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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 1
Cours de graphesCours de graphes
Les arbres et arborescences.Les arbres et arborescences.
Les arbres de recouvrement.Les arbres de recouvrement.
Les arbres de recouvrement minimaux.Les arbres de recouvrement minimaux.
Applications.Applications.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 2
Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours
•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphesColoriage de graphes•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 3
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Un arbre (non orienté) !Un arbre (non orienté) !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 4
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Un arbre (non orienté) !Un arbre (non orienté) !
Une arborescence (orientée) !Une arborescence (orientée) !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 5
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de entre toute paire de sommets.sommets.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 6
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de entre toute paire de sommets.sommets.
• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .léger, . . .
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 7
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de entre toute paire de sommets.sommets.
• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .léger, . . .
– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul un et un seul chemin orientéchemin orienté de la racine vers tout autre de la racine vers tout autre sommet.sommet.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 8
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de entre toute paire de sommets.sommets.
• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .léger, . . .
– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul un et un seul chemin orientéchemin orienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.
• D’abord, il n’y a qu’une seule racine !D’abord, il n’y a qu’une seule racine !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 9
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de sommets. entre toute paire de sommets.
• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .
– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul chemin un et un seul chemin orientéorienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.
• D’abord, il n’y a qu’une seule racine !D’abord, il n’y a qu’une seule racine !
• On n’a pas de chemins multiples,On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits !ni de circuits !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 10
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Définitions :Définitions :
– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de sommets. entre toute paire de sommets.
• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .
– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul chemin un et un seul chemin orientéorienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.
• D’abord, il n’y a qu’une seule racine !D’abord, il n’y a qu’une seule racine !
• On n’a pas de chemins multiples,On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits !ni de circuits !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 11
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 12
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 13
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.
• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 :
– Par absurde, s’il y avait des cycles . . .Par absurde, s’il y avait des cycles . . .
uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 14
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.
• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 :
– Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse !chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse !
uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 15
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.
• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : OK !OK !
• Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 :
– Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 16
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :
– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.
– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.
• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : OK !OK !
• Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 :
– Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse !cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse !
uu vv
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe,Connexe, sans cycles sans cycles
Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur la connexité !sur la connexité !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 19
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe,Connexe, sans cycles sans cycles
Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur la connexité !sur la connexité !
Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur l’absence de cycles !sur l’absence de cycles !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 20
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 21
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Définition :Définition :Un graphe est connexe, minimalUn graphe est connexe, minimals’il est connexe et n’a pas pluss’il est connexe et n’a pas plusd’arêtes qu’aucun autre graphed’arêtes qu’aucun autre grapheconnexe !connexe !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe, minimal => connexe, sans cycles :Connexe, minimal => connexe, sans cycles :
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe, minimal => connexe, sans cycles :Connexe, minimal => connexe, sans cycles :
Par absurde ! S’il y avait des cycles,Par absurde ! S’il y avait des cycles,nous pourrions enlever une arêtenous pourrions enlever une arêtesans casser la connexité.sans casser la connexité.Ceci est contraire à l’hypothèseCeci est contraire à l’hypothèseque le graphe est minimal !que le graphe est minimal !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 25
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal =>
=>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 26
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 27
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
>>
Les implicationsLes implicationsque nous allonsque nous allonsprouver !prouver !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Connexe, minimalConnexe, minimal
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Connexe, minimalConnexe, minimal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtreconnexe, il faut | V | connexe, il faut | V | -- 1 1
arêtes au moins !arêtes au moins !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Connexe, minimalConnexe, minimal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtreconnexe, il faut | V | connexe, il faut | V | -- 1 1
arêtes au moins !arêtes au moins !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Connexe, minimalConnexe, minimal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtreconnexe, il faut | V | connexe, il faut | V | -- 1 1
arêtes au moins !arêtes au moins !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !
- Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | -- 1 1 autres sommets, il faut au moins | V | autres sommets, il faut au moins | V | -- 2 arêtes. 2 arêtes.
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Connexe, minimalConnexe, minimal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtreconnexe, il faut | V | connexe, il faut | V | -- 1 1
arêtes au moins !arêtes au moins !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !
- Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | -- 1 1 autres sommets, il faut au moins | V | autres sommets, il faut au moins | V | -- 2 arêtes. 2 arêtes.
- Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !- Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
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=>
=>
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 34
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
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=>
=>
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Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 35
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
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=>
=>
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Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniques impliquent la connexité !- Les chemins uniques impliquent la connexité !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniques impliquent la connexité !- Les chemins uniques impliquent la connexité !
- Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nousIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniques impliquent la connexité !- Les chemins uniques impliquent la connexité !
- Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nousIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !
- Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête !Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête ! Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniquesRecommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !et a un sommet et une arête en moins !
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Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
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>>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 39
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 40
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 41
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 42
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Définition :Définition :Un graphe est sans cycles,Un graphe est sans cycles,maximal s’il est sans cycles etmaximal s’il est sans cycles etn’a pas moins d’arêtes qu’aucunn’a pas moins d’arêtes qu’aucunautre graphe sans cycles !autre graphe sans cycles !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 43
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 44
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :
Par absurde ! S’il y était nonPar absurde ! S’il y était nonconnexe, nous pourrions ajouterconnexe, nous pourrions ajouterune arête sans créer de cycle.une arête sans créer de cycle.Ceci est contraire à l’hypothèseCeci est contraire à l’hypothèseque le graphe est maximal !que le graphe est maximal !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 45
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
=>
=>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 46
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 47
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>>>Les implicationsLes implications
que nous allonsque nous allonsprouver !prouver !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 48
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 49
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtresans cycles, on peut avoirsans cycles, on peut avoir | V | | V | -- 1 arêtes au plus ! 1 arêtes au plus !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 50
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtresans cycles, on peut avoirsans cycles, on peut avoir | V | | V | -- 1 arêtes au plus ! 1 arêtes au plus !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet !- Trivial pour 1 sommet !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 51
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtresans cycles, on peut avoirsans cycles, on peut avoir | V | | V | -- 1 arêtes au plus ! 1 arêtes au plus !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet !- Trivial pour 1 sommet !
- Soit « u » un sommet de degré 1.Soit « u » un sommet de degré 1.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 52
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtresans cycles, on peut avoirsans cycles, on peut avoir | V | | V | -- 1 arêtes au plus ! 1 arêtes au plus !
Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :
- Trivial pour 1 sommet !- Trivial pour 1 sommet !
- Soit « u » un sommet de degré 1.Soit « u » un sommet de degré 1.
- Les | V | Les | V | -- 1 autres sommets comportent au plus | V | 1 autres sommets comportent au plus | V | -- 2 arêtes. 2 arêtes.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 53
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
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=>
=>
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 54
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
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=>
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Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 55
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
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Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniquesLes chemins uniques interdisent les cycles !interdisent les cycles !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 56
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniquesLes chemins uniques interdisent les cycles !interdisent les cycles !
- Il existe au moins unIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 !sommet « u » de degré 1 !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 57
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniquesLes chemins uniques interdisent les cycles !interdisent les cycles !
- Il existe au moins unIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 !sommet « u » de degré 1 !
- Enlevez ce sommet et son arête !- Enlevez ce sommet et son arête !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 58
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>
Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
- Les chemins uniquesLes chemins uniques interdisent les cycles !interdisent les cycles !
- Il existe au moins unIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 !sommet « u » de degré 1 !
- Enlevez ce sommet et son arête !- Enlevez ce sommet et son arête !
- Recommencez pour le graphe- Recommencez pour le graphe restant qui est à cheminsrestant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !uniques et a un sommet et une arête en moins !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 59
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
=>
=>
=>
=>>>
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 60
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 61
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Nous n’avons pas la connexitéNous n’avons pas la connexité
avec moins de | V | avec moins de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 62
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Nous n’avons pas la connexitéNous n’avons pas la connexité
avec moins de | V | avec moins de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Nous n’avons pas l’absence de cyclesNous n’avons pas l’absence de cycles
avec plus de | V | avec plus de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 63
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Nous n’avons pas la connexitéNous n’avons pas la connexité
avec moins de | V | avec moins de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons avoir des cycles !avoir des cycles !
Nous n’avons pas l’absence de cyclesNous n’avons pas l’absence de cycles
avec plus de | V | avec plus de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité !ne pas avoir la connexité !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 64
Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles
Connexe, minimalConnexe, minimal
Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Sans cycles, maximalSans cycles, maximal
Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
Nous n’avons pas la connexitéNous n’avons pas la connexité
avec moins de | V | avec moins de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons avoir des cycles !avoir des cycles !
Nous n’avons pas l’absence de cyclesNous n’avons pas l’absence de cycles
avec plus de | V | avec plus de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes
. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité !ne pas avoir la connexité !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 65
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 66
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 67
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 68
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 69
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !
– Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 70
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !
– Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !
– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !par hypothèse les propriétés !
uu
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 71
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !
– Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !
– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !hypothèse les propriétés !
– Il en sera de même pour tout le graphe.Il en sera de même pour tout le graphe.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 72
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.
– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.
– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.
– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.
• Preuve :Preuve :
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !
– Nous enlevons « u » et l’arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’arc ( x , u ) qui l’atteint !
– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !hypothèse les propriétés !
– Il en sera de même pour tout le graphe.Il en sera de même pour tout le graphe.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 73
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 74
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.connexité.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 75
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.connexité.
• Tout arbre peut être transformé en arborescence en Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !nous laissant le choix de la racine !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 76
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.connexité.
• Tout arbre peut être transformé en arborescence en Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !nous laissant le choix de la racine !
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 77
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.connexité.
• Tout arbre peut être transformé en arborescence en Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !nous laissant le choix de la racine !
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.arête ( u , v ) en arc.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 78
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.
• Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !laissant le choix de la racine !
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.v ) en arc.
– Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.« v » comme racine.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 79
Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !
– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.
– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.
– La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.
• Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !laissant le choix de la racine !
– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !
– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.v ) en arc.
– Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.« v » comme racine.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 80
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 81
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !
– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !
– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !
– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 82
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !
– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !
– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !
– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 83
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !
– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !
– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !
– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général ! Un arbre deUn arbre de
recouvrement !recouvrement !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 84
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !
– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !
– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !
– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général ! Un arbre deUn arbre de
recouvrement !recouvrement !
Un autre arbre deUn autre arbre derecouvrement !recouvrement !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 85
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.
– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !
– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !
– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !
– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général ! Un arbre deUn arbre de
recouvrement !recouvrement !
Un autre arbre deUn autre arbre derecouvrement !recouvrement !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 86
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :
– Tant que le graphe contient un cycle :Tant que le graphe contient un cycle :
– Enlever une des arêtes du cycle !Enlever une des arêtes du cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 87
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :
– Tant que le graphe contient un cycle :Tant que le graphe contient un cycle :
– Enlever une des arêtes du cycle !Enlever une des arêtes du cycle !
• Complexité :Complexité :
– Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes !Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes !
– Trouver un cycle est en O ( | E | ) !Trouver un cycle est en O ( | E | ) !
– D’où O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) !D’où O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) !
– C’est beaucoup ! ! !C’est beaucoup ! ! !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 88
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 89
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :
– Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 90
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :
– Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !
– Si sa suppression ne casse pas la connexité entre Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) ::
• nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 91
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :
– Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !
– Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) :sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) :
• nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !
– Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre « u » et « v », alors :« u » et « v », alors :
• nous calculons les AR des composantes connexes de nous calculons les AR des composantes connexes de « u » et de « v »« u » et de « v »
• et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin !et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 92
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 93
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 94
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 95
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbres de recouvrement !Arbres de recouvrement !
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 96
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbre de recouvrement global !Arbre de recouvrement global !
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 97
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbre de recouvrement global !Arbre de recouvrement global !
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 98
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :
• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :
uu vv
CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbre de recouvrement global !Arbre de recouvrement global !
uu vv
Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 99
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 100
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 101
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 102
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».SS V \ SV \ S
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 103
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».SS V \ SV \ S
AA
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 104
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :« S » et une dans « V \ S » :
SS V \ SV \ S
AA
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 105
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :une dans « V \ S » :
– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et
SS V \ SV \ S
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 106
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :une dans « V \ S » :
– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et
SS V \ SV \ S
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 107
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :une dans « V \ S » :
– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et
A <A <-- A v { ( u , v ) } et S < A v { ( u , v ) } et S <-- S v { v } S v { v }
SS V \ SV \ S
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 108
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :
– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités
– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».
• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :une dans « V \ S » :
– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et
A <A <-- A v { ( u , v ) } et S < A v { ( u , v ) } et S <-- S v { v } S v { v }
SS V \ SV \ S
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 109
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’initialisation :L’initialisation :
– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :Nous choisissons un sommet « u » au hasard :
S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 110
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’initialisation :L’initialisation :
– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :Nous choisissons un sommet « u » au hasard :
S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }
• Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :
– Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 111
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’initialisation :L’initialisation :
– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :Nous choisissons un sommet « u » au hasard :
S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }
• Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :
– Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !
• Lorsque S = E , nous avons notre arbre de Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !recouvrement !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 112
Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’initialisation :L’initialisation :
– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :Nous choisissons un sommet « u » au hasard :
S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }
• Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :
– Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !
• Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !
• La complexité est en La complexité est en ( | V | ) , car nous devons choisir | V ( | V | ) , car nous devons choisir | V | | -- 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons ! 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 113
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.minimal.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 114
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.minimal.
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Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.minimal.
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Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 53 !de poids 53 !
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Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.
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Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 53 !de poids 53 !
Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 35 !de poids 35 !
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Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.
• L’algorithme de Prim !L’algorithme de Prim !
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
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Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 53 !de poids 53 !
Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 35 !de poids 35 !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 118
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.
• L’algorithme de Prim !L’algorithme de Prim !
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
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Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 53 !de poids 53 !
Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 35 !de poids 35 !
L’arbre de recouvrementL’arbre de recouvrementminimal sera abrégé en ARM !minimal sera abrégé en ARM !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 119
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 120
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
• Le cas général :Le cas général :
– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !
SS V \ SV \ S
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 121
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
• Le cas général :Le cas général :
– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !
L’ARM : AL’ARM : A
SS V \ SV \ S
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 122
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
• Le cas général :Le cas général :
– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !
• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :V \ S :
SS V \ SV \ S
L’ARM : AL’ARM : A
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 123
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
• Le cas général :Le cas général :
– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !
• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :V \ S :
– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal etTrouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et
SS V \ SV \ S
L’ARM : AL’ARM : A
uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 124
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :
– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }
• Le cas général :Le cas général :
– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !
• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :V \ S :
– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal etTrouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et
S <S <-- S v { v } et A < S v { v } et A <-- A v { ( u , v ) } A v { ( u , v ) }
SS V \ SV \ S
L’ARM : AL’ARM : A
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 125
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 126
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 127
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 128
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 129
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 130
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 131
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Un exemple :Un exemple :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 132
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Complexité :Complexité :
O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 133
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Complexité :Complexité :
O ( O ( | V || V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )
Il y a | V | - 1Il y a | V | - 1arêtes à choisir !arêtes à choisir !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 134
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Complexité :Complexité :
O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) * log ( | V | * D ( G ) ) )
Il y a | V | - 1Il y a | V | - 1arêtes à choisir !arêtes à choisir !
Lorsque nous traitons « v » , il peutLorsque nous traitons « v » , il peuty avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesy avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesarêtes avec une extrémité dans « S »arêtes avec une extrémité dans « S »et l’autre dans « V \ S » !et l’autre dans « V \ S » !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 135
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Complexité :Complexité :
O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * * log ( | V | * D ( G ) )log ( | V | * D ( G ) ) ) )
Il y a | V | - 1Il y a | V | - 1arêtes à choisir !arêtes à choisir !
Lorsque nous traitons « v » , il peutLorsque nous traitons « v » , il peuty avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesy avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesarêtes avec une extrémité dans « S »arêtes avec une extrémité dans « S »et l’autre dans « V \ S » !et l’autre dans « V \ S » !
Recherche par dichotomie, etc,Recherche par dichotomie, etc,parmi | V | * D ( G ) éléments !parmi | V | * D ( G ) éléments !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 136
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Complexité :Complexité :
O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * * log ( | V | * D ( G ) )log ( | V | * D ( G ) ) ) )
Il y a | V | - 1Il y a | V | - 1arêtes à choisir !arêtes à choisir !
Lorsque nous traitons « v » , il peutLorsque nous traitons « v » , il peuty avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesy avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesarêtes avec une extrémité dans « S »arêtes avec une extrémité dans « S »et l’autre dans « V \ S » !et l’autre dans « V \ S » !
Recherche par dichotomie, etc,Recherche par dichotomie, etc,parmi | V | * D ( G ) éléments !parmi | V | * D ( G ) éléments !
Nous pouvons préciser en :Nous pouvons préciser en :O ( | E | * log ( | E | ) )O ( | E | * log ( | E | ) )
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 137
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 138
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !
uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 139
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
uu vv
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 140
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !moins aussi lourde que ( u , v ) !
uu vv
xx
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 141
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !moins aussi lourde que ( u , v ) !
– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !v ) !
uu vv
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 142
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !aussi lourde que ( u , v ) !
– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !v ) !
• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.fait l’ARM est minimal par hypothèse.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 143
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !lourde que ( u , v ) !
– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !
• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.minimal par hypothèse.
• Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !de recouvrement minimaux ! ! !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 144
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :
– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !
– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !
– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !lourde que ( u , v ) !
– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !
• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.minimal par hypothèse.
• Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !de recouvrement minimaux ! ! !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 145
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 146
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 147
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 148
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 149
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 150
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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55 77 1212 1717
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 151
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 31 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 152
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :
{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }2727
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Poids : 0Poids : 0
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 153
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :
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Poids : 5Poids : 5
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Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :
{ 1 , 2 , 4 }{ 1 , 2 , 4 } , { 3 } , { 5 } , { 6 } , { 3 } , { 5 } , { 6 }2727
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 155
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
11
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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :
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Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )
– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 157
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
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– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !
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• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,
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• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !
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• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !
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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :
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Poids : 56Poids : 56
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 161
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Synthèse : Synthèse :
– L’arbre de recouvrement en L’arbre de recouvrement en ( | V | ) ! ( | V | ) !
– L’arbre de recouvrement minimal en L’arbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | ( | E | * log ( | E | ) ) !E | ) ) !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 162
Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Synthèse : Synthèse :
– L’arbre de recouvrement en L’arbre de recouvrement en ( | V | ) ! ( | V | ) !
– L’arbre de recouvrement minimal en L’arbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | ( | E | * log ( | E | ) ) !E | ) ) !
• Pour les graphes orientés :Pour les graphes orientés :
– . . . en travaux dirigés !. . . en travaux dirigés !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 163
ApplicationsApplications----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 164
ApplicationsApplications----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
ParisParisRennesRennes
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 165
ApplicationsApplications----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
ParisParisRennesRennes
BordeauxBordeaux
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LesLesligneslignesenvisagées !envisagées !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 166
ApplicationsApplications----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
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• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
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• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
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L’ARM coûte 670 !L’ARM coûte 670 !
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• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :
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• Réalisation d’un circuit de voyageur de Réalisation d’un circuit de voyageur de commerce : commerce :
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• Réalisation d’un circuit de voyageur de Réalisation d’un circuit de voyageur de commerce : commerce :
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• Réalisation d’un circuit de voyageur de Réalisation d’un circuit de voyageur de commerce : commerce :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 187
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 188
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 189
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 190
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• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !minimisons !
– L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 191
Variantes d’arbres de recouvrementVariantes d’arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !minimisons !
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Variantes d’arbres de recouvrementVariantes d’arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
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28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 193
Variantes d’arbres de recouvrementVariantes d’arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !
– L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !
• Nous pouvons maximiser sur l’ensemble des AR-GE et chercher Nous pouvons maximiser sur l’ensemble des AR-GE et chercher l’arbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !l’arbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !
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• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !
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• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :
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SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les arbres et arborescences.Les arbres et arborescences.
Les arbres de recouvrement.Les arbres de recouvrement.
Les arbres de recouvrement minimaux.Les arbres de recouvrement minimaux.
Applications.Applications.
28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 197
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