1

1. Sistemas Físicos 1. Sistemas Físicos _______________________________________________ 1

1.1. Introducción _________________________________________________________________ 2

1.2. Sistemas Mecánicos ___________________________________________________________ 3

1.3. Sistemas Eléctricos ____________________________________________________________ 5

1.4. Sistemas Hidráulicos __________________________________________________________ 7

1.5. Sistemas Múltiples ___________________________________________________________ 11

2

1.1. Introducción Sistemas lineales y no lineales. No existen sistemas lineales Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.

3

1.2. Sistemas Mecánicos Ejemplo 1. Traslación Mecánica

Ley de Newton

ma F=∑ [1.1]

( ) ( ) ( ) ( )ma t bv t kx t p t= − − + [1.2]

( ) ( ) ( ) ( )2

2

d x t dx tm b kx t p t

dt dt= − − + [1.3]

( ) ( ) ( ) ( )2

2

d x t dx tm f kx t p t

dt dt+ + = [1.4]

[ ] [ ] [ ]2Nsegm m Ng m Nm seg mseg

+ + = [1.5]

4

Ejemplo 2. Rotación Mecánica

Ley de Newton

J Pα =∑ [1.6]

Ahora quiero ver cómo varía la velocidad

( ) ( ) ( )J t b t P tω ω= − +& [1.7]

[ ] [ ]22

rad radNmseg Nmseg Nmsegseg = +

[1.8]

5

1.3. Sistemas Eléctricos Ejemplo 3. Circuito Eléctrico

Ley de Kirchhoff 1diL Ri idt e

dt C+ + =∫ [1.9]

tensión en el condensador 1

ce idtC

= ∫ [1.10]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]1AH A Aseg Vseg F + Ω + =

[1.11]

En términos de carga eléctrica,

21 1 1dqddi dq d q dqdtL Ri idt L R q L R q

dt C dt dt C dt dt C+ + = + + = + +∫ [1.12]

2 1d q dqL R q edt dt C

+ + = [1.13]

6

comparar esta ecuación con la de traslación mecánica. Ejemplo 4. Sismógrafo

( ) ( )0 0 0 0i imx b x x k x x+ − + − =&& & &

( )0 iy x x= −

0my by ky+ + =&& &

7

1.4. Sistemas Hidráulicos Ejemplo 5. Nivel de Líquidos

oQ K H=

linealizando

0oq R h=

la constante

i odv q qdt

= −

i odhA q R hdt

= −

8

Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques

1 21

1

h hqR−

=

11 1dhA q qdt

= −

22

2

h qR

=

22 1 2dhA q qdt

= −

9

Ejemplo 7. Sistema Neumático

Se define

2 variaciòn de diferencia de presión de gasvariaciòn de caudal

Kgd P mR

Kgdqseg

∆ = = =

33

2

variaciòn de la masa de gas acumuladovariaciòn de presión de gas

Kgdm d mC V m

Kgdp dpm

ρ = = = =

10

en una aproximación, se puede considerar 1

gas

ddp nR Tρ=

para una misma temperatura, esta variación es constante En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada

0i op pd PR

dq q−∆

= ≈−

o o o

dm qdt dC Vdp dp dp

ρ= = =

oCdp qdt=

o i odp p pCdt R

−=

oo i

dpRC p pdt

+ =

11

1.5. Sistemas Múltiples Ejemplo 8. Sistemas múltiples

( )( )

1 1 1 1 2 1 1 1

2 2 1 2 1 2 2 2

m x b x x k x u

m x b x x k x u

+ − + =

+ − + =

&& & &

&& & &

12

Ejemplo 9. Acelerómetro la caja está unida a la estructura del avión

( ) ( ) ( )0 0 0 0i imx b x x k x x mgsen θ+ − + − − =&& & &

0 iy x x= −

( )senimy by ky mx mg θ+ + = − +&& & &&

nuevas variables

( )senmgz yk

θ= +

iw x= &&

mz bz kz mw+ + = −&& & b kz z z wm m

+ + = −&& &

13

Ejemplo 10. Tren de Engranajes

1 1 1 1 1 mJ f T Tθ θ+ + =&& &

2 2 2 2 3 2J f T Tθ θ+ + =&& &

igualdad de trabajos

1 1 2 2T Tθ θ=

22 1

1

NT TN

=

3 3 3 3 4lJ f T Tθ θ+ + =&& &

44 3

3

NT TN

=

3 313 2 1

4 2 4

N NNN N N

θ θ θ= =

14

( ) ( )31 11 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 4l m

NN NJ f J f J f T TN N N

θ θ θ θ θ θ+ + + + + + =&& & && & && &

2 2 22 2 2 2 23 3 31 1 1 1 1

1 2 3 1 1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 2 4 2 4

l mN N NN N N N NJ J J f f f T T

N N N N N N N Nθ θ

+ + + + + + =

&& &

1 1 1 1 1eq eq eql mJ f T Tθ θ+ + =&& &

15

Ejemplo 11. Tanque Agitado

,i iF T

,F T

stF

h

QT

Masa total de líquido en el tanque

V Ahρ ρ= donde,

ρ : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura)

V : volumen del líquido ,A h : área del recipiente y altura del líquido

16

( ) ( ) ( )intE U K cin P pot= + +

como el tanque no se mueve

0dK dPdt dt

= = , 0dE dUdt dt

= =

para líquidos dU dHdt dt

siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es,

( ) ( )p ref p refH Vc T T Ahc T Tρ ρ= − = −

donde

pc : capacidad calórica del líquido en el tanque

refT : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero.

17

Se definen las siguientes variables de estado: [ ]Tx h T=

parámetros constantes: , , ,p refA c Tρ

Balance de masa:

( )i

d AhF F

dtρ

ρ ρ= − ,iF F : caudales de entrada y salida

iAh F F= −&

Balance de energía:

.Acum de energía energía de entrada energía de salida energía del vaportiempo tiempo tiempo tiempo

= − +

( ) ( ) ( )p refi p ref i p ref

d Ahc T TdH Fc T T Fc T T Qdt dt

ρρ ρ

− = = − − − +

siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor

18

suponiendo 0refT =

i ip

dhT QA FT FTdt cρ

= − +

( )i i ip

dhT dT dh dT QA Ah AT Ah T F F FT FTdt dt dt dt cρ

= + = + − = − +

( )i ip

dT QAh F T Tdt cρ

= − +

Las ecuaciones de estado son:

( )i

i ip

Ah F FQAhT F T Tcρ

= − = − +

&

&

variables de estado: [ ]Tx h T=

variables de salida (medidas): [ ]Ty h T=

variables de entrada (manipuladas): [ ]Tu Q F=

19

perturbaciones (no controladas): [ ]Ti id T F=

parámetros constantes: , , ,p refA c Tρ

Analizar: - equilibrio - una reducción de iT

- una reducción de iF

Linealización en un punto de trabajo. Equilibrio

( )

0

0

i

i ip

Ah F FQAhT F T Tcρ

= − = = − + =

&

& ( )0

00 0 0

i

ip

F F FQF T Tcρ

= =

− = −

20

desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00

1 1 1ii i i

i

F F dh dhh F F F F F F F F F FA A dF dF A A A

= − + − + − = − − − = −

& &&

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0 00 0 0

0 02

0 0

1 1

i ii i

p p

i i ii i i i

ii

p p

F FQ QT T T T TAh c Ah Ah c Ah

T T F FF F T T T TAh Ah Ah

F QQ Q T T h hc Ah A c A h

ρ ρ

ρ ρ

= − + = − + +

−

+ − + − − − +

+ − − − + −

&

( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 2

0 0 0 0 0

1 1i i i ii i i

p p

T T F F F QT F T T Q T T hAh Ah Ah c Ah A c A hρ ρ

−= + − + − − +

&

21

1212

21 2221 22 21

00 0 00

1 00 1

d i

d d i

b Tbh Qhb b Fa a bT FT

h hT T

= + +

=

&

&

22

Ejercicios

23

24

Ejemplo 12. Servomotores Dos tensiones desfadas 90 grados. Fase fija: 60, 400, 1000 Hz. El signo de Ec da el sentido de giro y el par

generado es proporcional a la amplitud de Ec. Relación torque-velocidad. Para cierto entorno

se puede considerar lineal. 2

2

m c

m c

J J n J

b b n b

= +

= +

n c cT K K E J bθ θ θ= − + = +& && &

( )n c cJ b K K Eθ θ+ − =&& &

25

26

Ejemplo 13. Motor Controlado Por Armadura

f fK iψ =

f f i a aT K i K i Ki= =

fcem b be e K θ= = &

a a a a b aL i R i e e+ + =&

aJ b T Kiθ θ+ = =&& &

27

28

Ejemplo 14. Motor de CC controlado por Campo

f fK iψ =

2f f i a fT K i K i K i= =

f f f f fL i R i e+ =&

2 fJ b T K iθ θ+ = =&& &

29

Ejemplo 15. Sistema Hidráulico

Relación no lineal

( ),Q f X P= ∆ [1.14]

30

Linealización sobre un punto de operación

( ) ( ) ( ),X X X XP P P P

Q QQ f X P Q Q X X P PX P= =

∆ =∆ ∆ =∆

∂ ∂− ∆ = − = − + ∆ − ∆ +

∂ ∂∆L [1.15]

Se podrían tomar incrementos

Q Q qX X xP P p

− =

− =

∆ − ∆ = ∆

[1.16]

1 2q k x k p= − ∆ [1.17]

Volúmenes A dy q dtρ = [1.18]

velocidad de salida dy qdt Aρ

= [1.19]

1 2dyA k x k pdt

ρ = − ∆ [1.20]

31

La fuerza desarrollada por el pistón es

12

A dyF A p k x Ak dt

ρ = ∆ = −

[1.21]

La ecuación de la carga

( )12

Amy by F k x A yk

ρ+ = = −&& & & [1.22]

21

2 2

AkAmy b y xk k

ρ

+ + =

&& & [1.23]

32

Cuádruple Tanque

( )( )( )

( )( )( )

21

1 1

2 21 2

3,7 13,762 1 23 1 62 1

4,7 1 4,730 1 90 1 90 1

s s sy uy u

s s s

γγ

γ γ

− + + + = −

+ + +