7/28/2019 10.1.1.32.7237

1/2

A n I t e r a t i v e S o l u t i o n t o t h e F i n i t e - T i m e L i n e a r Q u a d r a t i c O p t i m a l

F e e d b a c k C o n t r o l P r o b l e m

R a n d a l B e a r d G e o r g e S a r i d i s J o h n W e n

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l C o m p u t e r a n d S y s t e m s E n g i n e e r i n g

R e n s s e l a e r P o l y t e c h n i c I n s t i t u t e

T r o y , N Y 1 2 1 8 0 - 3 5 9 0 , e - m a i l : b e a r d , s a r i d i s , w e n ] @ c a t . r p i . e d u

A b s t r a c t : S a r i d i s ' s s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n t h e o r y i s a p p l i e d t o t h e

n i t e - t i m e l i n e a r q u a d r a t i c o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m . T h e r e s u l t i s a n

i t e r a t i v e s c h e m e w h i c h s u c c e s s i v e l y i m p r o v e s a n y i n i t i a l c o n t r o l l a w

u l t i m a t e l y c o n v e r g i n g t o t h e o p t i m a l s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l . T h e n o v -

e l t y o f t h e a p p r o a c h i s t h a t t h e s o l u t i o n o f a n o n l i n e a r R i c c a t i e q u a t i o n

i s r e p l a c e d b y t h e s u c c e s s i v e s o l u t i o n t o a l i n e a r L y a p u n o v e q u a t i o n .

N u m e r i c a l e x a m p l e s i l l u s t r a t e t h e a p p r o a c h .

1 I n t r o d u c t i o n

I n t h i s p a p e r w e a p p l y t h e s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n t h e o r y d e v e l o p e d

i n 5 , 6 ] t o t h e n i t e - t i m e L Q o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m , t o o b t a i n a n

e a s i l y c o m p u t a b l e f e e d b a c k c o n t r o l l a w .

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m w h e r e a n i n i t i a l

s t a t e i s t o b e d r i v e n t o t h e o r i g i n i n n i t e t i m e . T h e s y s t e m e q u a t i o n s

a r e g i v e n b y t h e s t a n d a r d f o r m u l a s b e l o w :

_x = A x + B u ( 1 )

J = k x ( T ) k

2

+

Z

T

0

k x k

2

Q

+ k u k

2

R

d t ; ( 2 )

w h e r e x 2 I R

n

, u : I R I R

n

! I R

m

, A , B , Q , a n d R a r e c o n s t a n t

m a t r i c e s o f c o m p a t i b l e d i m e n s i o n , a n d k x k

2

Q

= x

T

Q x

A s s u m i n g t h a t R i s s y m m e t r i c p o s i t i v e d e n i t e a n d t h a t ( A ; B ) i s

c o n t r o l l a b l e , t h e n a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r V

t o b e t h e o p t i m a l c o s t

i s t h a t i t s a t i s f y t h e H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n e q u a t i o n

V

t

+ V

T

x

A x + x

T

Q x ?

1

4

V

T

x

B R

? 1

B

T

V

x

= 0 ( 3 )

w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n

V

( T ; x ( T ) ) = k x ( T ) k

2

I f w e a s s u m e t h a t V

i s o f t h e f o r m

V

( t ; x ) = x

T

( t ) P ( t ) x ( t ) ( 4 )

a n d t h a t t h e r e s u l t i n g o p t i m a l t r a j e c t o r y i s n o n - s i n g u l a r ( x ( t ) 6= 0 o n

a t i m e s e t o f p o s i t i v e m e a s u r e ) , t h e n t h e o p t i m a l c o s t i s g i v e n b y ( 4 )

i f P , s a t i s e s

_

P

+ P

A + A

T

P

+ Q ? P

B R

? 1

B

T

P

= 0 ; P

( T ) = I ( 5 )

F u r t h e r m o r e , t h e o p t i m a l c o n t r o l i s g i v e n b y t h e f e e d b a c k c o n t r o l

u

( t ; x ) = ? R

? 1

B

T

P

( t ) x ( t ) ; ( 6 )

a n d t h e o p t i m a l c o s t i s

J ( x

0

; u

) = x

T

0

P

( 0 ) x

0

( 7 )

W h i l e t h i s r e s u l t i s w e l l k n o w n 4 ] , i n p r a c t i c e i t i s h a r d t o i m p l e m e n t

d u e t o t h e d i c u l t y i n s o l v i n g t h e t i m e - v a r y i n g R i c c a t i e q u a t i o n , ( 5 ) .

I n s e c t i o n 2 w e p r e s e n t a n i t e r a t i v e s c h e m e t h a t i s e a s y t o c o m p u t e a n d

s u c c e s s i v e l y i m p r o v e s a n y f e e d b a c k c o n t r o l l a w , u l t i m a t e l y c o n v e r g i n g

t o t h e o p t i m a l f e e d b a c k c o n t r o l . I t e r a t i v e s o l u t i o n s t o t h e a l g e b r a i c

R i c c a t i e q u a t i o n ( A R E ) h a v e b e e n r e p o r t e d i n 2 , 3 , 6 ] . T h i s p a p e r

e x t e n d s t h e s e s o l u t i o n s t o t h e n i t e - t i m e c a s e . O n e o f t h e m a j o r d i f -

f e r e n c e s b e t w e e n t h e r e s u l t s o f t h i s p a p e r a n d t h o s e f o r t h e A R E , i s

t h a t a l l r e q u i r e m e n t s o n t h e i n i t i a l i t e r a t i o n ( i . e . s t a b i l i t y o f t h e i n i t i a l

c o n t r o l l a w ) a r e r e m o v e d .

T h e s i g n i c a n c e o f S a r i d i s ' s a p p r o x i m a t i o n a p p r o a c h i s t h a t a n y i n i -

t i a l c o n t r o l i s s u c c e s s i v e l y i m p r o v e d a n d t h a t t h e c o n t r o l l a w a t a n y

i t e r a t i o n h a s a g u a r a n t e e d ( s u b - o p t i m a l ) p e r f o r m a n c e i n d e x .

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y N A S A g r a n t s N G T 1 0 0 0 0 a n d

N A G W - 1 3 3 3 .

2 T h e M a i n A l g o r i t h m

T o i m p r o v e a n i n i t i a l s t a t i o n a r y f e e d b a c k c o n t r o l l a w w e a p p l y t h e

a p p r o x i m a t i o n t h e o r y p r e s e n t e d i n 6 ] . T o b e d e n i t e , l e t u

( 0 )

b e

d e n e d a s

u

( 0 )

( t ; x ) = ? K ( t ) x ( t ) ; t 2 0 ; T ] ( 8 )

I n t h e i n n i t e - t i m e c a s e , t h e i n i t i a l c o n t r o l l a w i s r e q u i r e d t o b e s t a b i -

l i z i n g f o r t h e a p p r o x i m a t i o n m e t h o d t o c o n v e r g e . F o r n i t e - t i m e t h i s i s

n o t t h e c a s e ; i n p a r t i c u l a r w e m a y c h o o s e K = 0 . H o w e v e r , a s w e w i l l

s h o w K p r o v i d e s a d e g r e e o f f r e e d o m w h i c h m a y b e j u d i c i o u s l y c h o s e n

t o s p e e d t h e c o n v e r g e n c e o f t h e a l g o r i t h m .

I n i t i a l S t e p

A c c o r d i n g t o t h e a p p r o x i m a t i o n t h e o r y 6 ] w e i n i t i a l i z e t h e p r o c e s s b y

n d i n g V

( 0 )

( t ; x ) t o s a t i s f y t h e G e n e r a l i z e d - H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n

( G H J B ) e q u a t i o n :

V

( 0 )

t

+ V

( 0 ) T

x

A

( 0 )

x + x

T

G

( 0 )

x = 0 ; ( 9 )

w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n

V

( 0 )

( T ; x ( T ) ) = k x ( T ) k

2

;

w h e r e A

( 0 )

= A ? B K a n d G

( 0 )

= Q + K

T

R K

A s s u m i n g t h a t V

( 0 )

( t ; x ) i s o f t h e f o r m

V

( 0 )

( t ; x ) = x

T

( t ) P

( 0 )

( t ) x ( t ) ( 1 0 )

w h e r e P

( 0 )

( t ) = P

( 0 ) T

( t ) , a n d t h a t t h e t r a j e c t o r y i s n o n - s i n g u l a r , ( 9 )

r e d u c e s t o

_

P

( 0 )

+ P

( 0 )

A

( 0 )

+ A

( 0 ) T

P

( 0 )

+ G

( 0 )

= 0 ; P

( 0 )

( T ) = I ( 1 1 )

I t i s w e l l k n o w n ( c . f . 1 ] ) t h a t ( 1 1 ) , w h i c h i s a L y a p u n o v e q u a t i o n , h a s

t h e s o l u t i o n

P

( 0 )

( t ) =

e

A

( 0 )

( T ? t )

2

+

Z

T

t

e

A

( 0 )

( ? t )

2

G

( 0 )

d ( 1 2 )

T h e I t e r a t i v e S t e p

S e t t i n g i = 1 , w e l e t t h e n e w c o n t r o l l a w b e

u

( i )

( t ; x ) = ? R

? 1

B

T

P

( i ? 1 )

( t ) x ( t ) ( 1 3 )

L e t t i n g A

( i ? 1 )

= A ? B R

? 1

B

T

P

( i ? 1 )

a n d G

( i ? 1 )

= Q +

P

( i ? 1 )

B R

? 1

B

T

P

( i ? 1 )

w e n d t h e v a l u e f u n c t i o n f o r t h i s c o n t r o l l a w

b y s o l v i n g t h e f o l l o w i n g G H J B e q u a t i o n :

V

( i )

t

+ V

( i ) T

x

A

( i ? 1 )

x + x

T

G

( i ? 1 )

x = 0 ; ( 1 4 )

w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

V

( i ? 1 )

( T ; x ( T ) ) = k x ( T ) k

2

A s i n t h e i n i t i a l s t e p , w e a s s u m e a n o n - s i n g u l a r s o l u t i o n a n d t h a t

V

( i )

( t ; x ) h a s t h e f o r m

V

( i )

= x

T

( t ) P

( i )

( t ) x ( t ) ( 1 5 )

T h e r e s u l t i s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n f o r P

( i )

( t ) :

_

P

( i )

+ P

( i )

A

( i ? 1 )

+ A

( i ? 1 ) T

P

( i )

+ G

( i ? 1 )

= 0 ; P

( i )

( T ) = I ( 1 6 )

T h e s o l u t i o n s t o ( 1 6 ) c a n b e w r i t t e n a n a l y t i c a l l y a s

P

( i )

( t ) =

( i ? 1 )

( T ; t )

2

+

Z

T

t

( i ? 1 )

( ; t )

2

G

( i ? 1 )

d ; ( 1 7 )

w h e r e

( i )

i s t h e s t a t e t r a n s i t i o n m a t r i x a s s o c i a t e d w i t h A

( i )

( t )

T h e f o l l o w i n g T h e o r e m s h o w s t h a t u

( i )

( t ; x ) a n d V

( i )

( t ; x ) , g i v e n

i n e q u a t i o n s ( 1 3 ) a n d ( 1 5 ) , c o n v e r g e m o n o t o n i c a l l y t o u

( t ; x ) a n d

V

( t ; x ) g i v e n i n e q u a t i o n s ( 6 ) a n d ( 7 ) .

7/28/2019 10.1.1.32.7237

2/2

T h e o r e m

I f R = R

T

> 0 , ( A ; B ) i s c o n t r o l l a b l e a n d A , B , a n d Q a r e s u c h t h a t

a u n i q u e p o s i t i v e d e n i t e s o l u t i o n t o ( 5 ) e x i s t , t h e n

V

( 0 )

( t ; x ) V

( 1 )

( t ; x ) V

( t ; x ) ( 1 8 )

w i t h e q u a l i t y h o l d i n g i V

( i )

( t ; x ) V

( t ; x ) . F u r t h e r m o r e

V

( i )

( t ; x ) ? ! V

( t ; x ) a n d u

( i )

( t ; x ) ? ! u

( t ; x ) p o i n t w i s e f o r a l l

t 2 0 ; T ] a n d x 2 I R

n

P r o o f : T h i s p r o o f e x t e n d s 6 , T h e o r e m 4 ] b y r e m o v i n g a l l r e -

s t r i c t i o n s o n t h e i n i t i a l c o n t r o l u

( 0 )

( t ; x ) , a n d b y s h o w i n g t h a t i n t h e l i n -

e a r c a s e c o n v e r g e n c e i s s t r i c t l y m o n o t o n e . B y c o m p l e t i n g t h e s q u a r e s

( c . f . 6 ] ) w e c a n d e r i v e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s w h i c h d i r e c t l y i m p l y

e q u a t i o n ( 1 8 ) :

V

( 1 )

( t ; x ) ? V

( 0 )

( t ; x ) = ( 1 9 )

?

1

4

Z

T

t

2 ( B

T

P

( 0 )

( ) ? R K )

( 1 )

( t ; ) x ( t )

2

R

? 1

d ;

V

( i )

( t ; x ) ? V

( i ? 1 )

( t ; x ) = ( 2 0 )

?

1

4

Z

T

t

2 B

T

( P

( i ? 1 )

( ) ? P

( i ? 2 )

( ) )

( i )

( t ; ) x ( t )

2

R

? 1

d ;

V

( t ; x ) ? V

( i )

( t ; x ) = ( 2 1 )

?

1

4

Z

T

t

2 B

T

( P

( ) ? P

( i ? 1 )

( ) )

t ; ) x ( t )

2

R

? 1

d

S i n c e V

( i )

i s b o u n d e d a b o v e a n d b e l o w , i t c o n v e r g e s i n t h e l i m i t t o

V

( 1 )

a n d b y d i r e c t s u b s t i t u t i o n i n t o ( 1 4 ) i t c a n b e s h o w n t h a t V

( 1 )

s a t i s e s t h e H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n e q u a t i o n , ( 3 ) , w i t h t h e a p p r o -

p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S u b s t i t u t i n g t h e e q u a t i o n

V

( 1 )

( t ; x ) = x

T

P

( 1 )

x ;

w e s e e t h a t P

( 1 )

m u s t s a t i s f y ( 5 ) . U n i q u e n e s s o f t h e s e e q u a t i o n s g i v e

t h a t V

( 1 )

= V

. F u r t h e r m o r e , i f t h e i n t e g r a l i n ( 1 9 ) o r ( 2 0 ) i s z e r o

t h e n V

( i )

( t ; x ) a l s o s a t i s e s ( 3 ) a n d t h e u n i q u e n e s s o f ( 5 ) a g a i n g i v e

t h a t V

( i )

( t ; x ) V

( t ; x ) , s h o w i n g s t r i c t m o n o t o n e c o n v e r g e n c e . I n

t h e l i n e a r c a s e , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t V

i s c o n t i n u o u s l y

d i e r e n t i a b l e w h i c h i m p l i e s t h e p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e o f u

( i )

( t ; x ) t o

u

( t ; x ) . Q . E . D .

3 I l l u s t r a t i v e E x a m p l e

A s a n e x a m p l e o f t h e a b o v e t e c h n i q u e , c o n s i d e r t h e i n v e r t e d p e n d u l u m

( I + m

p

l

2

)

+ m

p

g l s i n ( ) = ;

w i t h f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n

= m

p

g l s i n ( ) + u

B y n o r m a l i z i n g t h e p a r a m e t e r s w e o b t a i n t h e d o u b l e i n t e g r a t o r

_x =

0 1

0 0

+

0

1

u

I n t h i s e x a m p l e w e u s e p e r f o r m a n c e i n d e x ( 2 ) w i t h

Q = I ; R = 1 0 ; = 1 0 0 ; T = 1

F i g u r e 1 ( a ) s h o w s t h e c o s t f u n c t i o n o f t h e s y s t e m v e r s e s x

1

w h e n t h e

i n i t i a l c o n d i t i o n i s x

T

0

= ( x

1

( 0 ) ; 0 ) . F i g u r e 1 ( b ) s h o w s t h e c o s t v e r s e s

i t e r a t i o n f o r t h e x e d i n i t i a l c o n d i t i o n o f x

T

0

= ( 1 0 ; 0 ) . T h e s e p l o t s

c l e a r l y s h o w t h e c o n v e r g e n c e o f V

( i )

t o V

. T h e i n i t i a l c o n t r o l u s e d

t o i n i t i a l i z e t h e s y s t e m i n F i g u r e 1 i s u

( 0 )

( t ; x ) 0

I n t h e i n n i t e - t i m e c a s e , u

( 0 )

i s r e q u i r e d t o b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g

f o r t h e m e t h o d t o c o n v e r g e ( c . f . 2 ] ) , t h i s r e s t r i c t i o n d o e s n o t a p p l y i n

t h e n i t e - t i m e p r o b l e m . T h e i n i t i a l e r r o r , h o w e v e r , m a y b e v e r y l a r g e

i f a n i n i t i a l l y u n s t a b l e c o n t r o l l e r i s u s e d . T h i s s i t u a t i o n c a n b e a v o i d e d

b y c h o o s i n g t h e i n i t i a l c o n t r o l g a i n K s u c h t h a t t h e m a t r i x A ? B K

i s H u r w i t z .

F o r e x a m p l e i f t h e i n i t i a l c o n t r o l i s u = ? K x w i t h

K = ( 0 3 1 6 2 ; 0 8 5 5 8 ) ;

w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e o p t i m a l L Q R g a i n s f o r t h e i n n i t e - t i m e h o r i -

z o n p r o b l e m , t h e n s i m u l a t i o n s s i m i l a r t o F i g u r e 1 a r e s h o w n i n F i g u r e 2 .

B y c o m p a r i n g t h e t w o g u r e s , i t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e

i s f a s t e r w h e n a n i n i t i a l a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e c o n t r o l l a w i s u s e d .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e \ s i z e " o f t h e c o n t r o l e o r t a s t ! T i s

g o v e r n e d b y : a s b e c o m e s l a r g e , t h e p e r f o r m a n c e i m p r o v e s b u t t h e

c o n t r o l b e c o m e s c o r r e s p o n d i n g l y l a r g e . T h i s d i c u l t y i s i n h e r e n t i n

g l o b a l s t a t e - f e e d b a c k c o n t r o l , w i t h a n i t e - t i m e c o n s t r a i n t .

4 C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r w e a p p l y S a r i d i s ' s s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n t h e o r y t o d e -

r i v e a n i t e r a t i v e s o l u t i o n t o t h e n i t e - t i m e L Q o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m .

W e s h o w t h a t t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m m o n o t o n i c a l l y i m p r o v e s a n y i n i -

t i a l c o n t r o l l a w , w i t h g u a r a n t e e d c o n v e r g e n c e t o t h e o p t i m a l c o n t r o l .

T h e p r a c t i c a l s i g n i c a n c e o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t i f a s u b - o p t i m a l c o n -

t r o l l a w f o r a l i n e a r p l a n t e x i s t s , t h e a l g o r i t h m d e r i v e d i n S e c t i o n 2 m a y

b e u s e d t o i m p r o v e i t s p e r f o r m a n c e i n t h e L Q s e n s e .

T h i s p a p e r i s a l s o s i g n i c a n t i n t h a t i t i l l u s t r a t e s a n a p p r o a c h t h a t i s

a p p l i c a b l e t o n o n l i n e a r s y s t e m s . U s i n g a s i m i l a r a p p r o a c h w e h a v e d e -

v e l o p e d a p r a c t i c a l f e e d b a c k s y n t h e s i s a l g o r i t h m f o r H

2

o p t i m a l c o n t r o l

o f n o n l i n e a r p l a n t s t h a t a r e a n e i n t h e c o n t r o l . T h e s e r e s u l t s w i l l b e

p r e s e n t e d i n f o r t h c o m i n g p a p e r s .

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Cost

x1

V(0)

: .. V(i)

: V*

:

(a) Cost vs Initial State

0 1 2 3 4 5 6 7

4000

6000

8000

10000

12000

Iteration

Cost

(b) Cost vs Iteration

F i g u r e 1 : D o u b l e i n t e g r a t o r w i t h i n i t i a l l y u n s t a b l e c o n t r o l : ( a ) C o s t

f u n c t i o n v e r s e s t a t e f o r s e v e r a l i t e r a t i o n s ( b ) C o s t f u n c t i o n v e r s e s i t e r -

a t i o n f o r x

T

0

= ( 1 0 ; 0 )

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

2000

4000

6000

8000

10000

Cost

x1

V(0)

: .. V(i)

: V*

:

(a) Cost vs Initial State

0 1 2 3 4 5 6 74000

5000

6000

7000

8000

9000

Iteration

C

ost

(b) Cost vs Iteration

F i g u r e 2 : D o u b l e i n t e g r a t o r w i t h i n i t i a l l y s t a b l e c o n t r o l : ( a ) C o s t f u n c -

t i o n v e r s e s t a t e f o r s e v e r a l i t e r a t i o n s ( b ) C o s t f u n c t i o n v e r s e s i t e r a t i o n

f o r x

T

0

= ( 1 0 ; 0 )

R e f e r e n c e s

1 ] R o b e r t R . B i t m e a d a n d M i c h e l G e v e r s . R i c c a t i d i e r e n c e a n d d i f -

f e r e n t i a l e q u a t i o n s : C o n v e r g e n c e , m o n o t o n i c i t y a n d s t a b i l i t y . I n

W i l l e m s B i t t a n t i , L a u b , e d i t o r , T h e R i c c a t i E q u a t i o n , p a g e s 2 6 3 {

2 9 1 . S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 1 .

2 ] D a v i d L . K l e i n m a n . O n a n i t e r a t i v e t e c h n i q u e f o r R i c c a t i e q u a -

t i o n c o m p u t a t i o n s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l , A C -

1 3 : 1 1 4 { 1 1 5 , F e b r u a r y 1 9 6 8 .

3 ] A l a n J . L a u b . I n v a r i a n t s u b s p a c e m e t h o d s f o r t h e n u m e r i c a l s o l u -

t i o n o f R i c c a t i e q u a t i o n s . I n W i l l e m s B i t t a n t i , L a u b , e d i t o r , T h e

R i c c a t i E q u a t i o n , p a g e s 1 6 3 { 1 9 6 . S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 1 .

4 ] F r a n k L . L e w i s . O p t i m a l C o n t r o l . J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k ,

1 9 8 6 .

5 ] G . N . S a r i d i s a n d J . B a l a r a m . S u b o p t i m a l c o n t r o l f o r n o n l i n e a r

s y s t e m s . C o n t r o l T h e o r y a n d A d v a n c e d T e c h n o l o g y , 2 ( 3 ) : 5 4 7 { 5 6 2 ,

S e p t e m b e r 1 9 8 6 .

6 ] G e o r g e N . S a r i d i s a n d C h u n - S i n g G . L e e . A n a p p r o x i m a t i o n t h e o r y

o f o p t i m a l c o n t r o l f o r t r a i n a b l e m a n i p u l a t o r s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n

S y s t e m s , M a n , a n d C y b e r n e t i c s , S M C - 9 ( 3 ) : 1 5 2 { 1 5 9 , M a r c h 1 9 7 9 .