble.



--------• Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k pour lesquels Soit l’ensemble d’entiers S et la constante k pour lesquels

nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme nous cherchons une solution à SUBSET SUM. Soit T la somme des éléments de S .des éléments de S .

• Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous Soit l’ensemble Z = S v { k+1 , T–k+1 } pour lequel nous cherchons une solution à SET PARTITION.cherchons une solution à SET PARTITION.

• Les deux problèmes sont équivalents.Les deux problèmes sont équivalents. La transformationLa transformation est polynômiale et déterministe.est polynômiale et déterministe.• Preuve ( <= ) :Preuve ( <= ) :

– Soient B et BC une partition de Z en solution de SET Soient B et BC une partition de Z en solution de SET PARTITION. k+1 et T–k+1 ne figurent pas dans le même PARTITION. k+1 et T–k+1 ne figurent pas dans le même sous-ensemble.sous-ensemble.

– Si T–k+1 est dans B , il suffit de choisir A égal à B \ Si T–k+1 est dans B , il suffit de choisir A égal à B \ { T–k+1 } pour que A soit un sous-ensemble de S de { T–k+1 } pour que A soit un sous-ensemble de S de somme k et donc une solution à SUBSET SUM.somme k et donc une solution à SUBSET SUM.


Un problème curieuxUn problème curieux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I S O M O R P H I S M E SI S O M O R P H I S M E S

D ED E

G R A P H E SG R A P H E S



• Deux graphes sont-ils identiques à Deux graphes sont-ils identiques à (re-)nommage des sommets près ?(re-)nommage des sommets près ?




AA

BB

CCDD

EEGG

HH

IIJJ

KK




AA

BB

CCDD

EEGG

HH

IIJJ

KK

11 22

3355

44

6677

881010

99




A1A1

B2B2

C3C3D4D4

E5E5GG

HH

IIJJ

KK

A1A1 B2B2

C3C3E5E5

D4D4

6677

881010

99




A1A1

B2B2

C3C3D4D4

E5E5G6G6

H7H7

I8I8J9J9

K10K10

A1A1 B2B2

C3C3E5E5

D4D4

G6G6H7H7

I8I8K10K10

J9J9



• GRAPH ISOMORPHISM est bien-sûr dans GRAPH ISOMORPHISM est bien-sûr dans NPNP ! !




• On sait résoudre le problème dans On sait résoudre le problème dans PP pour de pour de nombreuses classes de graphes !nombreuses classes de graphes !





• On ne connaît aucun algorithme dans On ne connaît aucun algorithme dans PP qui qui résolve toutes les instances !résolve toutes les instances !






• On ne sait pas si GRAPH ISOMORPISM est dans On ne sait pas si GRAPH ISOMORPISM est dans PP ? ?







• On ne sait toujours pas si GRAPH ISOMORPHISM est On ne sait toujours pas si GRAPH ISOMORPHISM est NN––PP–complet ! ! !–complet ! ! !


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Problèmes NP-complets.Problèmes NP-complets.

• Réductions polynômiales.Réductions polynômiales.


m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

E ! ! !E ! ! !

N ‘ o U b L i E z P a S N ‘ o U b L i E z P a S d Ed E

p R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O sT D ! ! !T D ! ! !

16 mars 2007cours de graphes 7 - intranet1 cours de graphes problèmes np-complets. réductions...

Documents