(152~191)기초수학2단원 2014.1.27 9:34 pm 페이지152 mac02...

(152~191)기초수학2단원 2014.1.27 9:34 PM 페이지152 mac02 T

방정식과함수

우리가먼곳을여행할때이용하는열차에는

수많은방정식과함수가숨어있다.

1.`일

차방정식과

일차함수

2.`이

차방정식과

이차함수

y=3x일때, 다음표를완성하여라.정비례 1

|준 |비 |학 |습 |

초등

x

y

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

일차방정식의

풀이2 다음일차방정식을풀어라.

⑴ 2x-3=9 x=6 ⑵ x-7=4(x+2) x=-5

⑶ 0.1x-1.8=0.6x+0.2 x=-4 ⑷ - =-1 x=23x-2111

25x-2111

8

중①

다음식을전개하여라.

⑴ (x+3)¤ x¤ +6x+9 ⑵ (x-4)¤ x¤ -8x+16

⑶ (x+7)(x-7) x¤ -49 ⑷ (x+2)(x+6) x¤ +8x+12

곱셈공식 3중②


1. 일차방정식과일차함수

①이차방정식의뜻을알게한다.

②이차방정식의근의공식을알게한다.

③이차함수의뜻을알게한다.

④이차함수의그래프를그리고, 그성질을이해하게한다.

⑤이차함수의최댓값, 최솟값을구할수있게한다.

2. 이차방정식과이차함수

154 각론

①일차방정식과일차함수의뜻을알게한다.

②순서쌍과좌표를이해하고, 일차함수의그래프를그릴수있게한다.

③등식의성질을이해하고일차방정식을풀수있게한다.

④미지수가두개인연립일차방정식을풀수있게한다.

⑤부등식의성질을이해하고일차부등식을풀수있게한다.

⑥연립일차부등식을풀수있게한다.

단원의지도목표

①대입법, 가감법및두일차함수의그래프를통하여연립일차방정식의해를구할수있게한다.

②이차방정식은실근을가지는경우만다룬다.

③이차방정식의해와이차함수의그래프사이의관계는다루지않는다.

④이차함수의최댓값과최솟값을구할때변수의범위가제한된경우는다루지않는다.

⑤공학적도구를활용하여, 함수의그래프를그리고다양한상황을해석할수있게한다.

⑥방정식과부등식을활용하여간단한실생활문제를해결해보게한다.

⑦대입법, 가감법용어는교수·학습상황에서다루어질수있다.

교수·학습상의유의점

교수·학습의계열

본단원 후속학습

[수학Ⅰ]

복소수와이차방정식

이차방정식과이차함수

여러가지방정식

여러가지부등식

직선의방정식

[수학Ⅱ]

함수

유리함수와무리함수

1. 일차방정식과일차함수

일차방정식

일차함수의뜻과그래프

일차함수의그래프의성질

미지수가 2개인일차방정식

연립일차방정식과그해

연립일차방정식의풀이

부등식과그해

부등식의성질

일차부등식의풀이

연립일차부등식

2. 이차방정식과이차함수

이차방정식과그해

이차방정식의풀이

이차함수의뜻

이차함수 y=ax¤의그래프

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프

이차함수의그래프의성질


단원의차시별지도계획

소단원 차시중단원 교과서(쪽) 지도내용 용어와기호

1. 일차방정식과

일차함수

2. 이차방정식과

이차함수

중단원도입 98

96~97 •단원의개관 •준비학습

•귀뚜라미

•방정식과등식의성질

•일차방정식과그풀이

•일차함수

•수직선과좌표평면위의점

•함수의그래프

•일차함수 y=ax+b의그래프

•x절편과 y절편

•일차함수의그래프그리기

•기울기와그래프사이의관계

•일차함수의식

•미지수가 2개인일차방정식과그해

•미지수가 2개인연립일차방정식과그해

•연립일차방정식의풀이

•컴퓨터의활용

•부등식과그해

•부등식의기본성질

•일차부등식과그풀이

•연립일차부등식과그풀이

•정리확인학습

•황금비

•이차방정식과그해

•인수분해, 제곱근, 완전제곱식을이용

한풀이

•근의공식을이용한풀이

•이차함수의뜻

•이차함수 y=ax¤의그래프

•이차함수 y=ax¤ +q의그래프

•이차함수 y=a(x-p)¤의그래프

•이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프

•이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

•이차함수의식구하기

•이차함수의최댓값과최솟값

•정리확인학습

•대단원평가문제 •컴퓨터의활용

단원의개관

일차함수, 좌표, 순서쌍, x축,

y축, 좌표축, 원점, x좌표, y좌

표, 좌표평면, 함수의 그래프,

평행이동, x절편, y절편, 기울

기, y=f(x), f(x)

미지수, 해, 근, 항등식, 이항,

일차방정식

연립일차방정식

부등식

일차부등식


이차방정식

완전제곱식, 중근, 근의공식

이차함수

포물선, 축, 꼭짓점

최댓값, 최솟값

01 일차방정식 99~106

1~4

02 일차함수의뜻과

그래프107~1255~10

단원마무리 200~20339

03 일차함수의

그래프의성질126~13211~12

04 미지수가 2개인일차방정식

133~13413

05 연립일차방정식

과그해135~13714


의풀이138~14815~18

07 부등식과그해 149~15119

08 부등식의성질 152~15420

09 일차부등식의풀이 155~16021~22

10 연립일차부등식 161~16423~24

중단원마무리 16525

중단원도입 16626

01 이차방정식과그해 167~168

02 이차방정식의

풀이169~17827~30

03 이차함수의뜻 179~18131

04 이차함수 y=ax¤

의그래프182~18632~33

05 이차함수

y=a(x-p)¤ +q의

그래프

187~19234~35

06 이차함수의

그래프의성질193~19836~37

중단원마무리 19938

Ⅱ. 방정식과함수 155


156 각론

단원의이론적배경

고대 이집트나 바빌로니아 수학의 기록을 살펴보면

미지수를 설정하여 방정식을 만들고, 그 방정식을

풀어미지수를구하는방법이나타나있다. 즉, 고대이

집트의파피루스에‘어떤수의 와그수의 과

을 더하면 33이 된다. 그 수는 얼마인가?’라는 일차방

정식문제가기록되어있는것을볼수있다.

그이후인도의아리아바타(Aryabhata ; 476~550)

는 부정방정식의 해법을 체계화하였고 브라마굽타

(Brahmagupta ; 598~?665)는 오늘날의 근의 공식

과 비슷한 이차방정식의 일반적인 풀이법을 설명하였

다. 아라비아의 수학자 알콰리즈

미(Al-Khwarizmi ; ?780~?

850)는 그의 저서에서 모든 유형

의 이차방정식에 대한 일반적인

풀이법을설명하였다.

이차방정식의해법은 이미그리스 시대 이전부터나

타나기시작했지만삼차이상의방정식에관한해법은

16세기가되어서야대수적인해법이등장하였다. 삼차

방정식의 기하학적인 해법은 이미 11세기에 아라비아

의 시인이자 수학자인 오마르 카얌(Omar

Khayyam ; 1048~1131)에 의하여 나타났다. 삼차

방정식의대수적인해법은 16세기중엽에이르러이탈

리아의 수학자 타르탈리아(Tartaglia, N.

F. ; 1499~1557)와 허수를 발견한 카르다노

(Cardano, G. ; 1501~1576)에 의하여 해결되었고,

카르다노의 제자 페라리(Ferrari, L. ; 1522~1565)

에의하여사차방정식의해법이연구되었다.

삼차방정식과 사차방정식의 해법이 해결되자 많은

수학자들이 오차방정식의 해법에 대하여 연구하기 시

317

112

213

작하였다. 그러나 19세기 초 노르웨이의 수학자 아벨

(Abel, N. H. ; 1802~1829)은‘오차이상의방정식

에는그계수에사칙연산과근호만을사용하여해를얻

을수있는근의공식은존재하지

않는다.’는 결론을 내렸고, 갈루

아(Galois, É. ; 1811~1832)는

군의 개념을 도입하여 대수방정

식의 해법 이론을 일반적으로 해

석하였다.

기호의 사용이대수적인 사고를보다 치밀하고 효과

적으로해준다는의식아래, 15세기말부터 17세기초

까지 대수학을 기호화하고자 하는 압력이 수학자들에

게 많이 가해졌다. 그리하여 많은 대수 기호들이 등장

하게 된다. 17세기 초에는 이미 문자를 사용하는 식이

많이 쓰여지고 있었으므로 당시의 대수학은 자연스럽

게부등식의표현을필요로하게되었다.

현재 사용되고 있는 부등호

>, <를 최초로 사용한 사람은

영국의 해리엇(Harriot, T. ;

1560~1621)이다. 이 기호는그

의 사후에 출판된 책“해석술의

연 습 (Artis Analyticae

Praxis)”에나타나있다. 이책은그이전의어느책보

다도기호사용에진전을보이고있었고, 그결과널리

사용되었다. 당시 영국에서는 오트레드(Oughtred,

W. ; 1574~1660)가 >, <에 해당하는 기호로 각각

, 를 사용하였으나, 이 기호는 대칭이 아니어

서기억하기어려웠고자주혼동되었다. 실제로오트레

드도그기호를혼동해서사용하였다. 등호와부등호가

1.방정식의역사

알콰리즈미

갈루아

2.부등식의역사

해리엇



결합된 현재의 기호 æ , …는 프랑스의 부게르

(Bouguer, P. ; 1698~1758)가사용하였다.

‘함수의 개념의 근원은 언제부터인가?’하는 문제에

대해 많은 사람들의 주장이 엇갈린다. 여러 학자들의

주장을간략하게정리해보면다음과같다.

벨(Bell, E. T. ; 1883~1960)은 고대 바빌로니아

사람들이대응표를사용함으로써함수의개념이시작되

었다고주장하였다.

페데레센(Pederesen, O.)은“Almagest”라는 중

세초의천문학서에보면집합과집합사이의원소들을

대응시킨예가많이나오는데함수라는말을사용하지

않았을뿐이지명백하게함수인예들이고이때부터함

수의근원이시작되었다고주장하였다.

유시케비치(Youschkevitch, A. P. ; 1906~

1993)는 고대의 수학에서는 함수의 개념이 변수의 값

과 같은 일반적인 형태로 나타나지 않았고, 14세기에

들어와서야 비로소 옥스퍼드와 파리의 자연주의 철학

자학교에서처음으로나타났다고하였다. 그러나오늘

날우리가사용하고있는함수의개념과는다소거리가

있고, 17세기 전반기에 가서야 함수에 대한 새로운 해

석이시작되었다고주장하였다.

스미스(Smith, D. E.)는함수의아이디어는데카르트

(Descartes, R. ; 1596~1650)가 순서쌍을 표현하는

방법을고안해냄으로써처음으로시작되었다고주장하

였다.

함수라는 용어를 최초로

사용한 사람은 라이프니츠

(Leibniz, G. W. ; 1646

~1716)인데 곡선 위의 점

들의 좌표, 곡선의 기울기와

같은 임의의 양을 표시하기

위해서사용하였다. 즉, 두 변수 x, y가있어서 x의값

의 변화에 따라 y의 값이 정해지면 y를 x의 함수라고

정의하였다.

1718년베르누이 (Bernoulli, J. ; 1654~1705)는

변수와어떤상수로이루어진임의의식을함수로정의

하였고, 그보다약간뒤에오일러(Euler, L. ; 1707~

1783)는 변수와 상수를 포함하는 임의의 방정식 또는

공식을함수로간주하였다.

‘f(x)’라는 표현은 오일러

에 의하여 처음으로 사용되었

다. 함수에 대한 오일러의 개

념은 1807년에 푸리에

(Fourier, J. B. J. ; 1768

~1830)가 열전도에 대한 고

찰에서 삼각급수를 생각하기 전까지 계속 수학계에서

사용되었다.

그 후 디리클레(Dirichlet, J. P. G. L. ; 1805~

1859)에의해다음과같은현대적인함수개념의형식

화에도달하였다.

‘변수는수집합의임의의원소를나타낸다. 만일두

변수 x, y에대해서 x에어떤값이주어질때마다어떤

법칙이나 대응에 의해서 y의 값이 자동적으로 정해지

는어떤관계가있으면 y를 x의함수라고한다.’

나중에 미적분학의 도입 과정에서 디리클레의 함수

개념이제시되는것이전통이되어왔다. 그러나그정

의는 매우 광범위한 것이고 해석적인 것과 같은 식에

의해서 x와 y 사이의관계를표현할수있는어떠한사

항도 고려하고 있지 않다. 즉, 이것은 두 집합 사이의

관계에대한기본적인생각만을강조하고있을뿐이다.

함수의 개념은 수학의 많은 분야에 보급되었으며,

20세기 초반 이후에 많은 영향력 있는 수학자들이 초

등수학의조직화에있어서통합적이고중심적인원리

로서함수개념의사용을옹호했다.

3.함수의역사

라이프니츠

푸리에


158 각론

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

모둠학습을위한소집단

을사전에편성한다.

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅱ.방정식과함수

1. 일차방정식과일차함수 1-1 일차방정식 1/39

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

준비학습을이용하여이번단원의학습에필요한기초개념을간단히확인, 점검한다.

중단원 도입 글을 읽고, 단원 과제를 발문하여 이번 단원을 학습하면서 이 과제를

해결할수있음을암시한다.

이번차시의학습목표를제시한다.

•방정식의해, 미지수, 항등식의뜻을알수있다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

생각열기를읽고, 탐구활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 보충 설명을한다.

학습내용설명

•방정식

⑴방정식: x의값에따라참이되기도하고, 거짓이되기도하는등식을 x에대

한방정식이라고한다.

⑵미지수: 방정식에서사용되는문자 x

⑶해또는근: 방정식을참이되게하는미지수 x의값

⑷방정식의해또는근을구하는것을방정식을푼다고한다.

•항등식

x가어떤값을가지더라도항상참이되는등식을 x에대한항등식이라고한다.

예제01을풀게한다.

문제 1, 2, 3번을 풀게한다.

정답을확인하고, 보충 설명을한다.

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•등식의성질에대하여알아본다.

방정식의해, 미지수, 항등식의뜻을알수있다.

쪽수

차시

교과서96~100쪽



교수·학습활동 교수·학습상의유의점

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅱ.방정식과함수

1. 일차방정식과일차함수 1-1 일차방정식 2/39

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

이전에학습한내용을간단히확인, 점검한다.

학습동기유발을위한발문을한다.

예⃝ 윗접시저울의양접시에 100 g짜리추가각각놓여있을때왼쪽접시에 50 g짜

리추를추가로올려놓았다고하자. 윗접시저울의오른쪽접시에몇 g짜리추를

올려야평형을이루게되는지말하여보자.

이번차시의학습목표를제시한다.

•등식의성질을이해할수있다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

생각열기를읽고, 탐구활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 보충설명을한다.

학습내용설명

•등식의성질

a=b이면

⑴ a+c=b+c: 등식의양변에같은수를더하여도등식은성립한다.

⑵ a-c=b-c: 등식의양변에서같은수를빼어도등식은성립한다.

⑶ ac=bc: 등식의양변에같은수를곱하여도등식은성립한다.

⑷ ;cA;=;cB; (단, c+0): 등식의양변을 0이아닌같은수로나누어도등식은성립한다.

예제 02를 설명한다.

문제 4번을풀게한다.

정답을확인하고, 보충 설명을한다.

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•일차방정식에대하여알아본다.

등식의성질을이해할수있다.

쪽수

차시

교과서 101~102쪽

모둠학습을위한소집단

을사전에편성한다.


교과서 98 쪽

귀뚜라미

귀뚜라미는울음소리때문에가을을알려주는전령사로알려져있다. 이울음소리는수컷이암컷

을부르기위한종족보존의수단인데, 각각의종마다그소리가다르다. 수컷은오른쪽앞날개를왼

쪽앞날개위에올려놓고비벼서소리를내는데, 오른쪽앞날개밑면에는까칠까칠한줄처럼생긴

날개맥이있고왼쪽앞날개윗면에는발톱처럼생긴돌기가있어마찰을일으킨다. 이러한앞날개의

형태가종마다다르기때문에울음소리가달라진다.

귀뚜라미가우는횟수는기온에따라달라진다고한다. 미국의과학자돌베어(Dolbear, A. E. ;

1837~1910)는기온이x æ일때 1분동안귀뚜라미가우는횟수는

{ x-32}회

라고하였다.<출처: 두산백과사전두피디아(http://www.doopedia.co.kr,

Evans, H. E., 곤충의 행성, 사계절출판사, 1999>

36125

1

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 106`쪽

귀뚜라미가 1분동안우는횟수를세어보면현재기온을알수있을까?

일차방정식과일차함수

160 각론

1 일차방정식과일차함수

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 일차방정식과 일차함수의 뜻을 알게 한다.

② 순서쌍과 좌표를 이해하고, 일차함수의 그래

프를 그릴 수 있게 한다.

③ 등식의 성질을 이해하고 일차방정식을 풀 수

있게 한다.

④ 부등식의 성질을 이해하고 일차부등식을 풀

수 있게 한다.

⑤ 미지수가 두 개인 연립일차방정식을 풀 수 있

게 한다.

⑥ 연립일차부등식을 풀 수 있게 한다.

중단원을 시작하며

중단원의 구성

소단원명소단원명

지도 내용지도 내용

01 일차방정식

02 일차함수의 뜻

과 그래프

방정식과 등식의 성질

일차방정식과 그 풀이

일차함수

수직선과 좌표평면 위의 점

함수의 그래프

일차함수 y=ax+b의 그래프

x절편과 y절편

일차함수의 그래프 그리기

기울기와 그래프 사이의 관계

일차함수의 식

미지수가 2개인 일차방정식과 그 해

미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해

연립일차방정식의 풀이

컴퓨터의 활용

귀뚜라미가 우는 횟수, 온도에 따른 소리의

속도와같은자연현상의숨은원리나실생활

의여러가지문제를식으로간단하게표현하

면 결과를 정확하게 예측하거나 문제를 쉽게 해결할 수

있다.

이 단원에서는 일차방정식, 연립일차방정식, 일차함수,

일차함수의그래프를자연현상이나사회현상등에적용

하고, 문제를해결하는능력을기를수있도록지도한다.

들어가면서

04 미지수가 2개인

일차방정식


과 그 해


의 풀이

03 일차함수의 그

래프의 성질

부등식과 그 해

부등식의 기본 성질

일차부등식과 그 풀이

연립일차부등식과 그 풀이

정리 확인 학습중단원 마무리

07 부등식과 그 해

08 부등식의 성질

09 일차부등식의

풀이

10 연립일차부등식



교과서 99 쪽

방정식이란 무엇인가?

아메스파피루스

“아메스 파피루스”는 기원전 1650년경에 만들어진 것으로

추정되는 세계에서 가장 오래된 수학 책이다. 이 책에 실린

87개의수학문제중에는알지못하는값인‘아하’를구하는

‘아하문제’가포함되어있다.

탐구 활동 다음물음에답하여보자.

1. 다음을식으로나타내어보자.

2. 다음문장의‘아하’에여러가지수를대입하여‘아하’를구하여보자.

생각 열기

탐구 활동 1에서‘아하’를 x라고 하면 등식 3x+2=11은 x=3이면 참이 되고,

x=2이면거짓이된다.

이와같이 x의값에따라참이되기도하고, 거짓이되기도하는등식을 x에대한

방정식이라고한다. 이때문자 x를미지수라하고, 방정식을참이되게하는미지수

x의값을그방정식의해또는근이라고한다. 또방정식의해를구하는것을방정식

을푼다고한다.

‘아하’의 3배에 2를더하면 11이다.

‘아하’와‘아하’의 의합은 24이다.117

미지수를 x로 처음 나타낸

사람은프랑스의데카르트

(Descartes, R. ; 1596~1650)

이다.

01●일차방정식의뜻을안다.

●등식의성질을이해하고일차방정식을풀수있다.

일차방정식

01 일차방정식

① 방정식과 그 해의 의미를 이해하게 한다.

② 방정식과 항등식의 차이를 알게 한다.

③ 등식의 성질을 이해하고, 이를 이용하여 방정식을 풀 수

있게 한다.

④ 일차방정식의 뜻을 알게 한다.

⑤ 일차방정식을풀수있게한다.

소단원 지도 목표

1.좌변, 우변, 양변용어는교수·학습상황에서다루어

질수있다.

2.방정식에서자신의풀이방법을설명할수있게한다.

교수·학습상의 유의점

성취 기준과 성취 수준

1. 다양한 상황

을 이용하여 일

차방정식과 그

해의 의미를 이

해한다.

2. 일차함수의

뜻을안다.

성취 기준

상

하

중

성취 수준

다양한 상황을 일차방정식으로 나타내

고, 주어진수중일차방정식의해를찾

아그의미를설명할수있다.

일차방정식을 구별하고, 주어진 수 중

일차방정식의해를찾을수있다.

주어진 방정식 중에서 일차방정식을 찾

을수있다.

변화하는두양사이의관계가일차함수

인지 판단할 수 있고 이를 식으로 표현

할수있다.

일차함수의 뜻을 알고 일차함수의 예를

들수있다.

주어진 함수가 일차함수가 되는지 판단

할수있다.

중

하

5. 등식의

성질을 이

해하고 일

차방정식

을 풀 수

있다.

6. 부등식

의 성질을

이해하고

일차부등

식을풀수

있다.

성취 기준

하

중

중

상

하

상

중

성취 수준

주어진 점이 몇 사분면의 점인지

말할 수 있고, 좌표평면 위의 점

과순서쌍을대응시킬수있다.

좌표평면 위의 점과 순서쌍을 대

응시킬수있다.

순서쌍과좌표의뜻을안다.

일차함수의 그래프의 성질을 이

해하고, 그그래프를그리는과정

을설명할수있다.

일차함수의 그래프의 성질을 이

용하여 일차함수의 그래프를 그

릴수있다.

일차함수의 그래프에서 x절편, y

절편, 기울기를구할수있다.

등식의 성질을 이용하여 일차방

정식을 풀고, 그 과정을 설명할

수있다.

등식의 성질을 이용하여 일차방

정식을풀수있다.

계수가 자연수인 간단한 일차방

정식을풀수있다.

부등식의 기본 성질을 이용하여

일차부등식을풀고, 그과정을설

명할수있다.

부등식의 기본 성질을 이용하여

일차부등식을풀수있다.

간단한일차부등식을풀수있다.

4. 일차함

수의 그래

프의 성질

을 이해하

고, 일차함

수의 그래

프를 그릴

수있다.

3. 순서쌍

과 좌표를

이해한다.

상

하

중

상

하

상


교과서 100 쪽

어떤 식이 항등식임을 확인

할때에는등식의좌변또는우

변을 간단히 정리하여 양변의

식이같은지를확인한다.

다음방정식중에서해가 2인것을찾아라.1문제

-1, 0, 1, 2 중에서다음방정식의해가되는것을찾아라.

⑴ 4x+1=9 ⑵-x+3=x+5

2문제

㉠ x+3=6 ㉡ 3x=9

㉢ 2x-3=1 ㉣ 3x+1=5

다음등식중에서 x에대한항등식을모두찾아라.3문제

㉠ 3x+2=8 ㉡ 4-x=5x

㉢ 1-(-x)=4+x-3 ㉣ x-2=2(x-1)-x

예제 01x=-1일때　3_(-1)-2=-5+1

x=0일때　　3_0-2=-2+1

x=1일때　　3_1-2=1=1

따라서방정식 3x-2=1은 x=1일때참이되므로이방정식의해는 x=1이다.

답 x=1

-1, 0, 1 중에서방정식 3x-2=1의해가되는것을찾아라.

풀이

등식x+2x=3x는x에어떤값을대입하여도항상참이된다.

이와같이 x가어떤값을가지더라도항상참이되는등식을 x에대한항등식이라

고한다.

162 각론

“아메스 파피루스”는 1858년 스코틀랜드의

고고학자 헨리 린드가 이집트 룩소르 시장에

서 낡은 파피루스 한 장을 구입하면서 발견

되었다. 파피루스는 람세스 2세의 장제전에

서 도굴된 것이었는데 수년 뒤 고대 이집트

어가 해독되면서 여기에 담긴 내용이 밝혀졌

다. 파피루스에는 피라미드 높이를 정하는

법, 토지측량, 노동자에게급료를나누어주

는 방법 등 84개의 문항이 적혀 있다. 또 서

문에는다음과같이쓰여있다.

‘수학은 세상의 모든 지식의 문으로 들어가

는열쇠이다.’

생각 열기 참/고/자/료

•미지수(未知數, unknown)

•해(解, solution)

•근(根, root)

•항등식(恒等式, identity)

•이항(移項, transposition)

•일차방정식(一次方程式, linear equation)

새로 나온 용어와 기호

활동 목표•“아메스 파피루스”에 나온 문제를

이용하여 방정식을 만들고, 방정식의 해의 개념

을 알게 하려는 것이다.

탐구 활동의 이해

1. (아하)_3+2=11

2. (아하)+(아하)_ =24에서‘아하’를자연수라고생

각하면‘아하’는 7의배수이다.

(아하)=7이면　7+7_ =8+24

(아하)=14이면　14+14_ =16+24

(아하)=21이면　21+21_ =24

따라서‘아하’는 21이다.

117

117

117

117

목표| 미지수 x에 2를 대입하여 참이 되는 방정식을 찾을 수

있게 한다.

㉠ 2+3+6이므로 거짓 ㉡ 3_2+9이므로 거짓

㉢ 2_2-3=1이므로 참 ㉣ 3_2+1+5이므로 거짓

따라서해가 2인방정식은㉢㉢이다.

풀이| x에 2를대입하면

1

목표| 방정식의 미지수에 주어진 값을 대입하여 해를 찾을

수 있게 한다.

풀이| ⑴ x=-1일때　4_(-1)+1=-3+9

x=0일때　4_0+1=1+9

x=1일때　4_1+1=5+9

x=2일때　4_2+1=9=9

따라서방정식 4x+1=9의해는 x=2이다.

⑵ x=-1일때　-(-1)+3=-1+5

x=0일때　-0+3+0+5

x=1일때　-1+3+1+5

x=2일때　-2+3+2+5

따라서방정식-x+3=x+5의해는 x=-1이다.

2



교과서 101 쪽

등식의 성질이란 무엇인가?

정의의여신상

그리스신화에나오는정의의여신디케(Dike)는왼

손에는저울을, 오른손에는칼을들고있다. 저울은법

의형평성을나타내며, 칼은그법을엄정하게집행하

겠다는의미이다. 우리나라의대법원에도대법정출입

문위에정의의여신상이있는데오른손에는저울을,

왼손에는법전을들고앉아있다. 또한우리나라의전

통의복을입어한국적인모습을보여준다.

탐구 활동 다음그림을보고물음에답하여보자.

생각 열기

등식의양변에같은수를더하거나등식의양변에서같은수를빼어도, 또등식의양

변에같은수를곱하거나등식의양변을0이아닌같은수로나누어도등식은성립한다.

일반적으로등식에는다음과같은성질이있다.

등식의성질

a=b이면

⑴ a + c = b + c : 등식의양변에같은수를더하여도등식은성립한다.

⑵ a - c = b - c : 등식의양변에서같은수를빼어도등식은성립한다.

⑶ a c = b c : 등식의양변에같은수를곱하여도등식은성립한다.

⑷ = (단, c+0): 등식의양변을 0이아닌같은수로나누어도등식은성립한다.b1c

a1c

1. 각각의그림에서윗접시저울이계속수평을이루게하려면 에는어떤것을놓아야하

는지알아보자.

그리스 어로‘정의’또는‘정도(正道)’를 의미하는 정의

의 여신 디케는 아스트라이아와 동일시되기도 한다. 로

마 신화의 유스티티아(Justitia) 또한 정의의 여신을 뜻

하는데 오늘날 영어에서‘정의’를 의미하는 justice는

여기서유래하였다.


목표| 항등식을 모두 찾을 수 있게 한다.

풀이| ㉢좌변: 1-(-x)=1+x

우변: 4+x-3=1+x

양변의식이같으므로항등식이다.

㉣좌변: x-2

우변: 2(x-1)-x=2x-2-x=x-2

양변의식이같으므로항등식이다.

따라서항등식인것은㉢㉢, ㉣㉣이다.

3

활동 목표•윗접시저울을 이용하여 등식의 성

질을 알게 하고, 이를 이용하여 방정식의 해를

구하는 방법을 이해하게 하려는 것이다.


1. 위쪽 윗접시저울의 오른쪽 접시에는 왼쪽

접시에 놓은 것과 같은 분홍색 물체를 올

려놓고, 아래쪽윗접시저울의오른쪽접시

에는 왼쪽 접시에서 내려놓은 것과 같은

파란색물체를내려놓으면계속수평을이

룬다.

목표| 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀 수

있게 한다.

풀이| ⑴ 3x-5=-2에서

양변에 5를더하면

3x-5+5=-2+5 …등식의성질⑴

3x=3

양변을 3으로나누면

= …등식의성질⑷

따라서 x=1이다.

⑵ x+1=x-1에서

양변에 5를곱하면

5{ x+1}=5(x-1) …등식의성질⑶

3x+5=5x-5

양변에서 5를빼면

3x+5-5=5x-5-5 …등식의성질⑵

3x=5x-10

양변에서 5x를빼면

3x-5x=5x-10-5x …등식의성질⑵

-2x=-10

양변을-2로나누면

= …등식의성질⑷


-10131-2

-2x131-2

315

315

313

3x133

4


164 각론

교과서 102 쪽

방정식을풀때에는등식의성질을이용하여주어진방정식을

ax=b (a+0)

의꼴로만들어해를구한다.

등식의성질을이용하여다음방정식을풀어라.

⑴ 3x-5=-2 ⑵ x+1=x-1315

4문제

예제 02⑴양변에 4를더하면 2x-4+4=2+4 yy등식의성질⑴

2x=6

양변을 2로나누면 = yy등식의성질⑷


⑵양변에 2를곱하면 x_2=(2x+3)_2 yy등식의성질⑶

5x=4x+6

양변에서 4x를빼면 5x-4x=4x+6-4x yy등식의성질⑵


답 ⑴ x=3 ⑵ x=6

512

612

2x132

등식의성질을이용하여다음방정식을풀어라.

⑴ 2x-4=2 ⑵ x=2x+3512

풀이

일차방정식이란 무엇인가?

크기와 모양이 같은 추가 각각 여러 개씩 있다. 그런데 어떤 하나

의 추는 그 추에 표시된 g의 값이 지워져 몇 g짜리인지 알 수 없

다. 윗접시저울의양쪽접시위에 1 g, 2 g, 5 g짜리의추들과무게

를 모르는 추 하나를 오른쪽 그림과 같이 올려놓았더니, 윗접시저

울은수평이되었다. 다음물음에답하여보자.

1. 윗접시저울을보고, 알맞은등식을세워보자.

2. 무게를모르는추는몇 g짜리인가?

탐구 활동22

11

51

교과서 103 쪽

탐구활동에서무게를모르는추를x g짜리라고하면

x+4=8 yy①

이다. 이식을풀기위하여식①의양변에서 4를빼면

x+4-4=8-4

x=8-4 yy②

가된다. 이때두등식①과②를비교하면①의좌변에있던 4가우변으로옮겨지

면서-4가되었음을알수있다.

이와 같이 등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을

부호를바꾸어다른변으로옮기는것을이항이라고한다.

다음등식에서●로표시한항을이항하여라.

⑴ 2x-1=4 ⑵ 7x+15=17

⑶-3x=x+20 ⑷ 5x+3=4x-6

5문제

x+4=8

x=8-4이항

다음중에서일차방정식을모두찾아라.6문제

㉠ 3x-4=x+5 ㉡ 2x+6=2(x+3) ㉢ x¤ -3=x ㉣ x=-2x+7

방정식 5x-4=-2x+10의우변에있는항-2x, 10을모두좌변으로이항하여

동류항끼리모아서정리하면 7x-14=0이된다.

이와같이방정식의모든항을좌변으로이항하여정리한식이

(일차식)=0

의꼴로나타내어지는방정식을미지수가 1개인일차방정식이라고한다.

활동 목표•일차방정식을 세우고, 풀어 봄으로써 등식의

성질을 이항으로 생각할 수 있음을 알게 하려는 것이다.


1. 무게를모르는추의무게를 x g이라고하면

x+2+2=5+1+1+1이므로등식은 x+4=8이다.

2. 1에서 x=4이므로무게를모르는추는 4 g짜리이다.

❶

이항이항

❶이항은 등식의 성질 ⑴, ⑵를 이용한 것으로서 실제

로항이이동한것은아니지만이동한것처럼보이므

로이항이라고부른다.

한편 상수항뿐만 아니라 x를 포함한 항도 이항할 수

있다.

예⃝ 2x=4+x 2x-4=x+2

예⃝ 2x-x=4 2x-x=2+4

¤155

¤15555 ¤11555

본문 해설

목표| 방정식에서 표시된 항을 이항할 수 있게 한다.

풀이| 색으로 표시된 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로

옮기면다음과같다.

⑴ 2x-1=4 2x=4+1

⑵ 7x+15=17 7x=17-15

⑶-3x=x+20 -3x-x=20

⑷ 5x+3=4x-6 5x-4x=-6-3

5

(164)기초수학2단원 2014.1.28 9:50 AM 페이지164 mac02 T


교과서 104 쪽

일차방정식은 어떻게 푸는가?

수현이는일차방정식 2x+1=5의해를아래와같이대수타일을이용하여계산하였다.

다음물음에답하여보자.

1. 위의각단계에이용한등식의성질을말하여보자.

2. 대수타일을이용하여 3x-2=7의해를구하여보자.

탐구 활동

1xx

2x+1

1 11115

=

=

1xx2x

1 11 1 1

4

=

=

xx

112

==

등식의성질을이용하여등식을변형해도해는같으므로주어진방정식에서미지수

x를포함한항은좌변으로, 상수항은우변으로이항하여일차방정식의해를구할수

있다.

예제 03주어진식에서 x를포함한항은좌변으로, 상수항은우변으로이항하면

3x-x=-4-8

양변을간단히하면 2x=-12

x의계수 2로양변을나누면 x=-6 답 x=-6

일차방정식 3x+8=x-4를풀어라.

풀이주어진 방정식에 x=-6을

대입하면

3_(-6)+8=-6-4

이므로해는 x=-6이다.

다음일차방정식을풀어라.

⑴ 2x+1=4x-7 ⑵ x+10=-2x+1

7문제

괄호가있는방정식을풀때에는분배법칙을이용하여먼저괄호를푼다.

목표| 일차방정식을 모두 찾을 수 있게 한다.

풀이| 방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면

다음과같다.

㉠ 3x-4=x+5 3x-4-x-5=0

2x-9=0

㉡ 2x+6=2(x+3) 2x+6=2x+6

2x+6-2x-6=0

0=0

㉢ x¤ -3=x x¤ -3-x=0 x¤ -x-3=0

㉣ x=-2x+7 x+2x-7=0 3x-7=0

따라서 일차방정식인 것은 (일차식)=0의 꼴로 변형되

는식인㉠㉠, ㉣㉣이다.

6

주의| 등식을 정리하지 않고 일차방정식인지 판단하지

않도록한다.

활동 목표•등식의 성질을 이용하여 주어진

방정식의 해를 구하는 방법을 대수 타일을 이

용하여 이해하게 하려는 것이다.


1. 2x+1=5 2x=4

: 등식의양변에서같은수를빼어도등식

은성립한다.

2x=4 x=2

: 등식의양변을 0이아닌같은수로나누

어도등식은성립한다.

2.

등식의양변에같은수를더하여도등

식은성립한다.

등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등

식은성립한다.

따라서 3x-2=7의해는 x=3이다.

1 1 1=x

1 1 1

1 1 1

1 1 1

=

-1

-1

1

1

x

x

x

1 1 1

1 1 1

1

=

-1

-1

x

x

x

3x-2 = 7

3x = 9

x = 3

목표| 이항과 등식의 성질을 이용하여 일차방정식을 풀 수

있게 한다.

풀이| ⑴ 2x+1=4x-7, 2x-4x=-7-1, -2x=-8


⑵ x+10=-2x+1, x+2x=1-10, 3x=-9

따라서 x=-3이다.

7


교과서 105 쪽

예제 04주어진식에서좌변과우변의괄호를각각풀면

3x+12=5x-10

x를포함한항은좌변으로, 상수항은우변으로이항하면

3x-5x=-10-12

양변을간단히하면 -2x=-22

x의계수-2로양변을나누면 x=11 답 x=11

일차방정식 3(x+4)=5(x-2)를풀어라.

풀이분배법칙

a(b+c)=ab+ac

주어진 방정식에 x=11을

대입하면

3_(11+4)=5_(11-2)

이므로해는 x=11이다.


⑴ 3(x+1)=4x-2 ⑵ 5x+3(12-x)=50

8문제

예제 05주어진식의양변에 10을곱하면　

6x-15=4x-3


6x-4x=-3+15

양변을간단히하면 6x-2x=12

x의계수 2로양변을나누면 6x-4x=6 답 x=6

일차방정식 0.6x-1.5=0.4x-0.3을풀어라.

풀이

주어진방정식에 x=6을

대입하면

0.6_6-1.5=0.4_6-0.3


계수가소수인일차방정식은양변에 10, 100, 1000, y 중에서알맞은수를곱하

여계수를정수로고쳐서풀면편리하다.


⑴ 0.5x-0.2=0.4(x-1) ⑵ 0.21x-1.8=0.16x+0.2

9문제

수영이는일차방정식

14-0.4x=0.3x를 오른쪽과 같이

풀었다. 잘못된 부분을찾고, 올바른

해를구하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

14-4x=3x10

14

-7 x=2

3x -4x-3x=-14

-7x=-14

166 각론

목표| 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고, 이항과

등식의 성질을 이용하여 일차방정식을 풀 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ 3(x+1)=4x-2

3x+3=4x-2

3x-4x=-2-3

-x=-5


⑵ 5x+3(12-x)=50

5x+36-3x=50

2x=50-36

2x=14


8

❶

❶계수가 소수인 방정식의 계수를 정수로

고쳐서 푸는 것은 계산을 간편하게 하기

위한것이다. 이때 양변에알맞은수를곱

할 때, 상수항이나 계수가 정수인 항에도

같은수를곱해야함을주의한다.

본문 해설

목표| 계수가 정수인 일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 0.5x-0.2=0.4(x-1)에서

양변에 10을곱하면

5x-2=4(x-1)

5x-2=4x-4

5x-4x=-4+2


⑵ 0.21x-1.8=0.16x+0.2에서

양변에 100을곱하면　

21x-180=16x+20

21x-16x=20+180

5x=200


9출제 의도| 등식의 성질을 이용하여 계수가 소수인 방정식을

푸는 방법에 대한 이해를 돕기 위한 문제이다.

사고력 기르기 문제 해결

풀이| 수영이는 10을 소수인 계수에만 곱하고, 상수항

에는곱하지않았다.

따라서바르게풀면다음과같다.

14-0.4x=0.3x에서


140-4x=3x

140과 3x를각각이항하면

-4x-3x=-140

-7x=-140

양변을-7로나누면

x=20



교과서 106 쪽

계수가 분수인 일차방정식은 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로

고쳐서풀면편리하다.

예제 06주어진식의양변에분모 4와 6의최소공배수인 12를곱하면

3x-24=2x-14


3x-2x=-14+24, x=10

답 x=10

일차방정식 x-2= 을풀어라.x-71136

114

풀이주어진 방정식에 x=10을

대입하면

_10-2=


10-711246

114

이상에서배운일차방정식의풀이방법을정리하면다음과같다.


⑴ x-7=8-x ⑵ x-6= x+1312

113

112

10문제

일차방정식의풀이방법

❶계수에소수나분수가있으면양변에적당한수를곱하여계수를정수로고친다.

❷괄호가있으면괄호를푼다.

❸미지수 x를포함한항은좌변으로, 상수항은우변으로이항한다.

❹양변을간단히하여 ax=b(a+0)의꼴로고친다.

❺ x의계수로양변을나눈다.

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

어느 귀뚜라미가 1분 동안 우는 횟수는 기온이 xæ일 때

{:£5§:x-32}회라고 한다. 이 귀뚜라미가 1분 동안 112회

울었다고할때, 그때의기온을구하여라.

목표| 계수가 분수인 일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x-7=8-x에서

양변에 2를곱하면

x-14=16-2x

x+2x=16+14

3x=30


⑵ x-6= x+1에서


2x-36=9x+6

2x-9x=6+36

-7x=42


312

113

112

10

단원 과제

목표| 일차방정식을 활용하여 실생활 문제를 해

결할 수 있게 한다.

풀이| 귀뚜라미가 1분 동안 112회 울었으므

로그때의기온 xæ를구하는식은

:£5∞:x-32=112

x=144_;3∞6;=20

따라서구하는기온은 20 æ이다.

1. 일차방정식의 풀이 방법은 반드시 ❶ → ❺의

순서로 푸는 것은 아니고, 순서가 바뀔 수도

있음을 예를 들어 지도한다.

2. 계수가 소수나 분수인 일차방정식을 풀 때, 주

어진 계수를 그대로 계산하는 경우와 계수를

정수로 고친 다음 계산하는 경우를 비교하여

어느 방법이 더 쉽고 간편해지는지 알게 한다.

지/도/자/료

어느 날 한 학생이 아인슈타인에게 질문하였다.

“박사님은 모든 물체 사이에 작용하는 상대성 이론을 발견하였

고, 또 그것을 수식화하셨습니다. 그렇다면 사람들 사이에 오가

는 사랑도 방정식으로 표현하실 수 있습니까?”

엉뚱한 질문에 아인슈타인은 잠시 생각하더니 칠판에 다음과 같

은 사랑 방정식을 썼다.

Love=2□+2△·+2∨+8<

그리고“가지 않으면 안

될 길을 마지못해 떠나가

며 못내 아쉬워 뒤돌아보

는 그 마음! 갈 수 없는

길인데도 따라가지 않을

수 없는 안타까운 마음!

그 마음이 사랑인 것이다.”

라고 설명하였다.

가 둘이므로

가 둘이므로

가 둘이므로

가 여덟이므로

읽/기/자/료 아인슈타인의 사랑 방정식


교과서 107 쪽

일차함수란 무엇인가?

전력량과정전

우리나라는 미국 등 다른 선진국에 비해

정전이발생하는경우가적다고한다. 특

히 2011년 9월지역별순환정전사태와

같은 수백만 가구의 대규모 정전 사태는

사실상처음있는일이기때문에많은사

람들에게혼란을가져다주었다. 이정전

은이례적인 9월의무더위에냉방장치의

사용량이증가하면서예상한전기의수요

량을초과하여발생한것이라고한다.

탐구 활동 일반적으로에어컨의소비전력은평균 1.6 kW이고, 에어컨에사용되는전력량을제외한

가구당한달평균전력량은 90 kWh라고한다.

전력량(kWh)=소비전력(kW)_시간(h)이라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 에어컨사용시간에따른전력량을나타낸다음표를완성하여보자.

생각 열기

탐구활동에서에어컨의소비전력은평균 1.6 kW이므로 x시간동안사용한에어

컨의전력량은 1.6x kWh이고, 에어컨에사용되는전력량을제외한가구당월평균

전력량은 90 kWh이므로x와 y 사이의관계식은

y=1.6x+90

으로나타낼수있다. 이때 y는x에관한일차식이된다.

02●일차함수의뜻을안다.

●순서쌍과좌표를이해하고, 일차함수의그래프를그릴수있다.

일차함수의뜻과그래프

2. 에어컨을 5시간동안사용하였을때의전력량은몇 kWh인가?

3. 한달동안에어컨을 x시간사용하였을때, 한가구의월평균총전력량을 y kWh라고하

면 y는 x의함수인가?

0 1 2 3 4시간(h)

전력량(kWh)

168 각론

02 일차함수의뜻과그래프

① 일차함수의 의미를 이해하게 한다.

② 좌표, 순서쌍, 좌표축, 좌표평면의 뜻을 알게

한다.

③ 평면 위에서의 점의 위치를 좌표로 나타내고,

좌표를 좌표평면 위의 점으로 나타낼 수 있게

한다.

④ 함수의 그래프의 뜻을 이해하게 한다.

⑤ 평행이동의 뜻을 알고, 일차함수 y=ax+b의

그래프를 그릴 수 있게 한다.

⑥ x절편, y절편의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있게

한다.

⑦ 두 점을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴

수 있게 한다.

⑧ 일차함수의 그래프의 기울기의 뜻을 알게 한다.

⑨ 기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그래

프를 그릴 수 있게 한다.


1. 일차함수의개념은다양한상황에서한양

이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지

는두양사이의관계로도입한다.

2. 좌표를나타낼 때 x좌표와 y좌표의순서를바꾸지않

도록 주의시킨다. 즉, 순서쌍 (a, b)와 (b, a)는서로

다른점을나타낸다는것을알게한다.

3. 함수 y=ax(a+0)가 일차함수 y=ax+b에서 b=0

인 경우임을 확인하게 하고, y=ax의 그래프의 특징

을 일차함수의 그래프와 관련지어 생각할 수 있도록

지도한다.

4. x값의 범위가 수 전체일 때, 일차함수의 그래프가 직

선이됨을직관적으로이해하게한다.


•일차함수(一次函數, linear function)

•좌표(座標, coordinates)

•순서쌍(順序雙, ordered pair)

•x축, y축

•좌표축(座標軸, coordinate axis)

•원점(原點, origin)

•좌표평면(座標平面, coordinate plane)

•함수의 그래프(graph of function)

•평행이동(平行移動, translation)

•x절편, y절편

•기울기(slope)

•y=f(x), f(x)

새로 나온 용어와 기호 우리나라는 안정적인 전력 공급과 미래 에너지 자원 개

발을 위하여 여러 가지 기관을 운영하고 있다. 보다 자

세한정보는에너지경제연구원홈페이지

(http://www.keei.re.kr)에서확인할수있다.




교과서 108 쪽

관계식 y=1.6x+90에서 x는 1, 2, 3, 4, 5, y와같이여러가지값을가질수있

고, y도 x의값이변함에따라여러가지값을가지게된다. 이러한 x, y와같이변하

는여러가지값을가지는문자를변수라고한다.

또두변수 x, y에대하여 x의값이정해지면 y의값도단하나로정해지는관계가

있을때, y는x의함수라하고, 이것을기호로

y=f(x)

와같이나타낸다.

일반적으로함수 y=f(x)에서 y가x에관한일차식

y=ax+b (a+0, a, b는상수)

로나타날때, 이함수 y=f(x)를일차함수라고한다.

y=-3x+2, y=;3@;x, y=x-7은 y가 x에 관한 일차식으로 나타내어지는 함수이므로

모두일차함수이다.

보기

일차함수의 x와 y값의범위

가 주어지지 않았을 때에는 x

와 y의값은실수전체로한다.

다음중에서일차함수를모두찾아라.1문제

앞의 탐구 활동에서 얻은 일차함수 y=1.6x+90에서 f(x)=1.6x+90이므로

x에 1, 2, 3을각각대입하면

f(1)=1.6_1+90=91.6, f(2)=1.6_2+90=93.2, f(3)=1.6_3+90=94.8

이다.

이때 f(1), f(2), f(3)의값을각각x=1, 2, 3에서의일차함수 f(x)=1.6x+90

의함숫값이라고한다.

㉠ y=2x-2 ㉡ y=3x¤ -5x-1 ㉢ y=3

㉣ y= +2 ㉤ y= x ㉥ y=5-2x415

61x

다음에서 y를 x에관한식으로나타내고, 일차함수인것을모두찾아라.

⑴하루중에서낮의길이가 x시간일때, 밤의길이는 y시간이다.

⑵넓이가 10 cm¤ 인삼각형의밑변의길이는 x cm, 높이는 y cm이다.

⑶시속 4 km로걸어서 x시간동안간거리는 y km이다.

2문제

변수와 달리 일정한 값을

가지는 수나 문자를 상수라고

한다.

❶

활동 목표•실생활에서 두 변량 사이의 관계를 표를 이용

하여 알아봄으로써 일차함수의 뜻을 알게 하려는 것이다.


1.

2.에어컨의 사용 시간이 1시간씩 증가할 때마다 전력량

은 1.6 kWh만큼증가하므로에어컨을 5시간동안사

용한전력량은 8 kWh이다.

3.에어컨에 사용되는 전력량을 제외한 가구당 한 달 평

균 전력량이 90 kWh이므로 에어컨의 사용 시간 x와

한가구의월평균총전력량 y 사이에는 y=1.6x+90

인 관계가 성립함을 알 수 있다. 즉, x의 값이 정해지

면 y의값도단하나로정해지므로 y는 x의함수이다.

0

01

1.62

3.23

4.84

6.4시간(h)

전력량(kWh)

참고| 일차함수의‘일차’는 변수의 최고

차수가 1인 것을 의미한다. 일차를 영어

로 linear라고 하는데‘직선의 모습’이라

는 뜻이 있다. linear가‘일차’를 의미하

게된것은일차방정식이나일차함수가좌

표평면에서직선으로나타나기때문이다.

❶ y는 x에 관한 일차식의 꼴로 나타날 때

일차함수이므로 y=ax+b에서 반드시

a+0이어야한다.

그러나 b=0이어도 y=ax(a+0)는 일차

함수이다.

본문 해설

목표| 일차함수의 의미를 이해하고, 일차함수를

찾을 수 있게 한다.

풀이| ㉡ x에관한이차식이므로일차함수가

아니다.

㉢ 3은상수이므로일차함수가아니다.

㉣분모에x가있으므로일차함수가아니다.

따라서일차함수인것은㉠㉠,㉤㉤,㉥㉥이다.

1

목표| 다양한 상황에서 두 변량 사이의 관계를 식으로 나타

내고, 일차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ⑴하루는 24시간이므로　x+y=24

y=24-x

⑵ (삼각형의넓이)= _(밑변)_(높이)이므로

10= xy, y=

⑶ (거리)=(속력)_(시간)이므로　y=4x

따라서일차함수인것은⑴⑴,⑶⑶이다.

201133x

112

112

2


교과서 109 쪽

일반적으로x의값에대응하는함숫값을기호로

f(x)

와같이나타낸다.

예제 01⑴ f(-1)=2_(-1)=-2

⑵ f(0)=2_0=0

⑶ f(1)=2_1=2

답 ⑴ -2 ⑵ 0 ⑶ 2

일차함수 f(x)=2x에대하여다음함숫값을구하여라.

⑴ f(-1) ⑵ f(0) ⑶ f(1)

풀이

일차함수 f(x)=1-3x에대하여다음함숫값을구하여라.

⑴ f(-2) ⑵ f(-1)

⑶ f(0) ⑷ f { }113

3문제

어느욕조에물을받을때, 물의높이는 1분동안에 3 cm씩높아진다고하자. 물을받는시

간을 x분, 물의높이를 y cm라고할때, 다음물음에답하여라.

⑴ y=f(x)일때, f(x)를구하여라.

⑵ f(5), f(10)의값을각각구하여라.

4문제

창up의

실생활

오른쪽 그림과 같은 방법으로 똑같은 크기의 종이컵을 포갤

때, 다음물음에답하여라.

⑴종이컵한개의높이는 73 mm이고, 종이컵 2개, 3개

를포개어놓았을때의높이는각각 79 mm, 85 mm

일 때, 종이컵의 개수와 포개어 놓은 종이컵의 높이

사이의관계식을구하여라.

⑵종이컵 10개를포개어놓았을때의높이를구하여라.

170 각론

목표| 주어진 함수에 대한 함숫값을 구할 수 있

게 한다.

풀이| f(x)=1-3x에서

⑴ f(-2)=1-3_(-2)=7

⑵ f(-1)=1-3_(-1)=4

⑶ f(0)=1-3_0=1

⑷ f { }=1-3_ =0113

113

3

목표| 실생활 문제를 함수로 나타내고, 함숫값을

구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 1분 동안 3 cm씩 높아지므로 2분

동안 (3_2) cm, 3분 동안 (3_3) cm,

y씩 높아진다. 따라서 x분 동안은

3x cm씩높아지므로　f(x)=3x

⑵ f(5)=3_5=15

⑵ f(10)=3_10=30

4

출제 의도| 종이컵을 포개어 놓은 개수에 따라 종이컵의 높

이가 변한다는 사실을 이용하여 함수의 개념을 알고, 함숫값

을 구할 수 있게 하려는 것이다.

창의 UP

풀이| ⑴ 종이컵 1개의 높이는 73 mm이고, 2개를 포개

어 놓았을 때의 높이는 79 mm, 3개를 포개어 놓았

을 때의 높이는 85 mm이므로 종이컵의 개수가 1개

씩늘어날때마다높이는 6 mm씩높아진다. 즉,

6_(2-1)+73=79

6_(3-1)+73=85

⋯

따라서종이컵의개수를 x개, 포개어놓았을때의높

이를 y mm라고하면 x와 y 사이의관계식은 다음과

같다.

y=6(x-1)+73 또는 y=6x+67

⑵⑴의관계식에 x=10을대입하면 y=127이므로종이

컵 10개를포개어놓았을때의높이는 127 mm이다.

독일의 수학자이자 철학자인 라이프니

츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는

운동하거나 변화하는 구체적인 현상을

표현하려는 데에서 발생한 함수

(function) 개념을 처음으로 용어화하

였다.

그는 변수 x의 값에 따라서 다른 변수

y가 정해지면 y를 함수라고 정의하였고, 특히 곡선의 방정식이

곧 함수라고 생각하였다. 그 후 오일러가 함수의 개념을 더욱 확

실하게 정의하였고, 함수의 기호인 f(x)를 처음 사용하였다.

읽/기/자/료 라이프니츠

산림청에서 운영하는 국립자연휴양림관리소 홈페이지

(http://www.huyang.go.kr)에서는 지역별 자연휴양

림을소개하고온라인예약서비스등을제공하고있다.


라이프니츠



활동 목표•수직선 위의 점을 좌표로 나타내는 방법을 알

게 하려는 것이다.


1. 연못: 300 m, 쉼터: 100 m

분수대: 100 m, 야영장: 250 m

2.쉼터는 관리 사무소로부터 서쪽으로 100 m 거리에

있고, 분수대는 동쪽으로 100 m 거리에 있다. 따라서

쉼터와분수대는각각다음과같이나타낼수있다.

쉼터: 서쪽으로 100 m

분수대: 동쪽으로 100 m

목표| 수직선 위의 점의 좌표를 기호로 나타낼 수 있게 한다.

풀이| A(-4), B(1), C(5)

5

교과서 110 쪽

수직선 위의 점은 어떻게 나타내는가?

휴양림

나무가울창한숲에가면마음이편안하고상쾌해진

다. 이는나무가뿜어내는피톤치드라는물질이스트

레스를풀어줄뿐만아니라심폐기능과면역력을높

여피로에지친심신의활력을되찾는데도움을주기

때문이다. 그래서 사람들은 나무가 무성한 휴양림을

많이찾는다.

탐구 활동 준서네가족은가까운휴양림으로소풍을갔다. 휴양림의안내도에는다음과같이관리사

무소를 기준으로 동쪽으로는 분수대와 야영장, 서쪽으로는 쉼터와 연못이 표시되어 있었

다. 물음에답하여보자.

생각 열기

1. 관리사무소로부터안내도에표시된각지점까지의거리를말하여보자.

2. 관리사무소로부터같은거리에있는쉼터와분수대의위치를구별하여나타내는방법을말

하여보자.

연못쉼터 관리 사무소 분수대 야영장

200`m서쪽 100`m 100`m 150`m 동쪽

탐구활동에서연못, 쉼터, 관리사무소, 분수대, 야영장을각각점A, B, O, C, D

라하고, 점O를기준으로동쪽을+, 서쪽을-로하여이점들을수직선위에나타

내면다음과같다.

여기서수직선위의네점A, B, C, D에대응하는수는각각-300, -100, 100,

250임을알수있다.

이와같이수직선위의점에대응하는수를그점의

좌표라고하며, 좌표가 a인점P를기호로P(a)와같이

나타낸다.

P

a

점 의 좌표P

B O C DA

3002001000-100-200-300

위의수직선에서네점 A, B, C, D의좌표를각각기호로나타내면

A(-300), B(-100), C(100), D(250)

보기

교과서 111 쪽

다음수직선위의세점 A, B, C의좌표를각각기호로나타내어라.5문제

C

5

BA

1 2 3 40-1-2-3-4-5

좌표평면 위의 점은 어떻게 나타내는가?

국립공원

우리나라의 한라산과 지리산, 미국의 그랜

드 캐니언, 일본의 후지 산, 중국의 장자제

등세계각지에는경관이좋은곳들이많다.

각 나라에서는 이들을 국립 공원으로 지정

하여 고유의 자연환경은 물론 그곳에 사는

야생 동물들을 보호하고, 관광지로 이용함

으로써경제적인이익도취하고있다.

탐구 활동 오른쪽 그림은 어느 국립 공원의 지도이다. 이

지도에서 O는 관리 사무소를 나타내고, A,

B, C, D, E는 산불 감시소를 나타내며, F는

산불이 발생한 지점을 나타낸다. 또 지도에 표

시된 수는 관리 사무소를 기준으로 동쪽과 북

쪽은 양수로, 서쪽과 남쪽은 음수로 나타낸 거

리이다. 다음물음에답하여보자.

1. O를 기준으로 동쪽으로 10, 북쪽으로 10인

위치에있는산불감시소는어디인가?

2. O를기준으로 C의위치를말하여보자.

3. F에서산불이난것을 E에서발견하고관리사무소에연락하려고한다. 이때 O를기준으로

F의위치를어떻게말하면좋겠는가?

생각 열기

강

북쪽

남쪽

F

ED

C

B

15

10

5

0

-5

-15 -10 -5 50 10{단위: km}

15

O

A

서쪽

동쪽

탐구 활동에서 관리 사무소 O를 기준으로 하여 산불이 난 지점 F의 위치를

(동·서의 위치, 남·북의 위치)로 표현하면 (10, 15)와 같은 두 수의 쌍으로 나타

낼수있다. 같은방법으로산불감시소A의위치는(-10, -5)로나타낼수있다.

우리나라에는 한라산, 지리산을 비롯한 많은 국립 공원

이있다. 국립공원관리공단홈페이지

(http://main.knps.or.kr)를 통해 자기가 살고 있는

지역의국립공원을알아볼수있다.


활동 목표•관리 사무소의 위치 O를 기준으로 하여 각 지

점을 나타내는 방법을 찾으며, 순서쌍의 뜻을 알고 어떻게

나타내는지 알게 하려는 것이다.


1. O를기준으로동쪽으로 10, 북쪽으로 10인위치에있

는산불감시소는 E이다.

2. C는 O를기준으로북쪽으로 15인위치에있다.

3. O를기준으로동쪽으로 10, 북쪽으로 15인위치에 F

가있다.


172 각론

교과서 112 쪽

한편수의쌍 (10, -5)는관리사무소 O를기준으로동쪽으로 10km, 남쪽으로

5 km 지점인산불감시소 B의위치를나타내지만, 수의쌍 (-5, 10)은서쪽으로

5 km, 북쪽으로 10 km 지점인산불감시소D의위치를나타낸다.

즉, 수의쌍 (10, -5)와 (-5, 10)은서로다른위치를나타낸다.

이와같이순서를정하여나타낸두수의쌍을순서쌍이라고한다. 순서쌍으로 나타낼 때에는

순서에주의한다.

x의값은 a, b 또는 c이고, y의값은 1 또는 3일때, 다음순서쌍을모두구하여라.

⑴ (x, y) ⑵ (y, x)

6문제

예제 02a의값은 1 또는 2, b의값은 5 또는 6이므로순서쌍 (a, b)를모두구하면

(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)

답 (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)

a의값은 1 또는 2, b의값은 5 또는 6인두수 a, b에대하여순서쌍 (a, b)를모두구

하여라.

풀이

이제평면위의점의위치를순서쌍을사용하여나타내는방법에대하여알아보자.

오른쪽그림과같이두수직선을점O에서서로수직으

로만나게그린다.

이때 가로의 수직선을 x축, 세로의 수직선을 y축이라

하고, 두축을통틀어좌표축이라고한다. 또두좌표축이

만나는점O를원점이라고한다.

오른쪽그림과같은평면위의점 P에서 x축, y축

에내린수선이 x축, y축과만나는점의좌표는각각

3, 2이다. 이때 3과 2를짝지은순서쌍 (3, 2)를점P

의좌표라고하며, 좌표가 (3, 2)인점P를기호로

P(3, 2)

와같이나타낸다. 이때 3을점 P의 x좌표, 2를점 P

의y좌표라고한다.

원점 O의 좌표는 (0, 0)이

다.

321

-1-2-3

y

x-3-2-1 1 2 3O

x축

y축

원점

3

2

1

y

x1-1-1

2 3 4O

x좌표 y좌표P{3,`2}

좌표평면

교과서 113 쪽

이와같이평면위의모든점의위치는순서쌍, 즉좌표로나타낼수있는데이러한

평면을좌표평면이라고한다.

오른쪽좌표평면에서점 A, B, C, D의좌표를각각구하여라.7문제

예제 03

점A의 x좌표는 3, y좌표는 3이므로 A(3, 3)

점B의 x좌표는-3, y좌표는 2이므로 B(-3, 2)

점C의 x좌표는-1, y좌표는-2이므로 C(-1, -2)

점D의 x좌표는 2, y좌표는-3이므로 D(2, -3)

답 A(3, 3), B(-3, 2), C(-1, -2), D(2, -3)

오른쪽 좌표평면에서 점 A, B, C, D의 좌표를 각각 구하

여라.

풀이

4

2

y

x-4 -2 2

-2

-4

AB

C D

4O

4

2

-2

-4

y

x-4 -2 2

A

B

CO

D

4

다음각점을오른쪽좌표평면위에나타내어라.

⑴A(1, 2) ⑵B(2, -3)

⑶C(-3, 4) ⑷D(-1, -1)

⑸E(-4, 0) ⑹F(0, 0)

8문제y

O

4

2

-2

-4

42-2-4 x

목표| 순서쌍을구할때, 두 수의순서가다르면서로다른것

임을알게한다.

풀이| ⑴ x의 값은 a, b 또는 c이고, y의 값은 1 또는

3이므로순서쌍 (x, y)를모두구하면

(a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 3), (c, 1), (c, 3)

⑵ y의 값은 1 또는 3이고, x의 값은 a, b 또는 c이므로

순서쌍 (y, x)를모두구하면

(1, a), (1, b), (1, c), (3, a), (3, b), (3, c)

점 C의 x좌표는-3, y좌표는-1이므로　

C(-3, -1)

점 D의 x좌표는 3, y좌표는-4이므로　

D(3, -4)

6

목표| 좌표평면 위에 있는 점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| 점 A의 x좌표는 2, y좌표는 2이므로　

A(2, 2)

점 B의 x좌표는-2, y좌표는 4이므로　

B(-2, 4)

7목표| 좌표로주어진점을좌표평면위에나타낼수있게한다.

풀이|

8

xO

C

E

A

F

DB

y

-4 -2 2 4

4

2

-2

-4



교과서 114 쪽

함수의 그래프란 무엇인가?

물의소중함

사람의몸은약 70 %의수분으로구성되어있다. 충분

한물을섭취하는것은여러가지질병을예방하고우

리몸안의독소와노폐물을배출하는데도움이된다.

또한 피부의 탄력과 신체의 균형을 유지시켜 주므로

우리에게물은없어서는안될소중한것이다.

생각 열기

탐구활동에서x의값이하나정해지면그에따라 y의값이하나씩정해지므로 y는

x의함수이고, 그관계식은 y=2x임을알수있다.

여기서 x의값을 0, 1, 2, 3, 4, 5라하고, 각 x의값에대한함숫값 y를구하여순

서쌍 (x, y)로나타내면

(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)

이다.

탐구 활동 세리는 수도꼭지에서 항상 일정한 양의 물이 흘러나오게 하여 물통에 물을 채우고 있다.

이때 물통에 들어 있는 물의 높이를 1분마다 재어 보았더니 다음 그림과 같았다. 물음에

답하여보자.

1. 물을받는시간에따라물의높이를나타낸다음표를완성하여보자.

2. 물을받는시간을 x분, 물의높이를 y cm라고할때, x와 y 사이의관계식을구하여보자.

2`cm1분 2분 3분 4분 5분

4`cm 6`cm 8`cm 10`cm

0 1 2 3 4 5물을받는시간(분)

물의높이(cm)

교과서 115 쪽

이때이들순서쌍을좌표로하는점을좌표평면위에나타내면

오른쪽그림과같다.

이와같이함수 y=f(x)에서각 x의값을 x좌표로하고, x의

값에대한함숫값 y를 y좌표로하는순서쌍 (x, y)를모두좌표평

면위에나타낸것을그함수의그래프라고한다.

10

8

6

4

2

y

xO 2 4

예제 04각 x의값에대한함숫값 y를구하여표로나타내면다음과같다.

이것을순서쌍 (x, y)로나타내면

(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1)

이므로 이 순서쌍을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽

그림과같다.

함수 y=-x에서 x의값이-2, -1, 0, 1일때, 그 그래프를그려라.

풀이

O 1 3-3 -1

y

x

3

1

-1

-3

x

y

-2

2

-1

1

0

0

1

-1

함수 y=- x에서 x의값이-4, -2, 0, 2, 4일때,

오른쪽좌표평면위에그그래프를그려라.

1129문제

O 1 3-3 -1

y

x

3

1

-1

-3

점차 심각해지는 물 부족과 수질 오염으로 삶을 위협받

고 있는 곳이 적지 않다. 이를 해결하기 위하여 1992년

제47차 UN 총회에서 매년 3월 22일을‘세계 물의 날’

로제정하고선포하였다.


활동 목표•함수의 x의 값과 그에 대응하는 함숫값을 구

하여 표를 완성함으로써 순서쌍을 만들고 이를 좌표평면 위

에 나타낼 수 있게 하려는 것이다.


1. 물의 높이는 1분에 2 cm씩 올라가므로 다음과 같은

표를구할수있다.

2. x의 값이 하나 정해지면 y의 값은 그것의 2배로 정해

지므로 x와 y 사이의관계식은 y=2x이다.

물을받는시간(분)

물의높이(cm)

0

0

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

목표| 주어진 x의 값에 대한 함숫값을 구하여 순서쌍을 만들

고, 이것을 좌표평면 위에 나타낼 수 있게 한다.

풀이| 주어진 x의값에대한함숫값 y를구하여표를만

들면다음과같다.

이것을순서쌍 (x, y)로나타내면 (-4, 2), (-2, 1),

(0, 0), (2, -1), (4, -2)이므로이순서쌍을좌표평

면위에나타내면다음그림과같다.

9

O 1 3-3 -1

y

x

3

1

-1

-3

x

y

-4

2

-2

1

0

0

2

-1

4

-2


174 각론

교과서 116 쪽

일차함수 y=ax+b의 그래프는 어떻게 그리는가?

밑면으로부터 2 cm 높이까지 물이 들어 있는 물통에 수도꼭지에

서 항상 일정한 양의 물이 흘러나오게 하여 물의 높이가 1분에

1 cm씩 높아지도록 물을 채우고 있다. 물을 받는 시간을 x분, 물

통에 들어 있는 물의 높이를 y cm라고 할 때, 다음 물음에 답하

여보자.

1. 다음표를완성하고, y를 x에관한식으로나타내어보자.

2. 1에서얻어지는순서쌍 (x,`y)를좌표로하는점을오른쪽좌표평면

위에나타내어보자.

탐구 활동

2`cm

6

4

2

y

xO 2 4

x(분)

y(cm)

0 1 2 3 4

우리는 x값의범위가수전체인일차함수 y=ax(a+0)의그래프는다음과같이

원점을지나는직선임을배웠다.

이제일차함수 y=2x+3의그래프를그려보자.

일차함수 y=2x와 y=2x+3에서 x의여러가지값에대한 y의값을구하여표로

나타내면다음과같다.

a>0

O x

y=axy

a<0

y=ax

O x

y

다음은 컴퓨터를 이용하여

일차함수 y=2x의 그래프를

그린것이다.

x

2x

2x+3

y

y

y

-2

-4

-1

-1

-2

1

0

0

3

1

2

5

2

4

7

3

6

9

y

y

y+3 +3 +3 +3 +3 +3

교과서 117 쪽

앞의표에서 2x+3의값은항상 2x의값보다 3만큼크다는것을알수있다.

따라서일차함수y=2x+3의그래프는일차함수 y=2x

의 그래프 위에 있는 각 점을 3만큼 위로 이동하면 얻을

수있다. 즉, 일차함수 y=2x+3의그래프는 y=2x의그

래프를 y축의방향으로 3만큼평행하게이동한직선과같

음을알수있다.

이와같이어떤도형을일정한방향으로일정한거리만

큼옮기는것을평행이동이라고한다.

일반적으로일차함수 y=ax+b의그래프에대하여다음을알수있다.

y

O x

y=2x+3

y=2x

3 3

3

3

다음일차함수의그래프는일차함수 y=2x의그래프를 y축의방향으로얼마만큼평행이동

한것인지말하여라.

⑴ y=2x+5 ⑵ y=2x-3

10문제

일차함수 y=ax+b의그래프

일차함수 y=ax+b의그래프는일차

함수 y=ax의 그래프를 y축의 방향

으로 b만큼평행이동한직선이다.

b>0y

O x

y=ax+b

y=axbb

bb

b<0y

O xy=ax+b

y=ax

b

bb

b

일차함수 y= x-2의 그래프는 일차함수 y= x의

그래프를 y축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.

따라서일차함수 y= x-2의그래프는오른쪽그림과

같다.

113

113

113

일차함수 y= x-2의그래프를그려라.113

풀이

O

y

x-2-2

-2

2

-2 2

-2 -x-2y=31

-xy=31

예제 05

활동 목표•x와 y 사이의 관계를 나타내는 표를 완성하고

(x, y)를 좌표평면 위에 나타내어 봄으로써 일차함수의 그

래프의 모양을 알게 하려는 것이다.


1.

y=x+2

2.6

4

2

y

xO 2 4

0

21

32

43

54

6x(분)

y(cm)

목표| 일차함수의 평행이동을 알게 한다.

풀이| ⑴ 일차함수 y=2x+5의 그래프는 일차함수

y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이동

한것이다.

⑵일차함수 y=2x-3의그래프는일차함수 y=2x의그

래프를 y축의방향으로-3만큼평행이동한것이다.

10

평면 위의 하나의 도형 F에서 그 위의 모든 점을 같은 방향으

로 같은 거리만큼 이동시키는 것을 도형 F의 평행이동이라고

한다. 임의의 점 P(x, y)를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방

향으로 n만큼평행이동한점을 P'(x', y')이라고하면

x'=x+m, y'=y+n (m, n은상수)

이다. 따라서 일차함수 y=ax의그래프를 y축의방향으로 b만

큼평행이동하면 y'=y+b, y=y'-b이므로그식은

y-b=ax이다. 즉, y=ax+b가된다.

지/도/자/료 평행이동



교과서 118 쪽

오른쪽 그림은 일차함수 y=-2x의 그래프이다. 이 그래프를 이용

하여다음일차함수의그래프를그려라.

⑴ y=-2x+4

⑵ y=-2x-4

11문제

4

2

-2

-4

-2 2O x

y

일차함수 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 점 (-1, 1)을 지난다.

이때 b의값을구하여라.

12문제발전

x절편과 y절편이란 무엇인가?

다음각 점을 오른쪽좌표평면 위에나타내고, 물음에 답하여

보자.

탐구 활동 4

2

-2

-4

42-2-4

y

O xA(2, 3), B(0, 3), C(-4, 1), D(-3, 0),

E(4, 0), F(0, -1), G(1, -3), H(-3, -3)

1. x축위에있는점을모두말하여보자.

2. y축위에있는점을모두말하여보자.

3. x축또는 y축위에있는점은각각어떤특징이있는지말하여보자.

일차함수 y=2x-6의그래프를그리면오른쪽그림과같

다.

이그래프가 x축과만나는점의좌표는 (3, 0)이고, 이점

의 x좌표는 3이다. 또 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는

(0, -6)이고, 이점의 y좌표는-6이다.

이와 같이 좌표평면 위에서 일차함수의 그래프가 x축과

만나는점의 x좌표를이그래프의 x절편, y축과만나는점

의 y좌표를이그래프의 y절편이라고한다.

y

O x2 4-2

2

-2

-4

-6

y=2x-6

x절편

y절편

목표| 평행이동을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ 일차함수 y=-2x+4의 그래프는 y=-2x의

그래프를 y축의방향으로 4만큼평행이동한것이다.

⑵일차함수 y=-2x-4의 그래프는 y=-2x의 그래

프를 y축의방향으로-4만큼평행이동한것이다.

따라서⑴, ⑵의그래프는다음과같다.

O x

y

4

2

-2

-4

-2 2⑴

⑵

11

목표| 일차함수의 평행이동을 이용하여 문제를

해결할 수 있게 한다.

풀이| y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 b

만큼평행이동한일차함수의그래프는

y=2x+b이다.

이그래프가점 (-1, 1)을지나므로

1=2_(-1)+b, b=3

12

활동 목표•좌표평면 위에 주어진 점들을 나

타내고, x축과 y축 위에 있는 점들의 특징을

살펴보게 하여 x절편과 y절편을 알게 하려는

것이다.


1. D(-3, 0), E(4, 0)

2. B(0, 3), F(0, -1)

3. x축위에있는점의좌표는 (x, y)에서 y의값이 0이

고, y축 위에 있는 점의 좌표는 (x, y)에서 x의 값이

0이다.

절편은 단독으로 사용되지 않고 x절편, y절편과 같이 사용된다.

절편(截片)에서‘절(截)’은‘끊다’라는의미이고, ‘편(片)’은‘조각’을

의미하므로절편에는‘끊어낸조각’이라는뜻이있다. 절편을영어

로는 intercept라고 하는데, ‘도중에서 붙잡다’라는 뜻이 있다.

inter는‘도중에서(between)’를 의미하며, cept는‘잡다’, ‘붙잡

다(take/seize)’를 의미하는 라틴 어 captus에서 온 것이다. x절

편과 y절편이 각각 x축과 y축을 붙잡고 있는 것으로 보아

intercept라고한것이다.

4

2

-2

-4

42-2-4

y

O xD

C

H G

F

AB

E

읽/기/자/료 절편


교과서 119 쪽

오른쪽 그림은 일차함수의 그래프를 컴퓨터로 그린 것이다.

그래프⑴~⑷의 x절편과 y절편을각각구하여라.

13문제

일차함수 y=ax+b의그래프가 x축과만나는점의 y좌표는 0이므로 0=ax+b에

서x절편은- 이다. 또이함수의그래프가 y축과만나는점의x좌표는 0이므로

y=a_0+b에서 y절편은 b이다.

b1a

⑵ ⑴ ⑶ ⑷

다음일차함수의그래프의 x절편과 y절편을각각구하여라.

⑴ y=-4x+2 ⑵ y=6x-4

⑶ y=-3x ⑷ y= x+ 114

213

14문제

y=ax+b

{0,`b}-,`0}-ab{

O x

y

예제 06y=-2x-3에 y=0을대입하면

0=-2x-3, x=-

y=-2x-3에 x=0을대입하면

y=-2_0-3, y=-3

따라서이그래프의 x절편은- 이고, y절편은-3이다.

답 x절편: - , y절편: -3312

312

312

일차함수 y=-2x-3의그래프의 x절편과 y절편을각각구하여라.

풀이 y

O

-3

x--23

y=-2x-3

그래프와 x축과의 교점의

x좌표가 x절편이고, y축과의

교점의 y좌표가 y절편이다.

이를테면앞의그림에서일차함수

y=2x-6

의그래프의x절편은 3이고, y절편은-6이다.

176 각론

❶

❷

목표| 일차함수의 그래프에서 x절편, y절편을


풀이| 일차함수의그래프가 x축과만나는점

의 x좌표가 x절편, y축과만나는점의 y좌표

가 y절편이다.

⑴ x절편: -2, y절편: -3

⑵ x절편: 2, y절편: 2

⑶ x절편: -3, y절편: 3

⑷ x절편: 1, y절편: -2

13

❶그래프를 이용하면 일차함수 y=ax+b의

그래프가 x축과 만나는 점의 y좌표는 0이

므로 y=0일 때 x의 값이 x절편이 됨을

알 수 있다. 또 그래프가 y축과 만나는 점

의 x좌표는 0이므로 x=0일때 y의값이 y

절편임을알수있다.

❷일차함수 y=ax+b에서

⑴ y=0이면　0=ax+b

ax=-b, x=-

따라서 x절편은- 이다.

⑵ x=0이면⋯ y=a_0+b=b

따라서 y절편은 b이다.

이때 일차함수 y=ax+b에서 그래프의 y절편은

상수항 b를나타냄을알수있다.

b1a

b1a

목표| 일차함수의그래프의 x절편, y절편을구할수있게한다.

풀이| ⑴ y=-4x+2에

y=0을대입하면⋯ 0=-4x+2, x=

x=0을대입하면⋯ y=0+2, y=2

따라서 x절편은 , y절편은 2이다.1112

112

⑵ y=6x-4에

y=0을대입하면⋯ 0=6x-4, x=

x=0을대입하면⋯ y=0-4, y=-4

따라서 x절편은 , y절편은-4이다.

⑶ y=-3x에

y=0을대입하면　0=-3x, x=0

x=0을대입하면⋯ y=0, y=0

따라서 x절편은 0, y절편은 0이다.

⑷ y= x+ 에

y=0을대입하면⋯ 0= x+ , x=-

x=0을대입하면⋯ y=0+ , y=

따라서 x절편은- , y절편은 이다.11143118

114

114

318

114

213

114

213

2113

213

14

본문 해설



교과서 120 쪽

두 점을 이용하여 일차함수의 그래프는 어떻게 그리는가?

일차함수 y=2x-1에대하여다음물음에답하여보자.

1. 일차함수 y=2x-1을만족시키는순서쌍 (x, y)를두개

찾아오른쪽좌표평면위에나타내어보자.

2. 1에서좌표평면위에나타낸두점을직선으로이어보자.

탐구 활동 y

O

4

2

-2

-4

42-2-4 x

일차함수의그래프는직선이고, 서로다른두점을지나는직선은오직하나뿐이

다. 따라서일차함수의그래프를그릴때, 그그래프가지나는서로다른두점을알

면일차함수의그래프를쉽게그릴수있다.

일차함수 y=2x-1에서

x=1일때　y=1

x=2일때　y=3

이므로이일차함수의그래프는두점

(1, 1), (2, 3)

을지난다.

따라서 일차함수 y=2x-1의 그래프는 오른쪽 그림과

같이두점 (1, 1), (2, 3)을지나는직선이다.

O

y=2x-1

-4

-6

-2-2 2

2

4

6

4-4

y

x

x에 1, 2 이외의 다른 값을

대입하여 y의 값을 구해서 그

려도같은그래프가그려진다.

다음 일차함수의 그래프 위에 있는 적당한 두 점을 이용하

여오른쪽좌표평면위에그래프를그려라.

⑴ y=-2x+1

⑵ y=x-3

15문제 y

O

4

2

-2

-4

42-2-4 x

1. x절편과 y절편을 좌표로 구하는 경우

일차함수 y=2x-4의 그래프가 x축과 점 (2, 0)에서 만

나고, y축과 점 (0, -4)에서 만나기 때문에 x절편은 그

점의 좌표 (2, 0)으로, y절편은 (0, -4)로 구하는 경우가

많다. 따라서 x절편은 2, y절편은 -4와 같이 하나의 값임

을 정확히 알 수 있도록 지도한다.

2. x절편과 y절편을 방정식으로 구하는 경우

대입의 과정에서 절편을 값이 아닌 방정식 형태로 나타내

는 경우가 있다. 예를 들어 y=2x-4의 x절편을 구하기

위해 y에 0을 대입하여 2x-4=0이 되면 방정식 x=2를

x절편이라고 하는 경우가 있다. 이 경우 x절편은 2이고

x=2는 y축에 평행한 직선임을 구분할 수 있도록 지도한다.

활동 목표•일차함수를 만족시키는 두 점의

좌표를 좌표평면 위에 나타내고 이를 이용하여

일차함수의 그래프를 그리는 방법을 알게 하려

는 것이다.


1. 예⃝ x=0일때 y=-1이고, x=1일때 y=1

이므로 순서쌍 (0, -1), (1, 1)은 일차

함수 y=2x-1을만족시킨다.

2. y

O x42-2-4

4

2

-2

-4

y

O x42-2-4

4

2

-2

-4

목표| 일차함수를 만족시키는 두 점을 이용하여 좌표평면 위

에 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x=0일때 y=1, x=1일때 y=-1이므로

일차함수 y=-2x+1의그래프는두점 (0, 1),

(1, -1)을지나는직선이다.

⑵ x=0일 때 y=-3, x=1일 때 y=-2이므로 일차함

수 y=x-3의그래프는두점 (0, -3), (1, -2)를

지나는직선이다.

15

2 4-2-4 O

y

x

⑴

⑵ 4

2

-2

-4

지/도/자/료 x절편, y절편에 대한 오개념 지도 방법


교과서 121 쪽

일차함수의 그래프에서 x절편과 y절편을 알면 일차함수의 그래프가 x축, y축과

만나는점을알수있으므로그그래프를쉽게그릴수있다.

이제일차함수의그래프를x절편과 y절편을이용하여그려보자.

y=0을 대입하여 구한 x의

값이 x절편이고, x=0을 대입

하여구한 y의값이 y절편이다.

다음 일차함수의 그래프를 x절편과 y절편을 이용하여

오른쪽좌표평면위에그려라.

⑴ y=- x-2

⑵ y=-2x+2

⑶ y= x-3

⑷ y=- x+3112

312

213

16문제4

2

-2

-4

4 62-2-4-6

y

O x

예제 07y=x+3에 y=0을대입하면

0=x+3, x=-3

y=x+3에 x=0을대입하면

y=0+3, y=3

따라서 x절편은 -3이고, y절편은 3이므로 이 일차함수

의그래프는오른쪽그림과같이두점

(-3, 0), (0, 3)

을지나는직선이다.

일차함수 y=x+3의그래프를 x절편과 y절편을이용하여그려라.

풀이

y

O x

y=x+3

-3

3

x절편이 0이고 y절편이 0인 일차함수의 그래프를 각자 그려 보고, 친구들과 비교하

여 보자. 또 x절편, y절편 중에서 하나만 주어진 경우 일차함수의 그래프를 오직 한

개만그릴수있는지토의하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

178 각론

❶

❶ x값의 범위가 수 전체일 때, 일차함수의

그래프는 직선이고 두 점을 지나는 직선

은 오직 하나뿐이므로 x절편과 y절편을

알면 일차함수의 그래프를 쉽게 그릴 수

있다.

목표| 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 구

하고, 이를 이용하여 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=0일때 x=-3, x=0일때

y=-2이므로 그래프의 x절편은 -3이

고, y절편은-2이다.

따라서그래프는두점 (-3, 0), (0, -2)

를지나는직선이다.

⑵ y=0일 때 x=1, x=0일 때 y=2이므로

그래프의 x절편은 1이고, y절편은 2이다.

따라서 그래프는 두 점 (1, 0), (0, 2)를 지나는 직

선이다.

⑶ y=0일 때 x=2, x=0일 때 y=-3이므로 그래프의

x절편은 2이고, y절편은-3이다.

따라서 그래프는 두 점 (2, 0), (0, -3)을 지나는

직선이다.

⑷ y=0일 때 x=6, x=0일 때 y=3이므로 그래프의 x

절편은 6이고, y절편은 3이다.

따라서 그래프는 두 점 (6, 0), (0, 3)을 지나는 직

선이다.

16

4

2

-2 ⑷

⑶

O

y

x2 4 6-2-4-6

⑴ ⑵

-4

출제 의도| x절편과 y절편이 0인 일차함수의 그래프를 그려

봄으로써 일차함수의 그래프가 지나는 한 점의 좌표만을 알

때에는 그래프를 하나로 결정할 수 없음을 알게 하기 위한 문

제이다.

풀이| x절편이 0이고, y절편이 0인 일차함수의 그래프

는 원점을 지나는 직선이다. 따라서 y=ax의 형태로 a

의 값에 따라 그래프의 모양이 달라진다. 즉, 하나의 그

래프로나타낼수없다.

x절편 또는 y절편 중에서 하나만 주어진 경우도 역시

그래프는 한 점을 지나는 직선이므로 하나의 그래프로

나타낼수없다.

본문 해설

사고력 기르기 의사소통



사다리차 이외에도 언덕길의 기울어진 정도를 나타내는

표시판, 스키장의슬로프등우리주변에서경사도의개

념이사용되는곳을쉽게찾아볼수있다.


교과서 122 쪽

일차함수의 그래프의 기울기란 무엇인가?

사다리차

고층건물에화재가발생하거나이사를할때이용하

는사다리차는경사가급하여항상안전에유의하여

야한다. 이때‘경사가급하다’라는표현은경사도가

크다는것을말하고, 경사도는(경사도)=

로나타낸다.

(수직거리)111123(수평거리)

탐구 활동 오른쪽 그림과 같이 사다리의 밑부분에서 아파트

까지의 거리가 6 m이고 한층의 높이가 2 m일

때, 물음에답하여보자.

1. 그림㈎와㈏에서사다리의경사도를각각구하

여보자.

2. 작업하는곳의층수가높아질수록경사도는어떻

게변하는지말하여보자.

생각 열기

6`m2`m

6`m2`m

㈎㈏

일차함수y=2x+1에서x의값에대한y의값을구하여표로나타내면다음과같다.

위의표에서 x의값이 1씩증가하면 y의값은 2씩증가함을

알수있다. 또 x의값이 -1에서 2까지 3만큼증가하면 y의

값은-1에서 5까지 6만큼증가함을알수있다.

이때x값의증가량에대한 y값의증가량의비율은

= =;3;

=2

이다.

5-(-1)112112-(-1)

(y값의증가량)1111112(x값의증가량)

22

1 1 1

2 2 22

1 1 1

6

3

x

y

y

y

-3

-5

-2

-3

-1

-1

0

1

1

3

2

5

3

7

y

y

x

y

O

12

12

3

6

y=2x+13

5

1

-3 -1

-3

-1

1 3

교과서 123 쪽

일반적으로일차함수 y=ax+b에서 x값의증가량에대한

y값의증가량의비율은항상일정하고, 그비율은 x의계수인

a와같다. 이때이증가량의비율 a를일차함수 y=ax+b의

그래프의기울기라고한다.

예제 08

⑴ x의값이 1일때 y의값은 2이고, x의값이 5일때 y의값은 14이므로 y값의증가

량은

14-2=12

⑵ x값의증가량은 5-1=4이므로

= =3

⑶⑵에서구한비율 3은일차함수 y=3x-1에서 x의계수 3과같다.

답 ⑴ 12 ⑵ 3 ⑶같다.

12144


일차함수 y=3x-1에대하여 x의값이 1에서 5까지증가할때, 다음물음에답하여라.

⑴ y값의증가량을구하여라.

⑵ x값의증가량에대한 y값의증가량의비율을구하여라.

⑶⑵에서구한비율과일차함수 y=3x-1에서 x의계수를비교하여라.

풀이

일차함수 y=-3x+1에대하여 x의값이-2에서 3까지증가할때, 다음물음에답하여라.

⑴ y값의증가량을구하여라.

⑵ x값의증가량에대한 y값의증가량의비율을구하여라.

⑶⑵에서구한비율과일차함수 y=-3x+1에서 x의계수를비교하여라.

17문제

y= a x+b

기울기

이와같이일차함수 y=2x+1에서 x값의증가량에대한 y값의증가량의비율은

항상 2로일정하고, 이비율은 y=2x+1의 x의계수와같음을알수있다.

활동 목표•일상생활에서 볼 수 있는 사다리차를 이용하

여 일차함수의 기울기를 알게 하려는 것이다.


1. (경사도)= 이므로㈎의경사도는 =1,

㈏의경사도는 = 이다.

2.위의 결과와 같이 작업하는 곳의 층수가 높아질수록

경사도는커진다.

5113

10136

616

(수직거리)1311132(수평거리)

목표| 일차함수 y=ax+b에서 x값의 증가량에 대한 y값의

증가량의 비율이 x의 계수와 같음을 알게 한다.

풀이| ⑴ x=-2일때, y의값은

y=-3_(-2)+1=7

x=3일때, y의값은

y=-3_3+1=-8

따라서 y값의증가량은

-8-7=-15

⑵ x값의증가량은 3-(-2)=5이므로

=- =-3

⑶⑵에서 구한 비율 -3은 일차함수 y=-3x+1에서

x의계수-3과같다.

15135


17


교과서 124 쪽

다음일차함수의그래프의기울기를말하여라.

⑴ y=-2x+5 ⑵ y= x+3

⑶ y=-x-3 ⑷ y= x213

112

18문제

일차함수 y=ax-5에서 x의값이 3만큼증가할때, y의값은 12만큼감소한다고한다. 이

때 a의값을구하여라.

19문제

기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그래프는 어떻게 그리는가?

오른쪽 그림은 일차함수 y=-2x+3의 그래프이다. 다음 물음

에답하여보자.

1. x=0일때, y의값을구하여순서쌍 (x, y)로나타내어보자.

2. 다음 안에알맞은수를써넣어보자.

탐구 활동

x의값이 0에서 1까지 1만큼증가할때,

y의값은 에서 까지 만큼감소한다.

이상을정리하면다음과같다.

일차함수의그래프의기울기

일차함수 y=ax+b에서

(기울기)= =a(y값의증가량)1111112(x값의증가량)

y

O x

y=ax+b

1

a일차함수 y=ax+b와

y=ax의그래프의기울기는모

두 a로같다.

180 각론

목표| 일차함수의 그래프의 기울기를 구할 수

있게 한다.

풀이| 일차함수 y=ax+b의 그래프의 기울

기는 x의계수 a와같다. 따라서각각의일차함

수의기울기는다음과같다.

⑴-2 ⑵

⑶-1 ⑷2113

1112

18

목표| 일차함수의 기울기를 구할 수 있게 한다.

풀이| 일차함수 y=ax-5에서 a는기울기를

나타내므로

a= =

=-4

-121313


19

❶일차함수의 그래프에서 기울기 a를 구할 때, x값의

증가량을 정수 1로 잡는 것은 계산하기 편하게 한 것

일 뿐이므로 기울기에 따라 다른 값으로 계산할 수도

있다.

예를 들어 오른쪽 그림과 같은

일차함수의그래프는 x의값이

1만큼 증가할 때, y값의 증가

량이 정수가 아니므로 x의 값

과 y의 값이 모두 정수인 경우

의 두 점을 찾아 x값의 증가량

3을 찾고, y값의 증가량 2를 찾아 기울기 를 구할

수있다.

213

O x

y

32

2

2

4

4

본문 해설

활동 목표•기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그래

프를 그리는 방법을 알게 하려는 것이다.


1. (0, 3)

2. x의 값이 0에서 1까지 1만큼 증가할 때, y의 값은

에서 까지 만큼감소한다.213

읽/기/자/료 우리나라와 북한의 함수 관련 용어 비교

남한용어

원점

기울기

사분면

수직선, 수선

좌표

좌표평면

북한용어

자리표처음점

변화비

사분구

드림선

자리표

자리표평면

❶



교과서 125 쪽

다음일차함수의그래프를기울기와 y절편을이용하여오른쪽좌표

평면위에그려라.

⑴ y=3x-3

⑵ y=-3x+2

20문제y

O

-2

2

2-2 x

일차함수 y=ax+b(a+0)의그래프를좌표평면위에나타낼때, 기울기와 y절편의

값에따라그려지는그래프에대하여말하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

일차함수 y=-2x+3의그래프는 y절편이 3이므로점 (0, 3)을지난다. 또기울

기가-2이므로x의값이 1만큼증가할때, y의값은 2만큼감소한다.

따라서 y=-2x+3의그래프는점 (0, 3)에서오른쪽으로 1만큼, 아래로 2만큼

이동한점 (1, 1)을지난다.

그러므로일차함수 y=-2x+3의그래프는오른쪽그림과

같이두점 (0, 3), (1, 1)을지나는직선이다.

1

y

O x

-2

-1

1

3

5

-1 1 3

y=-2x+3

예제 09일차함수 y= x-3에서 y절편은 -3이므로이그래프

는점 (0, -3)을지난다. 또기울기가 이므로 x의값

이 3만큼증가할때, y의값은 2만큼증가한다.

따라서y= x-3의그래프는두점(0, -3), (3, -1)

을지나므로오른쪽그림과같은직선이다.

213

213

213

일차함수 y= x-3의그래프를기울기와 y절편을이용하여그려라.213

풀이

-x-3y=32

2

3

2

-2

-4

-2

y

2 4O x

❶

❶일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편으로부터 그래

프가 y축과 만나는 점을 알 수 있고, 기울기를 이용

하여 이 점으로부터 또 다른 한 점을 알 수 있다. 이

두점을이용하면일차함수의그래프를그릴수있다.

이때기울기가정수인경우는 y축과만나는점

(0, b)와 이 점에서 x축으로 1만큼, y축으로 a만큼

증가한 (1, b+a)를 지나는 직선을 그릴 수 있도록

한다.

또 기울기가 (p+0)와 같이 분수인 경우는 y축과

만나는점 (0, b)와이점에서 x축으로 p만큼, y축으

로 q만큼 증가한 (p, b+q)를 지나는 직선을 그릴

수있도록한다.

q1p

본문 해설

목표| 기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그

래프를그릴수있게한다.

풀이| ⑴ 일차함수 y=3x-3의 그래프의 y

절편은-3이므로이그래프는점 (0, -3)

을지난다. 또기울기가 3이므로점 (1, 0)

을 지난다. 따라서 일차함수 y=3x-3의

그래프는다음그림과같다.

⑵일차함수 y=-3x+2의 그래프의 y절편

은 2이므로 이 그래프는 점 (0, 2)를 지

난다. 또 기울기가-3이므로점 (1, -1)

을 지난다. 따라서 일차함수 y=-3x+2

의그래프는다음그림과같다.

20

2-2

2

-2O

y

x

1

3

2-2

2

-2O

y

x

1

-3

출제 의도| 기울기와 y절편의 값에 따른 그래프의 위치를 알

게 하기 위한 문제이다.

풀이|

그래프가지나는사분면

제1, 3사분면

제1, 2, 3사분면

제1, 3, 4사분면

제2, 4사분면

제1, 2, 4사분면

제2, 3, 4사분면

a, b의값

a>0, b=0

a>0, b>0

a>0, b<0

a<0, b=0

a<0, b>0

a<0, b<0



교과서 126 쪽

기울기와 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는가?

오른쪽 그림에서 그래프 ①, ②를 보고, 다음 물음에 답하여

보자.

1. 다음일차함수의그래프를오른쪽그림에서각각찾아보자.

⑴ y=2x-2

⑵ y=-2x+2

2. x의 값이 1에서 2로 증가할 때, y의 값도 증가하는 것은

어느것인가?

3. x의 값이 1에서 2로 증가할 때, y의 값이 감소하는 것은

어느것인가?

탐구 활동① ②

일차함수 y=3x-2의그래프에서기울기 3은양수이므로x의값이증가할때 y의

값도증가한다.

따라서<그림 1>과같이그래프는오른쪽위로향하는직선이다.

또일차함수 y=-3x+2의그래프에서기울기-3은음수이므로 x의값이증가

할때 y의값은감소한다.

따라서<그림 2>와같이그래프는오른쪽아래로향하는직선이다.

y

1

1

-2

O x

y=3x-2

증가

증가

y

1

-1

2

O x

y=-3x+2

감소

증가

03●일차함수의그래프의성질을이해한다.

일차함수의그래프의성질

<그림 1> <그림 2>

182 각론

03 일차함수의그래프의성질

① 기울기와그래프 사이의 관계를이해하게 한다.

② 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프 사이의

관계를 이해하게 한다.

③ 기울기와 한 점의 좌표를 알 때, 일차함수의

식을 구할 수 있게 한다.

④ 두 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식을 구할

수 있게 한다.


1. 여러 가지 일차함수의 그래프를 관찰하여

공통점과 차이점을 찾아내고, 일차함수의

그래프의 성질을 학생 스스로 자연스럽게

발견할수있도록한다.

2. 기울기가같은두일차함수의그래프는서

로 평행하거나 일치하며, 서로 평행한 두

일차함수의 그래프는 기울기가 서로 같음

을 구체적인 예를 통해 이해할 수 있도록

한다.

3. 일차함수 y=ax+b에서 기울기가 a이고, y절편이 b

임을 이용하여 조건에 맞는 일차함수의 식을 구할 수

있도록한다.


활동 목표•일차함수의 기울기와 그래프 사이의 관계를

이해하게 하려는 것이다.


1. ⑴일차함수 y=2x-2의 그래프는 x절편이 1이고, y

절편이-2이므로①①이다.

⑵일차함수 y=-2x+2의 그래프는 x절편이 1이

고, y절편이 2이므로②②이다.

2. x의 값이 1에서 2로 증가할 때, y의 값이 0에서 2로

증가하는그래프는①①이다.

3. x의 값이 1에서 2로 증가할 때, y의 값이 0에서 -2

로감소하는그래프는②②이다.

일차함수 y=ax+b에서 다음과 같이 기울기 a와 그래프 사이

의 관계를 알면 y=ax+b의 그래프의 대략적인 모양을 알 수

있다.

⑴ a>0이면 오른쪽 위로 향하는 직선이고, a<0이면 오른

쪽아래로향하는직선이다.

⑵ a의절댓값이클수록그래프는 y축에가깝다.

⑶ y=x의 그래프는 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기

가 45˘이다.

O

y y=3x

y=x

x45æ

y= x1-3

지/도/자/료



목표| 기울기와 그래프 사이의 관계를 이용하여 일차함수의

그래프의 기울기와 y절편의 부호를 말할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 그래프가 오른쪽 위로 향하고, x=0일 때 y의

값이양수이므로　a>>0, b>>0

⑵그래프가 오른쪽 위로 향하고, x=0일 때 y의 값이

음수이므로　a>>0, b<<0

⑶그래프가오른쪽아래로향하고, x=0일때 y의값이

양수이므로　a<<0, b>>0

⑷그래프가오른쪽아래로향하고, x=0일때 y의값이

음수이므로　a<<0, b<<0

1

목표| 일차함수의 기울기와 그래프 사이의 관계를 이해하게

한다.

풀이| 오른쪽위로향하는직선: ㉠㉠, ㉢㉢

오른쪽아래로향하는직선: ㉡㉡, ㉣㉣

2

교과서 127 쪽

일반적으로다음을알수있다.


•a>0이면 x의 값이 증가할

때, y의값도증가한다.

•a<0이면 x의 값이 증가할

때, y의값은감소한다.

일차함수 y=ax+b의그래프


⑴ a>0이면그래프는오른쪽위로향하는직선이다.

⑵ a<0이면그래프는오른쪽아래로향하는직선이다.

증가

증가

a>0y

O x

b감소

증가

a<0y

b

O x

오른쪽 그림은 일차함수 y=ax+b의 그래프를 컴퓨터로

그린 것이다. 그래프 ⑴~⑷의 기울기의 부호와 y절편의

부호를각각말하여라.

1문제

다음 일차함수의 그래프를 오른쪽 위로 향하는 직선과 오른쪽 아래로 향하는 직선으로 구

분하여라.

2문제

⑴ ⑶

⑵ ⑷

㉠ y=6x-2 ㉡ y=-2x+5

㉢ y= x+3 ㉣ y=- x-5 713

314

교과서 128 쪽

기울기가 같은 두 일차함수의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는가?

오른쪽 그림은 일차함수 y= x의 그래프이다. 투명

종이를 대고 그래프를 따라 그린 후 다음 물음에 답하여

보자.

1. 투명 종이 위의 그래프를 y축의 양의 방향으로 3만큼

평행이동하여보자.

2. 투명 종이 위의 그래프를 y축의 음의 방향으로 3만큼

평행이동하여보자.

3. 1과 2로부터 y= x의그래프와 y= x+b의그래

프의공통점과차이점을말하여보자.

112

112

1112탐구 활동

-xy=21

4

2

-2

-4

-4 -2 2 4 x

y

O

일차함수 y=2x+3의 그래프는 일차함수 y=2x의

그래프를 y축의 양의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이

므로두직선은서로평행하다.

또 일차함수 y=2x-3의 그래프는 일차함수 y=2x

의그래프를 y축의음의방향으로 3만큼평행이동한것

이므로두직선은서로평행하다.

따라서일차함수

y=2x, y=2x+3, y=2x-3

의그래프는서로평행하고, 그기울기는모두2로같다는것을알수있다.

일반적으로기울기와일차함수의그래프사이에는다음과같은관계가있다.

x

y

O

y=2x+3

y=2x

y=2x-3

4

2

-2

-4

-4 -2 2 4

기울기와일차함수의그래프

⑴기울기가같은두일차함수의그래프는서로평행하거나일치한다.

⑵서로평행한두일차함수의그래프의기울기는같다.

기울기와 y절편이 모두 같은 두 일차함수의 그래프는 일치하고, 기울기가 같고 y절편이

다른두일차함수의그래프는서로평행하다.

참고

활동 목표•기울기가 같은 두 일차함수의 그래프 사이의

관계를 이해하게 하려는 것이다.


1. 2.

3.공통점: y=;2!;x의 그래프와 y=;2!;x+b의 그래프는

기울기가같은직선이다.

차이점: y=;2!;x의 그래프와 y=;2!;x+b(b+0)의 그

래프는 y절편이 다르므로 두 그래프는 일치하지 않는

다. 즉, 평행하다.

-x-3y=21

-xy=21

y4

2

-2

-4

42-2-4 xO

-xy=21-x+3y=2

1y4

2

-2

-4

42-2-4 xO


교과서 129 쪽

다음일차함수의그래프중에서서로평행한것을모두찾아라.3문제

두일차함수 y=3ax-2, y=12x+2의그래프가서로평행하기위한 a의값을구하여라. 4문제

㉠ y=3x-2 ㉡ y=-5x+3

㉢ y=- x+4 ㉣ y=3x+7

㉤ y=-5x ㉥ y=- x-6213

213

기울기와 한 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식은 어떻게 구하는가?

오른쪽그래프를보고, 다음물음에답하여보자.

1. y절편을구하여보자.

2. 기울기를구하여보자.

3. 1, 2의결과를이용하여이직선을그래프로하는일차함수의

식을구하여보자.

탐구 활동

O 1 x

y

-1

3

1

일차함수 y=ax+b의 그래프는 기울기가 a이고, y절편이

b인직선이다.

따라서직선의기울기와 y절편을알면일차함수의식을구

할수있다.

또기울기 a와그래프위의한점의좌표를알때에도

y=ax+b

의 x, y에그점의좌표를대입하여 y절편을구할수있으므로일차함수의식을구할

수있다.

y= a x+ b

기울기 y절편

184 각론

목표| 일차함수의 그래프 중에서 서로 평행한

것을 찾을 수 있게 한다.

풀이| ㉠㉠과 ㉣㉣의 그래프의 기울기가 3으로

같으므로서로평행하다.

㉡㉡과 ㉤㉤의 그래프의 기울기가 -5로 같으므

로서로평행하다.

㉢㉢과 ㉥㉥의 그래프의 기울기가 -` 로 같으

므로서로평행하다.

213

3

목표| 기울기와 한 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식을 구

할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라고 하면

기울기 a는-2이고, y절편 b는 3이다.

따라서구하는일차함수의식은　y=-2x+3

5

목표| 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하기

위한 조건을 이해하게 한다.

풀이| y=3ax-2와 y=12x+2의 그래프는

y절편이 다르므로 기울기가 같으면 서로 평

행하다. 따라서 3a=12이므로　a=4

4

활동 목표•y절편과 기울기를 알 때, 일차함수의 식을 구

하는 방법을 알게 하려는 것이다.


1. y절편은 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표이다. 주

어진그래프는 y축과 3에서만나므로 y절편은 3이다.

2. 일차함수의 그래프의 기울기는 x값의 증가량에 대한

y값의증가량의비율이다.

주어진 그래프는 x의 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은

3만큼증가하므로이그래프의기울기는 이다.

3. 주어진 직선을 나타내는 일차함수의 식을 y=ax+b

라고하면기울기는 이고, y절편은 3이므로

y= x+33112

312

3112

❶한 점을 지나는 직선은 무수히 많다. 그중에서 주어

진기울기를가지는직선은단하나이므로직선이지

나는 한 점의 좌표와 기울기를 알 때, 그 일차함수의

식을구할수있다.

본문 해설

❶



교과서 130 쪽

다음직선을그래프로하는일차함수의식을구하여라.

⑴기울기가-2이고, y절편이 3인직선

⑵기울기가-3이고, 원점을지나는직선

⑶기울기가 이고, 점 (3, 3)을지나는직선213

5문제

오른쪽 그림의 직선 ⑴과 ⑵를 그래프로 하는 일차함수의

식을각각구하여라.

6문제

O x

y

2 4

⑴

⑵

2

예제 01 다음직선을그래프로하는일차함수의식을구하여라.

⑴기울기가-2이고, y절편이 4인직선

⑵기울기가 2이고, 점 (2, 5)를지나는직선

⑴구하는일차함수의식을y=ax+b라고하면기울기a는-2이고, y절편b는4이다.

⋯ 따라서구하는일차함수의식은

y=-2x+4

⑵구하는일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울기가 2이므로

y=2x+b yy①

⋯ 그런데이직선은점 (2, 5)를지나므로①에 x=2, y=5를대입하면

5=2_2+b, b=1

⋯ 따라서구하는일차함수의식은

y=2x+1

답 ⑴ y=-2x+4 ⑵ y=2x+1

풀이y

O

4

2

2 x

기울기-2

y절편

발전

⑵구하는 일차함수의 식을 y=ax+b라고 하면 기울기

a는-3이므로　y=-3x+b yy①

이 직선은 점 (0, 0)을 지나므로 ①에 x=0, y=0을

대입하면　0=-3_0+b, b=0

따라서구하는일차함수의식은　y=-3x

⑶구하는일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울기

a는 이므로　y= x+b yy①

이 직선은 점 (3, 3)을 지나므로 ①에 x=3, y=3을

대입하면　3= _3+b, b=1

따라서구하는일차함수의식은　y= x+12113

213

213

213

디리클레(Dirichlet, J. P. G. L. ;

1805~1859)는 독일의 수학자로 함수

에 대한 새로운 정의를 함으로써 함수

의 개념 발달과 수학 발전에 기여하

였다.

독일의 뒤렌에서 태어나 1828년부터

1855년까지 베를린 대학에서 연구를 하

였고, 1855년에는 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)의 뒤를

이어 괴팅겐 대학의 교수가 되었다.

디리클레는 정수론, 급수론, 대수학 등 수학의 많은 분야에 업적

을 남겼지만 무엇보다 중요한 업적은 함수를 대응 관계로 파악한

것이다. 그는 함수를‘두 변수 x, y에 있어서 x의 값에 따라 y의

값이 정해질 때, y는 x의 함수이다.’라고 정의하였다. 이것은 함수

를 단순한 식의 표현으로 보아 온 라이프니츠의 함수의 개념을

뒤바꾸었고, 수학이 계산론에 치우치는 것을 막는 데 기여하였다.

주의| 답을 쓸 때 y=-2x+3을 -2x+3으로 쓰지 않

도록주의한다.

목표| 그래프를 보고 일차함수의 식을 구할 수

있게 한다.

풀이| ⑴ x의 값이 0에서 2까지 2만큼 증가

할 때, y의 값은 -1에서 0까지 1만큼 증

가하므로기울기는 이다.

또 y축과점 (0, -1)에서만나므로 y절편

은-1이다.

따라서구하는일차함수의식은

y= x-1

⑵ x의 값이 0에서 4까지 4만큼 증가할 때, y

의 값은 2에서 0까지 2만큼 감소하므로

기울기는- 이다.

또 y축과 점 (0, 2)에서 만나므로 y절편

은 2이다.


y=- x+21112

112

1112

112

6

읽/기/자/료 디리클레

디리클레


교과서 131 쪽

두 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식은 어떻게 구하는가?

두점 (1, -1)과 (3, 3)을지나는직선에대하여다음물음에답하여보자.

1. 기울기를구하여보자.

2. 1에서 얻은 기울기를 a라 하고, 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을

y=ax+b라고하자. b는어떻게구할수있겠는가?

탐구 활동

6만큼증가

(-2,-1) ˙k (1, 5)

3만큼증가

서로다른두점을지나는직선은하나뿐이므로이들두점의좌표를알면일차함

수의식을구할수있다.

두점 (-2, -1), (1, 5)를지나는직선을그래프로하는일차함수의식을구하

여보자.

x의값이 -2에서 1까지 3만큼증가할때, y의값은

-1에서5까지6만큼증가하므로이그래프의기울기a는

a=

= = =2

이다.

이때구하는일차함수의식을

y=2x+b yy①

로나타낼수있다.

그런데이직선은점 (1, 5)를지나므로①에 x=1, y=5를대입하면

5=2_1+b, b=3

이다.

따라서두점(-2, -1), (1, 5)를지나는직선을그래프로하는일차함수의식은

y=2x+3

임을알수있다.

6135-(-1)111131-(-2)


O x

y

2

-2

-2-4

{-2,`-1}

{1,`5}4

2

다음두점을지나는직선을그래프로하는일차함수의식을구하여라.

⑴ (2, 2), (-1, -4) ⑵ (2, 1), (-2, 9)

⑶ (-1, 7), (4, 2) ⑷ (-3, -2), (-1, 6)

7문제

186 각론

활동 목표•주어진 두 점을 지나는 직선을 그

래프로 하는 일차함수의 식을 구하는 방법을

알게 하려는 것이다.


1. (기울기)=

(기울기)= =2

2.일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울

기 a=2이므로⋯ y=2x+b

이직선은점 (1, -1)을지나므로기울기

와 한 점의 좌표를 알 때 일차함수의 식을

구하는방법으로구할수있다.

즉, x=1, y=-1을 y=2x+b에대입하면

-1=2_1+b, b=-3


y=2x-3

3-(-1)111133-1

(y값의 증가량)11111115(x값의 증가량)

목표| 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식

을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 일차함수의 식을 y=ax+b라고 하면 기울기

a는 a= =2이므로　y=2x+b

이 직선은 점 (2, 2)를 지나므로 y=2x+b에 대입

하면　2=2_2+b, b=-2

따라서구하는일차함수의식은　y=2x-2

⑵일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울기 a는

a= =-2이므로　y=-2x+b

이직선은점 (2, 1)을지나므로 y=-2x+b에대입

하면　1=-2_2+b, b=5

따라서구하는일차함수의식은　y=-2x+5

⑶일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울기 a는

a= =-1이므로　y=-x+b2-71212134-(-1)

9-112123-2-2

-4-212123-1-2

이 직선은 점 (-1, 7)을 지나므로 y=-x+b에 대

입하면　7=-(-1)+b, b=6

따라서구하는일차함수의식은　y=-x+6

⑷일차함수의식을 y=ax+b라고하면기울기 a는

a= =4이므로　y=4x+b

이직선은점 (-3, -2)를지나므로 y=4x+b에대

입하면　-2=4_(-3)+b, b=10

따라서구하는일차함수의식은　y=4x+10

6-(-2)1212115-1-(-3)

7

주의| 두 점 (a, b)와 (c, d)를 지나는 일차함수의 그

래프의 기울기를 구할 때, 와 같이 계산하여 기

울기를잘못구하지않도록주의한다.

b-d1213c-a



교과서 132 쪽

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 A(2, 3), B(4, 3),

C(2, 6)을꼭짓점으로하는삼각형이있다. 일차함수 y=ax-1

의 그래프가 이 삼각형과 만나도록 하는 a값의 범위를 구하는

방법을설명하여라.

창up의

y

O x2 4

3

6

BA

C

다음직선을그래프로하는일차함수의식을구하여라.

⑴ x절편이-4이고, y절편이 3인직선

⑵ x절편이 5이고, y절편이-2인직선

8문제

직선의x절편과 y절편을알면직선이각각x축, y축과만나는점을알수있으므로

일차함수의식을구할수있다.

예제 02 x절편이 1이고, y절편이 3인직선을그래프로하는일차함수의식을구하여라.

x절편이 1이고, y절편이 3이므로이직선은두점

(1, 0), (0, 3)을지난다.

따라서이직선의기울기는

=-3

이고, y절편은 3이므로구하는일차함수의식은

y=-3x+3

답 y=-3x+3

3-01120-1

풀이

O x

y

1-1 3-1

3

1

x절편이 a이고, y절편이 b

인직선은두점 (a, 0), (0, b)

를지난다.

출제 의도| 일차함수의 그래프의 성질을 활용하여 기울기의

범위를 구할 수 있도록 하기 위한 문제이다.

풀이| 일차함수 y=ax-1의 그래프의 y절편은 -1이므

로 이 그래프는 항상 점 (0, -1)을 지난다. 따라서

y=ax-1의그래프가점 B(4, 3)을지날때기울기 a는

a= =1이고, y=ax-1의그래프가점C(2, 6)

을지날때기울기 a는 a= = 이므로

y=ax-1의 그래프가 삼각형 ABC와 만나기 위한 a값

의범위는 1…a… 이다.7112

712

6-(-1)131112-0

3-(-1)131114-0

목표| x절편과 y절편을 알 때, 일차함수의 식을


풀이| ⑴ x절편이-4이고, y절편이 3이므로

이 직선은 두 점 (-4, 0), (0, 3)을 지

난다. 따라서이직선의기울기는

=

이고, y절편은 3이므로 구하는 일차함수

의식은

y= x+3

⑵ x절편이 5이고, y절편이 -2이므로 이 직

선은두점 (5, 0), (0, -2)를지난다.

따라서이직선의기울기는

=

이고, y절편은 -2이므로 구하는 일차함

수의식은

y= x-22115

215

-2-0121220-5

3114

314

3-01212140-(-4)

8

원점을 지나지 않는 일차함수의 그래프의 x절편이 a이고, y절

편이 b일 때, 그 일차함수의 식은 + =1로 나타낼 수

있다.

일차함수의 식 + =1에서

① x절편: y=0을 대입하면

① x절편: =1, x=a

② y절편: x=0을 대입하면

① x절편: =1, y=b

따라서 x절편은 a이고, y절편은 b이다.

y1b

x1a

y1b

x1a

y1b

x1a

창의 UP 지/도/자/료 두 절편을 한눈에 알아볼 수 있는 일차함수의 식


교과서 133 쪽

탐구활동에서x와 y사이의관계식은

500x+1000y=4000

으로나타낼수있다.

이와같이미지수가 2개이고, 차수가 1인방정식을미지수가 2개인일차방정식또

는간단히일차방정식이라고한다.

일반적으로미지수가x, y의 2개인일차방정식은다음과같이나타낼수있다.

ax+by+c=0 (a, b, c는상수, a+0, b+0)

다음중에서미지수가 2개인일차방정식을모두찾아라.1문제

㉠ 4x-y=0 ㉡ 3x+4-2=0

㉢ y=6x+5 ㉣ 2x+7y=7(y-3)

04●미지수가 2개인일차방정식과그해의의미를이해한다.

미지수가 2개인일차방정식

요구르트

요구르트는우유를발효시킨식품으로건강에좋을뿐만아니

라독특한맛을지니고있다. 특히요구르트의유산균은음식물

을분해시켜우리몸에흡수가잘되도록만들어준다.

탐구 활동 한개에 500원하는딸기요구르트 x개와한개에 1000원하는포도요구르트 y개를합

하여 4000원어치를샀을때, 다음물음에답하여보자.

1. x와 y 사이의관계식을구하여보자.

2. 딸기요구르트를 2개, 4개, 6개샀을때, 포도요구

르트는각각몇개씩샀는지오른쪽표를완성하여

보자.

생각 열기

x

y

2 4 6

미지수가 2개인 일차방정식과 그 해란 무엇인가?

188 각론

04 미지수가 2개인일차방정식

① 미지수가 2개인일차방정식의의미를알게한다.

② 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 의미를 이

해하게 한다.


1. 실생활 문제 속에서 미지수를 정하고, 이

를 이용하여 식으로 표현하도록 함으로써

미지수가 2개인 일차방정식의 뜻을 이해

하게한다.

2. 미지수가 2개인 일차방정식은 미지수가 1

개인 일차방정식과 달리 해가 여러 개 나

올수있다는것에유의하게한다.

3. x, y가 자연수인 경우에만 해를 구하게 하

고, x, y가 정수 또는 유리수로 확대되는

것은 연립일차방정식의 풀이에서 다루도

록한다.


유산균이나 효모 등 미생물의 발효 작용을 이용하여 만

든 식품인 발효 식품은 그 종류가 다양하고, 각기 독특

한특징과풍미를지닌다. 발효식품에는간장, 된장, 고

추장 등의 콩 발효 식품, 치즈, 버터, 요구르트 등의 발

효유제품, 김치, 젓갈등의소금절임류가있다.


활동 목표•x와 y 사이의 관계식을 구하고, 그 식을 만족

시키는 자연수 x, y의 값을 구해 봄으로써 미지수가 2개인

일차방정식을 알게 하려는 것이다.


1. 500x+1000y=4000

2. x

y

2

3

4

2

6

1

❶미지수가 x, y의 2개인일차방정식 ax+by+c=0

(a, b, c는 상수, a+0, b+0)은 ax+by=-c와 같

이 등식의 성질에 의하여 여러 가지 형태로 변형될

수 있다. 한편 ax+by+c=0은 a=0, b+0이면 y에

관한 일차방정식, a+0, b=0이면 x에 관한 일차방

정식이된다.

목표| 미지수가 2개인 일차방정식을 찾을 수 있게 한다.

풀이| 주어진방정식을 ax+by+c=0의꼴로변형하면

㉠ 4x-y=0 미지수가 2개인일차방정식

㉡ 3x+2=0 미지수가 1개인일차방정식

㉢-6x+y-5=0 미지수가 2개인일차방정식

㉣ 2x+21=0 미지수가 1개인일차방정식

따라서미지수가 2개인일차방정식은㉠㉠,㉢㉢이다.

1

본문 해설

❶



교과서 134 쪽

일차방정식 2x+y=7을참이되게하는자연수x, y의값을구하여보자.

일차방정식 2x+y=7의 x에자연수 1, 2, 3, y을차례로대입하여 y의값을구하

면다음표와같다.

그런데 y의값도자연수이므로일차방정식 2x+y=7을참이되게하는자연수의

순서쌍 (x, y)를구하면 (1, 5), (2, 3), (3, 1)이다.

이와같이미지수가x, y인일차방정식을참이되게하는x, y의값또는그순서쌍

(x, y)를이방정식의해라하고, 해를모두구하는것을방정식을푼다고한다.

x

y

1

5

2

3

3

1

4

-1

5

-3

y

y

x, y가자연수일때, 다음일차방정식을풀어라.

⑴ x+y=5 ⑵ x+2y=10

2문제

다음중에서 (3, 2)를해로가지는일차방정식을모두찾아라.3문제

㉠ x+2y=5 ㉡ 2x-y=4

㉢ x-3y=3 ㉣ 4x-5y=2

예제 01일차방정식 3x+y=12의 x에자연수 1, 2, 3, y을차례로대입하여 y의값을구하

면다음표와같다.

그런데 y의값도자연수이므로구하는해는 (1, 9), (2, 6), (3, 3)이다.

답 (1, 9), (2, 6), (3, 3)

x, y가자연수일때, 일차방정식 3x+y=12를풀어라.

풀이

x

y

1

9

2

6

3

3

4

0

5

-3

y

y

❶자연수의 범위에서 해를 구할 때에는 x=1, 2, 3, y을차례로대입하여자연수가되는 y의값을찾는다.

x의 값 또는 y의 값을 정수 또는 유리수로 확장하면

미지수가 2개인 일차방정식의 해는 무수히 많음을

알수있다.

❷미지수가 x로 1개인 일차방정식의 해는 x의 값만 나

타내지만, 미지수가 x, y로 2개인일차방정식의해는

x, y의값을한쌍으로나타내어야한다.

본문 해설

❶

❷

목표| 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 구할

수 있게 한다.

풀이| ⑴ 일차방정식 x+y=5의 x에 자연수

1, 2, 3, y을 차례로 대입하여 y의 값을

구하면다음표와같다.

그런데 y의 값도 자연수이므로 구하는 해

는

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

⑵일차방정식 x+2y=10의 x에 자연수 1,

2, 3, y을 차례로 대입하여 y의 값을 구

하면다음표와같다.

그런데 y의 값도 자연수이므로 구하는 해

는

(2, 4), (4, 3), (6, 2), (8, 1)

2

x

y

1

4

2

3

3

2

4

1

5

0

6

-1

yy

x

y

1

;2(;

2

4

3

;2&;

4

3

5

;2%;

6

2

x

y

7

;2#;

8

1

9

;2!;

10

0

11

-;2!;

y

y

목표| 주어진 순서쌍을 해로 가지는 일차방정식을 찾을 수

있게 한다.

풀이| 주어진일차방정식에 x=3, y=2를대입하면

㉠ x+2y=5에서　3+4+5

㉡ 2x-y=4에서　6-2=4

㉢ x-3y=3에서　3-6+3

㉣ 4x-5y=2에서　12-10=2

따라서 (3, 2)를해로가지는일차방정식은㉡㉡,㉣㉣이다.

3


190 각론

교과서 135 쪽

05●미지수가 2개인연립일차방정식과그해의의미를이해한다.

연립일차방정식과그해

미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해란 무엇인가?

성일이는 오늘 휴대 전화에서 한 건당 15원인 단문 문자 메시지

x건과 30원인 장문 문자 메시지 y건을 합쳐 모두 5건의 문자

메시지를 보냈더니 105원의 요금이 나왔다. 다음 물음에 답

하여보자.

1. 성일이가보낸문자메시지의건수를 x, y에관한식으

로나타내어보자.

2. 성일이가내야할문자메시지요금을 x, y에관한식으로나타내

어보자.

탐구 활동

탐구활동에서단문문자메시지x건과장문문자메시지 y건을합하여 5건을보냈

으므로

x+y=5 yy①

이다. 한건당 15원인단문문자메시지의요금은 15x원이고, 한건당 30원인장문

문자메시지의요금은 30y원이므로

15x+30y=105 yy②

이다.

일반적으로두일차방정식①, ②를한쌍으로묶어서

x+y=5

15x+30y=105

와같이나타낸다. 이와같이두일차방정식을한쌍으로묶어서나타낸것을미지수

가 2개인연립일차방정식이라고한다.

두일차방정식①, ②를모두만족시키는x, y의값을구하여보자.

먼저일차방정식①, ②의해를구하여표로나타내면다음과같다.

‡

x

y

1

4

2

3

3

2

4

1

① x

y

1

3

3

2

5

1

②

교과서 136 쪽

표에서①, ②를동시에만족시키는해는순서쌍 (3, 2)임을알수있다.

따라서단문문자메시지를보낸건수는 3건, 장문문자메시지를보낸건수는 2건

이다.

한편 x, y값의범위가수전체일때, ①의해와②의

해를 좌표평면에 나타내면 오른쪽과 같은 두 직선이

된다.

이때일차방정식①, ②를모두만족시키는순서쌍

(3, 2)는두직선의교점의좌표와같음을알수있다.

이와같이두개의일차방정식을동시에만족시키는 x, y의값또는그순서쌍

(x, y)를연립일차방정식의해라하고, 연립일차방정식의해를구하는것을연립일

차방정식을푼다고한다.

이를테면앞의연립일차방정식의해는

x=3, y=2 또는 (3, 2)

이다.

O

y

-2

2

2 4 6

4

6

x+y=5

15x+30y=105

①

②

x

예제 01

방정식①, ②의해를구하여표로나타내면다음과같다.

따라서구하는연립일차방정식의해는위의표에서①과②를동시에만족시키는 x, y

의순서쌍 (4, 3)이다.

답 (4, 3)

x, y가자연수일때, 다음연립일차방정식을풀어라.

x+y=7 ⋯ ⋯⋯ yy①

2x+y=11 ⋯ ⋯yy②‡

풀이

x

y

1

6

2

5

3

4

4

3

5

2

6

1

x

y

1

9

2

7

3

5

4

3

5

1

①

②

05 연립일차방정식과그해

① 미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해의 의미를 이해하

게 한다.


1. 연립일차방정식의해는두일차방정식의공통인해임

을이해하게하고, x, y의값이유리수범위에서해를

가지는것만다룬다.

2.미지수가 2개인 연립일차방정식의 해를 구할 때 x, y

값의 범위가 주어지지 않으면 수 전체를 범위로 한다

는것을이해하게한다.

3.연립일차방정식과그해의의미를이해하도록하는데중

점을두고, 해를구하는방법자체는강조하지않는다.


•연립일차방정식(聯立一次方程式, simultaneous linear

equations)


활동 목표•x, y에 관한 두 개의 일차방정식을 세워 봄으

로써 미지수가 2개인 연립일차방정식의 의미를 알게 하려는

것이다.


1. 성일이가보낸문자가모두 5건이므로　x+y=5

2. 단문문자는한건당 15원, 장문 문자는한건당 30원

이고요금이 105원나왔으므로　15x+30y=105



교과서 137 쪽

x, y가자연수일때, 다음연립일차방정식을풀어라.

⑴ ‡ ⑵ ‡

2x+y=13

x+3y=14

x+y=6

2x+y=8

1문제

오른쪽그림은연립일차방정식 ‡ 의그래프이다.

이그래프를이용하여연립일차방정식을풀어라.

x-y=1

x-3y=-32문제

O x

y

1-1

3

21

-3

연립일차방정식 ‡ 의해가 (3, 2)일때, 두 상수 a, b의합 a+b의값을구하

여라.

ax-4y=-5

2x+by=43문제

예제 02 오른쪽그림은연립일차방정식

‡

의 그래프이다. 이 그래프를 이용하여 연립일차방정식을

풀어라.

3x-y=2

x+y=6

두직선의교점의좌표가 (2, 4)이므로구하는연립일차방정식의해는 (2, 4)이다.

답 (2, 4)

풀이

O x

y

-2

6

62

4

32

목표| x, y가 자연수일 때, 연립일차방정식의 해를 구할 수

있게 한다.

풀이| ⑴방정식 x+y=6의해를 구하여 표로 나타내면

다음과같다.

방정식 2x+y=8의해를구하여표로나타내면다음

과같다.

따라서구하는연립일차방정식의해는 (2, 4)이다.

⑵방정식 2x+y=13의 해를 구하여 표로 나타내면 다

음과같다.

방정식 x+3y=14의 해를 구하여 표로

나타내면다음과같다.

따라서 구하는 연립일차방정식의 해는

(5, 3)이다.

1

x

y

1

5

2

4

3

3

4

2

5

1

x

y

1

11

2

9

3

7

4

5

5

3

6

1

x

y

1

6

2

4

3

2

x

y

2

4

5

3

8

2

11

1

목표| 두 일차방정식의 그래프를 이용하여 연립

일차방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

풀이| 두 직선의 교점의 좌표가 (3, 2)이므

로구하는연립일차방정식의해는 (3, 2)이다.

2

목표| 해가 주어진 연립일차방정식의 계수를 구할 수 있게

한다.

풀이| ax-4y=-5에 x=3, y=2를대입하면

3a-8=-5에서　3a=3, a=1

2x+by=4에 x=3, y=2를대입하면

6+2b=4에서　2b=-2, b=-1

a+b=1+(-1)=0

3


교과서 138 쪽

미지수가 2개인연립일차방정식을풀때, 두 방정식을변끼리더하거나빼서미

지수가 1개인일차방정식으로만들면쉽게해를구할수있다.


‡

의①에서②를변끼리빼면

2x=2, x=1

이고, x=1을①에대입하면

4+y=6, y=2

이다.

yy①

yy②

4x+y=6

2x+y=4①에서 ②를 변끼리 빼면

미지수 y를없앨수있다. 4x+y=6

->≥2x+y=4

2x+y=2

06●미지수가 2개인연립일차방정식을풀수있다.

연립일차방정식의풀이

두 방정식을 변끼리 더하거나 빼서 해를 구할 수 있는가?

유니세프(UNICEF)

영양실조인어린이가전세계에약 1억 6천 8백

만 명에 달한다고 한다. 유니세프는 이러한 어

린이들을위하여국적과인종, 이념, 종교, 성별

등과상관없이도움의손길을전하고있다.

탐구 활동 민정이는 유니세프에 기부금을 전달하기 위해 친구들과 동전을 모았다. 100원짜리 동전

x개와 500원짜리 동전 y개를 합하여 모두 35개를 모았는데 총액은 8300원이었다. 다음

물음에답하여보자.

1. 다음 안에알맞은수를써넣어연립일차방정식을완성하여보자.

x+y=

x+ y=8300

2. 1의연립일차방정식을미지수가 1개인방정식으로만들려면어떤방법이있을지말하여보자.

‡

생각 열기

192 각론

06 연립일차방정식의풀이

① 두 방정식을 변끼리 더하거나 빼서 연립일차

방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

② 한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 연립일

차방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

③ 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표를 이용하

여 연립일차방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

④ 계수가 소수나 분수인 연립일차방정식을 풀

수 있게 한다.

⑤ 해가 무수히 많거나 해가 없는 연립일차방정

식을 알게 한다.

⑥ 두 직선이 평행하거나 일치할 때, 연립일차방

정식의 해를 구할 수 있게 한다.


1.연립일차방정식을 풀 때, 연립일차방정식

의 형태 또는 계수에 따라 적절한 풀이 방법을 택할

수있도록지도한다.

2.미지수가 2개인 연립일차방정식에서 어느 미지수를

먼저소거하여계산하더라도결과는같음을이해하게

한다.

3.연립일차방정식을푼후그해가주어진두개의방정

식을모두만족시키는지확인하도록강조하여지도한

다.

4.자신의 연립일차방정식 풀이 방법을 설명할 수 있게

한다.

5.소거, 가감법, 대입법용어는교수·학습상황에서다

루어질수있다.

6.평면에서 두 직선의 위치 관계는 한 점에서 만나거나

평행하거나 일치하는 세 가지 경우가 있으므로 그 교

점을확인해보고연립일차방정식의해가하나이거나

전혀없거나무수히많은경우가있음을알게한다.


유니세프는 전쟁 피해 아동의 구호와 개발도상국의 복

지 향상을 목적으로 설립된 국제연합 특별기구이다. 유

니세프의 지원 활동 현황과 방법 등의 자료는 유니세프

한국위원회 홈페이지(http://www.unicef.or.kr)에서

찾아볼수있다.


활동 목표•x, y에 관한 연립일차방정식을 완성하고, 미지

수가 2개인 연립일차방정식을 미지수가 1개인 방정식으로

만들 수 있는 방법을 생각해 봄으로써 소거와 가감법을 알



x+y=

x+ y=8300

2. x+y=35의양변에 100을곱한식에서

100x+500y=8300을변끼리빼면미지수가 1개인

y에관한방정식이만들어진다.

500100

351. ‡



교과서 139 쪽

예제 01 다음연립일차방정식을가감법으로풀어라.

2x+3y=-5 yy①

3x-5y=21 yy②‡

따라서 x=1, y=2는방정식①, ②를동시에만족시키므로주어진연립일차방정

식의해이다.

미지수가 2개인 연립일차방정식에서 한 미지수를 없애는 것을 그 미지수를 소거한다고

한다. 또 두 일차방정식을 변끼리 더하거나 빼어서 한 미지수를 소거하여 연립일차방정

식의해를구하는방법을가감법이라고한다.

참고

다음연립일차방정식을가감법으로풀어라.

⑴ ‡ ⑵ ‡

5x-2y=-17

5x+6y=-9

3x+2y=12

x-2y=-4

1문제

다음연립일차방정식을풀어라.

⑴ ‡ ⑵ ‡

2x+5y=16

3x-4y=1

5x+4y=-7

3x-2y=-13

2문제

소거하려는 미지수의 계수

의부호가같으면변끼리빼고,

부호가다르면변끼리더한다.

소거하려는 미지수의 계수

의 절댓값이 같아지도록 식의

양변에 적당한 수를 곱하거나

나누어서계산한다.

x를소거하기위하여①의양변에 3을곱하고, ②의양변에 2를곱하면

6x+9y=-15 yy③

6x-10y=42 `yy④

③에서④를변끼리빼면

19y=-57, y=-3

y=-3을①에대입하면

2x+3_(-3)=-5, x=2

따라서구하는해는 x=2, y=-3이다.

답 x=2, y=-3

‡

풀이

6x+ 9y=-15

->≥ 6x-10y= 42

19y=-57

❶

목표| 가감법을이용하여연립일차방정식을풀수있게한다.

풀이| ⑴ ‡

①과②를변끼리더하면

4x=8, x=2

x=2를①에대입하면

6+2y=12, y=3

따라서구하는해는 x=2, y=3이다.

⑵ ‡

①에서②를변끼리빼면

-8y=-8, y=1

y=1을①에대입하면

5x-2=-17, x=-3

따라서구하는해는 x=-3, y=1이다.

yy①

yy②

5x-2y=-17

5x+6y=-9

yy①

yy②

3x+2y=12

x-2y=-4

1

❶미지수가 2개인연립일차방정식을가감법

으로풀때, 두 미지수의계수의절댓값이

각각 다른 경우에는 등식의 성질을 이용

하여 두 방정식의 양변에 각각 적당한 수

를 곱하여 소거해야 할 미지수의 계수의

절댓값이 같도록 고친 다음, 소거하려는

미지수의 계수의 부호가 같으면 두 식을

빼고, 부호가다르면두식을더한다. 이때

변끼리빼는경우에는부호에주의한다.

참고| 가감법을이용한연립일차방정식의

풀이에서 어느 항을 소거하여도 관계없지

만 가능하면 소거하기 편한 항을 택하도

록한다.

본문 해설

풀이| ⑴ 3x-2y=-13의 양변에 2를 곱하여 변끼리

더하면

x=-3

x=-3을 5x+4y=-7에대입하면　y=2

따라서구하는해는 x=-3, y=2이다.

⑵ 2x+5y=16의 양변에 3을 곱하고, 3x-4y=1의 양

변에 2를곱하여변끼리빼면

y=2

y=2를 2x+5y=16에대입하면　x=3


6x+15y=48

->≥6x- 8y= 2

11x-23y=46

5x+4y=-71

+>≥ 6x-4y=-26

11x-4y=-33

목표| 가감법을이용하여연립일차방정식을풀수있게한다.

2


교과서 140 쪽

한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 해를 구할 수 있는가?

농구경기와 3점슛

농구역사상 3점슛은가장위대한발명중하나로

꼽히고있다. 미국프로농구(NBA) 1979~1980

년시즌에처음으로 3점슛을도입한이후로모든

농구 경기에 전면시행되면서농구는더욱박진감

넘치는경기가되었다.

탐구 활동 농구 경기에서 어떤 선수가 2점 슛 x개와 3점 슛 y개를 성공하여 21점을 득점하였다.

2점슛의개수가 3점슛의개수의 2배일때, 다음물음에답하여보자.

1. 연립일차방정식으로나타내어보자.

2. 1의연립일차방정식을미지수가 1개인방정식으로만들려면어떤방법이있을지말하여보

자.

생각 열기

미지수가 2개인연립일차방정식을풀때, 한방정식을다른방정식에대입하여미

지수가 1개인일차방정식으로만들면쉽게해를구할수있다.


‡

에서①을②에대입하면

3x+(2x-1)=9

5x=10, x=2

이고, x=2를①에대입하면

y=2_2-1=3

이다.

따라서위의연립일차방정식의해는x=2, y=3이다.

yy①

yy②

y=2x-1

3x+y=9

y= 2x-1대입

3x+ y =9

3x+(2x-1 )=9

한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법을 대입법이라

고한다.

참고

194 각론

활동 목표•x, y에 관한 연립일차방정식을 세

우고, 미지수가 2개인 연립일차방정식을 미지

수가 1개인 방정식으로 만들 수 있는 방법을

생각해 봄으로써 대입법을 알게 하려는 것이다.


1. ‡‡

2. x=2y를 2x+3y=21에 대입하면 미지수

가 1개인 y에관한방정식이만들어진다.

2x+3y=21

x=2y

24초 룰과 3점 슛은 농구의 발전에 지대한

영향을 미쳤다. 공격 제한 시간이 없었던

NBA 경기는 지루한 저득점 경기로 팬들의

관심에서 멀어졌다. 그러나 24초 룰을 도입

한 후 빠르고 공격적인 경기로 많은 관중의

사랑을 받기 시작하였다. 또한 NBA

1979~1980 시즌에 처음으로 도입된 3점 슛

도 짜릿한 역전승을 많이 만들어 냄으로써

농구붐이조성되는계기를마련하였다.


목표| 대입법을 이용하여 연립일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ‡

②를①에대입하면　

3x-2(-x+4)=7

3x+2x-8=7, x=3

x=3을②에대입하면　y=-3+4=1


⑵ ‡

②를①에대입하면　

2(-2y+5)+5y=9

-4y+10+5y=9, y=-1

y=-1을②에대입하면　x=2+5=7


yy①

yy②

2x+5y=9

x=-2y+5

yy①

yy②

3x-2y=7

y=-x+4

3 출제 의도| 연립일차방정식을 풀 때, 연립일차방정식의 형태

또는 계수에 따라 가감법과 대입법 중에서 편리한 방법을 알

게 하기 위한 문제이다.

풀이| 주어진 연립일차방정식을 승준이는 가감법으로,

서영이는대입법으로풀었다.

승준이는 ②의 우변의 식을 좌변으로 이항하여 나타낸

식 ③과 ①을 변끼리 더하여 x의 값을 구하고, 이를 ②

에대입하여 y의값을구하였다.

서영이는 ②를 ①에 대입하여 y의 값을 구하고, 이를 ②

에대입하여 x의값을구하였다.

방정식 ②는 x=(y에 관한 식)의 꼴이므로 승준이의 풀

이와 같이 가감법을 이용하려면 이항을 하는 과정이 추

가로필요하다. 따라서이경우에는서영이의풀이와같

이대입법을이용하는것이편리하다고할수있다.

사고력 기르기 추론



연립일차방정식의 해를 구할 때에는 가감법, 대입법 중에서

어느 방법으로 계산하더라도 결과는 같으나, 연립일차방정식의

모양과 계수에 따라 적절한 방법을 이용하는 것이 편리하다.

⑴ 가감법

연립일차방정식의 두 방정식이 ax+by=c 꼴이고, x 또

는 y의 계수의 절댓값이 같거나 적당한 수를 곱하여 절댓

값을 같게 만들 수 있을 때

⑵ 대입법

연립일차방정식의 두 방정식 중에서 어느 한 방정식이

x=(y에 관한 식) 또는 y=(x에 관한 식)의 꼴일 때

지/도/자/료 가감법과 대입법

영국 출신의 존 레논, 폴 매카트니, 조지 해리슨, 링고

스타의 4인조로 구성된 록 밴드 비틀스는 새로운 음악

적 시도와 완성도 높은 곡으로 1960년대의 음악뿐만 아

니라대중문화전반에많은영향력을발휘했다.

셍각 열기 참/고/자/료

교과서 141 쪽


⑴ ‡ ⑵ ‡

2x+5y=9

x=-2y+5

3x-2y=7

y=-x+4

3문제

승준이와서영이는연립일차방정식 ‡ 을다음과같이풀었다.

두학생의풀이방법에대해설명하여보자.

3x+2y=1 yy①

x=2y+3 yy②


▶의사소통

▶문제 해결

②에서우변의2y를좌변으로이항하면

x-2y=3 yy③

①과③을변끼리더하면

4x=4, x=1x=1을②에대입하면

1=2y+3, y=-1따라서구하는해는

x=1, y=-1

승준

②를①에대입하면

3(2y+3)+2y=18y=-8, y=-1

y=-1을②에대입하면

x=-2+3=1, x=1따라서구하는해는

x=1, y=-1

서영

한 방정식에서 계수가 간단

한 미지수를 찾아 그 미지수에

관하여정리한후다른식에대

입한다.

예제 02

①을②에대입하면

4x-3(-3x+12)=3

13x=39, x=3

x=3을①에대입하면

y=-3_3+12=3


답 x=3, y=3

다음연립일차방정식을대입법으로풀어라.

y=-3x+12 ⋯ ⋯yy①

4x-3y=3⋯ ⋯ yy②‡

풀이

교과서 142 쪽


‡

2x+y=4 yy①

`-x+y=1 yy②

의해를그래프를이용하여구하여보자.

①, ②를각각 y에관하여풀면

‡

y=-2x+4

y=x+1⋯

이고, 그래프로나타내면오른쪽그림과같다.O-2 x

y

2

2

4

① ②

일차함수의 그래프를 이용하여 연립일차방정식은 어떻게 푸는가?

비틀스(Beatles)

영국출신의 4인조록밴드비틀스는 1957년에

결성되어현재까지전세계적으로 10억장이상

의음반을판매하였다. 비틀스는대중음악역사

상가장성공적인밴드로불리고있으며다양한

장르의음악을아우르며현대대중음악의수준

을한단계높인것으로평가되고있다.

탐구 활동 비틀스가 발표하였던 곡을 모은 명곡집(Anthology)이 1995년부터 1996년까지 시리즈

로 만들어졌다.. 시리즈 수를 x개, 이 시리즈에 포함된 총 디스크의 수를 y개라고 할 때,

x와 y는다음두식을만족시킨다고한다.. 물음에답하여보자.

1. 직선의 방정식 ①, ②의 그래프를 각각 오른쪽 좌표평

면위에그려보자.

2. 1에서그린두그래프의교점의좌표를말하여보자.

생각 열기

‡

x+y=9 yy①

-x+y=3 yy②

O x

y

2-2 4 6 8

2

4

6

8

활동 목표•두 일차함수의 그래프를 이용하여 연립일차방

정식을 풀 수 있도록 하려는 것이다.


1. ①을 y에관하여풀면　y=-x+9

②를 y에관하여풀면　y=x+3

따라서직선의방정식①, ②의그래프는다음과같다.

2.두직선의교점의좌표는 (3, 6)이다.

②

O x

y

2-2 4 6 8

2

4

6

8①


교과서 143 쪽

예제 03

①, ②를각각 y에관하여풀면

‡

이것을그래프로나타내면오른쪽그림과같다.

따라서두직선의교점의좌표가 (1, -2)이므로구하는

연립일차방정식의해는

x=1, y=-2

답 x=1, y=-2

y=-x-1

y=2x-4

다음연립일차방정식을그래프를이용하여풀어라.

-x-y=1⋯ ⋯yy①

2x-y=4⋯ ⋯ yy②‡

풀이

x

y

2-2

-2

2

-4

O

① ②

이때직선①, ②는각각방정식①, ②의해 (x, y)를좌표로하는점전체를좌

표평면위에나타낸것이므로두직선의교점 (1, 2)는두방정식의공통인해를나

타낸다.

따라서주어진연립일차방정식의해는

x=1, y=2

이다.

일반적으로 x, y에관한연립일차방정식의해는두방정식의그래프의교점의 x좌

표, y좌표와같다.

‡

2x+y=4

-x+y=1에

x=1, y=2를 대입하면 연립

일차방정식이성립한다.

연립일차방정식의해

x=a, y=b

두그래프의교점의좌표

(a, b)

컴퓨터나 그래픽 계산기를

이용하여풀수도있다.

① ②


⑴ ‡ ⑵ ‡

x+2y=-4

3x+y=3

2x+y=4

x-y=2

4문제

196 각론

❶

목표| 두 일차함수의 그래프를 이용하여 연립일

차방정식의 해를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ‡

이것을그래프로나타내면다음과같다.

따라서 두 직선의 교점의 좌표가 (2, 0)이므로 구하

는연립일차방정식의해는　x=2, y=0

⑵ ‡

이것을그래프로나타내면다음과같다.

따라서 두 직선의 교점의 좌표가 (2, -3)이므로 구

하는연립일차방정식의해는 x=2, y=-3

O

y

x-2 2 4

2

4

-2

-4

-4

-x-2y=-21

y=-3x+3

y=-;2!;x-2

y=-3x+3

O

y

x-2 2 4

2

4

-2

-4

-4y=-2x+4

y=x-2

y=-2x+4

y=x-2

4

1. 연립일차방정식의 해를 구할 때, 그래프를 그려서 구하는

방법은 그래프를 그리기에 번거롭고 교점의 좌표를 읽을

때의 불확실성 때문에 자주 사용하지는 않는다. 따라서 직

선 위의 점의 의미, 두 직선의 교점의 의미 등을 이해하는

데 주안점을 두어 지도한다.

2. 연립일차방정식의 해는 각각의 일차방정식을 동시에 만족

시키는 값이고, 각각의 일차방정식의 해는 일차함수의 그

래프로 나타낼 수 있으므로 연립일차방정식의 해는 두 일

차함수의 그래프의 교점의 좌표이다.

이때 교점의 좌표를 각 방정식에 대입하여 두 방정식이 성

립하는지 확인해 봄으로써 교점의 좌표가 연립일차방정식

의 해라는 것을 확인할 수 있다.

❶두 일차함수 y=ax+b, y=a'x+b'의 그

래프가한점 (c, d)에서만난다면 x=c,

y=d는다음을만족시킨다.

d=ac+b, d=a'c+b'

따라서 x=c, y=d는연립일차방정식

‡ , 즉 ‡

의해가된다.

ax-y+b=0

a'x-y+b'=0

y=ax+b

y=a'x+b'

본문 해설

지/도/자/료



교과서 144 쪽

예제 04

①의양변에 10을곱하고, ②의양변에 100을곱하면

3x+8y=72 yy③

6x-5y=18 yy④

③의양변에 2를곱하여④를변끼리빼면

21y=126, y=6

y=6을③에대입하면

3x+48=72

3x=24, x=8


답 x=8, y=6

‡


0.3x+0.8y=7.2 ⋯ ⋯ ⋯ yy①

0.06x-0.05y=0.18 ⋯ ⋯ yy②‡

풀이계수가 소수이면 10, 100,

1000, y 중에서 알맞은 수를

양변에 곱하여 계수를 정수로

고친다.

6x+16y=144

-> ≥6x- 5y= 18

21y=126


⑴ ‡ ⑵ ‡

⑶ ‡ ⑷ ‡

0.2x+0.3y=0.2

3x+2y=8

0.3x-0.1y=1.6

0.02x+0.03y=0.18

0.01x-0.02y=0.1

0.2x-0.1y=1.1

0.2x+0.3y=3

0.5x-0.3y=-0.9

5문제

계수가 소수나 분수인 연립일차방정식은 어떻게 푸는가?

연립일차방정식에서미지수의계수가소수일때에는방정식의양변에 10의거듭

제곱을곱하여계수를정수로고치고, 분수일때에는방정식의양변에분모의최소공

배수를곱하여계수를정수로고쳐서풀면편리하다.

❶

목표| 계수가 소수인 연립일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ‡

①, ②의양변에각각 10을곱하면

‡

③과④를변끼리더하면

7x=21, x=3

x=3을③에대입하면

6+3y=30, y=8


yy③

yy④

2x+3y=30

5x-3y=-9

yy①

yy②

0.2x+0.3y=3

0.5x-0.3y=-0.9

⑵ ‡

①의 양변에 100을 곱하고, ②의 양변에

10을곱하면

‡


->2x-4y=20

->≥2x-4y=11

->2x-3y=9 y=-3

y=-3을③에대입하면

x+6=10, x=4


⑶ ‡

①의 양변에 10을 곱하고, ②의 양변에

100을곱하면

‡

③의 양변에 3을 곱하여 ④와 변끼리 더

하면

->19x-3y=48

+>≥12x+3y=18

->11x+3y=66 x=6


18-y=16, y=2


⑷ ‡

①의양변에 10을곱하면

2x+3y=2 yy③

③의양변에 2를곱하고, ②의양변에 3을곱하여변

끼리빼면

->-4x+6y=4

->≥-9x+6y=24

->-5x+3y=-20 x=4

x=4를③에대입하면

8+3y=2, y=-2


yy①

yy②

0.2x+0.3y=0.2

3x+2y=8

yy③

yy④

3x-y=16

2x+3y=18

yy①

yy②

0.3x-0.1y=1.6

0.02x+0.03y=0.18

yy③

yy④

x-2y=10

2x-y=11

yy①

yy②

0.01x-0.02y=0.1

0.2x-0.1y=1.1

5

❶연립일차방정식의 계수를정수로만드는이유는가감

법이나 대입법을 이용할 때 계산을 쉽게 하기 위해서

이다.

본문 해설


교과서 145 쪽

예제 05 다음연립일차방정식을풀어라.

+ =1 yy①

+ = yy②112y14x13

y13x12({9

①의양변에 6을곱하고, ②의양변에 12를곱하면

3x+2y=6 yy③

4x+3y=6 yy④

③의양변에 3을곱하고, ④의양변에 2를곱하여변끼리

빼면

x=6


18+2y=6, y=-6


답 x=6, y=-6

‡

풀이계수가 분수이면 분모의 최

소공배수를 양변에 곱하여 계

수를정수로고친다.


⑴

- =

⑵

- =1

+ =- 31310

y12

x15

y12

x13

({9

516

y12

x13

({9

6문제

9x+6y=18

->≥8x+6y=12

x+6y= 6

- =1y14

x15

주연이가연립일차방정식 를다음과같이풀었다. 풀이를검산하여틀

린곳을찾고, 올바른해를구하여보자.

x y1+1=52 3x+y=4

·{ª


▶의사소통

▶문제 해결

‡

3x+2y=5x+y=4

‡

3x+2y=53x+3y=4

+ =5yy①

x+y=4 yy②

y13x12·{ª①의양변에

6을곱한다.

②의양변에

3을곱한다.

y=-1 x=5양변을

변끼리뺀다.

y=-1을②에 대입한다.

198 각론

목표| 계수가 분수인 연립일차방정식을 풀 수

있게 한다.

풀이| ⑴

- = yy①

+ =- yy②

①의 양변에 6을 곱하고, ②의 양변에 10

을곱하면

‡


-8y=8, y=-1

y=-1을③에대입하면

2x+3=5, x=1


⑵

- =1 yy①

- =1 yy②

①의 양변에 6을 곱하고, ②의 양변에 20

을곱하면

‡


y=8

y=8을③에대입하면

2x-24=6, x=15


4x-6y=121

->≥4x-5y=201

-y=-8

yy③

yy④

2x-3y=6

4x-5y=20

y14x15

y12x13·{ª

yy③

yy④

2x-3y=5

2x+5y=-3

31310y12x15

516y12x13·{ª

6

출제 의도| 잘못된 풀이를 검산하여 봄으로써 올바른 연립일

차방정식의 해를 구할 수 있게 하기 위한 문제이다.

풀이| 주연이는 ①의 양변에 6을 곱할 때와 ②의 양변

에 3을곱할때상수항에는곱하지않았다.

주연이의풀이를올바르게고치면다음과같다.

+ =5 yy①

x+y=4 yy②

①의양변에 6을곱하고②의양변에 3을곱하면

‡


-y=18, y=-18

y=-18을②에대입하면

x-18=4, x=22


yy③

yy④

3x+2y=30

3x+3y=12

y13x12·{ª참고| 연립일차방정식 와같이계수가분수

인 연립일차방정식을 풀 때, 분모의 최소공배수인 12가

아닌 분모의 곱 24를 양변에 곱하여 푸는 학생들이 있

다. 틀린 풀이는 아니지만 풀이 과정에서 수가 커지고,

계산이 복잡해지므로 가능한 최소공배수를 곱하여 풀

수있도록지도한다.

·{ª

+ =5

x+y=24

y16

x14

사고력 기르기 문제 해결



교과서 146 쪽

해가 무수히 많거나 해가 없는 연립일차방정식은 어떤 것인가?

연립일차방정식의해는한쌍만있는경우도있지만방정식에따라서는해가무수

히많거나, 해가없는경우도있다.

⑴①의양변에 2를곱하면

2x+2y=6 yy③

③은②와같은식이므로①과②의해는같다.

그런데①의해는무수히많으므로이연립일차방정식의해는무수히많다.

⑵①의양변에 2를곱하여②를변끼리빼면

0=1

좌변은 0, 우변은 1이되어등식이성립할수없다.

따라서①, ②를동시에만족시키는해는없다.

즉, 이연립일차방정식의해는없다.

답 ⑴해는무수히많다. ⑵해는없다.


⑴ ‡ ⑵ ‡

yy①

yy②

x-3y=4

2x-6y=7

yy①

yy②

x+y=3

2x+2y=6

풀이

2x-6y=8

-> ≥2x-6y=7

0=1


⑴ ‡ ⑵ ‡

⑶ ‡ ⑷ ‡

x-4y=2

y-(5y-x)=4

2x-y=-3

6x-3y=-9

x+2y=3

4x+8y=5

2x-3y=1

4x-6y=2

7문제

연립일차방정식 ‡ 에서 해가 무수히 많은 경우와 해가 없는 경우 a, b, c

의값을만들어보고, 각각 연립일차방정식이어떤형태일때인지설명하여보자.

3x-2y=4

ax+by=c


▶의사소통

▶문제 해결

예제 06

⑶ ‡

①의 양변에 3을 곱하면 6x-3y=-9이

므로 ①과 ②의 해는 같다. 그런데 ①의

해는 무수히 많으므로 이 연립일차방정식

의해는무수히많다.

⑷ ‡

②를정리하면

x-4y=4 yy③

①에서 ③을 변끼리 빼면 좌변은 0, 우변

은 -2가 되어 ①, ②를 동시에 만족시키

는해는없다.

따라서이연립일차방정식의해는없다.

yy①

yy②

x-4y=2

y-(5y-x)=4

yy①

yy②

2x-y=-3

6x-3y=-9

풀이| ⑴ ‡

①의 양변에 2를 곱하면 4x-6y=2이므로 ①과 ②

의 해는 같다. 그런데 ①의 해는 무수히 많으므로 이

연립일차방정식의해는무수히많다.

⑵ ‡

①의양변에 4를곱하면

4x+8y=12 yy③

③에서②를변끼리빼면좌변은 0, 우변은 7이되어

①, ②를동시에만족시키는해는없다.

따라서이연립일차방정식의해는없다.

yy①

yy②

x+2y=3

4x+8y=5

yy①

yy②

2x-3y=1

4x-6y=2

목표| 해가 무수히 많거나 해가 없는 경우의 연립일차방정

식을 풀 수 있게 한다.

7

출제 의도| 해가 무수히 많은 경우와 해가 없는

경우의 연립일차방정식의 특징을 이해하도록 하

기 위한 문제이다.

풀이| 해가무수히많은경우: a=6, b=-4, c=8

두 방정식을 변형하여 x의 계수, y의 계수, 상수항을 각

각같게만들수있을때이다.

해가없는경우: a=6, b=-4, c+8

두 방정식을 변형하여 x의 계수, y의 계수는 각각 같고

상수항은다르게만들수있을때이다.

연립일차방정식 ‡ 에서

⑴ + 이면 단 한 쌍의 해가 있다.

⑵ = = 이면 해는 무수히 많다.

⑶ = + 이면 해는 없다.c15c'

b15b'

a15a'

c15c'

b15b'

a15a'

b15b'

a15a'

ax+by=c

a'x+b'y=c'


지/도/자/료 연립일차방정식의 특수한 해


교과서 147 쪽


⑴ ‡ ⑵ ‡

2x+y=-2

-4x-2y=-4

x+3y=3

4x+12y=12

8문제

일차함수의 식으로 고쳐서

생각한다.

이상에서다음을알수있다.

연립일차방정식의해와방정식의그래프

연립일차방정식의각방정식을그래프로나타내었을때

⑴두직선이한점에서만나면연립일차방정식의해는하나이다.

⑵두직선이일치하면연립일차방정식의해는무수히많다.

⑶두직선이평행하면 연립일차방정식의해는없다.

예제 07

⑴두방정식을각각 y에관하여풀면모두

y= x+2

가되므로두방정식의그래프는일치한다.

따라서연립일차방정식의해는무수히많다.

⑵두방정식을각각 y에관하여풀면

‡

가되므로두방정식의그래프는평행하다.

따라서연립일차방정식의해는없다.

답 ⑴해는무수히많다. ⑵해는없다.

y=-x-1

y=-x+2

213


⑴ ‡ ⑵ ‡

x+y=-1

2x+2y=4

2x-3y=-6

4x-6y=-12

풀이

O 2 4-2-4

x

y

2

4

-2

-x+2y=32

2 4-2-4 x

yy=-x+2

y=-x-1

-2

2

4

O

200 각론

목표| 두 일차함수의 그래프를 이용하여 해가

무수히 많은 경우와 해가 없는 경우의 연립일차

방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 주어진 두 방정식을 각각 y에 관하

여 풀면 모두 y=- x+1이 되므로 두

방정식의그래프는일치한다.

따라서연립일차방정식의해는무수히많다.

⑵주어진두방정식을각각 y에관하여풀면

‡

가되므로두방정식의그래프는평행하다.

따라서연립일차방정식의해는없다.

y=-2x-2

y=-2x+2

113

8

O

y

x

-2

2

-2 2

y=-2x+2

y=-2x-2

O

y

x

2

2

-x+1y=-31

4

❶

연립일차방정식의해

1개

없다.

무수히많다.

특징

기울기: 다르다.

기울기: 같다.

y절편: 다르다.

기울기: 같다.

y절편: 같다.

두직선의위치관계

한점에서만난다.

(교점 1개)

평행하다.

(교점이없다.)

일치한다.

(교점이무수히많다.)

❶두 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식의 해와

두 일차방정식을 나타내는 직선의 교점은 같은 개념

이므로 두 직선의 교점의 개수에 따라 연립일차방정

식의 해의 개수가 결정된다. 즉, 두 일차방정식의 그

래프의 위치 관계에 따라 연립일차방정식의 해가 다

음과같이결정된다.

본문 해설

두 방정식의 그래프가 일치하는 경우 연립일차방정식의 해가

무수히 많지만 모든 순서쌍이 다 해가 되는 것은 아니고 직선

위의 점의 좌표에 해당하는 순서쌍만이 연립일차방정식의 해

가 된다. 따라서 해가 무수히 많음이 모든 좌표가 해가 되는

것은 아님을 주의하여 지도한다.

지/도/자/료 해가 무수히 많을 때의 오개념

07 부등식과그해

① 부등식의 의미를 알게 한다.

② 부등식이 참이 되게 하는 값을 찾아보는 활동을 통하여 부

등식의 해의 의미를 이해하게 한다.




교과서 148 쪽

컴퓨터의 활용

수를계산하는기능과함수의그래프를그리는기능을함께갖춘계산기를그래픽계산

기라고한다. 그래픽계산기를이용하면복잡한수의계산은물론여러가지함수의그

래프를쉽게그려볼수있다.

그래픽계산기를이용하여두일차함수 y=2x+1, y=-3x-1의그래프를그려보자.

1\ 일차함수의식입력하기

계산기를켜고 을누른다. 여기서Y1=에

‘2x+1’을 입력하기 위하여 , , , 을

차례로누른후 를누른다.

Y2=에‘-3x-1’을 입력하기 위하여 , ,

, , 을 차례로 누른다. 여기서 는 음

의부호를나타내는키이고, 는뺄셈기호를나타내는키이다.

2\ 그래프와교점·대응표확인하기

를누르면 오른쪽그림과 같이 두함수의 그래

프가 그려진다. 이때 두 직선의 교점의 좌표를 계산기

의커서를움직여확인할수있다.

또 를 누르고 를 누르면 그래프와 함께

x의값에따른함숫값의대응표를볼수있다.

3\ 그래프와함수의식확인하기

1까지 실행한 후에 를 누르고 를 누르

면그래프와함께함수의식을볼수있다.

Enter

x + 1

Y=

(-) 3

x - 1 (-)

2

GRAPH

GRAPH2ndF

-

GRAPH2ndF

일차함수의그래프를그려보자.

교과서 149 쪽

07●부등식과그해의의미를이해한다.

부등식과그해

부등식이란 무엇인가?

폭풍일수

폭풍이 발생한 날의 수를 폭풍 일수라고 하는데,

폭풍 일수의 기준이 되는 폭풍은 국가나 지역에

따라 다르게 정해져 있다. 현재 우리나라에서는

하루최대풍속이초속 13.9 m 이상인날의수를

폭풍일수로정하고있다.

탐구 활동 다음물음에답하여보자.

1. 하루 최대 풍속이 초속 13 m인 날은 폭풍 일수에

해당하는가?

2. 하루 최대 풍속이 초속 15 m인 날은 폭풍 일수에

해당하는가?

3. 하루최대풍속이초속 xm인날이폭풍일수에해

당하려면 x는 어떤 조건을 만족시켜야 하는지 부등

호를사용하여나타내어보자.

생각 열기

‘2는 7보다작다.’, ‘어떤수에 3을더하면 7보다크다.’등을부등호를사용하여

다음과같이나타낼수있다.

2<7, x+3>7

이와같이부등호<, >,…, æ를사용하여수또는식의대소

관계를나타낸식을부등식이라고한다.

예를들어 3>2, x<2, 3x-2æ5, 2x-3…3x+1은모두

부등호를사용하여나타낸식이므로부등식이다.

좌변 우변

x+3 > 7

양변

부등호 <, >를 처음 사용

한사람은영국의해리엇

(Harriot, T. ; 1560~1621)이

고, 부등호 …, æ를 처음 사용

한사람은프랑스의부게

(Bouguer, P. ; 1698~1758)

이다.

부등식에서 부등호의 왼쪽 부분을 좌변, 오른쪽 부분을 우변이라 하고, 좌변과 우변을

통틀어양변이라고한다.

참고

1.부등호 >, <, æ, …를 바르게 사용하여 식을 나타

내도록지도한다.

2.부등식의 좌변과 우변을 바꾸어 표현할 때에는 부등

호의 방향에 주의하도록 하고, 변형된 부등식도 같은

식임을이해할수있도록지도한다.


부등식(不等式, inequality)


우리나라에서 바람이 가장 많이 부는 강원도 대관령은

여름에도몸이오싹할정도로바람이분다. 대관령이풍

력발전단지로 각광받게 된 것은 해발 800 m가 넘는 위

치에 있어 사계절 바람이 늘 세게 불기 때문인데, 연평

균풍속이초속 6.53 m에이른다.

전남 여수 지역도 연평균 풍속이 초속 6.1 m로 대관령

과 비슷하게 바람은 강하게 불지만 대관령과는 달리 여

름에바람이잠잠하다. 미시령과제주도또한연평균풍

속이초속 8.7~8.8 m로바람이강한곳이다.

셍각 열기 참/고/자/료

활동 목표•폭풍 일수를 활용하여 수량 사이의 대소 관계

를 부등호를 사용한 식으로 나타낼 수 있게 하려는 것이다.


1. 13<13.9이므로 하루 최대 풍속이 초속 13 m인 날은

폭풍일수에해당하지않는다.

2. 15>13.9이므로 하루 최대 풍속이 초속 15 m인 날은

폭풍일수에해당한다.

3. 폭풍 일수에 해당하기 위해서는 하루 최대 풍속이 초

속 13.9 m 이상이어야하므로 xæ13.9와같이나타낼

수있다.


교과서 150 쪽

부등식 x+2<5에서 x에 1, 2, 3, 4, y를대입하여좌변과우변을비교하면다음

과같다.

x=1일때　1+2<5이므로참

x=2일때　2+2<5이므로참

x=3일때　3+2=5이므로거짓

x=4일때　4+2>5이므로거짓

⋯

여기서부등식x+2<5는x=1, x=2일때참이됨을알수있다.

무게의 단위는 힘의 단위인

N(뉴턴)이지만 일상생활에서는

g(그램)이나 kg(킬로그램)을 사

용하고있다.

다음을부등식으로나타내어라.

⑴형의나이 x살에동생의나이 15살을더하면 30살보다많다.

⑵한개의무게가 0.2 kg인물건 x개를 0.6 kg인바구니에담았더니전체무게가 6 kg

미만이다.

1문제

부등식의 해란 무엇인가?

대한민국최초우주인

대한민국 최초의 우주인 이소연을 태운 우주선 소유스

호가우리나라시각으로 2008년 4월 8일 20시 16분 35초

에 카자흐스탄의 바이코누르 우주 기지에서 발사되었다.

이로써대한민국은세계에서 36번째로우주인을배출한

나라가되었다.

생각 열기

탐구 활동 우리나라에서 우주인으로 선발되기 위해서는 몸무게가 최소한 50 kg 이상이어야 한다.

현재민수의몸무게가 45 kg이라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 민수가우주인으로선발되기위해서늘려야하는몸무게를 x kg이라하고, 부등식으로나타

내어보자.

2. 민수의몸무게가 4 kg 늘어난다면민수는우주인선발에참여할수있는가?

3. 민수는몸무게를최소한몇 kg 늘려야우주인선발에참여할수있는가?

202 각론

목표| 수 또는 식의 대소 관계를 부등호를 사용

하여 나타낼 수 있게 한다.

풀이| ⑴형과동생의나이를더하면 (x+15)

살이므로구하는부등식은　x+15>30

⑵한 개의 무게가 0.2 kg인 물건 x개의 무

게는 0.2x kg이고, 이것을 무게가 0.6 kg

인 바구니에 담았으므로 전체 무게는

(0.2x+0.6) kg이다.

따라서구하는부등식은　0.2x+0.6<6

1

활동 목표•우주인을 소재로 한 내용을 부등

식으로 나타내고, 그 부등식을 참이 되게 하는

값을 구할 수 있게 하려는 것이다.


1. 현재 몸무게 45 kg에 늘려야 하는 몸무게

x kg을 더하여 50 kg 이상이 되어야 하므

로구하는부등식은　x+45æ50

2. 몸무게가 4 kg이 늘어난다면 49 kg이 되고, 49<50

으로 1의부등식을만족시키지못한다.

따라서우주인선발에참여할수없다.

3. x가 5 이상일때, 부등식 x+45æ50이참이된다.

따라서 xæ5이므로 몸무게를 최소한 5 kg 늘려야 우

주인선발에참여할수있다.

❶부등식 x+2<5에서 x=3이면 부등식의 좌변과 우

변은 모두 5로 같다. 그런데 5=5이기 때문에 5…5

는참이지만 5<5는거짓이다.

본문 해설

❶

부등호 >, <, æ, …의 수량 사이의 대소 관계를 명확하게

이해하는 것은 부등식을 이해하는 데 매우 중요하다. 따라서

다음과 같이 대소 관계를 나타내는 다양한 표현들을 익힐 수

있도록지도한다.

기호

xæy

x>y

문장

x는 y 이상이다.

x는y보다크거나같다.

y는x보다작거나같다.

x는 y보다작지않다.

y는 x보다크지않다.

x는 y 초과이다.

x는 y보다크다.

y는 x보다작다.

기호

x…y

x<y

문장

x는 y 이하이다.

x는y보다작거나같다.

y는x보다크거나같다.

x는 y보다크지않다.

y는 x보다작지않다.

x는 y 미만이다.

x는 y보다작다.

y는 x보다크다.

지/도/자/료 부등식의 표현

2008년 대한민국 최초의 우주인을 배출한

후, 끈질긴 노력 끝에 2013년 나로호 발사에

성공하면서 새로운 우주 시대를 열고 있다.

우리나라의 우주 개발에 대한 자세한 정보는

카리스쿨(http://www.karischool.re.kr)

에서확인할수있다.




교과서 151 쪽

이와같이부등식을참이되게하는미지수 x의값을그부등식의해라고한다. 또

부등식의해를모두구하는것을그부등식을푼다고한다.

예제 01주어진 부등식의 x에 0, 1, 2, 3을 대입하여 좌변을 계산하고, 그 값을우변의값

과비교하면

x=0일때　3_0-2=-2<4

x=1일때　3_1-2=1<4 ⋯

x=2일때　3_2-2=4=4

x=3일때　3_3-2=7>4

따라서부등식 3x-2æ4는 x=2, x=3일때참이되므로구하는해는 2, 3이다.

답 2, 3

0, 1, 2, 3 중에서부등식 3x-2æ4의해를찾아라.

풀이

-2, -1, 0, 1, 2 중에서다음부등식의해를찾아라.

⑴ 4x-1>1 ⑵ x+1<2

⑶ 3x-1…-2 ⑷ 2x-3æx-1

2문제

다음 그림에서 속도 제한 표시판을 부등식으로 나타내면 x…70이다. 또 육교의 통

과높이제한표시판을부등식으로나타내면 x…3이다. 이와같이생활주변에서부

등식으로나타낼수있는예를찾아말하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

x의범위가주어지지않은경우에는그범위를수전체로생각한다.참고

❶

❶부등식을 만족시키는 범위에 있는 모든 값이 부등식

의 해가 된다. 따라서 x의 범위가 주어진 경우를 제

외하면부등식의해는수전체의범위가되므로부등

식을풀때수직선을이용하면직관적으로해의범위

를쉽게파악할수있다.

한편

‘부등식의해를구한다.’

‘부등식을푼다.’

‘부등식을만족시키는 x의값을구한다.’

‘부등식을참이되게하는 x의값을구한다.’

‘부등식을성립하게하는 x의값을구한다.’

등의표현은모두같은의미이다.

본문 해설

출제 의도| 생활 주변에서 부등식이 활용되는 예를 찾을 수

있도록 하기 위한 문제이다.

풀이| 놀이 기구의 이용 기준이 되는 키, 세탁기의 세탁

용량, 고속버스에 탈 수 있는 인원 등은 부등식을 사용하

여나타낼수있다.

목표| 주어진 값을 대입하여 부등식을 풀 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ x=-2일때⋯ 4_(-2)-1=-9<1

x=-1일때⋯ 4_(-1)-1=-5<1

x=0일때⋯ 4_0-1=-1<1

x=1일때⋯ 4_1-1=3>1

x=2일때⋯ 4_2-1=7>1

따라서구하는해는 1, 2이다.

⑵ x=-2일때⋯ -2+1=-1<2

x=-1일때⋯ -1+1=0<2

x=0일때⋯ 0+1=1<2

x=1일때⋯ 1+1=2=2

x=2일때⋯ 2+1=3>2

따라서구하는해는-2, -1, 0이다.

⑶ x=-2일때⋯ 3_(-2)-1=-7<-2

x=-1일때⋯ 3_(-1)-1=-4<-2

x=0일때⋯ 3_0-1=-1>-2

x=1일때⋯ 3_1-1=2>-2

x=2일때⋯ 3_2-1=5>-2

따라서구하는해는-2, -1이다.

⑷ x=-2일때⋯

2_(-2)-3=-7<-2-1=-3

x=-1일때⋯

2_(-1)-3=-5<-1-1=-2

x=0일때⋯ 2_0-3=-3<0-1=-1

x=1일때⋯ 2_1-3=-1<1-1=0

x=2일때⋯ 2_2-3=1=2-1=1

따라서구하는해는 2이다.

2



교과서 152 쪽

08●부등식의성질을이해한다.

부등식의성질

부등식에는 어떤 성질이 있는가?

지리산국립공원

지리산은 1967년 12월 29일에우리나라최초의

국립 공원으로 지정되었다. 이 산은 전라북도

남원시, 전라남도구례군, 경상남도산청군, 함

양군, 하동군등의행정구역에속해있으며 21

개의 국립 공원 중에서 가장 넓은 산악형 국립

공원이다.

생각 열기

탐구 활동 지리산의 천왕봉은 높이가 1915 m, 촛대봉은 높이가 1703 m, 노루목은 높이가 1498 m

이다. 다음물음에답하여보자.

1. 천왕봉의높이와촛대봉의높이를비교하여부등식으로나타내어보자.

2. 천왕봉의높이에서노루목의높이를뺀결과와촛대봉의높이에서노루목의높이를뺀결과

를비교하여부등식으로나타내어보자.

3. 1과 2에서얻은부등식에서부등호의방향이바뀌었는지알아보자.

부등식의기본성질에는어떤것이있는지알아보자.

부등식 4<6의양변에 2를더하거나양변에서 2를빼면다음과같다.

4+2 <6+2 4-2 <6-2

일반적으로부등식의양변에같은수를더하거나양변에서같은수를빼어도부등

호의방향은바뀌지않는다.

7 86543

7 86543

+2+2

5 64321

5 64321

-2-2

등식의성질

a=b일때

•a+c=b+c

•a-c=b-c

•ac=bc

• = (c+0)b1c

a1c

P.101

204 각론

08 부등식의성질

① 부등식의 기본 성질을 이해하고, 특히 부등식

의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은

음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀜을 알게

한다.


1. 부등식의양변에같은음수를곱하거나양

변을같은음수로나누면부등호의방향이

바뀐다는 사실을 구체적인 수로 예를 들어

이해하게하고, 문자의경우로일반화한다.

2. 부등식의성질을지도할때에는등식의성질

과비교하여공통점과차이점을알게한다.


지리산은 예로부터 금강산, 한라산과 함께

삼신산(三神山)으로 불리며 영·호남 지역

사람들의 삶의 터전으로 자리매김되어 왔다.

지리산에 대한 보다 자세한 정보는 지리산국

립공원관리공단 홈페이지(http://jiri.knps.

or.kr)에서찾아볼수있다.

활동 목표•두 부등식의 양변에서 같은 높이를 뺀 결과에

따른 부등호의 방향을 알아봄으로써 부등식의 성질을 알게

하려는 것이다.


1. 천왕봉의높이는 1915m이고, 촛대봉의높이는 1703m

이므로천왕봉이촛대봉보다더높다.

따라서 1915>1703이다.

2. 천왕봉의높이 1915m에서노루목의높이 1498m를빼

면　1915-1498=417(m)

촛대봉의높이 1703m에서노루목의높이 1498m를빼

면　1703-1498=205(m)

따라서 417>205이다.

3. 1과 2에서 얻은 부등식에서 부등호의 방향은 바뀌지

않았다.

❶등식의성질은다음과같다.

⑴등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립

한다. a=b이면⋯ a+c=b+c

⑵등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립

한다. a=b이면⋯ a-c=b-c

⑶등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립

한다. a=b이면⋯ ac=bc

⑷등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식

은성립한다.

a=b이면⋯ = (단, c+0)b1c

a1c


본문 해설

❶



교과서 153 쪽

a<b일때, 다음 안에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ a+2 b+2 ⑵ a+(-2) b+(-2)

⑶ a-4 b-4 ⑷ a-(-4) b-(-4)

1문제


⑴ a_3 b_3 ⑵ a÷5 b÷5

⑶ 4a 4b ⑷b17

a17

2문제

부등식 4<6의양변에양수 2를곱하거나양변을양수 2로나누면다음과같다.

4_2 <6_2 4÷2 <6÷2

일반적으로부등식의양변에같은양수를곱하거나양변을같은양수로나누어도

부등호의방향은바뀌지않는다.

_2 _2

4< 61

8< 12

4< 61

2< 31÷2 ÷2

6 8 10 1242

6 8 10 1242

\2\2 ÷2÷2

6 8 10420

6 8 10420

부등식4<6의양변에음수-2를곱하거나양변을음수-2로나누면다음과같다.

4 _(-2) >6 _(-2) 4÷(-2) >6 ÷(-2)

일반적으로부등식의양변에같은음수를곱하거나양변을같은음수로나누면부

등호의방향은바뀐다.

0 2 4 6-2-4

-8 -6 -4 -2-10-12

\{-2}\{-2}

0 2 4 6-2-4

0 2 4 6-2-4

÷{-2}÷{-2}

_(-2) _(-2)

4< 61

-8>-12

4< 61

-2>-31÷(-2) ÷(-2)

❶

❷

목표| 부등식의양변에같은수를더하거나양변에서같은수를

빼어도부등호의방향은바뀌지않음을알게한다.

풀이| ⑴ a<b의 양변에 2를 더하여도 부등호의 방

향은바뀌지않으므로　a+2 b+2

⑵ a<b의 양변에 -2를 더하여도 부등호의 방향은 바

뀌지않으므로　a+(-2) b+(-2)

⑶ a<b의 양변에서 4를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌

지않으므로　a-4 b-4

⑷ a<b의 양변에서 -4를 빼어도 부등호의 방향은 바

뀌지않으므로　a-(-4) b-(-4)<

<

<

<

1

참고| 부등식의양변에서같은수 2를뺀다는것은양변

에 같은 수 -2를 더하는 것으로 볼 수 있고, 양변에서

같은 수 -4를 뺀다는 것은 양변에 같은 수 4를 더하는

것으로볼수있다.

목표| 부등식의양변에같은양수를곱하거나양변

을 같은 양수로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지

않음을알게한다.

2

풀이| ⑴ a<b의 양변에 3을 곱하여도 부등

호의방향은바뀌지않으므로　

a_3 b_3

⑵ a<b의양변을 5로나누어도부등호의 방

향은바뀌지않으므로　

a÷5 b÷5

⑶ a<b의 양변에 4를 곱하여도 부등호의 방향은 바뀌

지않으므로　

4a 4b

⑷ a<b의 양변을 7로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌

지않으므로　

b17

<a17

<

<

<

❶양변에 같은 수를 더하고, 빼고, 곱하고,

양변을 같은 수로 나누는 경우가 아니어

도 부등호의 방향을 결정할 수 있을 때도

있다. 예를 들어 a<b일 때, a+1<b+2

이다.

그러나 부등식의 성질을 배우는 이유는

같은 수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

을간단히나타내는데있다. 따라서반드

시 같은 수로 계산해야 하며 이때의 부등

호의방향을구할수있어야한다.

❷등식에서는 양변에 곱하는 수의 부호에 상관없이 같

은 수를 곱하면 등식이 성립하지만 부등식에서는 양

변에곱하는수의부호에따라부등호의방향이바뀔

수 있다. 즉, 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나

양변을같은음수로나누면부등호의방향이바뀐다.

본문 해설

본문 해설


교과서 154 쪽


⑴ a_(-3) b_(-3) ⑵ a÷(-8) b÷(-8)

⑶-2a -2b ⑷- -b16

a16

3문제

a…b일때, 다음 안에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ 2a+3 2b+3 ⑵-3a+1 -3b+1

⑶-a-4 -b-4 ⑷ 2a-5 2b-5

4문제

다음 안에알맞은부등호를써넣어라.

⑴ 2-a>2-b일때, a b

⑵- a-2…- b-2일때, a b312312

5문제

이상에서배운부등식의기본성질을정리하면다음과같다.

부등호 <를 …로바꾸어도

부등식의기본성질은성립한다.

부등식의기본성질

⑴부등식의양변에같은수를더하거나양변에서같은수를빼어도부등호의방향은바뀌지

않는다.

a<b이면　a+c <b+c , a -c <b-c⑵부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부등호의 방향은

바뀌지않는다.

a<b, c>0이면　a c <b c , <

⑶부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향은 바

뀐다.

a<b, c<0이면　a c >b c , > b1ca1c

b1ca1c

부등식의 양변에 음수를 곱

하면부등호의방향이바뀐다.

등식의성질과부등식의성질의같은점과다른점에대하여비교하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

발전

206 각론

목표| 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나

양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바

뀜을 알게 한다.

풀이| ⑴ a<b의 양변에 -3을 곱하면 부등

호의방향이바뀌므로　

a_(-3) b_(-3)

⑵ a<b의양변을 -8로나누면부등호의방

향이바뀌므로　a÷(-8) b÷(-8)

⑶ a<b의양변에 -2를곱하면부등호의방

향이바뀌므로　-2a -2b

⑷ a<b의양변을-6으로나누면부등호의

방향이바뀌므로　-;6A; -;6B;>

>

>

>

3

목표| 부등식의 성질을 이용하여 부등호의 방향을 알 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ 2-2-a 2-b

2-a-2 2-b-2

2-2-a -b

2-∴ a b<

>

>

>

5

목표| 부등식의 성질을 이용하여 부등호의 방향

을 알 수 있게 한다.

풀이|

⑴ a2+a b

2+2a 2b

2a+3 2b+3

⑵-3a+a b

-3-3a -3b

-3a+1 -3b+1

⑶-2-a b

-2-a -b

-a-4 -b-4

⑷ 2+aa b

2+2a 2b

2a-5 2b-5………ææ…ææ…

………

4

양변에같은수빼기

양변에서같은음수곱하기

⑵+2- a-2 - b-2

- a-2+2 - b-2+2

-2+2- a - b

-2+222∴ a bæ

312

…312

312

…312

312

…312

출제 의도| 등식의 성질과 부등식의 성질의 차이점을 알 수

있도록 하기 위한 문제이다.

풀이| 등식의 성질에서는 양변에 같은 음수를 곱하거나

양변을 같은 음수로 나누어도 등식이 성립한다. 그러나

부등식의 성질에서는 양변에 같은 음수를 곱하거나 양

변을같은음수로나누면부등호의방향이바뀐다. 이것

이 등식과 부등식의 성질의 다른 점이다. 부등식의나머

지성질은등식의성질과같다.


양변에 같은 양수

곱하기양변에 같은 수

더하기

양변에 같은 음수

곱하기

양변에 같은 수

더하기

양변에 같은 음수 곱하기

양변에서 같은 수 빼기

양변에 같은 양수 곱하기

양변에서 같은 수 빼기

양변에같은수

더하기

양변에같은음수

곱하기



교과서 155 쪽

09●일차부등식을이해한다.

●부등식의성질을이용하여일차부등식을풀수있다.

일차부등식의풀이

일차부등식이란?

탐구 활동 오른쪽 그림과 같이 윗접시저울의 왼쪽 접시에는 무게

가 x g짜리 추 1개와 1 g짜리 추 5개가 올려져 있고,

오른쪽 접시에는 1 g짜리 추 2개가 올려져 있다. 다음

물음에답하여보자.

1. 윗접시저울이 왼쪽으로 기울어져 있을 때, 이를 부등식

으로나타내어보자.

2. 양쪽에서 1 g짜리추 2개를내려놓았을때, 이를부등식으로나타내어보자.

3. 2에서좌변의다항식의차수를말하여보자.

x 1 1 11 1 1 1

부등식

x+5>2 yy`①

의양변에서 2를빼면다음과같다.

x+5-2>2-2

x+5-2>0 yy`②

x+3>0 yy`③

이때②는①의우변에있던+2가좌변으로옮겨지며-2가되었음을알수있다.

이와같이부등식에서도등식의경우와마찬가지로한변에

있는항을부호를바꾸어다른변으로이항할수있다.

한편③의좌변x+3은일차식이다.

이와같이부등식의모든항을좌변으로이항하여정리한식이

중의한가지꼴로변형되는부등식을일차부등식이라고한다.

(일차식)>0, (일차식)<0, (일차식)æ0, (일차식)…0

2x -4 <2

2x<2 +4

이항

09 일차부등식의풀이

① 일차부등식의 의미를 알게 한다.

② 부등식의 성질을 이용하여 일차부등식을 풀 수 있게 한다.

③ 일차부등식의 해를 수직선 위에 나타낼 수 있게 한다.

1. 일차부등식임을확인하기위해서는부등식의모든항

을 좌변으로 이항하여 정리해야 함을 예를 통해 지도

한다.

2. 일차부등식의해를구할때에는일차방정식에서등식

의 성질을 이용한 것과 같이 부등식의 성질을 이용하

여풀되부등호의방향에유의하도록한다.

3. 부등식의해는수직선위에나타낼수있도록하여해

의의미를직관적으로이해하게한다.

활동 목표•저울에서 양쪽 접시의 추를 내려

놓는 것을 부등식으로 나타내어 부등식에서 상

수항의 이항을 직관적으로 이해하게 하려는 것

이다.


1. 왼쪽 접시 위의 추의 무게는 (x+5) g이

고, 오른쪽 접시 위의 추의 무게는 2 g이

다. 이때 저울이 왼쪽으로 기울어져 있으

므로왼쪽접시위의추가더무겁다.

따라서 x+5>2이다.

2. 저울의 양쪽 접시에서 1 g짜리 추 2개를

동시에 내려 놓았으므로 저울이 기울어진

방향은변하지않는다.

따라서 x+3>0이다.

3. 좌변 x+3의차수는일차이다.

❶일차부등식을 구별할 때에는 부등식의 모든 항을 좌

변으로이항하여정리한후에구별하도록한다. 예를

들어 3x<3(x+2)의 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리

하면-6<0이므로일차부등식이아니다.

•일차부등식(一次不等式, linear inequality)

부등식에서의 이항은 부등식의 성질을 일반화한 것임을 이해

하도록 지도한다.




본문 해설

지/도/자/료

❶

(207)기초수학2단원 2014.1.28 9:51 AM 페이지207 mac02 T

교과서 156 쪽

다음중일차부등식을모두찾아라.1문제

㉠ 7x<7(x+1) ㉡ x¤ -2x<x¤ +3

㉢ 3x-1>2x+1 ㉣ x¤ +2x-1≥0

부등식의 기본 성질을 이용하여 일차부등식은 어떻게 푸는가?

나이아가라폭포

나이아가라폭포는미국뉴욕주와캐나다온

타리오주사이의국경을이루고있는나이아

가라강에있으며북아메리카에서가장큰폭

포이다. 나이아가라폭포는말굽폭포로불리

는캐나다폭포와미국폭포그리고브라이들

베일 폭포로 이루어져 있다. 이 중에서 미국

폭포의 높이는 51m이고, 이 높이는 캐나다

폭포의높이보다 2m 이상높다.

탐구 활동 캐나다폭포의높이를 x m라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 다음 안에알맞은부등호를써넣어보자.

x+2 51

2. 1의부등식의좌변에 x를포함한항만남기기위해서는부등식의기본성질을어떻게이용

해야하는지말하여보자.

생각 열기

부등식의기본성질을이용하여일차부등식

x+2>3

을풀어보자.

부등식의양변에서 2를빼어도부등호의방향은바뀌지않으므로

x+2-2>3-2

이고, 이것을정리하면

x>1

이다. 이때 1보다큰수는모두일차부등식x+2>3을만족시킨다.

208 각론

07 부등식과 그 해에서는 주어진 값을 부등식에 대입하여 참

이 되게 하는 해를 구했다. 하지만 범위가 수 전체일 때에는

값을 대입하여 해를 구하는 것이 쉽지 않으므로 부등식의 성

질을 이용하여 부등식의 해를 구한다는 것을 알게 한다.

목표| 일차부등식을 찾을 수 있게 한다.

풀이| ㉠ 7x<7(x+1)

7x<7x+7, -7<0

일차부등식이아니다.

㉡ x¤ -2x<x¤ +3

-2x-3<0

일차부등식이다.

㉢ 3x-1>2x+1

x-2>0

일차부등식이다.

㉣ x¤ +2x-1æ0

좌변이 이차식이므로 일차부등식이 아

니다.

따라서일차부등식은㉡㉡, ㉢㉢이다.

1

나이아가라 폭포는 세계 각지에서 연간 천만

명이 넘는 관광객이 방문하는 국제적인 명소

이다. 나이아가라 폭포에 대한 보다 자세한

정보는 나이아가라 폭포 홈페이지(http://www.

niagarafalls.ca)에서찾아볼수있다.

활동 목표•부등식의 성질을 이용하여 부등식을 푸는 방법을

이해하게하려는것이다.


1. 캐나다폭포의높이를 xm라고하면미국폭포의높이

는캐나다폭포의높이보다 2 m 이상높으므로

x+2 51

2. 부등식 x+2…51의 좌변에 x를 포함한 항만 남기기

위해서는부등식의양변에서 2를빼면된다.

x+2-2…51-2

x…49

…

❶방정식을풀때등식의성질을이용하여푼것과같이

부등식을풀때에는부등식의성질을이용하여푼다.

예를 들어 방정식 x+2=3의 해는 등식의 성질을 이

용하여양변에서 2를빼어구할수있다.

즉, x+2-2=3-2, x=1

마찬가지로 부등식 x+2>3의 해는 부등식의 성질

을이용하여양변에서 2를빼어구할수있다.

즉, x+2-2>3-2, x>1

이때 1보다큰수는모두부등식 x+2>3을만족한다.


본문 해설

지/도/자/료

❶



교과서 157 쪽

따라서일차부등식 x+2>3의해는 x>1이고이것을수직선위에나타내면다음

과같다.

ax>b, ax<b, axæb, ax…b (a+0)를풀때에는부등식의기본성질을이용하

여주어진부등식을다음과같은꼴로고쳐서해를구한다.

2 310-1

x>(수), x<(수), xæ(수), x…(수)

해를 수직선 위에 나타낼

때‘○’은 그에 대응하는 수가

해에 포함되지 않음을 뜻하고,

‘●’은 그에 대응하는 수가 해

에포함됨을뜻한다.

부등식의 양변을 음수로 나

누면부등호의방향이바뀐다.

예제 01⑴부등식의양변에서 3을빼면

x+3-3>5-3

+3-3x>2-3

해를수직선위에나타내면오른쪽그림과같다.

⑵부등식의양변을-2로나누면

-2x÷(-2)…6÷(-2)

-2xxx (-2)x…-3÷(-2)


답 ⑴ x>2 ⑵ x…-3

다음일차부등식을풀고, 그 해를수직선위에나타내어라.

⑴ x+3>5 ⑵-2xæ6

풀이

3 4210

-3-4 -1-2-5


⑴ x+3<2 ⑵ x-2…4

⑶ x>2 ⑷-4xæ-8113

2문제

해가 x>3인 경우에 3은 해가 아니므로 ⑴과 같이 ○○로 나타내고, 해가 xæ3인 경우에

3은해이므로⑵와같이 ●로나타낸다.

⑴ ⑵

32 54132 541

참고

목표| 일차부등식을 풀고, 그 해를 수직선 위에

나타낼 수 있게 한다.

풀이| ⑴부등식의양변에서 3을빼면⋯

x+3-3<2-3

x<-1

해를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과

같다.

⑵부등식의양변에 2를더하면

x-2+2…4+2

x…6


같다.

⑶부등식의양변에 3을곱하면

x_3>2_3

x>6


같다.

⑷부등식의 양변을 -4로 나누면 부등호의 방향이 바

뀌므로

-4x÷(-4)…-8÷(-4)

x…2

해를수직선위에나타내면 다음그림과같다.

113

-1 0 1-2-3

2

❶부등식의 해는 대부분 범위로 나타나므로 일반적으

로 해의 개수가 무수히 많다. 따라서 부등식의 해는

직관적으로이해할수있도록수직선위에나타낸다.

❷기하학에서 점과 직선은 무정의 용어이지만 일차부

등식의 해를 수직선 위에 나타낼 때에는 직관적으로

이해할 수 있도록 부등호에 따라‘●’, ‘○’을 사용한

다. 즉, ‘●’을 사용하는 경우는 이 점에 대응하는 수

가 주어진 부등식의 해에 포함됨을 나타내고, ‘○’을

사용하는경우는이점에대응하는수가부등식의해에

포함되지않음을나타낸다.

6 7 854

6 7 854

2 3 410

본문 해설

❶

❷


교과서 158 쪽

예제 02x를포함한항은좌변으로, 상수항은우변으로이항하면

3x-2x…1

좌변을간단히하면　　 x…1


답 x…1

일차부등식 3x-1…2x를풀고, 그 해를수직선위에나타내어라.

풀이

x…1에서 1은해이므로 ●로

나타낸다. 3210-1

예제 03괄호를풀면 6+3x<-1-4x


3x+4x<-1-6

양변을간단히하면 7x<-7

양변을 7로나누면 x<-1

답 x<-1

-1-2 0

일차부등식 3(2+x)<-1-4x를풀어라.

풀이괄호가있는부등식을풀때

에는분배법칙을이용하여괄호

를먼저푼다.


⑴ 3x<-x+12 ⑵ 2x+7…4x-3

⑶ 2x+2>x+6 ⑷ 2x-3æ5x-15

3문제

다음일차부등식을풀어라.

⑴ 3(x-4)<4(x+2) ⑵ 7-3x…4(2-x)

⑶ 5(x+4)>2x-1 ⑷ 2(x-3)æ-3(x-2)

4문제

부등식에괄호가있으면먼저괄호를풀어정리한후부등식을푼다.

210 각론

❶

목표| 일차부등식을 풀고, 그 해를 수직선 위에

나타낼 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x를 포함한 항을 좌변으로 이항하

면⋯ 3x+x<12

좌변을간단히하면⋯ 4x<12

양변을 4로나누면　x<3

해를수직선위에

나타내면오른쪽

그림과같다.

⑵ x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항

하면⋯ 2x-4x…-3-7

양변을간단히하면⋯ -2x…-10

양변을-2로나누면　xæ5

해를수직선위에나타내면


⑶ x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항

하면⋯ 2x-x>6-2

양변을간단히하면⋯ x>4



⑷ x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항

하면⋯ 2x-5xæ-15+3

양변을간단히하면⋯ -3xæ-12

양변을-3으로나누면　x…4


오른쪽그림과같다. 4 5 632

4 5 632

5 6 743

3 4 521

3

❶일차부등식을 풀 때에는 부등식의 성질을

이용하는 것보다 이항을 이용하는 것이

더간편하다. 특히 이항을할때에는부등

호의 방향이 바뀌지 않지만 이항하는 항

의부호는바뀜에유의하도록한다.

목표| 괄호가 있는 일차부등식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴괄호를풀면⋯ 3x-12<4x+8

x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항

하면⋯ 3x-4x<8+12

양변을간단히하면⋯ -x<20

양변을-1로나누면　x>-20

⑵괄호를풀면⋯ 7-3x…8-4x


하면⋯ -3x+4x…8-7

양변을간단히하면⋯ x…1

⑶괄호를풀면⋯ 5x+20>2x-1


하면⋯ 5x-2x>-1-20

양변을간단히하면⋯ 3x>-21

양변을 3으로나누면⋯ x>-7

4

본문 해설

참고| 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하

거나 나눌 때 부등호의 방향이 바뀌는 것

과이항은구별할수있도록한다.



교과서 159 쪽

예제 04양변에 10을곱하면　　　4x-16æ2x-4


4x-2xæ-4+16

양변을간단히하면　　　 2xæ12

양변을 2로나누면　　　　　 xæ6

답 xæ6

65 7

일차부등식 0.4x-1.6æ0.2x-0.4를풀어라.

풀이

예제 05양변에 2, 3, 6의최소공배수인 6을곱하면

3x+4x<6x-7

3x+7x<6x-7

x를포함한항을좌변으로이항하면

7x-6x<-7

좌변을간단히하면 x<-7

답 x<-7

-7-8 -6

일차부등식 x+ x<x- 을풀어라.716

213

112

풀이


⑴ 0.5x-1.8<0.2x ⑵ 0.7x+0.5…0.3x+1.3

5문제

부등식에서계수가소수일때에는부등식의양변에알맞은 10의거듭제곱을곱하

여계수를정수로고쳐서풀면편리하다.

부등식에서 계수가 분수일 때에는 부등식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여

계수를정수로고쳐서풀면편리하다.

❶

❷

⑷괄호를풀면⋯ 2x-6æ-3x+6


하면⋯ 2x+3xæ6+6

양변을간단히하면⋯ 5xæ12

양변을 5로나누면　xæ 1211335

1. 학생들이 일차부등식에서 음의 부호를 이항할 때 부등호의

방향을 바꾸는 오류를 범하기 쉽다.

예를 들어 3x-2>9에서 -2를 이항할 때 부등호의 방향

도 함께 바꾸어 3x<9+2, 즉 3x<11로 답하는 경우가

있는데 이것은 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이

바뀐다는 사실과 혼동하여 부등호의 방항을 바꾼 것이므로

두 가지 사실을 혼동하지 않도록 지도한다.

2. 일차부등식의 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로

고칠 때 그 수를 양변의 모든 항에 곱하지 않는 경우가 있

다. 그런 실수를 범하지 않게 하기 위해서 좌변과 우변을 각

각 괄호로 묶은 다음 양변의 모든 항에 곱하도록 지도한다.

예⃝ x+ x<x- 은 6{ x+ x}<6{x- }과

예⃝ 같이 6을 양변의 모든 항에 곱하여 풀게 한다.

716

213

112

716

213

112

❶일차방정식의계수가소수일때에는계수를정수로고

쳐서 풀었다. 이와 마찬가지로 일차부등식에서도 계수

가소수일때에는부등식의양변에 10, 100, 1000과같

이 10의거듭제곱을곱하여계수를정수로고쳐서푼다.

이때부등호의방향은바뀌지않음을유의하도록한다.

목표| 계수가 소수인 일차부등식을 풀 수 있게

한다.

풀이| ⑴양변에 10을곱하면　5x-18<2x

x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우

변으로이항하면　5x-2x<18

양변을간단히하면　3x<18

양변을 3으로나누면　x<6

⑵양변에 10을곱하면　7x+5…3x+13


변으로이항하면　7x-3x…13-5

양변을간단히하면　4x…8

양변을 4로나누면　x…2

5

본문 해설

❷일차부등식의 계수가 분수일 때에는 부등

식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여

계수를정수로고쳐서푼다. 이때부등호의

방향은바뀌지않음을유의하도록한다.

본문 해설

지/도/자/료 일차부등식의 풀이에 대한 오개념 지도


교과서 160 쪽

일차부등식의풀이방법

❶계수에 소수나 분수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱하여

계수를정수로고친다.

❷괄호가있으면괄호를푼다.

❸미지수 x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항

한다.

❹양변을간단히하여

ax>b, ax<b, axæb, ax…b(a+0)

의꼴로고친다.

❺양변을 x의계수 a로나눈다. 이때 a가음수이면부등호의방

향이바뀐다.


⑴ - æ2 ⑵ x+2> (2x+1)215

213

x-11123

x12

6문제

이상에서배운일차부등식의풀이방법을정리하면다음과같다.

0.3(2x-3)…3.5x+2

❶

3(2x-3)…35x+20

❷

6x-9…35x+20

❸

6x-35x…20+9

❹

-29x…29

❺

xæ-1


⑴ 3(x+5)>2x+20 ⑵-6(x+5)æx+5

⑶ 0.5x-4æ4.5x-28 ⑷ x+ <25-x1123

112

7문제


⑴ 0.25xæ -0.3{x- } ⑵ +0.4<0.2(3x-1)

⑶ 0.2x+1< (2x-1) ⑷ 0.5(x-2)…0.7x-1.2115

2x-11113

112

x12

8문제

먼저 소수나 분수를 정수로

고친 후 분배법칙을 이용하여

괄호를푼다.

발전

212 각론

목표| 계수가분수인일차부등식을풀수있게한다.

풀이| ⑴ 양변에 2와 3의 최소공배수인 6을

곱하면　3x-2(x-1)æ12

괄호를풀면　3x-2x+2æ12

상수항을우변으로이항하면

3x-2xæ12-2

양변을간단히하면　xæ10

⑵양변에 3과 5의최소공배수인 15를곱하면

10x+30>6(2x+1)

괄호를풀면　10x+30>12x+6


변으로이항하면　10x-12x>6-30

양변을간단히하면　-2x>-24

양변을-2로나누면　x<12

6

목표| 여러 가지 일차부등식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴괄호를풀면⋯ 3x+15>2x+20


하면　3x-2x>20-15

양변을간단히하면　x>5

⑵괄호를풀면⋯ -6x-30æx+5


하면⋯ -6x-xæ5+30, -7xæ35

양변을-7로나누면⋯ x…-5

⑶양변에 10을곱하면⋯ 5x-40æ45x-280


하면⋯ 5x-45xæ-280+40, -40xæ-240

양변을-40으로나누면⋯ x…6

⑷양변에 2와 3의최소공배수인 6을곱하면

3x+2(5-x)<12, 3x+10-2x<12

상수항을우변으로이항하면⋯ 3x-2x<12-10

x<2

7목표| 여러 가지 일차부등식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴양변에 100을곱하면　25xæ50x-30{x- }

괄호를풀면　25xæ50x-30x+15, 5xæ15

양변을 5로나누면　xæ3

⑵양변에 30을곱하면⋯ 10(2x-1)+12<6(3x-1)

괄호를풀면⋯ 20x-10+12<18x-6, 2x<-8

양변을 2로나누면　x<-4

⑶양변에 10을곱하면⋯ 2x+10<2(2x-1)

괄호를풀면⋯ 2x+10<4x-2, -2x<-12

양변을-2로나누면　x>6

⑷양변에 10을곱하면⋯ 5(x-2)…7x-12

괄호를풀면⋯ 5x-10…7x-12, -2x…-2

양변을-2로나누면　xæ1

112

8



교과서 161 쪽

10●연립일차부등식을풀수있다.


연립일차부등식은 어떻게 푸는가?


1. 120자루의 연필을 한 사람에게 3자루씩 나누어 줄 경우 연필이 남는다는 것을 부등식으로

나타내고, 그해를다음수직선위에나타내어보자.

2. 120자루의 연필을 한 사람에게 4자루씩 나누어 줄 경우 연필이 부족하다는 것을 부등식으

로나타내고, 그해를다음수직선위에나타내어보자.

3. 1과 2의해를다음수직선위에함께나타내어보자.

연필 120자루를

한사람에게

3자루씩나누어주면

남고, 4자루씩

나누어주면부족해.

뭐이리

복잡해!

부등식을

이용하면

쉬워.

민우야,우리동아리의

학생수는몇명인지

맞혀 볼래?

그래!

3020 5040

3020 5040

3020 5040

두개의일차부등식

x+3…5 yy①

2x+3>1 yy②

을동시에만족시키는x의범위를구하여보자.

부등식①을풀면x…2이고, 부등식②를풀면x>-1이다.

0-1 2 31-2

①

0-1 2 31-2

②

10 연립일차부등식

① 연립일차부등식과 그 해의 의미를 이해하게 한다.

② 연립일차부등식의 해는 두 일차부등식의 해의 공통부분의

범위임을 알고 수직선 위에 일차부등식의 해를 나타내어

연립일차부등식의 해를 구할 수 있게 한다.

③ A<B<C 꼴의 부등식을 풀 수 있게 한다.


1. 연립일차부등식의해를구할때에는각일차부등식의해

를수직선위에나타내어공통부분을찾게하여직관적

으로이해할수있게한다.

2. 부등식에등호가있는경우와없는경우를확실히구분

할수있도록지도한다.

3. 연립일차부등식에서는해가없는경우도발

생함에유의할수있도록지도한다.

4. A<B<C 꼴의부등식은연립일차부등식

‡ , ‡ 와같지않음을주의하도

록한다.

A<B

A<C

A<C

B<C


•연립일차부등식(聯立一次不等式, simultaneous

linear inequalities)


활동 목표•실생활 문제를 두 개의 일차부등식으로 만들

고, 각각의 해를 수직선 위에 나타내어 봄으로써 연립일차

부등식의 해의 의미를 알게 하려는 것이다.


1. 학생수를 x명이라고하면　3x<120

x<40

2. 학생수를 x명이라고하면　4x>120

x>30

3.

3020 5040

3020 5040

3020 5040


교과서 162 쪽

이때부등식①, ②의해를수직선위에함께나타내면다음그림과같다.

따라서 부등식①, ②를 동시에만족시키는 x의범위는 x…2이고 x>-1이다.

이것을간단히-1<x…2로나타낸다.

두개의일차부등식 x+3…5, 2x+3>1을동시에만족시키는미지수 x의범위

를구하는경우, 두일차부등식을한쌍으로묶어서

‡`

과같이나타낸다.

이와같이두개이상의일차부등식을한쌍으로묶어서나타낸것을연립일차부등

식이라고한다.

또위에서 -1<x…2와같이연립일차부등식의각일차부등식을동시에만족시

키는미지수의값을그연립일차부등식의해라하고, 연립일차부등식의해를모두구

하는것을연립일차부등식을푼다고한다.

x+3…5

2x+3>1

0-1 2 31-2

① ②

예제 01

⑴부등식①을풀면⋯ xæ-1

부등식②를풀면⋯ x>2

따라서구하는해는 x>2이다.

⑵부등식①을풀면⋯ xæ2

부등식②를풀면⋯ x<4

따라서구하는해는 2…x<4이다.

답 ⑴ x>2 ⑵ 2…x<4

다음연립일차부등식을풀어라.

⑴ ‡

`

⑵ ‡

`

x+1æ-2x+7 yy①

3x-2<x+6 yy②

-2x…x+3 yy①

2x-1>-x+5 yy②

풀이부등식①, ②의해를각각

구하고,두부등식을동시에만

족시키는 x의범위를구한다.

①

0-1 2 31-2

②

2 3 4 51

② ①

214 각론

❶

❶연립일차방정식의 해는 각 방정식의 공통

인 해이다. 또 가감법, 대입법으로 두 방

정식에서직접해를구할수있다. 그러나

연립일차부등식에서는 각 부등식의 해를

따로 구한 후, 수직선으로 나타내어 공통

부분을구한다.

기/초/력 향상 문제

1 다음연립일차부등식의해를구하여라.

⑴ [

⑵ [

⑶ [

⑷ [x<4

x…6

x>5

xæ7

xæ1

x…4

x>3

x<5

1 ⑴ 3<x<5 ⑵ 1…x…4 ⑶ xæ7 ⑷ x<4답

연립일차부등식의 해는 각 부등식의 해를 따로 구한 후, 그

공통부분을 구해야 한다. 이때 두 부등식의 해를 수직선 위에

나타내어 겹쳐지는 부분을 찾는 것이 편리하다는 것을 지도

한다. 한편 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낼 때에는 그

해의 부등호의 방향에 유의하도록 한다.

• •

• a<x…b • x>b• •

• x…a • 해는 없다.

baba

baba

본문 해설

지/도/자/료



교과서 163 쪽


⑴ ‡ ⑵ ‡

⑶ ‡ ⑷ ‡

3x-4…8

2x+1>4x+7

x+3>1

3-x…6-4x

4xæ2x+2

7-2x<1+x

1-2x<5

x+4…6

1문제

예제 02

부등식①을풀면⋯ x<-1

부등식②를풀면⋯ xæ1

그런데이경우는공통부분이없으므로

구하는해는없다.

답 해는없다.


‡

2x+3<1 yy①

1-3x…-2 yy②

풀이각 부등식의 해를 한 수직

선위에나타내었을때,겹쳐지

는부분이없으면연립일차부등

식의해는없다.


⑴ ‡ ⑵ ‡

x+4æ6

4(1-x)æ8

2x-3æ5

5x-7<3

2문제

A<B<C 꼴의연립일차부등식은두개의부등식A<B와B<C를하나의식

으로나타낸것이므로연립일차부등식 ‡ 와같다.

예를들어연립일차부등식 2<3x+4<5는두개의부등식 2<3x+4와 3x+4<5

를하나의식으로나타낸것이므로연립일차부등식 ‡ 와같다.2<3x+4

3x+4<5

A<B

B<C

A<B<C 꼴의연립일차부등식은다음과같이바꾸어서풀면안된다.

‡ , ‡

A<C

B<C

A<B

A<C

참고

② ①

0-1 21-2

목표| 연립일차부등식의 해를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 1-2x<5를풀면⋯ x>-2 yy①

x+4…6을풀면⋯ x…2 yy②

①, ②를수직선위에함께

나타내면 오른쪽 그림과

같다.

따라서구하는해는-2<x…2이다.

⑵ 4xæ2x+2를풀면⋯ xæ1 yy①

7-2x<1+x를풀면⋯ x>2 yy②

①, ②를수직선위에함께

나타내면 오른쪽 그림과

같다.

따라서구하는해는 x>2이다.

⑶ x+3>1을풀면　x>-2 yy①

3-x…6-4x를풀면　x…1 yy②

①, ②를수직선위에함께나타내면다음그림과같다.

2 3 410

②①

0 1 2-1-2

②①


⑷ 3x-4…8을풀면　x…4 yy①

2x+1>4x+7을풀면　x<-3 yy②

①, ②를 수직선 위에 함께 나타내면 다음

그림과같다.

따라서구하는해는 x<-3이다.

-3-2-1 0 1 2 43-4

②①

1

-1 0 1 2-2-3

②①

목표| 연립일차부등식의 해가 없는 경우를 이해하게 한다.

풀이| ⑴ 2x-3æ5를풀면　xæ4 yy①

5x-7<3을풀면　x<2 yy②

①, ②를 수직선 위에 함께

나타내면오른쪽그림과같다.

그런데 이 경우는 공통부분

이없으므로구하는해는없다.

⑵ x+4æ6을풀면　xæ2 yy①

4(1-x)æ8을풀면　x…-1 yy②

①, ②를 수직선 위에 함께

나타내면오른쪽그림과같다.

그런데 이 경우는 공통부분

이없으므로구하는해는없다.

0 1 2 3-1-2

② ①

3 4 521

② ①

2


교과서 164 쪽

예제 03연립일차부등식-7<2x-1<3은다음연립일차부등식과같다.

2x-1>-7 yy①

2x-1<3 yy②

부등식①을풀면　x>-3

부등식②를풀면　x<2

따라서구하는해는-3<x<2이다.

답 -3<x<2

‡

연립일차부등식-7<2x-1<3을풀어라.

풀이


⑴-2<x+2<6 ⑵-5<3x+1…10

⑶ 2x-7…x+1<3x+5 ⑷ 3x<5x+6…-2x+34

3문제


⑴ … … ⑵ 3-0.6x…0.5x-0.3<0.2x-33x+51114

x13

x-11122

4문제발전

연립일차부등식을 풀었더니 x<a이고 xæa이었다. 이것을 수직선 위에 나타내고,

이연립일차부등식의해에대하여토의하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

-3-4 -2 -1 0 1 2 3

① ②

216 각론

목표| A<B<C 꼴의 연립일차부등식의 해를


풀이| ⑴연립일차부등식은

-2<x+2 yy①

x+2<6 yy②

과같다.

부등식①을풀면⋯ x>-4

부등식②를풀면⋯ x<4

따라서구하는해는-4<x<4이다.

⑵연립일차부등식은

-5<3x+1 yy①

3x+1…10 yy②

과같다.


부등식②를풀면⋯ x…3


⑶연립일차부등식은

2x-7…x+1 yy①

x+1<3x+5 yy②

와같다.

부등식①을풀면⋯ x…8

부등식②를풀면⋯ x>-2


⑷연립일차부등식은

3x<5x+6⋯ ⋯ ⋯ yy①

5x+6…-2x+34⋯ yy②

와같다.


부등식②를풀면⋯ x…4


‡

‡

‡

‡

3

목표| 계수가 분수 또는 소수인 A<B<C 꼴의 연립일차부

등식의 해를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 주어진 부등식의 각 항에 2, 3, 4의 최소공배

수인 12를곱하면　6(x-1)…4x…3(3x+5)

괄호를풀면　6x-6…4x…9x+15

이연립일차부등식은

6x-6…4x⋯ yy①

4x…9x+15⋯ yy②

와같다.

부등식①을풀면⋯ x…3

부등식②를풀면⋯ xæ-3

따라서구하는해는-3…x…3이다.

⑵주어진부등식의각항에 10을곱하면

30-6x…5x-3<2x-30

이연립일차부등식은

30-6x…5x-3⋯ yy①

5x-3<2x-30⋯ yy②

과같다.

부등식①을풀면　xæ3

부등식②를풀면　x<-9

그런데 이 경우는 공통부분이 없으므로 구하는 해는

없다.

‡

‡

4



교과서 165 쪽

정리 확인 학습 1. 일차방정식과 일차함수

용어와 기호 미지수, 해, 근, 항등식, 이항, 일차방정식, 일차함수, 좌표, 순서쌍, x축, y축, 좌표축, 원점, x좌표, y좌표, 좌표평면, 함수의

그래프, 평행이동, x절편, y절편, 기울기, 연립일차방정식, 부등식, 일차부등식, 연립일차부등식, y=f(x), f(x)

함수 y=f(x)에서 y가 x에관한일차식

y=ax+b (a+0, a, b는상수)

로나타내어지는함수를일차함수라고한다.

일차함수 다음중에서일차함수를모두찾아라.2

㉠ y=2x-1 ㉡ y=x¤ +3

㉢ y= ㉣ y=- x112

11x

⑴연립일차방정식: 두일차방정식을한쌍으로묶어서나타낸것

⑵연립일차방정식의 해: 연립일차방정식에서 두 개의 일차방정

식을동시에만족시키는x, y의값또는순서쌍 (x, y)

연립일차방정식과 그 해 다음연립일차방정식을풀어라.

⑴ ‡ ⑵ ‡

x+y=4

4x-5y=7

2x-y=3

x+y=9

3

⑴이항: 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로

옮기는것

⑵일차방정식: 방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한

식이

(일차식)=0

⑵의꼴로나타내어지는방정식

일차방정식 다음일차방정식을풀어라.

⑴ 2x-9=3 ⑵ x+6=-2x

⑶ =2 ⑷ 5x-4=x+2x14

1

⑴일차부등식: 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한

식이

(일차식)>0, (일차식)<0

(일차식)æ0, (일차식)…0

⑴중의한가지꼴로변형되는부등식

⑵연립일차부등식: 두 개 이상의 일차부등식을 한 쌍으로 묶어

서나타낸것

일차부등식과 연립일차부등식 다음일차부등식을풀어라.

⑴ x-4<-2 ⑵- +1>5

⑶ x-2…2x-6 ⑷ 5æ1-4x

x14

4

출제 의도| 연립일차부등식의 해의 의미를 정확히 알게 하기

위한 문제이다.

풀이| 주어진연립일차부등식의해 x<a이고 xæa를수

직선위에나타내면다음과같다.

연립일차부등식의 해는 각 부등식의 해의 공통부분이므

로 a는 해가 될 수 없다. 또한 x는 a보다 크기도 하고

작기도해야하므로연립일차부등식의해는없다.

a


목표| 이항을 이용하여 일차방정식을 풀 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ x=6

⑵ x=-2

⑶ x=8

⑷ x=;2#;

1

목표| 일차함수의 의미를 이해하고, 일차함수를

찾을 수 있게 한다.

풀이| ㉡, ㉢은 x에 대한 일차식이 아니므로

일차함수가아니다.

따라서일차함수는㉠㉠, ㉣㉣이다.

2

목표| 일차부등식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x<2

⑵ x<16

⑶ xæ4

⑷ xæ-1

4

목표| 연립일차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴

①+②에서　3x=12, x=4 yy③

③을②에대입하면　y=5

따라서구하는해는 (4, 5)이다.

⑵

4_①-②에서　9y=9, y=1 yy③

③을①에대입하면　x=3

따라서구하는해는 (3, 1)이다.

yy①

yy②

x+y=4

4x-5y=7‡

yy①

yy②

2x-y=3

x+y=9‡

3

정리 확인 학습


교과서 166 쪽

2황금비

유클리드(Euclid ; ?B.C. 325~?B.C. 265)의저서“원론”제2권에다음과같은문제와그풀

이가실려있다.

이문제에서선분AC의중점을점E라하고, BE”=EF”가되도

록 하는 점 F를 찾아 선분 AF를 한 변으로 하는 정사각형

AHGF를만들면점H를찾을수있다.

이때정사각형AHGF의한변의길이와직사각형HIDB의긴

변의길이의비는다음과같다.

AH” : AB”=1 : 1.618y

이비를현재황금비(golden ratio)라는이름으로부르고있

는데, 황금비라는말은1898년에처음사용되었다고한다.

<출처: G. Markowsky(1992), Misconceptions about the golden ratio, College Math. J. 23, pp.1~19>

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 178`쪽

황금비직사각형에서가로와세로의비는얼마일까?

이차방정식과이차함수

F

A

C DI

BH

G

E

한변의길이가 a인정사각형ABCD에서선분AB 위의점H에대하여정사각형AHGF의

넓이와직사각형HIDB의넓이가같도록하는점H를찾아라.

218 각론

2 이차방정식과이차함수

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 이차방정식의 뜻을 알게 한다.

② 이차방정식의 근의 공식을 알게 한다.

③ 이차함수의 뜻을 알게 한다.

④ 이차함수의 그래프를 그리고, 그 성질을 이해

하게 한다.

⑤ 이차함수의 최댓값, 최솟값을 구할 수 있게

한다.

중단원을 시작하며

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

01 이차방정식과

그해

02 이차방정식의

풀이

03 이차함수의뜻

04 이차함수

y=ax¤ 의그래프

05 이차함수

y=a(x-p)¤ +q

의그래프

06 이차함수의

그래프의성질

중단원마무리


인수분해, 제곱근, 완전제곱식

을이용한풀이

근의공식을이용한풀이

이차함수의뜻


이차함수 y=ax¤ +q의그래프

이차함수 y=a(x-p)¤ 의그래프


이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

이차함수의식구하기

이차함수의최댓값과최솟값

정리확인학습

황금비는모나리자와같은명화, 고사리와같

은생물등에서찾아볼수있다. 황금비를찾

는 과정은 이차방정식이라는 수학적 문제를

내포하고 있다. 또한 자유 낙하를 하는 물체의 속도, 달

리는 자동차의 운동에너지는 이차함수라는 수학적 언어

로해석하고, 예측할수있다.

이 단원에서는 수학적 언어로 나타내어진 이차방정식과

이차함수의 의미를 이해하고, 일상생활에서의 문제를

이와같은수학적문제로변역하여해결할수있도록지

도한다.

들어가면서

성취 기준과 성취 수준

1. 이차방정식의

뜻을 알고 이차

방정식을 풀 수

있다.

2. 이차함수의

뜻을안다.

3. 이차함수

y=ax¤ 의그래프

를그릴수있다.

성취 기준

상

하

중

성취 수준

이차방정식을다양한방법으로풀수있다.

계수가 자연수인 간단한 이차방정식을

풀수있다.

주어진 수 중 이차방정식의 해를 찾을

수있다.

이차함수의뜻을말하고, 그 예를들수

있다.

이차함수의예를들수있다.

주어진 함수가 이차함수인지 판단할 수

있다.

이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 그리고,

그성질을설명할수있다.

이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 그리고,

꼭짓점의좌표와축의방정식을구할수

있다.

이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 그릴 수

있다.

중

중

상

상

하

하



교과서 167 쪽

x¤ +5x=x+7에서우변의x+7을좌변으로이항하여정리하면

x¤ +4x-7=0

이다.

이와같이방정식의모든항을좌변으로이항하여정리한식이

(x에관한이차식)=0

의꼴로변형되는방정식을x에관한이차방정식이라고한다.

일반적으로x에관한이차방정식은

ax¤ +bx+c=0 (a+0, a, b, c는상수)

과같이나타낼수있다.

01●이차방정식의뜻을안다.


이차방정식이란 무엇인가?

탐구 활동 오른쪽 그림은 도심지 한가운데에 있는 직사각형 모

양의옥상정원이다. 다음물음에답하여보자.

1. 옥상정원의넓이가 1800 m¤일때, 이것을등식으로

나타내어보자.

2. 1의 등식을 (x에 관한 식)=0의 꼴로 나타내어 보

자. 이때좌변은 x에관한몇차식인가?

{x+20}`m

x`m

{x+20}`m

x`m

a+0이고 a, b, c는 상수일

때

•ax¤ +bx+c

˙k 이차식•ax¤ +bx+c=0

˙k 이차방정식

다음중에서이차방정식을모두찾아라.1문제

㉠ x¤ -x=0 ㉡ 2x-6=3x

㉢ (x+3)¤ =x¤ +4x ㉣ x(x-5)=2x¤ -1

4. 이차함수의

그래프의 성질을

이해한다.

5. 이차함수의

최댓값, 최솟값

을구할수있다.

성취 기준

상

상

하

중

성취 수준

이차함수의그래프를그리고, 그성질을

설명할수있다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를

보고그성질을설명할수있다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q에서 꼭짓점

의좌표를구할수있다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 최댓값

또는최솟값을구할수있다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q에서 최댓값

또는최솟값을구할수있다.

주어진 이차함수의 그래프에서 그 함수

가최대또는최소가되는점을찾을수

있다.

중

하

01 이차방정식과그해

① 이차방정식의 뜻을 이해하게 한다.

② 이차방정식의 해의 의미를 이해하게 한다.


1. 이차방정식의 의미는 다양한 상황을 통해

도입한다.

2. 이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 a+0임을

유의하게한다.

3. x에 대한 이차항이 있는 등식이 모두 이

차방정식인것은아님에유의하게한다.

4. x에대한이차방정식에서미지수 x에대하

여특별한조건이 주어지지않으면 x는실

수전체의범위에서생각하도록지도한다.


•이차방정식`(二次方程式, quadratic equation)


활동 목표•직사각형의 넓이를 이용하여 방정

식으로 나타내어 봄으로써 이차방정식의 뜻을

알게 하려는 것이다.


1. x(x+20)=1800

2. x(x+20)=1800에서　x¤ +20x=1800

우변의 1800을좌변으로이항하여정리하면

x¤ +20x-1800=0

이때좌변은 x에관한이차식이다.

풀이| ㉠ x¤ -x=0 이차방정식

㉡ 2x-6=3x에서　2x-6-3x=0

-x-6=0 일차방정식

㉢ (x+3)¤ =x¤ +4x에서　x¤ +6x+9=x¤ +4x

x¤ +6x+9-x¤ -4x=0, 2x+9=0

일차방정식

㉣ x(x-5)=2x¤ -1에서　x¤ -5x=2x¤ -1

x¤ -5x-2x¤ +1=0, -x¤ -5x+1=0

이차방정식

따라서이차방정식인것은㉠㉠, ㉣㉣이다.

목표| 이차방정식의 뜻을 알고, 이차방정식을 찾을 수 있게

한다.

1


교과서 168 쪽

이차방정식의 해란 무엇인가?

탐구 활동 이차방정식 x¤ +x-2=0에대하여다음물음에답하여보자.

1. x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 다음표를완성하여보자.

2. 1에서이차방정식 x¤ +x-2=0을참이되게하는 x의값을모두말하여보자.

x

x¤ +x-2

-2 -1 0 1 2

x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 이차방정식

x¤ +x-2=0

을참이되게하는x의값을찾아보자.

이차식 x¤ +x-2에서 x 대신에 -2, -1, 0, 1, 2를대입하면다음과같은표를

얻을수있다.

이표에서이차방정식 x¤ +x-2=0은 x=-2 또는 x=1일때에만참임을알수

있다.

이와같이미지수 x에관한이차방정식을참이되게하는 x의값을이이차방정식

의해또는근이라하고, 해를모두구하는것을이차방정식을푼다고한다.

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ +x-2의값

(-2)¤ +(-2)-2=0

(-1)¤ +(-1)-2=-2

0¤ +0-2=-2

1¤ +1-2=0-

2¤ +2-2=4-

x¤ +x-2=0

참

거짓

거짓

참

거짓

특별한 언급이 없을 경우

미지수 x값의 범위는 실수 전

체로생각한다.

x의값이-2, -1, 0, 1, 2일때, 다음이차방정식의해를모두구하여라.

⑴ x¤ -2x=0 ⑵ x¤ -x-2=0

2문제

220 각론

풀이|

⑴

따라서주어진이차방정식의해는　

x=0 또는 x=2

⑵

따라서주어진이차방정식의해는　

x=-1 또는 x=2

목표| 주어진 x의 값 중에서 이차방정식의 해

를 찾을 수 있게 한다.

2

활동 목표•x에 주어진 수를 대입하여 식의

값을 알아보고 식의 값이 0이 되게 하는 x를

찾아봄으로써 이차방정식의 해의 의미를 이해

하게 하려는 것이다.


1.

2. -2, 1

x

x¤ +x-2

-2

0

-1

-2

0

-2

1

0

2

4

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ -2x의값

(-2)¤ -2_(-2)=8

(-1)¤ -2_(-1)=3

0¤ -2_0=0

1¤ -2_1=-1

2¤ -2_2=0

x¤ -2x=0

거짓

거짓

참

거짓

참

x의값

-2

-1

0

1

2

x¤ -x-2의값

(-2)¤ -(-2)-2=4

(-1)¤ -(-1)-2=0

0¤ -0-2=-2

1¤ -1-2=-2

2¤ -2-2=0

x¤ -x-2=0

거짓

참

거짓

거짓

참

❶어떤 수를 방정식에 대입하면 그 수가 방

정식의해인지아닌지를확인할수있다.

본문 해설

고대 동양 수학을 집대성한“구장산술”은 실제 생활에서 발생하

는 여러 문제 상황과 그에 대한 풀이를 제시하고 있는데 문제 상

황에 따라 9개의 장으로 구성되어 있다. 제8장의‘방정(方程)’은

연립일차방정식의 계산 문제를 가감법으로 푸는 방법을 다루고

있으며, 제9장의‘구고(句股)’는 직각삼각형에 관한 문제로 이차

방정식 문제도 다루고 있다.

한편 3세기 후반에 알렉산드리아에서 활약하였던 디오판토스

(Diophantos ; ?200~?284)의 저서“산수론”에서는 방정식 문

제와 그 해법을 다루고 있다.

아라비아의 수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi ; ?780~?850)

는 이차방정식의 해법을 연구하였는데, 그의 대수학 저서인“복

원과 대비의 계산”에 일차방정식과 이차방정식의 해법이 실려 있

다. 천문학자이면서 지리학자이기도 하였던 알콰리즈미는 중세

수학에 커다란 영향을 미쳤다고 한다.

읽/기/자/료 이차방정식을 다룬 수학 문헌

❶



교과서 169 쪽

02●이차방정식의근의공식을안다.

이차방정식의풀이

인수분해를 이용하여 이차방정식은 어떻게 푸는가?


1. 두수 a, b에대하여 ab=0이되는경우를모두말하여보자.

2. (x+3)(x-2)=0이되는경우를모두말하여보자.

ab=0이면

a와b는어떤수

일까요?

a가 0이면

됩니다.

어? b가 0이어도

되는데…….

두수또는두식A, B에대하여

A=0 또는B=0이면　AB=0

이다. 또

AB=0이면　A=0 또는B=0

이다.

이사실을이용하여이차방정식을풀어보자.

예를들어이차방정식 (x-3)(x-5)=0에서

x-3=0 또는x-5=0

이므로주어진이차방정식의해는

x=3 또는x=5

이다.

일반적으로이차방정식 (x-a)(x-b)=0의해는x=a 또는x=b이다.

2. 이차방정식이 중근을 가질 때, 그 해는 하

나로 나타나지만 서로 같은 두 개의 근임

을이해하게한다.

3. 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 푸

는 방법은 근의 공식을 유도하는 데 기초

가 되므로 그 풀이 과정을 이해하여 근의

공식에적용하고비교하도록지도한다.

4. 이차방정식은해가실수인경우만다룬다.

5. 이차방정식에서 자신의 풀이 방법을 설명

할수있게한다.

02 이차방정식의풀이

① 두 인수의 곱이 0이 되는 등식의 성질을 이해하게 한다.

② 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

③ 완전제곱식과 중근의 뜻을 알게 한다.

④ 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

⑤ 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

⑥ 근의 공식을 이해하고, 이를 이용하여 이차방정식을 풀 수

있게 한다.


1. 두 수 또는 두 식 a, b에 대하여‘ab=0이면 a=0 또

는 b=0’이고‘a=0 또는 b=0이면 ab=0’임을알게

하고, 이로부터‘ab=0’과‘a=0 또는 b=0’은 같은

뜻임을이해하게한다.


•완전제곱식`(perfect square)

•중근`(重根, multiple root)

•근의 공식`(quadratic formula)


활동 목표•두 수의 곱이 0이면 두 수 중 적

어도 하나는 0임을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있음을 알게 하려는 것이다.


1. ab=0이되는경우는

⑴ a=0, b=0

⑵ a=0, b+0

⑶ a+0, b=0

즉, a와 b 중에서적어도하나는 0이어야한다.

따라서 ab=0이면 a=0 또는 b=0이다.

2. ab=0이면 a=0 또는 b=0이므로

(x+3)(x-2)=0이면 x+3=0 또는 x-2=0이다.

x=-3 또는 x=2


다음이차방정식을풀어라.

1 (x+3)(x+4)=0

2 (x-5)(x-6)=0

3 (x+1)(x-5)=0

4 (x+3)(x-4)=0

1 x=-3 또는 x=-4 2 x=5 또는 x=6

3 x=-1 또는 x=5 4 x=-3 또는 x=4

답


교과서 170 쪽

예제 01(x+4)(2x-1)=0에서　x+4=0 또는 2x-1=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-4 또는 x=

답 x=-4 또는 x=112

112

이차방정식 (x+4)(2x-1)=0을풀어라.

풀이

예제 02⑴ x¤ +2x-35=0에서좌변을인수분해하면　(x+7)(x-5)=0

x+7=0 또는 x-5=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-7 또는 x=5

⑵ x¤ -36=0에서좌변을인수분해하면　(x+6)(x-6)=0

x+6=0 또는 x-6=0

따라서주어진이차방정식의해는　x=-6 또는 x=6

답 ⑴ x=-7 또는 x=5 ⑵ x=-6 또는 x=6


⑴ x¤ +2x-35=0 ⑵ x¤ -36=0

풀이


⑴ (x+2)(x-3)=0 ⑵ x(x+6)=0

⑶ (x-4)(5x+1)=0 ⑷ 4(3x-2)(x-8)=0

1문제


⑴ x¤ -5x-14=0 ⑵ x¤ +4x=5

⑶ x(x+3)=10 ⑷ x¤ +7x=5(x+3)

2문제

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의좌변을인수분해할수있는경우에는그식을인수

분해하여이차방정식을풀수있다.

식을정리하여

ax¤ +bx+c=0

의꼴로만들어인수분해한다.

222 각론

목표| AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용

하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ (x+2)(x-3)=0에서　

x+2=0 또는 x-3=0

x=-2또는 x=3

⑵ x(x+6)=0에서　

x=0 또는 x+6=0

x=0또는 x=-6

⑶ (x-4)(5x+1)=0에서　

x-4=0 또는 5x+1=0

x=4또는 x=-

⑷ 4(3x-2)(x-8)=0에서　

3x-2=0 또는 x-8=0

x= 또는 x=82113

1115

1

목표| 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ -5x-14=0에서　(x+2)(x-7)=0

x=-2또는 x=7

⑵ x¤ +4x=5에서　x¤ +4x-5=0

(x+5)(x-1)=0

x=-5또는 x=1

⑶ x(x+3)=10에서　x¤ +3x=10

x¤ +3x-10=0

(x+5)(x-2)=0

x=-5또는 x=2

⑷ x¤ +7x=5(x+3)에서　x¤ +7x=5x+15

x¤ +2x-15=0

(x+5)(x-3)=0

x=-5또는 x=3

2a+0, b+0일 때, 일반적으로 (x-a)(x-b)=0 꼴의 이차

방정식의 해는 x=a 또는 x=b임을 쉽게 생각하지만 간혹

x(x-a)=0 꼴의 이차방정식의 해를 x=a로만 구하는 경우

가 있다.

이는 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 때,

(x-a)(x-b)=0 (a+0, b+0)의 꼴을 주로 접하고 또한

이 꼴에서 괄호 안의 일차식을 0이라고 하여 해를 구하는 것

에 익숙하기 때문이다. 따라서 x(x-a)는 x_(x-a)임을

강조하고 x_(x-a)=0의 좌변은 x와 x-a의 두 식으로

인수분해한 것이므로 그 해를 x=0 또는 x=a로 구할 수 있

도록 지도한다.

지/도/자/료



교과서 171 쪽

제곱

중근이란 무엇인가?

(a+b)¤ , 2(3x-1)¤ 과같이다항식의제곱으로된식이나이식에상수를곱한식

을완전제곱식이라고한다.

예제 03⑴ a¤ +12a+ =a¤ +2_a_6+ 이므로

=6¤ =36

⑵ x¤ - x+100=x¤ - x+10¤ 이므로

=2_10=20

답 ⑴ 36 ⑵ 20

다음식이완전제곱식이되도록 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ a¤ +12a+ ⑵ x¤ - x+100

풀이

제곱

`a ¤ +2_ a _ b + b ¤

`a ¤ -2_ a _ b + b ¤

다음식이완전제곱식이되도록 안에알맞은양수를써넣어라.

⑴ a¤ +6a+ ⑵ a¤ + a+64

⑶ x¤ -10x+ ⑷ x¤ - x+9

3문제

오른쪽 그림과 같은 정사각형 ABCD의 넓이를 직사각형들

의 넓이의 합으로 나타내어라. 또 그림을 이용하여 정사각형

ABCD의넓이를완전제곱식으로나타내어라.

창up의

x@ ax

x@

A

B

D

C

ax

❶

❶⑴

a¤ +12a+36=(a+6)¤

⑵ x¤ - x+100이 완전제곱식이 되도록 하는

를구할때,

x¤ +20x+100과 x¤ -20x+100의두다항식을모

두생각해야한다.

여기서 답이 20인 이유는 안의 수가 양수라

고주어졌기때문이다.

본문 해설

a의계수의 ;2!;

제곱꼴

a¤ 6¤

목표| 완전제곱식을 이해하고, 다항식이 완전제

곱식이 되도록 안에 알맞은 수를 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ a¤ +6a+

=a¤ +2_a_3+

이므로　 =3¤ =9

⑵ a¤ + a+64=a¤ + a+8¤

이므로　 =2_8=16

⑶ x¤ -10x+ =x¤ -2_x_5+

이므로　 =5¤ =25

⑷ x¤ - x+9=x¤ - x+3¤

이므로　 =2_3=6

3

주의| ⑵ =—(2_8)=—16이지만 문제

의조건에의하여답은 16이된다.

⑷ =—(2_3)=—6이지만 문제의 조건

에의하여답은 6이된다.

출제 의도| 도형 9개의 넓이의 합과 큰 정사각형의 넓이가

같음을 이용하여 인수분해 공식을 이해하게 하기 위한 문제

이다.

창의 UP

풀이|

정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 위의 그림과 같이

2x+a이므로 넓이는 (2x+a)¤ 이다. 이것은 □ABCD

를나눈 9개의사각형의넓이의합

4_x¤ +4_ax+a¤ =4x¤ +4ax+a¤

과같으므로

4x¤ +4ax+a¤ =(2x+a)¤

x@ x@

a@

ax

x@x@

A

B

D

C

axax

ax

x a xx

x

a


교과서 172 쪽

이차방정식x¤ -6x+9=0의좌변을인수분해하면

(x-3)¤ =0

이다. 즉,

(x-3)(x-3)=0

이므로주어진이차방정식의근은

x=3 또는x=3

이다. 여기서두근은서로같으므로이차방정식x¤ -6x+9=0의근은

x=3

이다.

이와같이이차방정식의두근이중복되어있을때, 이근을주어진이차방정식의

중근이라고한다.

예제 04우변의항을모두좌변으로이항하면

x¤ +7x-1-3x+5=0

x¤ +4x+4=0

(x+2)¤ =0

따라서주어진이차방정식의해는

x=-2(중근)

답 x=-2(중근)

이차방정식 x¤ +7x-1=3x-5를풀어라.

풀이


⑴ x¤ -14x+49=0 ⑵ x¤ -3x+9=5x-7

⑶ (x-2)¤ =x ⑷ 2(3-2x)=2-x¤

4문제

(완전제곱식)=0의 꼴로 나

타내어지면 그 이차방정식은

중근을가진다.

224 각론

목표| 중근의 뜻을 알고, 중근을 가지는 이차방

정식을 찾을 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ -14x+49=0에서　(x-7)¤ =0

x=7(중근)

⑵ x¤ -3x+9=5x-7에서　x¤ -8x+16=0

(x-4)¤ =0

x=4(중근)

⑶ (x-2)¤ =x에서　x¤ -4x+4=x

x¤ -5x+4=0

(x-1)(x-4)=0

x=1또는 x=4

⑷ 2(3-2x)=2-x¤ 에서　6-4x=2-x¤

x¤ -4x+4=0

(x-2)¤ =0

x=2(중근)

4

1. 주어진 이차방정식을 (이차식)=0의 꼴로 정리하여 좌변을

인수분해하였을 때 (완전제곱식)=0의 꼴이 되는 이차방정

식은 중근을 갖는다. 즉, 이차방정식 (ax+b)¤ =0은

(ax+b)(ax+b)=0과 같으므로

ax+b=0 또는 ax+b=0

x=- 또는 x=-

따라서 두 근이 서로 같으므로 이차방정식 (ax+b)¤ =0의

근은

x=- (중근)

2. 중근을 가지는 이차방정식의 근은 한 개라고 잘못 생각하

는 경우가 있다. 즉, (x-3)¤ =0의 해를 x=3의 한 개로

생각하는 경우이다.

그러나 일반적으로 이차방정식의 근은 두 개이고, 중근은

서로 같은 두 근임을 알 수 있도록 지도한다.

b1a

b1a

b1a

지/도/자/료

노르웨이의 수학자 아벨(Abel, N. H.

; 1802~1829)은 1823년 크리스티아니

아 대학을 졸업하고, 1825년 베를린으로

유학을 간 후 1827년 귀국하여 타원함수

론, 적분방정식과 오차방정식의 대수적

불능 문제를 연구하고, 대수함수론의 기

본 정리인‘아벨의 정리’를 발표하였다.

그러나 그의 연구는 살아서는 인정을 받지 못하다가 죽은 후에

그 가치가 인정되어, 대수학의 발전에 큰 영향을 주었다. 그의 이

름은‘아벨 적분’, ‘아벨의 정리’, ‘아벨 방정식’, ‘아벨 군’등

오늘날 사용되고 있는 많은 수학 용어 속에 살아 있어, 수학계

불후의 인물로 기억되고 있다.

읽/기/자/료

아벨



교과서 173 쪽

제곱근을 이용하여 이차방정식은 어떻게 푸는가?

전통문양

우리나라의 옛날 건축물이나 생활용품에

서 용 문양이나 연꽃 문양, 도깨비 문양

등과 같이 다양하고 아름다운 전통 문양

을발견할수있는데, 이러한문양은오늘

날에도다양하게활용되고있다.

탐구 활동 다음그림과같이문양을그려넣은직사각형모양과정사각형모양의타일이있다. 두 타

일의넓이가같을때, 물음에답하여보자.

1. 직사각형모양의타일의넓이를구하여보자.

2. 정사각형모양의타일의한변의길이를 x cm로놓고, 넓이에관한방정식을세운후 x의

값을구하여보자.

생각 열기

16`cm

10`cm

제곱근을이용하여이차방정식x¤ -5=0을풀어보자.

이차방정식x¤ -5=0에서-5를우변으로이항하면

x¤ =5

이므로이식을참이되게하는x의값은 5의제곱근이다.

따라서이차방정식x¤ -5=0의근은

x='5 또는x=-'5

이다.

일반적으로다음이성립한다.

x='5 또는 x=-'5를간

단히 x=—'5로 나타내기도

한다.

a>0일때, 이차방정식 x¤ =a의근은

x='a 또는 x=-'a

전통 문양에는 상징이나 바람이 담겨 있는 경우가 많이

있다. 용은 왕의 권위를 상징하고, 연꽃은 속세를 떠난

깨끗함을 상징하며 도깨비는 악귀를 물리치는 의미로

그려졌다.


활동 목표•두 타일의 넓이가 같음을 이용하

여 이차방정식을 세우고, x의 값을 구해 봄으

로써 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수

있음을 알게 하려는 것이다.


1. 16_10=160(cm¤ )

2. 정사각형 모양의 타일의 한 변의 길이를

x cm로 놓으면 타일의 넓이는 x¤ cm¤ 이

고, 두타일의넓이가같으므로　x¤ =160

그런데 x>0이므로　x='1å6å0=4'1å0

“기초 수학”에서 인수분해는 유리수의 범위에서 다루므로 이

차방정식 x¤ =5를

x¤ -5=0

x¤ -('5)¤ =0

(x+'5)(x-'5)=0

x=-'5 또는 x='5

와 같이 인수분해하여 푸는 것보다는 제곱근을 이용하여 풀

도록 지도한다.

지/도/자/료


교과서 174 쪽

예제 054x¤ -7=0에서-7을우변으로이항하면

4x¤ =7

양변을 4로나누면

x¤ =

x=—Æ… =—

답 x=— '7122

'7122

714

714

이차방정식 4x¤ -7=0을풀어라.

풀이

예제 06(x-1)¤ =5에서 x-1은 5의제곱근이므로

x-1=—'5

좌변의-1을우변으로이항하면

x=1—'5

답 x=1—'5

제곱근을이용하여이차방정식 (x-1)¤ =5를풀어라.

풀이


⑴ 9x¤ -2=0 ⑵ 2x¤ -10=0

⑶ 16x¤ =4 ⑷ 27x¤ =9

5문제

제곱근을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ (x-3)¤ =25 ⑵ (x+1)¤ =12

⑶ 4(x+5)¤ -8=0 ⑷ 9(x-2)¤ =7

6문제

x=1—'5는 x=1+'5 또

는 x=1-'5를나타낸다.

226 각론

목표| 제곱근을 이용하여 ax¤ =q (a+ 0,

aq>0)의 꼴인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 9x¤ -2=0에서　9x¤ =2, x¤ =

x=—æ =—

⑵ 2x¤ -10=0에서　2x¤ =10, x¤ =5

x=—'5

⑶ 16x¤ =4에서　x¤ =

x=—æ =—

⑷ 27x¤ =9에서　x¤ =

x=—æ =— '311223113

113

1112114

114

'211223219

219

5

목표| 제곱근을 이용하여 a(x+p)¤ =q (a+0, aq>0)의

꼴인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ (x-3)¤ =25에서　x-3=—5

x=3—5

x=8 또는 x=-2

⑵ (x+1)¤ =12에서　x+1=—2'3

x=-1—2'3

⑶ 4(x+5)¤ -8=0에서　4(x+5)¤ =8

(x+5)¤ =2, x+5=—'2

x=-5—'2

⑷ 9(x-2)¤ =7에서　(x-2)¤ =

x-2=—

x=2— '711223

'7123

719

6제곱근을 이용하여 이차방정식을 푸는 방법을 다음과 같이

난이도를 단계적으로 구분하여 지도할 수 있다.

1단계 q>0일 때,

x¤ =q

x=—'q

2단계 a+0, aq>0일 때,

ax¤ =q, x¤ =

x=—æ

3단계 q>0일 때,

(x+p)¤ =q, x+p=—'q

x=-p—'q

4단계 a+0, aq>0일 때,

a(x+p)¤ =q, (x+p)¤ = , x+p=—æ

x=-p—æq1a

q1a

q1a

q1a

q1a

지/도/자/료



교과서 175 쪽

완전제곱식을 이용하여 이차방정식은 어떻게 푸는가?

탐구 활동 오른쪽그림과같이한변의길이가 x+2인정사각형모양의바

닥을 넓이가 x¤ , x, 1인 대수 타일로 덮으려고 한다. 물음에 답

하여보자.

1. 정사각형을모두덮으려면대수타일 은몇개가더필요한가?

2. 1의 결과를 다음과 같이 식으로 나타내었을 때, 안에 알맞은

수를써넣어보자.

1

x+2

x+2x@

xx

1

x x

x¤ +4x+1+ =(x+2)¤

완전제곱식을이용하여이차방정식x¤ +6x+1=0을풀어보자.

이차방정식x¤ +6x+1=0에서 1을우변으로이항하면

x¤ +6x=-1

이다.

이제 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위하여 x의 계수 6의 인 3을 제곱한 값

9를양변에더하면

x¤ +6x+9=-1+9

이므로좌변을완전제곱식으로나타내면

(x+3)¤ =8

이다. 따라서제곱근을이용하면

x+3=—2'2

이므로구하는이차방정식의근은

x=-3—2'2

이다.

112

다항식의 제곱으로 된 식이

나 이 식에 상수를 곱한 식을

완전제곱식이라고한다.

3

\1-23@

제곱

다음은주어진이차방정식을 (x+p)¤ =q의꼴로만드는과정이다. 안에알맞은수를써

넣어라.

⑴ x¤ +4x=2 ⑵ x¤ -x=1

⑴ x¤ +4x+ =2+ ⑴ x¤ -x+ =1+

⑴ (x+ )¤ = ⑴ (x- )¤ =

7문제

활동 목표•세 종류의 대수 타일로 정사각형 모양의 바닥

을 겹치지 않게 모두 덮는 과정을 통하여 완전제곱식을 만

드는 과정을 이해하고 완전제곱식을 만들 수 있게 하려는

것이다.


1. 3개

2. 1에서와같이대수타일 `을 3개더덮으면타일이

덮인부분은한변의길이가 x+2인 정사각형이 되므

로정사각형의넓이는　

x¤ +4x+1+ =(x+2)¤3

1

1

1 1

목표| 이차방정식을 (x+p)¤ =q의 꼴로 고칠

수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x=2의양변에 { }2=4를

더하면

x¤ +4x+ =2+

(x+ )¤ =

⑵ x¤ -x=1의양변에 { }2= 을더하면

x¤ -x+ =1+

{x- }2= ;4%;;2!;

;4!;;4!;

114

-11252

62

44

412

7


다음이차방정식을 (x+p)¤ =q의꼴로나타내어라.

1 x¤ -4x-2=0

2 x¤ +6x+8=0

3 2x¤ -16x+29=0

4 3x¤ +2x-2=0

1 (x-2)¤ =6 2 (x+3)¤ =1 3 (x-4)¤ =;2#; 4 {x+;3!;}2 =;9&;답


교과서 176 쪽

완전제곱식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ +4x-3=0 ⑵ x¤ -6x+1=0

⑶ x¤ -10x+20=0 ⑷ x¤ +x-3=0

8문제

예제 07⑴ x¤ -8x+6=0

⑴ x¤ -8x=-6

⑴ x¤ -8x+16=-6+16

⑴ (x-4)¤ =10

⑴ x-4=—'∂10

⑴ x=4—'∂10

⑵ x¤ +3x+1=0

⑴ x¤ +3x=-1

⑴ x¤ +3x+ =-1+

⑴ {x+ }2 =

⑴ x+ =—

⑴ x=

답 ⑴ x=4—'∂10 ⑵ x= -3—'5111222

-3—'5111222

'5122312

514312

914914


⑴ x¤ -8x+6=0 ⑵ x¤ +3x+1=0

풀이상수항을우변으로이항한다.

{-8_ }2=16을양변에더한다.112

상수항을우변으로이항한다.

{3_ }2= 를양변에더한다.914

112

좌변을완전제곱식으로고친다.

제곱근을 구한다.

이차방정식의근을구한다.

좌변을 완전제곱식으로고친다.

제곱근을 구한다.

이차방정식의근을구한다.

좌변을 완전제곱식으로 만

든다.

이차방정식의 근의 공식이란 무엇인가?

탐구 활동 이차방정식 2x¤ +5x+1=0에대하여다음물음에답하여보자.

1. 방정식의양변을적당한수로나누어 x¤의계수가 1이되도록고쳐보자.

2. 1에서고친방정식을 (x+ )¤ =(수)의꼴로고치는방법을말하여보자.

228 각론

목표| 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +4x-3=0에서　x¤ +4x=3

{ }2=4를양변에더하면　

x¤ +4x+4=3+4

(x+2)¤ =7, x+2=—'7

x=-2—'7

⑵ x¤ -6x+1=0에서　x¤ -6x=-1

{ }2=9를양변에더하면

x¤ -6x+9=-1+9

(x-3)¤ =8, x-3=—2'2

x=3—2'2

⑶ x¤ -10x+20=0에서　x¤ -10x=-20

{ }2=25를양변에더하면

x¤ -10x+25=-20+25

(x-5)¤ =5, x-5=—'5

x=5—'5

⑷ x¤ +x-3=0에서　x¤ +x=3

{ }2= 을양변에더하면　

x¤ +x+ =3+

{x+ }2= , x+ =—

x=-1—'1å31122221111222

'1å31222

112

13144

112

114

114

114

112

-1012522

-61252

412

8

이차방정식을 풀 때에는 먼저 주어진 방정식을 유리수의 범위

에서 인수분해하여 풀 수 있는지 확인하고, 인수분해를 이용할

것인지 완전제곱식을 이용할 것인지를 판단하도록 지도한다.

•이차방정식 x¤ +2x-3=0의 좌변은 인수분해가 되므로 다

음과 같이 인수분해를 이용하여 푸는 것이 편리하다.

x¤ +2x-3=0

(x-1)(x+3)=0

x=1 또는 x=-3

•이차방정식 x¤ -4x-2=0의 좌변은 유리수의 범위에서 인

수분해가 되지 않으므로 완전제곱식을 이용하여 다음과 같

이 풀 수 있다.

x¤ -4x-2=0

x¤ -4x=2

x¤ -4x+4=2+4

(x-2)¤ =6

x-2=—'6

x=2—'6지/도/자/료



1 x¤ -2x-5=0 2 x¤ +4x+1=0

3 2x¤ -8x+5=0 4 3x¤ +4x-1=0

1 x=1—'6 2 x=-2—'3 3 x= 4 x=-2—'71111

34—'6111

2답



교과서 177 쪽

이차방정식 ax¤ +bx+c=0(a+0)의 해는 완전제곱식을 이용하여 다음과 같이

구할수있다.

❶양변을x¤의계수 a로나눈다.

❷상수항을우변으로이항한다.

❸x의계수 의 의제곱인 { }2을

양변에더하여좌변을완전제곱식으로

고친다.

❹제곱근을구한다. (단, b¤ -4acæ0)

❺이차방정식의근을구한다.

b142a112b1a

x¤ + x+ =0

x¤ + x=-

x¤ + x+{ }2=- +{ } 2

{x+ }2=-

x+ =—

x=- —

x= 1-b—"√b¤ -4ac11111122a

"√b¤ -4ac111122ab132a

"√b¤ -4ac111122ab132a

b¤ -4ac111234a¤

b132a

b132ac1ab132a

b1a

c1ab1a

c1ab1aax¤ +bx+c=0

(x+p)¤ =q

x+p=—'q

x=-p—'q

이상에서다음과같은이차방정식의근의공식을얻을수있다.

이차방정식의근의공식

x에관한이차방정식 ax¤ +bx+c=0(a+0)의근은

x= (단, b¤ -4acæ0)-b—"√b¤ -4ac1111112

2a

근의공식에서

b¤ -4ac<0

이면 제곱근을 구할 수 없으므

로근이없게된다.

예제 08근의공식에 a=1, b=2, c=-5를대입하면

x= = =

x=-1—'6

답 x=-1—'6

-2—2'6111122

-2—'∂24111212

-2—"√2¤ -4_1_(-5)1111111111252_1

근의공식을이용하여이차방정식 x¤ +2x-5=0을풀어라.

풀이

이차방정식에 대한 해법을 체계적으로 연구한 사람은 아라비아의

수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi ; ?780~?850)이다. 그는

이차방정식 x¤ +10x=56의 해를 다음과 같은 방법으로 구하였다.

한편 알콰리즈미는 음수의 존재를 부정하였기 때문에 음수의 근

은 인정하지 않았다.

읽/기/자/료 알콰리즈미의 이차방정식 풀이

5

5

x x@ 5x

5x

x@ 5x

5x 25

x

5

5

x

x

x¤ +10x+25=56+25

(x+5)¤ =81

x+5=9

x=4

활동 목표•주어진 이차방정식을 완전제곱식

으로 변형하는 과정을 생각해 봄으로써 근의 공

식을 유도하는 과정을 이해하게 하려는 것이다.


1. 이차방정식 2x¤ +5x+1=0의양변을 x¤의

계수 2로나누면

x¤ + x+ =0

2. x¤ + x+ =0에서상수항을우변으로

이항하면

x¤ + x=-

양변에 { _ }2= 를더하면

x¤ + x+ =- +

좌변을 완전제곱식으로 나타내고, 우변을

정리하면

{x+ } 22=17114416

5114

251416

112

251416

512

251416

112

512

112

512

112

512

1112

5112

❶문자를 계수로 가지는 이차방정식에서 근의 공식을

유도하는것은복잡하고어렵다. 따라서계수가정수

인 이차방정식을 완전제곱식으로 고쳐서 푸는 방법

과서로비교하면서식을변형하여근의공식을유도

해보고그과정을이해하는것이쉽다.

❷이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)에서 b¤ -4acæ0

인경우에만근의공식을이용할수있음에유의한다.

•b¤ -4ac>0이면

x= 또는 x=

인두개의근을가진다.

•b¤ -4ac=0이면

x= =-

인중근을가진다.

b122a

-b—011132a

-b-"√b¤ -4ac12111112a

-b+"√b¤ -4ac12111112a

본문 해설

❶

❷


교과서 178 쪽

예제 09x¤ +x- =0의양변에 6을곱하면　3x¤ +6x-2=0

근의공식에 a=3, b=6, c=-2를대입하면

x= = =

x=

답 x=-3—'∂1511112

3

-3—'∂15111123

-6—2'∂151111226

-6—'∂60111126

-6—"√6¤ -4_3 √_(-2)111111111212_3

113

112

근의공식을이용하여이차방정식 x¤ +x- =0을풀어라.113

112

풀이

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ +3x-5=0 ⑵ 5x¤ -8x+1=0

9문제

근의공식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ x¤ + x= ⑵ 0.3x¤ -x=-0.6314

112

10문제

계수가 분수나 소수인 이차

방정식을 풀 때에는 양변에 적

당한 수를 곱하여 계수를 정수

로고친후근의공식을이용하

면편리하다.

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

가장안정적이고이상적인비로알려진황금비는

레오나르도 다빈치의 작품인 모나리자에서도 찾

아볼수있다. 오른쪽그림의직사각형에서가장

크게정사각형을도려내고남은부분이처음직사

각형과 닮은꼴이 되어 직사각형의 가로의 길이와

세로의 길이의 비가 황금비가 된다. 이를 이용

하여 x의값을구하는방법을설명하여보자.

<출처: http://www.louvre.fr>

230 각론

목표| 근의 공식을 이용하여 이차방정식을 풀

수 있게 한다.

풀이| ⑴ 근의 공식에 a=1, b=3, c=-5를

대입하면

x=

x= =

⑵근의 공식에 a=5, b=-8, c=1을 대입

하면

x=

x= =

x= =4—'1å11122551122335

8—2'1å112511310

8—'4å412512410

8—'ƒ64-201251112310

-(-8)—"√(-8)¤ -4_5_1125111111111112_5

-3—'2å9112255111122222-3—'ƒ9+201251111

2

-3—"√3¤ -4_1_(-5)12511111111232_1

9

목표| 근의 공식을 이용하여 계수가 분수나 소

수인 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ + x= 에서

x¤ + x- =0

양변에 4를곱하면　4x¤ +2x-3=0

근의공식에 a=4, b=2, c=-3을대입하면

x=

x= =

x= =

⑵ 0.3x¤ -x=-0.6에서　0.3x¤ -x+0.6=0

양변에 10을곱하면　3x¤ -10x+6=0

근의공식에 a=3, b=-10, c=6을대입하면

x=

x= =

x= =5—'711225511223

10—2'71251136

10—'2å812512426

10—'ƒ100-72125111116

-(-10)—"√(-10)¤ -4_3_61251111111111112_3

-1—'1å31122551111224-2—2'1å312511323

8

-2—'5å2125124238

-2—'ƒ4+4812511118

-2—"√2¤ -4_4_(-3)12511111111232_4

314

112

314

112

10

단원 과제

목표| 모나리자에서 찾을 수 있는 직사각형의 가로와 세로의

길이의 비가 황금비임를 이용하여 이차방정식을 만들고 풀어

봄으로써 이차방정식의 유용함을 느낄 수 있게 한다.

풀이| 오른쪽 그림에서 직사각형

ABCD와 직사각형 DAEF는 닮은

도형이다.

DC”=x, BC”=1, FE”=1,

AE”=x-1이므로 닮은 두 직사각

형에서 가로의 길이와 세로의 길이

를이용하여비례식으로나타내면

DC” : BC”=FE” : AE”

x : 1=1 : (x-1), x(x-1)=1, x¤ -x-1=0

근의공식에의하여　x=

x>0이므로　x= 1+'51111112

1—'51112

A

B C

D

E F

1

x



교과서 179 쪽

03●이차함수의뜻을안다.

이차함수의뜻

이차함수란 무엇인가?

스카이다이빙(skydiving)

스카이다이빙은 고도 900~4000 m의

상공에서 뛰어내려 낙하산을 펴지 않고

여러가지기술을보이거나균형을유지

하며 낙하하다가 지상 가까이에서 낙하

산을펴서착지하는스포츠이다. 경기종

목으로는 공중에서 정해진 동작을 빠르

고정확하게하는선수가우승하는스타

일강하와목표지점에가장가까이착지

하는선수가우승하는정밀강하등이있다.

탐구 활동 오른쪽 그림은 지상 1500 m 높이에서 낙하한 스카이다

이버가 지상 1000 m 높이에서 낙하산을 펴서 내려오는

모습을 1초간격으로촬영하여그내려간거리를나타낸

것이다. 스카이다이버가 낙하산을 편 지 x초 후의 높이

를 y m라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 다음표를완성하여보자.

2. y가 x의함수인지말하여보자.

생각 열기

지면

0초2`m6`m

10`m

14`m

1초

2초

3초

4초x(초)

y(m)

0

1000

1 2

992

3 4

탐구활동에서두변수 x, y에대하여 x의값이정해지면 y의값이단하나로정해

지므로 y는x의함수이다.

이때x와 y 사이의관계식은

y=-2x¤ +1000

으로나타낼수있고, y는x에관한이차식이된다.

03 이차함수의뜻

① 이차함수의 의미를 이해하게 한다.

② 이차함수의 함숫값을 구할 수 있게 한다.


1. 다양한상황을이용하여이차함수의의미를다룬다.

2. 이차함수를도입할때제한된 x값의범위로설명하였

더라도 이차함수의 의미를 다룰 때에는 실수 전체를

x값의범위로하여지도한다.


•이차함수`(二次函數, quadratic function)


스카이다이빙에 대한 보다 자세한 자료는 한

국스카이다이빙협회 홈페이지(http://www.

kpa.or.kr)에서찾아볼수있다.


1. 낙하산을편지 1초후의높이는　

1000-2=998(m)

낙하산을편지 3초후의높이는

1000-(2+6+10)=982(m)

낙하산을편지 4초후의높이는

1000-(2+6+10+14)=968(m)

2.두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 정해지면 y의 값도

단하나로정해지므로 y는 x의함수이다.

x(초)

y(m)

0

1000

1

998

2

992

3

982

4

968

활동 목표•실생활에서 두 변수 사이의 관계

를 표를 이용하여 알아봄으로써 이차함수의 의

미를 이해하게 하려는 것이다.


❶ x=1일때, y=1000-2=1000-2_1¤ =998

x=2일때, y=1000-8=1000-2_2¤ =992

x=3일때, y=1000-18=1000-2_3¤ =982

x=4일때, y=1000-32=1000-2_4¤ =968

따라서 x와 y 사이의관계식은 y=-2x¤ +1000이다.

본문 해설

❶


교과서 180 쪽

일반적으로함수 y=f(x)에서 y가x에관한이차식

y=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는상수)

로나타내어질때, 이함수 y=f(x)를이차함수라고한다.

y는 x에관한이차함수

˙k y=(x에관한이차식)

예제 01

⑴x분후직사각형의가로, 세로의길이는각각 (2+2x) cm, (2+x) cm이므로직

사각형의넓이는 y=(2+2x)(2+x)이다.

따라서 y=2x¤ +6x+4이다.

⑵ y가x에관한이차식으로나타내어지므로 y는x에관한이차함수이다.

답 ⑴ y=2x¤ +6x+4 ⑵이차함수이다.

한 변의 길이가 2 cm인 정사각형에서 가로의 길이는

매분 2 cm씩, 세로의 길이는매분 1 cm씩동시에늘어

난다고 한다. x분 후 직사각형의 넓이를 y cm¤라고 할

때, 다음물음에답하여라.

⑴ y를x에관한식으로나타내어라.

⑵ y는 x에관한이차함수인가?

풀이

다음에서 y를 x에관한식으로나타내고,이차함수인것을모두찾아라.

⑴둘레의길이가12 cm인직사각형의가로의길이는x cm이고, 넓이는 y cm¤이다.

⑵한모서리의길이가 x cm인정육면체의부피는 y cm‹ 이다.

⑶시속 3 km로걸어서 x시간동안간거리는 y km이다.

⑷반지름의길이가 x cm인구의겉넓이는 y cm¤ 이다.

1문제

2`cm

2`cm

매분 1`cm

매분 2`cm

함수 y=x¤ +2x-4, y=-2x¤ +3, y= x¤ 은 y가 x에관한이차식으로나타내어

지므로모두이차함수이다.

113

보기

이차함수의 x값과 y값의범위가주어지지않았을때에는이를실수전체로생각한다.참고

232 각론

❶

목표| 실생활에서 두 변수 사이의 관계를 식으

로 나타내고, 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ⑴둘레의길이가 12 cm이므로

(가로의길이)+(세로의길이)=6(cm)

가로의길이가 x cm일때, 세로의길이는

(6-x) cm이므로　y=x(6-x)

따라서 y=-x¤ +6x이다.

⑵ (정육면체의 부피)=(한 모서리의 길이)‹

이므로　y=x‹

⑶ (거리)=(평균속력)_(시간)이므로　y=3x

⑷ (구의 겉넓이)=4_p_(반지름의 길이)¤

이므로　y=4px¤따라서이차함수인것은⑴⑴, ⑷⑷이다.

1


다음중에서이차함수를모두찾아라.

㉡, ㉢, ㉤답

❶함수 y=ax¤ +bx+c에서 a+0이면 이차

함수이다. 즉, y=-2x¤ +3과 같이 b=0

또는 c=0일때에도 a+0이면 y는이차함

수이다.

한편 y=ax¤ +bx+c에서 a=0이고 b+0

이면 y는일차함수이다.

본문 해설

1. y를 x에 관한 식으로 나타낼 때, 함수 y=f(x)의 우변을

정리하여 y가 x에 관한 이차식으로 나타나는 경우에만 이

차함수임을 알게 한다.

2. a, b, c는 상수이고, a+0일 때

⑴ ax¤ +bx+c 이차식

⑵ ax¤ +bx+c=0 이차방정식

⑶ y=ax¤ +bx+c 이차함수

지/도/자/료

㉠ y=2x-3 ㉡ y=2x(x-1)

㉢ y=(x+2)¤ ㉣ y=x‹ +2x-1

㉤ y=9-x¤ ㉥ y= 514x¤



교과서 181 쪽

예제 02⑴ f(-3)=(-3)¤ -(-3)-2

=9+3-2=10

⑵ f{ }={ }2 - -2

⑵ f{ }= - -2=-

답 ⑴ 10 ⑵-914

914

112

114

112

112

112

이차함수 y=f(x)에서 f(x)=x¤ -x-2라고할때,다음을구하여라.

⑴ f(-3) ⑵ f{ }112

풀이

이차함수 y=-4x¤ +2x+1에서 x의 값이 0, 1, 2, 3일 때, 각 x의 값에 대한 함숫값을 구

하여라.

2문제

이차함수 y=2x¤ +bx+c에대하여 x=1일때 y=0이고, x=2일때 y=9라고한다. x=0

일때 y의값을구하여라.

3문제

이차함수 f(x)=3x¤ +a에대하여다음물음에답하여라.

⑴ f(a)=10을만족시키는 a의값을모두구하여라.

⑵ x의값이-1, 0, 1일때, 각 x의값에대한함숫값의총합을 9라고하자. 이때 a의

값을구하여라.

4문제

문제 1과 같이 y를 x에 관한 식으로 나타내면 이차함수가 되는 예를 찾아 말하여

보자.


▶의사소통

▶문제 해결

발전

목표| 이차함수의 함숫값을 구할 수 있게 한다.

풀이| x=0일때, y=-4_0¤ +2_0+1=1

x=1일때, y=-4_1¤ +2_1+1=-1

x=2일때, y=-4_2¤ +2_2+1=-11

x=3일때, y=-4_3¤ +2_3+1=-29

2

목표| 이차함수의 식을 완성하고 함숫값을 구할 수 있게 한다.

풀이| x=1일때 y=0이므로　0=2+b+c yy①

x=2일때 y=9이므로　9=8+2b+c yy②

①, ②를연립하여풀면　b=3, c=-5

따라서이차함수 y=2x¤ +3x-5이므로

x=0일때　y=2_0¤ +3_0-5=-5

3

목표| 이차함수의 함숫값이 주어졌을 때 미지수

를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ f(a)=3a¤ +a=10이므로

이차방정식 3a¤ +a-10=0을풀면

(3a-5)(a+2)=0

a= 또는 a=-2

⑵ f(-1)=3_(-1)¤ +a=3+a

f(0)=3_0¤ +a=a

f(1)=3_1¤ +a=3+a

이때각 x의값에대한함숫값의총합이 9

이므로　(3+a)+a+(3+a)=9

a=1

5113

4

출제 의도| 실생활에서 일어나는 이차함수로 나타낼 수 있는

예를 찾아봄으로써 이차함수의 의미를 확실히 이해하게 하기

위한 문제이다.


풀이| •한변의길이가xm인정사각형모양의밭의넓이

를 ym¤라고하면 y=x¤인관계가성립한다.

•윗변의 길이가 xm, 아랫변의 길이가 3xm, 높이가

xm인사다리꼴의넓이를 ym¤라고하면

y= (x+3x)x=2x¤ 인관계가성립한다.

•중력가속도를 g라고할때, 자유낙하시킨물체의 x초

후의 이동 거리를 ym라고 하면 y= gx¤ 인 관계가

성립한다.

112

112


교과서 182 쪽

04●이차함수 y=ax¤의그래프를그리고, 그성질을이해한다.


이차함수 y=ax¤의 그래프는 어떻게 그리는가?

탐구 활동 이차함수 y=x¤에대하여다음물음에답하여보자.


2. 1에서 구한 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내

어보자.

3. x값의 범위가 실수 전체일 때, 이차함수 y=x¤의 그래프는

어떤모양이될지추측하여보자.

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

탐구활동에서 x의값이-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3일때, 이차함수 y=x¤ 의그래프

에대하여알아보았다.

이제x값의범위가실수전체일때, 이차함수 y=x¤ 의그래프를그려보자.

먼저이차함수 y=x¤ 에서x의값이

-3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3

일때, x의값에대한 y의값을구하여표로나타내면다음과같다.

x

y

-3

9

-2.5

6.25

-2

4

-1.5

2.25

-1

1

-0.5

0.25

0

0

0.5

0.25

1

1

1.5

2.25

2

4

2.5

6.25

3

9

234 각론

1.

2. (-3, 9), (-2, 4),

(-1, 1), (0, 0),

(1, 1), (2, 4), (3, 9)

이므로 이 순서쌍을 좌표평면

위에 나타내면 오른쪽 그림과

같다.

3. 오른쪽그림과같이 2에서나타

낸 점들을 곡선으로 연결한 모

양이된다.

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

04 이차함수 y=ax¤의그래프

① 이차함수 y=ax¤의 그래프를 그릴 수 있고,

그 그래프의 성질을 이해하게 한다.

② 포물선, 축, 꼭짓점의 의미를 이해하게 한다.


1. y=x¤ 의 그래프를 그릴 때, x값의 간격을

점점좁혀서점의개수를늘려 x값의범위

가 수 전체가 되면 매끈한 곡선이 됨을 알

게한다.

2. y=ax¤ 에서 a의 부호에 따른 그래프의 특

징과 a의 절댓값의 크기에 따른 그래프의

특징을알게한다.

3.포물선의엄밀한뜻은다루지않는다.


•포물선`(抛物線, parabola)

•축`(軸, axis)

•꼭짓점`(vertex)


x

y

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

활동 목표•x와 y 사이의 관계를 나타내는 표를 완성하고

순서쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 나타내어 봄으로써 이차함

수 y=x¤의 그래프의 모양을 알게 하려는 것이다.




교과서 183 쪽

이표에서얻어지는순서쌍 (x, y)를좌표평면위에나타내면<그림 1>과같다.

또 x의값이-3에서 3까지 0.25의간격으로변해갈때, 그각각에대응하는 y의

값을구하여순서쌍 (x, y)를좌표평면위에나타내면<그림 2>와같다.

이와 같은방법으로 x값의간격을 좁혀서더많은점을표시해나가면 이차함수

y=x¤ `의그래프는<그림 3>과같이매끈한곡선으로나타난다.

위의그림에서이차함수 y=x¤ 의그래프는원점을지나고, 아래로볼록하다.

또 x의값이-1과 1처럼절댓값이같고부호가반대일때, 각각에대응하는 y의

값은같다. 즉, 이그래프는 y축에대칭임을알수있다.

한편 이차함수 y=x¤의 그래프는 오른쪽 그림과 같이

x의값이음수이면 x의값이증가할때 y의값은감소하

고, x의값이양수이면 x의값이증가할때 y의값도증가

함을알수있다.

이상을정리하면다음과같다.

이차함수의 그래프는 두 점

만으로는 그래프를 그리기 힘

들다. 따라서 여러 개의 점을

찾아 이를 최대한 매끄러운 곡

선으로잇는다.

y축에대칭이라는말은 y축

을 중심으로 그래프를 접었을

때, 그래프가 완전히 포개어진

다는말이다.

이차함수 y=x¤의그래프에

서 원점 이외의 부분은 모두

x축보다위쪽에있다.

x

y

-2 2

8

6

4

2

O x

y

-2 2

8

6

4

2

O x

y

-2 2

8

6

4

2

O

<그림 2> <그림 3><그림 1>

감소 증가

y y=x@

xO

이차함수 y=x¤의그래프

⑴원점을지나고, 아래로볼록하다.

⑵ y축에대칭이다.

⑶ x<0이면 x의값이증가할때 y의값은감소하고,

x>0이면 x의값이증가할때 y의값도증가한다.

주의| 모든이차함수의 y값의범위가실수전체는아

니지만모두 yæ0인것은아니다.

1. 이차함수에서 x의 값에 대한 함숫값의 증감을

일차함수와 동일하게 일정하다고 생각하는 학

생들이 있다. y=x¤의 그래프를 그려 x값의

범위에 따라 증가하는 부분과 감소하는 부분

이 있다는 것을 이해하도록 지도한다.

2. 함수를 나타낼 때,

y=x¤ , f(x)=x¤

과 같이 두 가지의 표현을 사용함으로써 학생

들에게 혼란을 가져다줄 수 있으므로 의미를

주의하여 지도한다.

y=x¤과 같이 표시하면 x의 값이 변할 때, y의

값이 변한다는 것이 쉽게 나타나지만 x의 값을

x¤의 값에 대응시키는 규칙을 명확하게 지시

할 수 없다. 반면 f(x)는 x의 값에 대응하는

함숫값을 명확하게 지시하는 특성을 갖는다.

3. 이차함수 y=x¤의 그래프를 그릴 때, x의 값

을 세분화하여 함숫값을 구하는 것은 많은 시

간이 필요할 뿐만 아니라 좌표평면 위에 점을

정확하게 나타내기가 어렵다. 이러한 이유로

컴퓨터 프로그램이나 그래픽 계산기가 많이 활

용되고 있는데, 다음은 스프레드시트 프로그램

을 이용하여 이차함수 y=x¤의 그래프를 그리

는 과정이다.

❶ 스프레드시트 프로그램을 실행한다.

❷ A1 셀에‘x’, B1 셀에‘y’,

A2 셀에‘-0.4’, A3 셀에‘-0.35’

를 입력한다.

❸ A2 셀과 A3 셀을 블록으로 잡고 채

우기 핸들을 이용하여 A18 셀까지 드

래그한다.

❹ B2 셀에‘=A2^2’를 입력하고 B2

셀을 블록으로 잡고 채우기 핸들을

이용하여 B18 셀까지 드래그한다.

❺ A1 셀부터 B18 셀까지

블록으로 잡고 [삽입] -

[차트] - [분산형] - [곡선

및 표식이 있는 분산형]을

선택하면 이차함수 y=x¤

의 그래프가 그려진다.

지/도/자/료

❶이차함수 y=x¤ 의 그래프에서 x값의 범위는 실수 전

체이므로 y=x¤ æ0이다. 따라서 모든 실수 x에 대하

여 y의 값은 음수가 될 수 없으므로 y=x¤ 의 그래프

는 x축보다아래쪽에는나타나지않는다.

이처럼 이차함수는 일차함수의 그래프와는 다르게

y값의범위가실수전체가되지않는다.

본문 해설

❶


교과서 184 쪽

이차함수 y=x¤ `의 그래프를이용하여이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프를그릴

수있다.

예제 01x의여러가지값에대응하는 x¤ , 2x¤의값을구하여표로나타내면다음과같다.

위의 표에서 x의 각 값에 대하여 2x¤ 의 값은 항상 x¤

의값의 2배임을알수있다. 따라서이차함수 y=2x¤

의그래프는 y=x¤의그래프의각점의 y좌표를 2배로

하는점을잡아서그리면된다.

이때 이차함수 y=2x¤ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같

이 원점을 지나고 아래로 볼록하며, y축에 대칭인 매

끈한곡선이된다.

이차함수 y=x¤의그래프를이용하여이차함수 y=2x¤의그래프를그려라.

풀이이차함수 y=ax¤ (a>0)의

그래프는 y=x¤의 그래프의 각

점에 대하여 y좌표를 a배로 하

는점을잡아그리면된다.

오른쪽그림은이차함수 y=x¤의그래프이다.이것을이용하여

다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y= x¤

⑵ y=3x¤

⑶ y= x¤114

112

1문제

x

y

y=2x

@

y=x@

-2 2 4

16

18

14

12

10

8

6

4

2

-4 O

x

x¤

2x¤

y

y

y

-3

9

18

-2

4

8

-1

1

2

0

0

0

1

1

2

2

4

8

3

9

18

y

y

y

x

y

O

2

-2 2 4-4

4

6

8

10

문제 1에서그래프의폭이좁은것부터차례로나열하여라.2문제

236 각론

목표| 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 이용하여

y=ax¤ (a>0)의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴

이차함수 y= x¤의그래프는 y=x¤의그

래프의각점의 y좌표를 배로하는점을

찍어연결하여그린다.

⑵

이차함수 y=3x¤`의 그래프는 y=x¤ 의 그

래프의 각 점의 y좌표를 3배로 하는 점을

찍어연결하여그린다.

⑶

이차함수 y= x¤의그래프는 y=x¤의그래프의각점

의 y좌표를 배로하는점을찍어연결하여그린다.114

114

112

112

1

풀이| 그래프의 폭이 좁은 것부터 차례로 나열하면 ⑵⑵,

⑴⑴, ⑶⑶이다.

참고| 이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프는 a의값이클

수록폭이좁아진다.

목표| 이차함수의 그래프를 보고 그래프의 폭을 비교할 수

있게 한다.

2

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

;2!;x¤`

y 9 4 1 0 1 4 9 y

y ;2(; 2 ;2!; 0 ;2!; 2 ;2(; y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

3x¤

y 9 4 1 0 1 4 9 yy 27 12 3 0 3 12 27 y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

;4!;x¤`

y 9 4 1 0 1 4 9 y

y ;4(; 1 ;4!; 0 ;4!; 1 ;4(; y

x

y

y=x@

O

2

-2 2 4-4

4

6

8

10

⑴ ⑵

⑶



교과서 185 쪽

이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프를이용하여이차함수 y=-ax¤ (a>0)의그

래프를그릴수있다.

예제 02x의여러가지값에대응하는 x¤ , -x¤의값을구하여표로나타내면다음과같다.

위의표에서 x의각값에대하여-x¤의값은항상 x¤의

값과절댓값이같고부호가반대임을알수있다. 따라

서 이차함수 y=-x ¤의 그래프는 y=x¤ 의 그래프와

x축에대칭인그래프를그리면된다.

이때이차함수 y=-x¤ 의그래프는오른쪽그림과같

이 원점을 지나고 위로 볼록하며, y축에 대칭인 매끈

한곡선이된다.

이차함수 y=x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-x¤의그래프를그려라.

풀이이차함수 y=-ax¤의 그래

프는 y=ax¤의 그래프와 x축

에 대칭인 그래프를 그리면 된

다.

x

8

6

4

2

-2-4 2 4

-2

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=x@

O

x

x¤

-x¤

y

y

y

-3

9

-9

-2

4

-4

-1

1

-1

0

0

0

1

1

-1

2

4

-4

3

9

-9

y

y

y

오른쪽그림은이차함수 y=2x¤과 y= x¤의그래프이다.

이것을이용하여다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y=-2x¤

⑵ y=- x¤112

1123문제

6

8

4

2

-2

-2-4 2 4

-4

-6

-8

yy=

2x@

xO

y=-x@1 2

참고| 그래프의폭이좁은것부터나열하면⑴, ⑵이다.

이때 이차함수 y=-ax¤ 의 그래프는 y=ax¤ 의 그래프

와 x축에대칭이므로그래프의폭이같다.

풀이| ⑴

이차함수 y=-2x¤`의 그래프는 y=2x¤ 의

그래프와 x축에대칭인그래프이다.

⑵

이차함수 y=- x¤의그래프는 y= x¤

의그래프와 x축에대칭인그래프이다.

112

112

목표| 이차함수 y=ax¤ (a>0)의 그래프를 이용

하여 y=-ax¤ (a>0)의 그래프를 그릴 수 있게

한다.

3

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

2x¤

-2x¤`

y 18 8 2 0 2 8 18 yy -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

-;2!;x¤` y -;2(; -2 -;2!; 0 -;2!; -2 -;2(; y

;2!;x¤` y ;2(; 2 ;2!; 0 ;2!; 2 ;2(; y

⑴ ⑵

6

8

4

2

-2

-2-4 2 4

-4

-6

-8

y

y=2x

@xO

y=-x@1 2

감소증가

y

xO

•이차함수 y=x¤ 의그래프와 x축에대칭이다.

❶이차함수 y=-x¤ 의그래프는

•위로볼록하다.

•원점을지나며그점에서가장볼록하다.

•y축에 대칭이다. 즉, y축을 중심으로 접었을 때 완

전히포개어진다.

•x<0일때, x의값이증가하면 y의값도증가한다.

x>0일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

본문 해설

❶


교과서 186 쪽

오른쪽그림에서알수있듯이이차함수 y=ax¤

의 그래프는 a>0일 때에는 아래로 볼록하고,

a<0일때에는위로볼록한곡선이다.

또 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지

고, 항상 y축에대칭이다.

한편 이차함수 y=ax¤과 y=-ax ¤의그래프는

x축에서로대칭이다.

이차함수 y=ax¤의그래프와같은모양의곡선을포물선이라고한다. 포물선은한

직선에대칭인도형으로그직선을포물선의축이라하고, 포물선과축의교점을포

물선의꼭짓점이라고한다.

따라서이차함수 y=ax¤의그래프는 y축을축으로하고, 원점을꼭짓점으로하는

포물선이다.

일반적으로이차함수 y=ax¤ 의그래프에대하여다음을알수있다.

xO

4

3

2

1

-1-1 1 2 3-2-3

-2

-3

-4

y

y=2x

@

y=-2x@

y=x@

y=-x@

y=--x@

12

y=-x@1 2

꼭짓점

포물선

축

이차함수 y=ax¤ (a+0)의그래프

⑴원점을꼭짓점으로하고, y축을축으로하는포물선이다.

⑵ a>0이면아래로볼록하고, a<0이면위로볼록하다.

⑶ a의절댓값이클수록포물선의폭이좁아진다.

⑷ y=-ax¤ 의그래프와 x축에대칭이다.

다음이차함수의그래프중에서아래로볼록한것을모두찾아라.4문제

㉠ y=3x ¤ ㉡ y=-5x¤

㉢ y=- x¤ ㉣ y= x¤113

112

문제 4에서그래프의폭이좁은것부터차례로나열하여라.5문제

238 각론

목표| 이차함수 y=ax¤의 식을 보고 그래프의 모양을 판단

할 수 있게 한다.

4

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의그래프는 a>0이면아래로볼

록하고, a<0이면 위로 볼록하므로 아래로 볼록한 것은

㉠㉠, ㉣㉣이다.

목표| 이차함수 y=ax¤의 식을 보고 그래프의 폭을 비교할

수 있게 한다.

5

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 클

수록 그래프의 폭이 좁아지므로 그래프의 폭이 좁은 것

부터차례로나열하면㉡㉡, ㉠㉠, ㉢㉢, ㉣㉣이다.

❶이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프는

y=x¤ 의 그래프의 각 점에 대하여 y좌표

를 a배로하는점을잡아그린것이므로 a

의 값이 커질수록 그래프의 폭이 좁아진

다. 그리고 이차함수 y=-ax¤ (a>0)의

그래프는 y=ax¤ (a>0)의 그래프와 x축

에 대칭이므로 a의 값이 커질수록 그래프

의폭이좁아진다.

따라서이차함수 y=ax¤ (a+0)의그래프

는 a의 절댓값이 커질수록 그래프의 폭이

좁아진다.

❷이차함수 y=ax¤ (a+0)의 그래프는 절댓

값이 같은 x의 값에 대하여 y의 값이 같

으므로 y축에 대칭이 된다. 따라서 y축을

축으로 하는 포물선이고, y축과의 교점은

원점이므로원점을꼭짓점으로한다.

본문 해설

포물선(抛物線, parabola)이라는 용어는 갈릴레이(Galilei,

Galileo ; 1564~1642)의 발견에 근거하여 지어진 이름으로 포

(抛)는‘던지다’라는 뜻이다. 즉, 포물선은 물건을 위로 던졌을

때 물체가 그리는 곡선을 의미한다.

그런데 여기서 주의할 것은 물체 그 자체의 운동과 운동 현상 속

에 있는 두 변량 사이의 관계를 나타내는 그래프의 모양이 다를

수 있다는 것이다. 예를 들어 물체가 수직 방향으로 자유 낙하를

하는 경우나 전동차가 점점 빠르게 움직이는 경우 등을 관찰할

때, 그 시간과 거리의 관계를 나타내는 그래프는 포물선이 되지

만, 그 물체의 운동 자체는 직선 운동을 하고 있다.

parabola는 고대 그리스의 수학자 아폴로니오스(Apollonios

; ?B.C. 262~?B.C. 190)가 이름 붙인 것이다. 직원뿔을 모선에

평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면을‘일치한다’라는 뜻의

parabola라고 하였다.

읽/기/자/료 포물선

❶

❷



교과서 187 쪽

05●이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프를그리고, 그성질을이해한다.


이차함수 y=ax¤ +q의 그래프는 어떻게 그리는가?

탐구 활동 두이차함수 y=x¤과 y=x¤ +3에대하여다음물음에답하여보자.


2. 두이차함수의그래프를오른쪽좌표평면위에그려보자.

3. 투명 종이에 y=x¤의 그래프를 옮겨 그린 후 y축의 방향으로 얼

마만큼이동시키면 y=x¤ +3의그래프와겹치게할수있는지알

아보자.

x-2 2O

y

8

10

6

4

2

x

x¤

x¤ +3

y

y

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 y

y

y

이차함수 y=x¤ +3의그래프를그려보자.

탐구활동의표에서 x의각값에대하여 x ¤ +3의값은항상 x¤의값보다 3만큼크

다는것을알수있다.

따라서 이차함수 y=x ¤ +3의 그래프는 이차함수 y=x¤

의그래프를 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다.

그러므로이차함수 y=x¤ +3의그래프는오른쪽 그림과

같이 y축을축으로하고, 점 (0, 3)을꼭짓점으로하는아래

로볼록한포물선이다.

x

y

y=x@

8

6

4

2

-2 2O

y=x@+3

한 도형을일정한방

향으로 일정한 거리만큼 옮기

는것을평행이동이라고한다.

P.117

05 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프

① 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프

의 성질을 이해하게 한다.

② 이차함수 y=a(x-p)¤의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래

프의 성질을 이해하게 한다.

③ 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그릴 수 있고, 그

그래프의 성질을 이해하게 한다.


1. y=ax¤ 의 그래프를 평행이동하여 y=ax¤ +q의 그래

프를 그릴 때, 포물선의 폭, 모양, 축은 변하지 않으

나꼭짓점의좌표는달라짐을알도록지도한다.


1.

2. 투명 종이에 y=x¤ 의 그래프를 옮겨 그린 후 y축의

방향으로 3만큼 평행이동하면 y=x¤ +3의 그래프와

겹치게할수있다.

y=x@

8

10

6

4

2

-2 2O

y=x@+3y

x

2. y=ax¤ 의그래프를평행이동하여

y=a(x-p)¤ , y=a(x-p)¤ +q의 그래프

를 그릴 때, 포물선의 폭, 모양은 변하지

않으나 꼭짓점의 좌표, 축은 달라짐을 알

도록지도한다.

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

x¤ +3

y 9 4 1 0 1 4 9 yy 12 7 4 3 4 7 12 y

활동 목표•같은 x의 값에 대하여 x¤의 값과

x¤ +3의 값 사이의 관계를 나타내는 표를 완성

하고, 두 그래프를 한 좌표평면 위에 그려 봄으

로써 이차함수 y=x¤과 y=x¤ +3의 그래프 사

이의 관계를 알게 하려는 것이다.


❶이차함수 y=x¤ +3의 그래프는 y=x¤ 의 그래프의 각

점을 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다. 이때

그래프의 폭, 모양, 축은 변하지 않고 꼭짓점만 y축

의방향으로 3만큼이동하여꼭짓점의좌표는 (0, 3)

이된다.

본문 해설

❶


교과서 188 쪽

일반적으로이차함수 y=ax¤ +q의그래프에대하여다음을알수있다.

이차함수 y=ax¤ +q (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의그래프를 y축의방향으로 q만큼평행이동한것이다.

⑵ y축을축으로하고, 점 (0, q)를꼭짓점으로하는포물선이다.

예제 01이차함수 y=-x¤ -2의 그래프는 y=-x¤의 그래프

를 y축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.

따라서이차함수 y=-x¤ -2의그래프는오른쪽그림

과 같이 y축을 축으로 하고, 점 (0, -2)를 꼭짓점으

로하는위로볼록한포물선이다.

이차함수 y=-x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-x¤ -2의그래프를그려라.

풀이

x-2-4 2 4O

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=-x@-

2

-2

다음이차함수의그래프는이차함수 y=4x¤의그래프를어떻게평행이동한것인가?

⑴ y=4x¤ -5 ⑵ y=4x¤ +1

1문제

오른쪽그림은두이차함수 y=x¤과 y=- x¤의그래프이다.


⑴ y=x¤ -4

⑵ y=- x¤ +2112

1122문제

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

다음이차함수의그래프를 y축의방향으로 [ ] 안의값만큼평행이동한그래프를나타내는

이차함수의식을구하고, 그 함수가나타내는포물선의꼭짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=x¤ [4 ] ⑵ y=- x¤ [-2 ]113

3문제

발전

240 각론

❶

목표| 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프는 이차함

수 y=ax¤의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인

지 설명할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=4x¤ -5의 그래프는 y=4x¤ 의 그

래프를 y축의방향으로-5만큼평행이동한것이다.

⑵이차함수 y=4x¤ +1의 그래프는 y=4x¤ 의 그래프를

y축의방향으로 1만큼평행이동한것이다.

1

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 이용하여 y=ax¤ +q의

그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=x¤ -4의 그래프는 y=x¤ 의 그래

프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이므로

y축을 축으로 하고, 점 (0, -4)를 꼭짓점으로 하는

아래로볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- x¤ +2의그래프는 y=- x¤의그

래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로

y축을축으로하고, 점 (0, 2)를꼭짓점으로하는위

로볼록한포물선이다.

112

112

2

⑴

⑵

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

❶이차함수 y=ax¤ +q의그래프는

•q>0이면 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 양

의방향(위)으로평행이동하여그린다.

•q<0이면 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 음

의 방향(아래)으로 평행이동하여 그린

다.

•이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방

향으로 q만큼 평행이동한 것이므로 꼭

짓점의 y좌표는 변하고, 꼭짓점의 x좌

표와 축은 변하지 않는다. 즉, 꼭짓점의

좌표는 (0, q)이고, y축을 축으로 한다.

또한 이차함수의 그래프를 평행이동하

여도 a의 값은 변하지 않으므로 그래프

의모양과폭은변하지않는다.

본문 해설



교과서 189 쪽

이차함수 y=a(x-p)¤의 그래프는 어떻게 그리는가?

탐구 활동 두이차함수 y=x¤과 y=(x-2)¤에대하여다음물음에답하여보자.


2. 두이차함수의그래프를오른쪽좌표평면위에그려보자.

3. 투명종이에 y=x¤의그래프를옮겨그린후 x축의 방향으

로얼마만큼이동시키면 y=(x-2)¤의그래프와겹치게할

수있는지알아보자.

x-2-4 2 4O

y

8

6

4

2

x

x¤

(x-2)¤

y

y

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 y

y

y

이차함수 y=(x-2)¤ 의그래프를그려보자.

탐구활동의표에서x의값이-3, -2, -1, 0, 1일때의x¤의값과x의값이-1,

0, 1, 2, 3일때의 (x-2)¤ 의값은각각서로같음을알수있다.

따라서 이차함수 y=(x-2)¤ 의 그래프는 이차함수

y=x ¤의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한

것이다.

그러므로 이차함수 y=(x-2)¤ 의 그래프는 오른쪽

그림과같이직선 x=2를축으로하고, 점 (2, 0)을꼭

짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

일반적으로이차함수 y=a(x-p)¤의그래프에대하여다음을알수있다.

y=x@

xO-2 2 4

y

2

4

8

10

6

y={x

-2}@

이차함수 y=a(x-p)¤ (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의그래프를 x축의방향으로 p만큼평행이동한것이다.

⑵직선 x=p를축으로하고, 점 (p, 0)을꼭짓점으로하는포물선이다.

직선 x=2는 y축에 평행한

직선이다.

y=a(x-p)¤ 의 그래프는

y=ax¤의 그래프를 x축의 방

향으로 -p만큼이 아닌 p만큼

평행이동한것이다.

❶

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식과 그 함수가

나타내는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 4

만큼평행이동한이차함수의식은 y=x¤ +4이고, 이

그래프의꼭짓점의좌표는 (0, 4)이다.

⑵이차함수 y=- x¤의그래프를 y축의방향으로 -2

만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=- x¤ -2이

고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (0, -2)이다.

1113

113

3

1.

2. 투명 종이에 y=x¤ 의 그래프를 옮겨 그린

후 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면

y=(x-2)¤의그래프와겹치게할수있다.

x

y

-2-4 2 4

8

6

4

2

O

y=x@

y={x

-2}@

yyy

-3

9

25

-2

4

16

-1

1

9

0

0

4

1

1

1

2

4

0

3

9

1

yyy

x

x¤

(x-2)¤

활동 목표•같은 x의 값에 대하여 x¤의 값과

(x-2)¤의 값 사이의 관계를 나타내는 표를 완

성하고, 두 그래프를 한 좌표평면 위에 그려 봄

으로써 이차함수 y=x¤과 y=(x-2)¤의 그래

프 사이의 관계를 알게 하려는 것이다.


❶이차함수 y=a(x-p)¤ 의그래프는

•p>0이면 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 양의 방향(오

른쪽)으로평행이동하여그린다.

•p<0이면 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 음의 방향(왼

쪽)으로평행이동하여그린다.

•이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만

큼평행이동한것이므로꼭짓점의 x좌표와축의방

정식이 변한다. 즉, 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이고,

직선 x=p를축으로한다.

또한 이차함수의 그래프를 평행이동하여도 a의 값

은 변하지 않으므로 그래프의 모양과 폭은 변하지

않는다.

본문 해설


교과서 190 쪽

예제 02이차함수 y=-(x+2)¤ 의 그래프는 y=-x¤의 그래

프를 x축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.

따라서이차함수 y=-(x+2)¤ 의그래프는오른쪽그

림과같이직선 x=-2를축으로하고, 점 (-2, 0)을

꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다.

이차함수 y=-x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-(x+2)¤의그래프를그려라.

풀이

x-4 2O

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=-{x+

2}@

-2

-2

다음이차함수의그래프는이차함수 y=3x¤의그래프를어떻게평행이동한것인가?

⑴ y=3(x+1)¤ ⑵ y=3(x-5)¤

4문제

다음이차함수의그래프를 x축의방향으로 [ ] 안의값만큼평행이동한그래프를나타내는

이차함수의식을구하고, 그 함수가나타내는포물선의꼭짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=2x¤ [1 ] ⑵ y=- x¤ [-3]114

6문제

오른쪽그림은이차함수 y=x¤과 y=- x¤의그래프이다.


⑴ y=(x+3)¤

⑵ y=- (x-2)¤112

1125문제

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

발전

242 각론

목표| 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프는 이차

함수 y=ax¤의 그래프를 어떻게 평행이동한 것

인지 설명할 수 있게 한다.

풀이| ⑴이차함수 y=3(x+1)¤ 의그래프는

y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1

만큼평행이동한것이다.

⑵이차함수 y=3(x-5)¤의그래프는 y=3x¤

의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼 평행

이동한것이다.

4

목표| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 이용하여

y=a(x-p)¤의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=(x+3)¤ 의 그래프는

y=x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -3만큼평행이동

한것이므로직선 x=-3을축으로하고, 점 (-3, 0)

을 꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- (x-2)¤ 의 그래프는 y=- x¤의

그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므

로 직선 x=2를 축으로 하고, 점 (2, 0)을 꼭짓점으

로하는위로볼록한포물선이다.

112

112

5

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식과 그 함수가

나타내는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

1만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=2(x-1)¤ 이

고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (1, 0)이다.

⑵이차함수 y=- x¤의그래프를 x축의방향으로-3

만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=- (x+3)¤

이고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (-3, 0)이다.

1114

114

6

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

⑴

⑵



교과서 191 쪽

이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤의그래프를x축의방향으로 2만큼평행이동한후이것을다시 y축

의방향으로 3만큼평행이동하면 y=(x-2)¤ +3의그래프가된다.

즉, 이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프는 y=x¤의그

래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼


따라서이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프는오른쪽

그림과같이직선 x=2를축으로하고, 점 (2, 3)을꼭

짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

일반적으로이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프에대하여다음을알수있다.

y

xy=

x@

8

6

4

2

-2 2 4Oy=

{x-2}@+

3y=

{x-2}@

이차함수 y=a(x-p)¤ +q (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한

것이다.

⑵직선 x=p를축으로하고, 점 (p, q)를꼭짓점으로하는포물선이다.

x축의방향으로

2만큼평행이동

y축의방향으로

3만큼평행이동

y=x¤

y=(x-2)¤

y=(x-2)¤ +3

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는 어떻게 그리는가?

탐구 활동 오른쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 이차함

수 y=x¤ , y=(x-2)¤ , y=(x-2)¤ +3의그래프

를그린것이다. 다음물음에답하여보자.

1. 이차함수 y=(x-2)¤의그래프는 y=x¤의그래프

를어떻게평행이동한것인가?

2. 이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프는 y=(x-2)¤

의그래프를어떻게평행이동한것인가?

3. 이차함수 y=x¤의 그래프를 어떻게 평행이동하면

y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 할 수 있는지

말하여보자.

❶

❸

❷

y=ax¤꼭짓점의좌표: (0, 0)

FFFFF„

FF

FF

„

FF

FF

„

y=a(x-p)¤ +q

y=a(x-p)¤꼭짓점의 좌표: (p, 0)

꼭짓점의 좌표: (p, q)

y=ax¤ +q꼭짓점의 좌표: (0, q)

활동 목표•이차함수 y=x¤ 의 그래프를 평행이동하여

y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 하는 과정을 통해 이차

함수 y=x¤과 y=(x-2)¤ +3의 그래프 사이의 관계를 알



1. 이차함수 y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=x¤ 의 그래프를

x축의방향으로 2만큼평행이동한것이다.

2. 이차함수 y=(x-2)¤ +3의 그래프는 y=(x-2)¤ 의

그래프를 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다.

3. 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼

평행이동한후이것을다시 y축의방향으로 3만큼평

행이동하면 y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 할 수

있다.

지/도/자/료 평행이동에 의한 꼭짓점의 좌표

❶이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그

릴때, 대응표를만들지않아도

y=a(x-p)¤ +q의그래프가 y=ax¤ 의그

래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방

향으로 q만큼 평행이동한 것이라는 성질

을이용하여그릴수있다.

❷이차함수 y=ax¤ 의그래프를

y=a(x-p)¤ +q의 그래프로 평행이동할

때, x축의 방향과 y축의 방향의 평행이동

의순서는관계가없다.

즉, x축의방향으로 p만큼이동한후에 y축

의 방향으로 q만큼 이동한 그래프와 y축

의 방향으로 q만큼 이동한 후에 x축의 방

향으로 p만큼 이동한 그래프는 서로 같은

그래프이다.

❸이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는

y=ax¤의그래프를 x축의방향으로 p만큼,

y축의방향으로 q만큼평행이동한그래프

이므로 축은 y축(x=0)에서 직선 x=p

로, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)에서 (p, q)

로옮겨진다.

이때 a의 값은 그대로이므로 그래프의 폭

과모양은변하지않는다.

본문 해설

x축의 방향으로

p만큼

y축의 방향으로

q만큼

x축의방향으로

p만큼

y축의방향으로

q만큼


교과서 192 쪽

예제 03이차함수 y=-(x-3)¤ +2의그래프는 y=-x ¤의그

래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼


따라서이차함수 y=-(x-3)¤ +2의그래프는오른쪽

그림과 같이 직선 x=3을 축으로 하고, 점 (3, 2)를


이차함수 y=-x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-(x-3)¤ +2의그래프를그려라.

풀이2

-4

-6

2-2 4 6O

y=-x@

y=-{x-

3}@+2

y

x

-2

오른쪽그림은두이차함수 y=2x¤과 y=- x¤의그래프

이다.이것을이용하여다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y=2(x-3)¤ -4

⑵ y=- (x+2)¤ +2113

1137문제

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=2x

@

6

4

2

-2

y=--x@

13

다음 이차함수의 그래프를 x축, y축의 방향으로 각각 [ ] 안의 값만큼 평행이동한 그래프

를나타내는이차함수의식을구하여라.또그함수가나타내는포물선의축의방정식과꼭

짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=x¤ [-2, 1 ] ⑵ y=3x¤ [3, -2 ]

⑶ y= x¤ [-1, -2 ] ⑷ y=-2x¤ [1, 2 ]112

8문제

포물선의 축을 직선의 방정

식으로 나타낸 것을 축의 방정

식이라고한다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 좌표평면 위에 나타낼 때, a, p, q의 부호에

따라그래프가제몇사분면위에있는지토의하여보자. (단, a+0, p+0, q+0)


▶의사소통

▶문제 해결

발전

244 각론

목표| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 이용하여

y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=2(x-3)¤ -4의 그래

프는 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

3만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동

한 것이므로 직선 x=3을 축으로 하고,

점 (3, -4)를 꼭짓점으로 하는 아래로

볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- (x+2)¤ +2의그래프는

y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

-2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동

한 것이므로 직선 x=-2를 축으로 하고,

점 (-2, 2)를 꼭짓점으로 하는 위로 볼

록한포물선이다.

113

113

7

⑴

⑵

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=2x

@

6

4

2

-2

y=--x@

13

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼,

y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함

수의 식과 그 함수가 나타내는 포물선의 축의 방정식과 꼭짓

점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=(x+2)¤ +1, 축의방정식은 x=-2, 꼭짓

점의좌표는 (-2, 1)이다.

⑵ y=3(x-3)¤ -2, 축의방정식은 x=3, 꼭짓점의좌

표는 (3, -2)이다.

⑶ y=;2!;(x+1)¤ -2, 축의방정식은 x=-1, 꼭짓점의

좌표는 (-1, -2)이다.

⑷ y=-2(x-1)¤ +2, 축의 방정식은 x=1, 꼭짓점의

좌표는 (1, 2)이다.

8출제 의도| 이차함수 y=a(x-p)¤ +q에서 a, p, q의 부호에

따라 그래프가 지나는 사분면을 생각해 봄으로써 이차함수의

그래프를 능숙하게 그리게 하기 위한 문제이다.


풀이| 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는 a, p, q의

부호에따라다음과같은사분면을지난다.

q<0q>0

p>0

p<0

p>0

p<0

a>0

a<0

제1, 2, 4사분면

또는모든사분면

제1, 2, 3사분면


제3, 4사분면

제3, 4사분면

제1, 2사분면

제1, 2사분면

제1, 3, 4사분면


제2, 3, 4사분면




교과서 193 쪽

06●이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프를그리고, 그성질을이해한다.

●이차함수의최댓값, 최솟값을구할수있다.

이차함수의그래프의성질

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프에는 어떤 성질이 있는가?

현수교

현수교는두개의탑에주케이블을걸

친후, 그케이블에현수재로상판을매

달아만든다리이다. 현수교의기원은

산악지대의원시민족들이덩굴을나

무에 매달아 계곡을 건너가는 수단으

로사용한것이라고할수있다. 우리

나라의이순신대교, 남해대교, 영종대교, 미국의금문교등이바로현수교이다.

탐구 활동 다음그림과같이현수교의주케이블이이차함수의그래프인포물선모양이고, 왼쪽탑으

로부터의수평거리를 xm, 도로에서주케이블까지의높이를 ym라고할때, x와 y 사

이에는 y=x¤ -20x+105인 관계가 있다고 하자. 이때 주 케이블의 모양이 어떤 포물선

의일부인지알아보기위하여물음에답하여보자.

1. 다음은주어진이차함수의식을 y=a(x-p)¤+q의꼴로고치는과정이다. 안에알맞은

수를써넣어보자.

2. 1을이용하여이차함수 y=x¤ -20x+105의그래프는이차함수 y=x¤의그래프를어떻게

평행이동한것인지말하여보자.

생각 열기

탑 탑

주 케이블현수재

x

y

O

y=x¤ -20x+105

=(x¤ -20x+ - )+105

=(x¤ -20x+ )- +105

=(x- )¤ +

06 이차함수의그래프의성질

① 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

② 이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프의성질을이해하게한다.

③ 함수의 최댓값과 최솟값의 뜻을 알게 한다.

④ 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.


1. 이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로

나타낼때, a의부호에유의하여지도한다.

2.이차함수의최댓값과최솟값은 x값의범위가실수전

체인경우만다룬다.

3.이차함수의 x값의 범위가 실수 전체일 때, 항상 최댓

값 또는 최솟값을 가진다는 것을 그래프를 통하여 이

해하게한다.


•최댓값`(absolute maximum)

•최솟값`(absolute minimum)


현수교의 주 케이블은 이차함수의 그래프인

포물선 모양이다. 현수교는 늘어뜨린 케이블

을 통해 두 개의 탑에 하중이 전달되도록 하

여 탑 사이에 긴 거리를 확보할 수 있다. 따

라서 큰 배가 지나가야 하는 바다에는 두 개

의 탑 사이로 배가 지나갈 수 있도록 현수교

형식으로다리를건설한다.

줄을같은높이의양쪽에서잡고늘어뜨릴때,

줄의 모양이 이루는 곡선을 현수선이라고 한

다. 현수선 모양으로 처진 줄에 일정한 간격

으로 하중을 주면 포물선의 모양으로 바뀌는

데, 현수교도 마찬가지로 케이블에 일정한

간격으로 현수재를 이어 상판을 매달았으므

로케이블의모양이포물선이된다.


1. y=x¤ -20x+105

y=(x¤ -20x)+105

y=(x¤ -20x+ - )+105

y=(x¤ -20x+ )- +105

y=(x- )¤ +

2. 1에서 y=x¤ -20x+105=(x-10)¤ +5이다.

따라서 이차함수 y=x¤ -20x+105의 그래프는 이차

함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의방향으로 10만큼, y축

의방향으로 5만큼평행이동한것이다.

510

100100

100100

활동 목표•이차함수 y=ax¤ +bx+c의 식을

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 고쳐서 이차함수 y=ax¤과

y=ax¤ +bx+c의그래프 사이의 관계를알게 하려는것이다.



교과서 194 쪽

이차함수 y=2x¤ +8x+9의그래프를그려보자.

y=2x¤ +8x+9의우변을(완전제곱식)+(상수항)의꼴로바꾸면다음과같다.

y=2x¤ +8x+9

=2(x¤ +4x)+9

=2(x¤ +4x+4)-8+9

=2(x+2)¤ +1

따라서이차함수 y=2x¤ +8x+9의그래프는오른쪽

그림과같이 y=2x¤ 의그래프를 x축의방향으로-2만

큼, y축의방향으로 1만큼평행이동한것이다.

그러므로이차함수 y=2x¤ +8x+9의그래프는직선

x=-2를축으로하고, 점 (-2, 1)을꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

또x=0일때, y=9이므로 y축과만나는점의좌표는 (0, 9)이다.

일반적으로이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프는다음과같은성질이있다.

y

x

4

6

8

y=2x@+

8x+9

y=2x@

2

2-2 O

이차함수

y=a(x-p)¤ +q

의 그래프는 y=ax¤의 그래프

를 x축의 방향으로 p만큼, y축

의 방향으로 q만큼 평행이동한

것이다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의그래프

⑴ y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸어서그린그래프와같다.

⑵ y축과만나는점의좌표는 (0, c)이다.

예제 01y=-x¤ +6x-4

=-(x¤ -6x)-4

=-(x¤ -6x+9)+9-4

=-(x-3)¤ +5

따라서 이차함수 y=-x ¤ +6x-4의 그래프는 오른쪽

그림과같이직선 x=3을축으로하고, 점 (3, 5)를꼭

짓점으로 하며 점 (0, -4)를 지나는 위로 볼록한 포물

선이다.

x

-2

-4

2

4

2 4 6O

y

이차함수 y=-x¤ +6x-4의그래프를그려라.

풀이y=-x¤ +6x-4를

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 바꾸

어야한다.

이차항의 계수 a로

묶는다.

일차항의 계수의 ;2!;의

제곱을 더하고 뺀다.

완전제곱식으로

고친다.

상수항을 정리한다.

y=ax¤ +bx+c

f∑

f∑

f∑

f∑

y=a{x¤ + x+ - }+cb¤1244a¤

b¤1244a¤

b1a

y=a{x¤ + x}+c b1a

y=a{x+ } 2- +cb¤134a

b132a

y=a{x+ }2- b¤ -4ac111244a

b132a

이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의

꼴로 나타내는 방법은 다음과 같다.

꼭짓점: {- , }

축: x=- b132a

-b¤ +4ac111124a

b132a

지/도/자/료

기원전 262년경에 남부 소아시아 지방에 있

는 페르가에서 태어난 아폴로니오스

(Apollonios ; ?B.C. 262~?B.C. 190)는

젊었을 때 알렉산드리아에서 유클리드의 후

계자로부터 배웠고 결국 그곳에서 교수가

되었다. 그는 뛰어난 천문학자였으며 또 다

양한 수학적 주제에 관한 저술을 남겼다. 그 시대 사람들이 그를

위대한 기하학자라고 칭한 이유는 그의 저서“원뿔곡선론”때문

인데, 그는 이 책에서 하나의 원뿔을 기울기가 다른 평면으로 잘

라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 얻는 방법을 소개하였다.

⑴ 밑면에 평행한 평면으로 자르면 원을 얻을 수 있다.

읽/기/자/료 원뿔곡선과 아폴로니오스

⑵ 밑면에 비스듬한 평면으로 자르면 타원을 얻을 수 있다.

⑶ 모선에 평행한 평면으로 자르면 포물선을 얻을 수 있다.

⑷ 꼭지를 맞댄 두 개의 원뿔을

밑면에 수직인 평면으로 자르

면 쌍곡선을 얻을 수 있다.

246 각론

아폴로니오스



교과서 195 쪽

예제 02주어진이차함수의그래프의꼭짓점의좌표가 (2, 3)이므로구하는이차함수의식은

y=a(x-2)¤ +3 yy①

의꼴로나타낼수있다.

또이그래프가점 (4, -1)을지나므로①에 x=4, y=-1을대입하면

-1=a(4-2)¤ +3

4a=-4, a=-1

따라서구하는이차함수의식은 y=-(x-2)¤ +3이므로

y=-x¤ +4x-1

답 y=-x¤ +4x-1

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프가점 (4, -1)을지나고꼭짓점의좌표가 (2, 3)일

때,이이차함수의식을구하여라.

풀이다음은 컴퓨터를 이용하여

주어진 이차함수의 그래프를

그린것이다.

다음 이차함수의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에 그려라.

또 이 그래프의 꼭짓점의 좌표와 그래프가 y축과 만나는

점의좌표를구하여라.

⑴ y=2x¤ -4x+4

⑵ y=-3x¤ -6x-2

1문제

x

-2

-4

-2 2 4-4

2

4

O

y

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 점 (-1, 5)를 지나고 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)일

때,이이차함수의식을구하여라.

2문제

이차함수 y=-x¤ -8x-10의 그래프의 꼭짓점이 이차함수 y= x¤ -k의 그래프 위

에있을때, k의값을구하는방법을설명하여라.

114

창up의

목표| 꼭짓점의 좌표와 다른 한 점을 알 때, 이

차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

2

풀이| 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 구

하는이차함수의식을　

y=a(x+2)¤ +3 yy①

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또 이 그래프가 점

(-1, 5)를 지나므로 ①에 x=-1, y=5를

대입하면

5=a(-1+2)¤ +3

a+3=5, a=2

따라서구하는이차함수의식은 y=2(x+2)¤ +3이므로

y=2x¤ +8x+11

x

-2

-4

-2 2 4-4

2

4

y

O

⑴

⑵

목표| 이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로

고쳐서 그래프를 그리고, 꼭짓점의 좌표와 그래프가 y축과 만

나는 점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=2x¤ -4x+4

=2(x¤ -2x)+4

=2(x¤ -2x+1)-2+4

=2(x-1)¤ +2

따라서이차함수 y=2x¤ -4x+4의그래프는점 (1, 2)

를꼭짓점으로하고, 점 (0, 4)에서 y축과만난다.

⑵ y=-3x¤ -6x-2

=-3(x¤ +2x)-2

=-3(x¤ +2x+1)+3-2

=-3(x+1)¤ +1

따라서 이차함수 y=-3x¤ -6x-2의 그래프는 점

(-1, 1)을 꼭짓점으로 하고, 점 (0, -2)에서 y축

과만난다.

1

출제 의도| 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점을

이용하여 미지수를 구할 수 있게 하기 위한 문제이다.

창의 UP

풀이| y=-x¤ -8x-10=-(x+4)¤ +6

따라서이차함수 y=-x¤-8x-10의그래프는점 (-4, 6)

을꼭짓점으로한다.

이꼭짓점이이차함수 y= x¤-k의그래프위에있으므로

y= x¤ -k에 x=-4, y=6을대입하면

6= _(-4)¤ -k이므로　k=-2114

114

114


교과서 196 쪽

이차함수의 최댓값과 최솟값은 어떻게 구하는가?

탐구 활동 포물선을 그리면서 떨어지는 어

떤 분수의 물줄기에 대하여 분출

구에서부터의 수평 거리를 xm,

물줄기의 높이를 y m라고 할

때, x와 y 사이에는

y=-5x¤ +10x인 관계가 성립

한다고 하자. 다음 물음에 답하

여보자.

1. 이차함수 y=-5x¤ +10x의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에

그려보자.

2. 물줄기가가장높이올라갔을때의높이를말하여보자.

이차함수 y=x¤ +2의그래프는오른쪽그림과같이꼭짓

점의좌표가 (0, 2)이고, 아래로볼록한포물선이다.

따라서이차함수 y=x¤ +2의함숫값중에서가장작은값

은x=0일때, y=2이다.

이차함수 y=-x¤ +3의그래프는오른쪽그림과같이꼭

짓점의좌표가 (0, 3)이고, 위로볼록한포물선이다.

따라서이차함수 y=-x¤ +3의함숫값중에서가장큰값

은 x=0일때, y=3이다.

이와같이어떤함수에서 x값의범위에대한함숫값중에서가장큰값을그함수

의최댓값이라하고, 가장작은값을그함수의최솟값이라고한다.

이를테면이차함수 y=x¤ +2의최솟값은 x=0일때 2이고, 최댓값은없다. 또이

차함수 y=-x¤ +3의최댓값은x=0일때 3이고, 최솟값은없다.

x

2

-2 2

4

6

O

y

x2 4

2

4

O

y

x

-2

2

2

O

y

-2

y=x¤ +2에서 x의 값이 한

없이 커지거나 작아질 때, y의

값은 한없이 커지므로 가장 큰

함숫값은없다.

y=-x¤ +3에서 x의 값이

한없이 커지거나 작아질 때, y

의 값은 한없이 작아지므로 가

장작은함숫값은없다.

248 각론

❶

1. y=-5x¤ +10x=-5(x-1)¤ +5

따라서이함수의 그래프는 다음그림과 같

이직선 x=1을축으로하고, 점 (1, 5)를


2. 물줄기가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는

5m이다.

x

4

2

2 4O

y

y

x

a>0

O

y=ax@

최솟값

범위

함숫값의

y

x

a<0

O

y=ax@

최댓값

범위

함숫값의

활동 목표•이차함수의 그래프를 그려 보고,

물줄기가 가장 높이 올라갔을 때의 높이를 알

아봄으로써 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구

하는 방법을 이해하게 하려는 것이다.


❶최댓값은 그래프의 최고 높이를 의미하고, 최솟값은

그래프의 최저 높이를 의미하므로 이차함수는 꼭짓

점에서최댓값또는최솟값을갖는다.

이때이차함수의최댓값또는최솟값은꼭짓점의 y좌

표이다.

본문 해설

이차함수 y=ax¤의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.

•a>0일 때, y=ax¤의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이

고 아래로 볼록한 포물선이므로 함숫값은 항상 0 이상이다.

따라서 이차함수 y=ax¤ (a>0)은 x=0에서 최솟값 0을 가

지고 최댓값은 없다.

•a<0일 때, y=ax¤의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이

고 위로 볼록한 포물선이므로 함숫값은 항상 0 이하이다.

따라서 이차함수 y=ax¤ (a<0)은 x=0에서 최댓값 0을 가

지고 최솟값은 없다.

지/도/자/료



교과서 197 쪽

일반적으로이차함수의최댓값과최솟값은다음과같이구한다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의최댓값과최솟값

이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸었을때

⑴ a>0인경우

최솟값은 x=p일때 q이고,

최댓값은없다.

⑵ a<0인경우

최댓값은 x=p일때 q이고,

최솟값은없다.

y

q

p xO

yq

p xO

이차함수의 그래프가 아래

로 볼록한 경우에는 최솟값만

있고, 위로 볼록한경우에는최

댓값만있다.

예제 03⑴이함수의그래프는점 (2, -3)을꼭짓점으로하는아래로 볼록한 포물선이다.

따라서주어진이차함수의최솟값은 x=2일때-3이고, 최댓값은없다.

⑵이함수의그래프는점 (1, 3)을꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다. 따라

서주어진이차함수의최댓값은 x=1일때 3이고, 최솟값은없다.

답 ⑴최솟값은 x=2일때-3이고, 최댓값은없다.

⑵최댓값은 x=1일때 3이고, 최솟값은없다.

다음이차함수의최댓값과최솟값을구하고,그때의 x의값을구하여라.

⑴ y=(x-2)¤ -3 ⑵ y=-2(x-1)¤ +3



그린것이다.


⑴ y= (x-3)¤ -4 ⑷ y=-(x-2)¤ +2112

3문제

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴이차함수 y= (x-3)¤ -4의그래프는

점 (3, -4)를 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물

선이다. 따라서주어진이차함수의최솟값은 x=3일

때-4이고, 최댓값은없다.

⑵이차함수 y=-(x-2)¤ +2의 그래프는 점 (2, 2)를

꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다. 따라서주

어진이차함수의최댓값은 x=2일때 2이고, 최솟값

은없다.

112

3

컴퓨터 프로그램은 학생들이 직접 도형을 그리고

탐구할 수 있게 해 줌으로써 내용을 쉽게 이해할

수 있도록 도와준다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 a, b, c의 값이 다

른 이차함수의 그래프를 여러 개 그리지 않고도

‘매개변수에 애니메이션 주기’를 선택하면 자동

으로 a, b, c의 값이 달라짐에 따른 그래프가 그

려진다. 즉, a, b, c의 부호와 값의 크기에 따른

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 변화를 쉽

게 관찰할 수 있다.

지/도/자/료

꼭짓점은 한자로 정점(頂點)을 번역한 것으로 평면도형에서는 변

과 변의 교점이 꼭짓점이고, 입체도형에서는 모서리와 모서리의

교점이 꼭짓점이다. 또한 포물선에서는 축과 포물선의 교점이 꼭

짓점이다.

정(頂)은 꼭대기, 맨 위를 의미하므로 정점은 꼭대기에 있는 점이

라는 뜻이다. 그런데 꼭대기 대신 꼭짓점이라고 할 때 그것은 꼭

대기에 있는 점이라는 의미뿐 아니라 맨 끝 부분에 있는 점이라

는 의미로도 사용된 것으로 볼 수 있다.

읽/기/자/료 꼭짓점


교과서 198 쪽

예제 04⑴ y=3x¤ +6x+5=3(x+1)¤ +2

이므로이함수의그래프는점 (-1, 2)를꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선

이다.

따라서주어진이차함수의최솟값은 x=-1일때 2이고, 최댓값은없다.

⑵ y=-x¤ +4x-6=-(x-2)¤ -2

이므로이 함수의 그래프는 점 (2, -2)를 꼭짓점으로 하는 위로 볼록한 포물선

이다.

따라서주어진이차함수의최댓값은 x=2일때-2이고, 최솟값은없다.

답 ⑴최솟값은 x=-1일때 2이고, 최댓값은없다.

⑵최댓값은 x=2일때-2이고, 최솟값은없다.


⑴ y=3x¤ +6x+5 ⑵ y=-x¤ +4x-6



그린것이다.

다음이차함수의최댓값과최솟값을구하고, 그때의 x의값을구하여라.

⑴ y=2x ¤ +8x+4 ⑵ y=-3x¤ +6x-5

4문제

최댓값은 x=-2일때 1이고, 그래프가점 (-1, -3)을지나는이차함수의식을

y=ax¤ +bx+c의꼴로나타내어라.

5문제발전

250 각론

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ y=2x¤ +8x+4

=2(x+2)¤ -4

이므로이함수의그래프는점 (-2, -4)

를꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선

이다. 따라서주어진이차함수의최솟값은

x=-2일때-4이고, 최댓값은없다.

⑵ y=-3x¤ +6x-5

=-3(x-1)¤ -2

이므로 이 함수의 그래프는 점 (1, -2)

를 꼭짓점으로 하는 위로 볼록한 포물선

이다. 따라서 주어진 이차함수의 최댓값

은 x=1일때-2이고, 최솟값은없다.

4

목표| 이차함수의 최댓값과 다른 한 점을 알 때, 그 이차함

수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 주어진 이차함수의 최댓값이 x=-2일 때 1이므

로구하는이차함수의식은

y=a(x+2)¤ +1 yy①

로나타낼수있다.

또이그래프가점 (-1, -3)을지나므로①에 x=-1,

y=-3을대입하면

-3=a(-1+2)¤ +1, a=-4

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-4(x+2)¤ +1이므

로　y=-4x¤ -16x-15

5

참고| x=p일 때, 최댓값 또는 최솟값이 q인 이차함수

의식은다음과같이구한다.

❶구하는식을 y=a(x-p)¤ +q로놓는다.

❷주어진다른조건을이용하여 a의값을구한다.

목표| 특정한 해를 가지는 이차방정식을 찾을 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x=4일때 x¤ -2x-8의값은

4¤ -2_4-8=16-8-8=0이므로 x¤ -2x-8=0은

참이다. 따라서 x=4는 이차방정식 x¤ -2x-8=0의

해이다.

⑵ x=4일때 (x+4)(4x-1)의값은

(4+4)(4_4-1)=8_15=120이므로

(x+4)(4x-1)=0은 거짓이다. 따라서 x=4는 이

차방정식 (x+4)(4x-1)=0의해가아니다.

⑶ x=4일 때 3x¤ 의 값은 3_4¤ =48이고, x¤ +3의 값은

4¤ +3=19이므로 3x¤ =x¤ +3은 거짓이다. 따라서

x=4는이차방정식 3x¤ =x¤+3의해가아니다.

⑷ x=4일때 x(x-1)의값은 4_(4-1)=12이고,

2(x+2)의값은 2_(4+2)=12이므로

1정리 확인 학습



교과서 199 쪽

정리 확인 학습 2. 이차방정식과 이차함수

⑴이차방정식: 방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한

식이

(x에관한이차식)=0

의꼴로변형되는방정식

⑵이차방정식의 해: 미지수 x에 관한 이차방정식을 참이 되게

하는 x의값

이차방정식과 그 해 다음 중에서 x=4를 해로 가지는 이차방정식을 모

두찾아라.

⑴ x¤ -2x-8=0 ⑵ (x+4)(4x-1)=0

⑶ 3x¤ =x¤ +3 ⑷ x(x-1)=2(x+2)

1

x에관한이차방정식 ax¤ +bx+c=0(a+0)의근은

x= (단, b¤ -4acæ0)-b—"√b¤ -4ac11111123

2a

이차방정식의 근의 공식 근의공식을이용하여다음이차방정식을풀어라.

⑴ 3x¤ +5x-1=0 ⑵ -x-2=0x¤142

2

이차함수 y=ax¤ +bx+c(a+0)의그래프는

⑴ y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸어서그린그래프와같다.

y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향

으로 q만큼평행이동한것이다.

꼭짓점의좌표: (p, q)

축의방정식: x=p

⑵ y축과만나는점의좌표는 (0, c)이다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 이차함수 y=x¤ -2x-3의 그래프에 대하여 다음

물음에답하여라.

⑴주어진 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴

로바꾸어라.

⑵축의방정식과꼭짓점의좌표를구하여라.

이차함수 y=ax¤ +bx+c(a+0)를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 바

꾸었을때,

⑴ a>0인경우

최솟값은 x=p일때 q이고, 최댓값은없다.

⑵ a<0인경우

최댓값은 x=p일때 q이고, 최솟값은없다.

이차함수의 최댓값과 최솟값 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그때

의 x의값을구하여라.

⑴ y=2(x-3)¤ -5

⑵ y=-3(x+1)¤ +4

⑶ y=2x¤ -4x

⑷ y=- x¤ +2x+1113

4

3

용어와 기호 이차방정식, 완전제곱식, 중근, 근의공식, 이차함수, 포물선, (포물선의) 축, (포물선의) 꼭짓점, 최댓값, 최솟값

x(x-1)=2(x+2)는 참이다. 따라서 x=4는 이차

방정식 x(x-1)=2(x+2)의해이다.

따라서 x=4를해로가지는이차방정식은⑴⑴, ⑷⑷이다.

목표| 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로

바꾸고 이를 이용하여 축의 방정식과 꼭짓점의

좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4

⑵축의방정식: x=1

꼭짓점의좌표: (1,-4)

⑵방정식의양변에 2를곱하면

x¤ -2x-4=0

근의 공식에 a=1, b=-2, c=-4를 대

입하면

x=

x= =

x= =1—'52—2'51112

2

2—'2å011122

2—'ƒ4+16111112

-(-2)—"√(-2)¤ -4_1_ √(-4)1111111111211112_1

3

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴이차함수 y=2(x-3)¤ -5는점 (3, -5)를꼭

짓점으로 하고, 아래로 볼록한 포물선이므로 최솟값

은 x=3일때, -5이고, 최댓값은없다.

⑵이차함수 y=-3(x+1)¤ +4는 점 (-1, 4)를 꼭짓

점으로하고, 위로 볼록한포물선이므로최솟값은없

고, 최댓값은 x=-1일때, 4이다.

⑶ y=2x¤ -4x=2(x-1)¤ -2이므로 이 함수의 그래프

는 점 (1, -2)를 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포

물선이다. 따라서 주어진 이차함수의최솟값은 x=1

일때-2이고, 최댓값은없다.

⑷ y=-;3!;x¤ +2x+1=-;3!;(x-3)¤ +4이므로이함수

의 그래프는 점 (3, 4)를 꼭짓점으로 하는 위로 볼록

한 포물선이다. 따라서 주어진 이차함수의 최솟값은

없고, 최댓값은 x=3일때 4이다.

4

목표| 근의 공식을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있게 한다.

풀이| ⑴근의공식에 a=3, b=5, c=-1을대입하면

x=

x=

x=-5—'3å711111111336

-5—'ƒ25+1211111126

-5—"√5¤ -4_3_(-1)111111111122_3

2


교과서 200 쪽

대 /단 /원 평가 문제 Ⅱ. 방정식과함수

선 택 형

다음중에서일차함수 y=-2x+5의그래프에

대한설명으로옳은것은?

①기울기는 이다.

② y절편은-2이다.

③ x절편은 5이다.

④제2사분면을지나지않는다.

⑤일차함수 y=-2x-3의그래프와평행하다.

112

2

x에대한두방정식 5x-3=3x+1과

a(2x-1)=8의 해가 서로 같을 때, 상수 a의

값은?

① ② 3 ③

④ ⑤ 411133

10133

813

1

일차함수

y=- x+

의 그래프가 오른쪽 그림

과 같을 때, 다음 중에서

옳은것은?

① b>0, c>0 ② b>0, c<0

③ b<0, c<0 ④ b<0, c>0

⑤ b>0, c=0

c1b11b3 y

O x

연립일차방정식 ‡ 에서 y를

소거하려고한다. 다음중필요한식은?

①㉠_2-㉡_3 ②㉠_3-㉡_2

③㉠_3-㉡_4 ④㉠_2+㉡_3

⑤㉠_3+㉡_4

4x-3y=1 yy㉠

3x-2y=4 yy㉡4

다음 중에서 연립일차방정식의 두 그래프와 해

에대한설명으로옳지않은것은?

①수직으로만나면해는무수히많다.

②한점에서만나면해는하나이다.

③평행하면해는없다.

④일치하면해는무수히많다.

⑤기울기가같고, y절편이다르면해는없다.

5

부등식 -3x+1>-8의 해를 수직선 위에 나

타내면?

① ②

③ ④

⑤

3

33

33

6

부등식 2x-4<x+1…3(x-1)을 만족시키는

모든정수의합은?

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

7

252 각론

대 /단 /원 평가 문제

목표| 두 방정식의 해가 서로 같을 때, a의 값을


풀이| 5x-3=3x+1에서　x=2

x=2를 a(2x-1)=8에대입하면성립하므로

a(2_2-1)=8, a= 답⃞①813

1

목표| 일차함수의 그래프의 성질을 알게 한다.

풀이| ⑤ 기울기가 같고, y절편이 다르므로

평행하다. 답⃞⑤

2

목표| 일차함수의 그래프의 성질을 알게 한다.

풀이| -;b!;>0에서　b<0

;bC;>0에서　c<0 답⃞③

3

목표| 가감법을 이용할 수 있게 한다.

풀이| y의계수의최소공배수 6이되도록㉠

에 2를 곱하고, ㉡에 3을 곱하여 뺀다. 즉, 필요한 식은

㉠_2-㉡_3이다. 답⃞①

4

목표| 일차함수의그래프와연립일차방정식의관계를알게한다.

풀이| ①수직으로만나면해는하나이다. 답⃞①

5

목표| 부등식의 해를 수직선 위에 나타낼 수 있게 한다.

풀이| -3x+1>-8에서-3x>-9, x<3 답⃞①

6

목표| A<B<C 꼴의 연립일차부등식을 만족시키는 정수의

합을 구할 수 있게 한다.

풀이| 주어진부등식은 ‡ 과같다.

이연립일차부등식을풀면　2…x<5

따라서구하는정수의합은　2+3+4=9 답⃞③

2x-4<x+1

x+1…3(x-1)

7

목표| 이차방정식이 중근을 가질 때, 미지수의 값을 구할 수

있게 한다.

풀이| x¤ -6x+2a-3이완전제곱식이되어야하므로

2a-3={ }2 , a=6 답⃞⑤-61242

8

목표| 그래프를 보고 이차함수 y=a(x-p)¤에서 a, p의 부

호를 구할 수 있게 한다.

풀이| 그래프가위로볼록하므로　a<0

꼭짓점이 y축보다오른쪽에있으므로 p>0 답⃞②

9

목표| 이차함수의 그래프에서 x의 값이 증가할 때, y의 값이

감소하는 x값의 범위를 구할 수 있게 한다.

풀이| y=-x¤ +6x+3=-(x-3)¤ +12의 그래프는 꼭

짓점이 (3, 12)이고위로볼록한포물선이다.

따라서구하는범위는　x>3 답⃞③

10



교과서 201 쪽

점 (2, -1)을지나는직선 y=3x+a에대하여

점 (3, b)가이직선위에있을때, 상수 b의값

을구하여라.

11

연립일차방정식 ‡ 의 해가 없을 때,

상수 a의값을구하여라.

6x+2y=1

y=ax-212

다음 두 연립일차방정식의 해가 같을 때, 두 상

수 a, b의 합 a+b의 값을 구하는 풀이 과정과

답을서술하여라.

15|서|술|형 |

‡

` ,‡

`

2x-7y=-1

-3x+y=a

x+y=-5

x+by=7

다음 연립일차부등식을 풀고, 그 해를 수직선

위에나타내어라.

⑴ 5x+2<3x-2<x

⑵ ‡

4x+5…2x+9

3x+1>2x+3

13이차방정식 x¤ -6x+2a-3=0이 중근을 가질

때, 상수 a의값은?

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

8

오른쪽그림은이차함수

y=a(x-p)¤ 의 그래프이다.

a, p의부호는?

① a<0, p<0

② a<0, p>0

③ a>0, p<0

④ a>0, p>0

⑤ a<0, p=0

9

이차함수 y=-x¤ +6x+3에서 x의 값이 증가

할때, y의값이감소하는 x값의범위는?

① x>0 ② x<3

③ x>3 ④ x<6

⑤ 0<x<6

10

y

xO

서답형

이차방정식 (x-3)(x+5)=48의두근의차를

구하여라.

14

|서|술|형 |

최솟값은 x=-1일 때 -3이고, 그래프가 점

(1, 5)를 지나는 이차함수 y=ax¤ +bx+c에

대하여세상수 a, b, c의합 a+b+c의값을구

하는풀이과정과답을서술하여라.

16

[해답 p.254 ]

목표| 해가없는연립일차방정식의계수를구할수있게한다.

풀이| y=ax-2에서　-2ax+2y=-4

해를갖지않아야하므로-2a=6, a=-3 답⃞ a=-3

12

목표| 여러 가지 연립일차부등식을 풀 수 있게 한다.13

목표| 이차방정식을 풀고 문제를 해결할 수 있

게 한다.

풀이| (x-3)(x+5)=48의두근은　

x=-9 또는 x=7

따라서두근의차는　7-(-9)=16 답⃞ 16

14

목표| 해가 같은 두 연립일차방정식의 계수를


풀이| 두연립일차방정식의해는

‡ 의해와같으므로

x=-4, y=-1

x=-4, y=-1을 x+by=7과 -3x+y=a

에각각대입하면　b=-11, a=11

a+b=0 답⃞ 0

x+y=-5

2x-7y=-1

15

목표| 일차함수의 식을 이용하여 미지수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 직선 y=3x+a가점 (2, -1)을지나므로 a=-7

점 (3, b)가직선 y=3x-7 위에있으므로 b=2 답⃞ 2

11

풀이| ⑴ 5x+2<3x-2에서　x<-2

3x-2<x에서　x<1

따라서구하는해는　x<-2

⑵ 4x+5…2x+9에서　x…2

3x+1>2x+3에서　x>2

따라서구하는해는없다.

답⃞⑴ x<-2 ⑵해는없다.

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

두연립방정식의해구하기

a, b의값구하기

a+b의값구하기

배점

40`%

40`%

20`%

채점기준

16목표| 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| y=ax¤ +bx+c는 x=-1일 때 최솟값 -3을 가

지므로　y=a(x+1)¤ -3

그래프가점 (1, 5)를지나므로　5=a(1+1)¤ -3, a=2

따라서 y=2(x+1)¤ -3=2x¤ +4x-1에서

a=2, b=4, c=-1이므로　a+b+c=5 답⃞ 5

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

y=a(x+1)¤ -3으로나타내기

a의값구하기

y=2x¤ +4x-1로나타내기

a+b+c의값구하기

배점

30`%

30`%

20`%

20`%

채점기준


254 각론

교과서 202 쪽

컴퓨터를 활용하여 이차함수의 그래프에 대한 다양한 학습 활동과 흥미 있는 경험을 할 수

있다. 적절한소프트웨어를이용하여이차함수의그래프에대하여알아보자.

컴퓨터로

이차함수의 그래프를 그려 보자.

컴퓨터의 활용

⑴이차함수 y=x¤ 의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤ 의그래프를그리기위하여초기화면의수식입력란에‘x^2’

를입력하고, 아이콘 을누르거나 를누르면그래프창에그래프가그

려진다.

⑵이차함수 y=2x¤ 의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤ 의 그래프가 그려진 상태에서 수식 입력란에‘2x^2’를 입력하고,

아이콘 을누르거나 를누르면그래프창에이차함수 y=2x¤ 의그래프가

함께그려진다.

Enter

Enter

1\ 이차함수 y=x¤ , y=2x¤의 그래프를 하나의 좌표평면 위에 그려 보자.



교과서 203 쪽

⑴이차함수 y=x¤ , y=x¤ -1, y=x¤ +1, y=x¤ +2, y=x¤ +3의 그래프를 하나

의 좌표평면 위에 그려 보면, y=x¤ +q의 그래프는 모두 y=x¤ 의 그래프를 y

축의방향으로 q만큼평행이동한것임을알수있다.

⑵이차함수 y=x¤ , y=(x+1)¤ , y=(x-1)¤ , y=(x-2)¤ , y=(x-3)¤ 의 그래

프를하나의좌표평면위에그려보면, y=(x-p)¤ 의그래프는모두 y=x¤ 의

그래프를 x축의방향으로 p만큼평행이동한것임을알수있다.

2 \ 이차함수의 그래프에 대하여 알아보자.


(152~191)기초수학2단원 2014.1.27 9:34 pm 페이지152 mac02...

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