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Decomposição em Valores Singulares Aplicada à Compressãode Imagens
Clicia G. A. Pereira 1, Messias Meneguette Junior
2, Vanessa Botta
3
1Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP
2Departamento de Matemática e Computação, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP
3Departamento de Matemática e Computação, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP
1 Introdução
O objetivo desse trabalho é mostrar a importância do uso da Decom-
posição em Valores Singulares (DVS) na otimização do espaço de arma-
zenamento de imagens. Dada uma imagem colorida, depois de transformá-
la em uma �gura em tons de cinza, é possível representá-la por uma
matriz A, onde cada elemento desta corresponde a um píxel na imagem.
O fato dessas imagens serem mantidas e transmitidas na forma de
matrizes de dimensões grandes requerem muito espaço de armazena-
mento [3]. Com intuito de otimizar esse processo aborda-se neste tra-
balho a redução no espaço de armazenamento de imagens utilizando a
DVS de uma matriz.
A técnica de DVS de uma matriz A ∈ Rm×nconsiste em fatorá-la em
um produtoUΣV T, ondeU ∈ Rm×m
e V ∈ Rn×nsão matrizes unitárias,
Σ ∈ Rm×nem que Σ = [σij] satisfazendo σij = 0 se i 6= j [2] . Utiliza-se
a DVS para calcular o posto da matriz A. Esse resultado decorre do fato
de que o número de valores singulares de A (denotados por σj) não nu-
los obtidos da DVS é o posto deA [1]. A ideia é obtermos uma matrizAk
que melhor aproxime a matrizA, para tal aplicamos o seguinte resultado:
dada A ∈ Rm×n, se k < p = posto(A) e Ak =
∑kj=1 σjujv
Tj , note que
V = [v1, . . . , vn], U = [u1, . . . , um] e Σk = diag[σ1, σ2, . . . , σk, 0, . . . , 0],então min
posto(Ak)‖A− Ak‖2 = σk+1, onde posto(Ak) = k [1]. Como con-
sequência pode-se pensar em Ak, (k < p), como uma boa aproximação
para A, assim a imagem obtida será próxima da imagem original [3].
2 Aplicação da DVS a Uma Imagem
Considerando uma imagem colorida, criamos um programa no soft-ware MATLAB que, após a leitura da imagem original, converte-a em
uma imagem em escala de cinza [4].
Seja A = UΣV Ta DVS de A. A matriz Ak =
∑kj=1 σjujv
Tj nos dá a
melhor aproximação paraA, no sentido da norma dois. Portanto se σk+1
for su�cientemente pequeno é seguro considerar k valores singulares
[3]. É preciso apenas (m + n) · k entradas a partir das quais podemos
reconstruirAk. Em comparação, é precisom·n entradas para armazenar
A, ou seja, A ≈ Ak, onde Ak tem posto menor [1].
A qualidade da aproximação Ak, com respeito a A, pode ser quan-
ti�cada através do erro relativo ε = σk+1/σ1 e do raio de compressão
r = (m + n)k/m · n [1]. O erro relativo ε caracteriza os valores singu-
lares dominantes, os que não podem ser ignorados, pois caso contrário
a imagem perde por completo a qualidade [3]. O raio de compressão re-
laciona a quantidade de armazenamento requerida para Ak com relação
à necessária para A [1]. Na �gura [1] tem-se algumas imagens compa-
rativas da aplicação do método.
(a) (b) (c)
Figura 1: (a) Imagem original em tom de cinza; (b) k = 5, r = 0, 09884701, ε = 8, 10185 × 10−3; (c)
k = 60, r = 0, 0220944, ε = 0, 097222
3 Conclusões
A imagem (b) é obtida com os primeiros 60 valores singulares. Re-
quer o armazenamento de 151260 coe�cientes (duas matrizes de dimen-
sões 1080 × 60 e 1440 × 60 e os primeiros 60 valores singulares) em
vez dos 1555200 coe�cientes que seriam necessários para armazenar a
imagem original. Conclui-se que a decomposição de valores singulares
na compressão de imagens atua de forma e�ciente.
Agradecimentos
À CAPES pela bolsa de mestrado e à Unesp pela infraestrutura.
Referências
[1] J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, Editora Siam, Mas-
sachusetts, 1996.
[2] B. Noble, J.W. Daniel, Álgebra Linear Aplicada, Editora PHB, Rio
de Janeiro, 1986.
[3] S.G.G. Nobre, A Decomposição em Valores Singulares e Suas Aplica-ções, Dissertação de Mestrado, Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Faro, Portugal, 2007.
[4] Mathworks, Working with Images in MATLAB Graphics. 2016. Dis-
ponível em:
<http://www.mathworks.com>. Acesso em: 25 de novembro de
2016.