1

Großübung Querschnittskennwerte

1. Motivation

2. Definition von Querschnittskennwerten

3. Berechnung der Kennwerte

4. Beispiele

2

Motivation Ziel des Ingenieurs ist es, ein Bauteil so zu gestalten, dass es den auftretenden Belastungen stand hält und die Verformungen zulässig bleiben. Dazu müssen die auftretenden Belastungen mit den Eigenschaften der verbauten Materialien und den geometrischen Abmessungen in Zusammen-hang gebracht werden. Hierfür sind absolute Grö-ßen (Kräfte, Momente) nicht geeignet. Es werden aus den äußeren Lasten Schnittgrößen bestimmt und diese Größen werden auf Querschnittskenn-größen bezogen. Dadurch wird es möglich, rech-nerisch bestimmte Beanspruchungsgrößen an realen Bauteilen mit in Materialtests bestimmten Beanspruchungsgrößen zu vergleichen (hierbei werden genormte Testkörper verwendet) und so Aussagen über die Haltbarkeit der Bauteile zu treffen. Dies gilt sinngemäß auch für die Verfor-mungsberechnung.

3

Diese normierten Größen heißen Spannungen. Alle bisher berechneten Schnittgrößen tauchen in den Formeln zur Spannungsberechnung wieder auf. Die Spannungen werden abhängig von ihrer Richtung in zwei Arten unterteilt. Normalspannungen σ (senkrecht zur Schnittfläche) infolge Normalkraft und Biegung (bezogen auf Hauptachsen)

yxIxMz

xIxM

xAxNzyx

z

bz

y

byx )(

)()()(

)()(),,( −+=σ

GrundbeanspruchungenBiegung um die y-Achse + Biegung um die z-Achse + Längskraft = komplexe BeanspruchungHieraus resultieren Normalspannungen σ.

Weitere mögliche Beanspruchungen sind Querkraftschub in y- und z-Richtung sowie Torsion.

Koordinatensystem:

Diese Beanspruchungen verursachen Tangential-(Schub-)Spannungen τ.

+ + =

y

zx Spannungsnulllinie σ = 0x

4

Schubspannungen τ (in der Schnittfläche) infolge Querkraft bzw. Torsion (bezogen auf Hauptachsen)

rI

MWM

ybxIySxQ

yx

zbxIzSxQ

zx

t

tt

t

tt

z

zyyx

y

yzzx

==

=

=

ττ

τ

τ

ten Querschnitgen kreisförmi bei ,

)()()()(

),(

)()()()(

),(

max

Die in den Formeln auftretenden geometrischen Größen sind jetzt zu bestimmen.

5

Definition von Querschnittskennwerten Die Kennwerte sind im allgemeinen durch Integrale über die Fläche definiert. Falls sich Querschnitts-flächen in bekannte Teilflächen zerlegen lassen, ist eine Berechnung durch endliche Summen möglich. Fläche (Flächenmoment 0. Ordnung)

∫ ∫∫== dzdydAA statisches Moment (Flächenmoment 1. Ordnung)

∫∫

=

=

dAyS

dAzS

z

y

Flächenträgheitsmoment (Flächenmoment 2. Ordnung)

∫∫∫

−=

=

=

dAzyI

dAyI

dAzI

yz

z

y

2

2

polares Trägheitsmoment

( )∫∫

+=

=

+=

dAzy

dAr

III zyp

22

2

Die Bestimmung von It ist ein gesondertes Problem (It ≤ Ip).

6

Die Querschnittskennwerte werden im allgemeinen bezogen auf Koordinaten durch den Flächenmittelpunkt (Schwerpunkt) benötigt, können aber für beliebige Achsen bestimmt werden und mittels des Satzes von Steiner auf zueinander parallele Achsen umgerechnet werden. Mittelpunktkoordinaten, bezogen auf ein beliebiges Ausgangskoordinatensystem zy − :

∫∫∫

∫

==

==

dA

dAzAS

z

dA

dAyASy

ys

zs

Satz von Steiner, y-z Koordinatensystem im Flächenmittelpunkt (Schwerpunkt) der Fläche

AzyII

AyII

AzII

yzzy

zz

yy

−=

+=

+=2

2

0

z

yS

z

y

z

z

yy

s

s

z

y

rdA

Fläche A

7

Drehung des Koordinatensystems um einen Winkel φ

( ) ( )

( ) ( )

( ) )2cos()2sin(21

)2sin()2cos(21

21

)2sin()2cos(21

21

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

rssryz

rssrsrz

rssrsry

IIII

IIIIII

IIIIII

+−−=

−−−+=

+−++=

Hauptträgheitsmomente (HTM)

Alle Koordinatenachsen, bezüglich derer Iyz = 0 ist, heißen Hauptträgheitsachsen (HTA) des Quer-schnittes. Die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der HTA heißen Hauptträgheitsmo-mente.

22

min

22

max

22

22

yzzyzy

II

yzzyzy

I

IIIII

II

IIIII

II

+

−−

+==

+

−+

+==

ϕ r

y

sz

8

Hauptträgheitsachsen Die zu diesen HTM gehörenden HTA findet man unter den Winkeln:

zy

yz

III−

=2

)2tan( 0ϕ

alternative Formulierungen für den Winkel zwischen der Achse y und der Achse I sind:

2

)tan(

00

0

πϕϕ

ϕ

+=

−=

−=

−=

−=

III

IIy

yz

zI

yz

yz

IIz

yz

yII II

III

II

III

II

Merke:

• HTA gibt es für jeden Querschnitt • HTA verlaufen durch den Flächenmittelpunkt • Symmetrieachsen sind HTA • HTA stehen immer senkrecht aufeinander • bezüglich der HTA haben die Flächenträgheitsmomente extremale Werte, das Deviationsmoment Iyz ist dann Null

9

Berechnung der Kennwerte durch Integration

Beispiel Dreieckfläche Beschreibung im KOOS zyO −− Funktion

( )

ba

aaby

baa

ab

ydybaaydz

ydzdzdAzI

b

byz

b

b

y

yz

zy

3

440

4

3

0

)(0

0

3

0

)(

0

22

121

0121

121

31

3

=

−

−=

−

−=

−==

==

∫∫

∫ ∫∫= =

Transformation nach S (3

;3

azby ss == )

ba

baba

ababa

AzII Syy

3

33

23

2

361

181

121

21

3121

=

−=

−=

−=

analog ergibt sich für 3

361 baI z =

2441

32

21

2

432

221

221

21

2

2222

0

4

2

23222

0

3

2

2222

2

0

)(0

0

2

0

)(

0

baba

ybay

baay

ydybay

baay

ydybaayydzy

ydzdzydAzyI

b

b

byz

b

b

y

yz

zzy

−=

+−−=

+−−=

+−−=

−−=−=

−=−=

∫

∫∫

∫ ∫∫= =

Hinweis: Iy, Iz sind immer positiv, das Vorzeichen von Iyz hängt von der Lage (Orientierung) der Fläche im Koordinatensystem ab!

0

S y

z

a

by

z

b3

a3

ybaayz −=)(

ybaayz −=)(

Transformation nach S

22

2222

22

721

181

241

21

31

31

241

ba

baba

abbaba

AzyII Sszyyz

=

+−=

+−=

+=

10

Das Dreieck kann in der Ebene z.B. die folgenden Orientierungen haben:

S1S2

S3 S4

Sy

z

Zusammengesetzt ergeben die 4 Dreiecke eine Raute die doppelsymmetrisch ist. Da Symmetrieachsen HTA sind, ist dann Iyz = 0. Die Deviationsmomente Iyz für die Teilflächen sind:

224

223

222

221

721

721721

721

baI

baI

baI

baI

yz

yz

yz

yz

−=

=

−=

=

Sie können unter Berücksichtigung der Steinerschen Anteile zum Gesamtwert Iyz für den Flächenmittelpunkt zusammengefasst werden.

0=RauteyzI

11

Vorgehensweise bei bekannten Teilflächen

Die Fläche sei aus n Teilflächen zusammenge-setzt, für die die Lagen der Flächenmittelpunkte und die auf diese bezogenen Flächenträgheits-momente bekannt sind.

O – Ursprung eines beliebigen Koordinatensystems S – Ursprung des Koordinatensystems im Flächenmittelpunkt der Gesamtfläche Si – Ursprung des Koordinatensystems im Flächenmittelpunkt einer Teilfläche i

Dann können die Integrale durch Summen ersetzt werden.

AS

zAS

y

AySAzS

AA

ys

zs

n

iisiz

n

iisiy

n

ii

==

==

=

∑∑

∑

==

=

11

1

0

z

yS

z

y

z

z

yy

s

s

z

y

Teilfläche Aisi

si

Si

12

Flächenträgheitsmomente bezüglich

( )( )( )∑

∑

∑

=

=

=

−=

+=

+=

n

iisisiyzizy

n

iisiziz

n

iisiyiy

AzyII

AyII

AzII

1

1

2

1

2

Flächenträgheitsmomente bezüglich S – y – z

AzyII

AyIIAzII

sszyyz

szzsyy

+=

−=−=22

(hier wird der Satzes von Steiner angewandt)

Die Berechnungen erfolgen bei mehreren Teilflä-chen zweckmäßig in Tabellenform nach folgendem Schema:

i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay

2 yziI isisi Azy 1 2 M n

Spaltensummen A= zS= yS= 1 2 3 4 5 6

AS

zAS

y ys

zs ==

1+2 3+4 5-6

zy −−0

=yI =zI =zyI

13

Es folgt die Transformation auf den Flächenmittel-punkt und, falls erforderlich, die Berechnung der HTM und HTA.

Beispiele

Die Querschnitte werden in geeignete Teilflächen zerlegt. Hierbei sind verschiedene Einteilungen möglich. Die Kennwerte für Rechteck~, Quadrat~, Dreieck~, Kreisfläche und andere Formen findet man in diversen Formelsammlungen. Die notwendigen Koordinatensysteme werden eingeführt und ein Ausgangskoordinatensystem so gewählt, dass es für die Berechnung günstig ist.

14

L-Profil Das Ausgangskoordinatensystem liege im Punkt S1. Die Zerlegung der Fläche erfolgt in zwei Rechtecke gemäß Skizze. Die Koordinatenachsen fallen auf Symmetrielinien der Teilflächen.

0,12

,12

33

=== yzzy IhbIbhI

( )

( )

42

42

42

41

43

1

43

1

0

333,5

333,0

0

5,012

61

181261

cmIcmI

cmI

cmI

cmcmcmI

cmcmcmI

yz

z

y

yz

z

y

=

=

=

=

==

==

i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay

2 yziI isisi Azy 1 0 0 6 0 0 18 0 0,5 0 0 0 2 1,5 3,5 4 6 14 0,333 49 5,333 9 0 21

Spaltensummen 10 6 14 18,333 49 5,833 9 0 21

cmcmcmzcm

cmcmycmA ss 4,1

1014,6,0

106,10 2

3

2

32 =====

( )( )( ) 44

44

44

21210

333,149333,5

333,6749333,18

cmcmI

cmcmI

cmcmI

yz

z

y

−=−=

=+=

=+=

( )( )( ) 44

442

442

6,12104,16,021

233,11106,0333,14

733,47104,1333,67

cmcmIcmcmI

cmcmI

yz

z

y

−=⋅⋅+−=

=⋅−=

=⋅−=

40

10

70

10

S1

S2

y

z z

y

2

2

y

z

S

II

I

ϕ01

1, z

1, y

15

Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen.

22

min

max

22 yzzyzy

II

I IIIII

IIII

+

−±

+=

==

°−=

−=−

−=

−=

==

==

86,17

3117,06,12

733,4766,51)tan(

306,7

66,51

01

4

44

01

4min

4max

ϕ

ϕcm

cmcmI

IIcmIIcmII

yz

yI

II

I

(mathematisch negative Richtung)

16

Quadrat mit Ausschnitten Das Ausgangskoordinatensystem liege in der linken unteren Ecke des Querschnittes. Die Fläche ergibt sich aus einem Quadrat abzüglich zweier quadratischer Aussparungen (negative Flächen). Es sind natürlich auch andere Aufteilungen der Fläche möglich.

Teilfläche 1

Teilfläche 2

Teilfläche 3

0

y, y1

z, z1

S, S1

z

y

S2

S3

II

I

ϕ01

60

15

15

15 15

60

10

10y3

z3

y2

z2

0,12

,12

33

=== yzzy IhbIbhI

Die tabellarische Rechnung liefert folgende Zwischenergebnisse [cm]:

i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay

2 yziI isisi Azy 1 3 3 36 108 108 108 324 108 324 0 324 2 1,5 4,5 -1 -1,5 -4,5 -0,083 -20,25 -0,083 -2,25 0 -6,75 3 4,5 1,5 -1 -4,5 -1,5 -0,083 -2,25 -0,083 -20,25 0 -6,75

Spaltensummen 34 102 102 107,83 301,5 107,83 301,5 0 310,5

17

Querschnittsfläche, Flächenmittelpunkt

cmzcmycmA ss 334

102,334

102,34 2 =====

FTM, bezogen auf das Ausgangskoordinatensystem

44

44

44

5,310)5,3100(

33,409)5,30183,107(

33,409)5,30183,107(

cmcmI

cmcmI

cmcmI

zy

z

y

−=−=

=+=

=+=

Transformation zum Flächenmittelpunkt

44

4422

4422

5,4)34335,310(

33,103)34333,409(

33,103)34333,409(

cmcmAzyII

cmcmAyII

cmcmAzII

sszyyz

szz

syy

−=⋅⋅+−=+=

=⋅−=−=

=⋅−=−=

Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen. Hauptträgheitsmomente, Hauptachsenrichtungen

( ) 4

22

min

max

5,433,103

22

cm

IIIII

IIII

yzzyzy

II

I

±=

+

−±

+=

==

4min

4max

833,98

833,107

cmIIcmII

II

I

==

==

°+=°−=+=

°−=

−=−

−=

−=

451352

45

15,4

333,103833,107)tan(

00

0

0

πϕϕ

ϕ

ϕ

III

I

yz

yII I

II

18

Dieses Ergebnis ist auch anschaulich aus der Betrachtung des Querschnittes zu interpretieren. Die HTA sind Symmetrieachsen. Die Entscheidung, welche Achse die Achse mit dem größten FTM ist, kann auch anschaulich interpretiert werden. Das größte FTM erhält man für eine Achse, von der die Fläche(n) weitest möglich entfernt ist/sind (Analogie zum Schwungrad).

19

Fläche mit Aussparung Das Ausgangskoordinatensystem liege in der linken unteren Ecke des Querschnittes. Die Fläche ergibt sich aus einem Dreieck, einem Rechteck und einer kreisförmigen Aussparung (negative Fläche). Es sind natürlich auch andere Aufteilungen der Fläche möglich, z. B. Rechteck minus Dreieck minus Kreis.

0,464

:Kreis

beachten! ngOrientieru 72

,36

,36

:Dreieck

0,12

,12

:Rechteck

44

2233

33

====

−===

===

yzzy

yzzy

yzzy

IrdII

hbIhbIbhI

IhbIbhI

ππ

S1

S2

S3

O

z

y

S y

z

Kreisdurchmesser d = 1 cm

d

3

2

1

1 cm 2 3 4 5 6 7

I

II

ϕ01

Die tabellarische Rechnung liefert folgende Zwischenergebnisse [cm]:

i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay

2 yziI isisi Azy 1 2 1 4,5 9 4,5 2,25 4,5 2,25 18 -1,125 9 2 5 1,5 12 60 18 9 27 16 300 0 90

3 6 1 4π

− π23

− 4π

− 64π

− 4π

− 64π

− π9− 0 π23

−

Spaltensummen 15,715 64,288 21,715 11,20 30,715 18,20 289,726 -1,125 94,288

20

Fläche, Flächenmittelpunkt

cmz

cmy

cmA

s

s

382,1715,15715,21

091,4715,15288,64

715,15 2

==

==

=

FTM, bezogen auf das Ausgangskoordinatensystem

44

44

44

413,95)288,94125,1(

926,307)726,28920,18(

915,41)715,3020,11(

cmcmI

cmcmI

cmcmI

zy

z

y

−=−−=

=+=

=+=

Transformation zum Flächenmittelpunkt

4

4

4422

4422

564,6

)715,15091,4382,1413,95(

915,44)715,15091,4926,307(

901,11)715,15382,1915,41(

cm

cmAzyII

cmcmAyII

cmcmAzII

sszyyz

szz

syy

−=

⋅⋅+−=+=

=⋅−=−=

=⋅−=−=

Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen. Hauptträgheitsmomente, Hauptachsenrichtungen

( ) 4

22

min

max

764,17408,28

22

cm

IIIII

IIII

yzzyzy

II

I

±=

+

−±

+=

==

4min

4max

644,10

172,46

cmIIcmII

II

I

==

==

21

°+=°−=+=

°−=

−=−

−=

−=

84,1016,1692

16,79

22,5564,6

901,11172,46)tan(

00

0

0

πϕϕ

ϕ

ϕ

III

I

yz

yII I

II

Alternativ zu Handrechnungen gibt es natürlich auch numerische Methoden.

Wegen der in diesen Berechnungen auftretenden Potenzen der Abmessungen sind diese Rechnungen sehr empfindlich gegenüber Rundungsfehlern bzw. einer zu geringen Zahl mitgeführter Stellen.

22

Invarianzbeziehungen (siehe Anhang)

( )455,491477,491

644,10172,46564,6915,44901,11

816,56816,56644,10172,46915,44901,11

2

2

≈⋅=−−⋅

=−

=+=+

+=+

IIIyzzy

IIIzy

IIIII

IIII

Man sieht, es gibt geringfügige Abweichungen infolge der Rechengenauigkeit.

23

Anhang: Trägheitsmatrix, Eigenwerte, Eigenrichtungen

Die Trägheitsmomente Iy, Iz, Iyz, Izy bilden die Trägheitsmatrix.

zyyzzzy

yzy IIIIII

=

= I

Die Trägheitsmatrix ist symmetrisch.

Die Eigenwerte (Hauptträgheitsmomente) und Eigenrichtungen (Hauptträgheitsachsenrichtungen) können aus dem Matrizen-Eigenwert-Problem berechnet werden.

( ) 0xEI =λ− wobei E die Einheitsmatrix und x der Vektor der Eigenrichtungen ist.

Das Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen, wenn gilt:

0detdet =λ−

λ−=λ−

zyz

yzy

IIII

EI

Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte

( )( )( ) ( ) 0

022

2

=−++λ−λ

=−λ−λ−

yzzyzy

yzzy

IIIII

III

mit den Invarianten

2yzzy2

zy1

IIIInvariante

IIInvariante

−=

+=

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist die schon bekannte Formel zur Bestimmung der Hauptträgheitsmomente.

22

22

,2,1

22

22

yzzyzy

yzzyzyzy

III

IIIII

IIIIIII

I

+

−±

+=

+−

+±

+==λ

24

Die Eigenrichtungen erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte in das Gleichungssystem (Lösung für 1. und 2. Eigenwert)

=

−

−

00

1

1

zy

IIIIII

Izyz

yzIy

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem. Es kann nur gelöst werden, wenn man y1 oder z1 vorgibt. (Vorgabe z.B. y1 = 1) Aus der Skizze ist zu erkennen, dass der Hauptachsenwinkel ϕ01 bestimmt ist durch

( ) 11

101tan z

yz

==ϕ (Vorgabe y1=1)

z1 lässt sich nun aus dem Gleichungssystem bestimmen.

( )zI

yz

yz

yI

III

III

z−

=−

== 101tan ϕ

In gleicher Weise lässt sich der Hauptachsenwinkel ϕ02 durch Einsetzen des Eigenwertes III bestimmen.

( ) 22

202tan z

yz

==ϕ (Vorgabe y2=1)

( )zII

yz

yz

yII

III

III

z−

=−

== 202tan ϕ

Da die Hauptachsenrichtungen orthogonal zueinander sind und für orthogonale Geraden gilt

( ) ( )0201 tan

1tanϕ

ϕ −=

folgt daraus auch

( )yz

IIz

IIy

yz

zI

yz

yz

yI

III

III

III

III −

=−

=−

=−

=01tan ϕ

z

z1

y1 y

ϕ01

25

Für Hauptträgheitsachsen hat die Trägheitsmatrix die Form

=

II

I

II0

0I

Die charakteristische Gleichung ist dann

( )( )( ) ( ) 0

02 =++λ−λ

=λ−λ−

IIIIII

III

IIIIII

mit den Invarianten

III

III

IIInvarianteIIInvariante

=+=

2

1

Es gilt demzufolge immer

2yzzyIII

zyIII

IIIII

IIII

−=

+=+

Anschaulich ist die Bestimmung der HTM und HTA die Drehung des Ausgangskoordinatensystems im Flächenmittelpunkt um einen speziellen Winkel.

II

I

zzy

yzy

II

IIII

00

um Drehung 01ϕ