100412_113_trabajo_fase1 (1).docx
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Trabajo Colaborativo Fase 1
Denís Celín Mendoza Gamboa, cód 60258404
Lizeth Liliana Helen Vargas, cod
Omar Becerra, cód
Luis Fernando Velandia, cód 96353529
Tutor
Rodolfo López Garibello
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales
20 de septiembre de 2015
Introducción
En el presente trabajo se podrá observar la solución a dos ejercicios propuestos, en los cuales se
podrán aplicar los principios de ecuaciones diferenciales; dejando con esto un soporte de lo
estudiado y aprendido en la primera unidad del curso.
En la primera fase del trabajo colaborativo cada estudiante elabora dos ejercicios y los entrega de
manera individual, en la segunda fase los estudiantes elaboran un ejercicio y complementan un
segundo para comprobar su solución.
De manera que estos dos ejercicios ponen a prueba los logros de aprensión conseguidos por parte
de los estudiantes participantes, dentro del presente evento académico.
Objetivos
Aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad I de ecuaciones diferenciales para la solución
de ejercicios.
Revisar el problema propuesto en la guía integrada de actividades para comprobar la respuesta.
Consolidar y entregar el producto final con lo requerido para la presente actividad
Desarrollo de la actividad
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden:
Ejercicio 1.
Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.
Para nuestro caso tenemos la ecuación diferencial asociada a las mezclas
dxdt
+Q2
V 0+(Q1−Q2) tx (t)¿Q1C1
Y el siguiente problema
Lo primero que debemos hallar es x(t) para ello resolvemos
dxdt
+Q2
V 0+(Q1−Q2) tx¿Q1 C1
Vt = 1000 lt
V0 = 1000 lt
X0 = 0 kg
C1=1 kg/lt
Q1=6L/min
Q2=6L/min
Reemplazamos los valores del recuadro de arriba
dxdt
+ 61000+(6−6) t
x¿6 (1)
dxdt
+ 61000
x ¿6
dxdt
¿6− 61000
x
dx
6−6
1000x¿ dt
∫ dx
6−6
1000x¿∫ dt
∫ dt ¿ t+k1
∫ dx
6−6
1000x=
10006 ∫
61000
6−6
1000x
dx=1000
6ln(6−
61000
x)+k 2
10006
ln (6− 61000
x )=t +k
10006
ln (6− 61000
x )=t +k Usamos las condiciones iniciales para hallar el valor de k
10006
ln (6− 61000
0)=0+k→ k=298,6
Reemplazamos el valor de k en la ecuación que obtuvimos de la integración
10006
ln (6− 61000
x )=t +298,6
Por propiedades de logaritmo, tenemos
ln [(6− 61000
x)1000
6 ]=t+298,6
Aplicamos e
(6− 61000
x)1000
6 =e t+298,6
Despejamos x para hallar la función x(t)
6− 61000
x=(e¿¿ t +298,6)6
1000 ¿
x (t)=−¿
Ahora buscamos el valor de t que cumpla con la incógnita que es determinar cuando la concentración en el tanque ser de ½ kg/lt
12∗1000=−¿
5001000
6
=−¿
30001000
−6=−(e¿¿ t+298,6)6
1000¿
−1∗−3=−(e¿¿ t+298,6)6
1000∗−1¿
3=(e¿¿ t+298,6)6
1000 ¿
Aplicamos logaritmo a los dos lados
1,0986=6 (t +298,6 )
1000
1,0986∗1000=6 t+1791,6
1098,6=6t + 1791,6
6 t=1791,6−1098,6
t=1791,6−1098,66
t=6936
t=115,5
Cuando la concentración de ½ Kg/L de sal en el tanque es al cabo de 115,5 min.
R
mg Movimiento
Ejercicio 2.
Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante?
(Considere la gravedad como g=10m
seg2 )
Solución :
Por la segunda Ley de Newton
mg = Peso
R = kv
ma=F neta
ma = mg – kv (-ku porque es la resistencia del cuerpo al movimiento)
como a=dvdt
la ecuación se convierte en:
mdvdt
=mg+kv
E.D.L. dividiendo entre m a en ambos lados.
mm
dvdt
+ kvm
=m gm
Es decir, dvdt
− km
v=g
Al resolver esta ecuación lineal, tenemos
Factor integrante, e∫ k
mdt=e
km
t Multiplicando esta ecuación diferencial por el factor integrante,
tenemos
ekm
t( dvdt
+ km
v )=gekm
t
Que equivale a ddt
(emk
tv )=g e
mk
t
Integrando respecto a t, tenemos
∫ ddt
(ekm
tv )dt=∫ e
km
tg dt
ekm
tv=m
kg e
km
t+C
v=mgk
+C e−km
t
Aplicando las condiciones iniciales, haciendo v (0 )=v0 ,
v (o)=mgk
+ce−km
( o)=vo
v0=mgk
+C C=v0−mgk
Entonces la ecuación de la velocidad en cualquier t
v (t)=mgk
+(v0−mgk )e
−km
t
v (t )=mgk
+(vo−mgk )e
−km
t
Teniendo en cuenta que v (t )=dxdt
, y haciendo x (0 )=x0, se llega a que
dxdt
=mgk
+(v0−mgk )e
−km
t
Integrando respecto a t
x (t )=mgk
t +(vo−mgk )(−m
ke
−km
t)+c donde c es la constante de integración
mk
vo+m2 gk 2 +c=0
c=mk
vo−m2 gk2 entonces
x (t )=mgk
t−mk
vo e−km
t+ m2
k 2 g e−km
t+
m vo
k−m2 g
k2
En el caso que se cumplan las condiciones iniciales v(0) = 0 y x(0)=0 quedará:
x (t )=mgk
t + m2
k2 −e− km
t
x (t )=mgk
t−m2
k2(1−e
−km
t )
En el caso de v (0 )=v0 y x ( t )=xo
x (0 )=mgk
(0 )−mk
vo e−km
(0 )+ m2
k2 g e−km
(0 )+c=xo
−mk
vo e01
+ m2
k 2 ge0+c=x0
−mk
vo+m2
k2 g+c=x0
c=x0mk
vo−m2
k2 g
De donde, x (t)=mgk
t−mk
v0 e− km
t+ m2 g
k2 e−km
t+x0+
mk
v0 e−km
t−m2 g
k2 e−km
t
x (t )=mgk
t−mk (v0−
mgk )e
−km
t+x0+
mk (v0−
mgk )
Reagrupando,
x (t )=mgk
t−mk (vo−
mgk )e
−km
t+ xo
mk (vo−
mgk )
x (t )=mgk
t + mk (v0−
mgk )(1−e
−km
t)+x0
Considerando la gravedad como g=10m
seg2 y la tapa inicial en la que el paracaídas está
cerrado, donde x0=0 , v0=0 y k=30 Ns /m ,
( t )=mgk
+vo+e−km
t−mg
ke
−km
t mg=1000
v (10 )=100030
+0 e-km
t−1000
30e
−km
(10)
v (t )=1003
−1003
e−310
ty
x (t )=1003
t + 10009
e−310
t
v (10 )=1003
+0−1003
e−3
v (10 )=33,33−1,654
v (10 )=81,673 m /seg
Luego a los diez segundos, t=10
v (10 ) ≈ 31.6737ms
Y la distancia recorrida por el paracaidista durante los primeros diez segundos será aproximadamente
( t )=mgk
+ mk (vo−
mgk )(1−e
−km
t)+xo
Como xo=0
x (10 )=10030
(10)+ 10030 (0−1000
30 )(1−e−30100
(10))+0
x=1003
(10 )+ 10 03 0 (−10 0
3 0 ) (1−e−3 )
x=10003
+(−10009 ) (1−e−3 )
x=1003
−105,579=227,754
x (t )=227,7541 m
Para la segunda etapa, es decir, cuando el paracaídas está abierto, se toma como instante t=0
aquel en el que el paracaídas se abre y k=90N . s
m , con lo que se tiene
x (0 )=227,7541 m y v (0 )=31.6737ms
V (t )=100 09 0
+(31,673−100090 )e
−90100
(t )
Entonces, v (t )=1009
+20,5626 e−910
ty
x (t )=1009
t−22,8473 e−910
t+250,6014
x (t )=100090
+10090 (31,673−1000
90 )(1−e−90100
(t ))+227,754
Entonces, como x (t )=2000 tenemos,
x (t )=1009
+22,846−22,846 e−910
(t )+227,754
x (t )=1009
−22,846−22,846 e−910
(t )+227,754
1009
t−22,8473 e−910
t+250,6014=2000
Si t >10 entonces 22,846 e−910
(t )≅ 0
1009
t+250,6=2000
1009
t=2000−250,6
1009
t=1729,4
t=1729,4 ( 9100 )
t=157,446 seg
Es decir, que t=2,0563 e−910
t+157,4459
Como duró 10 seg en abrir el paracaídas entonces el tiempo que demora en llegar al suelo es:
T t=157,446+10
T t=167,446 seg
v (t )=1009
+20,561e−910
(t )
v (157,446)=1009
+20,561 e−910
(157,446 )
v=11,11m / s
En la anterior ecuación el término 2,0563 e−910
t se desprecia para valores de tiempo relativamente
grandes (mayores que 10), es decir, este valor tiende a cero, entonces, t=157,4459 seg. De aquí
se deduce que el paracaidista tarda aproximadamente, 10 seg+157,4459 seg=167,4459 seg en
llegar al suelo desde que se arrojó del avión.
La velocidad de éste al llegar al suelo es de aproximadamente 100
9Kmseg
=11,11Kmseg
Conclusiones
El trabajo permitió la aplicación de los conocimientos adquiridos en la unidad I del curso de
ecuaciones diferenciales, mediante el desarrollo de los ejercicios propuestos y el análisis del
problema planteado, donde se revisó el procedimiento y se adicionó lo necesario para establecer
que la respuesta era correcta.
Referencias
Franquet J. (2013). “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y en Diferencias finitas, Curso
Práctico”. UNED-Tortosa. España. Disponible en: http://campus03.unad.edu.co/
ecbti02/mod/book/view.php?id=4630
Vindel P., “Fundamentos Matemáticos de la Ingeneiría”. Universitat Jaume. Disponible
en: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/