10. koordinátageometria1 10. koordinátageometria i. nulladik zh-ban láttuk: 1. melyek azok a pxy...
TRANSCRIPT
1
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk:
1. Melyek azok a ;P x y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az 2
01
x yx
egyenlőtlenséget?
Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon!
ELTE 2010. szeptember (matematika, fizika BSc)
Megoldás:
A nevező nem lehet nulla, emiatt 1x , ezért az 1x és az 1x egyenesek nem tartoznak a megoldáshoz.
Ha a számláló nulla, akkor a nevező tetszőleges, nemnulla értéke mellett teljesül az egyenlőtlenség, így az 2y x parabola pontjai a 1;1 és az 1;1 pontok kivételével a megoldáshalmaz elemei.
A tört akkor pozitív, ha a számlálója és nevezője azonos előjelű.
A számláló pozitív, ha 2y x , aminek a parabola alatti pontok felelnek meg. A nevező pozitív, ha
1x , vagyis az 1x egyenestől balra, illetve az 1x egyenestől jobbra elhelyezkedő
félsíkok pontjai. E kettő metszete tartozik a megoldáshalmazhoz.
A számláló is és a nevező is negatív a parabola fölött (푦 > 푥 ) és a két függőleges egyenesünk között (|푥| < 1).
A megoldás: (Az üres karikával jelölt pontok és a szaggatott vonallal jelölt egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshoz.)
2
2. Hol metszi az y-tengelyt az 0;1 , 2;2 , 1;5A B C csúcspontokkal rendelkező háromszög B-
ből induló súlyvonala?
BME 2015. szeptember 11. (16A)
Megoldás:
A B -ből induló súlyvonal áthalad az AC szakasz felezőpontján.
0 1 1 5 1; ;32 2 2ACF
A ACBF
vektor a keresett súlyvonal irányvektora, 90°-os elforgatással kapunk egy normálvektort.
1 32;3 2 ;12 2ACBF
v
, tehát
31;2
n
A súlyvonal egyenlete a B pontot használva:
3 32 22 23 52
x y
x y
Az y-tengellyel való metszéspont első koordinátája 0, ezért a második koordinátát megkapjuk, ha x helyére 0-t helyettesítünk:
3 52
y , tehát 103
y .
A jó válasz a (D).
3. A következő kifejezések közül melyik lehet egy valódi kör egyenlete?
1. 2 2 2 4 0x y x y
2. 2 2 8 27 0x y y
3. 2 2 6 4 12 0x y x y
BME 2014. december 5. (16A)
(A) 4112
y (B) 72
y (C) 3,3y (D) 103
y (E) 299
y
(A) Csak az 1. (B) Csak a 2. (C) Csak a 3. (D) Több is igaz. (E) Egyik sem igaz.
3
Megoldás:
Az 1. egyenletben az 2x és az 2y együtthatója nem egyenlő, emiatt nem lehet kör egyenlete.
A 2. és a 3. egyenletet át kell alakítanunk, hogy lássuk a kör középpontját és sugarát.
A 2. egyenlet:
2 2
22
22
8 27 0
4 16 27 0
4 11
x y y
x y
x y
A jobb oldalon negatív számot kaptuk, ezért ez az egyenlet egy üreshalmazt ad meg.
A 3. egyenlet:
2 2
2 2
2 2
6 4 12 0
3 9 2 4 12 0
3 2 1
x y x y
x y
x y
Ez egy valódi kör egyenlete. (A kör középpontja (3; −2), sugara 1.)
Tehát a jó válasz a (C).
4. A derékszögű koordináta-rendszer síkjában adott egy négyszög négy csúcsával: 2; 3A ,
4; 3 , 4;11 , 2;11B C D és egy kör az egyenletével: 2 2 20 12 100 0x y x y .
Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a négyszögnek is és a körnek is a területét!
ELTE 2012. szeptember (matematika BSc)
Megoldás:
Megnézve a megadott négyszög csúcsainak koordinátáit látható, hogy egy téglalapról van szó. A téglalap területét azok az egyenesek felezik, melyek átmennek a téglalap középpontján. (A téglalap középpontján átmenő egyenesek két egybevágó síkidomra bontják a téglalapot.)
Hasonlóan a kör területét a kör középpontján átmenő egyenesek felezik.
Meg kell tehát keresnünk mindkét alakzat középpontját, majd felírni a két ponton átmenő egyenes egyenletét.
A téglalap középpontja az AC szakasz felezőpontja: 2 4 3 11; 1;42 2ACF
A kör középpontjának megállapításához át kell alakítanunk a kör egyenletét.
2 2
2 2
2 2
20 12 100 0
10 100 6 36 100 0
10 6 36
x y x y
x y
x y
A kör középpontja tehát a 10;6K pont.
4
A két középponton átmenő egyenes irányvektora:
1 10;4 6 9; 2ACKF v
, tehát 2; 9 n
A keresett egyenes egyenlete a normálvektorral és ACF ponttal felírva:
2 9 2 1 9 42 9 34
x yx y
5
II. Ismételjünk! Vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, kör egyenlete:
https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/15.pdf 1-2. oldal
III. Gyakorló feladatok 1. Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azok az ( ; )x y pontok, amelyekre teljesül az alábbi
két feltétel:
−푥 + 2푦 < 8és푦 ≥ |푥 + 4| − 2
2. Adott 3 vektor: 3; 4a , 5;2b , 8;0c . Végezze el az alábbi vektorműveleteket!
a) 2 3 a b c
b) 2 a c b
3. Adottak az ( 7;1)a és a (3; 4)b vektorok. Mennyi az általuk bezárt szög koszinusza?
BME 2011. szeptember 12. (16A)
4. Adott egy háromszög: 1;2 , 7,4 , 2, 1A B C .
a) Adja meg a háromszög AB oldalának felezőpontját a koordinátáival!
b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!
c) Adja meg a CB
vektor koordinátáit!
d) Határozza meg a háromszög kerületét!
5. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai 6; 4A
és 2;6C . Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit!
ELTE 2013. szeptember (matematika tanárszak)
6. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a 3;5P ponton és a
koordinátatengelyekből egyenlő (nem nulla) hosszúságú szakaszokat vág le!
ELTE 2010. szeptember (földtudomány, környezettan BSc)
7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a 3; 2P ponton, és
a) párhuzamos az e: 2 5 4x y egyenletű egyenessel!
b) merőleges az e: 2 5 4x y egyenletű egyenesre!
(A) 12
(B) 12
(C) 15
(D) 15
(E) Ezek egyike sem.
6
8. Az alábbiak közül melyik az a pont, amely illeszkedik az 2;3 , 0; 1 , 4;2A B C
háromszög B-ből induló magasságvonalára?
BME 2015. május 8. (16A)
9. Milyen távol van a 2;7P pont az e: 3 2 6x y egyenestől?
10. Adott egy k kör az egyenletével: 2 24 8 5x x y y . Írja fel a k-val koncentrikus (vagyis azonos középpontú), feleakkora sugarú kör egyenletét!
11. Hol metszi az : 2 2e x y egyenletű egyenes
a) a 3 13x y egyenletű egyenest?
b) az 2 23 2 25x y egyenletű kört?
12. Írja fel az 1; 1 ; A 5;1 ; B 2;2C háromszög köré írható körének egyenletét!
13. Írja fel az alábbi 5; 2 ; 10; 11 ; 18;21A B C háromszög köré írható körének egyenletét!
14. Adott egy kör az egyenletével: 2 23 2 25x y . Egy P pontról tudjuk, hogy rajta van a
körön, a 3. síknegyedben van, első koordinátája 1 .
a) Határozza meg P második koordinátáját!
b) Írja fel a kör P-n átmenő érintőjének egyenletét!
15. Adott egy kör a koordináta-rendszer síkjában, amelynek a középpontja az origóban van és a sugara 10 egység. Határozza meg azoknak a köröknek az egyenletét, melyek érintik ezt a kört, valamint az x-tengelyt a 20;0 pontban.
ELTE 2015. szeptember (tanárszakok)
IV. Megoldások 1. Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azok az ( ; )x y pontok, amelyekre teljesül az alábbi
két feltétel:
−푥 + 2푦 < 8és푦 ≥ |푥 + 4| − 2
Megoldás:
Vizsgáljuk csak az első feltételt! Az egyenlőtlenségből fejezzük ki 푦-t:
푦 <12푥 + 4
(A) 1;6 (B) 1;5 (C) 1; 7 (D) 1; 6 (E) 1; 5
7
Ábrázoljuk az 푦 = 푥 + 4egyenest! A fenti egyenlőtlenséget azoknak a pontoknak a koordinátái teljesítik, amelyek az egyenes alatt helyezkednek el (az egyenes pontjai nem).
Nézzük meg külön a 2. feltételt is! Ábrázoljuk az 푦 = |푥 + 4| − 2 függvényt! (Pontosan fogalmazva 푥 ↦ |푥 + 4| − 2 függvényt.) Az 푦 ≥ |푥 + 4| − 2 feltételnek a grafikon pontjai és a felette elhelyezkedő pontok felelnek meg.
A két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát a két halmaz közös részét, metszetét keressük. Egy háromszög alakú területet kapunk. Az üres karikával jelölt pontok és a szaggatott vonallal jelölt oldal nem tartozik hozzá a keresett tartományhoz.
8
2. Adott 3 vektor: 3; 4a , 5;2b , 8;0c . Végezze el az alábbi vektorműveleteket!
a) 2 3 a b c
b) 2 a c b
Megoldás:
a)
2 3 2 3; 4 5;2 3 8;0 6; 8 5;2 24;0
6 5 24; 8 2 0 35; 10
a b c
b) 2 3; 4 8;0 2 5;2 11; 4 ( 10;4) 11 10 4 4 126 a c b
Megjegyzés:
Két vektor összegének, különbségének, egy vektor számszorosának az eredménye vektor, viszont két vektor skaláris szorzatának az eredménye egyetlen szám.
3. Adottak az ( 7;1)a és a (3; 4)b vektorok. Mennyi az általuk bezárt szög koszinusza?
BME 2011. szeptember 12. (16A)
Megoldás:
A két vektor által közbezárt szög a skaláris szorzatból könnyen számolható. Tudjuk, hogy
cos a b a b . Átrendezve:
2 22 2
7 3 1 4 25 25 25 1cos50 25 5 2 5 25 2 27 1 3 4
a ba b
A jó válasz az (A).
4. Adott egy háromszög: 1;2 , 7,4 , 2, 1A B C .
a) Adja meg a háromszög AB oldalának felezőpontját a koordinátáival!
b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!
c) Adja meg a CB
vektor koordinátáit!
d) Határozza meg a háromszög kerületét!
Megoldás:
a) A felezőpont koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk:
1 7 2 4; 4;32 2ABF
b) A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok koordinátáinak számtani közepe:
(A) 12
(B) 12
(C) 15
(D) 15
(E) Ezek egyike sem.
9
1 7 2 2 4 ( 1) 10 5; ;3 3 3 3
S
c) Két pont közötti vektor koordinátáit megkapjuk, ha a végpontból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit.
7 2;4 1 5;5CB
d) A háromszög oldalainak hosszát a csúcsainak távolságaként kapjuk.
2 27 1 4 2 40AB
2 22 7 1 4 50BC
2 22 1 1 2 10AC
50 40 10 16,56K
5. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai 6; 4A
és 2;6C . Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit!
ELTE 2013. szeptember (matematika tanárszak)
Megoldás:
A rombusz átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra. Ezért a keresett két csúcspontot megkapjuk, ha a középpontot eltoljuk a rövidebbik átló vektorának 90°-os elforgatottjával mindkét irányba.
A rombusz középpontja az AC szakasz felezőpontja:
6 2 4 6; 2;12 2ACF
2 6;6 4 8;10AC
10
90°-kal elforgatva 10;8 illetve 10; 8 . Ezekkel a vektorokkal kell a középpontot eltolni.
2;1 10;8 12;9B és 2;1 10; 8 8; 7D
6. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a 3;5P ponton és a
koordinátatengelyekből egyenlő (nem nulla) hosszúságú szakaszokat vág le!
ELTE 2010. szeptember (földtudomány, környezettan BSc)
Megoldás:
A koordinátatengelyekből egyenlő hosszúságú szakaszokat az 1m és az 1m meredekségű egyenesek vágnak le. Így a keresett egyenes egyenlete y x b , vagy y x b . Ezekbe P koordinátáit helyettesítve kapjuk b lehetséges értékeit.
5 32
bb
vagy 5 3
8b
b
Két megoldást kaptunk: 2y x , illetve 8y x .
7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a 3; 2P ponton, és
a) párhuzamos az e: 2 5 4x y egyenletű egyenessel!
b) merőleges az e: 2 5 4x y egyenletű egyenesre!
Megoldás:
A megadott egyenes normálvektora az egyenletéből leolvasható: 2;5en .
a) A párhuzamos egyenesnek ugyanez a normálvektora. A keresett egyenes egyenlete:
2 5 2 3 5 22 5 4
x yx y
b) A merőleges egyenesnek a normálvektorát 90°-os elforgatással kapjuk: 5; 2 fn . A
keresett egyenes egyenlete:
11
5 2 5 3 2 25 2 19
x yx y
8. Az alábbiak közül melyik az a pont, amely illeszkedik az 2;3 , 0; 1 , 4;2A B C
háromszög B-ből induló magasságvonalára?
BME 2015. május 8. (16A)
Megoldás:
Írjuk fel a B-ből induló magasságvonal egyenletét! Az ehhez szükséges normálvektor az AC
.
6; 1AC n
. Így a magasságvonal: 6 6 0 1 1 1x y . A megadott pontok első
koordinátája 1, ezt helyettesítsük a kapott egyenletbe!
6 1 15
yy
A jó válasz a (B).
9. Milyen távol van a 2;7P pont az e: 3 2 6x y egyenestől?
Megoldás:
Egy pont egyenestől való távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Ennek megfelelően a megoldás lépései:
1. merőlegest állítunk a P pontból az e egyenesre: f; 2. e és f metszéspontja: M; 3. M és P távolsága a keresett távolság.
1. Az e egyenes normálvektora: 3; 2 en Az f egyenes erre merőleges: 2;3fn . Egy
pontja a P, tehát az f egyenes egyenlete: 2 3 2 2 3 7 17x y
2. e és f metszéspontját egyenletrendszer megoldásával számoljuk:
(A) 1;6 (B) 1;5 (C) 1; 7 (D) 1; 6 (E) 1; 5
12
3 2 62 3 17
9 6 184 6 34
x yx yx yx y
Összeadva az egyenleteket: 13 52
4xx
Visszahelyettesítve az 1. egyenletbe: 3 4 2 6
2 63
yyy
A metszéspont: 4;3M
3. 2 22 4 7 3 36 16 52MP
10. Adott egy k kör az egyenletével: 2 24 8 5x x y y . Írja fel a k-val koncentrikus (vagyis azonos középpontú), feleakkora sugarú kör egyenletét!
Megoldás:
Alakítsuk át a kör egyenletét, hogy le tudjuk olvasni a kör középpontját és sugarát!
2 2
2 2
2 2
4 8 5
2 4 4 16 5
2 4 25
x x y y
x y
x y
A kör középpontja tehát 2; 4K , sugara 5r . A keresett körnek tehát ugyanez a középpontja,
sugara pedig 2,5. Egyenlete:
2 22 4 6,25x y
11. Hol metszi az : 2 2e x y egyenletű egyenes
a) a 3 13x y egyenletű egyenest?
b) az 2 23 2 25x y egyenletű kört?
Megoldás:
Két alakzat metszéspontját megkapjuk, ha megoldjuk az egyenletükből álló egyenletrendszert.
a) Egy elsőfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. Dolgozhatunk az egyenlő együtthatók módszerével, ehhez a második egyenletet szorozzuk 2-vel, majd összeadjuk az egyenleteket.
13
2 23 13
2 26 2 26
x yx y
x yx y
7 284
xx
Visszahelyettesítve az első egyenletbe:
4 2 22 2
1
yyy
A keresett metszéspont: 4;1M .
b) A megoldandó egyenletrendszer egyik egyenlete elsőfokú, a másik másodfokú. Az elsőfokú egyenletből fejezzük ki x -et, és írjuk be a másodfokú egyenletbe!
2 2
2 2
2 2
2
2
2 22 2
2 2 3 2 25
2 1 2 25
4 4 1 4 4 255 20
42
x yx y
y y
y y
y y y yyyy
Visszahelyettesítve az 2 2x y egyenletbe kapjuk, hogy 1 2x , 2 6x . A keresett két
metszéspont tehát: 1 2; 2M , 2 6;2M .
12. Írja fel az 1; 1 ; A 5;1 ; B 2;2C háromszög köré írható körének egyenletét!
Megoldás:
14
Vegyük észre, hogy a háromszög derékszögű! Ellenőrizzük: ha az AB és az AC oldalak merőlegesek egymásra, a megfelelő vektorok skaláris szorzata nulla.
6;2AB
, 1;3AC
, 6 1 2 3 0AB AC
A Thalész-tétel szerint a köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja, a sugara az átfogó hosszának fele.
3 3;2 2BCF
; 2 25 2 1 2 50CB
; 502
r
A keresett kör egyenlete:
2 23 3 252 2 2
x y
13. Írja fel az alábbi 5; 2 ; 10; 11 ; 18;21A B C háromszög köré írható körének egyenletét!
Megoldás:
A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. A megoldás lépései:
1. AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete: e; 2. AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: f; 3. e és f metszéspontja: K – a kör középpontja; 4. a kör sugara K és A távolsága; 5. a kör egyenlete.
15
1. 5 13;2 2ABF
; 15; 9AB en
dolgozhatunk a vele párhuzamos 5; 3 vektorral
: 5 3 32e x y
2. 13 19;2 2ACF
; 23;23AC fn
dolgozhatunk a vele párhuzamos 1;1 vektorral.
f : 16x y
3. Megoldandó a 5 3 32
16x yx y
egyenletrendszer.
A második egyenletből kifejezzük x-et, majd beírjuk az 1. egyenletbe.
16
5 16 3 3280 5 3 32
8 48616 6 10
x yy yy y
yyx
10;6K
4. 2 210 5 6 2 17r KA
5. A keresett kör egyenlete: 2 210 6 289x y
14. Adott egy kör az egyenletével: 2 23 2 25x y . Egy P pontról tudjuk, hogy rajta van a
körön, a 3. síknegyedben van, első koordinátája 1 .
a) Határozza meg P második koordinátáját!
b) Írja fel a kör P-n átmenő érintőjének egyenletét!
Megoldás:
a) Mivel P rajta van a körön, a kör egyenletébe 1x -et helyettesítve megkapjuk P második koordinátáját.
2 2
2
2
1
2
1 3 2 25
16 2 25
2 92 3
15
y
y
yy
yy
Tudjuk, hogy P a 3. síknegyedben van, ezért az 5y a feladat megoldása.
b) A kör érintőjét a körvonal egy adott pontjában keressük. Tudjuk, hogy az érintő merőleges az
érintési pontba húzott sugárra. A keresett érintő normálvektora a KP
vektor, ahol K a kör középpontja.
16
A kör középpontjának koordinátái leolvashatók az egyenletéből: (3; 2)K
4; 3KP n
. Így az érintő egyenlete: 4 3 4 1 ( 3) 54 3 19
x yx y
15. Adott egy kör a koordináta-rendszer síkjában, amelynek a középpontja az origóban van és a sugara 10 egység. Határozza meg azoknak a köröknek az egyenletét, melyek érintik ezt a kört, valamint az x-tengelyt a 20;0 pontban.
ELTE 2015. szeptember (tanárszakok)
Megoldás:
Készítsünk ábrát a feladathoz!
A feladat szimmetriájából következik, hogy két megfelelő, azonos sugarú kör van. Jelöljük a sugarat r-rel. A körök középpontjainak koordinátái 20; r . Az érintkező körök érintési pontjai
és középpontjaik egy egyenesen vannak.
Az ábrán is bejelölt derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk r értékét.
22 2
2 2
20 10
400 20 100300 20
15
r r
r r rr
r
A két kör egyenlete:
2 220 15 225x y és 2 220 15 225x y