10ms001

1

Zadatak 001 (Martina, gimnazija) Riješi iracionalnu jednadžbu

1 3 2x x+ + − = .

Rješenje 001 Iracionalna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznanica pojavljuje pod znakom korijena (odnosno

s nekim racionalnim eksponentom).

Uobičajna metoda rješavanja:

Kvadriramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više

puta kvadrirati. Pozor! Vrijednost izraza (radikanda) pod drugim korijenom mora biti uvijek pozitivna.

Dobivene rezultate uvijek moramo uvrstiti u početnu jednadžbu kako bismo provjerili zadovoljavaju

li oni zadanu jednadžbu. Ako ne zadovoljavaju, odbacuju se.

1.inačica

Kvadriramo obje strane jednadžbe

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

2 21 3 2 1 3 2

2 21 2 1 3 3 4

1 2 1 3 3 4

2 1 3 4 1 3 2 1 3 6 2

2 1 3 6 2

1 3 3 .

2/

dijelimo brojem 2 / : 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x

+ + − = ⇒ + + − = ⇒

⇒ + + ⋅ + ⋅ − + − = ⇒

⇒ + + ⋅ + ⋅ − + − = ⇒

⇒ ⋅ + ⋅ − = − − − + ⇒ ⋅ + ⋅ − = − ⇒

⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ − = − ⇒

⇒ + ⋅ − = −

Iznovice kvadriramo

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 21 3 3 1 3 3

2 2 21 3 9 6 3 3 9 6

3 6 9 3 4 12

2

3.

/

/ : 4

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x

+ ⋅ − = − ⇒ + ⋅ − = − ⇒

+ ⋅ − = − + ⇒ − + − = − + ⇒

⇒ − + + = + ⇒ = ⇒ =

Rezultat moramo uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo je li on njezino rješenje. Za x = 3

3 1 3 3 2 4 0 2 2 0 2 2 2.+ + − = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Dakle, x = 3, jest rješenje.

2.inačica

Na lijevoj strani ostavimo jedan korijen, a drugi ''prebacimo'' na desnu stranu i kvadriramo.

1 3 2.

1 2 3.

x x

x x

+ + − =

+ = − −

[ ]

2/

ponovno korijen "prebacimo" na lijevu

1 2 3 1 4 4 3 3

4 3 4 3 1 4 3 0 3 0

3 0 3 0

stranu

/

.

:4

2/ 3

x x x x x

x x x x x

x x x

+ = − − ⇒ + = − ⋅ − + − ⇒

⇒ ⇒

⇒ ⋅ − = + − − − ⇒ ⋅ − = ⇒ − = ⇒

⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

3.inačica

Koristimo se razlikom kvadrata:

(a + b) · (a – b) = a2 – b

2 .

Početnu jednadžbu pomnožimo izrazom

2

1 3.x x+ − −

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 3 2

1 3 1 3 2 1 3

2 21 3 2 1 3 1 3 2 1 3

4 2 1 3

/

2 1 3

1 3

1 3

2

/ :2

.

x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

x

x

x

x

x

+ + − = ⇒

+ + − ⋅ + − − = ⋅ + − − ⇒

+ − − = ⋅ + − − ⇒ + − + = ⋅ + − − ⇒

⇒ = ⋅ + − − ⇒ = + −

⋅ + − −

− ⇒

⇒ + − − =

Sada postoje dvije jednadžbe:

1 3 2

1 3 2.

x x

x x

+ + − =

+ − − =

Zbrojimo ih: 2

/ : 22 1 4 1 2 1 4 3/ .x x x x⋅ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vježba 001 Riješi iracionalnu jednadžbu

8 1 3x x+ + − = .

Rezultat: 1.

Zadatak 002 (Snježana, hotelijerska škola) Riješi iracionalnu jednadžbu

4 2.x x+ − =




Kvadriramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više

puta kvadrirati. Pozor! Vrijednost drugog korijena je uvijek pozitivna.

Dobivene rezultate uvijek moramo uvrstiti u početnu jednadžbu kako bismo provjerili zadovoljavaju

li oni zadanu jednadžbu. Ako ne zadovoljavaju, odbacuju se.

4 2 4 2 4 4 4 42 2

/ /x x x x x x x x+ − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ − = − ⇒

=> x – 4 = 16 – 8x + x2 => x2 – 9x + 20 = 0 =>

2 9 81 804 9 1 9 1 9 15 i 4.

1,2 1 22 2 2 2 2

b b acx x x

a

± −− ± − ± + −⇒ = = = ⇒ = = = =

Provjera!

Ovi rezultati moraju se uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo jesu li oni njezina rješenja.

4 2,x x+ − =

4 2,x x+ − =

x1 = 5

4 2,x x+ − =

x2 = 4

3

5 5 4 2,+ − =

5 1 2,+ =

5 1 2,+ =

6 2.≠

x1 nije rješenje

4 4 4 2,+ − =

4 0 2,+ =

4 0 2,+ =

4 2,=

2 = 2.

x2 jest rješenje


9 3.x x+ − =

Rezultat: x = 9.

Zadatak 003 (Iva, hotelijerska škola) Riješi iracionalnu jednadžbu

4 2 1 4 16.x x x+ + − = + .




Kvadriramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više puta kvadrirati. Pozor! Vrijednost drugog korijena je uvijek pozitivna.

4 2 1 4 16.x x x+ + − = +

Postavimo uvjete:

14 0 4 , 2 1 0 , 4 16 0 4.

2x x x x x x+ ≥ ⇒ ≥ − − ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ ≥ −

Sada je:

( )4 2 1 4 16 4 2 1 4 4 a bx x x a bx x x+ + − = + ⇒ + + − = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

4 2 1 4 4 4 2 1 2 4 2 1 2 4 4x x x x x x x x x⇒ + + − = ⋅ + ⇒ + + − = ⋅ + ⇒ − = ⋅ + − + ⇒

2 1 4 2 1 4 2 4 1/ 5.x x x x x x x⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ =

Uvjeti su ispunjeni pa je rješenje x = 5.


9 18 2 4.x x+ + + =

Rezultat: – 1.

Zadatak 004 (Ivana, gimnazija)

Riješite jednadžbu 4 30 2 6.x x+ = +

Rješenje 004 Diskusija!

0

154 30 0

.20

0

x x

xx

x

+ ≥ ≥ −

⇒ ⇒ ≥

≥

≥

Kvadriramo jednadžbu:

4

( )22 2 2/ 2 4 44 30 2 6 30 4 6 46 2 :4 6 4 /a b a ab b x xx x x x

+ = + ⇒ ⇒ + = + + ⇒ = ⇒

+ = + +

2/ /:66 6 6 36 6.x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

Budući da je uvjet x ≥ 0, znači rješenje je x = 6.

Vježba 004

Riješite jednadžbu 4 15 2 3.x x+ = +

Rezultat: 3.


Riješite jednadžbu 2 3 1.x x+ = − −


1 1,2 0 2

.1 0 1

x x

xx x

x

+ ≥ ≥ − ⇒ ⇒

− ≥ ≥≥ ⇒ ∈ +∞

Dakle, rješenja jednadžbe mogu biti iz polusegmenta 1, . +∞ Kvadriramo iracionalnu jednadžbu:

( )2 3 1 2 9 6 1 1 6 1 9 1 222 2 2

/ 2a b a ab b x xx x x x + = − − ⇒ ⇒ + = − ⋅ − − ⇒ ⋅ − = − − ⇒

− = − + +

6 1 6 1 1 2/:6 / 1 1 2 2 1, .x x x x ⇒ ⋅ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ ∈ +∞

Budući da je uvjet x ≥ 1, znači rješenje je x = 2.

Vježba 005

Riješite jednadžbu 2 3.x + =

Rezultat: 7.


Nañite zbroj korijena jednadžbe 4 5 3.x x− + + =


( )44 0 4.

5 0 55

/ 15, 4x

xx x

x xx

− ≥ −− ≥ ≤ ⇒ ⇒

+ ≥ ≥ −≥ −

⋅ −∈ −

⇒

Dakle, rješenja jednadžbe mogu biti na segmentu [ ]5, 4 .−

( )4 5 3 5 3 422 2 2/ 2ax x x x b a ab b

− + + = ⇒ + = − − ⇒ ⇒

=

− +

−

5 9 6 4 4 6 4 9 4 5 6 4 8 2 /:2x x x x x x x x⇒ + = − ⋅ − + − ⇒ ⋅ − = + − − − ⇒ ⋅ − = − ⇒

( ) 2 23 4 4 9 4 16 8 36 9 16 8 02/x x x x x x x x⇒ ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = − + ⇒ − − + − = ⇒

( )( )2 1 1 4 1 2042 2

20 0 20 01,2 2

/ 12 1

b b a cx x x x x

a

− ± − ⋅ ⋅ −− ± − ⋅ ⋅⇒ − − + = ⇒ + − = ⇒ =⋅ − = =

⋅ ⋅

[ ]41 1 80 1 9 1

, 5, 4 .1 252 2

2

xx x

x

=− ± + − ± = = ⇒ ⇒ ∈ −

= −

Rješenja jednadžbe su: x1 = 4, x2 = – 5. Zbroj korijena glasi: x1 + x2 = 4 – 5 = – 1.

Vježba 006

Nañite umnožak korijena jednadžbe 4 5 3.x x− + + =

Rezultat: – 20.

5


Koliko rješenja ima nejednadžba 2 1 2 5 5 2 ?x x x+ + − ≥ −


( )

1

22 1 0 2 15

2 5 0 2 5 .2

5 2 0 2 55

/:25

/:22

/: 2

2

x

x x

x x x

x x

x

x

≥ −

+ ≥ ≥ −

− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ − ≥ −

=

−

≤

Dakle, rješenje nejednadžbe može biti samo broj 5

.2

x = Provjera:

5 5 52 1 2 5 5 2 5 1 5 5 5 5 6 0 0 6 0.

2 2 2⋅ + + ⋅ − ≥ − ⋅ ⇒ + + − ≥ − ⇒ + ≥ ⇒ ≥

Nejednadžba ima jedno rješenje.

Vježba 007

Koliko rješenja ima nejednadžba 1 5 5 ?x x x+ + − ≥ −

Rezultat: Ima jedno rješenje.

Zadatak 008 (Mix, hotelijerska škola)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 1 2 1 1.x x x− + − ⋅ − =

Rješenje 008

Uvedemo supstituciju 1y x= − pa jednadžba poprima oblik:

( )1 22 1 2 1 1 1 1 1.

2 1

y xy y y y y y y

x y

= − ⇒ + + − ⋅ = ⇒ + − = ⇒ + − =

= +

Zbog 1 0 1 slijedi:y y− ≥ ⇒ ≥

1 1 2 2 1.y y y y+ − = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Rješenje jednadžbe glasi:

2 1 21 1 2.1

x yx

y

= +⇒ = + =

=

Vježba 008

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 1 10 0.x⋅ − − =

Rezultat: x = 26.

Zadatak 009 (Mix, hotelijerska škola)

Riješi iracionalnu jednadžbu:

1 14 22 3.x x+ ⋅ =

Rješenje 009

Uvedemo supstituciju

14t x= pa jednadžba poprima oblik:

( )1

24 1 1 4 2 342 22 3 2 3 01,21 2 2 2

2 2

t x b b a ct t t t t

a

t x

− ± − ⋅ ⋅ −= − ± − ⋅ ⋅⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ + − = ⇒ = = =

⋅ ⋅=

6

1 51

11 25 1 5 4

1 5 34 4.

2 4 2

t

t

− += =− ± − ±

= = ⇒ − − = = −

Rješenje glasi:

1 1 1 134 4 4 41 1 ( ) ,4/ rješenje nema smisla( ).2

x t x x x t x= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = −

Vježba 009

Riješi iracionalnu jednadžbu:

12 2 3.x x+ ⋅ =

Rezultat: x = 1.

Zadatak 010 (Anita, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 29 9 20.x x− + − =

Rješenje 010

supstitucija

2 2 22 2 2 29 9 20 20 20

9 90

t xx x t t t t

t x

− + − = ⇒ ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ = − ⇒ = −

( )

( )nema smisla

1 942 1 1 4 1 20 14 1 81 1 9 2

1,2 1 92 2 1 2 25 .

2 2

tb b a c

ta

t

− += =− ± − ⋅ ⋅ −− ± − ⋅ ⋅ − ± − ±

⇒ = = = = ⇒ − −⋅ ⋅ = = −

Sada računamo x:

52 19 2 2 29 4 9 16 25

5.4

2/

2

/x

x tx x x

xt

= − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −=

Provjera! Ovi rezultati moraju se uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo jesu li oni njezina rješenja.

2 29 9 20.x x− + − =

2 29 9 20.x x− + − =

x1 = 5

2 29 9 20.x x− + − =

x2 = – 5

2 25 9 5 9 20.− + − =

16 16 20.+ =

4 16 20+ =

20 = 20

x1 je rješenje

( ) ( )2 2

5 9 5 9 20.− − + − − =

16 16 20.+ =

4 16 20+ =

20 = 20

x2 je rješenje

Rješenja jednadžbe su: x1 = 5 i x2 = – 5.

Vježba 010

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 29 9 0.x x− + − =

Rezultat: x = 3.

7


Riješi iracionalnu jednadžbu: 212 8 3.x x− ⋅ − =

Rješenje 011

2 2 2 212 8 3 12 8 3 12 8 9 22/ 8 9 1x x x x x x x x− ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = − ⇒

( ) ( )2/ 1 /2 2 2 2 4 28 3 8 3 8 9 8 9 0x x x x x x x x⇒ − ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ − ⋅ −− =⋅ ⇒

( )bikvadratna jednadžba

2 2 4supstit

2 8 64 4 1 942 8 9 01,2 2 2uci 1: ,ja t x t x

b b a ct t t

a

± − ⋅ ⋅ −− ± − ⋅ ⋅⇒ ⇒ − ⋅ − = ⇒ = = =

⋅ ⋅ = =

( )

( )

8 109

8 64 4 1 9 18 100 8 10 2

8 102 1 2 21 .nema s isla

2 2m

t

t

+= =± − ⋅ ⋅ − ± ±

= = = = −⋅ = = −

Sada računamo x:

/32

129

3.9 2

xx t

xxt

= =⇒ = ⇒

= −=

Provjera!


212 8 3.x x− ⋅ − =

212 8 3x x− ⋅ − =

x1 = 3

212 8 3x x− ⋅ − =

x2 = – 3

212 3 3 8 3− ⋅ − =

12 3 1 3− ⋅ =

9 3=

3 = 3

x1 je rješenje

( )2

12 3 3 8 3+ ⋅ − − =

12 3 9 8 3+ ⋅ − =

12 3 1 3+ ⋅ =

15 3≠

x2 nije rješenje

Rješenje jednadžbe je: x1 = 3.

Vježba 011

Riješi iracionalnu jednadžbu: 212 7 3.x− − =

Rezultat: Rješenja jednadžbe su: x1 = 4 i x2 = – 4.


Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 22 2 6 6.x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

Rješenje 012

2 2 2 2 2 22 2 6 6 2 6 6 2 6 6 2 6 2 6 6 6x x x x x x x x x x x x− ⋅ + − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + + − ⋅ + =− ++ ⇒

2 22 6 2 6 12x x x x⇒ − ⋅ + + − ⋅ + = ⇒

8

supstitucija

2 2 2

2 42 212 12 01,2 22 6 2 6t

b b a ct t t t t

x t x ax x

− ± − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ = =

⋅ = − ⋅ + ⇒ = − ⋅ +

( )

( )

1 73

1 1 4 1 12 11 49 1 7

nema smisla

2

1 72 1 2 24

2 2

t

t

− += =− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ±

= = = = − −⋅ = = −

Sada računamo x:

22 6 2 2 2 2

2 6 3 / 2 6 9 2 3 03

x x tx x x x x x

t

− ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒=

( )2 2 4 4 1 34 2 162 22 6 9 2 3 0

1,2 2 2 1 2

b b a cx x x x t

a

± − ⋅ ⋅ −− ± − ⋅ ⋅ ±⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒ = = = =

⋅ ⋅

2 43

12 4 2

2 421.

2 2

x

x

+= =±

= = − = = −

Provjera!


2 22 2 6 6.x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

2 22 2 6 6x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

x1 = 3

2 22 2 6 6x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

x2 = – 1

2 23 2 3 3 2 3 6 6− ⋅ + − ⋅ + =

9 6 9 6 6 6− + − + =

3 3 6+ =

6 = 6

x1 je rješenje

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 1 6 6− − ⋅ − + − − ⋅ − + =

1 2 1 2 6 6+ + + + =

3 3 6+ =

6 = 6

x2 je rješenje

Rješenja jednadžbe su: x1 = 3 i x2 = – 1.

Vježba 012

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 22 2 9 3.x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

Rezultat: Rješenja jednadžbe su: x1 = 0 i x2 = 2.


Riješi iracionalnu jednadžbu: 225 7 .x x− = −

Rješenje 013

( )2 2 2 22 225 7 25 7 25 49 14

2 22 /x x x x x x xa b a a b b

− = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ − = − ⋅ + ⇒

− = − ⋅ ⋅ +

( )2 2 2 225 49 14 0 2 14 24 0 /: 2 02 7 1x x x x x x x⇒ − − + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + =− ⇒

2 4 7 49 4 1 12 7 1 7 1 7 1 7 14 , 3.

1,2 1 22 2 1 2 2 2 2

b b a cx x x

a

− ± − ⋅ ⋅ ± − ⋅ ⋅ ± ± + −⇒ = = = = ⇒ = = = =

⋅ ⋅

9

Provjera!


225 7 .x x− = −

225 7 .x x− = −

x1 = 4

225 7 .x x− = −

x2 = 3

225 4 7 4− = −

25 16 3− =

9 3=

3 = 3

x1 je rješenje

225 3 7 3− = −

25 9 7 3− = −

16 4=

4 = 4

x2 je rješenje

Rješenja jednadžbe su: x1 = 4 i x2 = 3.

Vježba 013

Riješi iracionalnu jednadžbu: 220 6 .x x− = −

Rezultat: Rješenja jednadžbe su: x1 = 4 i x2 = 2.


Riješi iracionalnu jednadžbu: 3 3 35 5 .x x x+ + − =

Rješenje 014

( )supstitucija 22 2 2

/ 233 3 3

5 5 5 5 a b a ax x x t t t b bt x

+ + − = ⇒ ⇒ + + − = ⇒ ⇒

+ = + ⋅ ⋅ +

=

2 2 2 2 25 2 5 5 5 10 2 25 2 25 10t t t tt t tt t⇒ + ⋅ + ⋅ − + = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⋅ − = −+ − ⇒

( ) ( )2 4 2 2 4 24 25

2 2 22 100 1020 1 000 4 20t t t ta b t ta a b b ⇒ ⇒ ⋅ − = − ⋅ + ⇒ − ⋅ = − ⋅ + ⇒

⋅ +

− = − ⋅

( )( )2 004 2 2 2 216 0 16 0 16

22 1616

nema smisla/

0

ttt t t t t

tt

== ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

= − =

( )nema smi

41

4 .2

sla

t

t

=⇒

= −

Sada računamo x:

33

4 64.4

3/x t

x xt

=⇒ = ⇒ =

=

Provjera!

Ovaj rezultat mora se uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo je li on njezino rješenje.

3 3 33 3 35 5

5 64 5 64 64 5 4 5 4 4 3 1 4 4 4.

64

x x x

x

+ + − = ⇒ + + − = ⇒ + + − = ⇒ + = ⇒ ==

Rješenje jednadžbe je x = 64.

10

Vježba 014

Riješi iracionalnu jednadžbu: 4 4 4.x x+ + − =

Rezultat: Rješenje jednadžbe je: x = 0.


Riješi iracionalnu jednadžbu: 3 2 2 5 3 2.x x x⋅ − − ⋅ − = ⋅ −

Rješenje 015

( )3 2 2 5 3 2 32 2 2 22 /2 2 5 3 2a b a a b bx x x x x x

⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⇒ ⇒ ⋅ − − ⋅ − = ⋅− = − ⋅ ⋅ −

+ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )9 2 12 2 5 4 5 3 2 9 18 12 2 5 4 20 3 2x x x x x x x x x x⇒ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − ⇒ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )9 18 4 20 3 2 12 2 5 10 36 12 2 5 /:2x x x x x x x x⇒ ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )25 18 6 2 5 25 180 32 24 5/ 36 2x x x x x x x⇒ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⇒

( )2 2 2 225 180 324 36 5 2 10 25 1 324 36 72 3 08 180 60 x xx x x x x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ − ⋅ +− ⋅ − ⋅ ⇒

2 2 2 2 225 324 36 72 360 25 324 36 72 360 0 11 72 36 0x x x x x x x x⇒ ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒

( )2 2

4 72 72 4 11 362 211 72 36 0 11 72 36 0

1,2 21

11/

2

b b a cx x x x t

a

− ± − ⋅ ⋅ ± − ⋅ ⋅⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ = = =

⋅ ⋅⋅ −

72 60 1326

172 3600 72 60 22 22

72 60 12 622 22.

2 22 22 11

t

t

+= = =± ±

= = ⇒ − = = =

Pozor! Vrijednost izraza (radikanda) pod drugim korijenom mora biti uvijek pozitivna.

Uvjeti zadatka su:

2 0 2

5 0 5 .

3 2 0 2

5

3

x

x x

x x

xx

− ≥ ≥

− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥

≥

⋅ −

Zbog uvjeta rješenje je x = 6.

Vježba 015

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 1 3 1.x x⋅ − = ⋅ +

Rezultat: Rješenje jednadžbe je: x = 5.

Zadatak 016 (4a, hotelijerska škola)

Riješi iracionalnu jednadžbu: ( ) ( )2 3 2 3 4.x x

+ + − =

Rješenje 016 Uočimo da je umnožak korijena jednak 1:

( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 1 1.+ ⋅ − = + ⋅ − = − = =

Zato vrijedi:

11

( ) ( ) ( ) ( )

supstitucija

12 3 2

2 3 2 3 13

2 3 2 3 1 x xt

t

x x

+

+ ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒

⇒ =

= −

24 4 16 4 1 1 4 12 4 4 3 4 2 31 2

4 4 1 01,2 2 2 1 2 2 2

b b a ct t t t

t a

− ± − ⋅ ⋅ ± − ⋅ ⋅ ± ± ⋅ ± ⋅+ = ⇒ − ⋅ + = ⇒ = = = = = =

⋅ ⋅

2 3.= ±

Rješenja su:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 3

2 3 2 3 2 3 2 3

2

2/

3

xx xt

t

⋅+ = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒

= +

( ) ( )2

2 3 2 3 2,1

xx⇒ + = + ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 3 1

2 3 2 3 2 3 2 3 2 32 3

2 3

xx x xt

t

−+ =

⇒ + = − ⇒ + = ⇒ + = + ⇒+= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3/ 2.2

x x xx

⋅− − −⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ = −

Vježba 016

Riješi iracionalnu jednadžbu: ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6.x x

+ ⋅ + − ⋅ =

Rezultat: Rješenje jednadžbe je: x1 = 2 , x2 = – 2 .

Zadatak 017 (Marija, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 5 7 2 3 3 4.x x x⋅ + − ⋅ + = ⋅ +

Rješenje 017 Pozor! Vrijednost drugog korijena je uvijek pozitivna. Postavimo uvjete:

7

55 7 03

2 3 0 .2

3 4 04

3

4

3

x

x

x

x x

x

x

≥ −

⋅ + ≥

⋅ + ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ⋅ + ≥

≥

≥ −

−

Tražimo rješenje jednadžbe:

2/5 7 2 3 3 4 5 7 2 3 3 4x x x x x x⋅ + − ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⋅ + ⇒

5 7 2 5 7 2 3 2 3 3 4x x x x x⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 5 7 2 3 3 4 5 7 2 3 2 5 7 2 3 4 6x x x x x x x x⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + − ⋅ − − ⋅ − ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = − ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/: 22 5 7 2 3 4 6 5 7 2 3 2 3 /x x x x x x⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = − ⋅ − ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅− + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

5 7 2 3 2 3 5 7 2 3 2 3izlučimo

2 30x x x x x x

x

⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + = ⇒

+ ⋅

⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 7 2 3 0 2 3 3 4 0x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒

12

( )

( )

nije rješenje zbog uvjeta

je rješe

3

2 3 0 2

43 4e .nj

0

3

xx

xx

= −⋅ + =

⇒ ⇒ ⋅ + = = −

Vježba 017

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 5 15 0.x x⋅ + − − =

Rezultat: x = 10.

Zadatak 018 (Marija, gimnazija)

Koliki je zbroj rješenja jednadžbe: 2 22 2 6?x x x x+ − + + − =

Rješenje 018

supstitucija2

42 2 2 22 2 6 6 6 0

1,2 2

22

2 2 2

t x xb b a c

x x x x t t t t

x

ta

t x

= + −

=

− ± − ⋅ ⋅ + − + + − = ⇒ ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ = =

⋅ + −

( )

( )nema rj

1 52

1 1 4 1 6 11 25 1 5 2

1 52ešenja,

1 2 23 .

2 20

t

t a

− += =− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ±

= = = ⇒ − −⋅

≥ = = −

Tražimo rješenja zadane jednadžbe:

22 12 2 2 22

22 2 4 6 0

3.2/

2

xx x t

x x x x x xxt

= + − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ = −=

Provjera!


2 22 2 6x x x x+ − + + − =

2 22 2 6x x x x+ − + + − =

x1 = 2

2 22 2 6x x x x+ − + + − =

x2 = – 3

2 22 2 2 2 2 2 6+ − + + − =

4 4 6+ =

2 4 6+ =

6 = 6

x1 je rješenje

( ) ( )2 2

3 3 2 3 3 2 6− − − + − − − =

9 5 9 5 6− + − =

4 4 6+ =

2 4 6+ =

6 = 6

x2 je rješenje

Zbroj rješenja jednadžbe je: x1 + x2 = 2 – 3 = – 1.

Vježba 018

Koliki je zbroj rješenja jednadžbe: 1 1 12?x x− + − =

Rezultat: 10.

13

Zadatak 019 (Anamarija, hotelijerska škola)

Riješi jednadžbu 21 .x x x− + =

Rješenje 019 Ponovimo!

Jednadžba ( ) ( )f x g x= ekvivalentna je sustavu ( ) ( )

( )

2

0.

f x g x

g x

=

≥

Zadana je jednadžba ekvivalentna sustavu:

2 22 2 1 011 1

000

/

0

2 xxx x x x x x

xxx x

x x − + = − + =− + = − + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ≥≥ ≥ ≥

( )1 1.

0

1

0

/x x

xx

− = − = ⇒ ⇒

≥≥

−

⋅

Budući da je 1 ≥ 0, zaključujemo da je x = 1 rješenje početne jednadžbe.

Vježba 019

Riješi jednadžbu 21 .x x x+ + =

Rezultat: Nema rješenja.

Zadatak 020 (Anamarija, hotelijerska škola)

Riješi jednadžbu 33 1 2.x − =

Rješenje 020

3 3 33 1 2 3 1 2 3 1 2

3/ /:33 1 8 3 9 3.x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Vježba 020

Riješi jednadžbu 62 1 1.x + =

Rezultat: x = 0.

10ms001

Documents