6

1. Múltiples i divisorsU

nit

at

1

Eratòstenes: astrònom, geògraf i matemàticgrec (Cirene 275 aC - Alexandria 194 aC). Va ser el primer a donar un valor precís a la longitud de la circumferència de la Terra.Com a matemàtic, va idear un mètode perconstruir una llista de nombres primers méspetits que un nombre donat. Aquest mètode s’anomena garbell d’Eratòstenes.

a) Coneixes altres matemàtics cèlebres? b) Els nombres marcats en vermell sónel resultat de la taula del …c) Què tenen en comú els nombres deles columnes marcades en verd?d) Quina característica podrien tenir encomú els nombres sense marcar?

P e r c o m e n ç a r

…a trobar els múltiples d’un nombre.…a trobar els divisors d’un nombre.…a diferenciar els nombres primersi els compostos.…a emprar els criteris de divisibilitatdels nombres per 2, 3, 5, 10 i 11.…a descompondre nombres en factors.

A p r e n d r à s …

10

20

30

40

9

19

29

39

8

28

38

7

17

27

37

6

16

26

36

5

15

25

35

4

14

24

34

3

13

23

33

2

22

32

1

11

21

31

50 …4948474644434241 45

12 18

Garbell d’Eratòstenes

n Múltiples de 2 n Múltiples de 3 n Múltiples de 5 Múltiples de 7

Múltiples d’un nombre

Un paquet de llaunes de tonyina en conté 3.

Quantes llaunes hi haurà en 2 paquets? I en 3

paquets? I en 4 paquets?

8

Un

ita

t1

A c ti v i t a t s

1. Busca els múltiples més petits que 50 de cadascun d’aquests nombres:5, 6, 7, 8, 9 i 10.

2. D’aquestes sèries, quines són múltiples de 4?a) 4, 8, 12, 16, 20… b) 24, 26, 28, 36, 40… c) 44, 48, 52, 54, 58…d) 100, 120, 140, 160, 200… e) 15, 20, 25, 30, 35… f) 102, 106, 110, 114…

Nombre de paquets

Nombre de llaunes

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

6 …

18 …

Els nombres 3, 6, 9, 12, 15, 18… són múltiples de 3.

PER OBTENIR MÚLTIPLES D’UN NOMBRE,CAL MULTIPLICAR-LO PER 1, 2, 3… ÉS A DIR, PER

UN ALTRE NOMBRE NATURAL.

Trobareu la taula per fer l’activitat 4 en el CDde Recursos d’aula de la Proposta didàctica.

Múltiples de 2 i de 3

Per buscar múltiples de 2 amb

la calculadora, prem:

9

2 =+ 2 4= 6= 8= 1 0 …

Hem marcat de color vermell els múlti-

ples de 2 fins a arribar al 100.

A c ti v i t a t s

3. Completa: Els nombres 234, 526 i 348 són múltiples de 2 perquè…

4. Pinta de color verd els múltiples de 3 en la taula de l’1 al 100. Com quedendistribuïts els múltiples de 3 en la taula?

5. Observa aquests múltiples de 3. Després, copia la frase que trobaràs a conti-nuació i completa-la:a) 3 3 b) 6 6 c) 9 9d) 12 1 + 2 = 3 e) 15 1 + 5 = 6 f) 18 1 + 8 = 9g) 21 2 + 1 = 3 h) 24 2 + 4 = 6 i) 27 2 + 7 = 9Un nombre és múltiple de 3 si la suma de les seves xifres és … de 3.

6. Quins d’aquests nombres són múltiples de 2 i de 3 alhora?a) 257 b) 264 c) 111 d) 336 e) 730

1 2 3 4 5 6

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

7

17

27

37

47

57

67

8

18

28

38

48

58

68

9

19

29

39

49

59

69

10

20

30

40

50

60

70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ELS MÚLTIPLES DE 2ACABEN EN ZERO

O EN NOMBRE PARELL.

I QUEDEN DISTRIBUÏTS ENLA TAULA EN COLUMNES

ALTERNATIVES.

Observa:

Múltiples de 5 i de 10

10

Un

ita

t1

A c ti v i t a t s

7. Copia els nombres següents i encercla els que són múltiples de 5 i 10 alhora:13, 130, 27, 270, 35, 350, 40, 400.

8. Si un nombre és múltiple de 10, també ho és de 5? Justifica la resposta.

9. Busca tres nombres que siguin múltiples alhora d’aquests nombres:a) 3 i 5 b) 2, 5 i 10c) 3, 5 i 10 d) 2, 3, 5 i 10

7 3 10 = 70

5 3 5 = 25

Aquests nombres són múltiples de 5.

Aquests nombressón múltiples

de 5 i 10 alhora.

UN NOMBRE ÉS MÚLTIPLEDE 5 SI LA XIFRA DE LES

UNITATS ÉS 0 o 5.

1 2 3 4 5 6

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

7

17

27

37

47

57

67

8

18

28

38

48

58

68

9

19

29

39

49

59

69

10

20

30

40

50

60

70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

UN NOMBRE ÉS MÚLTIPLEDE 10 SI LA XIFRA DE LES

UNITATS ÉS 0.

Múltiples d’11

Observa aquests trucs per trobar múltiples d’11:

Multipliquem per 5 3 11 55

nombres d’una xifra

3 11 6

3 11 1 1

2 3 11 2 5 7

8 3 11 8 1 3 2 3

Com sabem si un nombre és múltiple d’11?

535353

84838383

424242

11

A c ti v i t a t s

10. Copia els nombres següents i encercla els que són múltiples d’11:77, 108, 99, 319, 858, 7.007 i 3.652.

11. Copia aquests nombres i completa’ls perquè siguin múltiples d’11:a) 4…4 b) 5…7 c) 5. …69 d) 7.9…6e) 6…9 f) 9…4 g) 4.2…8 h) 6.36…

12. Busca tres nombres que siguin múltiples alhora d’aquests nombres: a) 2 i 11 b) 2, 3 i 11c) 2, 5 i 11 d) 2, 3, 5, 10 i 11

Nombre

3.6582.794759

Suma de les xifresd’ordre parell

3 + 5 = 82 + 9 = 11

5

Suma de les xifresd’ordre senar

6 + 8 = 147 + 4 = 117 + 9 = 16

Resta de les duessumes

14 – 8 = 611 – 11 = 016 – 5 = 11

El nombre és múltiple d’11 si la resta de les dues sumes

és 0, 11 o múltiple d’11

3.658 no és múltiple d’11

2.794 és múltiple d’11

759 és múltiple d’11

+

16 +1

+

11

+

5+

7

+

11+

13

1+1

1+1

Multipliquem

per nombres

de dues xifres

Multipliquem

per nombres

de tres xifres 3 5 3 5 3 5 4 5

12

Un

ita

t1

13. En Mohamed ha preguntat l’edat al seu avi i ell li ha dit:

«La meva edat és el nombre de dues xifres més gran possible que és múltiple

de 2, 3 i 5 alhora». Quina és l’edat de l’avi d’en Mohamed?

Respectem les persones grans

Problemes

Divisors d’un nombre

Dividim el nombre 16 entre diferents nombres:

residu = 0 16 = 1 3 16 1 i 16 són divisors de 16.

residu = 0 16 = 2 3 8 2 i 8 són divisors de 16.

residu = 0 3 i 5 no són divisors de 16.

residu = 0 16 = 4 3 4 4 és divisor de 16.

13

116

1 60

28

1 60

35

1 61

44

1 60

A c ti v i t a t s

14. Troba els divisors d’aquests nombres:a) D(15) = b) D(18) = c) D(24) = d) D(28) =e) D(30) = f) D(35) = g) D(50) = h) D(100) =

15. Copia aquesta taula i indica amb una creu els divisors de cada nombre:

Què observes mirant la columna del nombre 1?

Nombres102526273260

2x……………

3

……………

1x……………

4

……………

5x……………

6

……………

7

……………

8

……………

9

……………

10x……………

Divisors

ENS ATUREM EN EL 4 PERQUÈ EL 5 JA HA SORTIT EN EL

QUOCIENT DE LA DIVISIÓ ANTERIOR.

UN NOMBRE ÉS DIVISORD’UN ALTRE SI EN DIVIDIR EL SEGON

ENTRE EL PRIMER LA DIVISIÓÉS EXACTA (RESIDU = 0).

Els divisors de 16 són: 1, 2, 4, 8 i 16

D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

14

Un

ita

t1

Nombres primers

Trobem els divisors de 2, 3, 4 i 5:

r = 0 2 = 1 3 2 2 = 2 3 1

Els divisors de 2 són 1 i 2.

r = 0 3 = 1 3 3 3 = 3 3 1

Els divisors de 3 són 1 i 3.

r = 0 4 = 1 3 4 4 = 2 3 2 4 = 4 3 1

Els divisors de 4 són 1, 2 i 4.

r = 0 5 = 1 3 5 5 = 5 3 1

Els divisors de 5 són 1 i 5.

Els nombres primers només tenen dos divisors: l’1 i el nombremateix. Els altres nombres s’anomenen compostos. El 0 i l’1 són dosnombres molt especials: no són ni primers ni compostos.

Recorda-ho

15

50

22

51

31

52

41

51

51

50

12

20

21

20

13

30

21

31

31

30

14

40

22

40

31

41

41

40

Nombres primersDivisors 1 i 2 1 i 3 1 i 5

2 3 5 Nombres compostosDivisors

41, 2 i 4

Trobareu la taula per fer l’activitat 19 en el CDde Recursos d’aula de la Proposta didàctica.

A c ti v i t a t s

16. Copia els nombres següents i encercla els nombres primers:5, 6, 7, 12, 13, 21, 29 i 31.

17. Els nombres parells, poden ser primers?

18. Quins nombres acabats en 5 són nombres primers?

19. Encercla en una taula de l’1 al 100 tots els nombres primers.

20. Escriu cinc nombres imparells i compostos alhora.

Calcu-lado-

ra

15

A c ti v i t a t s

21. Copia els nombres següents i encercla els que són divisibles per 2:16, 24, 35, 39, 40, 52, 108, 112, 115, 143, 182 i 550.

22. A partir de les característiques dels múltiples de 3, 5, 10 i 11 que has vist finsara, redacta els criteris de divisibilitat d’aquests nombres.

23. Copia aquesta taula i escriu els nombres en el lloc adient:88, 111, 126, 222, 243, 360, 405, 1.408 i 9.460.

Divisiblesper 2 per 3 per 5 per 11

… … … …

Criteris de divisibilitat

Observa aquests múltiples de 2:

2 3 1 = 2

2 3 2 = 4

2 3 3 = 6

2 3 4 = 8

2 3 5 = 10

…

2 3 64 = 128

21

20

22

40

23

60

24

80

25

1 00

264

1 20

880

Múltiples de 2 Divisibilitat per 2

Els múltiples de 2 acaben en zero

o nombre parell.

CRITERI DE DIVISIBILITAT

Un nombre és divisible per 2 si acaba en zero o nombre parell.

Descomponem nombres

Volem emmagatzemar 12 capses.

De quantes maneres ho podem fer?

16

Un

ita

t1

1 3 12 = 12

2 3 6 = 12

3 3 4 = 12

4 3 3 = 12

6 3 2 = 12

12 3 1 = 12

Podem agrupar les capses de 6 maneres diferents.

A c ti v i t a t s

24. Descompon cada nombre com a producte de dos factors:a) 10 = b) 20 = c) 30 = d) 24 =e) 48 = f) 60 = g) 100 = h) 120 =i) 130 = j) 150 = k) 160 = l) 200 =

25. Fixa’t en l’exemple i després descompon cada nombre en el producte de fac-tors més petits possibles:

a) 36 = b) 42 =c) 75 = d) 80 =e) 120 = f) 100 =g) 160 = h) 200 =

24 = …

24 = 2 3 12

24 = 2 3 3 3 4

24 = 2 3 3 3 2 3 2

24 = 2 3 2 3 2 3 3

6 3 2

3 3 4

4 3 3

12 3 1

2 3 6 1 3 12

AQUESTES SÓN LESDESCOMPOSICIONS

DEL NOMBRE 12COM A PRODUCTE

DE FACTORS.

• Observa la taula de l’1 al 100 i contesta a les preguntes que hi ha a

continuació.

• Observa la tercera taula de l’1 al 100 i fixa’t en els

múltiples de 9 més petits que 100. Digues quants n’hi

ha sense comptar-los (et suggerim que trobis el quo-

cient de dividir 100 entre 9). Quin patró obtindràs quan

observis els nombres compresos entre el 101 i el 200?

Quants múltiples de 9 hi ha entre aquests dos nom-

bres? I entre el 50 i el 150? (Un cop hagis fet els càlculs,

comprova les respostes comptant-los.)

Trobareu la taula de l’1 al 100 per fer les activitats en el CD de Recursos d’aula de la Proposta didàctica.

17

LABORATORI MATEMÀTIC

• Observa la segona taula de l’1 al 100. Han desapa-

regut tots els múltiples d’un nombre. Quin és aquest

nombre?

a) On apareixen els nombres parells? I els senars?

b) On són els nombres múltiples de 5?

c) Com es distribueixen en la taula els múltiples de 3?

I els múltiples de 4?

• Esborra d’una taula de l’1 al 100 tots els múltiples de 2, de 3, de 5, de 7, etc. fins

que només quedin els nombres primers que hi ha dins la primera centena (pots fer ser-

vir la calculadora). Quants nombres primers hi ha més petits que 25? I més petits que

50? En quantes files apareixen quatre nombres senars i primers?

1 2 3 4 5 6

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

7

17

27

37

47

57

67

8

18

28

38

48

58

68

9

19

29

39

49

59

69

10

20

30

40

50

60

70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5

11 13 14 15 16

21 22 23 25 26

31 32 33 34 35

41 43 44 45 46

51 52 53 55 56

61 62 63 64 65

7

17

27

37

47

57

67

8

28

38

58

68

9

19

29

39

49

59

69

10

20

40

50

70

71 73 74 75 76 77 79 80

81 82 83 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

7

17

27

37

47

57

67

8

18

28

38

48

58

68

9

19

29

39

49

59

69

10

20

30

40

50

60

70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1. Busca tots els múltiples més grans que 150 i més petits que 200 dels nom-

bres següents:

7, 8, 9, 10, 11 i 12.

2. Dels nombres següents, quins són múltiples de 2? Quins ho són de 3?

123, 164, 145, 222, 170, 181, 150, 343, 417, 2.006, 3.282 i 5.400.

3. Copia aquests nombres i completa’ls amb les xifres que permetin obtenir

múltiples de 2 i de 3 alhora:a) 49… b) 36… c) 54… d) 45…

e) 38… f) 26… g) 2…8 h) 5…0

i) 6…4 j) 1. …04 k) 2.3…2 l) 3.4…8

4. Escriu els múltiples de 5 i 10 de l’activitat 2.

5. Busca tots els múltiples de 10 que hi ha entre els nombres 250 i 300 i

escriu-los.

6. Escriu tres nombres situats entre el 2.000 i el 2.050 que siguin múltiples

alhora d’aquests nombres:

a) 2, 3 i 5 b) 2, 5 i 10

c) 2, 3 i 10 d) 2, 3, 5 i 10

7. Copia els nombres següents i encercla els que són múltiples d’11:

77, 1.398, 4.312, 121, 25, 249, 3.058 i 374.

8. Descriu els criteris de divisibilitat per als nombres 2, 3, 5, 10 i 11.

9. Troba tots els divisors dels nombres següents:

a) D(36) = b) D(45) =

c) D(60) = d) D(75) =

e) D(40) = f) D(80) =

g) D(90) = h) D(120) =

18

Un

ita

t1

He

ap

rè

s…

10. Copia els nombres següents i encercla només els nombres primers:

1, 2, 3, 5, 6, 13, 15, 18, 19, 24, 58, 63, 67, 75, 90, 97, 113, 333, 486 i 2.005.

11. Respon:

a) Podem trobar un múltiple de 10 que no sigui múltiple de 2?

b) Podem trobar un múltiple de 10 que no sigui múltiple de 5?

c) Quines característiques ha de tenir un nombre que sigui múltiple de 2 i de

3 alhora?

12. Escriu els nombres entre el 40 i el 50 que compleixin les condicions

següents:

a) divisibles per 2

b) divisibles per 3

c) divisibles per 5

d) divisibles per 10

e) divisibles per 11

13. Descompon aquests nombres en el producte de factors més petit possible:

a) 45 = b) 93 = c) 100 = d) 72 =

e) 36 = f) 37 = g) 88 = h) 54 =

14. Troba el nombre corresponent per a cada una d’aquestes descom-

posicions en factors:

a) 2 3 3 3 5 = b) 2 3 2 3 2 3 5 = c) 3 3 5 3 13 =

d) 5 3 7 3 11 = e) 3 3 7 3 13 = f) 2 3 3 3 3 3 5 3 17 =

Calcu-lado-

ra

19

He

ap

rè

s…