1 kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · yleistäen: jos tapahtumat a 1, a 2, …, a k ovat...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/1.jpg)
23.10.2018/1
MTTTP5, luento 23.10.2018 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu
https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?id=30277&lang=fi&lvv=2018&uiLang=fi#parents 2 Osaamistavoitteet
Opiskelija osaa yksinkertaisia todennäköisyyslaskuja sekä kombinatoriikan alkeet.
Esim. Kuinka todennäköistä on saada täysosuma samalla viikolla sekä lotossa että Eurojackpotissa?
![Page 2: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/2.jpg)
23.10.2018/2
Hän ymmärtää satunnaismuuttujan ja sen jakauman.
Esim. Nopanheitossa silmäluku, diskreetti satunnaismuuttuja, jakauma diskreetti tasajakauma
Esim. Satunnaisesti väliltä (0, 1) valittu reaaliluku, jatkuva satunnaismuuttuja, jakauma jatkuva tasajakauma
![Page 3: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/3.jpg)
23.10.2018/3
Hän pystyy yksinkertaisissa tilanteissa määrittämään satunnaismuuttujan jakauman.
Esim. Avainnipussa on 5 avainta, joista yksi on kotiavain. Valitset satunnaisesti yhden. Määritä todennäköisyys sille, että saat kotiavaimen yrityskerralla k. Montako kertaa joudut keskimäärin yrittämään saadaksesi kotiavaimen?
Hän tuntee odotusarvon ja varianssin ominaisuudet.
Esim. Oletetaan, että sijoituskohteista A ja B keskimääräinen tuotto euron sijoituksesta on µ ja varianssi 2. Miten 1000 euroa kannattaa sijoittaa kohteisiin A ja B?
![Page 4: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/4.jpg)
23.10.2018/4
Opiskelija tuntee binomijakauman ja normaalijakauman ja osaa laskea näihin liittyviä todennäköisyyksiä.
Esim. Kuinka todennäköistä on läpäistä väittämistä koostuvan tentti arvaamalla?
Esim. Lentoyhtiöllä on kone, joka voi ottaa kuljetettavaksi 5000 kg. Voiko yhtiö ottaa kuljetettavakseen 100 lammasta? Aiemmin on ollut punnittuna 1000 vastaavanlaista lammasta, joiden keskipaino on ollut 45 kg ja hajonta 3 kg.
![Page 5: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/5.jpg)
23.10.2018/5
Opiskelija ymmärtää satunnaisotoksen, otossuureen, otossuureen jakauman sekä otossuureiden käytön tilastollisessa päättelyssä.
Esim. Rattaan keskimääräinen pyörimisaika on 150 s ja keskihajonta 10 s. Onko rasvaaminen vaikuttanut keskimääräiseen pyörimisaikaan? Rasvauksen jälkeen viiden rattaan pyörimisaikojen keskiarvo oli 162 s.
Esim. Pyöritetään rulettia 3400 kertaa ja saadaan 140 nollaa, jolloin pelipaikka voittaa. Voitko todistaa oikeudessa, että pelipaikan ruletti toimii väärin?
Esim. Tuottavatko koneet A ja B keskimäärin samanmittaisia tankoja?
![Page 6: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/6.jpg)
23.10.2018/6
Opiskelija ymmärtää estimoinnin ja hypoteesien testaukseen liittyvän teorian opintojaksolla esitetyssä laajuudessa.
Esim. Populaatiossa % viallisia. Miten arvioidaan? Onko arvio luotettava?
Esim. Populaation odotusarvon µ arviointi. Miten arvioidaan? Onko arvio luotettava?
Esim. Tarkastellaan kahden populaation odotusarvoja. Miten arvioidaan niiden yhtäsuuruutta? Onko arvio luotettava?
![Page 7: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/7.jpg)
23.10.2018/7
Hän tunnistaa erilaiset estimointitilanteet, osaa valita tilanteeseen soveltuvan luottamusvälin sekä käyttää sitä tilastollisessa päättelyssä.
Esim. Puolueen kannatuksen arviointi. Kyselyssä kannattajia 15 %, otoskoko 2000.
Esim. Hillopurkkien keskimääräisen painon arviointi. Satunnaisesti valittujen 25 hillopurkin keskipaino 330 g ja keskihajonta 20 g.
Esim. Tuottavatko koneet A ja B keskimäärin samanmittaisia tankoja? Molempien koneiden tuotannosta valittu satunnaisesti 100 tankoja, joiden keskiarvoiksi saadaan 2,5 cm ja 2,7 cm sekä keskihajonnoiksi 0,005 cm ja 0,006 cm.
![Page 8: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/8.jpg)
23.10.2018/8
Hän ymmärtää tilastollisen testauksen periaatteet ja osaa suorittaa tilastollisen testauksen annetussa empiirisessä tilanteessa.
Esim. Puolue väittää kannatuksensa olevan eli 18 %. Voitko uskoa väitteen?
Esim. Voidaanko uskoa, että hillopurkit painavat keskimäärin 340 g.
Esim. Tuottavatko koneet A ja B keskimäärin samanmittaisia tankoja?
![Page 9: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/9.jpg)
23.10.2018/9
3 Kurssin kotisivu
https://coursepages.uta.fi/mtttp5/syksy-2018/
Opetus Kurssi-info (sisältö, tentit, harjoitushyvitys) Luennot, luentorunko (sis. kaavat, taulukot), luentokalvot
Harjoitukset, tehtävät, ohjeet (Moodle), ratkaisut Usein kysyttyä Palaute Linkkejä Oheiskirjallisuutta
![Page 10: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/10.jpg)
23.10.2018/10
Luku 2 Todennäköisyyslaskentaa 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma Satunnaisilmiö
useita tulosmahdollisuuksia epävarmuutta tuloksesta
Esim. 2.1.2 Rahanheitto, nopanheitto, lottoaminen, vakioveikkaus, kortin vetäminen sekoitetusta pakasta. Kaikki mahdolliset tulokset muodostavat perusjoukon E.
![Page 11: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/11.jpg)
23.10.2018/11
Esim. 2.1.1
Rahanheitto E = {kruuna, klaava} Nopanheitto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lottoaminen E = {kaikki mahdolliset lottorivit}, joita on 18643560 Vakioveikkaus E = {kaikki mahdolliset rivit}, joita on 1594323
![Page 12: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/12.jpg)
23.10.2018/12
Tapahtuma on perusjoukon osajoukko. Esim. 2.1.1 Rahanheitto A = {saadaan kruuna} Nopanheitto A = {saadaan parillinen} = {2, 4, 6} Lottoaminen A = {saadaan 7 oikein}
B = {saadaan 6 oikein ja lisänumero } C = {saadaan kaikki väärin}
Vakioveikkaus A = {saadaan 13 oikein} B = {saadaan 12 oikein}
![Page 13: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/13.jpg)
23.10.2018/13
2.2 Klassinen todennäköisyys Perusjoukossa n tulosta, jotka kaikki yhtä todennäköisiä. Tapahtumaan A liittyviä tuloksia k kappaletta. Tällöin A:n todennäköisyys P(A) = k/n. Esim. 2.2.1 Lottoaminen
A = {saadaan 7 oikein}, P(A) = 1/18643560 Vakioveikkaus
A = {saadaan 13 oikein}, P(A) = 1/1594323
![Page 14: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/14.jpg)
23.10.2018/14
2.3 Todennäköisyyslaskennan aksioomat ja laskusäännöt
Todennäköisyys on joukkofunktio P, joka liittää jokaiseen satunnaisilmiön tapahtumaan A reaaliluvun P(A). Tätä kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi ja se toteuttaa tietyt aksioomat. Aksiooma 1 Jos A on mikä tahansa satunnaisilmiön tapahtuma, niin 0 P(A) 1. Aksiooma 2 P(E) = 1 (varma tapahtuma)
![Page 15: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/15.jpg)
23.10.2018/15
Olkoot A ja B saman satunnaisilmiön tapahtumia.
Määritellään yhdiste A B = {A tai B tai molemmat tapahtuvat}
ja leikkaus A B = {A ja B molemmat tapahtuvat}.
A ja B ovat erillisiä, jos ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti, siis A B = . Aksiooma 3 Jos A ja B erillisiä, niin P(A B) = P(A) + P(B). Esim. 2.3.1 Nopanheitto
A = {saadaan parillinen}, P(A) = 3/6, B = {saadaan ykkönen}, P(B) = 1/6, A B = , joten P(A B) = P(A) + P(B)
![Page 16: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/16.jpg)
23.10.2018/16
Laskusääntö 1 P( )= 0. Tapahtuman A komplementti AC = {A ei tapahdu}. Laskusääntö 2 P(AC) = 1 – P(A). Esim. 2.3.3 Vakioveikkaus
A = {korkeintaan 11 oikein} P(A) = 1 – P(AC) = 1 - P{12 tai 13 oikein} = 1 – (P{12 oikein} + P{13 oikein})
![Page 17: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/17.jpg)
23.10.2018/17
Esim. Heität noppaa kunnes saat numeron 6. Laske
todennäköisyys sille, että joudut heittämään ainakin 3
kertaa. Tällöin joudut heittämään 3 tai 4 tai 5 tai … kertaa.
Todennäköisyys lasketaan komplementin kautta,
1 – P{heittokertoja 1 tai 2}
= 1 – (P{heittokertoja 1} +P{heittokertoja 2})
= 1 – P{heittokertoja 1} - P{heittokertoja 2}
= 1 – 1/6 – (5/6)(1/6) = 25/36
![Page 18: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/18.jpg)
23.10.2018/18
Laskusääntö 3 Jos tapahtumat A1, A2, …, Ak ovat pareittain erilliset, niin
P(A1 A2 … Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak).
Esim. 2.3.4 Kortin vetäminen korttipakasta A = {saadaan ruutu}, B = {saadaan hertta}, C = {saadaan risti}. P(saadaan ruutu tai hertta tai risti) = P(A)+P(B)+P(C) = 39/52.
![Page 19: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/19.jpg)
23.10.2018/19
Laskusääntö 4 (yleinen yhteenlaskusääntö)
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).
Esim. 2.3.5 Kortin vetäminen korttipakasta
P{kortti pata tai ässä} = P{kortti pata} + P{kortti ässä} - P{kortti pataässä} = 13/52 + 4/52 – 1/52
![Page 20: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/20.jpg)
25.10.2018/1
MTTTP5, luento 25.10.2018 Kertausta Satunnaisilmiö (satunnaiskoe), voi syntyä myös useassa
eri vaiheessa (yhdistetty satunnaisilmiö)
Perusjoukko (otosavaruus) E
Tapahtumat A, B, … perusjoukon osajoukkoja
P(A) = k/n
k = tapahtumaan A liittyvien tulosten lukumäärä
n = kaikki mahdolliset tulokset
A B = {A tai B tai molemmat tapahtuvat}
![Page 21: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/21.jpg)
25.10.2018/2
A B = {A ja B molemmat tapahtuvat}
A ja B erillisiä, A B =
0 P(A) 1, aksiooma 1
P(E) = 1, aksiooma 2
Jos A B = , niin P(A B) = P(A) + P(B), aksiooma 3
P( )= 0, laskusääntö 1
P(AC) = 1 – P(A), laskusääntö 2
P(A1 A2 … Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak), kun
tapahtumat pareittain erilliset, laskusääntö 3
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B), laskusääntö 4 (yleinen
yhteenlaskusääntö)
![Page 22: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/22.jpg)
25.10.2018/3
2.3 Todennäköisyyslaskennan aksioomat ja laskusäännöt (jatkoa) Esim. 2.3.4 Kortin vetäminen korttipakasta
A = {saadaan ruutu} B = {saadaan hertta} C = {saadaan risti}
P(saadaan ruutu tai hertta tai risti) = P(A)+P(B)+P(C) = 13/52 + 13/52 + 13/52 = 39/52.
![Page 23: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/23.jpg)
25.10.2018/4
Esim. 2.3.5 Kortin vetäminen korttipakasta
P{kortti pata tai ässä} = P{kortti pata} + P{kortti ässä} - P{kortti pataässä} = 13/52 + 4/52 – 1/52
Ehdollinen todennäköisyys P(A B) = P(A B)/P(B). Esim. 2.3.6 On saatu nopanheitossa pariton silmäluku. Mikä on silmäluvun 5 todennäköisyys? A = {5}, B = {1, 3, 5}, P(A B) = P(A B)/P(B) = (1/6)/(3/6) = 1/3.
![Page 24: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/24.jpg)
25.10.2018/5
Laskusääntö 5 (yleinen kertolaskusääntö) Jos P(B) > 0, niin
P(A B) = P(B)P(A B). Jos A ja B riippumattomia, niin P(A B) = P(A)P(B) Yleistäen: Jos tapahtumat A1, A2, …, Ak ovat riippumattomia, niin P(A1 A2 Ak) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään noppaa kolme kertaa
A = {1. heiton silmäluku pariton}, B = {2. heiton silmäluku pariton}, C = {3. heiton silmäluku pariton} P{kaikilla heitoilla pariton} = P(A)P(B)P(C) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8
![Page 25: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/25.jpg)
25.10.2018/6
Esim. Laatikossa on neljä palloa, joista kaksi on mustaa ja kaksi valkoista. Poimitaan satunnaisesti kaksi palloa palauttaen. P{molemmat pallot valkoisia} = P{1. pallo valkoinen ja 2. pallo valkoinen} = P{1. pallo valkoinen}P{2. pallo valkoinen} = (2/4)(2/4) = ¼ Jos poiminta tehdään palauttamatta, niin P{molemmat pallot valkoisia} = P{1. pallo valkoinen}P{2. pallo valkoinen} = (2/4)(1/3) = 1/6.
![Page 26: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/26.jpg)
25.10.2018/7
Esim. Heität noppaa kunnes saat numeron 6.
P{joudut heittämään ainakin 3 kertaa}
= 1 – P{heittokertoja 1 tai 2}
= 1 – (P{heittokertoja 1} +P{heittokertoja 2})
= 1 – 1/6 – (5/6)(1/6) = 25/36 Voi laskea myös todennäköisyyden, että kahdella ensimmäisellä kerralla ei saada numeroa 6. Tämä on (5/6)(5/6) = 25/36.
![Page 27: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/27.jpg)
25.10.2018/8
2.4 Kombinatoriikka Yhdistetyn satunnaisilmiön tulosmahdollisuuksien lukumäärä n1n2…nK. Esim. 2.4.1 Vakioveikkauksessa rivien lukumäärä 313 = 1 594 323. Rivejä, joissa ei yhtään oikein 213 = 8192. Esim. 2.4.2 Henkilöt A, B ja C voidaan asettaa 3·2·1 = 6 erilaiseen jonoon. Kuinka moneen eri järjestykseen n erilaista alkiota voidaan järjestää? Järjestyksiä eli permutaatioita on n(n-1)(n-2)…·2·1 = n! (n-kertoma)
![Page 28: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/28.jpg)
25.10.2018/9
Esim. 2.4.4 Moneenko erilaiseen jonoon 5 henkilöä voidaan asettaa? Entä kymmenen? Esim. 2.4.5 Kuinka moneen eri järjestykseen korttipakan 52 korttia voidaan asettaa? Laskuri http://stattrek.com/online-calculator/combinations-permutations.aspx Olkoon n erilaista alkiota. Tällöin k:n alkion osajoukkoja eli kombinaatioita voidaan muodostaa
!! !
=
(binomikerroin)
![Page 29: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/29.jpg)
25.10.2018/10
Esim. 2.4.3 Erilaisia lottorivejä
407
=40!
7! 40 7 != 18643560
Laskuri http://stattrek.com/online-calculator/combinations-permutations.aspx Sellaisia lottorivejä, jossa kaikki väärin
337
=33!
7! 33 7 != 4272048
Sellaisia lottorivejä, joissa k oikein
7 40 7
![Page 30: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/30.jpg)
25.10.2018/11
Sellaista vakioveikkausriviä, joissa k oikein 13
· 2
Esim. Laske todennäköisyys sille, että lottorivissä on vähintään kuusi oikein.
P(vähintään 6 oikein)
= P(kuusi oikein tai 7 oikein)
= P(6 oikein) + P(7 oikein)
= =
![Page 31: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/31.jpg)
25.10.2018/12
Esim. 2.4.6 Kahden alkion satunnaisotokset luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 satunnaisotokset ja niiden suurimmat alkiot
Otos Max 1, 2 2 P(Max = 2 ) = 1/15 1, 3 3 P(Max = 3 ) = 2/15 1, 4 4 P(Max = 4 ) = 3/15 1, 5 5 P(Max = 5 ) = 4/15 1, 6 6 P(Max = 6 ) = 5/15 2, 3 3 2, 4 4 2, 5 5 2, 6 6 3, 4 4 3, 5 5 3, 6 6 4, 5 5 4, 6 6 5, 6 6
![Page 32: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/32.jpg)
25.10.2018/13
Esim. 2.4.7 Luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 kahden alkion systemaattisella otannalla tehdyt otokset ja niiden suurimmat alkiot
Otos Max 1, 4 4 P(Max = 4 ) = 1/3 2, 5 5 P(Max = 5 ) = 1/3 3, 6 6 P(Max = 6 ) = 1/3
![Page 33: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/33.jpg)
30.10.2018/1
MTTTP5, luento 30.10.2018 Luku 3 Todennäköisyysjakaumia
3.1 Satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma
Esim. 3.1.1 Satunnaisilmiö nopanheitto, satunnaismuuttuja X = saatu silmäluku, P(X = 1) = P(X = 2) =… = P(X = 6) = 1/6
Esim. 3.1.2 Satunnaisilmiö neljän kolikon heitto, satunnaismuuttuja X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa, P(X = 0) = 1/16, P(X = 1) = 4/16, P(X = 2) =6/16, P(X = 3) = 4/16, P(X = 4) = 1/16
![Page 34: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/34.jpg)
30.10.2018/2
Satunnaismuuttuja X on funktio, joka liittää yksikäsitteisen reaaliluvun jokaiseen tarkasteltavan satunnaisilmiön perusjoukon tulokseen.
Tarkastellaan eri tulosten arvojen todennäköisyyksiä, jolloin saadaan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma.
Satunnaismuuttuja voi olla jatkuva tai diskreetti. Funktiota, joka määrittää satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman, kutsutaan tiheysfunktioksi, merk. f(x).
Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x).
![Page 35: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/35.jpg)
30.10.2018/3
Esim. Vakioveikkaus
X = oikein veikattujen kohteiden lukumäärä
F(0) = P(X 0) = P(X = 0)
= 213/313 = 8192/1594323
F(5) = P(X 5)
= P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = 5)
![Page 36: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/36.jpg)
30.10.2018/4
Kertymäfunktion ominaisuuksia
F(- ) = 0, F( ) = 1
P(a< X b) = F(b) – F(a), a < b
Jos X jatkuva, niin P(X a) = P(X < a) = F(a)
P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 - F(a)
Jos X jatkuva, niin F’(x) = f(x)
![Page 37: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/37.jpg)
30.10.2018/5
3.2 Diskreetti satunnaismuuttuja
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X arvot x1, x2, …, ja
näiden arvojen todennäköisyydet p1, p2, …
Satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma
määritellään pistetodennäköisyyksien
= = , = 1, 2, … , ä + = 10,
perusteella.
![Page 38: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/38.jpg)
30.10.2018/6
Määritellään odotusarvo
E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pkxk = µ
ja varianssi
Var(X) = E(X -µ)2
= p1(x1 - µ)2 + p2(x2 - µ)2 + … + pk(xk - µ)2
= 2
Varianssin neliöjuuri on keskihajonta.
![Page 39: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/39.jpg)
30.10.2018/7
Esim. 3.2.2 Nopanheitto, satunnaismuuttuja X = saatu silmäluku, X:n todennäköisyysjakauma P(X = 1) = P(X = 2) =… = P(X = 6) = 1/6
E(X) = 1 · + 2 · + 6 · = 3,5
Var(X) = 3,5 · + 3,5 · =
![Page 40: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/40.jpg)
30.10.2018/8
Esim. X = klaavojen lukumäärä neljän kolikon heitossa
X:n todennäköisyysjakauma: P(X = 0) = 1/16, P(X = 1) = 4/16, P(X = 2) = 6/16, P(X = 3) = 4/16, P(X= 4) = 1/16
E(X) = 0 · + 1 · + 4 · = 2
Var(X) = 2 · + 2 · + 2 · = 1
![Page 41: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/41.jpg)
30.10.2018/9
Jakauma graafisesti:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 1 2 3 4
P(X=
x)
x
![Page 42: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/42.jpg)
30.10.2018/10
Esim. Satunnaiskokeessa onnistutaan
todennäköisyydellä p ja epäonnistutaan todennäköisyydellä
1 – p. Määritellään satunnaismuuttuja
X= 1, jos onnistutaan0, jos epäonnistutaan
Siis P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 – p.
E(X) = 1 · + 0 · (1 ) = Var(X) = · + · (1 ) = (1 ) Vrt. esim. 3.2.3.
![Page 43: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/43.jpg)
30.10.2018/11
3.3 Jatkuva satunnaismuuttuja Olkoon f(x) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin f(x) 0 sekä f(x):n ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on yksi.
Määritellään X:n odotusarvo
E(X) = =
ja varianssi Var(X) = = ks. kaava (3.4)
X:n keskihajonta on .
![Page 44: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/44.jpg)
30.10.2018/12
Esim. f(x) = 1, kun 0 x 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
![Page 45: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/45.jpg)
30.10.2018/13
Esim. f(x) = 0,001e-0,001x, x 0
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
![Page 46: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/46.jpg)
30.10.2018/14
Esim. =
Kyseessä standardoidun normaalijakauman tiheysfunktio (ks. luentomoniste s. 22)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
![Page 47: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/47.jpg)
30.10.2018/15
Esim. f(x) = 0,02(10-x), 0 x 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12
![Page 48: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/48.jpg)
30.10.2018/16
Esim. f(x) = , kun 1 x 4.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
![Page 49: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/49.jpg)
30.10.2018/17
Olkoot a ja b reaalilukuja (a b). Tällöin
P(X a) = F(a)
P(X a) = 1 – F(a)
P(a X b) = F(b) – F(a)
Esim. f(x) = 1/4, kun 0 x 4
F(x) = P(X x) = x/4 (suorakulmion pinta-alana)
P(2 X 3) = F(3) – F(2) = 3/4 - 2/4 = 1/4
P(X 1) = 1 – F(1) = 1 – 1/4 = 3/4
![Page 50: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/50.jpg)
1.11.2018/1
MTTTP5, luento 1.11.2018 Kertausta
X diskreetti satunnaismuuttuja
= = , = 1,2, … , , = 1
X jatkuva satunnaismuuttuja
f(x) tiheysfunktio, f(x) 0, = 1
![Page 51: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/51.jpg)
1.11.2018/2
Kertymäfunktio F(x) = P(X x)
P(a< X b) = F(b) – F(a), a < b
Jos X jatkuva, niin P(X a) = P(X < a) = F(a)
P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 - F(a)
![Page 52: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/52.jpg)
1.11.2018/3
Odotusarvo
= =,
( ) ,
Varianssi
= = =,
( ) ,
![Page 53: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/53.jpg)
1.11.2018/4
Esim.
Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat 1, 2 ja 3 sekä
P(X = 1) = 1-2p, P(X = 2) = P(X = 3) = p, 0 p ½.
Laske E(X), Var(X). Piirrä X:n todennäköisyysjakauman
kuvaaja, kun p = 0,25.
E(X) = 1 · 2 + 2 · + 3 · = 3 + 1
Var(X) = 3 1 · 2 + 3 1 ·
+ 3 1 · 9 + 5
![Page 54: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/54.jpg)
1.11.2018/5
Jos p = 0,25, niin P(X = 1) = 0,5, P(X = 2) = P(X = 3) = 0,25. Graafisesti:
0
0,2
0,4
0,6
1 2 3
P(X=
x)
x
![Page 55: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/55.jpg)
1.11.2018/6
Esim. Henkilö A saapuu bussipysäkille. Hän joutuu mahdollisesti odottamaan bussia. Määritellään X = odotusaika minuutteina. Oletetaan, että X:n tiheysfunktio on f(x) = 0,02(10-x), 0 x 10. Tiheysfunktion kuvaaja on laskeva suora, kaksi pistettä suoralta f(0)=0,2, f(10)=0.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12
![Page 56: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/56.jpg)
1.11.2018/7
Kertymäfunktio F(x) = P(X x). Tämä voidaan laskea kolmion pinta-alaa hyödyntäen
F(x) = P(X x) = 1 – P(X > x) = 1 – (10-x) f(10-x)/2 = -0,01x2+0,2x.
Todennäköisyys sille, että A joutuu odottamaan yli 9 minuuttia, on
P(X > 9) = 1 – P(X 9) = 1 - F(9) = 0,01.
ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp2/syksy2013/luentoesimerkki_31_10_13.pdf
![Page 57: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/57.jpg)
1.11.2018/8
Jos E(X) = µ ja Var(X) = 2, niin X standardoidaan tekemällä
muunnos
=
![Page 58: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/58.jpg)
1.11.2018/9
3.4 Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia
Odotusarvon ominaisuuksia
= ,
+ = + ,
+ + = + +
Satunnaismuuttujien riippumattomuus määritellään
vastaavalla tavalla kuin tapahtumien riippumattomuus.
![Page 59: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/59.jpg)
1.11.2018/10
Varianssin ominaisuuksia
= 0,
+ = ,
: + = | | ,
, , … , , + + =
+ +
![Page 60: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/60.jpg)
1.11.2018/11
Esim. 3.4.4 Sijoitat 1000 euroa. Mahdolliset kohteet A ja B, joissa molemmissa pienin sijoitusmäärä 500 euroa.
Merkitään X = tuotto 100 euron sijoituksesta kohteeseen A, Y = tuotto 100 euron sijoituksesta kohteeseen B
Oletetaan P(X = -5) = 0,4, P(X = 20) = 0,6 P(Y= 0) = 0,6, P(Y = 25) = 0,4.
E(X) = 5 · 0,4 + 20 · 0,6 = 10 E(Y) = 0 · 0,6 + 25 · 0,4 = 10
Var(X) = 10 · 0,4 + 20 10 · 0,6 = 150 Var(Y) = 10 · 0,6 + 25 10 · 0,4 = 150
![Page 61: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/61.jpg)
1.11.2018/12
Miten sijoitat?
Mahdolliset vaihtoehdot ja niiden tuotot W
1. 1000 euroa A:han, W = 10X
E(W) = 10E(X) = 100, Var(W) = 102Var(X) = 15000
2. 1000 euroa B:hen, W = 10Y
E(W) = 10E(Y) = 100, Var(W) = 102Var(Y) = 15000
3. 500 euroa kumpaankin, W = 5X +5Y E(W) = E(5X +5Y) = E(5X) +E(5Y) = 100
Var(W) = Var(5X +5Y) = Var(5X) +Var(5Y) = 52Var(X) + 52Var(Y) =
7500
Vaihtoehto 3 paras, koska pienin vaihtelu (riski).
![Page 62: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/62.jpg)
1.11.2018/13
Esim. Sijoitat kohteeseen A 500 euroa ja kohteeseen B 1000
euroa.
Olk. X = tuotto euron sijoituksesta kohteeseen A
Y = tuotto euron sijoituksesta kohteeseen B.
Oletetaan tuottojen olevan toisistaan riippumattomia ja
E(X) = E(Y) = µ, Var(X) = Var(Y) = 2. Määritä koko 1500
euron tuoton odotusarvo ja varianssi.
![Page 63: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/63.jpg)
1.11.2018/14
Kokonaistuotto W = 500X + 1000Y
E(W) = E(500X + 1000Y) = E(500X) + E(1000Y) = 500E(X) +
1000E(Y) = 500µ + 1000µ = 1500µ
Var(W) = Var(500X + 1000Y) = Var(500X) + Var(1000Y) =
5002Var(X) + 10002Var(Y) = 5002 2 + 10002 2 = 1250000 2
![Page 64: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/64.jpg)
1.11.2018/15
Esim. 3.4.5
Sijoitat 1000 euroa. Mahdolliset kohteet A ja B.
X = 1 euron tuotto sijoituksesta kohteeseen A
Y = 1 euron tuotto sijoituksesta kohteeseen B
X ja Y riippumattomia
E(X) = E(Y) = µ, Var(X) = Var(Y) = 2.
Miten sijoitat?
![Page 65: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/65.jpg)
1.11.2018/16
Sijoitetaan euroa kohteeseen A ja (1000- ) kohteeseen B
Tuotto W= X + (1000- )Y
E(W) = E( X + (1000- )Y)
= E( X) + E((1000- )Y)= E(X) + (1000- )E(Y)
= 1000µ
Var(W) = Var( X + (1000- )Y)
= Var( X) + Var((1000- )Y)
= 2 Var(X) + (1000- )2Var(Y)
= (2 2-2000 +1000000) 2
Pienin varianssi, kun = 500
![Page 66: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/66.jpg)
1.11.2018/17
Esim. 3.4.1
= , = , = , = 0, = 1.
Esim. 3.4.2 Olkoot X ja Y riippumattomia,
E(X) = µX, E(Y) = µY, Sd(X) = X, Sd(Y)= Y.
Määritellään Z = X – Y.
E(Z) = E(X – Y) = E(X) – E(Y) = µX - µY
Var(Z) = Var(X – Y) = Var(X) + Var(-Y)
= Var(X) + (-1)2Var(Y) = +
Z:n hajonta +
![Page 67: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/67.jpg)
1.11.2018/18
Esim. 3.4.3
, , … ,
= , = , ää ää =+
.
= , =
![Page 68: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/68.jpg)
6.11.2018/1
MTTTP5, luento 6.11.2018
3.5 Joitain todennäköisyysjakaumia
3.5.1 Bernoulli-jakauma
Tarkastellaan satunnaisilmiötä, jossa joko onnistutaan (A) tai epäonnistutaan (AC). Määritellään satunnaismuuttuja X siten, että
= 1,0, ä
Olkoon lisäksi P(A) = P(X = 1) = p, P(AC) = P(X = 0) = 1 - p. Sanotaan, että X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p, merk. X ~ Ber(p).
![Page 69: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/69.jpg)
6.11.2018/2
Tällöin E(X) = p, Var(X) = p(1 - p), ks. luento 30.10.
Esim. 3.5.1 Rahanheitto, veikkauksessa yhden kohteen
arvaaminen, nopanheitossa silmäluvun 6 saaminen.
Esim. Heitetään noppaa. Määritellään X siten, että
= 1, ä 60,
Siis P(X = 1) = 1/6, P(X = 0) = 5/6, X ~ Ber(1/6).
E(X) = , Var(X) =
![Page 70: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/70.jpg)
6.11.2018/3
3.5.2 Binomijakauma
Toistetaan n kertaa satunnaisilmiötä, jossa onnistumisen todennäköisyys on p. Määritellään X = onnistumisten kokonaislukumäärä. Tällöin sanotaan, että X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p, merk. X ~ Bin(n, p). Jos X ~Bin(n, p), niin
= = , = 0, 1, 2, …
Graafisesti http://vassarstats.net/
![Page 71: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/71.jpg)
6.11.2018/4
Binomijakautunut satunnaismuuttuja
X = X1 + X2 + … + Xn, missä Xi ~ Ber(p)
E(Xi) = p, Var(Xi) = p(1-p)
E(X) = E(X1 + X2 + … + Xn)
= E(X1) + E(X2) + … + E(Xn) = np
Var(X) = Var(X1 + X2 + … + Xn)
= Var(X1) + Var(X2) + … + Var(Xn)= np(1 - p)
![Page 72: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/72.jpg)
6.11.2018/5
Esim. Heitetään noppaa 10 kertaa. Määritellään X = silmäluvun 6 kokonaislukumäärä heittosarjassa
X ~ Bin(10, 1/6), E(X) = 10 · , Var(X) = 10 · ·
= =10 1
616
, = 0, 1, 2, … 10
k P(X = k)0 0,1615061 0,3230112 0,290713 0,1550454 0,0542665 0,0130246 0,0021717 0,0002488 1,86E-059 8,27E-07
10 1,65E-08 Kuvaaja: http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html
![Page 73: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/73.jpg)
6.11.2018/6
Esim. 3.5.2 Vakioveikkaus, X = oikein arvattujen kohteiden kokonaislukumäärä, X ~Bin(13, 1/3), E(X) = 13 · , Var(X) = 13 · ·
= =13 1
313
, = 0, 1, 2, … 13
= 0 =130
13
23
=23
= 1 =131
13
23
= 1313
23
= 2 =132
13
23
= 7813
23
= 3 =133
13
23
= 28613
23
![Page 74: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/74.jpg)
6.11.2018/7
P(X > 3) = 1 – P(X 3)
= 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3))
0,6776
= 12 =1312
13
23
= 1313
23
= 13 =1313
13
23
= 13
P(X > 11) = P(X = 12) + P(X = 13)
= 27 0,0000169
![Page 75: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/75.jpg)
6.11.2018/8
Esim. 3.5.3 Pelaat peliä, jossa heitetään rahaa. Jos tulee
klaava, saat ystävältäsi euron, jos tulee kruuna, annat
ystävällesi euron. Rahaa on heitetty 20 kertaa, ja olet
tappiolla 14 euroa. Onko raha harhaton?
X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa, X ~Bin(20, ½ )
= == ,
= 0, 1, 2, … , 20
X – (20 –X) = -14, josta X = 3. Klaavoja on tullut 3.
![Page 76: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/76.jpg)
6.11.2018/9
P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= + + + = 1351 0,0013
Tämä on harvinaista, joten voidaan päätellä, että raha ei ole
harhaton.
Ks. laskuri http://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx
![Page 77: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/77.jpg)
6.11.2018/10
3.5.3 Diskreetti tasajakauma
Esim. Nopanheitossa X = silmäluku, P(X = 1) = P(X = 2)
=…= P(X = 6) = 1/6. Sanotaan, että X noudattaa diskreettiä
tasajakaumaa välillä (1, 6), merk. X ~ Tasd(1, 6).
Olkoon satunnaismuuttujan X arvot
a, a + 1, a + 2, …, a + (n-1) = b ja kukin n:stä arvosta yhtä
todennäköinen. Sanotaan, että X noudattaa diskreettiä
tasajakaumaa välillä (a, b), merk. X ~ Tasd(a, b).
Tällöin = , = .
![Page 78: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/78.jpg)
6.11.2018/11
Esim. 3.5.4 Olkoon X yksinumeroinen satunnaisluku.
Mahdolliset arvot 0, 1, 2, …, 9 sekä jokaisen arvon
todennäköisyys 1/10, siis X ~ Tasd(0, 9). E(X) = (0+9)/2,
Var(X) = (102-1)/12.
![Page 79: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/79.jpg)
6.11.2018/12
3.5.4 Jatkuva tasajakauma
Satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasajakaumaa
välillä (a, b), jos sen tiheysfunktio on
=1
,
0,
Merk. X ~ Tas(a, b)
Tällöin = , = .
![Page 80: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/80.jpg)
6.11.2018/13
Esim. X ~ Tas(1, 3)
f(x) = 1/(3-1) = 1/2
F(x) = P(X x) = (x-1)/2
E(X) = (1+3)/2 = 2
Var(X) = (3-1)2/12 = 1/3
Esim. X ~ Tas(0, 1), luento 30.10.
X ~ Tas(0, 4), luento 30.10.
X ~ Tas(-1, 1), harj. 2 teht. 2.
![Page 81: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/81.jpg)
8.11.2018/1
MTTTP5, luento 8.11.2018 3.5.5 Normaalijakauma
Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja 2, jos sen tiheysfunktio on
=12
< < .
Merk. X ~ N(µ, 2)
= , =
![Page 82: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/82.jpg)
8.11.2018/2
Esim. N(3, 4)
Esim. Parametrien vaikutus jakauman muotiin, http://vassarstats.net/zsamp.html
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
-4 -2 0 2 4 6 8 10
![Page 83: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/83.jpg)
8.11.2018/3
Jos X ~ N(0, 1), niin kyse standardoidusta
normaalijakaumasta. Tällöin
=
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
![Page 84: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/84.jpg)
8.11.2018/4
Merkitään Z ~ N(0, 1)
tiheysfunktio (z)
kertymäfunktio (z)
P(Z z) = (z)
(z) = 1 - (-z)
Kertymäfunktion arvoja on taulukoitu, ks. taulukko
http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp5/syksy2018/N(0_1).pdf
![Page 85: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/85.jpg)
8.11.2018/5
Esim. 3.5.7 Z ~ N(0, 1)
P(Z 1) = (1) = 0,8413
P(Z 1,1) = (1,1) = 0,8643
P(Z 1,14) = (1,14) = 0,8729
P(Z -1) = (-1) = 1 - (1) = 1 - 0,8413 = 0,1587
P(Z 2,4) = 1 - P(Z 2,4) = 1 - (2,4) = 1 - 0,9918
= 0,0082
![Page 86: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/86.jpg)
8.11.2018/6
P(Z -1,14) = 1 - P(Z -1,14) = 1 - (-1,14)
= 1 – (1 - (1,14)) = (1,14)
= 0,8729
P(-1 Z 1) = (1) - (-1) = … = 0,6826
P(-2 Z 2) = (2) - (-2) = … = 0,9544
P(-3 Z 3) = (3) - (-3) = … = 0,9974
![Page 87: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/87.jpg)
8.11.2018/7
Esim. 3.5.8 Z ~ N(0, 1)
Jos (z) = 0,75, niin z 0,67, koska (0,67) = 0,7486
Jos (z) = 0,26, niin (-z) = 1 - 0,26 = 0,74, -z 0,64,
koska (0,64) = 0,7389, z = -0,64.
Ks. http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp2/syksy2012/norm_graaf.pdf
![Page 88: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/88.jpg)
8.11.2018/8
Jos X ~ N(µ, 2), niin Z = (X - µ)/ ~ N(0, 1).
P(X a) = P((X - µ)/ (a - µ)/ )
= ((a - µ)/ )
P(X a) = 1 – P(X a)
= 1 - P((X - µ)/ (a - µ)/ )
= 1 - ((a - µ)/ )
P(a X b) = P(X b) - P(X a)
= ((b - µ)/ ) - ((a - µ)/ )
![Page 89: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/89.jpg)
8.11.2018/9
Esim. 3.5.9 Sinulla on sijoitusvaihtoehdot A ja B. Oletat,
että sijoitusten tuottoprosentit noudattavat
normaalijakaumaa odotusarvoina 10,4 ja 11,0 sekä
hajontoina 1,2 ja 4,0. Haluat tehdä sijoituksen, jolla on
todennäköisempää saada vähintään 10 %:n tuotto.
Kumman sijoitusvaihtoehdon valitset ja miksi?
Merkitään
X = tuotto sijoituksesta A, X~ N(10,4, 1,22)
Y = tuotto sijoituksesta B, Y~ N(11,0, 4,02)
![Page 90: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/90.jpg)
8.11.2018/10
P(X > 10) = 1 -P(X 10)
= 1 -P((X – 10,4)/1,2 (10 – 10,4)/1,2)
= 1 - (-0,33)
= 1 -(1- (0,33))
= 0,6293
P(Y > 10) = 1 -P(Y 10)
= 1 -P((Y - 11)/4 (10 - 11)/4)
= 1 - (-0,25) = 1 -(1- (0,25)) = 0,5987.
Valitset sijoitusvaihtoehto A, koska siinä suurempi
todennäköisyys saada vähintään 10 % tuotto.
![Page 91: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/91.jpg)
8.11.2018/11
Esim. Matti valmistaa tehtaassa erästä komponenttia.
Ilman häiriötekijöitä Matin tekemien komponenttien pituus
vaihtelee normaalijakauman, jonka odotusarvo on 2,500 cm
ja keskihajonta 0,005 cm, mukaisesti. Eräänä päivänä Matti
oli hieman väsynyt. Työpäivän lopussa hän valitsi
satunnaisesti yhden tämän päivän aikana tekemänsä
komponentin, jonka pituus oli 2,493 cm.
![Page 92: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/92.jpg)
8.11.2018/12
a) Laske todennäköisyys sille, että ko. päivän aikana
Matin tekemien komponenttien joukosta satunnaisesti
valitun komponentin pituus on pienempi kuin Matin
valitseman, jos oletetaan, että päivän aikana tehtyjen
komponenttien pituuden vaihtelussa ei ole tapahtunut
tavanomaisesta poikkeavaa muutosta.
Olkoon X = komponentin pituus, joka tavanomaisessa
tilanteessa noudattaa normaalijakaumaa odotusarvona
2,500 ja keskihajontana 0,005.
![Page 93: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/93.jpg)
8.11.2018/13
Tällöin
P(X 2,493) = ((2,493 – 2,500)/0,005)
= (-1,4) = 1 - (1,4)
= 1 – 0,9192 = 0,0808.
![Page 94: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/94.jpg)
8.11.2018/14
b) Oliko Matin väsymys vaikuttanut työn laatuun? Valittaessa satunnaisesti yksi Matin tekemistä komponenteista, niin tavanomaisessa tilanteessa on siis n. 8,1 % todennäköisyys saada komponentti, joka on 2,493 cm lyhyempi. Ei siis ole mitenkään harvinaista, että saadaan komponentti, joka on pituudeltaan alle Matin valitseman komponentin. Näin päätellään, että Matin väsymys ei ole vaikuttanut työn laatuun. (Jos kuitenkin pitää laskettua todennäköisyyttä pienenä, niin tekee päinvastaisen päättely, mutta tällöin kiinnitetään riskitaso, joka on suurempi kuin 0,0808!)
![Page 95: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/95.jpg)
8.11.2018/15
Esim. Oletetaan, että sähkölamppujen käyttöikä X
(tunteina) noudattaa normaalijakaumaa parametrein 800 ja
1600.
a) Laske todennäköisyys sille, että satunnaisesti valitun
lampun käyttöikä on alle 850 mutta yli 700.
P(700 X 850)
= ((850 – 800)/40) - ((700 – 800)/40)
= (5/4) - (-10/4) = (1,25) – (1 - (2,5))
= 0,8944 – (1 – 0,9938) = 0,8882
![Page 96: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/96.jpg)
8.11.2018/16
b) 25 % valmistajan lampuista kestää yli a tuntia eli
P(X a) = 0,25. Määritä a.
Nyt P(X < a) = 0,75, joten ((a – 800)/40) = 0,75.
Taulukosta (0,67) = 0,7486, joten (a – 800)/40
0,67. Tästä a = 826,8.
![Page 97: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/97.jpg)
13.11.2018/1
MTTTP5, luento 13.11.2018
Kertausta
Jos X ~ N(µ, 2), niin Z = (X - µ)/ ~ N(0, 1).
P(X a) = P((X - µ)/ (a - µ)/ ) = ((a - µ)/ )
P(X a) = 1 – P(X a) = 1 - P((X - µ)/ (a - µ)/ ) = 1 - ((a - µ)/ )
P(a X b) = P(X b) - P(X a) = ((b - µ)/ ) - ((a - µ)/ )
![Page 98: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/98.jpg)
13.11.2018/2
3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu)
Normaalijakaumaan liittyviä keskeisiä tuloksia
~ , , + ~ ( + , )
, , … , ~ ( , ),
+ + ~ ( + + , + + )
![Page 99: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/99.jpg)
13.11.2018/3
Esim. Lentomatkustajien tavaroiden painon
oletetaan vaihtelevan siten, että ne painavat
keskimäärin 20 kg keskihajonnan ollessa 5 kg.
Oletetaan lisäksi painon vaihtelevan
normaalijakauman mukaisesti. Eräs lentokonetyyppi
kuljettaa 100 matkustajaa. Millä todennäköisyydellä
matkatavaroiden yhteispaino ylittää 2150 kg?
![Page 100: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/100.jpg)
13.11.2018/4
Yhteispaino Y = X1 + X2 +…+X100, missä Xi ~ N(20,25).
E(Y) = E(X1) + E(X2) + … + E(X100) = 100·20 = 2000
Var(Y) = Var(X1) + Var(X2) + … + Var(X100) = 100·25
= 2500
Y ~ N(2000, 2500)
P(Y > 2150) = 1 - P(Y 2150)
= 1 – ((2150-2000)/50)
= 1 – (3) = 1 – 0,9987 = 0,0013.
![Page 101: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/101.jpg)
13.11.2018/5
, , … ,
( ) =
= ,
+ + ~ ( + + , + + )
![Page 102: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/102.jpg)
13.11.2018/6
Esim. Lentoyhtiötä pyydetään kuljettamaan 100
lammasta. Yhtiöllä on käytössä kone, joka voi ottaa
kuljetettavakseen 5000 kg. Aiemmin on punnittu
1000 vastaavanlaista lammasta ja saatu keskiarvoksi
45 kg, hajonnaksi 3 kg ja painot ovat vaihdelleet
välillä 37 kg – 56 kg. Voiko yhtiö ottaa pyydetyn 100
lampaan lastin kuljetettavakseen?
![Page 103: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/103.jpg)
13.11.2018/7
Yhteispaino Y = X1 + X2 + … + X100, missä E(Xi) = 45, Var(Xi) = 9
E(Y) = E(X1) + E(X2) + … + E(X100) = 100·45 = 4500
Var(Y) = Var(X1) + Var(X2) + … + Var(X100) = 100·9 = 900
Y ~ N(4500, 900), likimain
P(Y > 5000) = 1 - P(Y 5000) 1 – ((5000-4500)/30) = 1 – (16,67) 0
On siis lähes mahdotonta, että raja ylittyisi. Lampaat voi hyvin ottaa kuljetettavaksi. Liian varovainen arvio olisi 100·56 = 5600.
![Page 104: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/104.jpg)
13.11.2018/8
Edellisten tulosten perusteella saadaan otoskeskiarvoon
liittyvät tulokset
~ ( , ) : ,
+ + ~ ,
=1
+ ~ ,
![Page 105: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/105.jpg)
13.11.2018/9
Esim. 3.5.14 GMAT-testiä käytetään useiden yliopistojen pääsykokeena. Kokeen tuloksen on todettu noudattavan normaalijakaumaa odotusarvona 525 ja keskihajontana 100. Sadan pyrkijän ryhmä osallistui ennen pääsykoetta valmennuskurssille. Pääsykokeessa heidän GMAT-testin keskiarvo oli 541,4. Menestyivätkö he pääsykokeessa muita paremmin?
~ 525,100100
541,4 = 1 < 541,4
= 1541,4 525
10= 1 1,64 = 0,0505
![Page 106: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/106.jpg)
13.11.2018/10
Eivät menestyneet paremmin kuin muut, koska ei ole
harvinaista saada otoskeskiarvoa, joka suurempi kuin
541,4 silloin, kun menestyminen tavanomaista.
![Page 107: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/107.jpg)
13.11.2018/11
Esim. Auton sytytystulppien valmistaja väittää, että
tulpat kestävät keskimäärin 60 000 km
keskihajonnan ollessa 6 000 km sekä vaihtelu
luonnehdittavissa normaalijakaumalla. Tutkit väitettä
ja valitset satunnaisesti 4 tulppaa, joiden
keskimääräiseksi kestoksi saat 55 500 km. Voitko
uskoa valmistajan väitteen?
![Page 108: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/108.jpg)
13.11.2018/12
Jos valmistajan väite tosi, niin
~ 60000, .
55500 =55500 60000
60002
= 1,5
= 1 1,5 = 1 0,9332 = 0,0668
Uskotaan valmistajan väite, koska väitteen ollessa
tosi ei ole harvinaista saada otosta, jonka keskiarvo
alle 55500.
![Page 109: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/109.jpg)
13.11.2018/13
, , … , = , = ,
+ + ~ ,
=1
+ ~ ,
![Page 110: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/110.jpg)
13.11.2018/14
Binomijakaumaa voidaan approksimoida
normaalijakaumalla
~ , , ~ , , .
![Page 111: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/111.jpg)
13.11.2018/15
Esim. Tutkittiin uuden menetelmän
käyttökelpoisuutta ihosairauden hoidossa. Vanhan
menetelmän avulla 60 % potilasta parani. Uudella
menetelmällä 72 potilasta sadasta parani. Onko uusi
menetelmä vanhaa parempi?
Olkoon X = parantuneiden lukumäärä.
Jos uusi menetelmä toimii vanhan tavoin, niin
X ~ Bin(100, 0,6), E(X) = 60, Var(X) = 24, joten
X ~ N(60, 24) likimain.
![Page 112: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/112.jpg)
13.11.2018/16
Tällöin P(X 72) = 1 - P(X 71)
1 – ((71-60)/ 24)
= 1 – (2,26) = 0,0119.
Binomijakaumasta laskettuna P(X 72) = 0,00843.
Jos toimisi vanhan tavoin, niin olisi harvinaista saada
parantuneita enemmän kuin 71. Päätellään uuden
olevan parempi.
![Page 113: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/113.jpg)
13.11.2018/17
Esim. 3.5.12 Tentissä on 100 väittämää, jotka ovat tosia tai epätosia. Vastataan kaikkiin kysymyksiin arvaamalla.
Olkoon X = oikeiden vastausten lukumäärä.
X ~ Bin(100,1/2), joten
= =100 1
2
, = 0, 1, 2, … 100
60 =100 1
2
= 0,9824
http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html
![Page 114: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/114.jpg)
13.11.2018/18
E(X) = 100/2 = 50, Var(X) = 100/4 = 25, joten
~ (50, 25)
P(X 60) = 2 = 0,9772
![Page 115: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/115.jpg)
15.11.2018/1
MTTTP5, luento 15.11.2018 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos
X1, X2, …, Xn on satunnaisotos, jos Xi:t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
Sanonta ”X1, X2, …, Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta” tarkoittaa, että jokainen Xi ~ N(µ, 2) ja Xi:t ovat riippumattomia.
![Page 116: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/116.jpg)
15.11.2018/2
4.2. Otossuureet ja otosjakaumat
Otossuure
satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
Otosjakauma
otossuureen todennäköisyysjakauma
![Page 117: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/117.jpg)
15.11.2018/3
Otossuureita ja niiden jakaumia
1) Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta. Tällöin
~ , .
2) Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos jakaumasta, jonka odotusarvo µ ja varianssi 2.
Tällöin
~ , , .
![Page 118: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/118.jpg)
15.11.2018/4
Esim. Erään tilastotoimiston (The National Center for Health Statistics) mukaan väestössä keski-ikäisten miesten verenpaineen keskiarvo on 128 ja keskihajonta 15. Haluttiin selvittää, poikkeaako keski-ikäisten yritysjohtajien verenpaineen keskiarvo koko väestön vastaavasta keskiarvosta. Mitattiin 72 yritysjohtajan verenpaineet ja saatiin keskiarvoksi 130,5. Onko eroja?
Olkoon X = verenpaine. Nyt
~ 128, , ,
jos otos koko väestöstä.
![Page 119: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/119.jpg)
15.11.2018/5
130,5 = 1 130,5130,5 128
1572
= 1 1,41 = 1 0,9207 = 0,0793
Ei voida ajatella, että yritysjohtajien verenpaineen keskiarvo olisi korkeampi kuin koko väestön, koska ei ole koko väestöstä tehdyssä 72 alkion otoksessa harvinaista saada otoskeskiarvoa, joka on yli yritysjohtajilta mitatun.
![Page 120: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/120.jpg)
15.11.2018/6
3) Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos populaatiosta,
jossa % viallisia. Määritellään = 1,0,
Viallisten kokonaislukumäärä otoksessa
X = X1 + X2 + … + Xn ~ Bin(n, /100)
Lisäksi
~ 100, (
100)
100, .
![Page 121: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/121.jpg)
15.11.2018/7
Viallisten prosenttiosuus otoksessa p = 100X/n.
E(p) = , Var(p) = (100- )/n, ks. esim. 5.1.1.
Koska X:n jakauma on likimain normaalijakauma, niin
~ ,100
, .
![Page 122: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/122.jpg)
15.11.2018/8
Esim. 4.2.3 Olet todistamassa oikeudessa, jossa
väitetään erään pelipaikan ruletin toimivan väärin.
Ruletissa on 37 numeroa, joiden kaikkien pitäisi olla
yhtä todennäköisiä. Pelipaikka voittaa numerolla nolla.
Olet saanut selville, että 3700 kertaa rulettia
pyöritettäessä nolla tuli 140 kertaa. Millaisen
todistuksen annat oikeudessa?
Olkoon X = nollien lukumäärä.
![Page 123: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/123.jpg)
15.11.2018/9
Jos ruletti toimii oikein, niin X ~ Bin(3700, 1/37).
E(X) = 3700·(1/37) = 100,
Var(X) = 3700 (1/37) (36/37) = 3600/37.
Tällöin X ~ N(100, 3600/37), likimain.
P(X 140) = 1 – P(X 139) 1 – (/
)
= 1 – (3,95) 0. Tämä on siis lähes mahdotonta.
Todistan, että pelipaikan ruletti toimii väärin.
![Page 124: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/124.jpg)
15.11.2018/10
Esim. Yritys tekee tiettyä komponenttia, jota käytetään auton moottorissa. Tämä komponentti hajoaa joskus heti, kun se on otettu käyttöön. Yritys valvoo tuotantoaan siten, että virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, joista 28 komponenttia osoittautui virheelliseksi. Onko tuotanto keskeytettävä?
![Page 125: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/125.jpg)
15.11.2018/11
Ratkaisu 1
Olkoon X = virheellisten komponenttien lukumäärä 500 alkion otoksessa.
Jos tuotannossa virheellisiä 4 %, niin
X ~ Bin(500, 0,04), jolloin E(X) = 500·0,04 = 20,
Var(X) = 500·0,04·0,96 = 19,2.
Lisäksi X ~ N(20, 19,2), likimain.
![Page 126: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/126.jpg)
15.11.2018/12
P(X 28) = 1 – P(X 27)
1 – ((27 – 20)/ 19,2)
= 1 - (1,60) = 0,0548.
Tämä ei harvinaista, tuotantoa voidaan jatkaa.
Binomijakaumasta laskettuna P(X 28) = 0,0489,
ks. http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html
![Page 127: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/127.jpg)
15.11.2018/13
Ratkaisu 2
Olkoon p = virheellisten komponenttien prosenttiosuus 500 alkion otoksessa Jos tuotannossa virheellisiä 4 %, niin
~ (4, ,
)
P(p 5,6) = 1 – P(p 5,6)
1 – ((5,6 – 4)/ 0,768)
= 1 – (1,83) = 1 – 0,9664 = 0,0336
![Page 128: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/128.jpg)
15.11.2018/14
Sama tulos ratkaisusta 1, jos lasketaan
P(X 28) 1 – ((28 – 20)/ 19,2) = 1 - (1,83).
![Page 129: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/129.jpg)
15.11.2018/15
4) Olkoot X1, X2, . . . , Xn satunnaisotos ( , ):sta ja
Y1, Y2, . . . , Ym satunnaisotos ( , ):sta sekä
otokset riippumattomia.
Tällöin
~ , +
![Page 130: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/130.jpg)
15.11.2018/16
Esim. Tarkastellaan lapsen syntymäpainoa
grammoina. Oletetaan, että tytöillä syntymäpaino X ~
N(3450, 5202) ja pojilla syntymäpaino Y ~ N(3640,
4402). Tarkastellaan tyttöpopulaatiosta 100 alkion ja
poikapopulaatiosta 200 alkion satunnaisotoksia.
Määritä otoskeskiarvojen jakaumat sekä
otoskeskiarvojen erotuksen jakauma. Laske
todennäköisyys sille, että tyttöjen otoskeskiarvo on
suurempi kuin poikien.
![Page 131: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/131.jpg)
15.11.2018/17
~ 3450,520100
~ 3640,440200
~ 3450 3640,100100
+440200
~ 190, 3672 , > 0
= 1190
60,6= 1 3,14
= 0,0008
![Page 132: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/132.jpg)
15.11.2018/18
Esim. 4.2.4 Koneiden A ja B pitäisi valmistaa keskimäärin samanmittaisia tankoja. Molempien koneiden tuottamien tankojen pituuksissa X ja Y (cm) on jonkin verran vaihtelua, jota voidaan luonnehtia normaalijakaumalla, jonka varianssi on 0,20 cm2. Laadunvalvonnassa seurataan koneiden toimintaa ja valitaan satunnaisesti koneen A tuotannosta 20 ja koneen B tuotannosta 10 tankoa. Koneen A tuotannosta valittujen tankojen keskipituus on 40,0 cm ja koneelta B valittujen 39,5 cm. Tuottavatko koneet keskimäärin samanmittaisia tankoja?
![Page 133: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/133.jpg)
15.11.2018/19
~ 0,0,220
+0,210
,
,
( > 0,5 = 0,5 0,5
= 10,5 0
0,030,5 00,03
= 1 2,89 2,89 = 2 2 2,89= 0,0038
Eivät tuota keskimäärin samanmittaisia tankoja. Jos tuottaisivat, niin olisi harvinaista saada otokset, joiden keskiarvojen erotuksen itseisarvo olisi suurempi kuin 0,5 cm.
![Page 134: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/134.jpg)
20.11.2018/1
MTTTP5, luento 20.11.2018
Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
4) Olkoot X1, X2, . . . , Xn satunnaisotos ( , ):sta
ja Y1, Y2, . . . , Ym satunnaisotos ( , ):sta sekä
otokset riippumattomia.
Tällöin
~ , +
![Page 135: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/135.jpg)
20.11.2018/2
Esim. 4.2.4 Koneiden A ja B pitäisi valmistaa keskimäärin samanmittaisia tankoja. Molempien koneiden tuottamien tankojen pituuksissa X ja Y (cm) on jonkin verran vaihtelua, jota voidaan luonnehtia normaalijakaumalla, jonka varianssi on 0,20 cm2. Laadunvalvonnassa seurataan koneiden toimintaa ja valitaan satunnaisesti koneen A tuotannosta 20 ja koneen B tuotannosta 10 tankoa. Koneen A tuotannosta valittujen tankojen keskipituus on 40,0 cm ja koneelta B valittujen 39,5 cm. Tuottavatko koneet keskimäärin samanmittaisia tankoja?
![Page 136: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/136.jpg)
20.11.2018/3
Jos tuottaisivat keskimäärin samanmittaisia tankoja, niin
~ , , ja ~ , , , joten
~ 0, , + ,
,
.
![Page 137: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/137.jpg)
20.11.2018/4
Tällöin
( – > 0,5) = 0,5 – 0,5
= 10,5 0
0,030,5 00,03
= 1 2,89 2,89 = 2 2 2,89
= 0,0038 Eivät tuota keskimäärin samanmittaisia tankoja. Jos tuottaisivat, niin olisi harvinaista saada otokset, joiden keskiarvojen erotuksen itseisarvo olisi suurempi kuin 0,5 cm.
![Page 138: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/138.jpg)
20.11.2018/5
Luku 5 Parametrien estimointi
5.1 Piste-estimointi
Estimointi
populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla
Otossuure
satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
![Page 139: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/139.jpg)
20.11.2018/6
Otosjakauma
otossuureen todennäköisyysjakauma
Estimaattori
otossuure, jolla estimoidaan populaation tuntematonta parametria
Estimaattorin keskivirhe
estimaattorin keskihajonta
Estimaatti
estimaattorin arvo (tehdyn otoksen perusteella laskettu)
![Page 140: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/140.jpg)
20.11.2018/7
Miten estimaattori valitaan?
Mitä estimaattorista on tiedettävä?
Mikä on hyvä estimaattori?
Miksi on hyvä µ:n estimaattori?
Miksi p on hyvä :n estimaattori?
![Page 141: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/141.jpg)
20.11.2018/8
Esim. Jos populaatiossa viallisia %, niin viallisten
prosenttiosuus otoksessa
p ~ , , .
Siis E(p) = eli estimaattorin odotusarvo on estimoitava parametri. Tätä ominaisuutta kutsutaan harhattomuudeksi, p on :n harhaton estimaattori.
Estimaattorin p:n hajonta eli keskivirhe on ( ).
![Page 142: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/142.jpg)
20.11.2018/9
Esim. 5.1.2 E( ) = µ, joten on µ:n harhaton estimaattori, :n keskivirhe on .
Estimaattorilta vaadittavia ominaisuuksia
harhattomuus mahdollisimman pieni varianssi (tehokkain estimaattori)
tarkentuvuus eli otoskoon kasvaessa rajatta estimaattorin varianssi lähenee nollaa
![Page 143: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/143.jpg)
20.11.2018/10
Esim. 5.1.2 Voidaan osoittaa, että normaalijakauman tapauksessa on tehokkain µ:n estimaattori eli :lla on pienin varianssi harhattomien estimaattoreiden joukossa.
Esim. 5.1.3 E(S2) = 2
![Page 144: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/144.jpg)
20.11.2018/11
5.2 Luottamusvälejä
Parametria väliestimoidaan nk. luottamusvälin avulla.
Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että
P(Z z ) = . Vastaavalla tavalla z /2 siten, että
P(Z z /2) = /2.
![Page 145: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/145.jpg)
20.11.2018/12
Esim. z0,05 = 1,64, koska (1,64) = 0,9495
z0,025 = 1,96, koska (1,96) = 0,9750
z0,005 = 2,58, koska (2,58) = 0,9951
Ks.
http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp3/kevat2015/zalpha.pdf
![Page 146: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/146.jpg)
20.11.2018/13
5.2.1 Populaation odotusarvon luottamusväli
Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta,
missä 2 tunnettu.
Tällöin
~ , ja
= ~ 0, 1 ,
![Page 147: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/147.jpg)
20.11.2018/14
joten
= 1 .
Tästä saadaan
+ = 1
Satunnaisväli , + sisältää µ:n
todennäköisyydellä 1- . Tätä väliä kutsutaan populaation
odotusarvon µ 100(1 - ) %:n luottamusväliksi (kaava
4.1). Varmuus eli luottamustaso on 1 - .
![Page 148: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/148.jpg)
20.11.2018/15
Esim. 5.2.2 Sokerin pussituskone tuottaa pusseja, joiden paino vaihtelee normaalijakauman mukaisesti keskihajontana 2,5 g. Koneeseen tehdään säätöjä ja punnitaan 20 pussia. Näiden keskipainoksi saadaan 1002 g. Voidaanko päätellä, että kone tuottaa keskimäärin kilon pusseja?
![Page 149: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/149.jpg)
20.11.2018/16
95 %:n luottamusväli µ:lle, kun tunnettu,
± , / .
Saadaan
1002 ±1,96·2,5/ 20
1002 ± 1,1 eli (1000,9, 1003,1)
Luottamusväli ei sisällä kiloa. Päätellään, että kone ei tuota keskimäärin kilon pusseja.
![Page 150: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/150.jpg)
20.11.2018/17
Sama päättely 99 %:n luottamusvälin
1002 ±2,58·2,5/ 20
(1000,6, 1003,4)
perusteella.
![Page 151: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/151.jpg)
20.11.2018/18
Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta,
missä 2 tuntematon. Tällöin
= ~ .
Olkoon tdf Studentin t-jakaumaa noudattava
satunnaismuuttuja.
Määritellään t ,df siten, että P(tdf t ,df) = ja t 2,df
siten, että P(tdf t 2,df) = 2
![Page 152: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/152.jpg)
20.11.2018/19
Sivut 19-24 seuraavalle luennolle
Esim. 5.2.4
t0,05, 10 = 1,812, t0,05, 30 = 1,697
t0,01, 10 = 2,764, t0,01, 30 = 2,457
Satunnaismuuttujan = ~ perusteella voidaan
johtaa (kuten kaava 4.1) populaation odotusarvon µ
100(1 - ) %:n luottamusväli, kun 2 tuntematon.
Saadaan
± / , . kaava (4.2)
![Page 153: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/153.jpg)
20.11.2018/20
Esim. 5.2.5 Poikien keskimääräinen syntymäpituus (SAIDIT-aineisto) = 50,95, = 1,97, = 65, t0,05/2,64 2,000. Nyt 95 %:n luottamusväli on
50,95 ± , ;
1,9765
50,95 ± 2 · , .
Poikien keskipituuden arvellaan olevan välillä
(50,46, 51,44).
![Page 154: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/154.jpg)
20.11.2018/21
Esim. Cooperin testin tulos (CTESTI-aineisto), 15-vuotiaat, = 2534, s = 255, n = 28, t0,05/2,27 = 2,052, 95 %:n luottamusväli odotusarvolle
2534 ± 2,052 · eli väli (2435, 2633).
![Page 155: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/155.jpg)
20.11.2018/22
SPSS-tulos
![Page 156: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/156.jpg)
20.11.2018/23
Esim. 5.2.6 Keskimääräiset neliövuokrat Tampereen Hervannassa (2011), aineisto Tre_vuokra-asunnot_2011.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
= 12,32, s = 2,25, n = 26,
95 %:n luottamusväli odotusarvolle (11,41, 13,23)
![Page 157: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/157.jpg)
20.11.2018/24
SPSS-tulos
![Page 158: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/158.jpg)
22.11.2018/1
MTTTP5, luento 22.11.2018
Luottamusväli, määritelmä
Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos
P(A B) = 1 - .
![Page 159: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/159.jpg)
22.11.2018/2
5.2.1 Populaation odotusarvon luottamusväli (jatkoa)
Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta, missä 2 tunnettu. Tällöin populaation odotusarvon µ 100(1 - ) %:n luottamusväli on
± / . Kaava 4.1.
![Page 160: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/160.jpg)
22.11.2018/3
Olkoon X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta,
missä 2 tuntematon. Tällöin
= ~ .
Olkoon tdf Studentin t-jakaumaa noudattava
satunnaismuuttuja.
Määritellään t ,df siten, että P(tdf t ,df) = ja t 2,df
siten, että P(tdf t 2,df) = 2
![Page 161: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/161.jpg)
22.11.2018/4
Esim. 5.2.4
t0,05, 10 = 1,812, t0,05, 30 = 1,697
t0,01, 10 = 2,764, t0,01, 30 = 2,457
Satunnaismuuttujan = ~ perusteella voidaan
johtaa (kuten kaava 4.1) populaation odotusarvon µ
100(1 - ) %:n luottamusväli, kun 2 tuntematon.
Saadaan
± / , . kaava (4.2)
![Page 162: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/162.jpg)
22.11.2018/5
Esim. 5.2.5 Poikien keskimääräinen syntymäpituus (SAIDIT-aineisto) = 50,95, = 1,97, = 65, t0,05/2,64 2,000. Nyt 95 %:n luottamusväli on
50,95 ± , ;
1,9765
50,95 ± 2 · , .
Poikien keskipituuden arvellaan olevan välillä
(50,46, 51,44).
![Page 163: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/163.jpg)
22.11.2018/6
Esim. 5.2.6 Keskimääräiset neliövuokrat Tampereen Hervannassa (2011), aineisto Tre_vuokra-asunnot_2011.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
= 12,32, s = 2,25, n = 26,
95 %:n luottamusväli odotusarvolle (11,41, 13,23)
![Page 164: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/164.jpg)
22.11.2018/7
SPSS-tulos
![Page 165: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/165.jpg)
22.11.2018/8
SPSS-ohjeet:
Neliövuokra: Transform -> Compute -> Neliövuokra = Vuokra/Neliöt
Vain Hervanta analyyseihin: Data -> Select Cases -> If condition is satisfied -> Alue=8 (tai Kaupunginosa='Hervanta')
Luottamusväli: Analyze -> Compare Means -> One-Sample T Test -> Test Variable Neliövuokra
![Page 166: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/166.jpg)
22.11.2018/9
Esim. Eräs yritys tarjoaa valmennuskurssia yliopistoon pyrkijöille. Yritys haluaa tutkia kurssinsa tehokkuutta. Tutkitaan pareja, joilla on samanlaiset lähtötiedot. Toinen osallistuu valmennuskurssille, toinen ei. Saadaan aineisto, jossa pyrkijöiden valintakoepisteet.
Osallistui Ei osallistunut Erotus D Pari 1 82 75 7 Pari 2 73 71 2 Pari 3 59 52 7 Pari 4 48 46 2 Pari 5 69 70 -1 Pari 6 93 83 10
![Page 167: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/167.jpg)
22.11.2018/10
Tarkastellaan erotusta D, muodostetaan sen odotusarvolle luottamusväli, joka on
± / ,
=(7+2+7+2-1+10)/6=4,5
=7 + 2 + 7 + 2 + 1 + 10 4,5
1= 17,1
95 %:n luottamusväli on 4,5 ± 2,571 · , eli väli (0,16, 8,84). Erotuksen odotusarvon ei siis ajatella olevan nolla, joten valmennuskurssilla on vaikutusta.
![Page 168: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/168.jpg)
22.11.2018/11
http://vassarstats.net/-> t-Tests & Procedures
VassarStats Printable Report 0.95 and 0.99 Confidence Intervals for the Estimated Mean of a Population Thu Jan 15 2015 16:07:22 GMT+0200 (FLE Standard Time)
Values entered: X = {7,2,7,2,-1,10} Summary Values:
N = 6
- X = 27
- X2 = 207
mean = 4.5
variance = 17.1
std. dev. = 4.1352
std. error = 1.6882
df = 5
tcrit(.05) = 2.57
tcrit(.01) = 4.03 Confidence Intervals for Estimated Mean of Population
For .95 CI: 4.5±4.3387
For .99 CI: 4.5±6.8034
![Page 169: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/169.jpg)
22.11.2018/12
SPSS-tulosteet
![Page 170: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/170.jpg)
22.11.2018/13
5.2.2 Prosentuaalisen osuuden luottamusväli
Jos populaatiossa viallisia %, niin viallisten
prosenttiosuus otoksessa
p ~ , , .
Tällöin
=(100 )/
~ 0, 1 , .
![Page 171: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/171.jpg)
22.11.2018/14
Tämän perustella saadaan :n 100(1 - ) %:n luottamusväli
± / . Kaava 4.3.
![Page 172: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/172.jpg)
22.11.2018/15
Esim. Ruletissa 37 numeroa, joista pyöritettäessä jokaisella pitäisi olla sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Pelipaikka voittaa numerolla nolla. Rulettia pyöritetään 3700 kertaa. Saadaan nollia 140 eli 3,78 %. Toimiiko ruletti oikein?
Lasketaan 99 %:n luottamusväli nollien % -osuudelle. Nyt = 0,01, z0,01/2 = z0,005= 2,57, koska (2,57) = 0,9949, p = (140/3700)·100 = 3,78, luottamusväli
3,78 ± 2,57 , , .
![Page 173: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/173.jpg)
22.11.2018/16
Nollien prosenttiosuuden arvellaan olevan välillä 2,97–4,59.
Jos ruletti toimisi oikein, niin nollia pitäisi tulla (1/37)·100 % = 2,70 %. Tämä ei kuulu luottamusvälille, joten päätellään ruletin toimivan väärin.
Jos laskettaisiin 95 %:n luottamusväli, saataisiin väli (3,17, 4,39).
![Page 174: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/174.jpg)
22.11.2018/17
Esim. Hyväkuntoisten osuus myydyistä kolmioista, aineisto Tre_myydyt_kolmiot_2010.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
95 %:n luottamusväli on 69 ± 1,96
Hyväkuntoisten % -osuuden arvellaan olevan välillä 62,1 – 75,9.
![Page 175: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/175.jpg)
22.11.2018/18
Esim. Hyväkuntoisten osuus myydyistä kolmioista sijainnin mukaan tarkasteltuna
![Page 176: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/176.jpg)
22.11.2018/19
95 %:n luottamusväli
Keskusta: 76,7 ± 1,96 , , eli 61,5 – 91,9
Kaleva, Amuri, Pyynikki:56,8 ± 1,96 , ,
eli 40,8 – 72,8.
![Page 177: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/177.jpg)
22.11.2018/20
SPSS-ohjeet:
Frekvenssijakauma:
Analyze -> Descriptive Statistics -> Frequencies -> Kunto
Ristiintaulukko:
Analyze -> Descriptive Statistics -> Crosstabs -> Row(s) -> Kunto, Column(s) -> Sijainti -> Cells… prosenttijakaumat
![Page 178: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/178.jpg)
22.11.2018/21
5.2.3 Kahden populaation odotusarvojen erotuksen luottamusväli
Esim. Kolmioiden keskineliöhinnat ja keskineliöhintojen luottamusvälit sijainnin mukaan tarkasteltuna
![Page 179: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/179.jpg)
22.11.2018/22
Luottamusväli keskustassa
2598,71 ± , / ; , = 2598,71 ± 2,045 · 94,51.
![Page 180: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/180.jpg)
22.11.2018/23
Luottamusvälit graafisesti:
![Page 181: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/181.jpg)
22.11.2018/24
Esim. Kolmioiden keskineliöhinnat, kahden sijainnin vertailu, luottamusväli odotusarvojen erotukselle
![Page 182: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/182.jpg)
22.11.2018/25
SPSS-ohjeet:
Neliöhinta: Transform -> Compute -> Neliöhinta = Hinta/Neliöt
Luottamusväli: Analyze -> Compare Means -> Independent-Samples T Test -> Test Variable(s): Neliöhinta, Grouping Variable: Sijainti: Group 1: 1 (Keskusta), Group 2: 2 (Kaleva, Amuri, Pyynikki)
![Page 183: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/183.jpg)
22.11.2018/26
X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ1, ):sta,
Y1, Y2, . . . , Ym on satunnaisotos N(µ2, ):sta.
Oletetaan, että varianssit tunnettuja ja satunnaisotokset
riippumattomia. Tällöin otoskeskiarvojen erotus
~ , + , joten
( )
+~ 0, 1 .
![Page 184: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/184.jpg)
22.11.2018/27
Tästä voidaan johtaa 100(1 - ) %:n luottamusväli
erotukselle (µ1- µ2). Luottamusväliksi saadaan
± / + . Kaava 4.4.
![Page 185: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/185.jpg)
22.11.2018/28
Jos varianssit tuntemattomia, mutta voidaan olettaa,
että = , niin 100(1 - ) %:n luottamusväli
erotukselle (µ1- µ2) on
± , + Kaava 4.5.
Tuntematonta varianssia estimoidaan otosvarianssien
avulla
= ( ) = .
![Page 186: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/186.jpg)
22.11.2018/29
Esim. Kolmioiden keskineliöhinnat, kahden sijainnin vertailu
![Page 187: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/187.jpg)
27.11.2018/1
MTTTP5, luento 27.11.2018
5.2.3 Kahden populaation odotusarvojen erotuksen luottamusväli (kertausta)
Kun = tuntemattomia, niin 100(1 - ) %:n
luottamusväli odotusarvojen erotukselle (µ1- µ2), on
± / ; + Kaava 4.5.
=1 + ( 1)
+ 2
![Page 188: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/188.jpg)
27.11.2018/2
Esim. 5.2.11 Miesten ja naisten musikaalisuus.
![Page 189: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/189.jpg)
27.11.2018/3
Luku 6
Hypoteesien testaus
Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja:
Perunalastupussien keskimääräinen paino?
H0 : µ = µ0 Nollahypoteesi
H1 : µ < µ0 Vaihtoehtoinen hypoteesi
(yksisuuntainen)
![Page 190: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/190.jpg)
27.11.2018/4
Virheellisten komponenttien osuus tuotannossa?
H0 : = 0 Nollahypoteesi
H1 : > 0 Vaihtoehtoinen hypoteesi
(yksisuuntainen)
![Page 191: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/191.jpg)
27.11.2018/5
Asuntojen keskimääräisen neliöhinnat keskustassa ja lähiössä?
H0 : µ1 = µ2 Nollahypoteesi
H1 : µ1 > µ2 Vaihtoehtoinen hypoteesi
(yksisuuntainen)
![Page 192: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/192.jpg)
27.11.2018/6
Esim. Perunalastupussien valmistaja ilmoittaa pussien keskipainoksi 340 g. Oletetaan painon vaihtelun olevan normaalijakautunut hajontana 10 g. Tutkitaan väitettä ja tehdään 9 alkion satunnaisotos. Otoskeskiarvoksi saadaan 336 g.
H0 : µ = 340 g Tilastollinen hypoteesi
H1 : µ < 340 g
Jos H0 on tosi, niin ~ 340, .
![Page 193: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/193.jpg)
27.11.2018/7
Tällöin
=/
~ 0, 1 Otossuure, jonka
jakauma tunnetaan, kun
H0 tosi. Otossuureesta
käytetään nimitystä
testisuure.
![Page 194: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/194.jpg)
27.11.2018/8
=/
1,2 Testisuureen arvo
otoksesta laskettuna,
päättely tämän
perusteella
![Page 195: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/195.jpg)
27.11.2018/9
Hyväksytäänkö vai hylätäänkö nollahypoteesi H0?
Hyväksytään H0, jos otoksesta laskettu
testisuureen arvo kuuluu tavanomaisiin arvoihin.
Jos otoksesta laskettu testisuureen arvo kuuluu
harvinaisiin arvoihin, niin H0 hylätään ja H1
hyväksytään.
![Page 196: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/196.jpg)
27.11.2018/10
Mikä on harvinaista?
Testisuure noudattaa H0:n ollessa tosi
standardoitua normaalijakaumaa, joten
harvinaisina arvoina voidaan pitää esimerkiksi
-1,65 = -z0,05 pienempiä arvoja. Jos tehdään näin,
niin suoritetaan testaus 5 %:n merkitsevyys- eli
riskitasolla, ja hyväksytään H0.
![Page 197: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/197.jpg)
27.11.2018/11
![Page 198: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/198.jpg)
27.11.2018/12
Usein riskitaso =0,05, 0,025, 0,01, 0,001
Voidaan määrittää myös pienin riskitaso, jolla H0
voidaan hylätä. Tätä kutsutaan p–arvoksi.
Nyt jos H0 tosi, niin P(Z -1,2) = 1 – (1,2) =
0,1151 = p-arvo.
Tätä suuremmilla riskeillä H0 voidaan hylätä. Ei
oteta näin suurta riskiä!
![Page 199: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/199.jpg)
27.11.2018/13
Testaukseen liittyvät virhetodennäköisyydet
Todellinen tilanne
H0 tosi H0 epätosi
H0 hyväksytään 1 –
2. lajin virhe
H0 hylätään 1 -
1. lajin virhe testin voimakkuus
![Page 200: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/200.jpg)
27.11.2018/14
6.1 Erilaisia testejä
6.1.1 Yhden populaation odotusarvoa koskeva päättely
H0 : µ = µ0
Olk. X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, ):sta, missä tunnettu.
![Page 201: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/201.jpg)
27.11.2018/15
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ 0, 1 .
![Page 202: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/202.jpg)
27.11.2018/16
Jos H1 : µ µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav > z /2.
![Page 203: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/203.jpg)
27.11.2018/17
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on 2P(Z> zhav ).
![Page 204: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/204.jpg)
27.11.2018/18
Jos H1 : µ > µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav > z .
![Page 205: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/205.jpg)
27.11.2018/19
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z>zhav).
![Page 206: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/206.jpg)
27.11.2018/20
Jos H1 : µ < µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav < -z .
![Page 207: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/207.jpg)
27.11.2018/21
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z<zhav).
![Page 208: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/208.jpg)
27.11.2018/22
Esim. Valtakunnallisessa matematiikan kokeessa tulospistemäärä on noudattanut normaalijakaumaa parametrein 64 ja 64. Eräänä vuonna erään koulun 54 oppilaan keskiarvo oli 68. Voidaanko koulua pitää poikkeavana?
H0 : µ = 64
H1 : µ > 64
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ 0, 1 . Tässä siis =64/
~ 0, 1 .
![Page 209: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/209.jpg)
27.11.2018/23
Otoksesta saadaan
. /3,67.
![Page 210: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/210.jpg)
27.11.2018/24
Esim. Tutkija olettaa, että reagointiaika erääseen ärsykkeeseen on keskimäärin alle 6 sekuntia. Mitattiin 25 henkilön reagointiajat ja saatiin keskiarvoksi 5,2 s. Oletetaan, että reagointiaika on normaalisti jakautunut hajontana 2 s. Onko tutkija oikeassa?
H0 : µ = 6
H1 : µ < 6
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ 0, 1 . Tässä µ0 = 6, = 2.
![Page 211: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/211.jpg)
27.11.2018/25
Saadaan
. = ,/
2.
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z<-2) = 1-
(2) = 1 – 0,9772 = 0,0228. Jos valitaan riskitaso, joka
on tätä suurempi, niin H0 hylätään ja H1 hyväksytään
(tutkija oikeassa). Jos valitaan esim. 2 %:n riskitaso, H0
hyväksytään. Päätellään, että tukija väärässä.
![Page 212: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/212.jpg)
27.11.2018/26
Päättely taulukkoarvojen perusteella:
Jos valitaan 5 %:n riskitaso, niin harvinaisten arvojen
raja on –z0,05= -1,65. Koska -2 < -1,65, niin H0
hylätään ja H1 hyväksytään.
Jos valitaan 1 %:n riskitaso, niin harvinaisten arvojen
raja on –z0,01= -2,33. Koska -2 > -2,33, niin H0
hyväksytään.
![Page 213: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/213.jpg)
29.11.2018/1
MTTTP5, luento 29.11.2018
Kertausta
H0 : µ = µ0
Olk. X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, ):sta, missä tunnettu. Jos H0 on tosi, niin
=/
~ 0, 1 . Kaava 5.1
![Page 214: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/214.jpg)
29.11.2018/2
Esim. Riisipussien pakkauskoneen pitäisi tuottaa keskimäärin kilon pusseja. Painon oletetaan vaihtelevan normaalijakauman mukaisesti keskihajonnan ollessa 2,1 g. Tutkitaan koneen toimivuutta. Punnitaan satunnaisesti valitut 20 pussia, joiden keskipainoksi saadaan 1001 g. Toimiiko kone oikein?
H0 : µ = 1000
H1 : µ 1000
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ 0, 1 .
![Page 215: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/215.jpg)
29.11.2018/3
Saadaan
. =, /
= 2,13
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on 2P(Z>2,13) =
2(1- (2,13)) = 2(1 – 0,9834) = 0,0338. Jos valitaan
riskitaso, joka on tätä suurempi, niin H0 hylätään ja H1
hyväksytään (päätellään: kone ei toimi oikein). Jos
valitaan esim. 1 %:n riskitaso, H0 hyväksytään
(päätellään: kone toimii oikein).
![Page 216: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/216.jpg)
29.11.2018/4
Päättely taulukkoarvojen perusteella:
Jos valitaan 5 %:n riskitaso, niin harvinaisten arvojen
raja on z0,05/2= 1,96. H0 hylätään, H1 hyväksytään.
Jos valitaan 1 %:n riskitaso, niin harvinaisten arvojen
raja on z0,01/2= 2,57. H0 hyväksytään.
![Page 217: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/217.jpg)
29.11.2018/5
6.1.1 Yhden populaation odotusarvoa koskeva päättely (jatkoa)
H0 : µ = µ0
Olk. X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, ):sta, missä tuntematon.
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ . Kaava 5.2
![Page 218: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/218.jpg)
29.11.2018/6
Jos H1 : µ µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu thav. > t /2, n-1.
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on
2P(t n-1 thav. ).
![Page 219: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/219.jpg)
29.11.2018/7
Jos H1 : µ > µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu thav. > t n-1
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on
P(tn-1 > thav).
![Page 220: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/220.jpg)
29.11.2018/8
Jos H1 : µ < µ0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu thav. < -t n-1
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on
P(tn-1< thav.).
![Page 221: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/221.jpg)
29.11.2018/9
Esim. 6.1.3 Lepakot paikallistavat hyönteisiä
lähettämällä korkeataajuista ääntä. Kaiun kuulemiseen
kuluvan ajan perusteella ne pystyvät paikallistamaan
hyönteiset. Tutkijat arvelivat, että keskimääräinen
tunnistusmatka voisi olla yli 35 cm. He keräsivät
aineiston mitaten etäisyydet (cm), joista lepakot löysivät
hyönteisiä. Mitatut etäisyydet olivat 62, 52, 68, 23, 34,
45, 27, 42, 83, 56, 40. Voidaanko saatujen tulosten
perusteella pitää tutkijoiden arvioita oikeana?
![Page 222: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/222.jpg)
29.11.2018/10
H0 : µ = 35
H1 : µ > 35
Jos H0 on tosi, niin
=/
~ .
Saadaan
=48,36, s = 18,085, . = ,, /
= 2,450
![Page 223: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/223.jpg)
29.11.2018/11
Koska thav. = 2,450 < t0,01;10 = 2,764, H0 hyväksytään 1 % riskitasolla.
Koska thav. = 2,450 > t0,025;10 = 2,228, H0 hylätään 2,5 % riskitasolla
Siis 0,01 < p < 0,025 (SPSS: 0,034/2 = 0,017)
SPSS-ohjeet:
Analyze -> Compare Means -> One-Sample T Test -> Test Variable Matka, Test Value 35
![Page 224: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/224.jpg)
29.11.2018/12
SPSS-tulostus
![Page 225: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/225.jpg)
29.11.2018/13
Esim. Valmistaja ilmoittaa kynttilöittensä
keskimääräiseksi palamisajaksi 9,5 tuntia. Tutkit asiaa ja
teet valmistajan kynttilöistä 6 kynttilän
satunnaisotoksen. Mittaat näiden palamisajat ja saat
keskiarvoksi 8,8 tuntia ja keskihajonnaksi 0,48 tuntia.
Voitko uskoa valmistajan väitteen?
H0 : µ = 9,5
H1 : µ < 9,5
![Page 226: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/226.jpg)
29.11.2018/14
Jos H0 on tosi, niin =/
~ . Nyt µ0 = 9,5, n = 6,
=8,8, s = 0,48, . = , ,, /
= 3,57.
H0 hyväksytään 0,5 % riskitasolla, koska
thav. = -3,57 > -t0,005,5 = -4,032
t0,01,5 = 3,365 H0 hylätään 1 %:n riskitasolla, koska
thav. = -3,57 < -t0,01,5 = -3,365.
![Page 227: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/227.jpg)
29.11.2018/15
Siis 0,005 < p < 0,01
![Page 228: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/228.jpg)
29.11.2018/16
Esim. Tutkittiin pH-mittarin toimivuutta. Mitattiin 14
neutraalin (pH = 7) liuoksen pH-arvot, joiksi saatiin
7,01, 7,04, 6,97, 7,00, 6,99, 6,97, 7,04, 7,04, 7,01,
7,00, 6,99, 7,04, 7,07, 6,97. Toimiiko mittari oikein?
H0 : µ = 7
H1 : µ 7
Jos H0 on tosi, niin =/
~ . Nyt µ0 = 7, n = 14,
=7,01, s = 0,03162, . = ,, /
= 1,183.
![Page 229: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/229.jpg)
29.11.2018/17
Jos valitaan = 0,05, niin t0,05/2;13 = t0,025;13 = 2,160.
H0 hyväksytään 5 %:n riskitasolla, koska
-2,160 < thav. < 2,160.
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on > 0,05.
Laskurin http://vassarstats.net/ tulos http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp5/syksy2015/pH_mittari.pdf
![Page 230: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/230.jpg)
29.11.2018/18
SPSS-tulostus
![Page 231: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/231.jpg)
29.11.2018/19
Esim. Eräs yritys tarjoaa valmennuskurssia yliopistoon pyrkijöille. Yritys haluaa tutkia kurssinsa tehokkuutta. Tutkitaan pareja, joilla on samanlaiset lähtötiedot. Toinen osallistuu valmennuskurssille, toinen ei. Saadaan aineisto, jossa pyrkijöiden valintakoepisteet. Onko kurssi tehokas?
Osallistui Ei osallistunut Erotus d Pari 1 82 75 7 Pari 2 73 71 2 Pari 3 59 52 7 Pari 4 48 46 2 Pari 5 69 70 -1 Pari 6 93 83 10
![Page 232: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/232.jpg)
29.11.2018/20
Tutkitaan, onko erotus peräisin jakaumasta, jonka odotusarvo nolla. Siis
H0 : µD = 0
H1 : µD > 0
Jos H0 on tosi, niin =/
~ . Nyt = 27,
= 207, = 4,5SSd = 207 – 272/6 = 85,5, s =
4,135, . = ,, /
= 2,666.
t0,025;5 = 2,571, t0,01;5 = 3,365, joten 0,01 < p <0,025
![Page 233: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/233.jpg)
29.11.2018/21
Ks. SPSS-tuloste
![Page 234: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/234.jpg)
3.12.2018/1
MTTTP5, luento 3.12.2018
6.1.2 Yhdessä populaatiossa tietyn tyyppisten alkioiden prosentuaalista osuutta koskeva päättely
H0 : = 0
Oletetaan, että populaatiossa viallisia %. Olkoon X1,
X2, . . . , Xn satunnaisotos tästä populaatiosta.
![Page 235: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/235.jpg)
3.12.2018/2
Jos H0:n on tosi, niin viallisten prosenttiosuus otoksessa
p ~ , , ,
joten
=(100 )/
~ 0, 1 , .
![Page 236: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/236.jpg)
3.12.2018/3
Jos H1 : 0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav > z /2.
![Page 237: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/237.jpg)
3.12.2018/4
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on 2P(Z> zhav ).
![Page 238: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/238.jpg)
3.12.2018/5
Jos H1 : > 0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav > z .
![Page 239: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/239.jpg)
3.12.2018/6
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z>zhav).
![Page 240: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/240.jpg)
3.12.2018/7
Jos H1 : < 0 , niin H0 hylätään riskitasolla , jos otoksesta laskettu zhav < -z .
![Page 241: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/241.jpg)
3.12.2018/8
Pienin riskitaso p, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z<zhav).
![Page 242: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/242.jpg)
3.12.2018/9
Esim. 6.1.6. Ystäväsi väittää, että suomalaisista on 10% vasenkätisiä. Tutkit asiaa ja valitset satunnaisesti 400 suomalaista, joista vasenkätisiä on 47. Uskotko ystäväsi väitteen?
H0 : = 10
H1 : > 10
Jos Ho tosi,
=10
10(100 10)/~ 0, 1 , .
![Page 243: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/243.jpg)
3.12.2018/10
Otoksesta laskettu z:n arvo on
=11,75 10
10(100 10)/400= 1,17
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä yksisuuntaisessa testissä, on P(Z > 1,17) = 1 – (1,17) = 1 – 0,8790 = 0,121. Uskotaan siis ystävän väite. Jos valitaan 5 %:n riskitaso, niin yksisuuntaisessa testissä kriittinen arvo on z0,05 = 1,64 (koska (1,64) = 0,9495) ja kaksisuuntaisessa testissä z0,05/2 = 1,96 (koska (1,96) = 0,975).
![Page 244: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/244.jpg)
3.12.2018/11
Esim. Ruletissa on 37 numeroa, joista pyöritettäessä jokaisella pitäisi olla sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Pelipaikka voittaa numerolla nolla. Rulettia pyöritetään 3700 kertaa. Saadaan nollia 140 eli 3,78 %. Toimiiko ruletti oikein?
H0 : = 100·1/37 H1 : > 100·1/37
Jos H0 tosi, niin
=10037
10037 (100 100
37 )/~ 0, 1 , .
![Page 245: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/245.jpg)
3.12.2018/12
Otoksesta laskettu z:n arvo on
=14037
10037
10037 (100 100
37 )/37004,06
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä yksisuuntaisessa testissä, on P(Z > 4,06) = 1 – (4,06) 0. Ruletti ei toimi oikein.
![Page 246: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/246.jpg)
3.12.2018/13
Esim. 6.1.7. Öljy-yhtiö väittää, että erään kaupungin asunnoista 20 % lämmitetään öljyllä. Onko kuitenkin syytä olettaa, että vähemmän kuin viidesosa asunnoista lämmitetään öljyllä, jos 1000 satunnaisesti valitusta kaupungin asunnosta vain 160 lämmitettiin öljyllä? Nyt
H0: = 20 H1: < 20.
Jos H0 tosi, niin
=20
20(100 20)/~ 0, 1 , .
![Page 247: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/247.jpg)
3.12.2018/14
Aineiston perusteella testisuureen arvoksi saadaan
08,316,31000/)20100(20
2016001,0zz
.
H0 hylätään 0,1 %:n riskitasolla. Päätellään, että alle viidesosa lämmitetään öljyllä. Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z < -3,16) = 1 - (3,16) = 1 – 0,9992 = 0,0008.
![Page 248: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/248.jpg)
3.12.2018/15
Esim. Aiempien tutkimusten perusteella 20 % kahvin juojista valitsi kahvin hinnan perusteella. Haluttiin selvittää, onko ostokäyttäytymisessä tapahtunut muutosta. Kysyttiin valinnan perusteita 100 kahvin juojalta. Päätellään muutosta tapahtuneen, jos p > 28 % (p = otoksessa valintansa hinnan perusteella tekevien %-osuus). Mikä on tällöin testissä käytetty ?
H0: = 20
Jos H0 tosi, niin p ~ 20, , .
![Page 249: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/249.jpg)
3.12.2018/16
Käytetty riskitaso
= P(H0 hylätään, kun se on tosi)
= P(p > 28, kun = 20)
= 1 – P(p 28, kun = 20)
= 1 – (( )/
) = 1 – (2) = 0,0228
![Page 250: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/250.jpg)
3.12.2018/17
Esim. Verkkokauppa pyrkii toimimaan siten, että tuotteet lähetetään kolmen työpäivän kuluttua tilauksesta. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista. Verkkokauppa haluaa toimia siten, että satunnaisia viivästymisiä voi olla 10 %. Viimeisen kuukauden ajalta satunnaisesti valituista 150 tilauksesta 21 lähetettiin myöhässä. Verkkokauppa toteaa, että lähetyksissä ei ole 10 % suurempaa viivästymistä. Millä riskitasolla päättely on voitu tehdä?
H0: = 10 H1: > 10
![Page 251: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/251.jpg)
3.12.2018/18
Jos Ho tosi,
=10
10(100 10)/~ 0, 1 , .
Aineiston perusteella testisuureen arvoksi saadaan
63,1150/)10100(10
1014z.
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on P(Z > 1,63) = 1 - (1, 63) = 1 – 0,9484 = 0,0516. Päättely on voitu tehdä esim. 5 %:n riskitasolla.
![Page 252: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/252.jpg)
3.12.2018/19
6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu
H0 : = 2 tai H0 - 2 = 0
X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ1, ):sta,
Y1, Y2, . . . , Ym on satunnaisotos N(µ2, ):sta.
Oletetaan, että varianssit tunnettuja ja satunnaisotokset
riippumattomia.
![Page 253: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/253.jpg)
3.12.2018/20
Kun H0 on tosi, niin
= +
~ 0, 1 .
Tätä käytetään testisuureena, päättely kuten
aiemminkin normaalijakaumaa noudattavien
testisuureiden tapauksissa.
![Page 254: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/254.jpg)
3.12.2018/21
Esim. Hedelmien viljelijä tietään pitkäaikaisen seurannan perusteella, että samanlaisissa olosuhteissa viljeltyinä lajike A ja B tuottavat keskimäärin yhtä suuren sadon. Lisäksi molempien lajikkeiden sadon vaihtelu on normaalisti jakautunut varianssina 66 g2. Viljelijä ottaa käyttöön uudet viljelyalueet. Hän epäilee, että uudet kasvumaat eivät enää tuota keskimäärin samansuuruisia satoja. Hän valitsee satunnaisesti molempien lajikkeista sadoista 25 saaden lajikkeen A sadon keskiarvoiksi 116 g ja lajikkeen B sadon keskiarvoksi 111 g. Onko viljelijän epäily aiheellista?
![Page 255: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/255.jpg)
3.12.2018/22
Aseta tilanteeseen sopiva H0 ja H1. Suorita testaus 1 %:n
riskitasolla. Laske pienin riskitaso, jolla H0 voidaan
hylätä.
H0 : = 2
H1 : 2
Kun H0 tosi, niin = ~ 0, 1 ,
![Page 256: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/256.jpg)
3.12.2018/23
. = 116 111
6625 + 66
25
= 2,18.
Koska z0,01/2 = 2,58, niin H0 hyväksytään 1 %:n
riskitasolla. Viljelijän epäily ei aiheellinen. Pienin
riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on
2(1 - P(Z < 2,18)) = 2(1 - (2,18))
= 2(1 – 0,9854) = 0,0292.
![Page 257: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/257.jpg)
4.12.2018/1
MTTTP5, luento 4.12.2018
6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa)
Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
![Page 258: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/258.jpg)
4.12.2018/2
y = kaksion koko x = sijainti (keskusta/ei-keskusta) Y = tehopisteet x = pelipaikka (puolustaja/hyökkääjä) y = lumilaudan hinta x = kenelle tarkoitettu (miehille/naisille)
![Page 259: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/259.jpg)
4.12.2018/3
H0 : = 2 tai H0 - 2 = 0
X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ1, ):sta,
Y1, Y2, . . . , Ym on satunnaisotos N(µ2, ):sta.
Oletetaan, että varianssit tunnettuja ja satunnaisotokset
riippumattomia. Kun H0 on tosi, niin
= +
~ 0, 1 .
![Page 260: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/260.jpg)
4.12.2018/4
Tätä käytetään testisuureena, päättely kuten aiemminkin normaalijakaumaa noudattavien testisuureiden tapauksessa.
Variansseja ei useinkaan tunneta. Jos oletetaan ne tuntemattomiksi mutta yhtä suuriksi, niin H0:n ollessa tosi
= ~ ( + 2),
= ( )
![Page 261: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/261.jpg)
4.12.2018/5
Tätä käytetään testisuureena, päättely tehdään kuten aiemminkin t-jakaumaa noudattavien testisuureiden tapauksessa.
Oletusta varianssien yhtäsuuruudesta voidaan testata. SPSS tulostaa tähän liittyvän p-arvon.
![Page 262: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/262.jpg)
4.12.2018/6
Esim. 6.1.9 Lepopulssi
![Page 263: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/263.jpg)
4.12.2018/7
Analyze -> Compare Means -> Independent-Samples T Test -> Test Variable(s): Lepopulssi, Grouping Variable: Sukupuoli: Group 1: 1 (Mies), Group 2: 2 (Nainen)
![Page 264: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/264.jpg)
4.12.2018/8
Esim. 6.1.10 Testi lasten kehityshäiriön tunnistamiseen
Suoritusajat testissä ryhmittäin:
Normaali 204, 218, 197, 183, 227, 233, 191
Kehityshäiriö 243, 228, 261, 202, 343, 242, 220, 239
H0 : = K
H1 : < K
![Page 265: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/265.jpg)
4.12.2018/9
= 204 +… + 191 = 1453
= 2042 + … + 1912 = 303737
SSN = 303737 – 7·(1453/7)2 = 2135,714
= 243 +… + 239 = 1978
= 2432 + … + 2392 = 501692
SSK = 501692 – 8·(1978/8)2 = 12631,5
=2135,714 + 12631,5
7 + 8 2= 1135,94, = 33,7
![Page 266: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/266.jpg)
4.12.2018/10
. =1453
71978
8
33,7 17 + 1
8
= 2,28
-t0,01;13 = -2,65 < thav. < -2,16 = -t0,025;13
H0 voidaan hylätään 2,5 %:n riskitasolla, mutta ei 1 %:n riskitasolla.
![Page 267: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/267.jpg)
4.12.2018/11
SPSS-tulos
![Page 268: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/268.jpg)
4.12.2018/12
![Page 269: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/269.jpg)
4.12.2018/13
Esim. Ovatko kaksiot keskimäärin erikokoisia Tampereen eri alueilla? Aineisto: Tre_myydyt_kaksiot_2016.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
![Page 270: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/270.jpg)
4.12.2018/14
Ei eroja:
![Page 271: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/271.jpg)
4.12.2018/15
On eroja:
![Page 272: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/272.jpg)
4.12.2018/16
Esim. Eräs yritys valmistaa 10 metrin teräskaapeleita tehtaissa X ja Y. Tarkasteltiin kaapeleiden murtolujuuksia (kilonewtoneina). Tehtaan X tuotannosta valittiin satunnaisesti 9 ja tehtaan Y tuotannosta 16 kaapelia, joiden murtolujuudet mitattiin. Saatiin tulokset:
Tehdas X: = 30,11, = 0,8013
Tehdas Y: = 29,63, = 3,0206
Asetetaan
H0 : X = Y
H1 : X Y
![Page 273: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/273.jpg)
4.12.2018/17
Nyt
=0,8013 + 3,0206
9 + 16 2= 0,1662, = 0,4076
. =30,11 29,63
0,4076 19 + 1
16
= 2,83
Pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä, on 0,0047x2 = 0,0094, ks. http://stattrek.com/online-calculator/t-distribution.aspx tai http://onlinestatbook.com/2/calculators/t_dist.html
Keskimääräisissä murtolujuuksissa on siis eroja.
![Page 274: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/274.jpg)
4.12.2018/18
Yhteenveto kurssin sisällöstä, joitain esimerkkejä
Todennäköisyyslaskentaa
satunnaisilmiö ja tapahtuma klassinen todennäköisyys todennäköisyyslaskennan aksioomat ja laskusääntöjä kombinatoriikkaa
![Page 275: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/275.jpg)
4.12.2018/19
Todennäköisyysjakaumia
satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma diskreetti satunnaismuuttuja jatkuva satunnaismuuttuja odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia joitain todennäköisyysjakaumia
Bernoulli-jakauma binomijakauma diskreetti tasajakauma jatkuva tasajakauma normaalijakauma t-jakauma
![Page 276: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/276.jpg)
4.12.2018/20
Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma
Esim. Jos populaatiossa viallisia %, niin viallisten
prosenttiosuus otoksessa
p ~ , , .
Esim.
Jos X1, X2, . . . , Xn on satunnaisotos N(µ, 2):sta, niin
~ , .
![Page 277: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/277.jpg)
4.12.2018/21
Esim.
Olkoot X1, X2, . . . , Xn satunnaisotos ( , ):sta ja
Y1, Y2, . . . , Ym satunnaisotos ( , ):sta sekä
otokset riippumattomia.
Tällöin
~ , +
![Page 278: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/278.jpg)
4.12.2018/22
Parametrien estimointi
piste-estimointi estimaattori, estimaattorin ominaisuudet, estimaattorin keskivirhe
luottamusvälit (väliestimointi)
![Page 279: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/279.jpg)
4.12.2018/23
:lle
Aineisto Lumilaudat.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
Miesten lumilautojen keskihinta
![Page 280: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/280.jpg)
4.12.2018/24
![Page 281: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/281.jpg)
4.12.2018/25
:lle
Aineisto Audi_A6.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
Diesel-autojen osuus
![Page 282: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/282.jpg)
4.12.2018/26
![Page 283: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/283.jpg)
4.12.2018/27
( 1 – 2):lle
Aineisto Plasma.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
Onko keskimääräisissä kolesterolimäärissä eroja miehillä ja naisilla?
![Page 284: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/284.jpg)
4.12.2018/28
![Page 285: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/285.jpg)
4.12.2018/29
![Page 286: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/286.jpg)
4.12.2018/30
Hypoteesien testaus
H0: = 0
Onko kynttilöiden keskimääräinen palamisaika 24 h
20 kynttilän palamisajat minuutteina:
1426, 1438, 1425, 1435, 1432, 1434, 1427, 1441, 1439, 1427, 1435, 1435, 1427, 1432, 1445, 1439, 1429, 1435, 1434, 1447
![Page 287: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/287.jpg)
4.12.2018/31
![Page 288: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/288.jpg)
4.12.2018/32
H0: = 0
Aineisto Saidit.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
Syntyykö tyttöjä ja poikia yhtä paljon?
![Page 289: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/289.jpg)
4.12.2018/33
![Page 290: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/290.jpg)
4.12.2018/34
H0: =
Aineisto Plasma.sav sivulla https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/
Onko keskimääräisissä kolesterolimäärissä eroja miehillä ja naisilla?
t = 3,750, p-arvo < 0,001, on eroja
![Page 291: 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu · Yleistäen: Jos tapahtumat A 1, A 2, …, A k ovat riippumattomia, niin P(A1 êA2 ê å êAk) = P(A1)P(A2) … P(Ak). Esim. 2.3.8. Heitetään](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051916/60077457cbee794b8f6b940e/html5/thumbnails/291.jpg)
4.12.2018/35
Lopuksi
Osaamistavoitteet
http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp5/syksy2018/luento_1.pdf
Tentit
ks. https://coursepages.uta.fi/mtttp5/syksy-2018/kurssi-info/
Jatkoksi: Tilastomenetelmien perusteet MTTTA1
https://www10.uta.fi/opas/opetusohjelma/marjapuuro.htm?id=38653