126094534 termotehnika-zbirka

dr Aleksandar B. Srećković

redovni profesor Fizičkog fakulteta

Univerziteta u Beogradu

ZBIRKA ZADATAKA IZ

PRIMENJENE TERMODINAMIKE

Beograd, 2006

ZBIRKA ZADATAKA IZ PRIMENJENE TERMODINAMIKE

Autor:

Dr Aleksandar Srećković Redovni professor Fizičkog fakulteta

Univerziteta u Beogradu

Recenzenti:

Dr Stevan Djeniže, redovni profesor Fizičkog fakulteta, Beograd

Dr Dragomir Krpić, redovni profesor Fizičkog fakulteta, Beograd

Naslovna strana: po ideji autora

Kompjuterska obrada:

Autor

Ova zbirka zadataka je odlukom Nastavno-naučnog veća Fizičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu, od 15. januara 1997. godine, prihvaćena kao univerzitetski

idžbenik I odobreno njeno štampanje.

Tiraž:

200 primeraka

Predgovor

Ova zbirka rešenih zadataka proizašla je iz objektivne potrebe studenata. Predmeti Termodinamika i Fizički osnovu termotehnike predaju se u šestom semestru treće godine studija Fizičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu studentima studijskih grupa primenjena fizika, primenjena fizika i informatika i fizika i osnovi tehnike. Postojeće zbirke zadataka iz termodinamike samo delom mogu da koriste studenti fizike. Naime, određene oblasti termodinamike (termodinamičke relacije, ravnoteža termodinamičkih sistema i fazni prelazi, procesi sa hlađenje i rashladni sistemi), koje slušaju studenti fizike, nisu uopšte obrađene ili su obrađene nedovoljno u postojećoj literature na srpskom jeziku. U ovoj zbirci dat je postupak rešavanja i rešenje svih zadataka iz onih oblasti tehničke termodinamike koje se predaju studentima Fizičkog fakulteta, tako da je, pre svega, namenjena njima. Međutim, ovu zbirku zadataka mogu da koriste i studenti drugih (pedagoških i tehničkih) fakulteta i odgovarajćih viših škola, kao i inžinjeri pri rešavanju nekih problema u praksi. Bez obzira što su zadaci detaljno rešeni, preporučujem da korisnici ove zbirke predhodno detaljno prouče odgovarajuće oblasti iz teorije termodinamike. Na kraju zbirke, u prilogu, su date odgovarajuće tablice i dijagrami, koji su neophodni za rešavanje nekih zadataka. Koristim priliku da se zahvalim recenzentima, redovnim profesorima Fizičkog fakulteta, dr Stevanu Djenižeu i dr Dragomiru Krpiću na savesnoj i stručnoj recenziji i korisnim sugestijama i savetima. Beograd, 1997 prof dr Aleksandar B. Srećković

SADRŽAJ

Zadaci rešenja

1. Parametri stanja, jednačine stanja i termodinamički procesi 1 1 2. Prvi princip termodinamike 5 6 3. Drugi princip termodinamike. Maksimalan koristan rad 11 12 4. Termodinamičke relacije 18 19 5. Ravnoteža termodinamičkih sistema i fazni prelazi 28 29 6. Termodinamička svojstva supstancije. Vodena para 32 33 7. Procesi za hlađenje 38 41 8. Proticanje i isticanje fluida 60 62 9. Procesi u kompresorima 77 78 10. Motori sa unutrašnjim sagorevanjem 82 83 11. Gasnoturbinska postrojenja 95 96 12. Parnoturbinska postrojenja 104 105 13. Rashladni sistemi 119 122 14. Prostiranje toplote 138 141 Prilozi 158 Literatura 168

6.08.06

1. PARAMETRI STANJA, JEDNAČINE STANJA I TERMODINAMIČKI PROCESI

1.1. Odrediti specifičnu zapreminu i gustinu ugljen dioksida (CO2) koji se nalazi pod pritiskom p = 0,5 bara i temperaturi t = 300 0C. 1.2. Odrediti vrednost koeficijenta zapreminskog širenja idealnog gasa na temperaturi t1 = 250 0C i t2 = 350 0C, kao i njegovu srednju vrednost u dataom temperaturskom intervalu. 1.3. Smeša gasova se sastoji od 18% ugljen-dioksida (CO2), 12% kiseonika (O2) i 70% azota (N2) i nalazi se na temperaturi t = 200 0C i pritisku p = 0,2 M Pa. Smatrajući ove gasove idealnim odrediti: a) gasnu konstantu smeše i b) specifičnu zapreminu smeše. 1.4. Smatrajući da se atmosferski vazduh sastoji od 23,2% kiseonika i 76,8% azota odrediti: a) molarnu masu vazduha; b) gasnu konstantu vazduha i c) gustinu vazduha pri temperaturi t = 27 0C i pritisku p = 0,1 M Pa. 1.5. Odrediti masu kiseonika u balonu zapremine V = 5 m3, u kojem se nalazi pod pritiskom p = 5 bara i temperaturi t = 17 0C. 1.6. Pomoću kompresora sabija se vazduh u rezervoar zapremine V = 50 m3, pri čemu se pritisak vazduha u rezervoaru poveća od p1 = 0,1 M Pa do p2 = 0,5 M Pa a temperatura od t1 = 27 0C do t2 = 37 0C. Odrediti: a) masu vazduha koji kompresor usisa iz atmosfere i sabije u rezervoar i b) zapreminu usisanog vazduha pri normanim uslovima. 1.7. Idealan gas se nalazi u zatvorenom sudu pod barometarskim pritiskom od pm1 = 10 bara i temperaturi od t1 = 37 0C. Odrediti temperaturu gas pri barometarskom pritisku od pm2 = 20 bara, posle izohorne kompresije. Atmosferski pritisak je pb = 0,9 bara. 1.8. Pri politropskoj promeni stanja idealnog gasa pritisak gasa se smanji 6 puta a zapremina poveća 4 puta. Odrediti: a) eksponent politrope i b) temperaturu gasa na kraju procesa ako je početna temperatura t1 = 27 0C. 1.9 Vazduh mase m = 1 kg pri temperaturi t1 = 30 0C i pritisku p1 = 0,1 M Pa adijabatski sa sabije do pritiska p2 = 1 M Pa. Odrediti parametre stanja vazduha na kraju procesa. R1. REŠENJA R1.1. Molarna masa ugljen dioksida je M = 0,044 kg/mol, tako da je njegova gasna konstanta R = 8,314 / M = 8,314 / 0,044 = 189,0 J/kgK. Smatrajući da je pri ovim uslovima ugljen dioksid idealan gas njegova specifična zapremina i gustina iznose

kgm

pRTv 3

5 1659.2105,0

5730,189=

⋅⋅

==

i

2

34617.01659.211

mkg

v===ρ .

R1.2. Po definiciji koeficijent zapreminskog širenja dat je izrazom

pT

vv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1α (R1.2.1)

Za idealan gas je v = RT/p, tako da je (∂v/∂T)p = R/p. Koeficijent zapreminskog širenja idealnog gasa iznosi

Tpv

RTv

v p

11==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=α , (R1.2.2)

tako da je α (T1) = 1/ T1 = 1/ 523 = 1,912 . 10-3 K-1

i α (T2) = 1/ T2 = 1/ 623 = 1,605 . 10-3 K-1

Srednja vrednost koeficijenta zapreminskog širenja u datom temperaturskom intervalu iznosi

13

12

1

2

12

2

1

12

2

121 10.75,1

100523623lnln)(

),( −−==−

=−

=−

=∫∫

KTT

TT

TTTdT

TT

dTTTTsr

αα .

R1.3. Za pritisak p smeše gasova važi Daltonov zakon:

∑∑==

==n

i i

in

ii v

Rpp

11 (R1.3.1)

gde je

i

ii v

TRp = (R1.3.3)

parcijalni pritisak i-te komponente smeše čija je gasna konstanta Ri i specifična zapremina vi. S druge strane, ukupan pritisak smeše gasova iznosi

vTR

p sr= , (R1.3.3)

gde je Rsr srednja vrednost gasne konstante smeše a - specifična zapremina smeše

gasova. Iz izraza (R1.3.1) i (R1.3.3) sledi

∑=

=n

iivv

1

∑=

=n

i i

isr v

RvR

1 (R1.3.4)

3

Kako je v = V/m i vi = V/mi, gde je V- zapremina smeše, m -masa smeše i mi - masa i-te komponente smeše, sledi

∑∑

=

= ==n

iii

n

iii

sr Rgm

RmR

1

1 , (R1.3.5)

gde je gi = mi /m (R1.3.6) relativni maseni sadržaj i-te komponente smeše.

Jasno je da je gi

n

=∑

1i = 1.

Molarne mase ugljen-dioksida, kiseonika i azota su: M1 = 0,044 kg/mol; M2 = 0,032 kg/mol i M3 = 0,028 kg/mol, respektivno. Kako je gasna konstanta data izrazom Ri = Ru/Mi = 8,314/Mi , gde je univerzalna gasna konstanta Ru = 8,314 J/mol K, sledi: R1 = 188,95 J/kg K,

R2 = 259,81 J/kg K i R3 = 296,92 J/kg K.

Relativni maseni sadržaji komponenti smeše su: g1 = 0.18, g2 = 0,12 i g3 = 0,70. a) Gasna konstanta smeše iznosi (izraz R1.3.5)

Rs = gi

n

=∑

1i Ri = g1R1 + g2R2 + g3R3 =

= 0,18 . 188,95 + 0,12 . 259,81 + 0,70 . 296,92 = 273,03 J/kg K. b) Specifi~na zapremina smeše iznosi v = Rs T/p = (273,0 . 473) / (0,2 . 106 ) = 0,6456 m3/kg. R1.4. a) Kako je

∑∑∑===

===n

i i

in

i

uun

ii M

mV

TRV

TRpp

111, (R1.4.1)

gde je

V

TRMm

p u

i

ii = (R1.4.2)

parcijalni pritisak i-te komponente, i kako je ukupan pritisak p

V

TRMmp u

sr

= , (R1.4.3)

Iz predhodnih izraza sledi,

4

∑=i

i

sr Mm

Mm ,

odakle je srednja vrednost molarne mase smeše gasova

∑∑∑===

=== n

i i

in

i i

in

i i

isr

Mg

Mmm

Mm

mM

111

11

1 , (R1.4.4)

gde je mm

g ii = - ralativni maseni sadržaj i-te komponente smeše.

U ovom slučaju srednja vrednost molarne mase smeše gasova (vazduh) iznosi:

kmolkg

molkg

Mg

Mg

Mg

M n

i i

isr 36,288028836,0

028,0768,0

032,0232,0

111

2

2

1

1

1

==+

=+

===

∑=

b) Gasna konstanta vazduha iznosi

kgKJRgRgRgR

n

iiisr 32,28893,296268,081,259232,02211

1=⋅+⋅=+== ∑

=

ili

kgK

JMR

Rsr

usr 32,288

028836,0314,8

===

c) Gustina vazduha pri datim uslovima je

3

6

1561,130031,288

101,01mkg

TRp

v sr

=⋅

⋅===ρ

R1.5. kgRTpVm 2,33

29081,259105 5

=⋅

⋅== .

R1.6. a) Pre početka rada kompresora u rezervoaru se nalazi vazduh mase m1 = p1V/RT1, a posle završenog rada kompresora u rezervoaru je vazduh mase m2 = p2V/RT2, tako da masa usisanog vazduha iznosi

kgTp

Tp

RVmmm 2,234

300101.0

310105.0

28750 66

1

1

2

212 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

b) Zapremina usisanog vazduha pri normalnim uslovima (p0 = 0,1013 M Pa i T0 = 273,16 K) iznosi

36

0

0 181101013,0

2732872,234 mp

mRTV =

⋅⋅⋅

==

5

R1.7. Manometar meri razliku apsolutnog pritiska p gasa u sudu i atmosferskog pritiska pa : pm = p - pa , tako da je p1 = pm1 + pa = 10 + 0,9 = 10,9 bara = 1,09 M Pa i p2 = pm2 + pa = 20 + 0,9 = 20,9 bara = 2,09 MPa. Posle izohorne kompresije (V = const) temperatura gasa je

KppT

T 59409,1

09,2310

1

212 =

⋅== .

R1.8. a) Kako je p1/p2 = (V2/V1)n, gde je n -eksponent politrope sledi

2925,14ln6ln

ln

ln

1

2

2

1

===

VVpp

n .

b) Konačna temperatura gasa je

Kpp

Tpp

TTkk

kk

0,2006

1300 2263,0

1

2

11

1

1

212 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

R1.9. Kako je k =1,40 sledi

Kpp

TTk

k

0,58510300 286,0

1

1

212 =⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

,

tako da je

kgm

pRTv

3

62

22 1679,0

101585287

=⋅⋅

== .

2. PRVI PRINCIP TERMODINAMIKE

2.1. Zavisnost zapremine V jednog mola neke supstancije od pritiska p pri sobnoj temperaturi data je jednačinom: V = a + bp + cp2 , gde su a, b i c poznate empirijske konstante, nezavisne od pritiska. Naći izraz za rad koji treba da se izvrši pri sabijanju supstancije od 0 do p, pri sobnoj temperaturi. 2.2. Odrediti odnos izvršenog rada prema uloženoj toplotnoj energiji pri izobarnom širenju vazduha. 2.3. Pri pritisku p = 1 bar specifična zapremina i specifična unutrašnja energija suve vodene pare iznose v’’ = 1,694 m3/kg i u’’ = 2506 kJ/kg, respektivno. Odrediti specifičnu entalpiju suve vodene pare pri datom pritisku.

6

2.4. Pri zagrevanju n = 0,5 kmol azota od t1 = 63 0C do temperature t2 = 483 0C, pri konstantnom pritisku od p = p1 = p2 = 2 bara, unutrašnja energija azota se poveća za ΔU = 4534 kJ. Odrediti: a) promenu entalpije azota i b) srednju vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku (cp)sr u datom temperaturskom intervalu. 2.5. Vazduh se širi izobarno pri pritisku p = 1 M Pa = const od zapremine V1 = 0,5 m3 do V2 = 1 m3. Konačna temperatura vazduha iznosi t2 = 1000 0C. Smatrati da je vazduh idealan gas. Gasna konstanta vazduha je R = 287 J/kgK. Odrediti: a) temperaturu vazduha na početku procesa; b) dovedenu količinu toplote; c) izvršen rad; d) promenu unutrašnje energije i e) promenu entalpije. 2.6. U cilindru površine poprečnog preseka S = 1 dm2 nalazi se n = 0,25 kmol azota (N2) na temperaturi t1 = 100 0C. Na klip deluje konstantna sila F = 5 kN. Gasu se dovodi količina toplote Q = 3,00 MJ, usled čega se širi. U datom temperaturskom intervalu srednje vrednosti specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini iznose (cp)sr = 1076 J/kgK i (cv)sr = 779 J/kgK, respektivno. Gasna konstanta azota je R = 297 J/kgK. Odrediti: a) parametre stanja gasa na kraju procesa širenja; b) promenu unutrašnje energije; c) promenu entalpije i d) rad širenja gasa. 2.7. Zavisnost specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku cp (u kJ/kgK) od temperature t (u 0C) za vazduh, u temperaturskom intervalu od 0 do 1000 0C, data je izrazom cp = a + b t, gde su a = 0,992915 kJ/kgK i b = 1,97535 x 10-4 kJ/kgK2, empirijski određene konstante. Odrediti: a) srednju vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku cpm u datom temperaturskom intervalu; b) promenu entalpije vazduha mase m = 2 kg pri izobarnom zagrevanju od t1 = 0 0C do t2 = 500 0C. 2.8. Odrediti srednju vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri stalnom pritisku za azot u temperaturskom intervalu od t1 = 100 0C do t2 = 1000 0C, ako se zna da srednje vrednosti specifičnog toplotnog kapaciteta pri stalnom pritisku azota u intervalu od 0 do 100 0C i od 0 do 1000 0C iznose cpm [0,100] = 1,040 kJ/kgK i cpm [0,1000] = 1,118 kJ/kgK, respektivno. 2.9. Vazduh mase m = 2 kg prelazi kvazistatičkim procesom, po zakonu p = Av2 iz stanja 1 (p1 = 1 bar, t1 = 27 0C) u stanje 2 (p2 = 2,2 bara, t2), gde je A konstanta. Smatrajći da je vazduh pri datim uslovima idealan gas odrediti: a) izvršeni rad; b) promenu unutrašnje energije; c) srednju vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku u datom intervalu temperatura cpm (t1,t2) i d) promenu entalpije. R2. REŠENJA: R2.1. Kako je , sledi 2cpbpaV ++=

dpcpbcpdpbdpdV )2(2 +=+=

tako da se konačan rad izračunava na osnovu izraza

3

22

2)2(3

0

2

0

2

00

cpbpdppcpdpbdpcpbppdVAp ppp

+=+=+== ∫ ∫∫∫ .

R2.2. Iz prvog principa termodinamike δq = du +δl sledi

7

q

duql

δδδ

−=1 .

Kako je du = cv dT, δq = cp dT i cp/cv = k, sledi

.286,040,1

140,111111 =−

=−

=−=−=−=k

kkc

cq

duql

p

v

δδδ

Znači, pri izobarnom širenju vazduha (dvoatomskog gasa) za vršenje rada iskoristi se svega 28,6% uložene toplotne energije, a ostatak (71,4%) ide na povećanje njegove unutrašnje energije. R2.3. Specifična entalpija data je izrazom i = u + pv, tako da je u ovom slučaju i’’ = u’’ + pv’’ = 2506 . 103 + 1 . 105 . 1,694 = 2675 kJ. R2.4. a) Masa azota je m = nM = 0,5 . 103 . 0,028 = 14 kg ( M = 0,028 kg/mol je molarna masa azota). Gasna konstanta azota je R = 8,314/M ≅ 297 J/kgK Specifične zapremine na početku i kraju procesa su

kgm

pRT

pRTv

3

51

1

11 4990,0

102336297

=⋅⋅

===

i

kgm

pRT

pRTv

3

52

2

21 1227,1

102756297

=⋅⋅

===

Promena entalpije jednaka je dovedenoj količini toplote pri izobarnom širenju, tako da je

kJ

vvmpUvmpUVpUQI p

6280)499,01227,1(10214104534

)(53

12

=−⋅⋅+⋅=

=−+Δ=Δ+Δ=Δ+Δ==Δ

b) Kako je ΔI = Qp = m(cp)sr (t2 - t1) , sledi

( )kgKkJ

TTmI

ttmIc

srp 068,1)336756(14

6280)()( 1212

=−

=−

Δ=

−Δ

=

R2.5. a) Temperatura na početku procesa je

CVV

TT 0

2

121 5,363

15,01273=

⋅== .

b) Obzirom da je masa vazduha kgRTpVm 727,2

5,6362875,0101 6

1

1 =⋅⋅⋅

== i da je za idealan dvoatomski

gas kgK

JkkRcp 5,1004

1=

−= , dovedena količina toplote iznosi

kJTTmcQ pp 1750)5,6361273(5,1004737.2)( 12 =−⋅=−=

8

c) Pri širenju vazduh je izvršio rad . kJVVpL 500)5,01(101)( 6

12 =−⋅=−=

d) Kako je kgK

Jk

Rcv 5,7171=

−= , promena unutrašnje energije vazduha iznosi

kJTTmcU v 12505,6361273(5,717737,2)( 12 =−⋅=−=Δ , ili kJLQU p 12505001750 =−=−=Δ . e) Obzirom da je , promena entalpije iznosi pVUI += kJLUVpUpVUI 17505001250)( =+=+Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ . R2.6. a) Masa azota je . kgnMm 7028,01025,0 3 =⋅⋅== Pritisak gasa jednak je pritisku na klip i iznosi

MPaPaSFppp 5,0105

101105 5

2

3

21 =⋅=⋅⋅

==== − .

Specifična zapremina na početku procesa je

kgm

pRTv

3

51

2 2215,0105

373297=

⋅⋅

==

Kako je Q = m(cp)sr (T2 - T1), sledi

KcmQTT

srp

3,77110767103373

)(

6

12 =⋅⋅

+=+=

Specifična zapremina na kraju procesa je

kgm

pRT

TTvv

3

52

1

212 4582,0

1053,771297=

⋅⋅

=== .

b) Promena unutrašnje energije iznosi kJTTcmU srv 2172)3733,771(7797)()( 12 =−⋅=−=Δ . c) Promena entalpije iznosi . kJQQI p 3000===Δ

9

d) Rad širenja gasa je , kJUQL 82821723000 =−=Δ−=ili . kJvvmpvmpVpL 828)2215,04582,0(1057)( 5

12 =−⋅⋅=−=Δ=Δ= R2.7. a) Spednja vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku u temperaturskom intervalu od t1 do t2 odre|ena je izrazom

2)(2

)()()()(

),( 21

12

21

22

12

12

2

1

12

2

121

ttba

tt

ttbtta

tt

dtbta

tt

dttcttc

p

pm+

+=−

−+−

=−

+=

−=

∫∫

U datom slučaju je

kgKkJttc pm 042,1

2)5000(1097535,1992915,0),(

4

21 =+⋅

+=−

. b) Kako je cp = di/dt promena entalpije iznosi

))(,(

2)(

)(

2(

)()()(

222121

12

2

1

21

22

12

2

1

ttttmcttb

attm

ttbttmdtbtamdttcmI

pm

p

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=+==Δ ∫∫

U ovom slučaju je

kJttttmcI pm 1042)0500(042,12))(,( 2221 =−⋅=−=Δ . R2.8. Srednja vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta pri stalnom pritisku u temperaturskom intervalu od t

),( 21 ttcpm

1 do t2 može da se izrazi preko srednje vrednosti toplotnog kapaciteta pri stalnom pritisku u intervalu od 0 do t),0( 1tc pm 1 i srednje vrednosti toplotnog kapaciteta pri stalnom pritisku u intervalu od 0 do t),0( 2tc pm 2

12

12

12

2

0

1

0

12

2

121

),0(),0()()()(

),(tt

tctctt

dttcdttc

tt

dttcttc pmpm

ppp

pm −

−=

−

−=

−=

∫ ∫∫

U ovom slučaju je

kgKkJ

tttctc

ttc pmpmpm 126,1

1001000100040,1100118,1),0(),0(

),(12

1221 =

−⋅−⋅

=−

−= .

10

R2.9. a) Kako je Ap

v = , iz jednačine stanja idealnog gasa sledi

232

3

1

2

1

2

1

2

11

22

1

2 2,2=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

pp

pp

pp

vpvp

TT

,

tako da je

KTT 9,978263,33002,2 23

12 =⋅== , odnosno . Ct 0

2 706≅ Izvršen rad pri procesu 1→ 2 iznosi

kJppmRT

TTmRT

TTmRvpvpmvvmAdvvmAdvvpmL

90,12912,23

300287213

13

3)(

3)(

3)()(

232

3

1

21

1

21

12112231

32

2

1

2

1

22,1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−

=−

=−

=== ∫ ∫

b) Promena unutrašnje energije iznosi

kJ

pp

kmRT

TT

TmcTTmcU vv

28,97412,21,0

3002872

11

1)(

23

23

1

21

1

2112

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ

c) Dovedena količina toplote iznosi

)()1(3

)2(1)1(3

)2(

13

11

12

23

1

21

23

1

2123

1

212,12,1

TTkkmR

pp

kkmRT

ppmRT

pp

kmRT

LUQ

−−+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+Δ=

Obzirom da je ))(,( 12212,1 TTTTmcQ pm −=sledi

kgKJR

kkRTTcpm 2,813287833,2

)14,1(3)24,1(

)1(3)2(),( 21 =⋅=

−+

=−+

=

11

d) Promena entalpije vazduha iznosi

kJ

pp

kmkRT

ppmRT

pp

kmRT

TTmRTUvpvpmUI

99,1363)12,2(4,0

3002874,12

11

111

1)(

23

23

1

2123

1

21

23

1

21

1

211122

=−⋅⋅⋅

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+Δ=−+Δ=Δ

3. DRUGI PRINCIP TERMODINAMIKE. MAKSIMALAN KORISTAN RAD 3.1. Odrediti promenu entropije idealnog gasa u funkciji: a) T i v; b) T i p i c) p i v. 3.2. Odrediti maksimalan koristan rad (radnu sposobnost, eksergiju) vazduha mase m = 10 kg koji se nalazi u balonu pod pritiskom p1 = 10 M Pa na temperaturi t1 = 27 0C. Temperatura i pritisak okolnog vazduha iznose t0 = t1 = 27 0C i p0 = 0,1 M Pa, respektivno. Gasna konstanta vazduha iznosi R = 287 J/kg K. (Sept ‘05) 3.3. Odrediti eksergiju vazduha mase m = 5 kg, temperature t1 = 327 0C, koji se nalazi na atmosferskom pritisku p1 = p0. Pritisak i temperatura okolnog vazduha iznose p0 = 0,1 M Pa i t0 = 27 0C, respektivno. Smatrati da je vazduh idealan gas. Uzeti da je gasna konstanta vazduha R = 287 J/kgK. (Apr ‘04) 3.4. U boci zapremine V1 = 500 l nalazi se vazduh pod pritiskom p1 = 0,1 M Pa i temperaturi od t1 = - 30 0C. Pritisak i temperatura okolnog vazduha su p0 = 0,1 M Pa i t0 = 27 0C, respektivno. Odrediti maksimalan koristan rad (eksergiju) vazduha u boci. 3.5. Odrediti maksimalan koristan rad kiseonika mase m = 3 kg, temperature t1 = 227 0C i pritiska p1 = 1 bar. Parametri okolne sredine su p0 = p1 = 1 bar, t0 = 27 0C. Gasna konstanta za kiseonik je R = 260 J/kg K. 3.6. Ugljen dioksid mase m = 37,8 kg nalazi se u balonu pod pritiskom p1 = 10 M Pa i temperaturi t1 = 20 0C. Temperatura i pritisak okolne sredine su t0 = 20 0C i p0 = 0,1 M Pa, respektivno. Odrediti maksimalan koristan rad koji može da izvrši ugljen dioksid pri datim uslovima. Molarna masa ugljen dioksida je M = 0,046 kg/mol. 3.7. Odrediti gubitak specifične eksergije (specifične radne sposobnosti toplote) vazduha pri njegovom prigušenju od pritiska p1 = 10 M Pa do pritiska p2 = 5 M Pa. Temperatura okolne sredine je t0 = 27 0C. 3.8. Azot mase m = 1 kg prelazi iz stanja koje je određeno parametrima p1 = 7 bara i t1 = 495 0C u stanje koje je određeno parametrima p2 = 2 bara i t2 = 47 0C. Tepmeratura okolne sredine iznosi t0 =10 0C..

12

3.9. Odrediti guditak eksergije goriva pri njegovom sagorevanju u vazduhu. Specifična toplota sagorevanja goriva je konstantna i iznosi qs = 10 MJ/kg, a temperatura pri kojoj se vrši sagorevanje je t1=1200 0C. Parametri okolne sredine su p0 = 0,1 M Pa i t0 = 27 0C.

R3. REŠENJA: R3.1. a) Kako je na osnovu prvog principa termodinamike ,pdvdTcpdvduq v +=+=δ sledi

vdvR

TdTc

Tpdv

TdTc

Tqds vv +=+==δ . (R3.1.1)

Konačan priraštaj entropije pri prelazu iz stanja 1 u 2 iznosi:

1

2

1

2 lnln),(vv

RTT

cvTs v +=Δ . (R3.1.2)

b) Diferenciranjem jednačine stanja idealnog gasa (pv = RT) sledi

RdTvdppdv =+ , tako da je

pdp

TdT

vdv

−= . (R3.1.3)

Smenom dobijenog izraza (R3.1.3) u izraz (R3.1.1) dobija se

p

dpTTdTc

pdpR

TdTRcds pv −=−+= )( , (R3.1.4)

tako da je konačna promena entropije data izrazom

1

2

1

2 lnln),(pp

RTT

cpTs p −=Δ . (R3.1.5)

c) Na osnovu izraza R3.1.2 i izraza R3.1.3 sledi

p

dpcvdvRcds vv ++= )( ,

tako da konačan priraštaj entropije može da se napiše u obliku:

1

2

1

2 lnln),(ppc

vvcpvs vp −=Δ . (R3.1.6)

13

R3.2. Maksimalan koristan rad gasa se dobija pri njegovom izotermnom širenju (T2 = T0 = T1) do pritiska okolne sredine (p2 = p0), sobzirom na povratnost datog procesa :

)()()()()( 10010001001001 VVpSSTVVpSSTUULmk −−−=−+−−−= Na osnovu (R3.1.5), u slučaju izotermnog procesa, promena entropije iznosi

1

2

1

2

1

212 lnlnln),(

pp

Rpp

RTT

csspTs p −=−=−=Δ

odnosno

kgKkJ

pp

mRpp

mRSSS 8,21613100ln28710lnln0

1

1

010 =⋅⋅==−=−=Δ

Početna i konačna zapremina vazduha iznose

37

1

11 0861,0

1030028710 m

pmRT

V =⋅⋅

==

3

50

02 6100,8

1030028710 m

pmRT

V =⋅⋅

==

tako da je maksimalan koristan rad vazduha u ovom slučaju

MJMJVVpSSTLmk

113,3)8524,09653()0861,06100,8(10108,21613300)()( 53

100100

=−==−−⋅⋅=−−−=

R3.3. Maksimalan koristan rad u ovom slučaju se dobija ako se vazduh povratnim procesom dovede u ravnotežno stanje s parametrima okolne sredine (T2 = T0 i p2 = p1 = p0). Ovo može da se postigne ako se vazduh prvo adijabatski širi do temperature okolne sredine T1’ = T2 = T0 a zatim izotermno sabije do pritiska okolne sredine p2 = p0 (Slika R3.1).

14

Promena unutrašnje energije i entropije po završenom procesu iznose, respektivno

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=− 1)(

0

10010121 T

TTmcTTmcUUUU vv , (R3.3.1)

0

1

2

11

2

1

20121 lnln

TTmc

TTmc

TdTmc

TqSSSS ppp ====−=− ∫∫δ . (R3.3.2)

Obzirom da je 0

02 p

mRTV = i

0

121 T

TVV = , sledi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 11)(

0

10

2

120010 T

TmRTVVVpVVp . (R3.3.3)

Na osnovu (R3.3.1), (R3.3.2) i (R3.3.3), uzimajući u obzir da je 1−

=kkRcp , i vp ccR −= ,

eksergija vazduha u ovom slučaju iznosi:

.ln11

ln11ln1

)()()(

0

1

0

10

0

1

0

10

0

10

0

10

0

10

01001001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−+−−−=

TT

TT

kkmRT

TT

TTTmc

TTmRT

TTTmc

TTTmc

VVpSSTUUL

vpv

mk

Zamenom brojnih vrednosti u predhodni izraz dobija se

15

kJLmk 35,462300600ln1

300600

14,130028754,1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⋅⋅⋅

= .

R3.4. U ovom slučaju maksimalan koristan rad se postiže ako se vazduh prvo adijabatskim sabijanjem zagreje do temperature okolne srerdine T1’ = T0 , a zatim se izotermnim širenjem pritisak smanji do pritiska okolne sredine p2 = p0 (Slika R3.2 ) Promena unutrašnje energije i entropije po završenom procesu iznose, respektivno

)1.4.3(,1)1(

1)(

0

10

1

10

0

10

1

11010121

RTT

TTk

Vp

TT

TcRT

VpTTmcUUUU vv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=−

0

1

1

10

2

11

2

1

20121 ln

)1(ln

TT

kTkVp

TT

mcT

dTmcTqSSSS p

p

−====−=− ∫∫

δ . (R3.4.2)

Obzirom da je 1

01

1

2120 T

TVTTV

VV ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 11)(

1

010

1

010100 T

TVp

VV

VpVVp . (R3.4.3)

Maksimalan koristan rad, na osnovu (R3.4.1-R3.4.3), iznosi

16

)4.4.3(ln11

ln)1(

1ln)1(

1)1(

)()()(

0

1

1

0

1

010

0

1

0

1

1

010

1

010

0

10

1

10

0

10

1

10

01001001

RTT

TT

TT

kVkp

TT

TT

kTkTVp

TT

VpTTT

kTkVp

TTT

kTVp

VVpSSTUULmk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=−+−−−=

Zamenom brojnih vrednosti dobija se

kJTT

TT

TT

kVkp

Lmk 4774ln11 0

1

1

0

1

010 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

R3.5. Na osnovu rešenja zadatka 3.3

kJTT

TT

kkmRT

TT

TT

TmcTT

mRTTT

TmcTT

Tmc

VVpSSTUUL

vpv

mk

63,127300500ln1

300500

14,130026034,1ln1

1

ln11ln1

)()()(

0

1

0

10

0

1

0

10

0

10

0

10

0

10

01001001

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−+−−−=

R3.6. Maksimalan koristan rad gasa u ovom slučaju se dobije pri njegovom izotermnom širenju (T2 = T0 = T1) do pritiska okolne sredine (p2 = p0) (pogledati zadatak 3.2) :

MJpp

ppmRT

ppmRT

ppmRT

pT

pTmRp

ppmRT

VVpSSTVVpSSTUULmk

235,710

1,011,0

10ln2937,1808,371ln

1lnln

)()()()()(

1

0

0

10

1

00

0

10

1

1

0

00

0

10

10010001001001

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⋅⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

=−−−=−+−−−=

R3.7. Gubitak radne sposobnosti (eksergije) iznosi:

).()( 21021 ssTiimL

e mk −−−=Δ

=Δ (R3.7.1)

Kako je pri prigušenju i1 = i2 sledi

.ln)(2

10210 p

pRTssTe =−−=Δ (R3.7.2)

17

U ovom slučaju je

kgkJ

pp

RTe 7,592ln300287ln2

10 =⋅⋅==Δ .

R3.8. Obzirom da je )( 0101 TTcTciii pp −=Δ=−=Δ , i 1

2

1

2 lnln),(pp

RTT

cpTs p −=Δ (pogledaj

izraz R3.1.5) specifična radna sposobnost toplote (eksergija) u stanju 1 i stanju 2 iznosi, respektivno

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=Δ−−=−−−=

0

1

0

1001001010011 lnln)()()()(

ppR

TTcTTTcsTTTcssTiie ppp

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=Δ−−=−−−=

0

2

0

2002002020022 lnln)()()()(

ppR

TTcTTTcsTTTcssTiie ppp

tako da je gubitak eksergije

kgkJ

pp

TT

kkRTTT

kkR

pp

RTT

cTTTce pp

76,31427ln

320770ln

14,14,1283297)320770(

14,12974,1

lnln1

)(1

lnln)(2

1

2

1021

2

1

2

1021

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−⋅⋅−−

−⋅

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=Δ

R3.9. Maksimalan koristan rad, na račun količine toplote Q koja je uzeta od toplotnog izvora, radno telo ostvaruje pri povratnom Carnot-ovom ciklusu :

QTT

QL cmk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== 01η , (R3.9.1)

gde je TT

c01−=η - termički koeficijent iskorišćenja Carnot-ovog ciklusa. Eksergija toplote

(specifična radna sposobnost) goriva iznosi

qTT

qm

Le c

mk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=== 01η . (R3.9.2)

Gubitak eksergije pri konstantnoj temperaturi sagorevanja T (početna temperatura), pri čemu produkti sagorevanja vrše rad hladeći se do temperature okolne sredine T0, iznosi

).()1( 010

1

00

1

00

1

0

0 ssTqdsTqTqTqq

TT

e sss −−=−=−=−−=Δ ∫∫∫δδ (R3.9.3)

U izrazu (R3.9.3) veličina T0(s1-s0) predstavlja količinu toplote predatu okolnoj sredini.

18

Kako je qs = cp (T-T0) sledi 0

1

00

101 lnln

TT

TTq

TT

css sp −

==− , tako da je

0

1

0

0

0

1

00010 ln1ln)(

TT

TTT

qTT

TTq

TqssTqe ss

ss ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

−=−−=Δ . (R3.9.4)

U ovom slučaju gubitak eksergije je

kgMJ

TT

TTT

qe s 93,5300

1473ln3001473

300110ln10

1

0

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=Δ ,

što čini 59,3% oslobođene specifične toplote sagorevanja. 4. TERMODINAMIČKE RELACIJE 4.1. Dokazati sledeću termodinamičku relaciju:

vvs T

pcT

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ .

4.2. Dokazati sledeću termodinamičku relaciju:

pps Tv

cT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ .

4.3. Dokazati da važi sledeća relacija:

v

v

s cTp

vT β

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ ,

gde je v

v Tp

p⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1β - temperaturski koeficijent pritiska.

4.4. Dokazati da je:

TT

vp ps

vsTcc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=− .

4.5. Dokazati sledeću relaciju:

19

ps

p Tv

TpTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= .


vs

v Tp

TvTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= .

4.7. Dokazati da važi relacija:

Tv

p

s vp

cc

vp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ .

4.8. Dokazati termodinamičku relaciju:

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ppTs Tv

cT

pv

pv .

4.9. Dokazati termodinamičku relaciju:

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vvTs Tp

cT

vp

vp .


pTvs T

vvp

cT

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ .

4.11. Naći specifičnu slobodnu energiju (Helmholtz-ovu f-ju) f(T,v) idealnog gasa. 4.12. Naći specifični Gibs-ov termodinamički potencijal g(T,p) idealnog gasa 4.13. Naći specifičnu entalpiju i(s,p) idealnog gasa R4. REŠENJA: R4.1. Na osnovu poznate relacije

1−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vTs Ts

sv

vT (R4.1.1)

i Maxwell-ove relacije

20

vT Tp

vs

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R4.1.2)

sledi

v

v

v

T

s

TsTp

Tsvs

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R4.1.3)

Kako je v

v TsTc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= , iz poslednjeg izraza se dobija

vvs T

pcT

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

, (R4.1.4)

što je trebalo da se dokaže. Do istog rezultata se dolazi polazeći od toga da je u slučaju izoentropskog procesa:

0),( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= dvvsdT

TsvTds

Tv

tako da je

Tv

v

T

s vs

cT

Tsvs

vT

dvdT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

jer je

vT Tp

vs

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ i

vv T

sTc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

R4.2. Na osnovu poznate relacije

1−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

pTs Ts

sp

pT (R4.2.1)

sledi

p

T

s

Tsps

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ . (R4.2.2)

Kako je

21

pp T

sTc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ,

na osnovu Maxwell-ove relacije

pT Tv

ps

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ,

iz relacije (R4.2.1) sledi

pvs T

vcT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

,

što je trebalo da se dokaže.

Do istog rezultata može da se dođe polazeći od toga da je u slučaju izoentropskog procesa:

0),( =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= dvpsdT

TspTds

Tp

,

odakle se dobija relacija (R4.2.2):

p

T

s

Tsps

pT

dpdT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= .

R4.3. Na osnovu termodinamičke relacije (R4.1.4): vvs T

pcT

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

i obzirom da je vv

pTp β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , sledi

v

v

s cTp

vT β

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

,


R4.4. Kako je p

p Tic ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= i vdppdvdupvuddi ++=+= )( , sledi

pp

p Tvp

Tuc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= . (R4.4.1)

22

Obzirom da je dvvudT

TuvTdu

Tv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=),( ,

sledi

pTvp Tv

vu

Tu

Tu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R4.4.2)

tako da ze smenom izraza (R4.4.2) u izraz (R4.4.1) dobija

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= pvu

Tv

Tuc

Tppp . (R4.4.3)

Kako je du = Tds-pdv, sledi

pvsT

vu

TT

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R4.4.4)

Na osnovu Maxwell-ove relacije

pT T

vps

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ,

kao i relacija (R4.4.4) i (R4.4.3) i uzevši u obzir da je v

v Tuc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= , dobija se

TT

vp ps

vsTcc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=− ,


R4.5. Po definiciji je p

p TsTc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= . Obzirom da je

ppp T

vvs

Ts

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

sledi

pp

p Tv

vsTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= .

Kada se uzme u obzir Maxwell-ova relacija

sp T

pvs

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ ,

konačno se dobija

23

psp T

vTpTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ,


R4.6. Po definiciji je v

v TsTc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= . Obzirom da je

vvv Tp

ps

Ts

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ ,

sledi

vv

v Tp

psTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= .

Kada se uzme u obzir Maxwell-ova relacija

sv T

vps

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ,

konačno se dobija

vs

v Tp

TvTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= ,

što je trebalo da se dokaže. R4.7. Obzirom da je (izrazi R4.5 i R4.6)

ps

p Tv

TpTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= i vs

v Tp

TvTc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=

sledi

v

ps

vs

ps

v

p

Tp

Tv

vp

Tp

Tv

Tv

Tp

cc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= ,

odnosno

24

pvv

p

p

v

v

p

s Tv

Tp

cc

TvTp

cc

vp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R4.7.1)

Kako je

1−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

Tpv pv

vT

Tp

sledi

Tpv v

pvT

Tp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R4.7.2)

tako da se smenom (R4.7.2) u (R4.7.1) dobija

Tv

p

s vp

cc

vp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

,


Dobijena relacija pokazuje da je koeficijent adijabatske kompresibilnosti s

s vp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=β ve}i v

p

cc

k =

puta od koeficijenta izotermske kompresibilnosti T

T vp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=β .

R4.8. Obzirom da je dTTvdp

pvTpdv

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=),( , sledi

spTs pT

Tv

pv

pv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ . (R4.8.1)


ps s

vpT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

i relacije (R4.8.1) sledi

ppTs sv

Tv

pv

pv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ . (R4.8.2)

Obzirom da je

25

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

pp

p

p

ppp Tv

cT

Ts

Tv

Tv

Tv

Tv

sv

Tv , (R4.8.3)

zamenom izraza (R4.8.3) u izraz (R4.8.2) dobija se

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ppTs Tv

cT

pv

pv


R4.9. Obzirom da je dTTpdv

vpTvdp

vT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=),( , sledi

spTs v

TTp

vp

vp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R4.9.1)


vs s

pvT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

i relacije (R4.9.1) sledi

vvTs sp

Tp

vp

vp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R4.9.2)

Obzirom da je

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vv

v

v

vvv Tp

cT

Ts

Tp

sT

Tp

Tp

sp

Tp , (R4.9.3)

zamenom izraza (R4.9.3) u izraz (R4.9.2) dobija se

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vvTs Tp

cT

vp

vp

,


R4.10. Na osnovu Maxwell-ove jednačine vs s

pvT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , sledi

26

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vv

v

v

vs Tp

cT

TsTp

sp

vT . (R4.10.1)

Kako je

1−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

Tpv pv

vT

Tp

sledi

pTv Tv

vp

Tp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R4.10.2)

tako da se posle zamene izraza (R4.10.2) u izraz (R4.10.1) dobija

pTvs Tv

vp

cT

vT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

,

što je trebalo da se dokaže. R4.11. Po definiciji je ),()(),( vTTsTuvTf −= . (R4.11.1) Obzirom da je pdvdTcpdvduTds v +=+= , za idealni gas, sledi

v

RdvTdTc

Tpdv

TdTcds vv +=+= .

Integracijom poslednjeg izraza se dobija vRTcsvTs v lnln),( 0 ++= . (R4.11.2) S druge strane je

TcuTu v+= 0)( (R4.11.3) Smenom (R4.11.2) i (R4.11.3) u (R4.11.1) dobija se

,ln)ln1()()lnln()(),()(),(

00

00

vRTTcTsuvRTcsTTcuvtTsTuvTf

v

vv

−−+−==++−+=−=

odnosno

vRTTcfvTf v ln)ln1(),( 0 −−+= , (R4.11.4)

27

gde je . 000 Tsuf −= R4.12. Po definiciji je . (R4.12.1) pvTsug +−= Iz izraza R4.11.2 sledi

,lnlnln

lnln)(lnln

0

00

RRpRTcsp

RTRTRcsvRTcss

p

pv

+−+=

=+−+=++=

odnosno . (R4.12.2) pRTcspTs p lnln),( '

0 −+= gde je . RRss ln0

'0 +=

Smenom izraza (R4.11.3) i (R4.12.2) u izraz (R4.12.1) dobija se

,ln)ln1()(lnln)(

)lnln()(),()(),('00

'00

'00

pRTTTcTsupRTTTcTcTsu

TRpRTcsTTcupvpTTsTupTg

ppp

pv

+−+−=+−+−=

=+−+−+=+−=

odnosno pRTTTcgpTg p ln)ln1(),( 0 +−+= , (R4.12.3) gde je . '

000 Tsug −= R4.13. Po definiciji je

i = u + pv (R4.13.1) Kako je i , sledi Tcuu v+= 0 RTpv = TcuRTTcui pv +=++= 00 (R4.13.2) Obzirom da je (izraz R4.12.2) , pRTcspTs p lnln),( '

0 −+=sledi

,expln

lnexplnln1lnln

'0

1

1'0

'0

'0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−+

−=+

−=

−

−

p

kk

kk

pppp

css

p

pc

ssp

kk

css

cpR

css

T

28

tako da je

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

−

p

kk

css

ppsT'0

1

exp),( . (R4.13.3)

Smenom izraza R4.13.3 u izraz R4.13.2 dobija se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅+=

−

p

kk

p css

pcupsi'0

1

0 exp),( . (R4.13.4)

5. RAVNOTEŽA TERMODINAMIČKIH SISTEMA I FAZNI PRELAZI 5.1. Odrediti temperaturu pri kojoj će da proključa voda koja se nalazi pod pritiskom od p = 0,090 M Pa. Specifična toplota isparavanja vode pri ovim uslovima iznosi r = 2,256 M J/kg. (Okt 2000) 5.2. U evakuisanu posudu zapremine V0 = 10 dm3 ulivena je voda mase mv = 1,0 kg. Pri temperaturi od t = 1000 C i pritisku od p = 0,10 M Pa voda se nalazi u termodinamičkoj ravnoteži sa njenom zasićenom parom. Za koliko treba da se povisi temperatura ovog termodinamičkog sistema da bi se povećala masa zasićene vodene pare za Δm = 7,0 mg. 5.3. Pri pritisku p1 = 0,0849 M Pa temperatura ključanja vode je Tk1 = 368 K, dok pri pritisku od p2 = 0,1013 M Pa temperatura ključanja iznosi Tk2 = 373 K. Odrediti specifičnu toplotu isparavanja vode u datom temperaturskom intervalu. 5.4. Odrediti pritisak pri kome će da se topi led temperature T2 = 268 K. Specifična toplota topljenja leda pri datim uslovima je r = 335,5 kJ/kg. Specifična zapremina leda i vode iznose vL = 1,091 cm3/g i v0 = 1,000 cm3/g, respektivno. 5.5. Odrediti promenu temperature topljenja leda pri povećanju pritiska za Δp = 0,1 M Pa. Pri normalnom atmosferskom pritisku i temperaturi od 00 C specifična toplota topljenja leda je r = 335,5 kJ/kg, gustina leda je ρL = 916,6 kg/m3, a gustina vode iznosi ρ0 = 1000 kg/m3. 5.6. Komad leda mase m = 1 kg smešten je u toplotno izolovanu komoru na atmosferskom pritisku i temperaturi od t1 = 00 C. Odrediti masu Δm istopljenog leda pri njegovom adijabatskom sabijanju do pritiska od p2 = 120 at. Specifične zapremine vode i leda iznose v0 = 1 cm3/g i vL = 1,09 cm3/g, respektivno. Specifični toplotni kapacitet leda iznosi cL ≅ 2,5 kJ/kgK a specifična toplota topljenja leda je r = 335,5 kJ/kg. 5.7. Na osnovu eksperimentalnih podataka, u intervalu od 00 C do 200 C, dobijena je sledeća zavisnost pritiska amonijaka od temperature: p (T) = - 13,2302 + 0,1845 T - 0,8602 x 10-3 T2 + 0,1348 x 10-5 T3 , gde je temperatura (T) u K a pritisak (p) u M Pa. Odrediti specifičnu toplotu isparavanja amonijaka pri temperaturi od 100 C. Poznato je da pri datoj temperaturi specifične zapremine amonijaka na donjoj i gornjoj graničnoj krivoj iznose v’ = 1,598 cm3/g i v’’ = 206,0 cm3/g, respektivno.

29

5.8. Odrediti specifičnu zapreminu suvo-zasićene pare freone -12 pritiska p = 0,65080 M Pa, ako je poznato da je specifična toplota isparavanja r = 141,68 kJ/kg, a specifična zapremina na donjoj graničnoj krivoj v’ = 0,7628 dm3/kg . Zavisnost T(p) za data je tabelarno:

T(K) 297,15 298,15 299,15 p (MPa) 0,63335 0,65080 0,66857

R5. REŠENJA. R5.1. Obzirom da je specifična zapremina vodene pare mnogo veća od specifične zapremine vode, tj. , Clausius-Clapeyron-ova jednačina može da se napiše u pojednostavljenom obliku:

1vv p >>

pp Tv

rvvT

rdTdp

≅−

=)( 1

. (R5.1.1)

Smatrajući da je vodena para pri datim uslovima idealan gas (p

RTvp = ) sledi

2RTrdT

dTdp

= , (R5.1.2)

odakle je

CRTrp +−=ln . (R5.1.3)

Konstanta C se nalazi iz uslova da je pri normalnim uslovima p = p0 = 0,1013 MPa temperatura ključanja vode T = Tnk = 373 K:

nkRT

rpC += 0ln . (R5.1.4)

Zamenom izraza (R5.1.4) u izraz (R5.1.3) dobija se jednačina

nkRT

rRTr

pp

+−=0

ln , (R5.1.5)

odakle se nalazi izraz za temperaturu ključanja tečnosti (vode) pri datom pritisku

0

ln1pp

rRT

TT

nk

nk

−= . (R5.1.6)

Kako molarna masa vode iznosi M = 0,018 kg/mol, gasna konstanta za vodenu paru ima vrednost R = 8,314 / M = 461,9 J/kgK, tako da se posle zamene ove vrednosti i ostalih datih brojnih

30

podataka u poslednji izraz dobija da će pri pritisku od p = 0,090 MPa voda da proključa pri temperaturi od T = 369,7 K , tj. t = 96,5 0C . R5.2. Vodena para pri datim uslovima može da se smatra idealnim gasom tako da se korišćenjem jednačine

RdTvdp

dTpdv

=+ ,

koja je dobijena diferenciranjem jednačine stanja idealnog gasa, i Clausius-Clapeyron-ove jednačine (R5.1.1), dobija

p

TrR

dTdv −

= . (R5.2.1)

Obzirom da je v = V/ m, gde je V = V0 - mv/ρv -raspoloživa zapremina pare a ρv -gustina vode, sledi

dvv

mV

vVdvdm v

v

2

0

2

ρ−

−=−= . (R5.2.2)

Iz izraza (R5.2.1) i (R5.2.2.) sledi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10

2

RTrm

Vp

dmRTdT

v

v

ρ

, (R5.2.3)

odakle se dobija da je za povećanje mase pare za Δm = 7,0 mg potrebno da se temperatura poveća za

K

RTrm

Vp

mRTT

v

v

0405.010

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ=Δ

ρ

.

R5.3. Na osnovu jednačine (R5.1.3) CRTrp +−=ln , sledi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

211

2 11lnTTR

rpp

,

odakle se dobija se da specifična toplota isparavanja vode u datom temperaturskom intervalu (368, 373) K ima vrednost:

31

kgMJ

pp

TTTRT

TT

ppR

r 24,20849,01013,0ln

36837337336889,461ln

11

ln

1

2

12

21

21

1

2

=−

⋅⋅=

−=

−=

R5.4. Iz Clausius-Clapeyron-ove jednačine )( 0 LvvT

rdTdp

−= sledi

)( 0 LvvT

rdTdp−

= ,

tako da se za konačne priraštaje dobija

)()(

)()(

01

21

01

1212 vvT

TTrvvTTTr

pppLL −−

=−−

=−=Δ , (R5.4.1)

gde je T1 = 273 K temperatura topljenja leda pri pritisku od p1 = 0,1013 M Pa. Zamenom brojnih vrednosti u izraz (R5.4.1) dobija se da je za topljenje leda pri temperaturi T2 = 268 K potreban dodatni pritisak od Δp = 67,56 M Pa, odnosno ukupan pritisak od p2 = p1 + Δp = 67,66 M Pa. R5.5. Iz Clausius-Clapeyron-ove jednačine sledi:

MPa

Kr

Tr

T

rvvT

pT

L

LLL 074,0)(

11)(

0

0101

01 −=−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

=ΔΔ

ρρρρρρ

,

odakle je KMPa

KpT 0074,0074,0 −=Δ⋅−=Δ .

R5.6. Promena temperature topljenja leda s promenom pritiska iznosi:

Kr

pvvTT L 884,0

105,33510013,1)1120(10)09,11(273)(

3

5301 −=

⋅⋅⋅−⋅−

=Δ−

=Δ−

.

Znači, pri datom pritisku (p2) led se nalazi na temperaturi koja je za ΔT viša od njegove tačke topljenja pri datim uslovima, tako da se deo unutrašnje energije leda TmcU L Δ=Δ iskoristi za prevođenje mase Δm leda u tečno stanje:

gr

Tmcm L 59,6

103351994,0105,2

3

3

=⋅

⋅⋅⋅=

Δ=Δ .

32

R5.7. Na osnovu poznate zavisnost p = p (T) dobija se:

252 104044,010172,01845,0 TTdTdp −− ⋅+⋅−= .

Na temperaturi od 10 0 C je

KPa

dTdp 4252 10162,2283104044,028310172,01845,0 ⋅=⋅⋅+⋅⋅−= −− .

Na osnovu Clausius-Clapeyron-ove jednačine sledi

kgkJ

dTdpvvT

TpvvTr 125110162,210)598,10,206(283)()( 43'''

'''

=⋅⋅⋅−=−=Δ

Δ−= − .

(ovaj podatak se razlikuje za 12,3% od tabličnog podatka: rid = 1405 kJ/kg). R5.8. Na osnovu priloženih podataka za p = p(T) dobija se

MPa

KpT 786,56

03522,02

==ΔΔ .

Iz Clausius-Clapeyron-ove jednačine sledi

kgm

pTTrvv

3664''' 02775,0

15,29810786,561014168,010628,7 =⋅⋅⋅

+⋅=ΔΔ

+=−

− .

6. TERMODINAMIČKA SVOJSTVA SUPSTANCIJE. VODENA PARA 6.1. Odrediti veličine stanja vlažne vodene pare pritiska p = 20 bara i stepena suvoće x = 0,80. 6.2. Pregrejana vodena para mase m = 5 kg, pritiska p1 = 10 bara i temperature t1 = 200 0C sabija se izotermski do specifične zapremine v2 = v1/2. Odrediti: a) parametre stanja na kraju procesa i b) odvedenu količinu toplote. 6.3. Pregrejana vodena para mase m = 5 kg, pritiska p1 = 16 bara i temperature t1 = 300 0C, izoentropski se širi do pritiska p2 = 2 bara. Odrediti: a) promenu unutrašnje energije, b) apsolutni rad i c) tehnički rad. 6.4. Vlažna vodena para mase m = 2 kg, stepena suvoće x1 = 0,75 i pritiska p1 = 10 bara, pregreva se izobarno do temperature t2 = 300 0C. Odrediti: a) apsolutni rad; b) dovedenu količinu toplote; c) promenu unutrašnje energije i d) promenu entropije.

33

6.5. Vlažna vodena para stepena suvoće x1 = 0,70 i pritiska p1 = 1 M Pa prigušuje se do pritiska p2 = 0,05 M Pa. Odrediti: a) stepen suvoće na kraju procesa; b) promenu entropije i c) promenu temperature.

R6. REŠENJA: R6.1. Na osnovu tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska (ili i, s-dijagrama) dobijaju se za p = 2 MPa = 20 bara sledći parametri vodene pare na donjoj (‘) i gornjoj graničnoj krivoj (‘’): temperatura ključanja ts = 212,37 0C toplota isparavanja r = 1891 kJ/kg specifična zapremina v’ = 0,0011766 m3/kg v’’ = 0,09958 m3/kg entalpija i’ = 908,53 kJ/kg i’’ = 2799 kJ/kg entropija s’ = 2,4467 kJ/kgK s’’ = 6,340 kJ/kgK unutrašnja energija u’ = 906,1 kJ/kg u’’ = 2600 kJ/kg. Toplota isparavanja i unutrašnja energija mogu da se odrede računskim putem na osnovu ostalih parametara: r = Ts (s’’ - s’) = 485,5 (6,340 - 2,4467) = 1890,2 kJ/kg u’ = i’ -pv’ = 908,5 103 -20 x 105 x 0,0011766 = 906,15 kJ/kg u’’ = i’’ -pv’’ = 2799 x 103 -20 x 105 x 0,09958 = 2599,84 kJ/kg. Veličine stanja vodene pare pritiska p = 20 bara i stepena suvoće x = 0,80 određuju se prema relacijama

kgmxvvvvx

3'''' 079899,080,0)0011766,009958,0(0011766,0)( =⋅−+=−+=

kgkJxiiiix 91,242080,0)53,9082799(53,908)( '''' =⋅−+=−+=

kgKkJxssssx 56134,580,0)4467,2340,6(4467,2)( '''' =⋅−+=−+=

kgkJxuuuux 22.226180,0)1,9062600(1,906)( '''' =⋅−+=−+=

R6.2. Iz tablice veličine stanja pregrejane vodene pare (ili i,s-dijagrama. Slika R6.1) za p1 = 10 bara (1 M Pa) i t1 =200 0C dobija se: v1 = 0,2060 m3/kg i1 = 2827 kJ/kg s1 = 6,692 kJ/kg. S druge strane, za temperaturu t2 = t1 = 200 0C , iz tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od temperature, sledi: p2 = 15,551 bara toplota isparavanja r = 1941 kJ/kg

34

specifična zapremina v’ = 0,0011565m3/kg v’’ = 0,1272 m3/kg entalpija i’ = 852,4 kJ/kg i’’ = 2793 kJ/kg entropija s’ = 2,3308 kJ/kgK s’’ = 6,3418 kJ/kgK unutrašnja energija u’ = 851,6 kJ/kg u’’ = 2595 kJ/kg.

Obzirom da je u konačnom stanju kgmvv

32

2 1030,02

2060,02

=== , u datoj tački procesa stepen

suvoše iznosi

808,00011565,01272,00011565,01030,0

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=vvvvx .

Kako je v2 >> v2’ i v2’’ >> v2’, stepen suvoće može da se odredi približno

810,01272,01030,0

''2

22 ==≅

vv

x .

a) Parametri stanja na kraju procesa (tačka 2) su:

i2 = i2’ + (i2’’ - i2’) x2 = 852,4 + (2793 - 852,4) 0,808 = 2420,40 kJ/kg s2 = s2’ + (s2’’ - s2’) x2 = 2,3308 + (6,4318 - 2,3308) 0,808 = 5,64441 kJ/kgK u2 = u2’ + (u2’’ - u2’) x2 = 851,6 + (2595 - 851,6) 0,808 = 2260,27 kJ/kg. b) Obzirom da je proces izoterman odvedena količina toplote iznosi kJkJssmTmqQ 55,2477)692,66441,5(4735)( 1211212 −=−⋅=−== . R6.3. Iz tablice veličine stanja pregrejane vodene pare (ili i,s-dijagrama. Slika R6.2) za p1 = 16 bara (1,6 M Pa) i t1 =300 0C dobija se: v1 = 0,1585 m3/kg i1 = 3030 kJ/kg s1 = 6,877 kJ/kg. S druge strane, za pritisak p2 = 2 bara , iz tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska, sledi: ts = 120,23 0 C toplota isparavanja r = 2202 kJ/kg specifična zapremina v’ = 0,0010605 m3/kg v’’ = 0,8854 m3/kg entalpija i’ = 504,8 kJ/kg i’’ = 2707 kJ/kg entropija s’ = 1,5302 kJ/kgK s’’ = 7,127 kJ/kgK unutrašnja energija u’ = 504,59 kJ/kg u’’ = 2530 kJ/kg. Kako je s2 = s1 = 6,877 kJ/kgK, stepen suvoće vodene pare na kraju procesa iznosi

35

955,05302,1127,75302,1877,6

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=ssssx

tako da je

kgmxvvvv

3

2'2

''2

'22 56441955,0)0010605,08854,0(0010605,0)( =−+=−+=

kgkJxiiii 90,2607955,0)8,5042707(8,504)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+=

kgkJxuuuu 86,2438955,0)59,5042530(59,504)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

a) Kako je u = i - pv, promena unutrašnje energije vodene pare iznosi

[ ][ ] kJ

vpvpiimumU

1,1688)1585,0106,18446,0102,0()303090,2607(5

)()(33

112212

−=⋅⋅−⋅⋅−−⋅

=−−−=Δ=Δ

b) Obzirom da je proces izoentropski (s = const, tako da je Q12 = 0), apsolutni rad iznosi L12 = - ΔU = 1 688,1 kJ. Tehnički rad pri datom procesu je

Lteh = m(i1 - i2) = 5 (3030 - 2607,90) = 2 110,5 kJ.

R6.4. Na osnovu tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska (ili i, s-dijagrama) dobijaju se za p1 = 10 bara sledeći parametri vodene pare na donjoj (‘) i gornjoj graničnoj krivoj (‘’): temperatura ključanja ts = 179,88 0C specifična zapremina v’ = 0,0011273 m3/kg v’’ = 0,1946 m3/kg entalpija i’ = 762,7 kJ/kg i’’ = 2778 kJ/kg entropija s’ = 2,138 kJ/kgK s’’ = 6,587 kJ/kgK.

36

Kako je x1 = 0,75, parametri vodene pare na početku procesa (tačka 1) iznose v1 = v’ + (v’’ - v’) x1 = 0,0011273 + (0,1946 - 0,0011273) 0,75 = 0,14623 m3/kg i1 = i’ + (i’’ - i’)x1 = 762,7 + (2778 - 762,7) 0,75 = 2274,18 kJ/kg s1 = s’ + (s’’ - s’)x1 = 2,138 + (6,587 - 2,138) 0,75 = 5,4748 kJ/kgK Za p2 = p1 = 10 bara i t2 = 300 0C iz tablice veličine stanja pregrejane vodene pare (ili i,s - dijagrama, Slika R6.3) je v2 = 0,2578 m3/kg i2 = 3048 kJ/kg s2 = 7,116 kJ/kgK. a) Apsolutni rad tokom ovog izobarnog procesa je L12 = m l12 = mp1Δv = mp1 (v2 - v1) = 2 x 105(0,2578 - 0,14623) = 223,14 kJ.

b) Dovedena količina toplote iznosi Q12 = mq12 = m(i2 - i1) = 2 (3048 - 2274,18) = 1 547,64 kJ.

c) Promena unutrašnje energije iznosi ΔU = Q12 - L12 = 1547,64 - 223,14 = 1 324,5 kJ, ili ΔU = mΔu = m [(i2 - i1) - (p2v2 - p1v1)] = 1 324,5 kJ. d) Promena entropije iznosi ΔS = mΔs = m (s2 - s1) = 2 (7,116 - 5,4748) = 3,2824 kJ/K R6.5. Na osnovu tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska (ili i, s-dijagrama) dobijaju se za sledeći parametri vodene pare na donjoj (‘) i gornjoj graničnoj krivoj (‘’) za p1 = 1 M Pa = 10 bara i p2 = 0,05 M Pa = 0,5 bara, respektivno: pritisak p1 = 1 M Pa = 10 bara

37

temperatura ključanja ts1 = 179,88 0C entalpija i1’ = 762,7 kJ/kg i1’’ = 2778 kJ/kg entropija s1’ = 2,138 kJ/kgK s1’’ = 6,587 kJ/kgK. pritisak p2 = 0,05 M Pa = 0,5 bara temperatura ključanja ts2 = 81,35 0C entalpija i2’ = 340,6 kJ/kg i2’’ = 2645 kJ/kg entropija s2’ = 1,0910 kJ/kgK s2’’ = 7,593 kJ/kgK. Kako je i1 = i1’ + (i1’’ - i1’) x1 i i2 = i2’ + (i2’’ - i2’) x2, stepen suvo}e vodene pare na kraju procesa prigušenja (i1 = i2) iznosi x2 = [(i1’’ - i1’)x1 + (i1’ - i2’)] / (i2’’ - i2’) = = [(2778 - 762,7) 0,70 + (762,7 - 340,6)] / (2645 - 340,6) = 0,795. Entropija na početku procesa je s1 = s1’ + (s1’’ - s1’)x1 = 2,138 + (6,587 - 2,138) 0,70 = 5,2523 kJ/kgK. Na kraju procesa entropija iznosi s2 = s2’ + (s2’’ - s2’)x2 = 1,0910 + (7,593 - 1,0910) 0,795 = 6,2601 kJ/kgK. Promena entropije iznosi Δs = s2 - s1 = 6,2601 - 5,2523 = 1,0078 kJ/kgK. Temperatura se promenila za Δt = t2 - t1 = 81,35 - 179,88 = - 98,53 0C. Do istih rezultata može da se dođe korišćenjem i, s-dijagrama (Slika R6.4).

38

7. PROCESI ZA HLAĐENJE 7.1. Dokazati da se maksimumi izoentalpi (i = const) u T,s- dijagramu nalaze na krivoj inverzije Joule-Thompson-ovog efekta. 7.2. Dokazati da se realan gas, koji se podčinjava Van der Waals-ovoj jednačini s koeficijentom a = 0, pri adijabatskom prigušenju uvek zagreva. 7.3. Dokazati da se realan gas, čije se stanje opisuje Van der Waals-ovom jednačinom s koeficijentom b = 0, pri adijabatskom prigušenju uvek hladi. 7.4. U eksperimentu je ustanovljeno da je temperatura inverzije helijuma (pri niskom pritisku) za 30,5 0 C viša od njene kritične temperature. Odrtediti vrednost temperature inverzije helijuma. 7.5. Prikazati jednačinu inverzije krive inverzije Van der Waals-ovog gasa u T,v-dijagramu, kojom se ravan T, v deli na dve oblasti: αi < 0 i ΔT> 0 (gas se zagreva) i αi > 0 i ΔT< 0 (gas se hladi). 7.6. Na}i izraz za diferencijalni Joule-Thomson-ov efekt Van der Waals-ovog gasa i odrediti temperaturu inverzije u slučaju niskih pritisaka, odnosno malih gustina, kada je v>> a,b. 7.7. Vlažna para pritiska p1 = 1,90 MPa i stepena suvoće x1 = 0,95 puštena je kroz prigušni ventil parovoda niskog pritiska p2 = 0,20 MPa. Na osnovu i, s- dijagrama za vodenu paru odrediti: a) stanje pare u parovodu posle prolaza kroz prigušni ventil; b) veličinu promene entropije i c) veličinu srednjeg diferencijalnog efekta prigušenja. 7.8. Vlažna para stepena suvoše x1 = 0,90 i pritiska p1 = 3,00 MPa prigušuje se do pritiska p2 = 0,20 MPa. Odrediti: a) integralni Joule Thompson-ov efekt i b) vrednost specifične zapremine pare posle prigušenja.

39

7.9. Suvozasićena vodena para pritiska p1 = 9,00 MPa prigušuje se do pritiska p2 = 2,00 MPa. Temperatura okolne sredine iznosi T0 = 300 K. Koristeći se tablicama za vodenu paru odrediti: a) srednji diferencijalni Joule Thompson-ov efekt; b) stepen suvoće vodene pare posle prigušenja i c) gubitak eksergije. 7.10. Suvozasićena vodena para pritiska p1 =12,00 MPa prigušuje se do pritiska p2 = 1,00 MPa. Koristeći se tablicama za vodenu paru odrediti: a) parametre pare posle prolaza kroz prigušni ventil, b) srednju vrednost diferencijalnog efekta prigušenja i c) gubitak radne sposobnosti. Temperatura okolne sredine je T0 =300 K. (Sept ‘04). 7.11. Odrediti stanje vodene pare u parovodu ako je pritisak pare u njemu p1 = 1,20 MPa a pritisak i temperatura pare u kalorimetru s prigušnim ventilom, koji služi za određivanje stanja pare, su p2 = 0,10 MPa i t2 = 135 0 C, respektivno. 7.12. Pregrejana para pritiska p1 =16,00 MPa i temperature t1 = 360 0 C prigušuje se do pritiska p2 = 2,00 Mpa. Koristeći tablice ili odgovarajuće dijagrame za vodenu paru odrediti: a) integralni Joule-Tompsonov efekt i b) gubitak radne sposobnosti. Temperatura okolne sredine je T0 = 300 K. (Maj ‘96. god.). 7.13. Zavisnost specifične zapremine od temperature, pri pritisku od p1 = 9,80 MPa, na osnovu podataka za vodenu paru, prikazana je tabelarno:

t ( 0 C ) 490 500 510 520 530 v ( m3 / kg ) 0,0329 0,0335 0,0341 0,0347 0,0353

Znajući da je specifični toplotni kapacitet vodene pare pri p1 = 9,80 MPa i temperaturi t1 = 510 0 C iznosi cp = 2,577 kJ/kgK, odrediti: a) veličinu diferencijalnog Joule-Tompson-ovog efekta pri t1 = 510 0 C i b) integralni efekt prigušenja vodene pare od p1 = 9,80 MPa do p2 = 8,00 Mpa. 7.14. Na osnovu tabele za vodu i vodenu paru formirana je tabela vrednosti entalpije za različite pritiske pri temperaturi od t = 260 0 C:

p (MPa)

5,0 10,0 16,0 18,0 20,0 25,0 30,0 40,0

i (kJ/kg)

1135,1 1134,1 1133,0 1133 1133 1134 1135 1137

Odrediti vrednost pritiska pri kojem će temperatura inverzije za vodu da iznosi 260 0 C. 7.15. Odrediti konačnu temperaturu azota pri njegovom adijabatskom širenju od pritiska p1 = 1,00 MPa do p2 = 0,95 MPa. Početna temperatura azota je t1 = 1000 0C. Specifični toplotni kapacitet azota pri datim uslovima je cp = 1,20 kJ/kgK a njegova gasna konstanta je R = 297 J/kgK. Predpostaviti da u ovom slučaju može da se primeni jednačina stanja idealnog gasa. 7.16. Zavisnost specifične zapremine od temperature, pri pritisku od p1 = 4,90 MPa, na osnovu podataka za vodenu paru, prikazana je tabelarno:

40

480 490 500 510 520 t ( 0 C )

0,06786 0,06893 0,06999 0,07104 0,07208 v ( m3 / kg ) Pri datom pritisku p1 = 4,90 MPa i temperaturi od t1 = 500 0C specifični toplotni kapacitet vodene pare iznosi cp = 2,34 kJ/kgK. Odrediti promenu temperature vodene pare u slučaju: a) izoentropskog reverzibilnog širenja od pritiska p1 = 4,90 MPa i temperaturi od t1 = 500 0C do pritiska p2 = 4,50 MPa; b) adijabatskog prigušanja (integralni Joule-Tompsonov efekt) pri istim vrednostima početnih i krajnjih pritisaka i temperatura kao u slučaju pod a. 7.17. Iz eksperimenta je dobijeno da se pri pritisku p = 12,00 Mpa i temperaturi t = 520 0C koeficijenti reverzibilnog adijabatskog (izoentropskog) širenja i koeficijent adijabatskog prigušenja vodene pare razlikuju za αs - αi = 10,49 K / Mpa. U tablicama je nađeno da je specifična zapremina vodene pare pri datim uslovima v = 0,02782 m3/kg. Odrediti specifični toplotni kapacitet cp vodene pare pri datim uslovima. 7.18. Iz eksperimenta je dobijeno da je za vodenu paru pri pritisku p = 12,00 MPa i temperaturi t = 520 0C koeficijent reverzibilnog adijabatskog (izoentropskog) širenja 7,26 puta veći od koeficijenta adijabatskog prigušenja. Odrediti vrednost koeficijenta zapreminskog širenja

vodene pare pT

vv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1α pri datom pritisku i temperaturi.

7.19. Odrediti promenu temperature i specifične entropije kao i gubitak eksergije vodene pare pri ireverzibilnom adijabatskom širenju iz suda konstantne zapremine (tzv. ispust) u sredinu pritiska p0 = 0,10 MPa i temperature T0 = 300 K. Početni parametri vodene pare su t1 = 510 0 C i p1 = 5,0 MPa. (Nov 2000) 7.20. Vodonik temperature T1 = 55,5 K i pritiska p1 = 2,94 MPa hladi se metodama: a) reverzibilnog adijabatskog (izoentropskog) širenja i b) adijabatskog prigušenja. Odrediti promenu temperature datim metodama hlađenja ako se vodonik širi do pritiska p2 = 0,147 MPa. 7.21. Vodonik temperature T1 = 55,5 K i pritiska p1 = 2,94 Mpa se širi do pritiska p2 = 0,589 Mpa. Odrediti promenu temperature vodonika ako je širenje: a) izoentropsko (s = const) i b) izoentalpijsko (i = const). 7.22. Dva balona jednakih zapremina Va = Vb = V = 10 - 3 m3 spojena su pomoću cevi sa slavinom. U jednom balonu nalazi se ugljen-dioksid pri pritisku od p1 = 1,013.105 Pa, i temperaturi od T1 = 290 K, a u drugom - vakuum. Smatrajući da se ugljen-dioksid dobro opisuje Van der Waals-ovom jednačinom stanja s konstantom a = 3,64.105 Nm4/ kmol2 i da su zidovi balona i cevi dobro (adijabatski) izolovani od okolne sredine, odrediti veličinu promene temperature u prvom balonu posle otvaranja slavine. Specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini i molarna masa ugljen dioksida iznose cv = 0,645 kJ/kgK i M = 0,044 kg/mol, respektivno. (Jun ‘02) 7.23. Količina azota od 1 kmol adijabatski se širi u vakuum od početne zapremine V1 = 1 m3 do konačne zapremine V2 = 20 m3. Odrediti promenu temperature azota ako konstanta a u Van der Waals-ovoj jednačini iznosi a = 1,35.105 Nm4/ kmol2, a specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini ne zavisi od temperature i zapremine i iznosi Cv = 2,08.104 J/kmolK.

41

7.24. Poznato je da kiseonik pri kritičnoj temperaturi i kritičnom pritisku od pk = 5,05 MPa ima gustinu ρk = 338 kg/ m3. Smatrajući da se kiseonik potčinjava Van der Waals-ovoj jednačini stanja odrediti promenu temperature količine od 11 kg kiseonika pri širenju u vakuum od početne zapremine V1 = 1 m3 do konačne zapremine V2 = 10 m3. Maseni specifični toplotni kapacitet kiseonika pri datoj početnoj zapremini i temperaturi iznosi cv = 656 J/kgK. 7.25. Vodonik, koji se nalazi u sudu zapremine V1 = 1 m3 pod pritiskom p1 = 0,10 MPa i temperaturi T1 = 300 K, adijabatski se širi u vakuum do konačne zapremine V2 = 20 m3. Odrediti promenu temperature smatrajući da se vodonik potčinjava Van der Waals-ovoj jednačini stanja. Kritična temperatura i kritična zapremina vodonika iznose Tk = 33,2 K i vk = 79,8 cm3/ mol, respektivno. Molarni specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini vodonika je Cv = 20,40 kJ/ kmol K 7.26. Odrediti temperaturu na kraju procesa adijabatskog razmagnetisavanja uzorka paramagnetne soli kalijum hromove stipse [KCr (S04)2 12H2O], kao i količinu toplote koja se oslobodi pri namagnetisavanju količine od 1 mol ove supstance. Početna vrednost temperature i jačine magnetnog polja iznose T1 = 10 K i H1 = 5.105 A/m, respektivno. Tablični podaci za datu supstanciju su: Θs = 0,245 K, R = 16,7 J/kgK, M = 0,499 kg/ mol i C = 5,9 x10-11 JK/ kg(A/m)2. Smatrati da se u datoj oblasti ova supstanca potčinjava Curie-evom zakonu (do Θs = 0,245 K). 7.27. Odrediti temperaturu na kraju procesa adijabatskog razmagnetisavanja uzorka paramagnetne soli cerijummagnezijum nitrata [Ce2 Mg3 (NO3)12 24 H2O] mase m = 50 g, kao i količinu toplote koja je oslobođena pri procesu izotermnog namagnetisavanja. Početne vrednosti temperature i jačine magnetnog pola iznose T1 = 2 K i H1 = 5.105 A/m. Tablični podaci su: C = 0,658x10-11 JK/ kg(A/m)2, R = 10,9 J/ kgK i Θs = 0,0055 K Smatrati da se u datoj oblasti ova supstanca potčinjava Curie-evom zakonu (do Θs = 0,0055 K). 7.28. Odrediti promenu temperature ΔT = T2 - T1 homogene i izotropne supstancije pri izoentropskom (reverzibilno adijabatskom) širenju (ili sabijanju) od pritiska p1 do pritiska p2, ukoliko su poznate vrednosti koeficijenta zapreminskog širenja αv, specifičnog toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku cp i gustine ρ, date supstancije. 7.29. Voda, koja se nalazi na temperaturi od t1 = 0 0 C i pritisku p1 = 19,6 MPa, izoentropski se širi do pritiska p2 = 0,098 MPa. Odrediti promenu temperature vode pri ovom procesu ako se zna da je za vodu pri datim uslovima koeficijent zapreminskog širenja αv = - 6,1x10-5 K-1, specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku cp = 4,22 kJ/kgK i gustina ρ = 1,000x103 kg/m3. 7.30. Živa, koja se nalazi na temperaturi od t1 = 0 0 C i pritisku p1 = 4,9 Mpa, izoentropski se širi do pritiska p2 = 0,098 MPa. Odrediti promenu temperature žive pri ovom procesu ako se zna da je koeficijent zapreminskog širenja žive pri ovim uslovima αv = 1, 81x10-4 K-1, specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku cp = 0,140 kJ/kgK i gustina ρ = 1,36.10 4kg/m3.

R7. REŠENJA .

R7.1. Kako je

vdpTdsdi += i dsspdT

TpsTdp

Ts⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=),( ,

42

sledi

dTTpvds

spvTdi

sT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+= . (R7.1.1)


pT v

Tsp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

i izraza (R7.1.1) sledi

dTTpvds

vTvTdi

sp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= , (R7.1.2)

odnosno

dTTpvds

TvvTdi

s

p

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= . (R7.1.3)

U slučaju izoentalpijskog procesa (di =0), iz predhodnog izraza (R7.1.3), sledi

s

p

i

Tpv

TvvT

sT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.1.4)

Maksimum izoentalpi određuje se iz uslova

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

isT , (R7.1.5)

tako da je na osnovu izraza (R7.1.4)

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−

pTvvT ,

odnosno

Tv

Tv

p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R7.1.6)

što predstavlja jednačinu krive inverzije.

43

Veličina sT

pv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ u izrazu (R7.1.4) je pozitivna tako da znak nagiba izoentalpi zavisi od odnosa

veličina T i α1 , gde je

pTv

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1α - koeficijet toplotnog širenja, jer je

α1

11

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

− T

Tv

v

T

TvvT

pp

.

U oblasti gasne faze i u oblasti zasićenja je T<α1 , tako da su izoentalpe opadajuće krive. Pri

velikim gustinama je T>α1 , tako da je u ovoj oblasti nagib izoentalpi pozitivan.

R7.2. Kada je a = 0 Van der Waals-ova jednačina može da se napiše u obliku

bp

RTv += , (R7.2.1)

tako da je

T

bvpR

Tv

p

−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.2.2)

U tom slučaju diferencijalni Joule-Thomson-ov efekt iznosi

pp

p

ii c

bc

vTvT

pT

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α . (R7.2.3)

Pri konačnom padu pritiska Δp = - |Δp| < 0 pri adijabatskom prigušenju gas će uvek da se zagreva

0>Δ=Δ=Δ pcbpTp

iα , (R7.2.4)

44

jer je uvek b > 0 i cp > 0. R7.3. Kada je b = 0 Van der Waals-ova jednačina može da se napiše u obliku

2va

vRTp −= . (R7.3.1)

Kako je

dvvpdT

TpvTdp

Tv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=),( , (R7.3.2)

sledi da je pri p = const, tj. dp = 0

T

v

p

vpTp

Tv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.3.3)

Iz jednačine (R7.3.1) sledi

vR

Tp

v

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (R7.3.4)

i

32

2va

vRT

vp

T

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R7.3.5)

tako da se posle smene (R7.3.4) i (R7.3.5) u (R7.3.3) dobija

)21(2

32 RTvaT

v

va

vRT

vR

Tv

p −=

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.3.6)

U slučaju malih gustina (ili visokih temperatura), kada je korekcioni član za pritisak mali (a/v2 << p ), drugi član u imeniocu izraza (R7.3.6) je mnogo manji od 1:

1222 <<≅

pva

RTva ,

pa je

RTv

a

RTva

2121

1+≅

−, (R7.3.7)

jer je xx

−≅+

11

1 , tako da izraz (R7.3.6) može da se napiše u obliku

TRT

av

Tv

p

2+

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.3.8)

45

U datom slučaju [ na osnovu (R7.3.6)] koeficijent adijabatskog prigušenja iznosi:

pp

p

ii RTc

ac

vTvT

pT 2

≅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α . (R7.3.9)

Pri konačnom padu pritiska Δp = - |Δp| u procesu adijabatskog prigušenja gas će da se uvek hladi

02<Δ−=Δ=Δ p

RTcapT

piα , (R7.3.10)

jer je uvek a > 0 i cp > 0. R7.4. Temperatura inverzije (Tinv) i kritična temperatura (Tkr), odrđene su odnosom a/b, koeficijenata a i b iz Van der Waals-ove jednačine stanja, tj.

RbaTinv

2= , (R7.4.1)

RbaTk 27

8= . (R7.4.2)

Iz predhodnog izraza sledi da se ove temperature razlikuju za veličinu:

Rb

TTT kinv ⋅=−=Δ

2746 , (R7.4.3)

odakle je

46

27 TRba Δ

= . (R7.4.4)

Smenom dobijenog izraza (R7.4.4) u izraz (R7.4.1) sledi

KTTinv 8,3523

5,302723

27=

⋅=

Δ= .

R7.5. Iz izraza (R7.6.7) , za realan gas, koji je opisan Van der Waals-ovo jednačinom

2va

bvRTp −−

= , sledi izraz za diferencijalni Joule-Thomson-ov efekt:

32

22

32

2)(

2)(1

2)(

11

va

bvRT

va

bvRTb

cv

va

bvRT

bvR

Tc

vTvT

cpT

ppppii

−−

+−

−⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α

Iz poslednjeg izraza sledi da je jednačina krive inverzije (αi =0) oblika

46

02)( 22 =−

− va

bvRTb , (R7.5.1)

odnosno

2

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

vb

RbaT . (R7.5.2)

Kriva inverzije prikazana je grafički na slici R7.2 u T, v-dijagramu.

R7.6. Iz Van der Waals-ove jednačine napisane u obliku

2va

bvRTp −−

= , (R7.6.1)

sledi

bv

RTp

v −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (R7.6.2)

i

32

2)( v

abv

RTvp

T

+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.6.3)

Na osnovu relacije

1−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

Tvp vp

pT

Tv (R7.6.4)

sledi

T

v

p

vpTp

Tv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (R7.6.5)

tako da se smenom (R7.6.2) i (R7.6.3) u izraz (R4.7.5) dobija

47

3232

2)(

2)( v

abv

RTbv

R

va

bvRT

bvR

Tv

p −−

−=+

−−

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ . (R7.6.6)

Smenom izraza (R7.6.6) u izraz (R.7.2.3) za diferencijalni Joule- Thomson-ov efekt

p

p

ii c

vTvT

pT

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α

dobija se

[ ]

[ ]

)7.6.7(.)/(2

)/(11

)/(12

1

2)(

2)(1

2)(

11

2

2

32

22

32

R

RTva

vb

vbb

RTa

c

va

bvRT

va

bvRTb

cv

va

bvRT

bvR

Tc

vTvT

c

p

ppppi

⋅−

−

−−

⋅=

=−

−

+−

−⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=α

Kako je 1<<vb i 1<<

va iz poslednjeg izraza sledi

pi c

bRT

a−

≅

2

α . (R7.6.8)

Promena temperature pri izoentalpijskom širenju (i = const), tj. pri adijabatskom prigušenju, u slučaju konačnog pada pritiska Δp = - |Δp|, na osnovu izraza (R7.6.8), iznosi

pc

bRT

a

pTp

i Δ−

=Δ=Δ

2

α . (R7.6.8)

Iz ovog izraza, koji je dobijen za slučaj niskih pritisaka i malih gustina, dobija se izraz za

temperaturu inverzije (p

i c

bRT

a−

≅

2

α =0)

RbaTinv

2= . (R7.6.9)

Na osnovu (R7.6.9) i (R7.6.8) sledi

pT

Tcbp

c

bRT

a

T inv

pp

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ

−=Δ 1

2

. (R7.6.10)

48

Kako je uvek (b, cp > 0) u slučaju kada je T > Tinv gas se pri adijabatskom prigušenju hladi (ΔT< 0), a kada je T < Tinv gas pri procesu adijabatskog prigušenja zagreva (ΔT > 0). Kada je

RbaTT inv

2== pri pocesu adijabatskog prigušenja temepratura gasa se ne menja.

R7.7. Entalpija vlažne pare pri početnom pritisku p1 = 1,90 MPa i stepenu suvoće x1 = 0,95 iznosi i1 = 2705 kJ/kg. Iz i, s- dijagrama za vodenu paru dobija se da je početna temperatura vlažne pare t1 = 200 0C a entropija s1 =7,125 kJ/kgK.

a) Kako se posle prolaza kroz prigušni ventil entalpija nije promenila, tj. i2 = i1 = 2705 kJ/kg, iz preseka izoentalpe i2 = i1 = const s izobarom p2 = 0,20 MPa dobija se da je stepen suvoće pare x2 = 1,00, što znači da je para apsolutno suva.

b) Konačna temperatura pare u parovodu je t1 = 120 0C, a entropija s2 = 6,165 kJ/kgK. Pri

procesu prigušenja entropija pare je porasla za Δs = s2 - s1 = 0,960 kJ/kgK.

c) Veličina srednjeg diferencijalnog efekta prigušenja iznosi

( )MPa

CMPa

CpT

isri

00

06,472,09,1

120200=

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=α .

R7.8. Iz tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska, dobija se da su pri pritisku p1 = 3,00 MPa = 30 bara parametri pare sledeći: t1 = 233,83 0C, i1’ = 1008,35 kJ/kg, i1’’ = 2803 kJ/kg. Pri p2 = 0,20 MPa = 2,0 bara je t2 = 120,22 0C, v2’ = 1,0606 dm3/kg, v2’’ = 0,8860 m3/kg, i2’ = 504,72 kJ/kg, i2’’ = 2707 kJ/kg.

a) Integralni Joule-Thompson-ov efekt iznosi: ΔT = T2 - T1 = (120,22 - 233,83) 0C = - 113,61 K.

b) Kako je

kgkJxiiii i 54,262390,0)35,10082803(35,1008)( 11

''1

'11 =⋅−+=−+=

Posle prigušenja entalpija se nije promenila

12'2

''2

'22 )( ixiiii =−+=

tako da je stepen suvoće pare na izlazu iz prigušnog ventila

962,072,5042707

72,50454,2623'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix .

Specifična zapremina posle prigušenja iznosi

kgmxvvvv

333

2'2

''2

'22 8523,0962,0)100606,18860,0(100606,1)( =⋅⋅−+⋅=⋅−+= −−

49

R7.9. Iz tablice veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od pritiska, dobija se da su pri pritisku p1 = 9,00 MPa = 90,0 bara parametri pare sledeći: t1 = 303,31 0C, i1’ = 1363,51 kJ/kg, i1’’ = 2742 kJ/kg, s1’ = 3,2866 kJ/kgK, s1’’ = 5,678 kJ/kgK. Pri p2 = 2,00 MPa = 20,0 bara parametri pare sledeći: t2 = 212,37 0C, i2’ = 908,53 kJ/kg, i2’’ = 2799 kJ/kg, s2’ = 2,4467 kJ/kgK, s2’’ = 6,340 kJ/kgK.

a) Srednji diferencijalni Joule Thompson-ov efekt iznosi

( )MPa

CMPa

CpT

isri

00

99,1200.200.9

37,21231,303=

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=α

b) Kako je u početku vodena para bila suvozasićena 11 =x , sledi kgkJii 2742''

11 == .

Posle prigušenja entalpija se nije promenila

''112

'2

''2

'22 )( iixiiii ==−+= ,

tako da je stepen suvoće vodene pare posle prigušenja

970,053,908279953,9082742

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix .

c) Entropija suvozasićene vodene pare iznosi kgKkJss 678,5''

11 == . Posle prigušenja entropija

vlažne vodene pare je

kgKkJxssss 2232,6970,0)4467,2340,6(4467,2)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+=

Po definiciji, gubitak radne sposobnosti (eksergije) iznosi (R3.7.1):

).()( 21021 ssTiimL

e mk −−−=Δ

=Δ

Kako je pri prigušenju i1 = i2 (izraz R3.7.2) gubitak eksergije iznosi

kgkJssTe 56,163)2232,6678,5(300)( 210 =−⋅−=−−=Δ .

R7.10. Iz tablica za vodenu paru se dobija da je pri p1 = 12,00 MPa = 120 bara: t1 = 324,64 0C, i1’ = 1491,13 kJ/kg, i1’’ = 2684 kJ/kg, s1’ = 3,4964 kJ/kgK, s1’’ = 5,492 kJ/kgK. Pri p2 = 1,00 MPa je t2 = 179,88 0C, i2’ = 762,71 kJ/kg, i2’’ = 2778 kJ/kg, s2’ = 2,1382 kJ/kgK, s2’’ = 6,586 kJ/kgK. Kako je u početku para suvozasićena (x1 =1,00) njena entalpija iznosi i2 = i1 = i1’ = 2684 kJ/kg. Obzirom da je , stepen suvoće pare posle prigušenja iznosi ''

112'2

''2

'22 )( iixiiii ==−+=

50

953,071,762277871,7622684

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix .

Srednji diferencijalni efekt prigušenja je

( )MPa

CMPa

Cpptt

pt

pT

iisri

00

12

12 16,1300,1200,1

64,32488,179=

−−

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=α

Entropija pare posle prigušenja je

kgKkJxssss 377,6953,0)1382,2586,6(1382,2)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+=

Gubitak radne sposobnosti (eksergije) u procesu prigušenja iznosi (R3.7.1):

kgkJ

ssTssTssTssTiie

5,265)492,5377,6(300

)()()().()( ''12012021021021

=−=

=−=−=−−=−−−=Δ

R7.11. Pritisku p2 = 0,10 MPa (1 bar) odgovarala bi temperatura zasićene pare od 99,62 0C. Kako je t2 = 135 0 C sledi da je pri datom pritisku para pregrejana. Iz tabele za pregrejanu vodenu paru, linearnom interpolacijom, nalazi se da pri datom pritisku i temperaturi (p2 , t2) entalpija iznosi i2 = 2747 kJ/kg (za t = 120 0C, i = 2717 kJ/kg, za t = 140 0C, i = 2757 kJ/kg). Pritisku p1 = 1,20 MPa = 12,0 bara odgovaraju sledeći parametri vlažne pare: t1 = 187,95 0C, i1’ = 798,61 kJ/kg, i1’’ = 2784 kJ/kg. Kako se entalpija po završetku procesa prigušenja nije promenila (i2 = i1), sledi , tako da je stepen suvoće pare u parovodu 12

'1

''1

'11 )( ixiiii =−+=

981,061,798278461,7982747

'1

''1

'12

'1

''1

'11

1 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix .

Do istog rezultata može da se dođe korišćenjem i,s-dijagrama. R7.12. Iz tablica za pregrejanu vodenu paru sledi da za p1 = 16,00 MPa = 160 bara i t1 = 360 0C entalpija i entropija imaju sledeće vrednosti: i1 = 2711 kJ/kg, s1 = 5,457 kJ/kgK. Iz tablica veličine stanja za ključalu vodu i suvu paru sledi da su za p2 = 2,00 MPa=20 bara i t2 = 212,37 0 C parametri stanja sledeći: i2’ = 908,53 kJ/kg, i2’’ = 2799 kJ/kg, s2’ = 2,4467 kJ/kgK, s2’’ = 6,340 kJ/kgK. Integralni Joule-Thompson-ov efekt iznosi: KCttTTT 63,147)36037,212( 0

1212 −=−=−=−=ΔKako je i2 = i1 , sledi

953,053,908279953,9082711

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix

Na osnovu predhodnog sledi da entropija pare posle prigušenja iznosi

51

kgKkJxssss 1570,6953,0)4467,2340,6(4467,2)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

Gubitak radne sposobnosti (eksergije) iznosi

kgkJ

ssTssTssTssTiie

00,210)457,51570,6(300

)()()().()( ''12012021021021

=−⋅=

=−=−=−−=−−−=Δ

R7.13. a) Iz priložene tablice sledi da je

kgKm

kgKm

Tv

p

35

3

100,620

0335,00347,0 −⋅=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

Koeficijent adijabatskog prigušenja (diferencijalni Joule Tompson-ov efekt) iznosi

MPaK

PaK

c

vTvT

c

vTvT

pT

p

p

p

p

ii

00,51000,5

10577,20341,0100,6783

6

3

5

=⋅=

=⋅−⋅⋅

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

≅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

−

−

α.

b) Integralni efekt prigušenja, pri datoj razlici pritisaka, iznosi KpppT ii 00,9)00,88,9(00,5)( 21 −=−−=−−=Δ≅Δ αα . R7.14. Temperatura inverzije određuje se iz uslova da je αi = 0, tj.

0=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=p

p

ii c

vTvT

pTα

Kako je (jedna od Maxwell-ovih jednačina)

Tp p

sTv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

sledi

0=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=p

T

ii c

vpsT

pTα

52

Kako je , sledi vdpTdsdi +=

vpsT

pi

TT

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

tako da je

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=p

T

p

T

ii c

pi

c

vpsT

pTα

Tačke inverzije nalazi se iz uslova

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Tpi .

Tačka inverzije, tj. pritisak koji odgovara datoj temperaturi inverzije, nalazi se iz minimuma krive zavisnosti entalpije od pritiska (Slika R7.3), koja je formirana na osnovu podataka iz priložene tabele. U konkretnom slučaju entalpija ima minimum kada pritisak dostigne vrednost pi ≅ 19 MPa.

R7.15. U slučaju adijabatskog (izoentropskog reverzibilnog) širenja realnog gasa koeficijent reverzibilnog adijabatskog širenja iznosi (pogledaj zadatak 4.2):

pps

s Tv

cT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α ,

tako da u slučaju malog konačnog pada pritiska promena temperature pri adijabatskom širenju iznosi

53

pp

s Tv

cpTpT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂Δ

=Δ≅Δ α .

U slučaju kada realan gas može da se smatra idealnim iz jednačine stanja idealnog gasa p

RTv =

sledi

pR

Tv

p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ ,

tako da je promena temperature

.75,151020,1101

10)00,195,0(297127336

6

Kpc

pTRTp

−=⋅⋅⋅−⋅⋅

=Δ

≅Δ

Konačna temperatura azota je . CTTT 0

12 2,98475,151000 =−=Δ+= R7.16. Iz priložene tabele sledi

kgKm

kgKm

Tv

p

34

3

1005,110

06999,007104,0 −⋅=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ .

a) koeficijent reverzibilnog adijabatskog širenja iznosi (rešenje zadatka 7.15):

MPa

KTv

cT

Tv

cT

pT

ppppss 85,34

1034,210055,17733

4

=⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=−

α .

Pri konačnom padu pritiska promena temperature iznosi

KpppT sss 94.13)90,450,4(85,34)()( 12 −=−⋅=−=Δ≅Δ αα . b) Koeficijent adijabatskog prigušenja (diferencijalni Joule Tompson-ov efekt) iznosi (pogledati rešenje zadatka 7.13)

MPaKv

TvT

cpT

ppii 94,4

1034,206999,010055,17731

3

4

=⋅

−⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=−

α .

b) Integralni efekt prigušenja, pri konačnoj razlici pritisaka, iznosi

KpppT iii 98,1)90,450,4(94,4)()( 12 −=−⋅=−=Δ≅Δ αα . Na osnovu predhodnog može da se uoči da je efekt hlađenja pri izoentropskom širenju vodene pare znatno veći nego u slučaju adijabatskog prigušenja

54

KcvppTTTp

isis 96,11)()()( =Δ=−Δ=Δ−Δ=Δ αα

R7.17. Kako je

ppss T

vcT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α

i

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= vTvT

cpT

ppii

1α

sledi

p

is cv

=−αα ,

tako da je

kgKkJvc

isp 652,2

1049,1002782,0

6 =⋅

=−

= −αα.

R7.18. Kako je

pps

s Tv

cT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α

i

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= vTvT

cpT

ppii

1α ,

Sledi

α

αT

Tv

vT

TvT

v

TvT

vTvT

ppp

p

s

i 111

111 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂

,

gde je pT

vv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1α koeficijent toplotnog širenja pri konstantnom pritisku,

tako da je

131046,1

26,711793

1

1

1 −−⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= KT

s

i

αα

α

R7.19. Iz i, s-dijagrama za vodenu paru nalazi se da je u početnom stanju: v1 = 0,07 m3/kg, i1 = 3445 kJ/kg, s1 = 7,005 kJ/kgK. Slično se dobija interpolacijom (izmedju temperatura 500 i 520 0 C ) iz tablica veličine stanja pregrejanje pare da je za temperaturu od 510 0C i pritisak 5,0 MPa = 50 bara:

v1 = 0,0696 m3/kg, i1 = 3456 kJ/kg, s1 = 7,004 kJ/kgK.

55

Pri ispustu pritisak naglo pada na vrednost pritiska okolne stredine tako da je specifični rad

. S obzirom da je ispust adijabatski proces, promena specifične unutrašnje energije iznosi

)( 1222 vvpvpl −=Δ=)( 12212 vvpluuu −−=−=−=Δ . Promena specifične entalpije pvui += pri

datom procesu je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=−=−+−−=−+−=−=Δ

1

211

1112112212211221212

1

)()()()(

ppvp

vpvpvpvpvvpvpvpuuiii

U datom slučaju je p2

= p0 tako da promena entalpije iznosi:

kgkJ

pp

vpppvpi 04,341

51,01070,0100,511 6

1

011

1

211 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=Δ ,

Tako da je .3115341345612 kgkJuii =−=Δ+=

Iz preseka izoentalpe i2 = 3115 kJ/kg i izobare p2 = p0 = 0,10 MPa nalazi se da je konačna temperatura vodene pare t2 = 321 0C. Do istog rezultata se dobija korišćenjem tablica za vodenu paru. Osim toga, dobija se da je s2 = 8,285 kJ/kgK, tako da je promena specifične entropije Δs = s2 -s1 = 8,285 - 7,005 = 1,280 kJ/kgK. Gubitak specifične eksergije iznosi Δe = - T0 Δs = - T0 (s2 - s1) = -733 kJ/kg. R7.20. Iz T, s- dijagrama za vodonik, za date početne parametre stanja, dobija se: i1 = 963 kJ/kg, s1 = 31,8 kJ/kgK. a) pri izoentropskom širenju (s2 = s1 = 31,8 kJ.kgK) do pritiska p2 = 0,147 MPa vodonik se ohladio do temperature (T2)s = 22 K. Stepen suvoće zasićene pare vodonika pri datim uslovima je x = 0,81. Vodonik se ohladio za (ΔT)s = - 33,5 K. b) pri adijabatskom prigušenju je i1 = i2 = 963 kJ/kg, tako da se iz preseka date izoentalpe s izobarom p2 = 0,147 MPa dobija (T2)i = 43 K i s2 = 43,2 kJ/kgK. Vodonik se ohladio za (ΔT)i = - 12,5 K. R7.21. Iz T, s- dijagrama za vodonik, za date početne parametre stanja, dobijaju se sledeći podaci: a) Is preseka izoentrope s2 = s1 = 31,8 kJ/kgK sa izobarom p2 = 0,589 MPa dobija se da je (T2)s = 29 K. Promena temperature iznosi (ΔT)s = - 26,5 K.

56

b) pri izoentalpijskom širenju (adijabatskom prigušenju) je i1 = i2 = 963 kJ/kg, tako da se iz preseka date izoentalpe s izobarom p2 = 0,589 MPa dobija (T2)i = 45,5 K i s2 = 37,7 kJ/kgK. Vodonik se ohladio za (ΔT)i = - 10,0 K. R7.22. Iz Van der Waals-ove jednačine stanja za n = m/M molova realnog gasa, gde je m-masa gasa a M-njegova molarna masa:

RTnbVVanp =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + )(2

2 , (R7.21.1)

sledi

22vMa

MbvM

RTp −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ,

tako da je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

MbvM

RTp

v

. (R7.21.2)

Pri adijabatskom isticanju u vakuum je du = 0, jer je 0=qδ i 0=lδ , tako da je elementarna promena temperature data izrazom

dvc

TpTp

dvvTdT

v

v

u

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

Konačna promena temperature pri adijabatskom isticanju u vakuum iznosi

dvTpTp

cTTT

vv⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=−=Δ ∫2

112

1 , (R7.21.3)

tako da se smenom izraza (R7.21.2) u (R7.21.3) dobija

)4.21.7(.11

1

21

212

122

2

12222

2

112

Rvvvv

Mca

vvMca

vdv

Mcadv

MbvM

RTvM

a

MbvM

RTc

TTT

vv

vv

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−=Δ ∫∫

Kako je v = V/m i Cv = Mcv, sledi

57

21

21

VVVV

MCmaTv

−⋅=Δ . (R7.22.5)

U datom slučaju je V1 = Va = V = 10-3 m3 i V2 = Va + Vb = 2Va = 2V = 2.10- 3 m3 . Osim toga je Cv =Mcv = 0,044 . 645 J/mol K = 28,38 J/mol K. n = p1 V1 / Ru T1 = 1,013.105 .10-3 / 8,314.290 mol = 0,0420 mol = 4,20.10-2 mol, gde je Ru - univerzalna gasna konstanta. Iz izraza (R7.22.5) sledi da je u balonu temperature opala za

.269,038,281021064,3102,4

22)2(

3

12

2 KVCna

VCVVnaT

vv

−=⋅⋅

⋅⋅⋅−=−=

⋅−

=Δ −

−−

R7.23. Na osnovu izraza (R7.22.5) sledi

KVVVV

Cna

VVVV

MCmaT

vv

16,6201201

1008,21035,11

4

5

21

21

21

21 −=⋅−

⋅⋅⋅⋅

=−

⋅=−

⋅=Δ .

R7.24. Pri adijabatskom širenju u vakuum promena (sinženje) temperature iznosi (R7.22.5) :

21

212

21

21

VVVV

cMma

VVVV

MCmaT

vv

−⋅=

−⋅=Δ .

Kako je 227bapk = i , sledi da je konstanta a u Van der Waals-ovoj jednačini stanja

povezana sa kritičnim parametrima p

bvk 3=

k i vk izrazom: . 23 kkvpa =Obrirom da je:

molm

kgmv

kk

35

33 10466,910958,2

33811 −− ⋅=⋅===

ρ.

sledi

2

4

2

46262 1356,056.13210958,21005,533

molNm

kgNmvpa kk ==⋅⋅⋅⋅== − .

Molarni specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini je:

molK

JMcC vv 99,20656032,0 =⋅== .

Zamenom brojnih vrednosti u izraz (R7.22.5) dobija se da je

KVVVV

MCmaT

v

00,21099,20032,0

)101(1356,011

21

21 −=⋅⋅−⋅⋅

=−

⋅=Δ

58

R7.25. Pri adijabatskom širenju u vakuum promena (sinženje) temperature iznosi (R7.22.5)

21

21

21

21

VVVV

Cna

VVVV

MCmaT

vv

−⋅=

−⋅=Δ ,

gde je, u ovom slučaju, broj molova molTRVpn

u

09,40300134,8

11010,0 6

1

11 =⋅

⋅⋅== .

Kako je bR

aTu

k 278

= i , gde je Rbvk 3= u - univerzalkna gasna konstanta, sledi

2

46 02478,02,33108,79314,8

89

89

molNmTvRa kku =⋅⋅⋅⋅== − .

Pad temperature pri pri adijabatskom širenju vodonika u vakuum u ovom slučaju iznosi

KVVVV

CnaT

v

046,020140,20

)201(02478,009,40

21

21 −=⋅⋅

−⋅⋅=

−⋅=Δ .

R7.26. Na osnovu tabličnih podataka je:

222

015,04

245,04

KA s ==Θ

= i 2

1011

10355,2015,07,16

109,5 −−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⋅⋅

=mA

RAC

Temperatura na kraju procesa adijabatskog razmagnetisavanja iznosi:

KH

RACTT 29,1

)105(10355,2110

12510

21

12 =

⋅⋅⋅+=

⋅+=

−

Uslučaju jačih polja, kada je 121 >>⋅H

RAC , konačna temperatura pri adijabatskom

razmagnetisavanju paramagnetnih soli može približno da se izračuna na osnovu izraza

K

RACH

T

HRACTT 30,1

1 1

1

21

12 =≅

⋅+=

Toplota, koja je oslobođena u procesu izotermnog namagnetisavanja, iznosi:

kgJ

TCHq 7375,0

102)105(109,5

2

2511

1

21 −=

⋅⋅⋅

−=−=−

JnMqmqQ 368,0)7375,0(499,01 −=−⋅⋅=== . R7. 27. Na osnovu tabličnih podataka je

59

26

232

10562,74

)105,5(4

KA s −−

⋅=⋅

=Θ

=

i

2

86

11

10983,710562,79,10

10658,0 −−

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⋅⋅⋅

=mA

RAC ,

tako da temperatura na kraju procesa adijabatskog razmagnetisavanja iznosi:

KH

RACTT 0142,0

)105(10983,712

1258

21

12 =

⋅⋅⋅+=

⋅+=

−.

Kako je kgJ

TCHq 411,0

22)105(10658,0

2

2511

1

21 −=

⋅⋅⋅

−=−=−

, oslobo|ena toplota u procesu

izotermnog namagnetisavanja iznosi:

mJmqQ 5,20)411,0(050,0 −=−⋅== . R7.28. Promena temperature pri izoentropskom širenju

∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δ2

1

2

1

dpdppTT s

s

α ,

gde je s

s pT⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α -koeficijent izoentropskog (reverzibilnog adijabatskog) širenja. Na osnovu

termodinamičke relacijepps T

vcT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ , koja je dokazana u zadatku 4.2, sledi

pps

s Tv

cT

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=α .

U slučaju malih promena pritiska (ili kada αs slabo zavisi od pritiska), dobija se

pTv

cTpT

pps Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δ≅Δ α .

Kako je koeficijent zapreminskog širenja dat relacijom pp

v Tv

Tv

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ρα 1 , sledi

ρα v

pTv

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ ,

tako da je

)( 12 ppcT

pcT

pTv

cTT

p

v

p

v

pp

−=Δ=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δρα

ρα

.

60

R7.29. U slučaju relativno male promene pritiska i kada koeficijent izoentropskog širenja αs slabo zavisi od pritiska, važi sledeća relacija (pogledaj rešenje zadatka 7.28)

pcT

pTv

cTpT

p

v

pps Δ=Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δ≅Δρα

α ,

jer je

ρα v

pTv

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ .

Zamenom brojnih vrednosti u gornju relaciju dobija se da će temperatura vode da poraste za

KppcT

Tp

v 077,010)6,19098,0(1011022,4

)101,6(273)( 633

5

12 =⋅−⋅⋅⋅

⋅−⋅=−=Δ

−

ρα

.

ΔT= 273 (-6,1 x 10 - 5 ) (0,098 - 19,6) x 106 / 4,22 x 103 x 1,00 x 103 K = 0,077 K. R7.30. Promena temperature žive pri datom izoentropskom širenju (pogledati zadatak 7.29) iznosi

KpcT

pTv

cTpT

p

v

pps 125,0

1036,114010)9,4098,0(1081,1273

4

64

−=⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅=Δ=Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δ≅Δ−

ρα

α

8. PROTICANJE I ISTICANJE FLUIDA 8.1. Vazduh temperature t1 = 27 0 C i pritiska p1 = 0,16 MPa ističe iz rezervoara kroz cev preseka A = 50 mm2 u sredinu pritiska p0 = 0,10 MPa. Odrediti: a) parametre vazduha na izlazu iz cevi; b) brzinu isticanja i c) maseni protok. Smatrati da je isticanje izoentropsko. Zanemariti kontrakciju mlaza. Uzeti da je gasna konstanta za vazduh R= 287 J/kgK. (Sept 99) 8.2. Iz rezervoara, pod pritiskom p1 = 0,15 MPa i na temperaturi t1 = 17 0 C, ističe argon kroz mali otvor (pukotinu) preseka A = 1 mm2 u sredinu pritiska p0 = 0,10 MPa. Smatrajući da je isticanje izoentropsko odrediti masu isteklog gasa tokom Δt = 12 h. Zanemariti kontrakciju mlaza. Molarna masa argona je M = 0,040 kg/mol. 8.3. Iz rezervoara, pod pritiskom p1 = 0,70 MPa i na temperaturi t1 = 20 0 C, ističe kiseonik u sredinu pritiska p0 = 0,50 MPa kroz konvergentni mlaznik. Površina poprečnog preseka izlaznog dela mlaznika je A2 =20 mm2. Odrediti maseni protok kiseonika. Smatrati da je kiseonik pri datim uslovima idealan gas, gasne konstante R = 259,7 J/kgK. (Jan ‘05) 8.4. Vazduh na pritisku p1 = 10 bara i temperaturi t1 = 300 0C ističe kroz pravilno dimenzionisan (de Lavalov) mlaznik u okolinu pritiska od p0 = 1 at. Maseni protok vazduha je G = 4 kg/s. Odrediti: a) kritičan pritisak, kritičnu specifičnu zapreminu i kritičnu brzinu, b) minimalan presek mlaznika i c) brzinu i presek na izlazu mlaznika. (Sept ‘90).

61

8.5. Odrediti prečnik kružnog preseka izlaznog dela konvergentnog mlaznika da bi pri ispuštanju azota iz rezervoara, u kome se nalazi pod pritiskom p1 = 0,40 MPa i na temperaturi t1 = 27 0 C, u sredinu pritiska p0 = 0,30 MPa, maseni protok iznosio G = 72,0 kg/h. Gasna konstanta azota je R = 296,9 J/kgK. Smatrati da je azot pri datim uslovima idealan gas. Zanemariti otpore pri proticanju. 8.6. Iz rezervoara, pod pritiskom p1 = 1,20 MPa i na temperaturi t1 = 27 0 C, ističe ugljen dioksid u sredinu pritiska p0 = 0,5 MPa, kroz konvergentni mlaznik. Površina poprečnog preseka na izlazu iz mlaznika je A2 = 30 mm2. Odrediti: a) temperaturu gasa na izlazu iz mlaznika i b) maseni protok gasa. Molarna masa ugljen dioksida je M = 0,044 kg/mol. Eksponent adijabate iznosi k = 1,30. (Jun ‘05) 8.7. Odrediti brzinu isticanja vazduha iz suda u kome se nalazi pod pritiskom p1 = 1,00 MPa i na temperaturi t1 = 27 0 C u sredinu pritiska p0 = 0,1 MPa pri isticanju kroz: a) konvergentni mlaznik i b) konvergentno-divergentni (de Lavalov) mlaznik. Uzeti da je Gasna konstanta R = 287 J/kgK. 8.8. Odrediti površine preseka i odgovarajuće parametre vazduha na mestu najužeg i najšireg dela de Lavalovog mlaznika, ako su pritisak i temperatura vazduha na ulazu u mlaznik p1 = 0,80 MPa, t1 = 17 0 C, respektivno a spoljašnji pritisak p0 = 0,1 MPa. Maseni protok vazduha je G = 3600 kg/h. Gasna konstanta vazduha je R = 287 J/kgK. (Jul ‘05) 8.9. Iz rezervoara, u kome se nalazi pod pritiskom p1 = 1,00 MPa i na temperaturi t1 = 227 0 C, vazduh ističe kroz konvergentni mlaznik u sredinu pritiska p0 = 0,10 MPa. Površina preseka najužeg dela mlaznika iznosi Amin = 20 mm2. Na konvergentni mlaznik se stavi divergentni dodatak (naglavak) tako da se formira de Lavalov mlaznik. Veličina izlaznog preseka tako dobijenog mlaznika je A2 =1,60 A1. Gasna konstanta vazduha je R = 287 J/kgK. Zanemariti trenje i početnu brzinu isticanja vazduha. Odrediti: a) maseni protok iz formiranog mlaznika; b) kritični odnos pritisaka p2/p1 na izlazu iz mlaznika; c) brzinu isticanja iz mlaznika i d) odnos prečnika D2/D1 najšireg i najužeg dela pravilno dimenzionisanog de Lavalovog mlaznika, tako da bude p2 = p0 . 8.10. Proračunati de Lavalov mlaznik i odrediti brzinu isticanja azota iz njega u okolnu sredinu pritiska p0 = 0,1 MPa, ako su pritisak i temperatura na ulazu u mlaznik p1 = 1,6 MPa i t1 = 57 0C, respektivno. Maseni protok gasa je G = 360 kg/h. Smatrati da je isticanje izoentropsko sa zanemarljivom početnom brzinom. Ugao proširenja divergentnog dela mlaznika je 8 0. (Nov 2000) 8.11. Vazduh pod pritiskom od p1 = 1,0 M Pa i temperaturi t1 = 1000 C adijabatski ističe iz konvergentno-divergentnog (de Lavalovog) mlaznika u sredinu pritiska p2 = 0,1 M Pa. Ugao širenja divergentnog dela mlaznika je α = 10 0. Maseni protok vazduha je G = 1,44 . 104 kg/h. Odrediti karakteristične dimenzije mlaznika. (Sept ‘05) 8.12. Parametri vodene pare na ulazu u de Lavalov mlaznik iznose p1 = 0,50 MPa, t1 = 310 0 C. Vodena para se širi do pritiska p2 = 0,030 MPa, pri čemu je stepen suvoće x2 = 0,99. Odrediti: a) brzinu isticanja iz mlaznika i b) stepen dobrote mlaznika. Za vodenu paru je eksponent adijabate k = 1,33. 8.13. Pregrejana vodena para pritiska p1 = 1,2 M Pa i temperature T1 = 573 K adijabatski ističe iz mlaznika u sredinu pritiska p0 = 0,1 M Pa. Na osnovu i, s-dijagrama, drediti brzinu

62

isticanja pare kroz: a) konvergentni mlaznik i b) konvergentno-divergentni (de Lavalov) mlaznik, koji je dobijen tako što je na konvergentni mlaznik stavljen divergentni naglavak. 8.14. Pregrejana vodena para pritiska p1 = 1,2 M Pa i temperature t1 = 300 0 C ističe kroz de Lavalov mlaznik u sredinu pritiska p0 =0,1 M Pa. Na izlazu iz mlaznika stepen suvoće pare je x = 0,98. Odrediti: a) brzinu mlaza na izlazu iz mlaznika; b) promenu specifične entopije pare i c) stepen dobrote mlaznika. R8. REŠENJA.

R8.1. Za vazduh (dvoatomski gas) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Kako je

kpp

ψψ >=== 626,016,01,0

1

0 , sledi da je pritisak na izlazu iz cevi jednak pritisku okolne sredine,

tj. p2 = p0 = 0,10 MPa, tako da je isticanje dozvučno. Obzirom da je isticanje izoentropsko, sledi

sm

pp

kkRT

pp

kkRTw

kk

kk

2,27516,01,01

140,130028740,12

11

211

2

40,1140,1

1

1

01

1

1

212

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

Zaista, brzina isticanja je manja od kritične

sm

kkRT

ww k 9,316140,1

30028740,121

2 12 =

+⋅⋅⋅

=+

=< .

Kako je kgm

pRTv

3

61

11 5381,0

1016,0300287

=⋅⋅

== , pri izoentropskom isticanju specifična zapremina na

izlazu iz cevi iznosi:

kgm

pp

vvk 340,1

11

2

112 7528,0

10,016,05381,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

tako da je

KRvpT 3,266

2877528,0101,0 6

222 =

⋅⋅== ,

što znači da se vazduh na izlazu hladniji za 37,7 K od vazduha u rezervoaru. Maseni protok vazduha je

63

hkg

skg

vwAG 80,6501828,0

7528,02,2751050 6

2

222 ==

⋅⋅==

−

R8.2. Za argon kao jednoatomski gas je: 67,1=k i 484,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Kako

je kpp

ψψ >=== 667,015,010,0

1

0 , sledi da je pritisak na izlazu iz cevi jednak pritisku okolne

sredine, tj. p2 = p0 = 0,10 MPa, tako da je isticanje dozvučno. Obzirom da je isticanje izoentropsko, brzina isticanja iz rezervoara velikog kapaciteta je (w1 ≅ 0):

sm

pp

kkRTw

kk

4,21215,010,01

167,129085,20767,121

12 67,1

167,11

1

212 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−−

gde je gasna konstanta za argon kgK

JR 85,207040,0314,8

== . Specifična zapremina pred otvorom

rezervoara i posle izlaza iz otvora iznosi, respektivno:

kgm

pRTv

3

61

11 4018,0

1015,029085,207

=⋅⋅

==

i

kgm

pp

vvk 367,1

11

2

112 5122,0

10,015,04018,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Maseni protok argona je

hkg

skg

vAw

vwAG 493,1147,4

5122,04,212101 6

2

2

2

222 ==

⋅⋅===

−

,

tako da za vreme od 12 h isteče kgtGm 92,1712493,12 =⋅=Δ=Δ argona. (Na izlazu iz otvora rezervoara temperatura argona je:

CKRvp

RvpT 0

62022

2 6,264,24685,207

5122,01010,0−==

⋅⋅=== .)

R8.3. Za kiseonik (k = 1,40) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Kako je

kpp

ψψ >=== 714,070,050,0

1

0 , sledi da je pritisak na izlazu iz cevi jednak pritisku okolne sredine,

tj. p2 = p0 = 0,50 MPa, tako da je isticanje dozvučno (w < wk ). Brzina isticanja iz rezervoara velikog kapaciteta je (w1 ≅ 0):

64

sm

pp

kkRTw

kk

0,22170,050,01

140,12937,25940,121

12 40,1

140,11

1

212 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

−⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−−

Zaista, brzina isticanja je dozvučna jer je

sm

kkRTww k 9,297

140,12937,25940,12

12 1

2 =+

⋅⋅⋅=

+=< .

Specifične zapremine na ulazu u malznik i na njenom izlazu iznose, respektivno

kgm

pRTv

3

61

11 1087,0

1070,02937,259

=⋅⋅

== ,

i

kgm

pp

vvk 340,1

11

2

112 1382,0

50,070,01087,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

tako da je maseni protok kiseonika

hkg

skg

vwAG 1,11503198,0

1382,02211020 6

2

222 ==

⋅⋅==

−

.

R8.4. Za vazduh (k = 1,40) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ , tako da je

kpp

ψψ <=⋅

== 098,002,110

1

1

0 , jer je 1bar=1,02 at., tako da je isticanje sa kritičnom brzinom.

a) Kritični parametri vazduha su: MPabarpp kk 528,028,5528,0101 ==⋅== ψ ,

kgmv

pp

vvkk

kk

31

1

1

11 259,0

28,510

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

gde je

kgm

pRTv

3

61

11 1643,0

1015737,286

=⋅⋅

== ,

sm

kkRT

wk 8,437140,1

5737,28640,121

2 1 =+

⋅⋅⋅=

+=

65

b) 223min 236610366,2

8,437259,04 mmm

wGv

Ak

k =⋅=⋅

== −

c) Pri isticanja iz pravilno dimenzionisanog (de Lavalovog) mlaznika (do pritiska p2 = p0 = 1 at brzina je nadzvučna

sm

pp

kkRT

pp

kkRTw

kk

kk

8,74602,110

11140,1

5737,28640,12

11

211

2

40,1140,1

1

1

01

1

1

212

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−⋅−

⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

kgm

pp

vvk 34,1

11

0

112 863,0

102,1101643,0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

223

2

22 462210622,4

8,746863,04 mmm

wGv

A =⋅=⋅

== −

R8.5. Za azot (k = 1,40) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Kako je

kpp

ψψ >=== 75,040,030,0

1

0 , sledi da je pritisak na izlazu iz cevi jednak pritisku okolne sredine, tj.

p2 = p0 = 0,30 MPa, tako da je isticanje dozvučno (w < wk). Brzina isticanja iz rezervoara velikog kapaciteta (w1 ≅ 0) je:

sm

pp

kkRTw

kk

8,22140,030,01

140,13009,29640,121

12 40,1

140,11

1

212 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

.

Zaista, brzina isticanja je dozvučna jer je

sm

kkRTww k 4,322

140,13009,29640,12

12 1

2 =+

⋅⋅⋅=

+=< .

Specifična zapremina na ulazu u malznik je kgm

pRTv

3

61

11 2227,0

1040,03009,296

=⋅⋅

== , a na izlazu iz

mlaznika je kgm

pp

vvkk 311

2

112 2735,0

30,040,02227,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , tako da je

66

226

2

22 66,241066,24

8,2212735,0)3600/72( mmm

wGv

A =⋅=⋅

== −

Prečnik na izlazu iz mlaznika je: mmAD 60,514,366,2422 2

2 =⋅=⋅=π

.

R8.6. Za ugljen dioksid (k = 1,30) je 546,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ .

Obzirom da je kpp

ψψ <=== 417,02,150,0

1

0 , sledi da je isticanje sa kritičnom brzinom

sm

kkRTww k 1,253

12 1

2 =+

==

gde je gasna konstanta za ugljen dioksid R = 8,314/ 0,044 J/kgK = 188,95 J/kgK. Specifična zapremina na ulazu u mlaznik je

kgm

pRTv

3

1

11 0472,0==

Na izlazu iz mlaznika pritisak je jednak kritičnom pritisku p2 = p k = p1ψk = 0,655 Mpa, tako da je specifična zapremina na izlazu iz mlaznika

kgm

pp

vpp

vvk

k

k 31

11

1

2

112 0752,0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Maseni protok ugljen dioksida je

hkg

skg

vwA

G 5,3631010,02

22 === .

Kako je isticanje iz mlaznika adijabatsko (izoentropsko) temperatura ugljen dioksida na izlazu iz mlaznika iznosi

Kpp

TTk

k

k 9,260

1

112 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

.

odnosno t2 = -12,10 0C.

67

R8.7. Za vazduh je (k = 1,40) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ .

a) Obzirom da je kpp

ψψ <=== 1,000,11,0

1

0 , sledi da je isticanje sa kritičnom brzinom (do pritiska

p2 = pk = ψk p1 = 0,528 MPa > p0 )

sm

kkRTww k 9,316

140,130028740,12

12 1

2 =+

⋅⋅⋅=

+== .

b) Pri isticanju iz de Laval-ovog mlaznika (do pritiska p2 = p0 = 0,10 MPa) brzina je

nadzvučna

sm

pp

kkRT

pp

kkRTw

kk

kk

0,53900,11,01

140,130028740,12

11

211

2

40,1140,1

1

1

01

1

1

212

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

R8.8. Za vazduh je (k = 1,40) je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Obzirom da je

kpp

ψψ <=== 1,080,01,0

1

0 , sledi da je u najužem delu mlaznika pritisak jednak kritičnom brzinom

pritisku , tako da je brzina strujanja u najužem delu mlaznika jednaka kritičnoj brzini (jednakoj mesnoj brzini zvuka)

MPappp kk 4224,0528,01080,0 61min =⋅⋅=== ψ

sm

kkRTww k 6,311

140,129028740,12

12 1

min =+

⋅⋅⋅=

+== .

Ostali parametri vazduha su:

kgm

pp

vvvkk

kk

311

11min 1641,0

4224,080,0104,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

gde je specifična zapremina vazduha na ulazu u mlaznik

kgm

pRTv

3

61

11 1040,0

1080,0290287

=⋅⋅

==

i

KRvp

TT kkk 5,241

2871641,0104224,0 6

min =⋅⋅

=== .

68

Kako je G = Aw/v, površina preseka najužeg dela de Laval-ovog mlaznika iznosi

2min 527

6,3111641,0)3600/3600( mm

wGv

Ak

k =⋅

== .

Obzirom da je u najužem delu mlaznika brzina jednaka lokalnoj brzini zvuka, isticanje iz de Laval-ovog mlaznika do pritiska okolne sredine (p2 =p0 = 0,50 MPa) biće nadzvučnom brzinom:

sm

pp

kkRT

pp

kkRTw

kk

kk

9,5108,01,01

140,129028740,12

11

211

2

40,114,1

1

1

01

1

1

212

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

Ostali parametri vazduha na izlazu iz mlaznika su:

kgm

pp

vpp

vvkk 340,1

11

0

11

1

2

112 4593,0

1,080,01040,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

CKpp

Tpp

TT

kk

kk

k

040,111

1

01

1

1

212 1131,160

80,01,0290 −==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

Najveći (izlazni) presek mlaznika je

2

2

22 899

9,5104593,0)3600/3600( mm

wGv

A =⋅

== .

(Prečnik na izlazu iz mlaznika je za 30,6% ve}i od prečnika najužeg dela cevi.

306,1527899

min

2

min

2 ===AA

DD

)

R8.9. Pri isticanju vazduha (k=1,40) iz konvergentnog mlaznika je:

528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Obzirom da je 528,010,0

00,11,0

1

0 =<=== kpp

ψψ , sledi da je

brzina na izlazu iz mlaznika jednaka kritičnoj brzini, tj. lokalnoj brzini zvuka:

sm

kkRT

ww k 2,409140,1

50028740,121

2 12 =

+⋅⋅⋅

=+

== ,

a pritisak jednak kritičnom pritisku, koji j eveći od pritiska okolne sredine p0

69

06

12 528,0528,01000,1 pMPappp kk >=⋅⋅=== ψ .

Kako je kgm

pRTv

3

61

11 1435,0

1000,1500287

=⋅⋅

== , i kako je isticanje adijabatsko, sledi

kgm

pp

vvvk

k

34,111

2

112 2264,0

528,000,11435,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== .

Temperatura vazduha na izlazu iz mlaznika jednaka je kritičnoj temperaturi

KRvp

TT kkk 5,416

2872264,010528,0 6

2 =⋅⋅

=== .

Maseni protok kroz mlaznik je

hkg

skg

vwAGGG 1,13003615,0

2264,02,4091020 6

2

2minmin2 ==

⋅⋅====

−

.

Stavljanjem divergentnog dela (naglavka) na konvergentni mlaznik brzina proticanja kroz najuži deo tako dobijenog de Laval-ovog mlaznika neće da se promeni wmin = w2’ = 409,2 m/s, što važi i za maseni protok G’ = G = 0,03615 kg/s. Kako je maseni protok pri adijabatskom isticanju dat izrazom:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅=

++k

kkk

kk

pp

pp

RTkkpA

pp

pp

vp

kkAG

1

1

2

2

1

2

112

1

1

2

2

1

2

1

12

' 11

21

2

Zamenom brojnih vrednosti dobija se

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+ 714,1

1

2

428,1

1

2

1

1

2

2

1

2 2235,02235,003615,0pp

pp

pp

pp k

kk

,

odakle se grafičkom metodom, iz grafika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2

ppGG , dobija da je 14,0

1

2 =pp

. Pritisak na izlazu

iz mlaznika je veći od pritiska okolne sredine: p2 = 0,14 MPa > p0. Brzina isticanja vazduha iz mlaznika je je nadzvučna

( )sm

pp

kkRT

wk

k

0,65714,01140,1

50028740,1211

240,1

14,11

1

21'2 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅

−⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−−

70

Vazduh bi se širio do pritiska okolne sredine ukoliko bi odnos pritisaka iznosio 10,01

0

1

2 ==pp

pp

.

U tom slučaju površina preseka izlaznog dela mlaznika trebala bi da bude

2

40,1140,1

40,12

6

1

1

0

2

1

0

11

1

1

2

2

1

2

11

'2

6,38

00,11,0

00,11,0

5002871

140,140,12101

03615,0

11

211

2

mm

pp

pp

RTkkp

G

pp

pp

RTkkp

GAk

kkk

kk

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

⋅−

⋅⋅⋅

=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

+

++

odnosno . 1

'2 93,1 AA ⋅=

Znači, mlaznik je dobro proračunat ako je 389,193,11

2

1

2 ===AA

DD

.

U tom slučju vazduh bi iz ovog mlaznika isticao sa nadzvučnom brzinom

( ) '240,1

14,1

1

1

01

1

1

21''2

9,6951,01140,1

50028740,12

11

21

12

wsm

pp

kkRT

pp

kkRT

wk

kk

k

>=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

−⋅⋅⋅

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

R8.10. a) Za azot (k = 1,40) je je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ , tako da kritičan pritisak,

koji se ustanovljava na mestu minimalnog preseka mlaznika iznosi . Kako je za azot je R = 296,9 J/kg, specifična

zapremina na ulazu u mlaznik je

MPapp kk 528,0528,01000,1 61 =⋅⋅== ψ

kgm

pRTv

3

61

11 0612,0

106,13309,296

=⋅⋅

== , a kritična vrednost

specifične zapremine iznosi

kgm

pp

vvk

kk

34,111

11 1351,0

528,06,10612,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Teorijska vrednost kritične brzine iznosi

sm

kkRTwk 1,338

140,13309,29640,12

12 1 =

+⋅⋅⋅

=+

= .

71

Površina kružnog preseka najužeg dela mlaznika je

2min 0,40

1,3381351,0)3600/360( mm

wGv

Ak

k =⋅

== ,

tako da prečnik kružnog preseka najužeg dela mlaznika iznosi

mmAd 14,72 minmin ==

π.

Na izlazu iz mlaznika specifična zapremina i brzina iznose, respektivno:

kgm

pp

vvk 34,1

11

0

112 4434,0

1,06,10612,0 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

k

kk

kk

wsm

pp

kkRT

pp

kkRTw

>=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

6,6126,11,01

140,13309,29640,12

11

211

2

40,114,1

1

1

01

1

1

212

Površina preseka izlaznog dela mlaznika je

2

2

22 4,72

6,6124434,0)3600/360( mm

wGv

A =⋅

==

a prečnik kružnog izlaznog preseka je

mmAd 60,914,3

4,7222 22 =⋅=⋅=

π.

72

Jednostavno se nalazi (slika R8.1) da dužina divergentnog dela mlaznika (naglavak), koja je jednaka rastojanju između mesta najveđeg i najmanjeg preseka mlaznika, treba da bude:

mmtgtg

ddl 6,17

4214,760,9

22

0min2 =

⋅−

=⋅

−=

α.

R8.11. a) Za vazduh (k = 1,40) je je 528,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ , tako da kritičan pritisak, koji

se ustanovljava na mestu minimalnog preseka mlaznika iznosi . Kako je za vazduh R = 287 J/kg, specifična

zapremina na ulazu u mlaznik je

MPapp kk 528,0528,01000,1 61 =⋅⋅== ψ

kgm

pRTv

3

61

11 1070,0

100,1373287

=⋅⋅

== , a kritična vrednost specifične

zapremine je

kgm

pp

vvk

kk

34,111

11 1688,0

528,00,11070,0 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Kritična brzina je

sm

kkRTwk 4,353

140,137328740,12

12 1 =

+⋅⋅⋅

=+

= .

Površina kružnog preseka najužeg dela mlaznika je

24

min 6,19104,353

1688,0)3600/1044,1( mmw

GvA

k

k =⋅⋅

== ,

tako da prečnik kružnog preseka najužeg dela mlaznika iznosi

mmAd 3,492 minmin ==

π.

Na izlazu iz mlaznika specifična zapremina i brzina iznose, respektivno:

73

kgm

pp

vvk 34,1

11

0

112 5542,0

1,00,11070,0 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

k

kk

kk

wsm

pp

kkRT

pp

kkRTw

>=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

−

−−

0,6010,11,01

140,137328740,12

11

211

2

40,114,1

1

1

01

1

1

212

Površina preseka izlaznog dela mlaznika je

24

2

22 5,3688

0,6015542,0)3600/1044,1( mm

wGvA =

⋅⋅==

a prečnik kružnog izlaznog preseka je

mmAd 5.6814,3

5,368822 22 =⋅=⋅=

π.

Jednostavno se nalazi (slika R8.1) da dužina divergentnog dela mlaznika (naglavak), koja je jednaka rastojanju između mesta najvećeg i najmanjeg preseka mlaznika, treba da bude:

mmtgtg

ddl 7,10952

3,495,68

22

0min2 =

⋅−

=⋅

−=

α.

R8.12. Iz i, s-dijagrama za vodenu paru nalazi se: za p1 = 0,5 MPa i t1 = 3100 C je v1 = 0,55 m3/kg, i1 = 3080 kJ/kg, s1 = 7,500 kJ/kgK; za p2 = 0,03 MPa i x = 0,99 (t2 ≅ 70 0C) je i2 = 2600 kJ/kg, s2 = 7,700 kJ/kgK. Slično, iz tablica veličine stanja pregrejane pare nalazi se

4 bara t (0C) v (m3/kg) i (kJ/kg) s (kJ/kgK) 300 0,6547 3065 7,560 320 0,6784 3106 7,631

6 bara t (0C) v (m3/kg) i (kJ/kg) s (kJ/kgK) 300 0,4345 3059 7,366 320 0,4505 3101 7,437

odakle se interpolacionim postupkom dobija

5 bara

74

t (0C) v (m3/kg) i (kJ/kg) s (kJ/kgK) 310 0,5546 3083 7,497

Iz tablica veličine stanja ključale vode i suve pare u zavisnosti od p je za p2 = 0,03 MPa = 0,3 bara, t2 = 69,12 0C, i2

’= 289,29 kJ/kg, i2’’= 2625 kJ/kg, s2

’= 0,9441 kJ/kgK, s2’’= 7,767kJ/kgK.

Za datu vrednost stepena suvoće x2 = 0,99 je kgkJxiiii 260299,0)29,2892625(29,289)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+=

i KkgkJxssss 699,799,0)9441,0767,7(9441,0)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+= .

Ukoliko prihvatimo kao preciznije vrednosti koje su dobijene iz tablica, sledi da je brzina isticanja

smiiw 8,98010)26023083(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= .

Proces isticanja, zbog postojanja sila trenja (otpora) je ireverzibilan s porastom entropije 0202497,7699,712 >=−=−=Δ kgKkJsss .

U slučaju da je proces isticanja izoentropski (Slika R8.2) s2* = s1 = 7,497 kJ/kgK, pri širenju do

istog pritiska (p2* = p2 = 0,030 MPa) stepen suvoće iznosio bi

96,09441,0767,79441,0497,7

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=∗

∗

ssss

ssssx ,

a krajnja vrednost entalpije iznosila bi

kgkJxiiii 253296,0)29,2892625(29,289)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+= ∗∗

Stepen dobrote mlaznika iznosi:

87,02532308326023083

21

21 =−−

=−−

= ∗iiii

η .

75

R8.13. a) Za vodenu paru (k = 1,33) je 540,01

2 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

−kk

kk kp

pψ . Kako je

kpp

pp

ψψ <==== 083,02,11,0

1

0

1

2 , pritisak na izlazu iz mlaznika jednak je kritičnom pritisku

. MPappp kk 648,0540,0102,1 612 =⋅⋅=== ψ

Ulazni parametri pare za p1 = 1,2 M Pa =12 bara i t1 = 300 0C , na osnovu i, s-dijagrama, iznose: s1 = 7,060 kJ/kgK i i1 = 3060 kJ/kg. Za adijabatsko isticanje, dobija se [iz preseka izoentrope s = s1 = const = 7,060 kJ/kgK i izobare p = pk = 0,648 MPa (Slika R8.3)] da je i2 = ik = 2912 kJ/kg, tako da brzina na izlazu iz konvergentnog mlaznika iznosi:

smiiiiww kk 54410)29123060(2)(2)(2 31212 =⋅−⋅=−⋅=−⋅==

U slučaju isticanja kroz de Laval-ov mlaznik pritisak na izlazu je p2* = p0 = 0,1 MPa. Iz preseka izoentrope s = s2* = s1 = const=7,060 kJ/kgK i izobare p = p2* = p0 = const = 0,1 MPa, dobija se i2* = 2560 kJ/kg, tako da je brzina isticanja vodene pare nadzvučna

smiiw 100010)25603060(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= ∗∗

Vodena para na izlazu iz mlaznika je vlažna stepena suvoće x2* = 0,947.

R8.14. A) Na osnovu i, s - dijagrama, za p1 = 1,2 M Pa i t1 = 3000 C se dobija s1 = 7,060 kJ/kgK, i1 = 3060 kJ/kg, a za p2 = p0 = 0,1 M Pa i x2 = 0,98 sledi s2 = 7,263 kJ/kgK i i2 = 2635 kJ/kg, tako da je a) brzina isticanja iz mlaznika

smiiw 92210)26353060(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= ;

76

b) povećanje entropije usled ireverzibilnosti procesa isticanja 0203060,7263,712 >=−=−=Δ kgKJsss . c) U slučaju da je isticanje izoentropsko do pritiska p2* = p0 = 0,1 M Pa vodena para na izlazu iz mlaznika bi bila stepena suvoće x2* = 0,947 , entropije i2* = 2560 kJ/kg a brzina isticanja smiiw 100010)25603060(2)(2 3

212 =⋅−⋅=−⋅= ∗∗ . Stepen dobrote mlaznika iznosi:

85,02560306026353060

21

21 =−−

=−−

= ∗iiii

η .

B) Korišćenjem tablica za pregrejanu vodenu paru i tablica za zasićenu vodenu paru dobija se da je za p1 = 1,2 M Pa=12 bara i t1 = 3000 C s1 = 7,025 kJ/kgK i i1 = 3042 kJ/kg, a za p2 = p0 = 0,1 M Pa = 1 bar je s2’ = 1,3025 kJ/kgK, s2’’ = 7,359 kJ/kgK, i2’ = 417,51 kJ/kg, i2’’ = 2675 kJ/kg. Kako je x2 = 0,98, entalpija pare na izlazu iz mlaznika ima vrednost

kgkJxiiii 263098,0)51,4172675(51,417)( 2'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+=

tako da brzina isticanja vodene pare iznosi

smiiw 90810)26303042(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= .

Entropija na izlazu iz mlaznika je

kgkJxssss 2378,798,0)3025,1359,7(3025,1)( 2'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+= ,

tako da je promena entropije usled ireverzibilnosti

0253025,7278,712 >=−=−=Δ kgKJsss U slučaju da je isticanje reverzibilno a time i izoentropsko (s2* = s1= 7,025 kJ/kgK) stepen suvoće pare na izlazu iz mlaznika bio bi

944,03025,1359,73025,1025,7

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=∗

∗

ssss

ssssx ,

tako da bi entalpija pare na izlaznom preseku iznosila

kgkJxiiii 2548944,0)51,4172675(51,417)( 2'2

''2

'22 =⋅−+=⋅−+= ∗∗ .

Brzina isticanja vodene pare iznosila bi

smiiw 99410)25483042(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= ∗ .

77

Stepen dobrote mlaznika je .83,02548304226303042

21

21 =−−

=−−

= ∗iiii

η

Pore|enjem dobijenih rezultata korišćenjem i, s-dijagrama i odgovarajućih tablica uočava se da se rezultati razlikuju se za svega nekoliko procenata.

9. PROCESI U KOMPRESORIMA 9.1. Jednostepeni kompresor vrši sabijanje vazduha od pritiska p1 = 0,1 M Pa i temperature t1 = 27 0C do pritiska p2 = 10 M Pa. Odrediti vrednost rada koji se utroši za pogon kompresora po jedinici zapremine usisanog vazduha ukoliko se sabijanje vrši politropski s ekspnentom n = 1,30. 9.2. Idealni jednostepeni kompresor sabija ΔV/Δτ = 500 m3/h vazduha po adijabati od pritiska p1 = 0,1 M Pa i temperature t1 = 27 0 C do pritiska p2 = 0,6 M Pa. Odrediti: a) temperaturu na kraju procesa adijabatskog sabijanja i b) teorijsku snagu motora kompresora. 9.3. Kompresor usisava vazduh pritiska p1 = 0,1 M Pa i temperature t1 = 30 0 C i sabija ga do pritiska p2 = 0,6 MPa. Zapremina usisanog vazduha, pri normalnim uslovima, za vreme Δτ = 1 h iznosi ΔV0 = 1000 m3. Odrediti: a) teorijsku snagu motora za pogon kompresora pri politropskom sabijanju (n = 1,25); b) temperaturu sabiujenog vazduha i c) zapreminu sabijenog vazduha koji se na izlazu iz kompresora dobija tokom 1 h. 9.4. Kompresor usisava 1200 m3/h vazduha pri pritisku od p1 = 0,1 M Pa i temperaturi t1 = 170 C i sabija do pritiska p2 = 1,2 M Pa. Odrediti: a) temperaturu sabijenog vazduha; b) zapreminu sabijenog vazduha tokom jednog časa na izlazu iz kompresora; c) teorijsku snagu motora kompresora i d) masu vode koja se tokom 1 h utroši za hlađenje kompresora. Voda se pri tome zagreje za Δt0 =15 0 C . Sabijanje se vrši po politropi eksponenta n = 1,20. Specifični toplotni kapaciteti vazduha i vode iznose cv = 0,720 kJ/kg i c0 = 4,19 kJ/kg. (Jun ‘02) 9.5. Kompresor stepena kompresije β = 10 sabija vazduh pritiska p1 = 0,1 MPa i temperature t1 = 27 0C. Pri normalnim uslovima kompresor usisava 1500 m3/ h vazduha. Sabijanje se vrši izotermno. Odrediti: a) zapreminu sabijenog vazduha tokom jednog časa na izlazu iz kompresora; b) snagu motora kompresora; c) masu vode koja se tokom 1 h utroši za hlađenje kompresora. Voda se pri tome zagreje za Δt0 = 20 0 C . Specifični toplotni kapaciteti vazduha i vode iznose cv = 0,720 kJ/kg i c0 = 4,19 kJ/kg, respektivno. 9.6. Vazduh pritiska p1 = 0,1 M Pa i temperature t1 = 27 0 C adijabatski se sabija do pritiska p2 = 1,0 M Pa. Odrediti temperaturu na kraju sabijanja i teorijski specifični rad utrošen za pogon kompresora u slučaju: a) jednostepenog kompresora i b) dvostepenog kompresora s međustepenim hlađenjem. 9.7. Trostepeni kompresor sabija 500 m3/h vazduha od pritiska p1 = 0,1 MPa do pritiska p2 = 8 MPa. Odrediti teorijsku snagu motora kompresora ako se sabijanje vrši po politropi eksponenta n = 1,30.

78

R9. REŠENJE. R9.1. Rad koji izvrši kompresor pri politropskom sabijanju gasa mase m iznosi:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−⋅==

−−

11

11

1

1

211

1

1

211

nn

nn

kk ppVp

nn

ppvp

nnmmlL ,

tako da je rad po jedinici zapremine gasa

3

30,1130,1

6

1

1

21, 2,12541

1,010101,0

130,130,11

1 mkJ

ppp

nnL

nn

Vk =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

−−

Temperatura na kraju procesa politropskog sabijanja iznosi:

Kpp

TTn

n

3,8681,0

1030030,1

13,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

R9.2. a) Temperatura na kraju procesa politropskog sabijanja iznosi:

Kpp

TTk

k

6,5001,06,0300

40,114,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

.

b) Teorijska snaga motora kompresora iznosi:

kW

Vppp

kkP

kk

k

5,32

36005001

1,06,0101,0

140,140,11

14,1

14,1

61

1

1

21

=

=⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−=

ΔΔ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

−−

τ

R9.3. a) Snaga motora kompresora je

ττττ ΔΔ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−====

−

1

1

1

21

1, 1

1V

ppp

nn

ddVl

ddml

ddL

Pn

n

vkkk

k .

Kako je količina uslisanog vazduha nezavisna od spoljašnjih uslova sledi 001

101 V

TpTp

V ⋅= , gde su p0

= 0,1013 MPa, T0 = 273 K, i V0 parametri vazduha pri normalnim uslovima. Iz predhodnog sledi da je zapremina usisanog vazduha pri pritisku p1 = 0,1 M Pa i temperaturi t1 = 300 C

79

hmmV

TpTpV 33

6

60

01

101 11243

312,036001000

273101,0303101013,0

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅⋅⋅⋅

=ΔΔ⋅=

ΔΔ

ττ,

tako da snaga kompresora, kada se sabijanje vrši pri politropskom procesu s eksponentom n = 1,25 iznosi

kW

Vppp

nnP

nn

k

23,67

312,011,06,0101,0

125,125,11

125,1

125,1

61

1

1

21

=

=⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−=

ΔΔ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

−−

τ

b) Temperatura vazduha na kraju procesa politropskog sabijanja je

Kpp

TTn

n

4,4331,06,0303

25,1125,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

.

c) Kako je 1

1

1

21

1

1

2

2

11

12

212 V

pp

Vpp

pp

VTpTp

Vnn

n−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅= ,

sledi

hmV

ppV n 325,1

1

1

1

1

22 1,26811241,06,0

=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

ΔΔ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΔΔ

−−

ττ,

tako da zapremina sabijenog vazduha na izlazu iz kompresora tokom 1 h iznosi

322 1,26811,2681 m

VV =⋅=Δ⋅

ΔΔ

=Δ ττ

R9.4. a) Temperatura vazduha na kraju procesa politropskog sabijanja je

Kpp

TTn

n

8,4381,02,1290

20,1120,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

b) Kako je h

mVppV n 320,1

1

1

1

1

22 3,15112001,02,1

=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

ΔΔ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΔΔ

−−

ττ,

zapremina sabijenog vazduha koja se na izlazu iz kompresora dobija tokom 1 h iznosi

32

2 3,15113,151 mV

V =⋅=Δ⋅ΔΔ

=Δ ττ

.

c) Snaga kompresora, kada se sabijanje vrši pri politropskom procesu s eksponentom n = 1,20 iznosi

80

( )

kW

Vppp

nnP

nn

k

6,102

3600120011,02,1101,0

120,120,11

120,1

120,1

61

1

1

21

=

=⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−=

ΔΔ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

−−

τ

d) Količina toplote koju tokom procesa politropskog sabijanja oslobodi vazuh mase m primi voda za hlađenje mase m0 pri čemu joj se temperatura povisi za Δt0

( ) 000121tcmTTc

nknm v Δ=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−−

⋅ .

odakle je

10

12

1

1

00 1

VtTT

nkn

RTp

cc

m v ⋅Δ−

⋅−−

⋅= ,

jer je 11

1 VRTpm = . Posle diferenciranja gornjeg izraza, sledi

hkg

skg

VtTT

nkn

RTp

ccm v

2458683,036001200

152908,438

120,140,120,1

290287101,0

19,4720,0

16

1

0

12

1

1

0

0

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅

−−

⋅⋅⋅

=

=ΔΔ⋅

Δ−

⋅−−

⋅=ΔΔ

ττ

R9.5. a) Kako je 112

12

1 VVpp

Vβ

== i kako je 001

101 V

TpTp

V ⋅= ,

sledi

001

1012

11 VTpTp

VV ⋅==ββ

,

tako da je

hmV

TpTp

VV 3

6

60

01

101

2 6,1671500272101,0

300101013,010111

=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=ΔΔ⋅⋅==

ΔΔ

τββτ.

b) U slu~aju isotermnog sabijanja je βlnln 11

211 RT

ppVplk == . Kako je

ττ ddV

RTp

ddm 0

0

0= ,

snaga motora kompresora iznosi

81

( ) ( )

( ) kW

ddV

Tp

TddV

RTp

RTddmlP kk

8,10636001500

273101013,010ln300

lnln

6

0

0

01

0

0

01

=⋅⋅

⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅==τ

βτ

βτ

c) Oslobođenu toplotu tokom izotermnog sabijanja Q = Lk = mRT1lnβ prima za hlađenje voda mase m0, pri čemu se zagreje za Δt0:

( )mRTtcm βln1000 =Δ , odakle je

hkg

ddV

Tp

tcT

ddV

RTp

tcRT

ddm

tcRT

ddm

45881500273

101013,0201019,4

10ln300

lnlnln

6

3

0

0

0

00

10

0

0

00

1

00

10

=⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=

=⋅Δ

=⋅Δ

=⋅Δ

=τ

βτ

βτ

βτ

R9.6. a) Kpp

TTk

k

2,5791,00,1300

40,1140,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

;

kgkJ

ppRT

kkl

kk

k 1,14311,00,1300287

14,14,11

14,1

14,11

1

21 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

−−

.

b) Stepen kompresije svakog stepena je 162,31,00,1

1

2

1

'2 ====

pp

pp

iβ .

Temperatura na kraju svakog stepena iznosi:

KTpp

TT kk

i

kk

8,416)162,3(300 40,1140,11

1

1

1

'2

1'

2 =⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

−

β .

Ukupan specifični rad iznosi:

( )kgkJRT

kkll k

k

ikik 7,2341162,330028714,1

4,1211

22 4,114,11

1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅

−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅

−⋅==

−−

β

R9.7. Stepen kompresije svakog stepena je

309,41,0

8 31

31

1

2

1

'2 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

pp

pp

iβ .

Rad po jedinici zapremine u svakom stepenu kompresora iznosi:

82

( ) 33,1

13,16

1

1, 7,1731309,4101,013,1

3,111 m

kJpn

nl nn

ivki =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅

−=

−−

β .

Za trostepeni kompresor ukupan rad po jedinici zapremine usisanog vazduha iznosi:

3,, 1,5217,17333mkJll vkivk =⋅==

Teorijska snaga motora za pogon kompresora je

.4,7236005001,5213 ,, kW

ddVl

ddVl

ddL

P vkvkik

k =⋅====τττ

10. MOTORI SA UNUTRAŠNJIM SAGOREVANJEM 10.1. Motor radi po idealnom Otto-ovom ciklusu (s dovođenjem toplote pri v = const). Početno stanje radnog tela (dvoatomski idealan gas gasne konstante R=287 J/kgK) je p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Stepen kompresije je ε = 4,5 a stepen povećanja pritiska je ψ = 1,60. Odrediti : a) parametre radnog tela u karakterističnim tačkama ciklusa i b) termički koeficijent iskorišćenja (TKI) ciklusa. 10.2. Motor radi po idealnom Otto-ovom ciklusu (s dovođenjem toplote pri v= const). Radno telo je dvoatomski idealan gas gasne konstante R=287 J/kgK. Maksimalne vrednosti pritiska i temperature tokom ciklusa iznose pmax = 1,60 MPa i tmax = 927 0 C, respektivno. Početne (minimalne) vrednosti pritiska i temperature su pmin = 0,10 Mpa i tmin = 27 0 C, respektivno. Odrediti: a) specifičan koristan rad ciklusa i b) TKI ciklusa. 10.3. Toplotni motor radi po idealnom Otto-ovom ciklusu sa dvoatomskim idealnim gasom kao radnim telom. Početni pritisak i početna temperatura ciklusa iznose p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Stepen kompresije je ε = 5,0. Dovedena količina toplote po ciklusu iznosi Q1 = 50 kJ. Za vreme od 1 minuta radilica napravi n = 300 obrtaja. Odrediti: TKI ciklusa; b) odvedenu količinu toplote i c) idealnu snagu motora. 10.4. Jednocilindrični motor radi po ciklusu s dovođenjem toplote pri v = const (Otto=ov ciklus). Početno stanje radnog tela (vazduh) je p1 = 0,10 MPa i t1 = 17 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 4,8. Specifična dovedena količina toplote je q1 = 500 kJ/kg. Prečnik cilindra motora je D = 200 mm, hod klipa je h = 300 mm. Za vreme od 1 minuta radilica napravi n = 1000 obrtaja. Tokom jednog ciklusa radilica napravi dva obrtaja (pogledati indikatorski dijagram). Odrediti: a) TKI ciklusa i b) teorijsku snagu motora. 10.5. Toplotni motor radi po ciklusu s dovođenjem toplote pri p = const (Diesel-ov ciklus). Početni parametri radnog tela (vazduh) su p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 10,0 a stepen predekspanzije ρ = 1,6. Odrediti: a) parametre stanja radnog tela u karakterističnim tačkama ciklusa i b) TKI ciklusa. 10.6. Toplotni jednocilindrični motor radi po Diesel-ovom ciklusu sa vazduhom kao radnim telom. Početna temperatura radnog tela je 20 0C. Temperatura radnog tela posle adijabatske kompresije iznosi 550 0C a posle adijabatske ekspanzije 350 0C. Odrediti; a) stepen

83

kompresije i stepen predekspanzije; b) TKI ciklusa i c) odnos TKI ovog ciklusa i Carnot-ovog ciklusa između istih ekstremnih temperatura. 10.7. Toplotni motor radi po ciklusu s dovođenjem toplote pri p = const (Diesel-ov ciklus). Početni parametri radnog tela (vazduh) su p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 12,0, dok je specifična dovedena količina toplote q1 =500 kJ/kg. Odrediti: a) TKI ciklusa i b) specifičan koristan rad ciklusa. 10.8. Toplotni jednocilindrični motor radi po Diesel-ovom ciklusu sa vazduhom kao radnim telom. Početni parametri stanja radnog tela su p1 = 0,09 MPa i t1 = 47 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 11,0, a stepen predekspanzije ρ = 1,2. Prečnik cilindra motora je D = 300 mm a hod klipa je h = 200 mm. Za vreme od 1 minuta radilica napravi n = 600 obrtaja. Odrediti: a) razmenjene količine toplote po ciklusu; b) koristan rad ciklusa; c) TKI ciklusa i d) teorijsku snagu motora. 10.9. Toplotni motor radi po ciklusu sa kombinovanim dovođenjem toplote, pri v = const i pri p = const ( Sabathe-ov ciklus). Početni parametri radnog tela (vazduh) su p1 = 0,09 MPa i t1 = 47 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 10,0, stepen povećanja pritiska je ψ = 2,20 a stepen predekspanzije ρ = 1,3. Odrediti: a) parametre stanja radnog tela u karakterističnim tačkama ciklusa; b) razmenjene specifične količine toplote po ciklusu; c) specifičan koristan rad ciklusa i d) TKI ciklusa. (Okt ‘04)

10.10. Toplotni motor radi sa vazduhom kao radnim telom po ciklusu sa kombinovanim dovo|enjem toplote, pri v = const i pri p = const ( Sabathe-ov ciklus). Minimalan i maksimalan pritisak tokom ciklusa su pmin = 0,09 MPa i pmax = 3,0 MPa, respektivno. Početna temperatura radnog tela je t1 = 47 0C. Stepen kompresije iznosi ε = 8,0.. Ukupna dovedena specifična toplota po ciklusu je q1=1,000 MJ/kg. Odrediti: a) odvedenu specifičku količinu toplote po ciklusu; b) specifičan koristan rad ciklusa i c) TKI ciklusa. R10. REŠENJA. R10.1 a) Polazeći iz početnog stanja “1” (Slika R10.1) s parametrima p1 = 0,10 MPa, T1 = 300 K i kgmpRTv 36

111 861,0101,0/300287 =⋅⋅== , posle adijabatske kompresije (stepena ε = v1/v2 = 4,5), u stanju “2” radno telo ima parametre:

MPapvv

pp kk

8213,05,4101,0 40,161

2

112 =⋅⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε ,

KTvvTT k

k

53,5475,4300 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε ,

kgm

pRTv

3

62

22 1913,0

108213,053,547287

=⋅

⋅== (ili

kgmvv

31

2 1913,05,4

861,0===

ε).

U ta~ki “3”, posle izohorskog dovođenja toplote (sagorevanja), parametri radnog tela su:

MPapp 3141,18213,060,123 =⋅=⋅=ψ , KTTpp

T 05,87653,54760,1222

33 =⋅=⋅=⋅= ψ ,

84

kgmvv

3

23 1913,0== .

Posle adijabatske ekspanzije, u tački “4”, parametri stanja su:

MPapvv

pp kk

160,05,4103141,1 40,163

4

334 =⋅⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−ε

KTvv

TT kk

0,4805,405,876 )140,1()1(3

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−−−

−

ε

1

3

64

44 1913,0

1016,00,480287 v

kgm

pRTv ==

⋅⋅

==

b) Za idealan gas je 1−

=k

Rcv , tako da razmenjene specifične količine toplote iznose:

kgkJTT

kRTTcq v 7,235)53,54705,876(

140,1287)(

1)( 23231 =−⋅

−=−⋅

−=−= ,

kgkJTT

kRTTcq v 2,129)480300(

140,1287)(

1)( 41412 −=−⋅

−=−⋅

−=−= .

Koristan specifičan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 5,1062,1297,23521 =−=−= .

Termički koeficijent iskorišćenja ciklusa je: 452,07,2355,106

1

===qlkη

(ili po formuli: 452,05,411111 )140,1()1(1

2

1 =−=−=−=−= −−−−−

kkoto T

Tε

εη )

R10.2. U početnom stanju (“1”) je

85

kgm

pRT

pRTvv

3

6min

min

1

141 861,0

101,0300287

=⋅⋅

==== .

Posle izobarnog dovođenja toplote (tačka “3”) je

kgm

pRT

pRT

vv3

6max

max

3

323 2152,0

106,11200287

=⋅⋅

==== .

Na osnovu predhodnog stepen kompresije iznosi: .00,42152,0861,0

2

1 ===vv

ε

Iz jednačina adijabata (1-2) i (3-4) sledi:

KTvvTT k

k

33,5220,4300 140,11min

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε ,

KTvv

TT kk

22,6890,41200 )140,1()1(max

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−−−

−

ε .

Razmenjene specifične količine toplote iznose:

kgkJTT

kRTTcq v 23,486)33,5221200(

140,1287)(

1)( 2max231 =−⋅

−=−⋅

−=−= ,

kgkJTT

kRTTcq v 26,279)22,689300(

140,1287)(

1)( 4min412 −=−⋅

−=−⋅

−=−= .

Koristan specifičan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 97,20626,27923,48621 =−=−= .

Termički koeficijent iskorišćenja ciklusa je: 426,023,48697,206

1

===qlkη

(ili po formuli: 426,00,411111 )140,1()1(1

2

min =−=−=−=−= −−−−−

kkoto T

Tε

εη ).

R10.3. a) ; 475,00,511 )140,1()1( =−=−= −−−− k

oto εη

b) Kako je 1

2

1

2

1

21

1

11QQ

qq

qqq

qlk −=−=

−==η , odvedena količina toplote po ciklusu je

kJQQ 25,26)475,01(50)1(12 =−⋅=−= η ; c) Koristan rad po ciklusu je:

86

,75,2325,265021 kJQQLk =−=−= tako da je snaga motora:

kWnLP k 75,11860

30075,2360

=⋅=⋅= .

R10.4. Radna zapremina Vh, koja je jednaka razlici maksimalne (V1) i minimalne (V2) zapremine radnog tela, jednaka je zapremini koju “prebriše” klip:

4

2

21hDVVVh

π=−= .

S druge strane, kako je V1 = ε V2, sledi )1(22221 −=−=− εε VVVVV , tako da je

3322

2 10480,2)18,4(4300,0200,0

)1(4mhDV −⋅=

−⋅⋅⋅

=−

=π

επ ,

pa je . 3333

21 1090,1110480,28,4 mmVV −− ⋅=⋅⋅== ε Masa radnog tela (vazduha) iznosi:

kgRT

Vpm 336

1

11 1030,14290287

1090,11101,0 −−

⋅=⋅

⋅⋅⋅== .

Temperatura u karakterističnoj tački “2” ciklusa, posle adijabatske kompresije, iznosi:

KTvv

TT kk

12,5438,4290 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε .

Kako je )(1

)( 23231 TTk

RTTcq v −−

=−= , temperatura radnog tela posle izobarnog dovođenja

toplote (tačka “3”) iznosi:

KqR

kTT 0,124010500287

14,112,5431 3123 =⋅⋅

−+=⋅

−+= .

Temperatura posle adijabatske ekspanzije (tačka “4”) je

KTvv

TT kk

1,6628,41240 )140,1()1(3

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−−−

−

ε .

Odvedena specifična količina toplote iznosi:

87

kgkJTT

kRTTcq v 0,267)1,662290(

140,1287)(

1)( 41412 −=−⋅

−=−⋅

−=−=

Termički koeficijent iskorišćenja ciklusa je: 466,050026711

1

2 =−=−=qq

η

(ili po formuli: 466,08,411111 )140,1()1(1

2

1 =−=−=−=−= −−−−−

kkoto T

Tε

εη ).

Koristan rad po ciklusu iznosi:

kJqqmmlL kk 33,3)267500(1030,14)( 3

21 =−⋅=−⋅== − .

Kako je broj ciklusa u jedinici vremena ν = n/2 = 8,33 s-1, sledi da je vreme potrebno za odvijanje jednog ciklusa: τ = 1/ν = 1/ 8,33 = 0,12 s, tako da je korisna snaga motora:

kWL

P kk 75,27

12,033,3

===τ

.

R10.5. a) Proces 4→1 (Slika R10.2) je izohoran tako da su specifične zapremine u tačkama “4” i “1” jednake:

kgm

pRTvv

3

61

141 861,0

101,0300287

=⋅⋅

=== .

Posle adijabatske kompresije (u tački “2”) parametri stanja su:

kgmvv

31

2 0861,00,10

861,0===

ε,

KTvvTT k

k

56,75310300 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε ,

Proces 2→ 3 je izobaran tako da je

MPapp 512,223 == . Na osnovu poznatog stepena predekspanzije dobija se

kgmvv

3

23 1378,00861,06,1 =⋅== ρ .

88

Po završenom izobarnom dovođenju toplote (tačka “3”) temperatura je

KTTvv

T 7,12056,7536,1222

33 =⋅==⋅= ρ

Posle adijabatske ekspanzije (tačka “4”) parametri stanja su:

kgm

pRTvv

3

61

114 861,0

101,0300287

=⋅⋅

===

Kvv

Tvv

TTkkk

3,579861,0

1378,07,120511

1

33

1

4

334 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

,

ili

KTTvvT

vv

TT kk

kkk

3,5796,1300 4,11

11

1

1

1

22

1

1

334 =⋅==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

−−

ρερερ

ρρ ,

MPav

RTp 193,0

861,03,579287

4

44 =

⋅== .

b) Termički koeficijent iskorišćenja (TKI) Diesel-ovog ciklusa je

559,00,1040,1)16,1(

16,11)1(

11 140,1

40,1

1 =⋅⋅−−

−=−

−−= −−k

k

kερρη

ili

559,0)6,7537,1205(40,1

3003,5791)(

1123

14

1

2 =−⋅

−−=

−−

−=−=TTkTT

qq

η .

R10.6. a) Kako je sabijanje radnog tela adijabatsko, sledi , 1

221

11−− = kk vTvT

tako da je stepen kompresije .22,13293823 140.1

11

1

1

2

2

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−k

TT

vv

ε

Kako je (pogledaj rešenje zadatka 10.5)

kk

kkk

TTvvT

vv

TT ρερερ

ρρ 1

11

1

1

1

22

1

1

334 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

−−

,

stepen predekspanzije iznosi

714,1293623 40.1

11

1

4

2

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

k

TT

vv

ρ .

89

Temperatura posle izobarnog dovođenja toplote je KTT 6,1410823714,123 =⋅== ρ . b) TKI Diesel-ovog ciklusa je

559,022,1340,1)1714,1(

1714,11)1(

11 140,1

40,1

1 =⋅⋅−−

−=−

−−= −−k

k

D kερρη

ili

599,0)8236,1410(40,1

2936231)(

123

14 =−⋅

−−=

−−

−=TTkTT

Dη .

c) TKI Carnot-ovog ciklusa je

792,06,1410

2931113

1

max

min =−=−=−=TT

TT

Cη ,

tako da je

756,0792,0599,0

==C

D

ηη .

R10.7. Po završenom adijabatskom sabijanju temperatura radnog tela iznosi:

KTvvTT k

k

58,81012300 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε

Kako je dovedena specifična količina toplote pri izobarnom širenju kgkJTTcq p 500)( 231 =−= ,

sledi da je temperatura na kraju izobarnog širenja

KkR

qkTcqTT

p

3,130828740,1

10500)140,1(58,810)1( 31

21

23 =⋅

⋅⋅−+=

⋅−+=+= ,

gde je

kgKkJ

kkRcp 004,1

140,128740,1

1=

−⋅

=−

= .

Koeficijent (stepen) predekspanzije iznosi: 614,158,8103,1308

2

3

2

3 ====TT

vv

ρ .

Temperatura na kraju procesa adijabatskog širenja je

KTT k 4,586614,1300 40,114 =⋅== ρ ,

tako da je TKI ciklusa

90

589,01240,1)1614,1(1614,11

)1(11 140,1

40,1

1 =⋅⋅−−

−=−

−−= −−k

k

D kερρη

ili

589,0)58,8103,1308(40,1

3004,5861)(

123

14 =−⋅

−−=

−−

−=TTkTT

Dη .

b) Koristan specifični rad po ciklusu iznosi kgkJql Dk 5,294500589,01 =⋅==η

ili

kgkJqqlk 5,2945,20550021 =−=−= ,

gde je

kgkJTT

kRTTcq v 5,294500)4,586300(

140,1287)(

1)( 41412 =⋅−⋅

−=−⋅

−=−= .

R10.8. a) Kako je ε=2

1

VV

i 4

2

21hDVV π

=− , sledi

3322

2 104137.1)111(4

200,0300,014,3)1(4

mhDV −⋅=−⋅⋅⋅

=−

=επ

tako da je

33321 105508,1510285,10,11 mVV −− ⋅=⋅⋅== ε .

Masa radnog tela je kgRT

Vpm 336

1

11 10239,15320287

105508,151009,0 −−

⋅=⋅

⋅⋅⋅== .

Posle adijabatske kompresije parametri stanja radnog tela su:

MPapp k 583,21109,0 40,112 =⋅== ε ,

kgm

mVv

3

3

32

2 09277,010239,15104137,1

=⋅⋅

== −

−

,

KRvpT 9,834

28709277,010583,2 6

222 =

⋅⋅== , ili . KTT k 0,83511320 140,11

12 =⋅== −−ε

Kako je i MPapp 583,223 ==kgmvv

3

23 11132,009277,02,1 =⋅== ρ , sledi

KRvp

T 9,1001287

11132,010583,2 633

3 =⋅⋅

== ili KKTT 10020,8352,123 =⋅== ρ .

Primljena toplota po ciklusu iznosi:

91

kJ

TTkmkRTTmcmqQ p

555,2

)0,8359,1001(140,1

28740,110239,15)(1

)(3

232311

=

=−⋅−

⋅⋅⋅=−⋅

−=−==

−

Temperatura posle adijabatske ekspanzije je , odvedena količina toplote po ciklusu iznosi

kJTT k 05,4132,1320 40,114 =⋅== ρ

kJ

TTkmRTTmcmqQ v

017,1

)05,413320(140,1

28710239,15)(1

)(3

414122

−=

=−⋅−

⋅⋅=−⋅

−=−==

−

b) Koristan rad ciklusa je kJQQLk 538,1017,1555,221 =−=−= .

c) TKI ciklusa iznosi 602,0555,2538,1

1

===QLk

Dη .

ili

602,01140,1)12,1(12,11

)1(11 140,1

40,1

1 =⋅⋅−−

−=−

−−= −−k

k

D kερρη .

d) Broj ciklusa u jedinici vremena je 10,52 −== snf , tako da je vreme potrebno za odvijanje jednog ciklusa sf 2,01 ==τ τ = 1/ν = 0,20 s. Korisna teorijska snaga motora je

kWL

P kk 69,7

20,0538,1

===τ

.

R10.9. U početnom stanju (tačka “1” na slici R 10.3) je

kgm

pRTvv

3

61

151 0204,1

1009,0320287

=⋅⋅

=== .

Po završenoj adijabatskoj kompresiji (tačka “2”) parametri stanja su:

kgmvv

31

2 10204,0100204,1

===ε

, KTvv

TT kk

8,80310320 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε ,

MPav

RTp 2608,2

10204,08,803287

2

22 =

⋅== ili . MPapp k 2607,21009,0 40,1

12 =⋅== ε

92

Posle izohornog dovođenja toplote (tačka 3) parametri stanja su: kgmvv

3

23 10204,0== ,

KTTpp

T 4,17688,8032,2222

33 =⋅=== ψ , MPapp 973,42607,220,223 =⋅==ψ

ili

MPav

RTp 974,4

10204,04,1768287

3

33 =

⋅== .

Na kraju izobarnog dovođenja toplote (tačka 4) parametri stanja su:

MPapp 974,434 == , kgmvv

3

34 13265,010204,03,1 =⋅== ρ ,

KRvpT 2299

28713265,010974,4 6

444 =

⋅⋅== ili KTT 9,22984,17683,134 =⋅== ρ .

Posle adijabatske ekspanzije (tačka 5) parametri stanja su: kgmvv

3

15 0204,1== ,

MPavvpp

k

2860,00204,113265,0974,4

40,1

5

445 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

KRvp

T 7,1016287

0204,1102860,0 655

5 =⋅⋅

==

ili KTT k 5,10163,120,2320 40,1

15 =⋅⋅== ρψ

c) Primljene specifične količine toplote iznose:

kgkJTT

kRTTcq v 1,692)8,8034,1768(

140,1287)(

1)( 2323

'1 =−⋅

−=−⋅

−=−= ,

93

kgkJTT

kRkTTcq p 9,532)4,17689,2298(

140,128740,1)(

1)( 3434

''1 =−⋅

−⋅

=−⋅−

=−= ,

Tako da je ukupna primljena specifična količina toplote po ciklusu

kgkJqqq 0,12259,5321,692''

1'11 =+=+=

Odvedena specifična količina toplote iznosi

kgkJTT

kRTTcq v 7,499)5,1016320(

140,1287)(

1)( 51512 −=−⋅

−=−⋅

−=−= .

d) Specifičan koristan rad ciklusa je

kgkJqqlk 3,7257,4990,122521 =−=−= .

d) TKI ciklusa je

59,00,12253,725

1

===qlk

Sη ,

ili

[ ] [ ] 60,0)13,1(20,240,1120,20,10

13,120,21)1(1

11 140,1

40,1

1 =−⋅⋅+−

−⋅−=

−+−−

−= −− ρψψεψρη

kk

k

S .

R10.10. U početnoj tački ciklusa (tačka 1) je

kgm

pRTvv

3

61

151 0204,1

1009,0320287

=⋅⋅

=== .

U ta~ki 2 ciklusa parametri stanja su:

kgmvv

31

2 12755,08

0204,1===

ε,

KTvvTT k

k

17,7358320 140,111

1

2

112 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

ε ,

MPapp k 6541,1809,0 40,1

12 =⋅== ε . Stepen povećanja pritiska iznosi:

8137,16541,1

0,3

2

max

2

3 ====p

ppp

ψ ,

94

tako da je

KTTpp

T 4,133317,7358137,1222

33 =⋅=== ψ .

Dovedena specifična količina toplote pri v = const iznosi:

kgkJTT

kRTTcq v 2,429)17,7354,1333(

140,1287)(

1)( 2323

'1 =−⋅

−=−⋅

−=−= ,

tako da je specifična dovedena količina toplote pri p = const

kgkJqqq 8,5702,4291000'

11''

1 =−=−= .

S druge strane je )(1

)( 3434''

1 TTk

RkTTcq p −⋅−

=−= ,

tako da je KkR

qkTT 6,190128740,1

108,570)140,1(4,1333)1( 3''1

34 =⋅⋅⋅⋅−

+=−

+= .

Stepen predekspanzije iznosi: 426,14,13336,1901

3

4

3

4 ====TT

vv

ρ .

Kako je , sledi MPappp 0,3max34 ===kgm

pRT

pRTv

3

6max

4

4

44 1819,0

100,36,1901287=

⋅⋅

=== .

U tački “5” parametri stanja su:

MPavvp

vvpp

kk

2683,00204,11819,00.3

40,1

1

4max

5

445 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

KTT k 9.953426,18137,1320 40,1

15 =⋅⋅== ψρ ili

KRvp

T 9,953287

0204,1102683,0 655

5 =⋅⋅

==

a) Odvedena specifična količina toplote iznosi:

kgkJTT

kRTTcq v 823,454)9,953320(

140,1287)(

1)( 51512 −=−⋅

−=−⋅

−=−=

b) Koristan specifičan rad ciklusa je

kgkJqqlk 177,545823,454100021 =−=−= ,

95

tako da je c) TKI ciklusa

545,01000

177,545

1

===qlk

Sη ,

[ ] [ ] 545,0)1426,1(8137,140,118137,18

1426,18137,11)1(1

11 140,1

40,1

1 =−⋅⋅+−

−⋅−=

−+−−

−= −− ρψψεψρη

kk

k

S .

11. GASNOTURBINSKA POSTROJENJA 11.1. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa izobarnim dovođenjem toplote i adijabatskom kompresijom (Joule-ov ciklus) s maksimalnim pritiskom i maksimalnom temperaturom radnog tela od pmax = 0,70 MPa i tmax = 1000 0C, respektivno. Stepen povećanja pritiska je β = 8,0 a stepen predekspanzije ρ = 2,0. Radno telo je vazduh. Odrediti: a) parametre radnog tela u karakterističnim tačkama ciklusa; b) razmenjene specifične količine toplote; c) specifičan koristan rad po ciklusu i d) TKI ciklusa. 11.2. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovođenjem toplote pri p = const i adijabatskom kompresijom (Joule-ov ciklus). Početno stanje radnog tela (dvoatomski gas) je p1 = 0,10 MPa i t1 = 17 0C. Pritisak u komori za sagorevanje iznosi pmax = 0,70 MPa. Dovedena specifična količina toplote iznosi q1 = 700 kJ/kg. Maseni protok radnog tela je dm/dt = 0,50 kg/s. Odrediti: a) TKI ciklusa; b) odvedenu specifičnu količinu toplote; c) specifičan koristan rad ciklusa i d) teorijsku snagu GTP. 11.3. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovođenjem toplote pri p = const i adijabatskom sabijanjem u kompresoru (Joule-ov ciklus). Minimalna i maksimalna temperatura radnog tela tokom ciklusa iznose tmin = 27 0C i tmax = 900 0C. Specifični tehnički rad potreban za pogon kompresora iznosi lkomp = 161,78 kJ/kg. Radno telo je vazduh. Odrediti: a) stepen povećanja pritiska; b) TKI ciklusa; c) dovedenu specifičnu količinu toplote; d) specifični koristan rad ciklusa i e) specifični rad potreban za pogon turbine. (Sept ‘99) 11.4. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po Joule-ovom ciklusu sa vazduhom kao radnim telom. Početni parametri radnog tela su p1 = 0,10 MPa i t1 = 7 0C. Stepen povećanja pritiska pri adijabatskom sabijanju vazduha u kompresoru je β = 5,5. Temperatura vazduha pred ulaz u turbinu iznosi t3 = 827 0C. Odrediti: a) specifični rad kompresora; b) ukupan specifični rad turbine; c) koristan specifični rad i d) TKI ciklusa. 11.5. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovođenjem toplote pri p = const, sabijanjem radnog tela pri p = const i T = const i adijabatskom ekspanzijom (Brayton-ov ciklus). Početni parametri radnog tela su p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Pritisak u komori za sagorevanje iznosi pmax = 1,00 MPa. Stepen predekspanzije je ρ = 1,8. Dovedena specifična količina toplote je q1 = 900 kJ/kg. Maseni protok radnog tela je dm/dt = 2 kg/s. Radno telo je vazduh. Odrediti: a) TKI ciklusa; b) odvedenu specifičnu količinu toplote; c) specifični koristan rad po ciklusu i d) teoriujsku snagu turbine. (Nov ‘02)

96

11.6. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovođenjem toplote pri p = const i izotermnoj kompresiji (Brayton-ov ciklus). Parametri radnog tela pred izotermnu kompresiju su p1 = 0,10 MPa i t1 = 47 0C. Stepen povećanja pritiska je β = 11,0 a stepen predekspanzije je ρ = 2,5. Gasna konstanta radnog tela je R = 260 J/kgK a eksponent adijabate k = 1,40. Odrediti: a) parametre radnog tela u karakterističnim tačkama ciklusa; b) razmenjene specifične količine toplote; c) specifični koristan rad ciklusa; d) TKI ciklusa i e) najveću vrednost TKI ciklusa za datu vrednost koeficijenta predekspanzije. 11.7. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovođenjem toplote pri v = const i adijabatskoj kompresiji radnog tela u kompresoru. Početni parametri radnog tela su p1 = 0,10 MPa i t1 = 27 0C. Stepen povećanja pritiska je β = p2 / p1 = 10,0. Radno telo je vazduh. Temperatura vazduha na ulazu u turbinu je t3 = 1027 0C. Odrediti: a) parametre stanja radnog tela u karaktertstičnim tačkama ciklusa; b) stemen kompresije ε = v1 / v2 ; razmenjene specifične količine toplote; d) specifičan koristan rad ciklusa i e) TKI ciklusa. 11.8. Gasnoturbinsko postrojenje (GTP) radi po ciklusu sa dovo|enjem toplote pri v = const i adijabatskoj kompresiji radnog tela u kompresoru. Minimalna i maksimalna temperatura radnog tela tokom ciklusa iznose tmin = 17 0 C i tmax = 705 0C, respektivno. Specifični tehnički rad kompresora je | lkomp | = 200,0 kJ/kg. Radno telo je vazduh. Odrediti: stepen povećanja pritiska β = p2 / p1 ; b) stepen dodatnog povećanja pritiska λ = p3 / p2 ; c) razmenjene specifične količine toplote; d) koristan specifični rad ciklusa i e) TKI ciklusa. R11. REŠENJA. R11.1. a) Pred adijabatsku ekspanziju (tačka 1 na slici R 11.1) je

KTT 1273max3 == , MPapp 70,0max3 == , kgm

pRT

v3

63

33 5219,0

1070,01273287

=⋅⋅

== .

Posle adijabatske ekspanzije (tačka 4) je

KTpp

TT kkk

k

75.7020,81273 40,140,111

3

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β , MPap

p 0875,00,870,03

4 ===β

.

97

Pred izobarno dovođenje toplote (tačka 2) je MPapp 70,0max2 == ,

KT

vvT

T 5,6360,2

12733

2

332 ====

ρ,

kgm

pRTv

3

62

22 26096,0

1070,05,636287=

⋅⋅

== .

U početnom stanju (tačka 1) je MPapp 0875,041 == ,

KTpp

TT kkk

k

38,3510,85,636 40,140,111

2

1

1

221 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β ,

kgm

pRTv

3

61

11 1525,1

100875,038,351287

=⋅

⋅==

b) Razmenjene specifične količine toplote iznose:

kgkJTT

kRkTTcq p 36,639)5,6361273(

140,128740,1)(

1)( 23231 =−⋅

−⋅

=−⋅−

=−= ,

kgkJTT

kRkTTcq p 95,352)75,70238,351(

140,128740,1)(

1)( 41412 −=−⋅

−⋅

=−⋅−

=−= .

c) Koristan specifičan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 41,28695,35236,63921 =−=−=

d) Termički koeficijent iskorišćenja (TKI) ciklusa je: 448,036,63941,286

1

===qlkη

ili

448,00,811 40,1140,11

=−=−=−

−−−

kk

βη .

98

R11.2. a) Kako je stepen povećanja pritiska 71,07,0

1

max

1

2 ====p

ppp

β , TKI ciklusa iznosi

426,0711 40,1140,11

=−=−=−

−−−

kk

βη .

b) Odvedena specifična količina toplote po ciklusu je

kgkJqq 4,401)4265,01(700)1(12 =−⋅=−= η .

c) Koristan specifičan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 6,2984,40170021 =−=−= .

d) Teorijska snaga turbine je kWdtdml

dtdL

P kk

k 3,14950,06,298 =⋅=== .

R11.3. a) Apsolutna vrednost specifičnog tehničkog rada potrebnog za pogon turbine iznosi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

−

11

11

1min

1

1

21 kkk

k

komp kkRT

pp

kkRTl β

tako da je

53685.1130028740,1

1078,161)140,1(1)1( 3

min

1

=+⋅⋅

⋅⋅−=+

⋅−=

−

kRT

lk kompkk

β =,

odnosno

50,453685,153685,1 140,140,1

1 === −−kk

β . b) TKI ciklusa iznosi

349,050,411 40,1140,11

=−=−=−

−−−

kk

βη .

c) Obzirom da je KTpp

TT kkk

k

055,46150,4300 40,1,140,11

min

1

1

212 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β i , dovedena

specifična količina toplote iznosi

max3 TT =

kgkJTT

kRkTTcq p 149,715)055,4611173(

140,128740,1)(

1)( 2max231 =−⋅

−⋅

=−⋅−

=−= .

d) Specifičan koristan rad ciklusa je kgkJqlk 6,24914,715349,01 =⋅==η .

e) Specifični rad turbine iznosi kgkJlll kompkturb 4,41178,1616,249 =+=+= .

99

Specifičan rad turbine može da se odredi i na osnovu sledećeg izraza

kgkJ

TTl

TT

kkRT

kkRT

pp

kkRTl komp

kk

kkk

k

turb

6,411300

2,76378,161

11

11

11 min

4

1

41

11

4

1

1

24

=⋅=

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−

−

ββ

gde je KTpp

TT kkk

k

2,7635,41173 40,140,111

max

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β .

R.11.4. a) Apsolutna vrednost specifičnog rada kompresora je

kgkJ

pp

kkRT

lk

k

komp 502,17615,5140,128028740,11

140,1

140,11

1

21 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

−

.

b) Kako je KTT kk

86,6755,51100 40,140,111

34 =⋅==−−

β , ukupan specifičan rad tirbine iznosi

kgkJ

TTl

pp

kkRTl komp

kk

turb 04,426280

86,675502,17611 1

4

1

1

24 =⋅=⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

c) Specifični koristan rad ciklusa iznosi: kgkJlll kompturbk 54,249502,17604,426 =−=−= .

d) TKI ciklusa je: 386,05,511 40,1140,11

=−=−=−

−−−

kk

βη . R.11.5. a) Kako je p2 = pmax = 1,00 M Pa, koeficijent povećanja pritiska iznosi

,101,0

1

1

max

1

2 ====p

ppp

β tako da je TKI ciklusa

( ) ( )

262,0)18,1(10

8,1140,1

10ln140,1101

)1(

1ln1

140.1

140,1

40,1140,1

1

1

=−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−=−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

−= −

−

−

−

ρβ

ρββη

kk

kk

kk

.

b) Na osnovu predhodnog sledi da odvedena specifična količina toplote iznosi

kgkJqq 2,664)262,01(900)1(12 =−⋅=−= η

c) Specifičan koristan rad ciklusa je :

100

kgkJqlk 8,235900262,01 =⋅==η .

d) Teorijska snaga turbine je: kWdtdml

dtdL

P kk

k 6,47128,235 =⋅=== .

R.11.6. a) Parametri radnog tela pred izotermsku kompresiju (u tački “1” na slici R 11.2)

su: kgm

pRTvKTMPap

3

61

1111 8320,0

101,0320260,320,1,0 =

⋅⋅

==== .

Posle izotermske kompresije (tačka “2”) je

kgm

pRTvKTTMPapp

3

62

221212 07564,0

101,1320260,320,10,11,00,11 =

⋅⋅

=====⋅== β .

Posle izobarnog dovođenja toplote (tačka “3”) parametri stanja su:

kgmvvKTTMPapp

3

232323 1891,007564,05.2,8003205,2,10,1 =⋅===⋅==== ρρ

Na kraju adijabatske ekspanzije (tačka “4”) je:

kgm

pRT

v

KTppT

pp

TTMPapp kk

kkk

kkk

3

64

44

11

3

1

1

23

1

4

33414

0483,11010,0

2,403260

,2,40311800,10,0

=⋅⋅

==

=⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

−−−−

β

b) Razmenjene specifične količine toplote su:

101

kgkJTT

kkRTTcq p 800,436)320800(

140,126040,1)(

1)( 23231 =−

−⋅

=−−

=−= .

kgkJ

RTTTkkR

ppRTTTcqqq p

217,275505,199712,750,11ln320260)3202,403(140,1

26040,1

ln)(1

ln)( 1142

1141

''2

'22

−=−−=⋅⋅−−−⋅

−=

=−−−

−==+=+= β

c) Specifičan koristan rad ciklusa je : kgkJqqlk 583,161217,275800,43621 =−=−=

lk = q1 - |q2| = 160,78 kJ/kg.

d) TKI ciklusa je: 370,0800,436583,161

1

===qlkη , ili

( ) ( )

370,0)15,2(11

5,2140,1

11ln140,1111

)1(

1ln1

140.1

140,1

40,1140,1

1

1

=−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−=−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

−= −

−

−

−

ρβ

ρββη

kk

kk

kk

e) Najveća vrednost TKI ciklusa je kada je 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρβη , tj kada je

705,245,2 140,140,1

1 === −−kk

ρβ . Na osnovu predhodnog najveća vrednost TKI ciklusa iznosi:

389,015,25,2ln1

1ln1max =

−−=

−−=ρρη .

R11.7 a) U početnom stanju (tačka “1” na slici R11.3) parametri stanja su:

kgm

pRTvKTMPap

3

61

1111 861,0

1010,0300287,300,10,0 =⋅⋅

==== .

Posle adijabatske kompresije (tačka “2”) parametri stanja su:

kgm

pRT

v

KTTMPapp kk

3

62

22

40,1140,11

1212

16623,01000,1

21,579287

,21,57910300,00,110,00,10

=⋅

⋅==

=⋅===⋅==−−

ββ

Na kraju procesa izohornog doviđenja toplote pred ulaza radnog tela u turbinu (tačka 3) parametri stanja su:

102

MPaTTp

vRT

pkgmvvKT 244,2,16623,0,1300

2

32

3

33

3

233 ======

Na kraju adijabatske ekspanzije (tačka “4”) parametri stanja su:

KppTT

iliKRvpT

kgm

pp

vvMPapp

kk

k

5,534244,210,01300

4,534287

15336,01010,0

,5336,110,0244,216623,0,10,0

40,1140,11

3

434

644

4

340,111

4

33414

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅⋅

==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

−−

b) Stepen kompresije je: 18,516623,08610,0

2

1 ===vv

ε .

c) Dovedena specifična količina toplote je

kgkJTT

kRTTcq v 17,517)21,5791300(

140,1287)(

1)( 23231 =−

−=−

−=−= ,

a odvedena specifična količina toplote iznosi

kgkJTT

kkRTTcq p 55,235)5,534300(

140,128740,1)(

1)( 41412 −=−

−⋅

=−−

=−=

q2 = cp (T1 - T4) = kR (T1 - T4) / (k-1) = - 235,49 kJ/kg.

d) Specifičan koristan rad ciklusa je: kgkJqqlk 62,28155,23517,51721 =−=−= .

103

e) TKI ciklusa je : 544,017,51762,281

1

===qlkη

ili

544,0)1244,2(10

)1244,2(40,11)1(

)1(140,1

140,1

40,11

1

1

=

−

−⋅−=

−

−−= −−

λβ

ληk

k

kk ,

gde je

244,20,1

244,2

2

3 ===pp

λ .

R. 11.8. a) Kako je )( 12 TTcTcil ppkomp −=Δ=Δ= , sledi

KlkR

kTlc

TT kompkompp

10,489100,20028740,1

140,129011 3min12 =⋅⋅

⋅−

+=⋅−

+=⋅+= .

Stepen povećanja pritiska je 230,6290

10,489 140,140,1

1

1

2

1

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−kk

TT

pp

β .

b) Kako je , i kako je KTT 978max3 == 32 vv = , sledi da je stepen dodatnog povećanja pritiska

00,21,489

978

2

3

2

3 ====TT

pp

λ .

c) Primljena specifična količina toplote iznosi:

kgkJTT

kRTTcq v 78,350)1,489978(

140,1287)(

1)( 23231 =−

−=−

−=−= .

Kako odnos maksimalnog (p3) i minimalnig (p1) pritiska iznosi:

46,12230,600,21

2

2

3

1

3 =⋅=== λβpp

pp

pp

,

temperatura radnog tela posle adijabatske ekspanzije u turbine je

( ) ( ) KTpp

Tpp

TT kkk

kkk

7,47546,12978 40,140,111

3

1

1

33

1

4

334 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−

λβ .

Odvedena specifična količina toplote iznosi:

kgkJTT

kkRTTcq p 54,186)7,475290(

140,128740,1)(

1)( 41412 −=−

−⋅

=−−

=−= .

104

d) Specifičan koristan rad ciklusa je kgkJqqlk 24,16454,18678,35021 =−=−= .

e) TKI ciklusa je

468,078,35024,164

1

===qlkη

ili

468,0)100,2(230,6

)100,2(40,11)1(

)1(1140,1

140,1

40,11

1

1

23

14 =

−

−⋅−=

−

−−=

−−

−= −−

λβ

ληk

k

kkTTTT

k .

12. PARNOTURBINSKA POSTROJENJA 12.1. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Carnot-ovom ciklusu sa zasićenom vodenom parom. Pritisak suvo-zasićene vodene pare na ulazu u turbinu iznosi p1 = 0,80 MPa, dok je pritisak vlažne pare na izlazu iz turbine p2 = 0,01 MPa. Odrediti: a) razmenjene specifične količine toplote; b) specifičan koristan rad ciklusa i c) termički koeficijent iskorišćenja (TKI) ovog ciklusa. (Okt ‘04) 12.2. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Carnot-ovom ciklusu sa zasićenom vodenom parom. Temperatura suvo-zasićene pare pred ulaz u turbinu iznosi t1 = 201,36 0C. Na izlazu iz turbine pritisak vlažne pare je p2 = 0,1 bar. Odrediti: a) parametre radnog tela (pare) u karakterističnim tačkama ciklusa; b) razmenjene specifične količine toplote; c) specifični koristan rad ciklusa i d) TKI ovog ciklusa. (Jul ‘05) 12.3. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa zasićenom vodenom parom. Pritisak suvo-zasićene vodene pare na ulazu u turbinu je p1 = 1,50 MPa, dok je pritisak vlažne pare na izlazu iz turbine p2 = 0,01 MPa. Odrediti: razmenjene specifične količine toplote; b) koristan specifični rad ciklusa i c) TKI ciklusa. 12.4. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa zasićenom vodenom parom. Pritisak suvo-zasićene vodene pare na ulazu u turbinu je p1 = 1,80 MPa. Na izlazu iz turbine stepen vlažnosti vodene pare iznosi x = 0,770. Koristeći se i,s-dijagramom za vodenu paru odrediti: a) razmenjene specifične količine toplote; b) specifični koristan rad ciklusa; c) TKI ciklusa i d) TKI idealnog Carnot-ovog ciklusa između ekstremnih temperatura kao kod pomenutog idealnog Rankine-ovog ciklusa. 12.5. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa pregrejanom vodenom parom. Pritisak i temperatura pregrejane pare pred ulaz u turbinu iznose p1 = 2,5 MPa i t1 = 600 0C, respektivno. Pritisak vodene pare na izlazu iz turbine iznosi p1 = 0,01 MPa. Odrediti: a) razmenjene specifične količine toplote, b) specifični koristan rad ciklusa i c) TKI ciklusa. (Jul ‘96 ). 12.6. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa pregrejanom vodenom parom. Pritisak i temperatura vodene pare na ulazu u turbinu iznose p1 = 1,6 MPa i t1 = 300 0C, respektivno. Pritisak vlažne pare na izlazu iz turbine iznosi p2 = 0,01 MPa. Maseni protok pare je dm/dt = 1080 kg/h. Odrediti: a) razmenjene specifične količine toplote; b) specifični

105

koristan rad ciklusa; c) TKI ovog ciklusa i d) idealnu snagu ovog parnoturbinskog postrojenja. (Sept ‘05) 12.7. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa pregrejanom vodenom parom. Pritisak i temperatura vodene pare na ulazu u turbinu iznose p1 = 5,0 MPa i t1 =500 0C, respektivno. Pritisak vlažne pare na izlazu iz turbine iznosi p2 =0,006 MPa. Pri povećanju temperature pregrejane pare za Δt1 poveća se stepen suvoće pare na izlazu iz turbine za Δx2 = 0,10. Odrediti: a) veličinu porasta temperature pregrevanja (Δt1) i b) veličinu relativnog porasta TKI ciklusa. 12.8. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa vodenom parom. Pritisak pare pre i posle izoentropskog širenja u turbini iznosi p1 = 5,00 MPa i p2 = 0,01 MPa, respektivno. Odrediti TKI ovog ciklusa ako je para na ulazu u turbinu: a) vlažna sa stepenom suvoće x1 = 0,80; b) suvo-zasićena i c) pregrejana do temperature od 500 0 C. 12.9. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa vodenom parom, pri čemu je pritisak pare na ulazu u turbinu p1 = 3,00 MPa a na izlazu iz nje p2 = 0,01 MPa. Odrediti: a) najnižu temperaturu pare na ulazu u turbinu tako da stepen vlažnosti pare na izlazu iz turbine ne bude veći od 0,10 i b) TKI datog ciklusa. 12.10. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa dvostepenim pregrevanjem vodene pare. Naime, pregrejana vodena para pritiska p1 = 6,0 Mpa i t1 = 540 0C izoentropski se širi u turbini do pritiska pA = 0,10 MPa. Vlažna para se pri istom pritisku pregreva do temperature t’1 = 300 0 C a zatim se ponovo izoentropski širi u turbini ali do nižeg pritiska p2 = 0,005 MPa. Odrediti: a) TKI ovog ciklusa; b) TKI ciklusa bez drugostepenog pregrevanja ali sa ekspanzijom pare do istog najnižeg pritiska predhodnog ciklusa (p2 = 0,005 MPa). 12.11. Parnoturbinsko postrojenje radi po idealnom Rankine-ovom cikusu sa dvostepenim pregrevanjem vodene pare. Pregrejana vodena para pritiska p1 = 10,0 MPa i t1 =500 0C izoentropski se širi u turbini do pritiska pA = 0,60 MPa a zatim se uvodi u sledeći pregrevač i pregreva do temperature t’1 = t1 = 500 0C posle čega se izoentropski širi u turbini do pritiska p2 = 0,01 MPa. Naći odnos TKI ciklusa sa dvostepenim pregrevanjem i ciklusa bez dodatnog pregrevanja ali sa ekspanzijom u turbini do istog najnižeg pritiska predhodnog ciklusa (p2 = 0,005 Mpa). 12.12. Parnoturbinsko postrojenje visokog pritiska radi po Rankine-ovom ciklusu sa pregrejanom parom. Pritisak i temperatura vodene pare na ulazu u turbinu iznose p1 = 8,0 MPa i t1 = 500 0C, respektivno. Pritisak pare u kondenzatoru iznosi p2 = 0,005 MPa. Odrediti relativno povećanje TKI ciklusa kada se uvede dodatno pregrevanje pare pri pritisku pA = 2,00 MPa do iste početne temperature t’1 = t1 = 500 0C. (Maj ‘02) R12. REŠENJA. R12.1. Na osnovu i, s-dijagrama za vodenu paru (ili tablica veličine stanja ključale vode i suve vodene para) dobija se da je

106

za baraMPap 0,880,01 ==

kgKkJs

kgKkJs

kgkJi

kgkJiCt 663,6,046,2,2769,9,720,42,170 ''

1'1

''1

'1

01 =====

za barMPap 1,001,02 ==

kgKkJs

kgKkJs

kgkJi

kgkJiCt 149,8,6492,0,2584,83,191,82,45 ''

2'2

''2

'2

02 =====

Entalpija vlažne pare na izlazu iz turbine (tačka 3 na slici R12.1) iznosi:

kgkJxiiii 4,2110802,0)83,1912584(83,191)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+= ,

gde je

802,06492,0149,86492,0663,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x ,

stepen suvoće vodene pare (kgKkJss 663,6''

13 == ).

Pred ulaz u kompresor (tačka 4) entropija vlažne pare iznosi: kgKkJss 046,2'

14 == , tako da je

stepen vlažnosti (suvoće) pare u datoj tački ciklusa:

186,06492,0149,86492,0046,2

'2

''2

'2

'1

'2

''2

'24

4 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx .

Entalpija u datoj tački ciklusa je:

kgkJxiiii 8,636186,0)83,1912584(83,191)( 4

'2

''2

'24 =⋅−+=−+=

107

Kako je kgkJii 9,720'

11 == , i kgkJii 2769''

12 == , dovedena specifična količina toplote tokom

izobarni-izotermnog isparavanja iznosi:

kgkJiiiirq 1,20489,7202769'

1''

1121 =−=−=−== .

Odvedena specifična količina toplote tokom izobarno-izotermne kondenzacije je:

kgkJiiq 6,14734,21108,636342 −=−=−= .

Specifičan koristan rad ciklusa iznosi:

kgkJqqlk 5,5746,14731,204821 =−=−= .

TKI ciklusa je

280,01,2048

5,574

1

===qlkη .

R12.2. Na osnovu tablica za vodenu paru, za datu temperaturu (t1 = 201,36 oC) i dati pritisak (p2 = 0,10 bar), dobijaju se direktno podaci za parametre stanja u tačkama “1” i “2” ciklusa (Slika R12.1). Podaci za stepen suvoće x, entalpiju i, specifičnu zapreminu v, dobijaju se na osnovu podataka za odgovarajuće tačke sa graničnih krivih: s2’ = 0,6492 kJ/kgK, s2’’ = 8,149 kJ/kgK, i2’ = 191,83 kJ/kg, i2’’ = 2584 kJ/kg, v2’ = 0,0010103 m3/kg i v2’’ = 14,70 m3/kg, uz korišćenje poznatih izraza:

770,06492,0149,86492,0421,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x

226,06492,0149,86492,03437,2

'2

''2

'2

'1

'2

''2

'24

4 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx

kgkJxiiii 8,2033770,0)83,1912584(83,191)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+=

kgkJxiiii 5,732226,0)83,1912584(83,191)( 4

'2

''2

'24 =⋅−+=−+=

kgmxvvvv

3

3'2

''2

'23 319,11770,0)0010103,070,14(0010103,0)( =⋅−+=−+=

kgmxvvvv

3

4'2

''2

'24 323,3226,0)0010103,070,14(0010103,0)( =⋅−+=−+=

Tako dobijeni parametri karakterističnih tačaka ciklusa prikazani su u tabeli R12.1.

108

Parametri tačka (“1”) tačka (“2”) tačka (“3”) tačka (“4”) p (bar) 16,0 16,0 0,1 0,1 v (m3/kg) 0,0011586 0,1238 11,319 3,323 t (0C) 201,36 201,36 45,82 45,82 i (kJ/kg) 858.29 2794 2033,8 732,5 s (kJ/kgK) 2,3437 6,421 6,421 2,3437 x o 1 0,770 0,226 Tabela R12.1 b) Dovedena specifična količina toplote tokom izobarni-izotermnog isparavanja iznosi:

kgkJiiiirq 7,193529,8582794'

1''

1121 =−=−=−==


kgkJiiq 3,13018,20335,732342 −=−=−=

c) Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 4,6343,13017,193521 =−=−=

328,07,19354,634

1

===qlkη

ili

328,036,47482,31811

1

2 =−=−=TT

η .

R12.3. Na osnovu i, s-dijagrama za vodenu paru (ili tablica veličine stanja ključale vode i suve vodene para) dobija se da je: za baraMPap 0,1550,11 ==

kgKkJs

kgKkJs

kgkJi

kgkJiCt 444,6,3115,2,2792,48,844,25,198 ''

1'1

''1

'1

01 ===== ;

za barMPap 1,001,02 ==

kgKkJs

kgKkJs

kgkJi

kgkJiCt 149,8,6492,0,2584,83,191,82,45 ''

2'2

''2

'2

02 ===== .

Ukupna dovedena količina toplote troši se na dogrevanje vode pri izobarnom procesu ( ) i na izobarno-izotermno zagrevanje ( ):

11' →21→ )()( 12

'11

''1

'11 iiiiqqq −+−=+=

S obzirom da se u T, s-dijagramu tačke 4 i 1’ se skoro poklapaju (pogledaj slika R12.2)

kgkJiii 83,191'

24'1 ==≅ , i kako je s druge strane

kgkJii 2792''

12 == , ukupna dovedena količina

toplote iznosi

109

kgkJ

iiiiiiiiiiiiqqq

17,260083,1912792

)()()()( '2

''142124112

'11

''1

'11

=−=

=−=−=−+−≅−+−=+=

Stepen suvoće u tački 3 ciklusa je:

772,06492,0149,86492,0444,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x ,

tako da entalpija u tački 3 iznosi:

kgkJxiiii 6,2038772,0)83,1912584(83,191)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+= .


kgkJiiiiq 8,18466,203883,1913

'2342 −=−=−=−= .

Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 4,7538,184617,260021 =−=−= .

TKI ciklusa je:

290,017,26004,753

1

===qlkη .

R12.4. Na osnovu i, s-dijagrama za vodenu paru dobija se za karakteristične tačke ciklusa (slika R12.2): za p1 = 1,80 MPa = 18 bara, t1 = 207 0C, i1’ = i1 = 884,50 kJ/kg, i1’’ = i2 = 2796 kJ/kg, s1’’ = s2 = 6,379 kJ/kgK. Iz preseka izoentrope s3 = s2 = 6,379 k/kgK i linije konstantnog stepena suvoće x = x3 = 0,77 dobija se: i3 = 2040 kJ/kg, i1’’ = 2590 kJ/kg , t2 = 49 0C, p2 = 0,12 bara

110

Kako je , sledi 3'2

''2

'23 )( xiiii −+=

kgkJ

xxii

i 7,19877,01

77,0259020401 3

3''

23'2 =

−⋅−

=−

⋅−= .

Iz tablica se dobija da je za pritisak od 0,12 bara, t2 = 49,44 0 C , s2’’ = 8,085 kJ/kgK, s2’ = 0,6966 kJ/kgK, i2’ = 206,95 kJ/kg, i2’’ = 2591 kJ/kg. a) Dovedena specifična količina toplote tokom izobarni-izotermnog isparavanja iznosi:

kgkJ

iiiiiiiiiiiiqqq

25971992796

)()()()( '2

''142124112

'11

''1

'11

=−=

=−=−=−+−≅−+−=+=

(na osnovu tablica za vodenu paru kgkJq 2,26001 = ).


kgkJiiiiq 3,184120407,1983

'2342 −=−=−=−=

b) Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 7,7553,1841259721 =−=−=

c) TKI ciklusa je: 291,02597

7,755

1

===qlkη .

d) TKI Carnot-ovog ciklusa izme|u datih ekstremnih temperatura iznosi:

329,048032211

1

2 =−=−=TT

Cη .

R12.5. Na osnovu tablica za veli~ine stanja pregrejane pare (ili i,s-dijagrama) dobija se da je za p1 = 2,5 MPa = 25 bara i t1=600 0C: i1 = 3686 kJ/kg i s1 = 7,594 kJ/kgK.

Kako je s2 = s1 = 7,594 kJ/kgK i kako je, na osnovu tablica za veličine stanja ključale vode i suve pare, za p2 = 0,01 MPa = 0,1 bar: i2’ = 191,83 kJ/kg, i2’’ = 2584 kJ/kg, s2’’ = 8,149 kJ/kgK, s2’ = s3 = 0,6492 kJ/kgK, dobija se da je stepen suvoće pare na izlazu iz turbine

926,06492,0149,86492,0594,7

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx .

Entalpija posle adijabatske ekspanzije u turbini (tačka 2 na slici R 12.3) iznosi

kgkJxiiii 0,2407926,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

111

a) S obzirom da je ukupna dovedena specifična količina toplote po ciklusu iznosi: '

234 iii =≅

kgkJiiiiiiiiiiiiq 2,349483,1913686)()()( '

2131416156451 =−=−=−≅−=−+−+−= ,

Odvedena specifična količina toplote po ciklusu je:

kgkJiiiiq 2,2215240783,1912

'2232 −=−=−=−= .

b) Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 0,12792,22152,349421 =−=−= .

c) TKI ciklusa je:

366,02,34940,1279

1

===qlkη .

R12.6. Za p1 = 1,6 MPa = 16 bara i t1 = 300 0 C, iz tablica za pregrejanu paru (ili i,s-dijagrama), sledi: i1 = 3030 kJ/kg i s1 = 6,876 kJ/kgK. Kako je za p2 = 0,01 MPa = 0,1 bar: i2’ = 191,83 kJ/kg, i2’’ = 2584 kJ/kg, s2’’ = 8,149 kJ/kgK, s2’ = s3 = 0,6492 kJ/kgK, stepen suvoće pare u tački “2”, posle izoentropskog širenja u turbini (s2 = s1 = const. = 6,876 kJ/kgK), iznosi

830,06492,0149,86492,0876,6

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx

Entalpija u tački 2 ciklusa (posle adijabatske ekspanzije u turbini):

kgkJxiiii 3,2177830,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+=

Dovedena specifična količina toplote po ciklusu iznosi:

112

kgkJiiiiiiiiiiiiq 2,283883,1913030)()()( '

2131416156451 =−=−=−≅−=−+−+−=

Odvedena specifična količina toplote po ciklusu je:

kgkJiiiiq 5,19853,217783,1912

'2232 −=−=−=−=

b) Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 7,8525,19852,283821 =−=−=

c) TKI ciklusa je: 300,02,2838

7,852

1

===qlkη

d) Snaga parnoturbinskog postrojenja je

kWdtdml

dtdL

P kk

k 8,25536001080107,852 3 =⋅⋅=== .

R12.7. Za p1 = 5,0 MPa = 50 bara i t1 = 500 0C, iz tablica za pregrejanu paru (ili i,s-dijagrama), sledi: i1 = 3433 kJ/kg i s1 = 6,974 kJ/kgK. Za pritisak vlažne pare p2 = 0,006 MPa = 0,06 bara, iz odgovarajućih tablica (ili i,s-dijagrama), dobija se: s2’’ = 8,238 kJ/kgK, s2’ = 0,5205 kJ/kgK, i2’’ = 2567 kJ/kg, i2’ = 151,46 kJ/kg. Kako je s2 = s1 = 6,974 kJ/kgK, stepen suvoće pare na izlazu iz turbine (u tački “2”) iznosi

836,05205,0238,85205,0974,6

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx .

Entalpija u tački “2” ciklusa (posle adijabatske ekspanzije u turbini) je:

kgkJxiiii 8,2170836,0)46,1512567(46,151)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+=

Povećanjem stepena suvoće pare na vrednost x2

* = x2 + Δx2 = 0,836 + 0,10 = 0,936, entropija i entalpija pare takođe se povećavaju:

kgKkJxssss 7441,7936,0)5205,0238,8(5205,0)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= ∗∗

kgkJxiiii 4,2412936,0)46,1512567(46,151)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= ∗∗

Interpolacionim postupkom, iz tabele za pregrejanu paru se dobija da za isti pritisak pregrejane pare p1

* = p1 = 5,0 MPa = 50 bara i za s1* = s2

* = 7,7441 kJ/kgK temperatura pregrejane pare iznosi t1

* = 800,5 0C (jer za s = 7,743 kJ/kgK je t = 8000 C, a za s = 7,852 k/kgK je t = 8500 C). Takođe je i1

* = 4137 kJ/kg. Znači, temperatura pregrevanja se povećala za . Cttt 0

111 5,3005005,800 =−=−=Δ ∗

113

U prvom slučaju TKI ciklusa je

3846,046,1513433

8,21703433'21

21

31

21 =−−

=−−

=−−

≅iiii

iiii

η

Posle povećanja temperature pregrevanja TKI ciklusa iznosi:

4327,046,1514137

4,24124137'21

21

31

21 =−−

=−−

=−−

≅ ∗

∗∗

∗

∗∗∗

iiii

iiii

η ,

tako da je

126,13846,04327,0

==∗

ηη ,

što znači da se TKI ciklusa povećao za 12,6%. R12.8. a) Za p1 = 5,0 MPa = 50 bara, iz tablica za vodenu paru (ili i,s-dijagrama), sledi: t1 = 263.9 0C , s1’’ = 5,974 kJ/kgK, s1’ = 2,9209 kJ/kgK, i1’’ = 2794 kJ/kg, i1’ = 1154,64 kJ/kg. Entropija i entalpija vlažne pare datog stepena suvoće x1= 0,80 pre ulaza u turbinu (tačka 1 na slici R12.4) iznosi, respektivno:

kgKkJxssss a 3634,580,0)9209,2974,5(9209,2)( 1

'1

''1

'11 =⋅−+=−+=

kgkJxiiii a 13,246680,0)64,11542794(64,1154)( 1

'1

''1

'11 =⋅−+=−+= .

Posle izoentropskog širenja, za pritisak vlažne pare p2 = 0,01 MPa = 0,1 bara, iz odgovarajućih tablica (ili i,s-dijagrama), dobija se: t = 45,82 0C, s2’’ = 8,149 kJ/kgK, s2’ = 0,6492 kJ/kgK, i2’’ = 2584 kJ/kg, i2’ = 191,83 kJ/kg. Kako je s2 = s1 = 5,3634 kJ/kgK, stepen suvoće pare na izlazu iz turbine (u tački “2” na slici R12.4) iznosi

6286,06492,0149,86492,03634,5

'2

''2

'21

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx a .

114

Entalpija pare u tački “2” ciklusa (posle adijabatske ekspanzije u turbini) je:

kgkJxiiii a 55,16956286,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

TKI ovog ciklusa je

339,083,19113,246655,169513,2466

'21

21

4,31

21 =−−

=−−

=−−

≅iiii

iiii

aη .

b) Entropija pare na izlazu iz turbine (u tački 2’) jednaka je entropiji suvozasićene pare, tj. s2 ‘ = s1’’ = 5,974 kJ/kgK, tako da stepen suvoće vlažne pare u tački 2’ iznosi:

710,06492,0149,86492,0974,5

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'2'2

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx b .

Entalpija pare u datoj tački (2’) iznosi:

kgkJxiiii b 27,1890710,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'2'2 =⋅−+=−+= .

TKI ovog ciklusa je:

347,083,191279427,18902794

'2

''1

'2''

1

4,3'1

2'1 =−−

=−−

=−−

≅iiii

iiii

bη .

c) Za pritisak p1 = 5,0 MPa = 50 bara i temperaturu t1 = 500 0C, entalpija i entropija pregrejane pare iznose, respektivno: i1 ’’ = 3433 kJ/kg , s1 ’’ = 6,974 kJ/kgK. Kako je ekspanzija u turbini izoentropska, sledi: s2 ’’ = s1 ’’ = 6,974 kJ/kgK, tako da je stepen suvoće pare na izlazu iz turbine (tačka 2’’) pri pritisku od p2 = 0,01 MPa = 0,1 bara

8433,06492,0149,86492,0974,6

'2

''2

'2''1

'2

''2

'2''2

2'

=−−

=−−

=−

−=

ssss

ssss

x c ,

tako da je

115

kgkJxiiii c 15,22098433,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'2''2 =⋅−+=−+= .

TKI ovog ciklusa je:

378,083,191343315,22093433

'2''1

''2''1

4,3''1

''2''1 =−−

=−−

=−−

≅iiii

iiii

cη .

TKI ovih ciklusa odnose se kao 115,1:024,1:1378,0:347,0:339,0:: ==cba ηηη , što znači da se znatno povećanje TKI cikusa (za 11,5%) postiže pregrevanjem pare pred ulaz u turbinu. R12.9. Za stepen vlažnosti od 0,10, odnosno za stepen suvoće x2 = 1 - 0,10 = 0,90, pri pritisku od p2 = 0,010 MPa, na osnovu i, s -dijagrama (ili odgovarajućih tablica) dobija se da je s2 = 7,400 kJ/kgK i i2 = 2345 kJ/kg. Do istog rezultata može da se dođe na osnovu tablica za vodenu paru. Naime, za p2 = 0,010 MPa = 0,10 bara je s2’’ = 8,149 kJ/kgK, s2’ = 0,6492 kJ/kgK, i2’’ = 2584 kJ/kg, i2’ = 191,83 kJ/kg, tako da je:

kgKkJxssss 3990,790,0)6492,0149,8(6492,0)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= ,

kgkJxiiii 78,234490,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

a) Iz i,s- dijagrama sledi da je, za s1 = s2 = 7,399 kJ/kgK i pri p1 = 3,0 M Pa, temperatura pare iznosi t1 = 5600 C. Iz tablica za pregrejanu paru, pri pritisku p1 = 3,0 MPa=30 MPa, nalazi da za vrednost entropije od 7,400 kJ/kgK entalpija iznosi 3592 kJ/kg a temperatura 5600 C, a za vrednost entropije od 7,345 kJ/kgK, entalpija iznosi 3547 kJ/kg i temperatura 5400 C. Interpolacijom se dobija da kada je entropija s1 = 7,399 kJ/kgK, entalpija ima vrednost od i1 = 3591,18 kJ/kg a temperatura iznosi t1 = 559,64 0 C. b) TKI ciklusa je

367,083,19118,359178,234418,3591

'21

21

4,31

21 =−−

=−−

=−−

≅iiii

iiii

η .

R12.10. a) Za pritisak p1 = 6,0 MPa = 60 bara i temperaturu t1 = 540 0 C, iz tablica za pregrejanu paru (ili i,s-dijagrama), sledi: i1 = 3517 kJ/kg i s1 = 6,998 kJ/kgK. Za pritisak vlažne pare pA = 0,10 MPa=1,0 bara, iz odgovarajućih tablica (ili i,s-dijagrama), dobija se: sA’’ = 7,359 kJ/kgK, sA’ = 1,3025 kJ/kgK, iA’’ = 2675 kJ/kg, iA’ = 417,51 kJ/kg.

116

Kako je proces širenja (1→ A) izoentropski sledi sA = s1 = 6,998 kJ/kgK, stepen suvoće pare na izlazu iz turbine (u tački “A” slika R12.5.) iznosi

940,03025,1359,73025,1998,6

'''

'

=−−

=−−

=AA

AAA ss

ssx ,

tako da je entalpija u tački “A” ciklusa (posle adijabatske ekspanzije u turbini):

kgkJxiiii AAAAA 55,2539940,0)51,4172675(51,417)( '''' =⋅−+=−+= .

Posle dodatnog pregrevanja pri pritisku pA = 0,10 MPa=1,0 bara do temperature t1’ = 300 0C u tački 1’ entalpija i entropija iznose: i1’ = 3073 kJ/kg i s1’ = 8,212 kJ/kgK. Posle ekspanzije do pritiska p2 =0,005 MPa=0,05 bara (tačka 2) je s2 = s1’ = 8,212 kJ/kgK, s2’’ = 8,394 kJ/kgK, s2’ = 0,4760 kJ/kgK, i2’’ = 2561 kJ/kg, i2’ = 137,74 kJ/kg, tako da stepen suvoće pare u tački 2 iznosi:

977,04760,0394,84760,0212,8

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=ssssx .

Entalpija u tački 2 ima vrednost:

kgkJxiiii 26,2505977,0)74,1372561(74,137)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

Dovedena specifična količina toplote iznosi:

kgkJiiii

iiiiiiiiiiiiq

A

AA

71,3912)55,25393073()74,1373517()()(

)()()()()()(

'1'21

'14,31'161564,351

=−+−=−+−=

=−+−=−+−+−+−=

Odvedena količina toplote je

117

kgkJiiiiq 52,236726,250574,1372

'224,32 −=−=−=−= .

Specifičan koristan rad ciklusa iznosi: kgkJqqlk 19,154552,236771,391221 =−=−= .

TKI ciklusa je: 395,071,391219,1545

1

===qlk

aη .

b) bez drugostepenog pregrevanja sa ekspanzijom do pritiska p2 = 0,005 MPa = 0,05 bara (tačka 2’) stepen suvoće iznosi:

8237,04760,0394,84760,0998,6

'2

''2

'21

'2

''2

'2'2

'2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx ,

tako da je

kgkJxiiii 78,21338237,0)74,1372561(74,137)( '2

'2

''2

'2'2 =⋅−+=−+= .

TKI ciklusa bez drugostepenog pregrevanja

409,026,337922,1383

74,137351778,21333517)(

'21

'21'21

'2'2

'21

1

21

1

==−−

=−−

=−

−−−=

−==

iiii

ii

iiii

qqq

qlk

bη

Bez obzira što je u ovom slučaju (b) teorijski TKI ciklusa nešto veći (3,5%) u odnosu na prvi slučaj (a), realna ekonomičnost parnoturbinsog postrojenja je manja zbog otežanog rada turbine sa parom znatno veće vlažnosti. R12.11. Za pregrejanu vodenu paru pritiska p1 = 10,0 MPa=100 bara i temperature t1 =500 0C, iz tablica (ili i,s-dijagrama) dobija se: i1 = 3372 kJ/kg i s1 =sA = s2’ = 6,596 kJ/kgK. Posle ekspanzije u turbini do pritiska pA = 0,60 MPa = 6,0 bara, pri čemu je sA = s1 = 6,596 kJ/kgK, sA’’ = 6,760 kJ/kgK, sA’ = 1,9309 kJ/kgK, iA’’ = 2757 kJ/kg, iA’ = 670,43 kJ/kg, stepen suvoće pare u tački 2 iznosi:

966,09309,1760,69309,1596,6

'''

'

=−−

=−−

=AA

AAA ss

ssx

Posle dodatnog pregrevanja pri pritisku pA = 0,60 MPa = 6,0 bara do temperature t’1 = t1 = 500 0C u tački 1’ entalpija i entropija iznose: i1’ = 3483 kJ/kg i s1’ = 8,001 kJ/kgK. Posle ekspanzije do pritiska p2 =0,01 MPa = 0,1 bara (tačka 2) je, s2 = s1’ = 8,001 kJ/kgK s2’’ = 8,149 kJ/kgK, s2’ = 0,6492 kJ/kgK, i2’’ = 2584 kJ/kg, i2’ = 191,83 kJ/kg, tako da stepen suvoće pare u tački 2 iznosi:

980,06492,0149,86492,0001,8

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=ssssx .

118

b) bez drugostepenog pregrevanja sa izoentropskom ekspanzijom (s2’ = s1 =sA = 6,596 kJ/kgK) do pritiska p2 = 0,01 MPa = 0,1 bara (tačka 2’) stepen suvoće iznosi:

793,06492,0149,86492,0596,6

'2

''2

'21

'2

''2

'2'2

'2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx ,

Entalpije u tačkama A, 2’ i 2 iznose, respektivno:

kgkJxiiii AAAAA 06,2686966,0)43,6702757(43,670)( '''' =⋅−+=−+= ,

kgkJxiiii 82,2088793,0)83,1912584(83,191)( '2

'2

''2

'2'2 =⋅−+=−+= ,

kgkJxiiii 16,2536980,0)83,1912584(83,191)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

TKI ciklusa sa dvostepenim pregrevanjem je:

520,027,314178,1632

)06,26863483()83,19116,2536()16,25363483()06,26863372(

)()()()(

'1'22

2'111 ==

−+−−+−

=−+−−+−

=A

A

iiiiiiii

η .

TKI ciklusa bez drugostepenog pregrevanja je

403,017,318018,1283

83,191337282,20883372)(

'21

'21'21

'2'2

'21

1

21

12 ==

−−

=−−

=−

−−−=

−==

iiii

ii

iiii

qqq

qlkη ,

tako da je 29,1403,0520,0

2

1 ==ηη

.

R12.12. Iz tablica za pregrejanu vodenu paru (ili i,s-dijagrama) sledi da je za p1 = 8,0 MPa = 80 bara i t1 = 500 0C,: i1 = 3397 kJ/kg i s1 =sA = s2’ = 6,722 kJ/kgK. Za pA = 2,0 MPa = 20 bara i sA = s1 = 6,722 kJ/kg K, iz i,s-dijagrama (ili iz tablica interpolacionim postupkom), dobija se da je para pregrejana temperature 291,08 0C, tako da je iA = 2998 kJ/kg. Naime, za 280 0C je i = 2972 kJ/kg i s = 6,674 kJ/kgK, a za 300 0C je i = 3019 kJ/kg i s = 6,757 kJ/kgK Ukoliko bi se iz ove tačke (A) izvršila adijabatska ekspanzija u turbini do pritiska p2 = 0,005 MPa = 0,05 bara, pri čemu je s2’ = sA = s1 = 6,722 kJ/kgK s2’’ = 8,394 kJ/kgK, s2’ = 0,4760 kJ/kgK, i2’’ = 2561 kJ/kg, i2’ = 137,74 kJ/kg, stepen suvoće na izlazu iz turbine (tačka 2’) bio bi:

789,04760,0394,84760,0722,6

'2

''2

'21

'2

''2

'2'2

'2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx ,

119

tako da je

kgkJxiiii 69,2049789,0)74,1372561(74,137)( '2

'2

''2

'2'2 =⋅−+=−+=

Dodatnim pregrevanjem pri istom pritisku p1’ = pA = 2,0 MPa=20 bara i t1’ = 5000 C, u tački 1’ ciklusa je i1’ = 3467 kJ/kg i s1’ = s2 = 7,429 kJ/kgK. Posle ekspanzije do pritiska p2 =0,005 MPa = 0,05 bara (tačka 2), pri čemu je s2 = s1’ = 7,429 kJ/kgK, stepen suvoće pare u tački 2 iznosi:

878,04760,0394,84760,0429,7

'2

''2

'2'1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx ,

tako da je

kgkJxiiii 36,2265878,0)74,1372561(74,137)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

TKI ciklusa bez dodatnog pregrevanjq je

413,017,318018,1283

74,137339769,20493397

'21

'21

1

211 ==

−−

=−−

=−

=iiii

qqq

η .

TKI ciklusa sa dodatnim pregrevanjem je

429,026,372864,1600

)29983467()74,1373397()36,22653467()29983397(

)()()()(

'1'22

2'112 ==

−+−−+−

=−+−−+−

=A

A

iiiiiiii

η .

TKI ciklusa povećao se za 039,1413,0429,0

1

2 ==ηη

, tj. za 3,9%.

13. RASHLADNI SISTEMI 13.1. Vazdušna kompresorska rashladna mašina treba da obezbedi u rashladnoj komori temperaturu od trk = - 20 0C, pri temperaturi okolne sredine od ts = 20 0C. Pritisak vasduha u rashladnoj komori je p2 = 0,10 MPa. Posle adijabatskog sabijanja u kompresoru pritisak vazduha iznosi p1 = 0,50 MPa. Smatrajući da je vazduh idealan gas odrediti: a) temperatu vazduha na ulazu u rashladnu komoru posle adijabatskog širenja u ekspanzionoj mašini (detanderu); b) teorijski specifični rad koji je utrošen za odvijanje ciklusa; c) razmenjene specifične količine toplote; d) koeficijent hlađenja ovog (inverznog Joule-ovog) ciklusa i e) termički koeficijent hlađenja rashladne mašine koja bi radila po inverznom Carnot-ovom ciklusu za iste vrednosti temperature rashladne komore i okolne sredine. 13.2. Vazdušna rashladna mašina, čiji je rashladni kapacitet dQ2 /dt = 498 MJ/h, održava temperaturu od th = - 10 0C u rashladnoj komori. Temperatura vazduha pred ulaz u ekspanzionu mašinu (turbine) iznosi ts = 20 0C. Stepen porasta pritiska u kompresoru je β = p1 / p2 = 4,5. Odrediti: a) maseni protok vazduha; b) teorijsku snagu potrebnu za rad kompresora i

120

ekspanzionog uređaja; c) termički koeficijent hlađenja ciklusa i d) količinu toplote koja se preda u toku 1 h okolnoj sredini. 13.3. Vazdušna rashladna mašina, čiji je rashladni kapacitet dQ2 /dt = 150 MJ/h, održava temperaturu od t3 = - 15 0C u rashladnoj komori, pri konstantnoj temperaturi okolne sredine od 25 0C. Stepen porasta pritiska u kompresoru je β = p1 / p2 = 4,3. Smatrajući da je vazduh idealan gas odrediti: a) termički koeficijent hlađenja; b) teorijsku snagu potrebnu za pogon uređaja; c) maseni protok vazduha i d) specifičnu količinu toplote koja je predata okolnoj sredini po ciklusu. (Okt ‘04) 13.4. Vazdušna rashladna mašina radi pri sledećim uslovima. Iz rashladne komore vazduh ulazi u kompresor pod pritiskom od p2 = 0,10 MPa i pri temperaturi od t3 = - 13 0C. Posle adijabatske kompresije vazduh izlazi iz kompresora pod pritiskom od p1 = 0,40 MPa. U razmenjivaču toplote, pri p1 = const, zagrejan vazduh se hladi do temperature t1 = 27 0C, a zatim se, posle adijabatskog širenja u turbodetanderu, uvodi u rashladnu komoru gde se pri p2 = const zagreva do početne temperature (t3 = - 13 0 C). Maseni protok vazduha je dm/dt = 3,0 kg/s. Odrediti: a) termički koeficijent hlađenja uređaja; b) snagu neohodnu za rad rashladne mašine i c) rashladni kapacitet mašine (dQ2 / dt). (Jun ‘02) 13.5. Vazdušna kompresorska rashladna mašina proizvodi led temperature tL = - 5 0C od vode temperature tv = 16 0C. Temperatura vazduha na ulazu u kompresor je t3 = - 13 0C. Stepen porasta pritiska vazduha u kompresoru je β = p1/p2 = 4,7. Temperatura vazduha na ulazu u ekspanzioni uređaj (detander) je t1 = 25 0C. Maseni protok vazduha iznosi dm/dt = 5400 kg/h. Specifični toplotni kapacitet vode je cpv = 4,186 kJ/kgK, specifični toplotni kapacitet leda je cpL = 2,09 kJ/kgK i specifična toplota topljenja leda je q0 = 330,7 kJ/kg. Odrediti: a) termički koeficijent hlađenja ciklusa; b) teorijsku snagu neophodnu za pogon rashladne mašine i c) količinu proizvedenog leda u toku 1 h. 13.6. Parnokompresorska rashladna mašina radi po inverznom Carnot-ovom ciklusu sa vlažnom zasićenom parom amonijaka (NH3). Isparavanje amonijaka se vrši pri temperaturi od t1 = 30 0C a kondenzacija pri temperaturi od t2 = - 30 0C. Maseni protok amonijaka iznosi dm/dt = 360 kg/h. Odrediti: a) rashladni kapacitet postrojenja; b) teorijsku snagu motora rashladne mašine i c) termički koeficijent hlađenja ciklusa. 13.7. Parnokompresorska rashladna mašina radi po inverznom idealnom Rankine-ovom ciklusu sa zasićenom parom. Rashladni fluid je freon-12. Najviša i najniža temperatura radnog tela tokom ciklusa iznose t1 = 25 0C i t2 = - 25 0C, respektivno. Rashladni kapacitet uređaja iznosi dQ2 /dt = 1000 MJ/h. Odrediti: a) razmenjene specifične količine toplote; b) teorijsku snagu koja je potrebna za rad date rashladne mašine; c) termički koeficijent hlađenja ciklusa i d) termički koeficijent hlađenja inverznog Carnot-ovog ciklusa sa zasićenom parom između istih ekstremnih temperatura kao kod Rankine-ovog ciklusa. (Jun ‘96). 13.8. Parnokompresorska rashladna mašina radi po inverznom Rankine-ovom ciklusu sa zasićenom parom amonijaka kao radnim telom. Najviša i najniža temperatura ciklusa iznose t1 = 30 0C i t2 = -30 0C, respektivno. Rashladni kapacitet uređaja je dQ2/dt = 100 MJ/h. Odrediti: promenu entropije pri procesu adijabatskog prigušenja u prigušnom ventilu, b) maseni protok amonijaka, c) koeficijent hlađenja i d) teorijsku snagu motora uređaja neophodnog za pogon kompresora. (Sept ‘05). 13.9. Parnokompresorska rashladna mašina koristi ugljen-dioksid kao rashladni fluid. Kondenzacija rashladnog fluida se vrši pri temperaturi od t1 = 20 0C, a isparavanje na temperaturi

121

od t2 = -20 0C. Na ulazu u prigušni ventil para ugljen-dioksida je stepena suvoće x = 0. Sabijanje pare u kompresoru je izoentropsko. Odrediti termički koeficijent hlađenja ciklusa ako je para suvozasićena: a) na ulazu u kompresor i b) na izlazu iz kompresora. 13.10. Za zagrevanje zgrade koristi se toplotna pumpa, koja radi po inverznom Carnot-ovom ciklusu za zasićenu paru sa amonijakom kao radmin telom. Ovaj modifikovani rashladni uređaj koristi spoljašnju sredinu kao izvor niže temperature, tako da na osnovu uloženog rada za pogon kompresora za adijabatsko sabijanje radnog tela, prenosi se toplota sa okolne sredine na toplotni izvor više temperature, tj. vazduh u prostorijama zgrade. Snaga motora za pogon kompresora iznosi Pk = 30 kW. Ako je temperature okolne sredine t2 = -15 0C , a potrebno je da temperatura u prostorijama zgrade bude t1=25 0C, odrediti: a) količinu toplote koja se tokom jednog časa koristi za zagrevanje zgrade; b) koeficijet grejanja datog ciklusa. 13.11. Toplotna pumpa, koja koristi toplotu uzetu iz okolne sredine za zagrevanje prostorija u zgradama, predstavlja modifikaciju parnokompresorskog rashladnog uređaja i radi po idealnom inverznom Rankine-ovom ciklusu sa zasićenom parom freona-12. Najniža temperatura ciklusa jednaka je temperaturi okolne sredine i iznosi t2 = - 25 0C, a najviša temperatura jednaka je temperaturi u prostoriji zgrade i iznosi t1 = 25 0C. Snaga motora za pogon kompresora iznosi Pk = 69,9 kW. Na izlazu iz kompresora para je suvo-zasićena. Odrediti: a) maseni protok freona-12; b) grejni kapacitet toplotne pumpe i c) termički koeficijent grejanja. (Jul ‘05) 13.12. Idealan ciklus za postizanje niskih temperatura i likvefikaciju gasova prikazan je na slici 13.1. Rashladni fluid je vodonik. Početni pritisak i temperatura vodonika iznose p1 = 0,098 MPa i T1 = 40 K, respektivno. Posle izotermnog sabijanja pritisak vodonika iznosi p2 = 7,84 MPa. Posle izoentropskog hlađenja gas je potpuno preveden u tečno stanje (tačka 3 na donjoj graničnoj krivoj). Izobarno-izotermnim zagrevanjem, pri početnom pritisku p1, vodonik ispari a zatim se izobarnim zagrevanjem, pri istom pritisku, dovodi u početno stanje. Odrediti na osnovu T,s - dijagrama: a) razmenjene specifične količine toplote; b) izvršen specifični rad; c) termički koeficijent hlađenja ciklusa i d) termički koeficijent hlađenja odgovarajućeg inverznog Carnot-ovog ciklusa.

13.13. U slučaju običnog Linde-ovog metoda za likvefikaciju gasova koristi se neon kao rashladni fluid. Neon, pritiska p1 = 0,098 MPa se izotermno sabija u kompresoru do visokog

122

pritiska od p2 =9,80 MPa, a zatim se uvodi u regenerativni razmenjivač toplote, gde se izobarno hladi povratnim protokom ohlađenog neona do temperature Tm = 41,2 K. Gas se zatim izoentalpijski ohladi posle prolaza kroz prigušni ventil. Pritisak gasa na izlazu iz prigušnog ventila jednak je početnom pritisku ciklusa (p4 = p1). Pri datim uslovima gas je delimično likvefikovan. Na račun toplote uzete od okolne sredine, čija je temperatura nešto viša od temperature pare neona, tečan neon isparava pri konstantnoj temperaturi i pritisku a zatim se izobarno regenerativno zagreva u razmenjivaču toplote na račun toplote uzete od struje neona visokog pritiska. Na izlazu iz razmenjivača tamperatura struje neona niskog pritiska jednaka je temperaturi struje neona visokog pritiska, koju je imala na ulazu u razmenjivač toplote, i iznosi T1 = 84 K. Ovaj tzv. Linde-ov ciklus likvefikacije sa prostim prigušenjem prikazan je na slici 13.2. Na osnovu T, s - dijagrama neona odrediti: a) specifičnu količinu toplote koja je potrebna za izobarno-izotermno isparavanje likvefikovanog neona; b) specifični rad koji je potrebno utrošiti da bi se ostvario ciklus; c) termički koeficijent hlađenja ciklusa i d) odnos termičkog koeficijenta ovog ciklusa i termičkog koeficijenta hlađenja inverznog Carnot-ovog ciklusa.

R13. REŠENJA. R13.1. a) Temperatura T2 vazduha na ulazu u rashladnu komoru (tačka 2 na slici R13.1) iznosi:

Kpp

TTk

k

0,1855,01,0293

4,114,11

1

212 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

.

b) Temperatura T4 vazduha na izlazu iz kompresora je:

Kpp

TTk

k

7,4001,05,0253

4,114,11

3

434 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

.

Specifični rad koji je utrošen za pogon kompresora po jednom ciklusu iznosi:

kgkJTTcTTciil rkppk 0,148)2537,400(10002,1)()( 3

43434 =−⋅=−=−=−=

gde je kgKkJ

kkRcp 002,1

1=

−= - maseni specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku.

123

Specifični rad koji izvrši vazduh u ekspanzionom cilindru iznosi:

kgkJTTciil pT 2,108)185293(10002,1)( 3

2121 =−⋅=−=−= .

Specifični rad koji je utrošen po jednom ciklusu za pogon rashladne mašine iznosi:

kgkJlll TkC 8,392,1080,148 =−=−= .

c) Specifična količina toplote, koja je odvedena iz hladnjaka, iznosi:

kgkJTTcq p 1,68)185253(10002,1)( 3

232 =−⋅=−= .

Specifična količina toplote, koja je predata okolnoj sredini, iznosi:

kgkJTTcq p 9,107)2937,400(10002,1)( 3

141 =−⋅=−=

ili

kgkJlqq C 9,1078,391,6821 =+=+=

d) Termički koeficijenta hla|enja (TKH) ciklusa je:

71,18,391,682 ===

Clq

ε

ili

71,1185293

185

21

2 =−

=−

=TT

Tε

e) TKH inverznog Carnot-ovog ciklusa iznosi:

32,6253293

253

31

3 =−

=−

=TT

Tε .

R13.2. a) Temperatura T2 vazduha na ulazu u rashladnu komoru, posle adijabatske ekspanzije (tačka 2 na slici R13.1), iznosi:

KTpp

TT kk

s

kk

65,1905,4293 4,14,111

1

1

212 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β

Odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore iznosi:

124

kgkJTTcq p 49,72)65.190263(10002,1)( 3

232 =−⋅=−= ,

gde je kgKkJ

kkRc p 002,1

1=


Kako rashladni kapacitet mašine iznosi:

s

MJh

MJdtdmq

dtdQ

1383,049822 === ,

maseni protok vazduha je

s

kgdt

dQqdt

dm 908,1101383,01049,72

11 63

2

2

=⋅⋅⋅

== .

b) Temperatura T4 vazduha na izlazu iz kompresora je

KTpp

TT kkk

k

19,4045,4263 4,114,11

3

1

3

434 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β .

tako da specifični rad koji je potreban za pogon kompresora po jednom ciklusu iznosi:

kgkJTTciil pk 47,141)26319,404(10002,1)( 3

3434 =−⋅=−=−= .

Specifični rad koji izvrši vazduh u ekspanzionom cilindru iznosi:

kgkJTTciil pT 55,102)65,190293(10002,1)( 3

2121 =−⋅=−=−= .

Specifični rad koji je potreban po jednom ciklusu za pogon rashladne mašine iznosi:

kgkJlll TkC 92,3855,10247,141 =−=−=

Odgovarajuće teorijske snage su:

kWdtdml

dtdL

P kk

k 92,269908,147,141 =⋅===

kWdtdml

dtdL

P TT

T 66,195908,155,102 =⋅===

kWdtdml

dtdL

P CC

C 26,74908,192,38 =⋅===

125

Znači, ukoliko se snaga (PT), koja je oslobođena u ekspanzionoj mašini, usmeri za pogon kompresora, spolja treba da se dovede samo deo ukupne snage (PC) za rad kompresora ( ). CTk PPP += c) Termički koeficijenta hla|enja (TKH) ciklusa je:

86,115,4

1

1

1

4,114,11

21

2 =

−

=−

=−

= −−kk

kTTT

βε .

d) Količina toplote koja se u jedinici vremena preda okolnoj sredini iznosi:

hMJ

skJ

dtdmTTc

dtdmq

dtdQ

p

3,765

57,212908,1)29319,404(10002,1)( 3141

1

=

==⋅−⋅=⋅−==

R13.3. a) TKH ciklusa iznosi:

934,113,4

1

1

1

1

1

4,114,111

2

121

2 =

−

=−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−= −−−

kk

kk

pp

TTT

βε

b) Kako je dtdml

dtdLP C

CC == , i kako je

ε2q

lC = , sledi

kWdt

dQdtdmq

dtdmlP CC 54,21

360010150

934,111 6

22 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅====

εε.

c) Temperatura vazduha na ulazu u rashladnu komoru, posle adijabatske ekspanzije, iznosi

KTTpp

TT kkk

kk

k

44,1963,42981 4,14,111

1

1

1

1

1

212 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−

ββ

,

tako da je odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore

kgkJTTcq p 68,61)44,196258(10002,1)( 3

232 =−⋅=−= ,

gde je kgKkJ

kkRc p 002,1

1=


Kako rashladni kapacitet mašine iznosi:

skJ

hMJ

dtdmq

dtdQ

67,4115022 === ,

126

maseni protok vazduha je

skg

hkg

dtdQ

qdtdm 6755,0243210150

1068,6111 6

32

2

==⋅⋅⋅

== .

d) Količina toplote koja je u jedinici vremena predata okolnoj sredini može da se odredi na osnovu izraza

hMJ

skJ

dtdQ

Pdt

dQdt

dLdt

dQC

C 56,22721,6367,4154,21221 ==+=+=+= ,

tako da je predata specifična količina toplote po ciklusu

kgkJ

kgkJ

dtdmdtdQ

q 58,936755,0

21,6311 === .

Do istog izraza se može doći na osnovu poznatog izraza

kgkJTTcq p 58,93)29839,391(10002,1)( 3

141 =−⋅=−=

znajući da je

KTpp

TT kkk

k

39,3913,4258 4,114,11

3

1

3

434 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β .

R13.4. a) TKH ciklusa je

058,210,4

1

1

1

1

1

4,114,111

2

121

2 =

−

=−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−= −−−

kk

kk

pp

TTT

βε .

Temperatura vazduha na izlazu iz kompresora je

KTpp

TT kkk

k

36,3860,4260 4,114,11

3

1

3

434 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β .

Temperatura vazduha na ulazu u rashladnu komoru, posle adijabatske ekspanzije, iznosi

KTTpp

TT kkk

kk

k

88,2010,43001 4,14,111

1

1

1

1

1

212 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−

ββ

.

Razmenjene specifične količine toplote su

kgkJTTcq p 53,86)30036,386(10002,1)( 3

141 =−⋅=−=

127

kgkJTTcq p 24,58)88,201260(10002,1)( 3

232 =−⋅=−= ,

gde je cp = kR/(k-1) = 1,002 kJ/kgK - maseni specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku. Specifičan rad, koji je potrebno dovesti spolja za rad rashladne mašine po ciklusu, iznosi

kgkJqqlC 29,2824,5853,8621 =−=−= .

Snaga potrebna za rad rashladnog sistema je

kWdtdmlP CC 87,840,329,28 =⋅== .

Rashladni kapacitet rashladne mašine iznosi

hMJ

skJ

dtdmq

dtdQ

0,62972,1740,324,5822 ==⋅== .

R13.5. a) Termički koeficijenta hlađenja (TKH) ciklusa je:

798,1

17,4

1

1

1

1

1

4,114,111

2

121

2 =

−

=

−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

−−−k

kk

k

pp

TTT

βε .

b) Temperatura T4 vazduha na izlazu iz kompresora je

KTpp

TT kkk

k

58,4047,4260 4,114,11

3

1

3

434 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

β .

Posle adijabatske ekspanzije u detanderu temperatura vazduha iznosi

KTTpp

TT kkk

kk

k

51,1917,42981 4,14,111

1

1

1

1

1

212 =⋅==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−

ββ

.

Specifična količina toplote koja je odvedena iz rashladne komore je

kgkJTTcq p 63,68)51,191260(10002,1)( 3

232 =−⋅=−= .

Specifična količina toplote koja je predata okolnoj sredini iznosi

128

kgkJTTcq p 79,106)29858,404(10002,1)( 3

141 =−⋅=−= .

Specifičan rad, koji je potrebno dovesti spolja za rad rashladne mašine po ciklusu, iznosi

kgkJqqlC 16,3863,6879,10621 =−=−=

Snaga koja je potrebna za rad rashladnog sistema iznosi

kWdtdmlP CC 24,57

3600540016,38 =⋅== .

c) Rashladni kapacitet rashladne mašine iznosi

hMJ

skJ

dtdmq

dtdQ

60,37094,1023600540063,682

2 ==⋅== .

Da bi se voda temperature tv = 160 C ohladila do temperature t0 = 00 C potrebno je odvesti specifičnu količinu toplote

kgkJttcq vpvv 98,66)016(186,4)( 0 =−⋅=−= ,

gde je cpv = 4,186 kJ/kgK specifični toplotni kapacitet vode. Da bi se voda temperature t0 = 00 C prevela u led iste temperature treba da se odvede specifična

količina toplote koja je jednaka specifičnoj toploti topljenja leda kgkJq 7,3300 = .

Da bi se led, temperature t0 = 00 C, ohladio do temperature tL = - 50 C potrebno je da se odvede specifična količina toplote

kgkJttcq LpLL 45,10509,2)( 0 =⋅=−= ,

gde je cpL = 2,09 kJ/kgK, specifični toplotni kapacitet leda. Znači, da bi se od vode temperature tv = 160 C dobio led mase 1 kg, temperature tL = - 5 0C, treba da se iz sistema odvede specifična količina toplote

kgkJqqqq LvvL 13,40845,107,33098,660 =++=++= .

Ukupna količina toplote koja u jedinici vremena može da se odvede iz rashladne komore (rashladni kapacitet) iznosi

dt

dmq

dtdQ L

vL=2 ,

tako da je masa formiranog leda u jedinici vremena

129

hkg

skg

dtdQ

qdtdm

vL

L 0,908252,013,40894,1021 2 ===⋅=

R13.6. a) Iz tabele veličina stanja proključalog amonijaka ili i,s - dijagrama ( odnosno T,s- dijagrama amonijaka) dobija se da je : za t1 = 30 0 C , i1’ = 641,7 kJ/kg, i1’’ = 1787,1 kJ/kg, s1’ = 2,488 kJ/kgK, s1’’ = 6,267 kJ/kgK; za t2 = - 30 0C je: i2’ = 363,8 kJ/kg, i2’’ = 1722,2 kJ/kg, s2’ = 1,473 kJ/kgK, s2’’ = 7,062 kJ/kgK.

Kako je s2 =s1 = s1’ = 2,488 kJ/kgK i s3 =s4 = s1’’ = 6,267 kJ/kgK, stepen suvoće pare amonijaka na izlazu iz ekspanzionog uređaja (tačka “2” na slici R13.2) i na ulazu u kompresor (tačka “3”) iznosi, respektivno:

1816,0473,1062,7473,1488,2

'2

''2

'2

'1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx ,

8578,0473,1062,7473,1267,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x

Entalpija u tački “2” i “3” ciklusa je, respektivno:

kgkJxiiii 48,6101816,0)8,3632,1722(8,363)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= ,

kgkJxiiii 04,15298578,0)8,3632,1722(8,363)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+= .

Odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore je:

kgkJiiq 56,91848,61004,1529232 =−=−= ,

130

a specifična količina toplote koja je predata okolnoj sredini iznosi

kgkJiiiiq i 4,11457,6411,17871

''1141 =−=−=−= .

Rashladni kapacitet uređaja je

h

MJs

kJdtdmq

dtdQ

68,330856,91360036056,9182

2 ==⋅== .

b) Specifičan rad koji je potreban za odvijanje ciklusa i odgovarajuća snaga iznose, respektivno:

kgkJqqlC 84,22656,9184,114521 =−=−= ,

kWdtdmlP CC 68,22

360036084,226 =⋅== .

c) Termički koeficijent hlađenja (TKH) iznosi

05,484,22656,9182 ===

CC l

qε ,

ili

05,4243303

243

21

2 =−

=−

=TT

Tε .

R13.7. a) Iz tabele veličina stanja proključalog freona-12 ili i,s - dijagrama ( odnosno T,s- dijagrama freona-12) dobija se da je: za t1 = 25 0C , p1 = 6,5079 bara, i1’ = 524,16 kJ/kg, i1’’ = 665,84 kJ/kg, s1’ = 2,0834 kJ/kgK, s1’’ = 2,5587 kJ/kgK; za t2 = - 25 0 C je p2 = 1,2372 bara, i2’ = 477,43 kJ/kg, i2’’ = 642,89 kJ/kg, s2’ = 1,9142 kJ/kgK, s2’’ = 2,5811 kJ/kgK.

131

Kako je s3 =s4 = s1’’ = 2,5587 kJ/kgK, stepen suvoće pare freona-12 na ulazu u kompresor (tačka “3” na slici R13.3) iznosi:

9664,09142,15811,29142,15587,2

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x .

Entalpija pare freona-12 u tački “3”” ciklusa je:

kgkJxiiii 33,6379664,0)43,47789,642(43,477)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+= .

Obzirom da se proces adijabatskog prigušenja vrši bez promene entalpije ( i2 = i1 = i1’ = 524,16 kJ/kg) odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore je

kgkJiiiiq 17,11316,52433,637'

13232 =−=−=−= .

Specifična količina toplote koja je predata okolnoj sredini iznosi

kgkJiiiiq 68,14116,52484,665'

1''

1141 =−=−=−= .

b) Utrošen specifičan rad po ciklusu jednak je radu koji je potreban za pogon kompresora i iznosi:

Cl kl

kgkJliiiiiiqql kC 51,28)()( 3

''1

'13

'1

''121 ==−=−−−=−=

Kako je rashladni kapacitet uređaja dat izrazom dtdmq

dtdQ

22 = , maseni protok freona-12 iznosi

s

kgdt

dQqdt

dm 45,2360010

1017,11311 9

32

2

=⋅⋅

=⋅=

tako da snaga, koja je poterbna za pogon rashladne mašine, odnosno njenog kompresora, iznosi

kWdtdmlP kk 9,6945,21051,28 3 =⋅⋅== .

c) Termički koeficijent hlađenja (TKH) iznosi

97,351,2817,1132 ===

Clq

ε .

d) TKH inverznog Carnot-ovog ciklusa između isth ekstremnih temperatura iznosi

132

96,4248298

248

21

2 =−

=−

=TT

TCε ,

tako da je

80,0=Cεε .

R13.8. a) Na osnovu tabele veličina stanja proključalog amonijaka dobija se da je: za t1 = 30 0 C, i1’ = 641,7 kJ/kg, i1’’ = 1787,1 kJ/kg, s1’ = 2,488 kJ/kgK, s1’’ = 6,267 kJ/kgK, a za t2 = - 30 0 C je i2’ = 363,8 kJ/kg, i2’’ = 1722,2 kJ/kg, s2’ = 1,473 kJ/kgK, s2’’ = 7,062 kJ/kgK. Proces adijabatskog prigušenja vrši se bez promene entalpije tako da je i2 = i1 = i1’ = 641,7 kJ/kg. Stepen suvoće pare amonijaka na izlazu iz prigušnog ventila (tačka “2” na slici R13.3) iznosi:

2046,08,3632,17228,3637,641

'2

''2

'2

'1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=iiii

iiiix .

Enropija pare amonijaka na izlazu iz prigušnog ventila (u tački “2” ciklusa) je:

kgkJxssss 6165,22046,0)473,1062,7(473,1)( 2

'2

''2

'22 =⋅−+=−+= .

Pri pricesu adijabatskog prigušenja entropija amonijaka je porasla za:

kgkJsssssi 1285,0488,26165,2'

1212 =−=−=−=Δ .

b) Kako je s3 =s4 = s1’’ = 6,267 kJ/kgK, stepen suvoće pare amonijaka na ulazu u kompresor (tačka “3” na slici R13.3) iznosi:

8578,0473,1062,7473,1267,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x .

Entalpija pare amonijaka u tački “3” ciklusa je:

kgkJxiiii 04,15298578,0)8,3632,1722(8,363)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+= .

Odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore je

kgkJiiiiq 34,8877,64104,1529'

13232 =−=−=−= .

Kako je rashladni kapacitet uređaja dat izrazom dtdmq

dtdQ

22 = , maseni protok amonijaka iznosi

hkg

skg

dtdQ

qdtdm 70.1120313,0

360010

1034,88711 8

32

2

==⋅⋅

=⋅=

133

c) Specifična količina toplote koja je predata okolnoj sredini iznosi

kgkJiiiiq 4,11457,6411,1787'

1''

1141 =−=−=−= .

Utrošen specifičan rad po ciklusu jednak je radu koji je potreban za pogon kompresora i iznosi:

kgkJqqlC 06,25834,8874,114521 =−=−= .

Termički koeficijent hlađenja (TKH) iznosi

438,306,25834,8872 ===

Clq

ε .

d) Teorijska snaga motora, koji je poterban za pogon rashladne mašine, odnosno njenog kompresora, iznosi

kWdtdmlP CC 077,80313,01006,258 3 =⋅⋅== .

R13.9. Iz T,s- dijagrama za ugljen-dioksid (ili odgovarajućih tabela veličina stanja ukoliko su dostupne) dobija se da je: za t1 = 20 0 C, p1 = 59,2 at = 6.06 M Pa (1 at =1,013.105 Pa), i1’ = 114 k Cal/ kg = 477,3 kJ/kg, i1’’ = 151 k Cal/kg = 632,2 kJ/kg, s1’ = 1,047 k Cal/kgK = 4,384 kJ/kgK, s1’’ = 1,173 k Cal/kgK = 4,911 kJ/kgK (1 kCal =4,1868 kJ), a za t2 = - 20 0 C je i2’ = 89,1 k Cal/kg = 373 kJ/kg, i2’’ = 156,8 k Cal/kg = 656,5 kJ/kg, s2’ = 0,960 k Cal/kgK = 4,019 kJ/kgK, s2’’ = 1,227 k Cal/kgK = 5,137 kJ/kgK.

a) Tačka “3” (Slika R13.4) nalazi se na gornjoj graničnoj krivoj tako da je s3 = s2’’ = 5,137 kJ/kgK. Entalpija pare u tački “4” nalazi se na osnovu preseka izoentrope s4 = s3 = 5,137 kJ/kgK = const i izobare p1 = 5,71 M Pa = const. Tako se dobija da je i4 = 168 k Cal/kg = 703,4 kJ/kg. Obzirom da je i2 = i1 = i1’, odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore iznosi

kgkJiiiiq 3,1793,4775,656'

13232 =−=−=−=

134

Specifičan rad koji je potreban za odvijanje ciklusa jednak je radu kompresora i iznosi

kgkJliiiil kC 9,465,6564,7033434 ==−=−=−= .

TKH ciklusa iznosi

82,39,463,1792 ===

Clq

ε .

b) Stepen suvoće pare ugljen-dioksida na ulazu u kompresor (tačka 3’ na slici R13.4) iznosi, kada para na izlazu iz kompresora suvozasićena (s3’= s1’’):

797,0019,4137,5019,4911,4'

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

'3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x .

Entalpija pare ugljen-dioksida u tački 3’ ciklusa je:

kgkJxiiii 599797,0)3735,656(373)( '3

'2

''2

'2'3 =⋅−+=−+=

Odvedena specifična količina toplote iz rashladne komore je

kgkJiiiiq 7,1213,477599'

1'32'3'2 =−=−=−= .

Potreban specifični rad za pogon kompresora je

kgkJliiiill kkC 2,335992,632'3

''1'35

'' ==−=−=−== .

TKH ciklusa iznosi

66,32,337,121' '

'2 ===

Clq

ε

R13.10. a) Na osnovu tabele veličina stanja proključalog amonijaka i suve amonijačne

pare dobija se da je: za t1 = 25 0C , p1 = 10,028 bara, i1’ = 617,6 kJ/kg, i1’’ = 1784,3 kJ/kg, s1’ = 2,409 kJ/kgK, s1’’ = 6,322 kJ/kgK; za t2 = - 15 0 C je p2 = 2,363 bara, i2’ = 431,4 kJ/kg, i2’’ = 1743,9 kJ/kg, s2’ = 1,743 kJ/kgK, s2’’ = 6,828 kJ/kgK. Stepen suvoće pare u tački “2” ciklusa (slika R 13.2) iznosi:

131,0743,1828,6743,1409,2

'2

''2

'2

'1

'2

''2

'22

2 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssssx

Stepen suvoće pare u tački 3 ciklusa iznosi:

135

900,0743,1828,6743,1322,6

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x .

Entalpija pare amonijaka u tački 2 i 3 ciklusa je:

kgkJxiiii 3,603131,0)4,4319,1743(4,431)( '

'2

''2

'2' =⋅−+=−+=

kgkJxiiii 6,1612900,0)4,4319,1743(4,431)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+=

Specifična količina toplote koja je predata kondenzatoru, tj. grejnom telu, iznosi

kgkJiiiiq 7,11666,6173,1784'

1''

1141 =−=−=−=

Specifična količina toplote koja je uzeta iz okolne sredine i iskorišćena za isparavanje amonijaka u isparivaču iznosi

kgkJiiq 3,10093,6036,1612'232 =−=−= .


kgkJqqll Ck 4,1574,10097,116621 =−=−== .

Grejni kapacitet termo pumpe, tj. količina toplote koja se u jedinici vremena dobije za zagrevanje

zgrade iznosi:dtdmq

dtdQ

11 = . Kako je teorijska snaga motora kompresora

dtdmlP kk = , sledi

h

MJs

kJPlq

dtdQ

kk

5,80037,222304,1577,116611 ==⋅== .

Koeficijent grejanja (koeficijent transformisanja toplote) iznosi

41,74,1577,11661 ===

kg l

qε ,

R13.11. a) Na osnovu tabele veličina stanja proključalog freona-12 (odnosno T,s- dijagrama freona-12) dobija se da je: za t1 = 25 0C , p1 = 6,5079 bara, i1’ = 524,16 kJ/kg, i1’’ = 665,84 kJ/kg, s1’ = 2,0834 kJ/kgK, s1’’ = 2,5587 kJ/kgK; za t2 = - 25 0 C je p2 = 1,2372 bara, i2’ = 477,43 kJ/kg, i2’’ = 642,89 kJ/kg, s2’ = 1,9142 kJ/kgK, s2’’ = 2,5811 kJ/kgK.

136

Proces adijabatskog prigušenja vrši se bez promene entalpije tako da je i2 = i1 = i1’ = 524,16 kJ/kg. Na izlazu iz kompresora entalpija suvo-zasićene pare freona-12 iznosi i4 = i1’’ = 665,84 kJ/kg. Kako je s3 = s4 = s1’’ = 2,5587 kJ/kgK. Stepen suvoće pare u tački “3” ciklusa (slika R 13.3) iznosi:

9664,09142,15811,29142,15587,2

'2

''2

'2

''1

'2

''2

'23

3 =−−

=−−

=−−

=ssss

ssss

x

Entalpija pare amonijaka u tački “3” ciklusa je:

kgkJxiiii 33,6379664,0)43,47789,642(43,477)( 3

'2

''2

'23 =⋅−+=−+=

Specifična količina toplote koja je predata kondenzatoru, tj. grejnom telu, iznosi

kgkJiiiiq 68,14116,52484,665'

1''

1141 =−=−=−=

Specifična količina toplote koja je uzeta iz okolne sredine i iskorišćena za isparavanje ugljen-dioksida u isparivaču iznosi

kgkJiiiiq 17,11316,52433,637'

13232 =−=−=−=


kgkJliiiiiiqqll kkC 51,28)()( 3

''1

'13

'1

''121 ==−=−−−=−==

Kako je teorijska snaga motora kompresora dtdmlP kk = , maseni protok freona-12 je

hkg

skg

lP

dtdm

k

k 8827452,251,289,69

==== .

Grejni kapacitet termo pumpe, tj. količina toplote koja se u jedinici vremena dobije za zagrevanje zgrade iznosi

skJ

dtdmq

dtdQ

40,347452,268,14111 =⋅==

Koeficijent grejanja (koeficijent transformisanja toplote) iznosi

97,451,2868,1411 ===

kg l

qε .

R13.12. U početnoj tački ciklusa (tačka “1” na slici 13.1.) pri temperaturi T1 = 40,0 K i pritisku p1 = 0,098 MPa = 1 at, entropija i entalpija vodonika, na osnovu T,s- dijagrama, iznose s1 = 8,300 kCal/kgK = 34,75 kJ/kgK i i1 = 210 kCal/kg = 879,2 kJ/kg, respektivno.

137

Posle izoentropskog širenja u detanderu (tačka “3”) je s3 = s2 = 19,93 kJ/kgK i i3 = 100 kCal/kg = 418,7 kJ/kg. U tački “4” ciklusa, posle izotermno-izobarno isparavanja (T2 = 30,0 K, p1 = 0,098 M Pa), je s4 = 7,150 kCal/kgK = 29,94 kJ/kgK i i4 = 170 kCal/kg = 711,76 kJ/kg. Specifična količina toplote (q1) koja je odvedena od radnog tela tokom pricesa izotermnog sabijanja iznosi

kgkJssTssTq 8,592)93,1975,34(40)()( 2111211 −=−⋅−=−−=−=

Količina toplote koja je odvedena rashladnim fluidom pri izobarno-izotermnom isparavanju (q2’) i pri izobarnom zagrevanju (q2’’) iznosi

kgkJiiiiiiqqq 5,4607,4182,879)()( 314134

''2

'22 =−=−=−+−=+= .

Specifični rad koji treba da se utroši da bi se ostvario dati idealan ciklus likvefikacije iznosi

kgkJqqlid 3,1325,4608,59221 =−=−= .

Koeficijent hlađenja ciklusa iznosi

48,33,1325,4602 ===

idlq

ε ,

Za inverzan Carnot-ov ciklus između istih ekstremnih temperatura (T1 i T2) je

kgkJssTssTqq C 8,592)93,1975,34(40)()( 21112111 −=−⋅−=−−=−== ,

kgkJssTq C 6,444)93,1975,34(30)( 2122 =−⋅=−= ,

kgkJqql CCC 2,1486,4448,59221 =−=−= .

Koeficijent hlađenja ciklusa iznosi

00,32,1486,4442 ===

C

CC l

qε ,

ili

00,33040

30

21

2 =−

=−

=TT

TCε .

Odnos koeficijenata hlađenja ova dva ciklusa iznosi: 16,1=Cεε .

138

R13.13. Na osnovu T,s-dijagrama neona (Slika 13.2) sledi da za p1 = 0,098 MPa = 1 at i T1 = 84 K entropija i entalpija neona iznose: s1 = 1,048 kCal/kgK = 4,388 kJ/kgK i i1 = 35,324 kCal/kg = 147,9 kJ/kg; za T1= 84 K i p2 = 9,80 MPa = 100 at je:

s2 =0,5562 kCal/kgK = 2,329 kJ/kgK, i2 = 30,489 kCal/kg = 127,65 kJ/kg. Kako je razmenjivač toplote je toplotno izolovan od okoline, toplota oslobođena u procesu jednaka je toploti koja je uzeta od razmedjivača u procesu , pa je , odnosno

. S druge strane je

32 →15 → 5132 iiii −=−

2135 iiii −=− 34 ii = , tako da specifična količina toplote koja je uzeta iz rashladne komore za isparavanje likvefikovanog neona u isparivaču iznosi

kgkJiiiiiiqq 25,2065,1279,147)()( 213545

'22 =−=−=−=−==

Oslobođena specifična količina toplote pri procesu izotermnog sabijanja je

kgkJssTssTq 96,172)329,2388,4(84)()( 2111211 −=−⋅−=−−=−= .

Rad koji je potrebno utrošiti za odvijanje procesa (za izotermno sabijanje gasa) je

kgkJqql 71,15225,2096,17221 =−=−= .

Koeficijent hlađenja ovog Linde-ovog ciklusa likvefikacije (Slika R13.6) iznosi svega

.133,071,15225,202 ===

lq

Cε

Koeficijent hlađenja odgovarajućeg inverznog Carnot-ovog ciklusa iznosi

479,016,2784

16,27

21

2 =−

=−

=TT

TCε .

Odnos koeficijenata hlađenja ova dva ciklusa iznosi: 278,0=Cεε .

14. PROSTIRANJE TOPLOTE 14.1. Odrediti specifični toplotni protok q kroz ravanu homogenu ploču debljine δ = 10,0 cm, ako su temperature na površinama ploče konstantne i iznose t1 =100 0C i t2 = 30 0C, u slučajevima kada je ploča od: a) čelika; b) betona i c) azbesta. Koeficijenti provođenja toplote λ za čelik, beton i azbest iznose: 40 W/mK, 1,3W/mK i 0,040 W/mK, respektivno. 14.2. Ravan zid površine A = 0,5 m2 čini sloj šamota debljine δ1 = 20 mm i sloj čelika debljine δ2 = 10 mm. Temperatura jedne od spoljašnjih površina zida (od šamota) je t1 = 900 0C, a

139

druge (od čelika) je t3 = 40 0C. Koeficijent provođenja toplote šamota je λ1 = 1,0 W/mK, a čelika λ2 = 40 W/mK. Odrediti: a) specifični toplotni protok kroz ovaj dvoslojni zid; b) količinu toplote koja se tokom Δτ = 10 h preda provođenjem s unutrašnje na spoljašnju površinu zida i c) temperaturu t2 na graničnoj površini između slojeva. 14.3. Jedna površina zida od cigala, debljine δ2 = 20 cm i koeficijenta provođenja toplote λ2 = 0,90 W/mK, prevučena je slojem maltera debljine δ1 = 2 cm i koeficijenta provođenja toplote λ1 = 0,70 W/mK. Druga površina zida od cigala prevučena je slojem betona debljine δ3 = 5 cm i koeficijenta provođenja toplote λ3 = 1,3 W/mK. Temperatura jedne od spolješnjih površina ovog troslojnog zida je t1 = 30 0C a temperatura druge spoljašnje površine je t4 = - 10 0C. Odrediti: a) specifični toplotni protok kroz ovaj troslojni zid i b) temperature na granicama slojeva (t2 i t3). (April ‘99) 14.4. Odrediti specifični toplotni protok q kroz ravan šamotni zid debljine δ = 30 cm i temperaturu tx na rastojanju x = 20 cm od unutrašnje površine zida, ako je temperatura unutrašnje površine zida t1 = 1240 0C, dok je temperatura spolješnje površine t2 = 40 0C. Koeficijent provođenja toplote zavisi od temperature po zakonu: λ = λ0 (1 + b t), gde je λ0 = 0,80 W/mK i b = 7 x 10 - 4 0C - 1. 14.5. Spoljašnji prečnik duge porculanske cilindrične cevi je za 15% veći od unutrašnjeg prečnika. Temperatura spoljašnje površine cevi je t2 = 40 0C. Specifični toplotni protok kroz zid cevi je ql = 5,0 kW/m. Koeficijent provođenja toplote porcelana je λ = 2,0 W/mK. Odrediti temperaturu unutrašnje površine cevi. 14.6. Toplotni protok (fluks) kroz sferni šamotni zid, čiji je unutrašnji poluprečnik r1 = 50 cm a spoljašnji poluprečnik r2 = 70 cm, iznosi Φ = 5000 W. Koeficijent provođenja toplote šamota je λ = 1,0 W/mK. Temperatura spoljašnje površine sfernog zida je t2 = 50 0C. Odrediti: a) temperaturu unutrašnje površine sfernog zida; b) temperaturu na radijalnom rastojanju x = 10 cm od unutrašnje površine sfernog zida i c) specifičan toplotni protok kroz obe površine sfernog zida. 14.7. Kocka je napravljena od n1 pločica stranice dužine a, debljine b1 i koeficijenta provođenja toplote λ1 i n2 pločica stranice dužine a, debljine b2 i koeficijenta provođenja toplote λ2. Odrediti: a) koeficijent provođenja toplote materijala kocke duž pločica (λp) i b) normalno na njih (λn) (Sept ‘99). 14.8. Kocka je napravljena od n1 = 10 pločica stranice dužine a, debljine b1 = 1 cm i koeficijenta provođenja toplote λ1 = 40 W/mK i n2 = 15 pločica stranice dužine a, debljine b2 = 2 cm i koeficijenta provođenja toplote λ2 = 10 W/mK . Odrediti: a) koeficijent provođenja toplote materijala kocke duž pločica (λp) i b) normalno na njih (λn). 14.9. U ploči debljine d = 2δ = 10 mm, napravljenoj od materijala koeficijenta provođenja toplote λ = 1,0 W/mK, nalaze se unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini. Snaga unutrašnjih izvora po jedinici zapremine (zapreminska gustina toplotnog fluksa) iznosi qv = 10 MW/m3. Temperatura površine zida održava se konstantnom i iznosi t0 = 40 0C. Odrediti: a) temperatursko polje u ploči i b) temperaturu i sredini ploče. (Jul 2006) 14.10. U ploči debljine d= 2δ = 1,0 cm, napravljenoj od materijala koeficijenta provođenja toplote λ = 50,0 W/mK, nalaze se unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini. Snaga unutrašnjih izvora po jedinici zapremine iznosi qv = 40 MW/m3. Temperature površina zida održavaju se konstantnom i iznose t01 = 100 0C i t02 = 110 0C. Odrediti: a) položaj

140

xm koji odgovara maksimalnoj temperature Tm ; b) maksimalnu temperaturu i c) gustinu toplotnog fluksa (q1 i q2) na površinama ploče (Sept ‘04). 14.11. U ploči debljine d= 2δ = 1,0 cm, napravljenoj od materijala koeficijenta provođenja toplote λ = 10,0 W/mK, nalaze se unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini. Snaga unutrašnjih izvora po jedinici zapremine iznosi qv = 20 MW/m3. Temperature površina zida održavaju se konstantnom i iznose t01 = 100 0C i t02 = 160 0C. Odrediti: a) položaj xm koji odgovara maksimalnoj temperaturi Tm ; b) maksimalnu temperaturu i c) gustinu toplotnog fluksa (q1 i q2) na površinama ploče. 14.12. U dugom valjku prečnika 2R = 0,20 m nalaze se unutrašnji izvori toplote koji su ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini. Zapreminska gustina toplotnog fluksa izvora iznosi qv = 10 mW/cm3. Temperatura površine valjka se održava konstantnom i iznosi t0 = 30 0C. Koeficijent provođenja toplote materijala valjka je λ = 10 W/mK. Odrediti: a) temperatursko polje u zapremini valjka i b) temperaturu duž ose valjka (Jul ‘05). 14.13. Kroz dug provodnik kružnog poprečnog preseka poluprečnika R = 0,5 mm teče konstantna jednosmerna struja jačine I = 30 A. Specifični otpor i koeficijent provođenja toplote provodnika su ρ = 1,1. 10-6 Ωm i λ = 20 W/mK, respektivno. Temperatura površine provodnika se održava konstantnom i iznosi t0 = 50 0 C. Odrediti a) temperatursko polje T (r) ; b) temperaturu duž ose provodnika; c) gustinu toplotnog fluksa kroz površinu provodnika i c) gustinu toplotnog fluksa kroz površinu provodnika (Sept ‘05). 14.14. U telu oblika valjka prečnika 2R nalaze se unutrašnji izvori toplote koji su ravnomerno raspoređeni po zapremini (valjak se zagreva električnom strujom). Zapreminska gustina toplotnog fluksa izvora iznosi qv (W/m3). Temperatura okolne sredine iznosi T0. Izvesti izraz za temperatursko polje valjka u stacionarnom režimu i odrediti temperaturu duž oce valjka i na njegovoj površini u slučaju konvektivne razmene toplote sa okolinom, pri čemu je poznat koeficijent toplotne provodljivosti materijala valjka λ (W/mK) i koeficijent prelaza toplote izmedju valjka i okolne sredineα ( W/m2). 14.15. U kugli poluprečnika R = 0,10 m nalaze se unutrašnji izvori toplote koji su ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini. Zapreminska gustina toplotnog fluksa izvora iznosi qv = 30 mW/cm3. Temperatura površine kugle se održava konstantnom i iznosi T0 = 330 K. Koeficijent provođenja toplote materijala kugle je λ = 0,10 W/mK. Odrediti: a) temperatursko polje u zapremini kugle i b) temperaturu u centru kugle. 14.16. Odrediti temperatursko polje u prostoru između dveju koncentričnih sfera poluprečnika r1 i r2, i konstantnih temperatura T1 i T2. Prostor između sfera je popunjen homogenom supstancom (Jan ‘05). 14.17. Odrediti temperatursko polje u homogenoj sredini izvan sferne površine poluprečnika R0 i temperature T0. 14.18. Sferni komad leda, početnog poluprečnika R0 = 1 cm, potopljen je u veliku masu vode temperature tv = 10 0C. Odrediti vreme za koje će se komad leda potpuno otopi. Predpostaviti da se razmena toplote između leda i vode vrši samo mehanizmom toplotne provodnosti. Koeficijent toplotne provodnosti vode iznosi λ = 0,60 W/mK, specifična toplota topljenja leda je qL = 330 kJ/kg, a gustina leda ρL = 900 kg/m3.

141

14.19. Potrebno je da se odredi temperatursko polje u dugom valjku prečnika 2r = 1,0 m, napravljenog od materijala koeficijenta toplotne provodljivosti λ = 50,0 W/mK i koeficijenta toplotnog provođenja a = 1,20 . 10-5 m2/s, τ = 1 h od trenutka stavljanja valjka u peć. Koeficijent prelaza toplote od peći ka valju iznosi α = 120 W/m2. Zbog toga se merenje vrši na modelu napravljenom od materijala čije su karakteristike sledeće: λm = 10,0 W/mK, am = 2,40 . 10-5 m2/s, αm = 100 W/m2. Odrediti prečnik modela valjka 2rm i vreme τm od trenutka stavljanja modela u peć posle koga treba izvršiti merenje temperaturskog polja. 14.20. Vazduh laminarno struji brzinom wf = 1,5 m/s duž obe površine tanke ploče temperature tz = 20 0C, dužine L = 2m i širine d = 1m. Temperatura u vazdušnoj struji iznosi tf = 2000 C. Pri datoj temperaturi kinematička viskoznost vazduha je νf = 1,5 x 10-5 m2/s, koeficijent toplotne provodljivosti vazduha je λf = 2,6 . 10-2 W/mK a Prandt-ov broj iznosi Prf = 0,70. Odrediti srednju vrednost koeficijenta prelaza toplote αsr i toplotni fluks Φ između ploče i vazduha. 14.21. Odrediti gustinu fluksa zračenjem razmenjene energije između dve velike paralelne površine temperatura T1 = 800 K i T2 = 400 K i konstanti zračenja c1 = 5,0 W/m2K i c2 = 4,0 W/m2K4, respektivno. Rezultat uporediti sa slučajem kada je druga površina polirana, konstante zračenja c2’ = 0,5 W/m2K4. Konstanta zračenja apsolutno crnog tela je c0 = 5,76 W/m2K4. 14.22. Između dveju paralelnih beskonačno velikih površina jednakih konstanti zračenja c1 = c2 = cp = 5,00 W/m2K, temperatura T1 = 800 K i T2 = 400 K, paralelno je postavljen beskonačno veliki ekran stepena crnoće ε = 0,15. Odrediti gustinu fluksa zračenjem razmenjene energije između datih površina, kao i temperature datih površina i ekrana: a) pre i b) posle postavljanja ekrana. d) Odrediti gustinu fluksa zračenja kada su konstante obeju površina i ekrana jednake, tj. c1 = c2 = cp = ce (Jun ‘02). 14.23. Kugla poluprečnika r1 =10 cm, čija je površina temperature T1 = 1000 K i konstanta zračenja c1 = 5,0 W/m2K, nalazi se u unutrašnjosti sferne površine poluprečnika r2 = 20 cm i temperature T2 = 600 K. Unutrašnja površina sfere je konstante zračenja c2 = 3,0 W/m2K. Odrediti fluks zračenjem razmenjene energije između kugle i sfere. R14. REŠENJA. R14.1. Na osnovu Fourie-ovog zakona specifičan toplotni protok q srazmeran je gradijentu temperature dt/dx:

δ

λδ

λλ 2112 ttttdxdtq

−=

−−=−=

tako da je:

221 0,2870040

10,03010040

mkWttqa =⋅=

−=

−=

δλ , 2910,07003,1

mkWqb =⋅=

i 2028,0700040,0mkWqc =⋅=

R14.2. a) Za dati dvoslojni zid specifičan toplotni protok je

142

2

2

2

1

1

31 469,42

40010,0

1020,0

40900mkWtt

q =+

−=

+

−=

λδ

λδ

;

b) provedena količina toplote iznosi MJqAQ 44,7643600105,042469 =⋅⋅⋅=Δ= τ i c) temperature na graničnoj površini slojeva je

Cq

tq

tt 0

2

23

1

112 6,50

1020,042469900 =−=

⋅−=−=

λδ

λδ

R14.3. a) Za troslojni zid je

2

3

3

2

2

1

1

41 286,138

3,105,0

90,020,0

70,002,0

)10(30mkWttq =

++

−−=

++

−=

λδ

λδ

λδ

;

b) Kako je 3

4332

1

2111 δ

λδ

λtt

qtt

qq−

==−

== , sledi:

Cq

tt 0

1

112 0,26

70,002,0286,13830 =

⋅−=−=

λδ

,

Cq

tt 0

3

343 68,4

3,105,0286,13810 −=

⋅+−=+=

λδ

.

R14.4. Kako je dxdtbt

dxdttq )1()( 0 +−=−= λλ , sledi

Cbttqx +−−= )2

(2

0λ ,

gde se konstanta C nalazi iz graničnih uslova x = 0, t = t1 i x = δ, t = t2: )2

(21

10bttC += λ ,

tako da je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅+⋅

−=

21

2211

0ttb

xttq λ . (R14.4.1)

Zamenjujući granični uslov x=δ, t = t2 u poslednji izraz dobija se

242121

0 634,42

401240107130,0

40124080,02

1mkWttbttq =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

⋅⋅+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

−= −

δλ .

Do istog rezultata može da se dođe korišćenjem izraza δ

λ 21 ttq sr

−= , gde je srλ -srednja vrednost

koeficijenta provođenja toplote u datom temperaturskom intervalu t2 - t1:

143

Cm

Wttbsr 021

0 1584,12

4012400007,0180,02

1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅+⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= λλ .

Iz izraza R14.4.1 sledi : 0222 2

11

0

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++− t

bt

bqxt

bt

λ

tako da je

xbqt

bbxt ⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

0

2

1211)(λ

.

Na rastojanju x = 20 cm temperatura je

Ct 04244

7.52320,0780,010463421240

710

710)20,0( =⋅

⋅⋅⋅

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= .

R14.5. Kako je specifični toplotni protok po jedinici dužine cevi

)(ln

221

1

2tt

dd

ql −=πλ ,

sledi

.6,9515,1ln0,22

10540ln2

03

1

221 C

ddq

tt l =⋅⋅

+=+=ππλ

R14.6. Kako je za sferni zid toplotni protok

12

1221 )(4

rrrr

tt−

−⋅=Φ πλ ,

i temperatursko polje

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=

rrrrrrtttrt 11)()(

112

21211 , (14.6.1)

sledi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ−=

rrtrt 11

4)(

11 πλ

. (14.6.2)

a) Na osnovu predhodnog izraza (14.6.2) sledi da je temperatura unutrašnje površine sfernog zida:

Crr

tt 0

2121 36,277

7,01

5,01

0,1450005011

4=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ+=

ππλ

144

b) Temperatura na rastojanju x = 10 cm od unutrašnje površine sfernog zida, tj. na sfernoj površini gde je rx = r1+x = 0,60 m, iznosi (izraz 15.6.2)

Crr

trtx

xx0

11 73.144

60,01

50,01

14500036,27711

4)( =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ−=

ππλ

ili

Crr

trtx

xx0

22 74,144

7.01

6.01

1450005011

4)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ+=

ππλ

c) Specifični toplotni protok kroz unutrašnju i spoljašnju sfernu površinu iznose, respektivno:

22211

1 592,150,04

50004 m

kWrA

q =⋅

=Φ

=Φ

=ππ

,

22222

2 812,070,04

50004 m

kWrA

q =⋅

=Φ

=Φ

=ππ

.

R14.7. a) Specifični toplotni protoci duž pločica iznose:

aT

dxdTq Δ

== 111 λλ i aT

dxdTq Δ

== 222 λλ

Ukupni toplotni protoci kroz poprečne preseke pločica vrsta “1” i “2” su:

TbnaTabnqA Δ=

Δ==Φ 111111111 λλ i Tbn

aTabnqA Δ=

Δ==Φ 222222222 λλ ,

gde su A1 = n1ab1 i A2 = n2ab2 poprečni preseci svih pločica odgovarajućih vrsta. Ukupan toplotni protok kroz stranicu kocke površine iznosi: 221121

2 abnabnAAaA +=+== Tbnbn Δ+=Φ+Φ=Φ )( 22211121 λλ . S druge strane je

TaaTa pp Δ=

Δ=Φ λλ2 ,

odakle se dobija ekvivalentna vrednost koeficijenta provođenja toplote u duž pločica

2211

222111222111

bnbnbnbn

abnbn

p ++

=+

=λλλλ

λ ,

gde je . 2211 bnbna += b) U slučaju provođenja toplote normalno na pločice važi poznata relacija koja se odnosi na ekvivalentni koeficijent provođenja toplote pri provođenju toplote kroz višeslojni zid:

145

2

22

1

11

2211

λλλδ

δλ

bnbnbnbn

i i

i

ii

n

+

+==

∑

∑,

gde su 111 bn=δ , 222 bn=δ , debljine slojeva koeficijenta provođenja toplote λ1, i λ2, respektivno. R14.8. Ekvivalentni koeficijenti provođenja toplote iznose (zadatak 14.7):

a) mKW

bnbnbnbn

p 5,1702,01501,010

1002,0154001,010

2211

222111 =⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

++

=λλ

λ

b) mKW

bnbnbnbn

n 25,7

1002,015

4001,010

02,01501,010

2

22

1

11

2211 =⋅

+⋅

⋅+⋅=

+

+=

λλ

λ

R14.9. U slučaju kada postoje unutrašnji izvori toplote, koji su ravnomerno raspoređeni po zapremini, Fourie-ova jednačina za stacionarno provođenje toplote ima oblik

0=+Δρc

qTa v , (R14.9.1)

odnosno

0=+Δλ

vqT , (R14.9.2)

gde je ρλc

a = - koeficijent temperaturske provodnosti, a qv - zapreminska gustina toplotnog

fluksa. a) U slučaju kada je provođenje jednodimenziono u pravcu x- ose, kao u slučaju ravnog zida debljine d = 2δ, Fourie-ova jednačina dobija sledeći oblik:

02

2

=+λ

vqdx

Td . (R14.9.3)

Rešavanjem poslednje jednačine dobija se

1Cxq

dxdT v +−=

λ. (R14.9.4)

Ukoliko se koordinatni početak postavi u centar ploče i uzme u obzir da je zbog simetrije

00

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=xdxdT , sledi C1 = 0, tako da je

146

22

2)( Cx

qxT v +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=λ

. (R14.9.5)

iz graničnog uslova 0)( TxT =±δ sledi λδ

2

2

02vq

TC += , tako da je temperatursko polje u

unutrašnjosti ploče:

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

22

022

0 122

)(δλ

δδ

λxq

Txq

TxT vv . (R14.9.6)

b) Kako je xq

dxdT v

λ= , maksimalna temperatura je u centru ploče xm = 0, i iznosi:

λλδ

82)0(

2

0

2

0dq

Tq

TTT vvm +=+== (R14.9.7)

U konkretnom slučaju je

Kdq

TTT vm 438

0,18)10(10313

8)0(

2272

0 =⋅

+=+==−

λ,

odnosno . Ctm0165=

R14.10. U slučaju stacionarnog provođenja toplote kroz ploču debljine d=2δ, u kojoj se nalaze unutrašnji izvori ravnomerno raspoređeni po zapremini, zapreminske gustine qv, Fourie-ova jednačina ima oblik (R14.9.3)

02

2

=+λ

vqdx

Td ,

čije je opšte rešenje

212

2)( CxCx

qxT v ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=λ

. (R14.10.1)

Neka se koordinatni početak nalazi u sredini ploče. Iz graničnih uslova 01)( TT =−δ i 02)( TT =δ , sledi

δ2

01021

TTC

−= i

λδ

22

20201

1vqTT

C ++

= .

Temperatursko polje u unutrašnjosti ploče ima oblik

[ 2201020201

222)( x

qx

TTTTxT v −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+

+= δ

λδ], (R14.10.2)

odnosno

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+=

2201020201 1

222)(

δλδ

δxq

xTTTT

xT v . (R14.10.3)

a) Položaj xm maksimalne temperature nalazi se iz uslova

147

02

)( 0102 =+−

= xqTT

dxxdT v

λδ,

odakle je

)()(2 01020102 TT

dqTT

qx

vvm −=−=

λδ

λ , (R14.10.4)

računajući od centra ploče ka zidu više temperature, a u konkretnom slučaju

mmTTdq

xv

m 25,1)100110(01,0104

50)( 70102 =−⋅

=−=λ

b) Maksimalna temperatura iznosi

CTTq

qTTxTT

v

vmm

0201022

20201 62,115)(

822)( =−++

+==

δλ

λδ

ili

[ ] CxqxTTTTxTT mv

mmm02201020201 62,115

222)( =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+

+== δ

λδ.

c) Kako je gradijent temperature zavisan od položaja

)(2

0102 xxq

xq

xq

xqTT

dxdT

mvv

mvv −=−=−

−=

λλλλδ, (R14.10.5)

specifičan toplotni protok (gustina toplotnog protoka)

)()( xxqdxdTxq mv −−=−= λ , (R14.10.6)

takođe zavisi od položaja, tako da na površinama ploča iznosi

236

1 2501025,61040)()(mkWxqxqq mv −=⋅⋅⋅−=+⋅−=−== −δδ

236

2 150)1075,3(1040)()(mkWxqxqq mv =⋅−⋅⋅=−⋅−=== −δδ .

R14.11. a) Temperatura je maksimalna u ravni koja se nalazi na rastijanju xm od ravni simetrije ploče ka površini više temperature (R14.10.4)

mmTTdq

TTq

xvv

m 0,3)100160(10102

10)()(2 2701020102 =−

⋅⋅=−=−= −

λδ

λ .

b) maksimalna temperatura je (R14.10.5)

[ ] Cxq

xTTTT

xTT mv

mmm02201020201 164

222)( =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+

+== δ

λδ

ili

148

CTTq

qTTxTT

v

vmm

0201022

20201 164)(

822)( =−++

+==

δλ

λδ

c) gustina toplotnog protoka kroz površine ploča iznosi (R14.10.7)

236

1 1601081020)()(mkWxqxqq mv −=⋅⋅⋅−=+⋅−=−== −δδ

236

2 40)102(1020)()(mkWxqxqq mv =⋅−⋅⋅−=−⋅−=== −δδ .

R14.12. Fourie-ova diferencijalna jednačina u slučaju kada postoje unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po zapremini homogenog valjka (ili cilindra) ima sledeći oblik

vvv qzTT

rrT

rrTqTTc +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=+Δ=∂∂

2

2

2

2

22

2 11θ

λλτ

ρ . (R14.12.1)

U slučaju stacionarnog provođenja toplote (∂T/∂τ = 0), vodeći računa o tome da temperatursko polje u unutrašnjosti valjka, zbog simetrije, ne zavisi od cilindričnih koordinata θ i z, Fourie-ova jednačina (R14.12.1) se pojednostavljuje

012

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+∂∂

vqrT

rrTλ , (R14.12.2)

odnosno

01=+

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂

λvq

rrTr

r. (R14.12.3)

Dalje sledi

r

Cr

qrT v 1

2+−=

∂∂

λ. (R14.12.4)

Obzirom da je zbog simetrije, 0=∂∂

rT , sledi C1 = 0, tako da je

22

4)( Cr

qrT v +−=

λ. (R14.12.5)

Iz graničnog uslova , sledi 0)( TRT = 202 4

RqTC v

λ+= , tako da je

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=−+=

22

022

0 14

)(4

)(RrRq

TrRq

TrT vv

λλ. (R14.12.6)

Maksimalna temperature se postiže kada je ispunjen uslov 0=∂∂

rT , tako da se na osnovu izraza

(R14.12.6) dobija 02

=−=∂∂ rq

rT v

λ odakle sledi da je maksimalna temperatura u centru valjka tj.

rm = 0.

149

Maksimalna temperatura iznosi

λ4)0(

2

0Rq

TTT vm +== , (R14.12.7)

tako da temperatursko polje može da se napiše u obliku

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

2

00 1)()(RrTTTrT m . (R14.12.8)

Kako je rq

rT v

λ2−=

∂∂ , gustina toplotnog fluksa kroz zid valjka, prečnika 2R iznosi

22Rq

Rq

drdTq vv =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==λ

λλ . (R14.12.9)

U datom slučaju je:

a) KRr

Rr

RrRq

TrT v

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

222422

0 15.23031104

1,0103014

)(λ

;

b) KRq

TTT vm 5,3055,2303

4)0(

2

0 =+=+==λ

odnosno 32.5 0C i

c) 2

4

5002

1,0102

)(mWRq

Rq v =⋅

== .

R14.13. Pri proticanju električne struje jačine I tokom vremena τ u zapremini V = LA provodnika dužine L i poprečnog preseka A = πR2 se oslobodi količina toplote

τρτρτ 22

22 IAVI

ALIQ ==ℜ= ,

gde je ALρ=ℜ , otpor provodnika specifičnog otpora ρ.

Zapreminska gustina toplotnog fluksa u ovom slučaju iznosi

3442

26

42

2

2

2

1605)105(

30101,1m

MWR

IAI

VQqv =

⋅⋅==== −

−

ππρρ

τ

a) Temperatursko polje u zapremini provodnika dato je izrazom (R14.12.6)

150

KRr

Rr

RrRq

TrT v

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅⋅⋅+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

−

2

224922

0

1015,5323

1420

)105(10605,132314

)(λ

b) Maksimalna temperatura je duž ose provodnika (r=0) i iznosi

KRq

TTT vm 02,328015,5323

4)0(

2

0 =+=+==λ

c) Specifičan toplotni protok kroz površinu provodnika iznosi (R14.12.9)

225

49

2,40110012,42

10510605,12

)(mkW

mWRq

Rq v ⋅=⋅=⋅⋅⋅

==−

.

R14.14. Fourie-ova diferencijalna jednačina u slučaju kada postoje unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po zapremini homogenog beskonačnog valjka (ili cilindra) ima sledeći oblik (R14.12.1)

vvv qzTT

rrT

rrTqTTc +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=+Δ=∂∂

2

2

2

2

22

2 11θ

λλτ

ρ

U slučaju stacionarnog provođenja toplote (∂T/∂τ = 0), vode} i računa o tome da temperatursko polje u unutrašnjosti valjka, zbog simetrije, ne zavisi od cilindričnih koordinata θ i z, Fourie-ova jednačina (R14.12.1) se pojednostavljuje (R14.12.2)

012

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+∂∂

vqrT

rrTλ ,

odnosno (R14.12.3)

01=+

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂

λvq

rrTr

r

Dalje sledi (R14.12.4)

r

Cr

qrT v 1

2+−=

∂∂

λ.

Integracijom poslednjeg izraza (R14.12.4) se dobija

212 ln

4)( CrCr

qrT v ++−=

λ. (R14.14.1)

151

Konstante C1 i C2 se dobijaju iz graničnih uslova:

za r = 0 je 0=∂∂

rT i za r = R je

[ ]λ

α 0)()( TRTdr

RdT −⋅−= , (R14.14.2)

gde drugi uslov sledi iz Njutnovog zakona. Iz prvog graničnog uslova sledi C1 = 0, pa je (pogledati izraz R14.12.5)

22

4)( Cr

qrT v +−=

λ

Na osnovu poslednjeg izraza i drugog graničnog uslova i sledi

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−=−−=−= 02

20 4

)(2

)( TCRq

TRTRq

drRdT vv

λλα

λα

λ,

odakle je

0

2

221

4T

RRq

C v +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

αλ

λ,

tako da je temperatursko polje valjka oblika

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−=

RRrRqT

RRqrqTrT vvv

αλ

λαλ

λλ21

421

44)(

22

0

22

0 . (R14.14.3)

Temperatura duž ose valjka iznosi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

RRq

TT v

αλ

λ21

4)0(

2

0 , (R14.14.4)

a na površini valjka temperatura je

α2)( 0

RqTRT v+= . (R14.14.5)

R14.15. U slučaju kada postoje unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po zapremini lopte Fourie-ova jednačina za stacionarno provođenje toplote, napisana u sfernim koordinatama (r,θ,ϕ), ima oblik

0sin1sin

sin12

2

2

22

22

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

λϕϕθθ

θvqT

rT

rrT

rrT . (R14.15.1)

Obzitom da zbog sferne simetrije temperatursko polje u lopti ne zavisi od θ i ϕ, iz jednačine (R14.15.1) sledi

152

022

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

λvq

rT

rrT , (R14.15.2)

odnosno

01 22 =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λvq

drdTr

drd

r. (R14.15.3)

Obzirom da su unutrašnji izvori toplote ravnomerno raspoređeni po celoj zapremini )(rfqv ≠ sledi

21

3 rC

rq

drdT v +−=

λ. (R14.15.4)

Zbog simetrije temperaturskog polja { 00

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=rdrdT }, sledi C1 = 0, tako da je

22

6)( Cr

qrT v +−=

λ. (R14.15.5)

Uzevši u obzir granični uslov 0)( TRT = , sledi λ6

2

02RqTC v+= , pa je temperatursko polje u

unutrašnjosti lopte oblika

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=−+=

22

022

0 16

)(6

)(RrRq

TrRq

TrT vv

λλ. (R14.15.6)

Obzirom da je

rq

drdT v

λ3−= (R14.15.7)

maksimalna temperatura je u centru lopte rm = 0 i iznosi

λ6)0(

2

0Rq

TTT vm +== , (R14.15.8)

tako da temperatursko polje može da se napiše u obliku

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

2

00 1)()(RrTTTrT m . (R14.15.9)

Specifični toplotni protok kroz zid lopte iznosi

3Rq

drdTq v=−= λ . (R14.15.4)

U konkretnom slučaju je :

a) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

222

0 150033016

)(Rr

RrRq

TrT v

λ;

b) KRq

TT vm 830

1,061,01030330

6

232

0 =⋅

⋅+=+=

λ i c) 2

3

13

1,010303 m

kWRqq v =

⋅⋅== .

153

R14.16. Fourie-ova jednačina za stacionarno provođenje toplote, napisana u sfernim koordinatama (r,θ,ϕ), ima oblik (R14.15.1)

0sin1sin

sin12

2

2

22

22

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

λϕϕθθ

θvqT

rT

rrT

rrT

Obzitom da temperatursko polje u lopti, zbog sferne simetrije, ne zavisi od θ i ϕ, sledi i da u ovom slučaju nema unutrašnjih izvora toplote (qv = 0) sledi

022

2

=∂∂

+∂∂

rT

rrT ,

odnosno

01 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

drdTr

drd

r. (R14.16.1)

Dalje sledi

21

rC

drdT

= ,

tako da je

21)( C

rC

rT +−= . (R14.16.2)

Uzevši u obzir granične uslove T(r1) = T1 , i T(r2) = T2 sledi

12

2112

21

121

)(11 rr

rrTT

rr

TTC−

−=

−

−=

i

12

1122

21

122

)(11 rr

rTrT

rr

TTC−−

=−

−= ,

tako da temperatursko polje između sfera (r1 < r < r2) ima oblik

12

1122

12

2112 )(1)()(

rrrTrT

rrrrrTT

rT−−

+⋅−

−−= . (R14.16.3)

R14.17. Na osnovu rešenja (R14.16.3) zadatka 14.16, uzevši u obzir da je u datom slučaju r1 = R0 , T1 = T0 , r2 >>r1 i T2 = T∞ (T∞ je temperatura na velikoj udaljenosti od sferne površine) sledi

154

2

1

2

10

20

0

12

1122

12

2112

1

111

)(1)()(

rr

rrTT

rrR

TTrr

rTrTrrr

rrTTrT−

−+⋅

−

−−=

−−

+⋅−

−−=

∞∞ ,

tako da je za r2 >>r1

rR

TTTrT 00 )()( ⋅−−≅ ∞∞ . (R14.17.1)

R14.18. Iz rešenja (R14.17.1) zadatka 14.17 :

rR

TTTrT 00 )()( ⋅−−≅ ∞∞

sledi da je gradijent temperaturskog polja izvan sferne površine početnog poluprečnika R0 oblika

200 )()(

rRTT

drrdT −

= ∞ , (R14.18.1)

tako da uz površinu sfere trenutnog prečnika r iznosi

rTT

rrTT

drrdT )()()( 0

20 −

=−

= ∞∞ . (R14.18.2)

Oslobođena toplota usled topljenja tankog sloja leda debljine dr mase iznosi drrdm L

24πρ=

drrqdmqQ LLL24πρ ⋅== .

Ova količina toplote se, na osnovu Fourier-ovog zakona:

τπλτλ dr

TTrd

drdTAQ 024

−⋅== ∞ ,

razmenjeni provođenjem kroz sfernu površinu A = 4πr2 za vreme dτ (qL je specifična toplota topljenja leda), tako da je

drqdr

TTLL ⋅=

−⋅ ∞ ρτλ 0 ,

odnosno

)( 0TT

rdrqd LL

−⋅⋅

=∞λ

ρτ .

Komad leda početnog poluprečnika R0 se istopi za vreme

ssTT

Rq LL 15min412475)010(60,02

)10(90010330)(2

223

0

20 ==

−⋅⋅⋅⋅⋅

=−⋅⋅

=−

∞λρ

τ

R14.19. Sličnost temperaturskih polja uzorka i njegovog modela postoji ukoliko je jednak

Biot-ov (Bi) i Fourie-ov (Fo) broj uzorka i modela, respektivno, odnosno:

155

Bi = Bim i Fo = Fom (R14.19.1) Za uzorak je

20,10,50

5,0120=

⋅==

λαrBi

i

1728,15,0

36001020,12

5

2 =⋅⋅

==−

raFo τ .

Iz uslova sličnosti (R14.15.1) sledi

mBiBirm

mm

m

mm 12,020,1

1000,10

=⋅===αλ

αλ .

tj., model treba da bude prečnika mmrm 2402 = . Merenje na modelu treba da se izvede u trenutku

ssFoarFo

ar

m

mm

m

mm 44min1168,7031728,1

104,212,0

5

222

==⋅⋅

=== −τ

R14.20. U slučaju laminarnog kretanja fluida duž ravnog zida važi sledeća empirijska kriterijumska jednačina: ( ) 33,05,0 PrRe67,0 ffsrfNu = , (R14.20.1) gde je Nuf, Ref i Prf - Nusseltt-ov, Reynolds-ov i Prandt-ov broj za fluid, respektivno. U konkretnom slučaju je

krf

ff v

LwRe102

105,125,1Re 5

5 <⋅=⋅⋅

== − ,

{to znači da je strijanje laminarno i da važi jednačina (R14.19.1), tako da je ( ) ( ) ( ) 26670,010267,0PrRe67,0 33,05,0533,05,0 =⋅== ffsrfNu .

Kako je ( ) ( )f

srf

srf

LaNu

λ= , sledi da je srednja vrednost koeficijenta prelaza toplote

( ) ( )Km

WL

Nua fsrf

srf 2

2

458,32

106,2266=

⋅⋅==

−λ.

Toplotni fluks između ploče, čija je površina , i vazduha iznosi 241222 mLdA =⋅⋅==

( ) ( ) ( ) kWttAqzfsrf 490,2202004458,3 =−⋅⋅=−⋅==Φ α

τ.

R.14.21. Gustina fluksa zračenjem razmenjene energije između beskonačnih paralelnih površina data je izrazom

156

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

42

41

12 100100TTcE ,

gde je

021

12 1111

ccc

c−+

= efektivna konstanta zračenja.

U ovom slučaju je

42

021

12 618,3

76,51

0,41

0,51

1111

1Km

W

ccc

c =−+

=−+

= ,

tako da je

[ ] 244

42

41

12 893,1348618,3100100 m

kWTTcE =−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Efektivna konstanta zračenja u slučaju kada je druga površina konstante zračenja 42'2 5,0

KmWc =

iznosi

42

0'21

'12 4935,0

76,51

5,01

0,51

1111

1Km

W

ccc

c =−+

=−+

= ,

tako da je gustina fluksa zračenjem razmenjene energije u ovom slučaju

[ ] 244

42

41'

12' 895,1484935,0

100100 mkWTTcE =−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Znači, gustina energije zračenja u ovom slučaju se smanjila 33,7' =EE puta.

R14.22. a) Efektivna konstanta zračenja iznosi

22

0

12 417,4

76,52

0,52

122

1Km

W

cc

c

p

=+

=+

= ,

tako da je

( ) 244

42

41

12 961,1648417,4100100 m

kWTTcEa =−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

b) Gustina fluksa zračenja između prve površine i ekrana kao i ekrana i druge površine su jednake

i iznose, respektivno EEE ee == 21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

441

11 100100e

eeTT

cE ,

157

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=4

24

22 100100TT

cE eee ,

gde je 42

0

21 845,01111

KmW

ccc

ccc

ep

peee =++

===

efektivna konstanta zračenja između datih površina i ekrana. Sledi

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

42

41

4

10010021

100TTTe ,

tako da je temparatura ekrana Te = 683 K i ne zavisi od konstanti zračenja datih površina već samo od njihovih temperatura. Gustina fluksa energije zračenja iznosi

[ ] 244

441 622,183,68845,0

100100 mkWTTcE e

peb =−⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Korišćenjem ekrana gustina fluksa energije zračenja smanjena je 456,10=b

a

EE puta.

d) U ovom slučaju je

4212

0

''2

'1 417,412

1Km

Wc

cc

ccc

p

peee ==−

=== ,

tako da je

2

42

4112

42

41

41

12

441'

480,82961,16

21001002

10010021

100100100

mkWETTc

TTTc

TTcE

a

eped

===⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

R14.23. U ovom slučaju je fluks zračenjem razmenjene energije

1

42

41

121 100100ATTcEA ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅==Φ ,

gde je površina unutrašnje sferne površi a 211 4 rA π=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=

02

2

2

1

1022

1

1

12111

1111

1

ccrr

cccAA

c

c

158

efektivna konstanta zračenja. Ovde je

422

02

2

2

1

1

12 168,4

76,51

0,31

21

0,51

1

111

1Km

W

ccrr

c

c =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ,

tako da je

[ ] kWrTTc 56,41,04610168,44100100

24421

42

41

12 =⋅⋅−⋅=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=Φ ππ .

169

LITERATURA

1. D. Milinčić, ZADACI IZ TERMODINAMIKE, Građevinska knjiga, Beograd, 1976 2. T. N. Andrianova, B. V. Dzampov, V. N. Zubarev, S. A. Remizov, ZBIRKA

ZADATAKA IZ TEHNIČKE TERMODINAMIKE, Zavid za izdavanje udžbenika, Beograd, 1970

3. F. G. Serova, A. A. Yankina, SBORNIK ZADACH PO TERMODINAMIKE,

Prosveshchenie, Moskva, 1976

4. E. A. Krasnoshchenkov, A. Suhomel, ZADACHNIK PO TEPLOPEREDACHE, Energiya, Moskva, 1980

5. R. Šelmić, ZBIRKA ZADATAKA IZ TERMODINAMIKE I POGONSKIH MAŠINA,

drugo dopunsko izdanje, Saobraćajni fakultet, Beograd, 1983

6. V. N. Afanasev, S. I. Isaev, I. A. Kozhinov, N. K. Kopheichuk, V. I. Kofanov, V. I. Krutov, A. I. Leonetv, B. M. Mirnov, V. M. Nikitin, I. B. Pavlova, G. B. Petrazhitskii, A. M. Pylaev, E. I. Fedorov, V. I. Hvostov, A. G. Chukaev, E. V. Shishov, V. P. Yugov, ZADACHNIK PO TEHNICHESKOI TERMODINAMIKE I TEORII TEPLOMASSOOBMENA, Vyshaya shkola, Moskva, 1986

7. A. M. Arharov, TERMODINAMICHESKII METOD I NEKOTORYE ZADACHI

TEHNIKI NIZKIH TEMPERATUR, Vyshaya shkola, Moskva, 1962

126094534 termotehnika-zbirka

Documents