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Consideriamo il problema di Cauchy{y′(t) = f
(t,y(t)
)t ∈ I ,
y(t0) = y0,
con I ⊆R intervallo e y0 ∈R.
Esistenza locale. Se f : A →R è continua, allora esiste almenouna soluzione definita in un intervallo contenente t0.
Esistenza locale e unicità. Se, inoltre, ∂yf esiste ed è continua(basta f localmente lipschitziana in y), allora la soluzione esisteed è unica.
Nota. Se valgono esistenza e unicità, due soluzioni distinte(corrispondenti a diversi dati iniziali) non si intersecano mai(non si toccano).
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Esistenza globale. Se f : J ×R→R e
|f (t,y)| É a(t)+b(t)|y| ∀t ∈ J , ∀y ∈R,
con a,b : J →R continue, allora ogni soluzione y(t) è definitaper ogni t ∈ J .
Nota. Basta che la precedente condizione, detta sublinearità in|y|, valga lungo le soluzioni, cioè
|f (t,y(t)
)| É a(t)+b(t)|y(t)| ∀t ∈ J .
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Esercizio 1Dimostra che la soluzione di{
y′ = sin(t +y2),
y(1) = 0
esiste ed è unica, e che il suo dominio massimale didefinizione è R.
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Esercizio 2Studia al variare di α ∈R l’applicabilità del teorema di esistenzalocale al problema {
y′ = 3p
y− t,
y(1) =α.
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Esercizio 3Determina l’intervallo massimale di definizione delle soluzionidi {
y′ = t +√
y2 +2,
y(0) = 1
e y′ = 1
t −1+
√y2 +2,
y(0) = 1.
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Esercizio 4Verifica che la soluzione di{
y′ = (y+1)3 siny,
y(0) = 12
è limitata, crescente e definita in tutto R.
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Esercizio 5Studia al variare di α ∈R la monotonia della soluzione di{
y′ = ey(y−1)(y−2)arctan t,
y(0) =α.
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Teorema dell’asintoto (orizzontale). Se f : I →R è derivabile edesistono i limiti
limt→+∞ f (t) = `, lim
t→+∞ f ′(t) = m,
con ` ∈R (cioè finito), allora m = 0.
Dim. Per il teorema di Lagrange si ha che per ogni a,b ∈ I esistec ∈]a,b[ tale che
f (b)− f (a)
b−a= f ′(c).
Prendiamo a = n e b = n+1, e mandiamo n →+∞; si ha c →+∞.Abbiamo
limn→+∞
f (n+1)− f (n)
(n+1)−n= lim
n→+∞ f (n+1)− f (n)
= `−`= 0,
e limn→+∞ f ′(c) = m, da cui m = 0.
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Esercizio 6Dimostra che la soluzione di{
y′ =−(y−2)arctan2 y,
y(0) = 1
è definita in tutto R e calcola
limt→−∞y(t) e lim
t→+∞y(t).
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Simmetrie.
(a) Se f (−t,y) =−f (t,y), allora ogni soluzione è pari, cioèsimmetrica rispetto all’asse y.
(b) Se f (−t,y) = f (t,−y), allora le soluzioni y1(t) e y2(t), cony2(0) =−y1(0), sono simmetriche rispetto all’origine.Dunque la soluzione y(t) con y(0) = 0 è dispari, cioèsimmetrica rispetto all’origine.
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Dim. (a) Posto v(t) = y(−t), risulta
v′(t) = y′(−t) · (−1) =−y′(−t) =−f(−t,y(−t)
)= f(t,y(−t)
)= f
(t,v(t)
),
dunque v′ = f (t,v). Dunque, y(t) e v(t) risolvono lo stessoproblema di Cauchy (scegliendo lo stesso dato iniziale); perunicità, v(t) = y(t), cioè y(−t) = y(t), per cui y(t) è pari.
(b) Analogamente.
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Esercizio 7Dato il problema di Cauchy{
y′ = e−y2 +t4,
y(0) = 0,
(a) dimostra che esiste un’unica soluzione definita in tutto R;
(b) verifica se y(t) è dispari;
(c) calcola limt→+∞y(t).
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Esercizio 8 (Tema d’esame 14/01/2013)Considera il problema di Cauchy{
y′ = t 4−y2
y ,
y(0) = y0.
Determina al variare di y0 /= 0 se il problema ammetteesistenza e unicità locale e globale. Studia monotonia,eventuali simmetrie della soluzione e i limiti agli estremi deldominio di definizione.
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Esercizio 9Dato {
y′ = arctany,
y(0) =α,
Dimostra che la soluzione y(t)
(a) è definita in tutto R;
(b) è strettamente monotona per α /= 0;
(c) è convessa se α> 0, concava se α< 0.
Nel caso αÊ 0, calcola
limt→−∞y(t) e lim
t→+∞y(t).
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Riepilogo: studio qualitativo delle soluzioni di un problema diCauchy.
(1) Esistenza e unicità locale: soluzioni con dati iniziali diversinon si intersecano.
(2) Soluzioni stazionarie y(t) = c: f (t,c) = 0 per ogni t.
(3) Monotonia: studio y′ = f (t,y) Ê 0.
(4) Eventuali simmetrie.
(5) Esistenza globale: condizione di sublinearità o esplosione.
(6) Limiti agli estremi del dominio (teorema dell’asintoto).
(7) Convessità: studio y′′(t) = ddt f (t,y(t)) Ê 0.
(8) Altro.
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Esercizio 10Studia al variare di 0 <α< 1 la soluzione di{
y′ = 2siny,
y(0) =α.
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Esercizio 11 (Tema d’esame 10/04/2011)Considera {
y′ = ln(ln2 y+ 12 ),
y(0) = y0 > 0.
Discuti esistenza e unicità locali. Stabilisci se l’intervallomassimale può essere illimitato a destra oppure no. Determinaeventuali soluzioni stazionarie. Studia il comportamento agliestremi del dominio. Studia monotonia e concavità per y0 ∈R+.
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La soluzione y(t) del problema di Cauchy{y′ = ay1+b,
y(t0) = y0,
con a,b,y0 > 0 e t0 Ê 0, scoppia (esplode) in un tempo finito,cioè esiste T > t0 tale che la soluzione è definita in [t0,T [ e
limt→T− y(t) =+∞.
Dim. Basta risolvere esplicitamente (equazione a variabiliseparabili), trovare il dominio della soluzione e calcolare illimite.
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Teorema di confronto. Siano u(t) e v(t), rispettivamente, lesoluzioni di{
u′ = f(t,u(t)
),
u(t0) = y0,
{v′ = g
(t,v(t)
),
v(t0) = y0,
con f ,g continue e con ∂yf , ∂yg continue.
Supponiamo che u,v siano definite in un intervallo Icontenente t0, e che
g(t,y) Ê f (t,y)
per ogni t ∈ I, y ∈R.
Allora
v(t) Ê u(t) ∀t ∈ I , t Ê t0;
v(t) É u(t) ∀t ∈ I , t É t0.
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Esercizio 12Dimostra che il dominio massimale della soluzione di{
y′ = y2 + t2,
y(0) = 0
non è tutto R.
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Esercizio 13Studia le soluzioni di {
y′ = y ey3,
y(0) =αal variare di α ∈R.
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Esercizio 14Studia le soluzioni di {
y′ = ey siny,
y(0) =α
al variare di α ∈R.
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