1 fisica nucleare testi utilizzati in varie parti del corso: introductory nuclear physics – krane...
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Fisica Nucleare
Testi utilizzati in varie parti del corso:
• Introductory nuclear physics – Krane
• Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin
• Nuclei e particelle – Segrè
• Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico
• Teoria elementare del nucleo – H.A. Bethe, P.Morrison
Testi di meccanica quantistica utili:
• Modern quantum mechanics – J.J. Sakurai
• Quantum physics – Gasiorowicz
• Quantum field theory – Mandl, Shaw
Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:
http://gruppo3.ca.infn.it/usai
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Riveste un ruolo importante nella nostra vita
Fissione nucleare : generazione di energia centrali/armi
Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita
Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi
Possibile sorgente futura di energia non inquinante
Decadimento radioattivo: usato per la datazione, . allarmi antifumo !
Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging
trattamenti terapeutici del cancro
Perchè studiare la fisica nucleare ?
3
Fisica Nucleare - Cronologia
Probabilmente nessun argomento crea così tanta aspettativa, paura e confusione
1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen
1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel
1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie
1905 Einstein – teoria speciale della relatività
1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford
1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo
1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger
1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence
1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta
1932 Osservazione del neutrone – Chadwick
1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn
1941 Avvio del Progetto Manhattan
1942 Primo reattore – Fermi
1945 La bomba atomica - Oppenheimer
1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow
1952 Bomba all’idrogeno
1956 Violazione della parità nel decadimento beta
Sviluppo di applicazioni tecnologiche
ad es. imaging medico
2006
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Costituenti fondamentali
Elettrone me=0.511 MeV/c2 carica = - e (1.6x10-19 C) dimensione 10-18 m
Nucleo Z protoni, N neutroni protoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleone Un nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + N mp mn = 939.57 MeV/c2; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n 1 fm; raggio del nucleo (A medio) 5 fm
Atomo Lo stato normale è neutro, Z elettroni dimensioni 10-10 m La massa mp, mn 1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleo Le proprietà chimiche dipendono da Z
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6
La tavola periodica degli elementi
Solo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle
Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)
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8
Masse e abbondanze nucleari
La misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa
Fascio di ioni
Lastra fotografica
Selettore di velocità
E
BB
misura della massa
q, B, v sono noti. Misurando r si ha
E
qrBm
2
Selettore di velocità
B
Ev
qvBqE
Selettore di momento
qB
mvr
qBrmv
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Abbondanze nucleari
Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2.7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola
Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera
Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea dell’uranio (K.Schafer, MPI Heidelberg)
Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi
Numero di massa
Con
tegg
i
10
Abbondanze nucleari nel sistema solare
Abbondanze relative nel sistema solare (normalizzate a Si).
Generalmente le stesse in tutto il sistema solare
Deuterio ed elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang
Nuclei fino 56Fe: stelle
Nuclei più pesanti: supernovae
Abbondanze nel Sole
104 H 103 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne
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Masse nucleari: unità di misuraLa massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione.
Una unità di massa atomica u è definita come 1/12 della massa del nuclide 12C
kg 1066043.1/MeV 481.93112
1 1 272
12 cMu
C
Esempio: Misura della massa dell’idrogeno
u 00000012.009390032.0810209 HCmHCm
D’altra parte
CmHmHCmHCm 12810209 12
Quindi la massa dell’idrogeno è data da
u 0000001.000782503.112
1 12 CmHm
massa di un protone = 938.272 MeV/c2
12
Energia di legame nucleare
L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo A
ZXN
222 cZmmNmZmcmcNmZmB eAnpNnp
L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari.
Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo anche riscrivere
21 )()( cXmNmHZmB An
L’energia di massa di un nucleo è
22
1
222 cZmcmBcZmcmcm eA
Z
iieAN
Massa atomica Massa degli Z elettroni
Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile)
13
Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica.
L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per
rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di legame
di AZXN e A-1
ZXN-1
Energie di separazione
2
11
11
cXmmXm
XBXBS
NAZnN
AZ
NA
ZNAZn
L’energia di separazione di un protone è definita, in modo simile, come l’energia necessaria per rimuovere un protone
21
1
11
cXmmXm
XBXBS
NAZpN
AZ
NAZN
AZp
14Linea rossa misure sperimentalilinea nera formula semi-empirica
ener
gia
di
leg
ame
per
par
tice
lla
nu
clea
re (
nu
cleo
ne
) in
MeV
Numero di Massa A
La massa media dei frammenti di fissione è circa 118
Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione
Fe
Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati
Ni6228
Fe5826
Fe5626
hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone
energia dalla fissione nucleare
energia dalla fusione nucleare
235U
Energia di legame per nucleone
B/A costante 8 MeV per nucleone, A20
Largo massimo per A 60 (Fe, Co, Ni)
A60 fusione A 60 fissione
I nuclei leggeri con A=4n, n=intero presentano picchi (stabilità )
B/A costante in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare è a corto range e saturata
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Consideriamo la reazione
Conservazione dell’energia e del momento
L’energia di una particella di massa m è data in generale da
HeHeHLi 42
42
11
73
In un processo come questo l’energia è sempre conservata. L’energia dello stato finale deve essere uguale a quella dello stato iniziale
HeHeHLi 42
42
11
73 EEEE
22
2
/1
1)( ,)(
cvvcvmE
Possiamo anche scriverla nella forma
TmcE 2
Energia a riposo associata alla massa
Energia cinetica
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Immaginiamo che nello stato iniziale il litio e l’idrogeno abbiano velocità trascurabili. Allora
In questo modo troviamo l’energia prodotta
Per lo stato finale possiamo scrivere
211
273
11
73 H LiHLi cmcmEE
T2
8 unità di massa + 24.55 MeV
242
242 He He cmcm 8 unità di massa + 2x3.61 MeV
TcmTcmEE 242
242
42
42 He HeHeHe
(8 unità di massa + 24.55 MeV) –
(8 unità di massa + 2x3.61 MeV) = 17.33 MeV
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Vale anche la conservazione del momento
HeHeHLi 42
42
11
73 pppp
Nell’ipotesi di velocità trascurabili nello stato iniziale
0HLi 11
73 pp
Quindi anche nello stato finale
0HeHe 42
42 pp
Le due particelle si allontanano in direzioni opposte ciascuna con energia cinetica
MeV67.8T
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Nuclidi
Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione:
Z = Numero Atomico (Numero di Protoni)
A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni)
A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni)
N = Numero di Neutroni (talvolta omesso)
Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI
Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI
Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI
Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI
Esistono migliaia nuclidi!
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Carta dei nuclidi
I nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare
Tipicamente la carta grafica Z vs N
I diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta – ad es. il decadimento corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso
Questo permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace
Permette di visualizzare anche altre proprietà come la vita media o la data di scoperta
20
Carta dei nuclidi – cronologia
Evoluzione della Tavola degli Isotopi
Anno di pubblicazione
21
I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi
Stabilità nucleare
Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione di un protone in un neutrone (e un positrone).
Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini
Si possono avere inoltre decadimenti e fissione spontanea
Fissione spontanea
Linea della stabilità
Nuclei noti
Numero di neutroni N
Nu
mer
o d
i p
roto
ni
Z
22
Carta dei nuclidi – vita media
Experimental Chart of Nuclides 2000 2975 isotopi
Vita media
23
Nucleo stabile: la sua massa deve essere minore della somma delle masse dei nuclei prodotti nel decadimento.
Es. Questo decadimento non può aver luogo
HHeLi 31
42
73
01822.7Li73 m
Li02087.7HHe 73
31
42 mmm
Infatti
Invece
n HeHe 45
È energeticamente possibile poichè
345 109.0)(HeHe nmmm
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Regolarità
Regolarità della tavola dei nuclidi stabili:
• Numero di nuclei con Z pari >> numero di nuclei con Z dispari
• Numero di nuclei con A pari >> numero di nuclei con A dispari
• Quasi tutti i nuclei con A pari hanno anche Z pari - uniche eccezioni
NB,Li,H, 147
105
63
21
25
Dimensioni dei nuclei
Livello fondamentale
Stati eccitati ( eV)
Stati eccitati ( MeV)
Livello fondamentale
Livello fondamentale
Stati eccitati ( GeV)
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Misura delle densità e dei raggi nucleari
La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione:
L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio
Scattering elettronico
Atomi muonici
Nuclei speculari
L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo studio più complesso. Ad esempio
Scattering (Rutherford)
Scattering di protoni
Scattering e assorbimento di neutroni
Vita media di emettitori
Raggi X di atomi pionici
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Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo
va = velocità delle particelle
na = densità numero
aaa
a vntS
N
abNdt
dN
Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è
Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio
= sezione d’urto di reazione
Sezione d’urto
Consideriamo una rezione della forma
Xba
Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato.
Il flusso di particelle a è definito come
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Ninc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t
In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come
incb NS
NN
Nb / S è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora
L = lunghezza del bersaglio
A
LN
S
N Ab
LSnN bb
D’altra parte
Avb
b
bb N
Am
mn ,
29
Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione d’urto differenziale
Sezione d’urto differenzialeLa distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea
ba Nd
d
ddt
dN
Numero di particelle scatterate in d è dN/d
fascio
bersaglio
angolo solido d=AD/r2
area AD
r
dN
dtdN
d
d
ba
/Unità area/steraradiante
'/),',(2 dEdEEd
30
In un processo elastico a+ba’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica.
L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono correlati in modo non ambiguo
Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering
La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare x è data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta ’ x
Scattering elastico
xx
cpc
xp
MeVfm200
Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dell’ordine di 10-100 MeV/c
I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di MeV
Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg
31
Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme
interazione elettromagnetica
Per misurare una distanza fino a 1 fm abbiamo bisogno di un’energia
Scattering elettronico
nucleo A
fotone
e-
MeV 200fm 11 1-
E
Misuriamo E, degli elettroni scatterati d/d
sottile foglio di materiale scatteratore
monitor di fascio
Fascio elettronico di energia nota
Rivelatore
Regione di campo magneticoApparato
sperimentale
32
Ricavabile sia classicamente che con la meccanica quantistica con le ipotesi:
• il rinculo del nucleo trascurato
• gli effetti di spin trascurati
• centro di scattering puntiforme
Sezione d’urto Rutherford
)2/(sin4 42
22
E
Ze
d
d
Rutherford
angolo di scattering
dN/d
)2/(sin
14
Scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze
33
Calcoliamo d/d usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare.
Derivazione quanto-meccanica
incidente Flusso
d in /secscatterate particelle di n.
d
d
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
1 - 22 EMfi
dove
int
densità di stati finali
f iM H
E
34
Racchiudiamo il nostro sistema in una scatola di lato L. La funzione d’onda di un elettrone è un’onda piana
Lo stato di onda piana è soluzione dell’equazione di Schrodinger. Dobbiamo imporre delle condizioni di frontiera sui bordi della scatola. Poniamo
Questo implica
Quantizzazione in una scatola
rkiNer )(
Normalizzazione: probabilità di trovare l’elettrone nel volume V = L3 deve essere 1:
VNrd
1 132
1
)()(
LikLikLik zyx eee
Lrr
2
,2
,2
interi ,, ,2
,2
,2
L
n
L
n
L
np
nnnL
nk
L
nk
L
nk
zyx
zyxz
zy
yx
x
35
Uso pratico della condizione di quantizzazione: Densità di stati
numero di valori consentiti di k (o p) in una regione dello spazio del momento d3k:
Ciascuno stato occupa un volume (2/L)3 nello spazio k. Il numero di stati in k,k+d3k
3
2
3
2
3
3
/2
,/2/2
L
dp
dp
dNp
L
dpdp
L
pddN
Nel caso di scattering relativistico Ep,
33
2
2Ld
E
dE
dp
dp
dNE
punto singolo unda occupato volume
3kddN
xk
yk
L
2
ddd sinelemento di angolo solido
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Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo.
Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è
dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L3
Mettendo tutto assieme
) (cLL
c1
133
cndt
dN
Adx
dx
dt
dN
A iii
a 1
2
2 33 3 2
3
12 ( )
12 ( )
2
f
iq r
d M E
LL e V r d r E d
L
2 23
2( )
(2 )iq rd E
e V r d rd
Flusso di elettroni incidenti
37
dove è il momento trasferito
Nel caso di scattering elastico
* 3int int
3
33
( )
1( )
f i
f i f i
ip r ip r
iq r
M H H d x
Ne V r Ne d x
e V r d xL
i fq p p
i fp p
22
2 2
2
2 2
2 cos
2 (1 cos )
4 sin / 2
i f
i f i f
q p p
p p p p
p
E
momento trasferito
Elemento di matrice
38
Omettendo il fattore di normalizzazione L3
L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo
Abbiamo
222
0
/2
4
/1
4
2
q
Z
aq
Z
driqr
eee
r
ZrM
a
iqriqrar
( )Z
V rr
3
2
0
( )
2sin 2 ( )
iq rM e V r d r
qrr V r dr
qr
/( ) ( 0 per )r aZV r e V r
r
Scattering Rutherford: scattering su nucleo puntiforme
39
La sezione d’urto è quindi data da
Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo, l’energia e il modulo del momento dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui
Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford
4
2
2
2 )4(
)2( q
ZE
d
d
Rutherford
2/sin4 42
22
E
Z
d
d
Rutherford
2 sin / 2q p
40
Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott può essere scritta come
Sezione d’urto Mott
c
v -
2sin1 22
RutherfordMott d
d
d
d
Nel caso limite di 1 la sezione d’urto Mott si semplifica in
2
cos2
RutherfordMott d
d
d
d
L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford
41
dN/d
cos
(un
ità a
rbitr
arie
)
cos
0.50.0 1.0-0.5-1.010-1
1
101
102
103
104
105
Sezione d’urto Mott
Sezione d’urto Rutherford
I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo
Scattering elettronico su nuclei: risultati sperimentali
42
Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo
Scattering da un nucleo esteso
Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica dQ
Abbiamo da cui
L’ampiezza di transizione si modifica in
-4 '
edQdV
r r
3( ') 'dQ Ze r d r
23 3( ') ( ')
- ' -Z '4 ' '
e Z r rV d r d r
r r r r
3 3
( ')' 3 3
( ')'
'
( ') '
'
iq r
iq r riq r
rM Z e d r d r
r r
r eZ e d r d r
r r
43
Possiamo quindi scrivere
Poniamo e consideriamo costante (vale a dire integriamo su )
dove è il fattore di forma ed è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica
Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott calcolata
scattering Rutherford (o Mott)
F(q2)
22 )(qFd
d
d
d
Mott
- 'R r r 'r
r
3 ' 3( ') 'iq R
iq reM Z d R r e d r
R
2 ' 3( ) ( ') 'iq rF q r e d r
44
in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q2 del fattore di forma sperimentale
Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, dipende soltanto da L’integrazione sull’angolo solido dà
dqqqr
qrqFr
drrqr
qrrqF
222
22
sin)(
2
1)(
sin)(4)(
L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano il range di |q|. Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di , si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali
2 33
1( ) ( )
(2 )iq rr F q e d q
r r
45
Fattori di forma nucleari – esempi
puntiforme
4
)(rcostante
esponenzialearea 3
gauss
2/2
32
22
2rae
a
sfera omogenea
Rr
RrR
0
4
3 3
dipolo2
2
2
1
a
q
gauss
22 2/ aqe
oscillante
qRqrqRqR
cossin)(
33
sfera con superficie diffusa
oscillante
elettrone
protone
6Li
40Ca
r |q|
(r) F(q2) esempio
46
Fattori di forma nucleari – prime misure
Misura del fattore di forma di 12C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare
Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del fascio di 450 MeV
Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa
Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati
47
Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione
Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a
5.4
qR
La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore.
Esempio: il minimo nella misura di 12C di Hofstadter è a q/ħ1.8 fm-1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4.5/1.8 2.5 fm
48
Scattering elettronico su 40Ca e 48Ca
La sezione d’urto cambia di sette ordini di grandezza
Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma
Minimi di 48Ca a minore |q| implicano che 48Ca è più grande
d/d
[cm
2 /sr
]
49
Distribuzione di carica dei nuclei
I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo
Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie
costante
34 3
R
A
La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri
fmRARR 2.1 03/1
0
sRrer
/)(1
)0()(
R è il raggio a cui (r) è diminuita di 1/2
s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove (r) scende dal 90% al 10%. Per tutti i nuclei si ha s 2.5 fm
50Distanza radiale (fm)
Den
sità
di c
aric
a [x
109
coul
omb/
cm3 ]
Dati di scattering elettronico
51
Raggio quadratico medioIl fattore di forma può essere espanso in potenze di q
drrrqdrrr
drrddrqr
rdiqrn
rqF n
4
0
22
0
0
1
1
2
0
2222
32
)(46
1 )(4
)(cos cos2
11)(
)cos(!
1)()(
Definendo il raggio quadratico medio come
0
222 )(4 drrrrr
222
6
11)( rqqF
La misura sperimentale di <r2> richiede la misura di F(q2) a valori molto piccoli di q2
0
2
22
2
)(6
q
dq
qdFr
52
Raggi X atomiciAssumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni:
dentro la sfera
RrR
r
R
ZerV
o
2
1
2
3
4
22
V r Ze2
4or r R
All’esterno della sfera
L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da
rdVV nn
3*
Con un nucleo non puntiforme, assumendo che non cambi apprezzabilmente quando Vpuntiforme Vsfera
Rr
nn
Rr
nn rdVrdVV 3*3*' Energia potenziale 1/r
53
Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di <V’> - <V>
La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda elettronica del livello 1s è
3
224
1 45
2
oos a
ReZE
1,1(1s)
E1s
E1s(pt)
E1s(sphere)
In linea di principio misurando possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme!
Consideriamo una transizione 2p 1s per due atomi (A,Z) e (A1,Z). Avremo
AEAEAEAE
AEAEAEAEAEAE
sspp
spspKK
1122
1212
'
Possiamo assumere che E2p(A)=E2p(A’) e riscrivere
3/23/223
24
11
1
45
2
AARa
eZ
AEAEAEAE
ooo
ssKK
Shift isotopico
54
Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R0.
3/23/223
24
11
1
45
2
AARa
eZ
AEAEAEAE
ooo
ssKK
55
Atomi muoniciMuoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo.
Raggio di Bohr 1/Zm Energia Z2m . massa 207 me
vita media 2 s
i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere
ee
fm 320782
105 4
r
Energia transizione 2P3/21S1/2: 16.41 MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata) Misura dei raggi X raggio
Raggi X di - anche i - possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il - scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal raggio
Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a0 = 5x104 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni
56
Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale
Apparato sperimentale A1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmente per lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.