14. introduction aux files d'attente - gerad · nsuit une loi d’erlang de param etres net ,...

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14. Introduction aux files d’attente

MTH2302D

S. Le Digabel, Ecole Polytechnique de Montreal

A2017(v1)

MTH2302D: Files d’attente 1/24

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Plan

1. Introduction

2. Modele M/M/1

3. Modele M/M/1/K


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1. Introduction

2. Modele M/M/1

3. Modele M/M/1/K


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Introduction

La theorie des files d’attente consiste en l’etude de systemes ou desclients se presentent a un dispositif de service, appele serveur.Puisqu’un client occupe le serveur pendant un certain temps, lesautres clients doivent attendre avant d’etre servis, formant ainsiune file d’attente. Quelques exemples d’application :

I Reseaux informatiques : serveur = routeur, client = paquet.

I Ateliers (job shop) : serveur = machine, client = tache.

En ingenierie, on s’interesse a des metriques de performance desfiles d’attente, par exemple :

I Taille moyenne de la file d’attente.

I Taux d’utilisation du serveur.

I Temps moyen d’attente d’un client.


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Modele elementaire de file d’attenteEn general, pour etudier l’impact de differents choix de conceptionsur la performance d’une file d’attente, il faut construire un modelede simulation. On peut aussi utiliser un modele simplifie pourlequel les metriques s’expriment par des equations analytiques. Lemodele de base en files d’attente se nomme M/M/1 et segeneralise en notation de Kendall A/B/C/K/N/D :

I A : processus d’arrivee (M = markovien ou memoryless).

I B : processus de service (M = markovien ou memoryless).

I C : nombre de serveurs.

I K : capacite du systeme (file + serveurs).

I N : taille de la population des clients (habituellement infinie).

I D : discipline de service (par defaut, FIFO, ou PAPS : 1erarrive 1er servi, mais aussi RANDOM ou PRIORITY).


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1. Introduction

2. Modele M/M/1

3. Modele M/M/1/K


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Modele M/M/1

I Les clients se presentent au systeme aleatoirement selon unprocessus de Poisson de taux λ.

I Le temps de service suit une loi exponentielle de taux µ,independamment d’un client a l’autre.

I La file d’attente peut s’etendre a l’infini.

Rappel sur le processus de Poisson :

I Le nombre A(t) d’arrivees dans l’intervalle de temps [0; t] suitune loi de Poisson de parametre c = λt.

I Les arrivees dans deux intervalles de temps disjoints sontindependantes.

I Le temps qui s’ecoule entre deux arrivees suit une loiexponentielle de taux λ.


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Exemple 1

Soit Tn le temps d’arrivee du nieme client dans une file M/M/1.On dit que Tn suit une loi d’Erlang de parametres n et λ, i.e.Tn ∼ Γ(α = n, λ).

1. Trouver la fonction de repartition de Tn (utiliser le processusde Poisson).

2. Calculer E(Tn) et V(Tn).


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Arrivee avant un depart et depart avant une arriveeI Temps pour qu’une nouvelle arrivee se produise :

A ∼ Exp(λ).

I Temps pour qu’un nouveau depart se produise :

D ∼ Exp(µ).

(A et D sont independantes).

I Probabilite qu’une arrivee se produise avant un depart :

P (A < D) =λ

λ+ µ.

I Probabilite qu’un depart se produise avant une arrivee :

P (D < A) =µ

λ+ µ.


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Analyse en regime stationnaire

Il est difficile d’etudier la variable aleatoire N(t) representant lenombre de clients au temps t dans le systeme. On s’interesseplutot a N = limt→∞N(t). On parle alors d’analyse en regimestationnaire (ou analyse a l’equilibre). Pour qu’une file M/M/1puisse atteindre l’equilibre, il faut que λ < µ (sinon la taille de lafile augmentera a l’infini). A l’equilibre, on peut montrer que

P (N = n) =λ

λ+ µP (N = n− 1) +

µ

λ+ µP (N = n+ 1) .

Il s’agit de la regle des probabilites totales. Le terme λλ+µ

represente la probabilite qu’un nouveau client arrive avant que leclient en service quitte le systeme, et µ

λ+µ est la probabilite que leclient en service quitte avant qu’un nouveau client n’arrive.


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Equations d’equilibre

Soit πn = P (N = n). En posant les equationsπ1 = λ

λ+µπ0 + µλ+µπ2, π2 = λ

λ+µπ1 + µλ+µπ3, . . . ,

πn = λλ+µπn−1 + µ

λ+µπn+1, . . . , et∑∞

n=0 πn = 1, on trouve que

πn = (1− ρ)ρn

pour n = 0, 1, 2, 3, . . ., ou ρ = λµ < 1 est defini comme l’intensite

du trafic.

On remarque que N + 1 ∼ Geom(1− ρ).


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Notations

I NQ : nombre moyen de clients faisant la queue.

I NS : nombre moyen de clients en train d’etre servis.

I N = E(N) = NQ +NS : nombre total (attente + service)moyen de clients dans le systeme en equilibre.

I NQ, NS et N sont les v.a. correspondantes.

I On a P (N = k) = πk.

I TQ : temps moyen d’attente.

I TS : temps moyen de service.

I T = TQ + TS : temps moyen qu’un client passe dans lesysteme.

I TQ, TS et T sont les v.a. correspondantes.


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La loi de Little

La loi s’enonce ainsi :

N = λeT

ou λe est le taux d’entree dans le systeme (λe = λ pour une fileM/M/1). Puisque N = NQ +NS et T = TQ + TS , on trouveegalement que

NQ = λeTQ et NS = λeTS .

Remarque : La loi de Little s’applique a tous les modeles de filed’attente rencontres en pratique (pas seulement a la file M/M/1).


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Exemple 2

On considere une file d’attente M/M/1 de taux λ = 1 et µ = 2.Calculer (a l’equilibre) :

1. Le nombre moyen de clients dans le systeme, N .

2. Le nombre moyen de clients en service, NS .

3. Le nombre moyen de clients dans la file d’attente, NQ.


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Modele M/M/1 : formules

I ρ = λ/µ.

I N =ρ

1− ρ.

I NS =1− π0 = ρ.

I NQ =N −NS =ρ2

1− ρ.

I T =N/λ =ρ

λ(1− ρ)=

1µ− λ

.

I TS = 1/µ.

I TQ =T − TS =λ

µ(µ− λ).


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Modele M/M/1 : formules (suite)

I Un seul serveur : NQ ={

0 si N = 0 ou N = 1,N − 1 si N > 1 .

I P (NQ = 0) =P (N = 0) + P (N = 1) = π0 + π1 =1− ρ+ ρ(1− ρ) = (1− ρ)(1 + ρ).

I P (NQ = k) =P (N = k + 1) = πk+1 = ρk+1(1− ρ), pourk > 0.


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Modele M/M/1 : formules (suite)

I Si N est le nombre de clients dans le systeme a l’equilibre,alors N + 1 = N1 ∼ Geom(p = 1− ρ).

I Nombre de clients en train d’etre servis : NS ∼ Bern(ρ).

I Temps total (attente + service) passe dans la file :T ∼ Exp(µ− λ).

I Temps d’attente TQ (variable mixte) :I P (TQ = 0) = π0 = 1− ρ.I TQ

∣∣{NQ > 0} ∼ Exp(µ− λ) (comme T ).


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Exemple 3

On considere une file d’attente M/M/1 de taux λ = 1 et µ = 2.Calculer (a l’equilibre) :

1. Le temps moyen de sejour d’un client dans le systeme, T .

2. Le temps moyen d’attente d’un client dans la file, TQ.

3. Le temps moyen de service d’un client, TS .


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2. Modele M/M/1

3. Modele M/M/1/K


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Modele M/M/1/KPour un systeme de capacite K (taille maximale de la file deK − 1) avec ρ = λ

µ 6= 1, on peut montrer que pourn = 0, 1, . . . ,K :

I Si ρ < 1 :

πn = P (Y = n+1|Y ≤ K+1) =P (Y = n+ 1)P (Y ≤ K + 1)

=ρn(1− ρ)1− ρK+1

avec Y ∼ Geom(1− ρ).

I Si ρ > 1 :

πn = P (Y = K − n+ 1|Y ≤ K + 1) =P (Y = K − n+ 1)P (Y ≤ K + 1)

=ρn(1− ρ)1− ρK+1

avec Y ∼ Geom(1− 1/ρ).

(meme formule dans les deux cas).


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Modele M/M/1/K (suite)

I L’equilibre est atteint pour tout ρ :

I Si ρ 6= 1, πn = ρn 1− ρ1− ρK+1

.

I Si ρ = 1, on considere des etats equiprobables : πn =1

K + 1pour n = 0, 1, . . . ,K .

I Le systeme est a pleine capacite avec probabilite πK .

I Taux d’entree : λe = λ(1− πK).


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Exemple 4

Pour le systeme M/M/1/2 avec λ = µ, trouver l’esperance et lavariance du nombre de clients dans le systeme en equilibre.


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Exemple 5

On considere une file d’attente M/M/1/5 de taux λ = 1 et µ = 2.Calculer (a l’equilibre) :

1. Le nombre moyen de clients dans le systeme.

2. Le nombre moyen de clients dans la file d’attente.

3. La proportion de clients ne pouvant entrer dans le systeme.

4. Le temps moyen de sejour d’un client dans le systeme.

5. Le temps moyen d’attente d’un client dans la file.


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Exemple 6On considere une file d’attente M/M/1 avec priorite : Les clientsde classe 1 ont une priorite absolue sur les clients de classe 2,c’est-a-dire qu’ils depassent automatiquement tous les clients declasse 2 dans la file. De plus, un client de classe 2 en serviceretourne immediatement dans la file d’attente si un client declasse 1 se presente. On a λ1 = 1 pour les clients de classe 1,λ2 = 2 pour les clients de classe 2, et µ = 4. Calculer (al’equilibre) :

1. Le nombre moyen de clients de chaque classe dans le systeme.

2. Le temps moyen de sejour dans le systeme pour chaque classe.

Indication : On peut montrer que les equations d’equilibre de lafile M/M/1 ne dependent pas de la politique de service de la file.


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