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第 5 课时 对数函数. 1 .理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2 .理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.知道指数函数 y = a x 与对数函数 y = log a x 互为反函数 ( a >0 , a ≠1) ,体会对数函数是一类重要的函数模型.. 【 应试对策 】 1 .要熟练掌握对数的 运算性质 、 换底公式 以及 常用恒等式 ,能在题目中灵活使用,进行运算. 2 . 比较 两个对数的 大小 ,可以使用换底公式 化为同底 数的对数进行比较,还可以 借助 于一些 中间数 比较,比如 0 或 1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1 .理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2 .理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.知道指数函数 y = ax 与对数函数y = logax 互为反函数 (a>0, a≠1),体会对数函数是一类重要的函数模型.
第 5 课时 对数函数
【应试对策】
1 .要熟练掌握对数的运算性质、换底公式以及常用恒等式,能在题目中灵活使用,进行运算.
2 .比较两个对数的大小,可以使用换底公式化为同底数的对数进行比较,还可以借助于一些中间数比较,比如0 或 1.
3 .比较两个对数的大小常借助于函数的单调性,当底数不同时可以借助于对数函数的图象进行比较.
4. 理解对数函数图象的特征 : y 轴是对数函数的渐近线 , 当 0 < a < 1 时, x→0, y→+∞;当 a>1时,x→0, y→-∞ . 当 a>1时, a 值越大,图象越靠近 x轴,递增速度越慢;当 0<a<1时, a 值越小,图象越靠近 x 轴,递减速度越
慢.对于方程 logf(x)g(x) = c 转化为
求解.
5 .在讨论对数函数的性质时,应注意定义域及对底数 a的分类讨论. ( 含参数的对数问题,要注意分类讨论的思想 )
【知识拓展】
1 .反函数
(1)反函数的概念:函数 y = f(x) 的定义域为 A ,值域为 C ,由 y = f(x) 得 x = φ(y) .函数 x = φ(y)是 y = f(x) 的反函数,记作: x = f - 1(y) .
(2) 求反函数的步骤:①由 y = f(x) 解出 x = f -
1(y) ;②将 x = f - 1(y) 中的 x 与 y 互换位置,得 y= f - 1(x) ;③由 y = f(x) 的值域,确定 y = f -
1(x) 的定义域.
即:反解;调换;注明定义域。(3)互为反函数的图象关于直线 y = x 对称.
(4)指数函数与对数函数互为反函数.
2 .对数函数的性质在比较对数值大小中的应用
(1) 比较同底数的两个对数值的大小,例如:比较logaf(x) 与 logag(x) 的大小,其中 a>0且 a≠1.
①若 a>1, f(x)>0, g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
②若 0<a<1, f(x)>0, g(x)>0;则
logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x) .
(2) 比较两个同真数的对数值的大小,例如:比较logaf(x) 与 logbf(x) 的大小 ,其中 a>b>0,且 a≠1,b≠1.
①若 a>b>1,如图 1.
当 f(x)>1 时, logbf(x)>logaf(x) ;当 0<f(x)<1时, logaf(x)>logbf(x) .
图 1 图 2
②若 1>a>b>0,如图 2.
当 f(x)>1时, logaf(x) < logbf(x) ;当 1>f(x)>0时, logaf(x)>logbf(x) .
③若 a>1>b>0,
当 f(x)>1时,则 logaf(x)>0>logbf(x) ;
当 0<f(x)<1时,则 logaf(x)<0<logbf(x) .
3 .求与对数函数相关的复合函数的单调区间
求复合函数 y = f[g(x)]的单调区间的步骤:
(1)确定定义域.
(2)将复合函数分解成基本初等函数: y = f(u) , u= g(x) .
(3)分别确定这两个初等函数的单调区间.
(4)若这两个函数同增或同减,则 y = f[g(x)]为增函数;若一增一减,则 y = f[g(x)] 为减函数,即“同增异减”.
4 .对数方程的类型及解法(1)对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫对数
方程.(2)解对数方程的基本思路是化为代数方程,常见的可解
类型有:① 形如 logaf(x) = logag(x)(a>0且 a≠1) 的方程,化成 f(x) = g(x) > 0 求解.②形如 F(logax) = 0 的方程,用换元法解.③ 形如 logf(x)g(x) = c 的方程,化成指数式[f(x)]c= g(x) 求解.
(3)在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数范围扩大或缩小就容易产生增减根,因此解对数方程要注意验根.(4)含参数的指数、对数方程在求解时,需注意将原方程等价转化为某个混合方程或不等式组,并在等价转化的原则下简化求解,对参数进行分类讨论.
1 .对数
(1)对数的概念
如果 a(a>0, a≠1)的 b 次幂等于 N ,就是 ab = N ,那么,数 b 叫做 , 记作 logaN = b ,其中 a叫做对数的 , N 叫做对数的 .
(2)常用对数:通常将 log10N 叫做常用对数,记作 .
自然对数:通常将以无理数 e = 2.718 28…为底的对数叫做自然对数,记作 .
以 a 为底 N 的对数底数 真数
lgN
lnN
(3)对数的性质
①零和负数没有对数;② loga1 = (a>0,且 a≠1);
③logaa = (a>0,且 a≠1);④ alogaN = (a>0,
且 a≠1, N>0).
0
1 N
2 .对数的运算性质
a>1 0<a<1
图象
性质
(1)定义域: .
(2)值域:
(3)图象过点: .(4)在 (0,+∞ ) 上是单
调 函数在 (0,+∞ ) 上是单调 函数增 减
(1,0)
(0,+∞ )
R
3 .对数函数 :(1) 概念:函数 y = logax(a>0, a≠1)叫做 ,它的 定义域是 .
(2) 对数函数 y = logax(a>0 ,且 a≠1) 的图象和性质如下表所示:
对数函数 (0,+∞ )
1 . lg 8+ 3lg 5的值为 ________.
2 .已知 log7[log3(log2x)]= 0 ,那么 等于 ________.
3 .函数 f(x) = lg 的定义域为 ________.
4 .若函数 y = loga(x + b)(a>0, a≠1)的图象过两点
( - 1,0)和 (0,1) ,则 a = ______, b = ________.
5 .方程 xlg(x + 2)= 1 有 ______个不同的实数根.
对数的化简与求值的基本思路:
(1)利用换底公式及 ,尽量地转化为同底的和、差、
积、商运算;
(2)利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为对
数真数的积、商、幂再运算;
(3)约分、合并同类项,尽量求出具体值.
【例 1 】 计算:
(1)(lg 2)2+ lg 2·lg 50+ lg 25;
(2)(log32 + log92)·(log43 + log83).
思路点拨:对数运算问题要注意化同底和 lg 2+ lg 5= 1 等结论的应用.
解:( 1 )原式= (lg 2)2+ (1+ lg 5)lg 2+ lg 52
= (lg 2+ lg 5+ 1)lg 2+ 2lg 5
= (1+ 1)lg 2+ 2lg 5= 2(lg 2+lg 5)= 2.
(2)原式=
变式 1 : ( 改编题 ) 求值:
(1) ;
(2)(lg 2)3+ (lg 5)3+ 3lg2lg 5;
(3)
掌握指数式与对数式的互化公式是解决指数与对数互化问题的
一个有效途径,其互化公式为 logaN = b⇔ab= N(a >
0 , a≠1, N > 0),在解题时要注意对公式灵活应用.【例 2 】 已知 3a = 5b = c ,且 + = 2 ,求 c 的值.
思路点拨:借助指数式与对数式的互化可以解决问题.
变式 2 : (11.2)a = 1 000, (0.011 2)b = 1 000,则
= ___.
1 .比较同底的两个对数值的大小,可利用对数函数的单调性来完成.
(1)a>1, f(x)>0, g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0;
(2)0<a<1, f(x)>0, g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x) .
2 .比较两个同真数对数值的大小,可先确定其底数,然后再比较.
(1)若 a>b>1,如图 1.当 f(x)>1时, logbf(x)>logaf(x) ;
当 0<f(x)<1时, logaf(x)>logbf(x) .
(2) 若 1>a>b>0 , 如 图 2. 当 f(x)>1
时, logbf(x)>logaf(x) ;
当 1>f(x)>0时, logaf(x)>logbf(x) .
(3)若 a>1>b>0.当 f(x)>1时,则 logaf(x)>0>logbf(x) ;
当 0<f(x)<1时,则 logaf(x)<0<logbf(x) .
3.比较大小常用的方法
(1)作差 ( 商 )法; (2)利用函数的单调性; (3)特殊值法 (特别是 1 和 0为中间
值 ). 【例 3 】 对于 0<a<1 ,给出下列四个不等式:
①loga(1 + a)<loga ;② loga(1 + a) > loga ;③ a1 + a< ;
④ a1 + a> . 其中成立的是 ________ . 思路点拨:从题设可知,该题主要考查 y= logax与 y= ax 两个函数的单调性,
故可先考虑函数的单调性,再比较大小.
解析:由 0< a< 1⇒a< ⇒1+ a<1 + ,∴ loga(1+ a)>loga ,
a1 + a, > ,则②④正确.
答案:②④
变式 3 :已知 1<x<10 ,那么 lg2x , lgx2 , lg(lgx) 的大小顺序是
________ .
解析:∵ 1< x< 10 ,∴ 0< lgx< 1 ,∴ lg(lgx)< 0,0< lg2x<
2lgx ,
∴ lg(lgx)< lg2x< lgx2.
答案: lg(lgx) < lg2x < lgx2
1.对数函数的性质是每年高考必考内容之一,其中单调性和对数函数
的定义域是热点问题.其单调性取决于底数与“ 1”的大小关系.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方
法是“同底法”.即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单
调性来解决.
3.与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
(1)确定定义域;
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本
初等函数 y = f(u) , u = g(x);
(3)分别确定这两个函数的单调区间.
【例 4 】 是否存在实数 a ,使 f(x) = loga(ax2 - x)(a>0 ,且 a≠1) 在区间 [2,4] 上
是增函数?若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由.
思路点拨:①讨论 a与 1 的大小关系.②讨论函数 y= ax2- x 的图象的
对称轴与区间 [2,4] 的关系,并保证在区间 [2,4] 上, ax2
- x>0.
解:∵ f(x) = loga(ax2 - x)在区间 [2,4]上是增函数,
∴ 或 ,即 或
∴a>1,所以实数 a的取值范围为 (1,+∞ ).
变式 4 : ( 创新题 ) 若函数 f(x) = loga(x3 - ax)(a>0 , a≠1) ,在区间
内单
调递增,则 a 的取值范围是 ________ .
解析:设 g(x)= x3- ax ,则 g′(x)= 3x2- a ,
当 a>1 时,不等式组 ,对于 x ∈ 恒
成立, a 无解;
当 0<a<1 时,不等式组 ,对于 x ∈
恒成立.解得 ≤ a<1.
答案:
【规律方法总结】
1 .指数式 ab= N 与对数式 logaN= b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算
法则的关键.
2 .在运用性质 logaMn= nlogaM 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为
logaMn= nloga|M|(n∈N*且 n 为偶数 ) .
3 .注意对数恒等式、对数换底公式及等式 ,
logab = 在解题中的灵活应用.
4 .在解决问题的思路和方法上,要注意与指数函数进行比较.
底的关系 a>b>1
图 象
y= ax与 y= bx y= logax与 y= logbx
底的关系 1>a>b>0
图 象
y= ax与 y= bx y= logax与 y= logbx
当底大于 1 时,底越大,图象越靠近坐标轴;当底小于 1 大于 0 时,底越小,图
象靠近坐标轴.如果底数、指数都不同,则要利用中间变量 .
同一坐标系下的图象关系
【高考真题】
【例 5 】 (2009· 天津卷 )设 ,则 ( )
A . a<b<c B . a<c<b
C . b<c<a D . b<a<c
分析:根据对数函数、指数函数的性质判断 a、 b、 c 的大致范围,
进而得解.
规范解答:由题意,得 a = =- log32<0 , b = > =
1 , c = >0 ,且 c<1 ,所以 a<c<b.故选 B.
【全解密】
【命题探究】
本题主要考查对数函数、指数函数的性质.考题的命题,利用对数函数、
指数函数的性质比较数的大小,达到了考查考生灵活应用对数函数、指数
函数性质的目的,较好地体现了重视基础的命题特点.
【课本探源】
本题是江苏版数学必修 1第 39页第 14 题“设 a= 0.32, b= 20.3, c =
,
试比较 a, b, c 的大小”的改编题,考题将 a, b, c稍作变化,且由正
值变成了负值,使得考题增加了能力的成分,但解答题变成了选择题,又
使得解题的结果有了比较的依据.
【技巧点拨 】
比较两个幂值和两个对数值大小的方法
(1) 若是两个幂值的大小的比较,则首先分清底数相同还是指数相同,如果底数
相同,可以利用指数函数的单调性;如果指数相同,可以转化为底数相同,也可
以借助图象;如果底数不同,指数也不同,就要利用中间量进行比较.
(2) 若是两个对数值的大小比较,如果底数相同,可以利用对数函数的单调性;
如果底数不相同,可以利用换底公式化为同底数的对数;如果底数、真数都不相
同,就要注意与 0 比较或与 1 比较 .
1.若函数 f(x)的反函数为 f - 1(x),则函数 f(x - 1) 与 f - 1(x - 1)的图象
可能
是 ________.
解析: f(x)与 f - 1(x) 的图象关于 y= x 对称,则 f(x- 1)与 f - 1(x- 1)
的图象
应关于 y= x- 1 对称,填④ .
答案:④
2.求 f(x) = 的单调区间.
解:函数 f(x) = 的定义域为 {x| - 3<x<1}.
令 u = 3 - 2x - x2 , x∈( - 3,1),
则 y = .因为 y = 在定义域内是减函数,
当 x∈( - 3,- 1]时, u(x)=- (x + 1)2 + 4是增函数,
所以 f(x) 在 ( - 3,- 1]上是减函数.
同理, f(x) 在 ( - 1,1)上是增函数.