第1章 质点运动学

质点运动的矢量描述：

1. 位矢、运动方程、轨迹方程、速度、加速度，在直角坐标系中的表达；

2. 自然坐标系中的切向加速度、法向加速度；

3. 圆周运动的角量描述及其与限量的关系、匀加速圆周运功公式（角量）。

第1章 质点运动学

1. 位置矢量(矢径,位矢)

直角坐标系中位矢表示为: kzjyixr

222 zyxr

方向： r

z

r

y

r

x coscoscos

大小： r

特性：

矢量性、瞬时性、相对性 1coscoscos 222

2. 轨迹方程

参数方程

)(

)(

)(

tzz

tyy

txx

消去参数 t 0),,( zyxF

质点运动轨迹方程

0),,( zyxG

3. 速度 加速度

t

r

t

r

t d

dlim

0

v k

t

zj

t

yi

t

x

d

d

d

d

d

d

kji zyx

vvvv

速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向

kt

zj

t

yi

t

xk

tj

ti

tta zyx

2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

vvvv

2

2

0 d

d

d

d

Δ

Δlim

t

r

tta

t

vv

当 t 趋向零时,速度增量 的极限方向. v

方向：

— 运动方程是运动学问题的核心

1) 已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及

加速度

trr

2) 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始

条件求质点的运动方程

4. 运动学的两类问题

2

2

d

d

d

d

t

r

ta

v

t

r

d

d

v

t

ttata

00

dd,dd

v

vvv

t

t

r

rtrtr

00

dd,dd vv

xaa

aa

taa

v

运动特性： 相对性、瞬时性、矢量性

tattr

,v求导

tattr

积分

， v

两类问题：

小结：

运动方程： )(trr

瞬时速度： t

r

t

r

t d

d

lim

0

v

瞬时加速度： 2

2

0 d

d

d

dlim

t

r

tta

t

vv

kt

zj

t

yi

t

x

t

r

d

d

d

d

d

d

d

dv

加速度：

在直角坐标系中：

ktzjtyitxr

)()()( 位矢：

速度：

kt

zj

t

yi

t

x

t

ra

2

2

2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

kji zyx

vvv

kajaia zyx

矢量问题，标量解决： 任意曲线运动可作为沿 x，

y，z 三个方向各自独立的直线运动的叠加。一维

运动的方向用 “+”、“-”表示。

2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

t

za

t

ya

t

xa

t

z

t

y

t

x

tzztyytxx

zyx

zyx

vvv

总加速度 nt aaa

n

2

td

dee

ta

vv

2

n

2

t aaa t

n1tana

a

切向加速度 法向加速度

改变速度大小 改变速度方向

5. 自然坐标系中的速度和加速度

路程: 自然坐标之差 PQ sss

速度：

td

d

d

de

t

s

t

r

v

速率：

t

s

d

dv

6.角量表示圆周运动

(1)角位置 单位: rad 角位移

(2)角速度 ttt d

dlim

0

角速度矢量:

方向按右手螺旋规定.

(3)角加速度 2

2

d

d

d

dlim

0 tttt

Rs

(4)角量与线量的关系

Rt

R

t

s

d

d

d

dv

Rt

Rt

a d

d

d

dt

v

222

n

)(

R

R

R

Ra

v

♣ 角量表示匀加速圆周运动的

基本公式（β=恒量）

0

2

0

2

2

00

0

2

2

1

tt

t

第2章 质点动力学

牛顿运动定律：

♣ 牛顿定律及其在直角坐标系和自然坐标系中的应用.

动量好动量守恒定律：

♣ 冲量、动量定理、动量守恒定律及其条件.

工、机械能和机械能守恒定律：

♣ 功、动能定理、功能原理、机械能守恒定律及其条件、重力势能及弹性势能的表达。

amF

tmmaF

d

dtt

v

RmmaF

2

nn

v

xx maF yy maF zz maF

牛顿第二定律 t

m

t

pF

d

)d(

d

d v

(1)确定研究对象：对于物体系，画出隔离图.

(5) 解方程. 进行文字运算，然后代入数据求解.

(2) 进行受力分析，画出示力图.

(4) 对各隔离体建立牛顿运动方程(矢量式——分量式) .

(3) 判断各物体的加速度，建立坐标系.

一. 牛顿三大定律

直角坐标系

自然坐标系

二、力的累积效应

功、能

空间累积效应

冲量、动量

时间累积效应

动量： v

mp 单位：kgms-1

冲量：

恒力的冲量： )( 12 ttFI

变力的冲量： 2

1

d)(t

tttFI

ptF

dd

1. 动量定理

动量定理——动量守恒 动能定理——机械能守恒

(2)质点系的动量定理

合外力的冲量 系统初动量 系统末动量

ppptF

t

t

i

0

0

d

0 iF

常矢量 iimp v

(3)动量守恒定律

(1)质点动量定理： 000

d vv

mmpptFIt

t

(4)几点说明：

②系统动量守恒的条件：

a.系统不受外力；

b.合外力=0；

①动量守恒定律只适用于惯性系.

⑤动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一

③ 若系统所受外力的矢量和≠0，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立.

④内力>>外力.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，内力>>外力,可略去外力.认为系统动量守恒

(1)功

1)恒力的功 SFFSW

cos

单位：焦耳(J)

2)变力的功 rFrFW

ddcosd

总功：

b

azyx

b

a

b

a

b

a

zFyFxF

rFsFWW

ddd

ddcosd

① 功是标量(代数量)

W > 0 力对物体做功

W < 0 物体反抗阻力做功

W = 0 力作用点无位移

力与位移相互垂直

② 功是过程量

与力作用点的位移相关

与参考系的选择相关

讨论：

2. 动能定理 功能原理 机械能守恒定律

(2)动能 2

k2

1vmE 单位：焦耳(J)

(3)势能 ba

b

aEEErF PPPd

保

零势能点

保aa rFE

dP

设 0PbE

重力势能： mghEp （地面为势能零点）

弹性势能： 2

2

1kxEp （自由端为势能零点）

引力势能： r

MmGEp 0 （无限远为势能零点）

EEE kp 机械能:

(4)质点的动能定理 1k2k

2

1

2

22

1

2

1EEmmW vv

(5)质点系动能定理 1k2k EEWW 内外

(7)机械能守恒定律

EEEWW kp非保内外(6)功能原理

如果 0 非保内外 WW恒量 pk EEE

注意：

(1) 机械能守恒定律只适用于惯性系,不适合于非惯性系.这是因为惯性力可能作功.

(2) 在某一惯性系中机械能守恒，在另一惯性系中机械能不一定守恒.这是因为外力的功与参考系的选择有关.对一个参

考系外力功为零,但在另一参考系中外力功也许不为零.

第3章 刚体力学

刚体运动的描述：

刚体定轴转动定律 角动量守恒定律：

1. 力矩、转动惯量、常见刚体的转动惯量（质点、细杆、圆盘）、转动定律及其应用（一般联合牛顿定律解题）；

2. 质点的角动量、刚体的角动量、角动量守恒定律及其条件。

刚体的能量：

♣ 刚体的势能和动能、刚体机械能守恒。

1. 转动惯量

（分立）2

iirm

（连续） mr d2J 质量有关

质量分布有关

转轴位置有关

转动惯量与

lm dd

Sm dd

Vm dd

质量为线分布

质量为面分布

质量为体分布

线分布 面分布 体分布

一、定轴转动刚体的描述

单位: 牛[顿]·米(N·m)

2. 力矩

FrM

大小： sinFrM

方向： 右手螺旋法则

JM z 刚体定轴转动定律：

（1）受力分析

（2）分别列出牛顿第二定律和转动定律

（3）找到角量和线量关系

（4）联立方程组

转动定理的应用：

3. 角动量

v

mrprL

微分式 t

LM

d

d

4. 角动量定理

积分式 12

2

1

d LLtMt

t

JLz 刚体定轴转动的角动量

------微分形式

112212

2

1

d JJLLtMt

tz

zz LJtM d)d(d

刚体定轴转动的角动量定理

---积分形式

定轴转动刚体角动量守恒定律

1122

JJ

5. 角动量守恒定律

v

mrprL 常矢量如果 0M

,则

时当： 0zM

恒矢量zL

2

k2

1JE

二、刚体的能量

2. 刚体定轴转动的动能定理

2

1

2

22

1

2

1dd

2

1

JJJWW

1. 动能

3. 刚体的重力能 ii

gzmE P

结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能

4. 刚体的机械能 cmghJE 2

2

1

刚体定轴转动与直线运动作比较

2

1

2

22

1

2

1d vv mmrF 2

1

2

22

1

2

1d JJM

x

va

M

J

vm

2

2

1J

J

2

2

1vm

F

m

vF M

求轴力 求轴力

JM

t

pF

d

d

amF

t

LM

d

d

1122

2

1

d

JJtMt

t12

2

1

d vv

mmtFt

t