Fracciones: concepto y tipos de fracciones.

Concepto de Fracción

Tipos de Fracciones

1. Concepto de Fracción

Una fracción es una forma de representar la división de dos números.

Se representa escribiendo el dividendo arriba de una línea y el divisor debajo de

ésta.

Ejemplo: fracción 3 partido 4

Se llama numerador al número de arriba (en el ejemplo, el 3) y denominador al

número de abajo (en el ejemplo, el 4).

La fracción del ejemplo representa la división 3 dividido entre 4 y, por tanto,

representa al número 0,75 que es el resultado de dicha división.

Usamos las fracciones para representar partes de un todo.

Decimos partes de un "todo" en lugar de una "unidad" ya que podemos calcular

una fracción de dos o más unidades.

Ejemplo:

Si consideramos dos pizzas como un todo, entonces la mitad de este todo

(fracción un medio) es la mitad de dos pizzas, esto es, una pizza.

Ahora vamos a dividir el siguiente cuadrado en cuatro subcuadrados iguales:

Como hemos dividido un cuadrado en cuatro subcuadrados, cada uno de

los cuatrosubcuadrados lo representamos mediante la fracción uno dividido cuatro (ó un cuarto):

En el numerador escribimos el número de subcuadrados seleccionados y en

el denominador el número total de subcuadrados (que conforman el cuadrado).

Dos subcuadrados son dos dividido cuatro:

Notemos que dos subcuadrados conforman la mitad del cuadrado, es decir, también podemos expresarlos como un medio (uno dividido dos):

Se dice que las fracciones un medio y dos cuartos son fracciones equivalentes.

Tres subcuadrados son tres dividido cuatro (ó tres cuartos):

Finalmente, si seleccionamos los cuatro subcuadrados tenemos la fracción cuatro

dividido cuatro que, como es el cuadrado entero (la unidad), podemos escribir que es igual a 1:

2. Tipos de Fracciones

Ver Tipos

Hemos dicho anteriormente que al número situado sobre la línea se le

llama numeradory al de abajo denominador.

Según la relación (mayor o menor) que existe entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias:

Fracción Propia: cuando el numerador es menor que el denominador.

En las fracciones propias, el resultado de la división numerador dividido denominadores siempre menor que 1.

Ejemplo:

Fracción Impropia: cuando el numerador es mayor o igual que el denominador.

En las fracciones impropias, el resultado de la división numerador dividido denominador es siempre mayor o igual que 1.

Ejemplo:

Unidad: cuando el numerador y el denominador son el mismo número, la fracción

es la unidad, es decir, 1.

Esto se debe a que el resultado de la división de un número entre sí mismo es 1.

Ejemplo:

También existe otro tipo de fracciones: las fracciones mixtas, que no veremos en

esta sección.

Fracción Mixta: es un número entero escrito junto a una fracción.

Ejemplo:

3½ = 3,5

Simplificar o Reducir Fracciones

Métodos para Simplificar Fracciones: divisiones sucesivas,

descomposición y máximo común divisor. Saber si una Fracción es Irreductible

Ejercicios

Introducción

Sabemos que las fracciones representan números (el número que se obtiene al

calcular la división numerador dividido entre denominador), pero existen infinitas

fracciones que representan al mismo número.

Por ejemplo

Pero también las siguientes fracciones representan al mismo número:

Puesto que todas representan al mismo número, decimos que las fracciones

son equivalentes(o iguales).

Es más cómodo si todos escogemos la misma fracción para representar 0.5, por

ejemplo, la fracción

1/2

Además, si tenemos que calcular la división para saber qué número representa,

realizar operaciones con la fracción (sumar, multiplicar, elevar al cuadrado…) o

escribirla un gran número de veces, es más rápido y más improbable equivocarse si es una fracción pequeña.

Por convenio, trabajaremos con la fracción que sea irreductible, que es la fracción

cuyo numerador y denominador son lo más pequeños posible, pero números enteros (sin decimales).

Dada una fracción, para encontrar su fracción equivalente irreductible tenemos que simplificarla (o reducirla) al máximo.

En esta página vamos a ver tres métodos para simplificar fracciones:

el primero consiste en dividir sucesivamente numerador y denominador por el mismo número;

el segundo, en escribir el numerador y el numerador como productos

para tachar los factores comunes; y el tercero, en dividir numerador y denominador por el máximo común

divisor ( MCD).

En realidad, en los tres métodos se realizan las mismas divisiones pero de formas

distintas. Con cualquiera de ellos obtendremos la misma fracción irreductible.

No obstante, nosotros recomendamos el tercero (máximo común divisor).

== Método 1 ==

Dividir numerador y denominador reiteradamente

Dividimos numerador y denominador por el mismo número de modo que las

divisiones sean exactas (sin decimales).

Repetimos el proceso hasta que no podemos dividir más veces.

Ejemplo:

Como los números terminan en 5, son divisibles por 5.

No podemos seguir dividiendo por naturales (2, 3, 4, 5, 6,...) sin que aparezcan

decimales. Esto indica que la fracción obtenida es irreductible.

Nota: consideramos que la fracción está formada por números naturales (es decir,

el numerador y el numerador son números sin decimales y sin signo).

== Método 2 ==

Descomponer numerador y denominador como producto

de potencias de números primos

Al escribir el numerador y el denominador como un producto de

potencias de números primos tendremos bases comunes en el numerador y en el denominador (a no ser que la fracción sea irreductible) y podemos simplificar

aplicando las propiedades de las potencias (tachar los factores que se repiten).

Ejemplo:

En el numerador tenemos 5 al cuadrado y en el denominador al cubo. Al

simplificar, quedarán un 5 y un 3 en el denominador:

Nota: el exponente del 5 del numerador es 2 y del 5 del denominador es 3. La resta

de los exponentes es 2 - 3 = -1. El -1 indica que se queda en el denominador (signo negativo) la potencia elevado a 1 de base 5.

** Método 3 **

Máximo Común Divisor

Este es el método que recomendamos y que, además, es muy simple:

1. Calculamos el máximo común divisor del numerador y del denominador 2. Dividimos el numerador y el denominador por el máximo común

divisorcalculado anteriormente.

La fracción obtenida es irreductible.

Recordamos que el máximo común divisor (MCD) de dos números es, como

indica su nombre, el mayor número que divide a ambos números.

Para obtener el MCD de dos números tenemos que escribirlos como potencias de

primos. Entonces, el MCD es el producto de las potencias que se encuentran en

ambas descomposiciones pero con el exponente menor.

Ejemplo: vamos a simplificar la fracción

Descomponemos el numerador:

Por tanto, la descomposición de 36 es:

Descomponemos el denominador:

Por tanto, la descomposición de 60 es:

Las bases comunes en ambas composiciones son 2 y 3. El 5 no lo es porque sólo

está en la descomposición de 60.

El exponente menor del 2 es 2 (es igual en ambos) y el exponente menor de 3 es 1

(es 2 en la de 36 y 1 en la de 60).

Por tanto,

Finalmente, dividimos en la fracción por el MCD:

Saber si una fracción es irreductible

Una cuestión típica que surge cuando simplificamos fracciones es saber cuándo la fracción ya es irreductible.

La mejor forma para saberlo es comprobar que el máximo común divisor del

numerador y del denominador es 1. Esto significa que no existe ningún número que divida al numerador y al denominador y, por tanto, no podemos seguir

reduciendo la fracción.

Ejercicios Resuélvelos en hojas blancas

Ejercicio 1

Encontrar la fracción irreductible equivalente a cada una de las siguientes fracciones:

Ejercicio 2

Calcular el valor de la incógnita x en cada una de las fracciones:

Ejercicio 3

Simplificar las fracciones haciendo uso del máximo común divisor:

Sumar y Restar Fracciones

Operaciones entre Fracciones con el mismo denominador y con denominador distinto

Suma de Fracciones Negativas y Fracciones con varios signos Negativos

Ejercicios

Introducción

Puesto que las fracciones representan números (decimales, generalmente), tiene sentido que podamos realizar operaciones entre

fracciones: sumar, restar, multiplicar, dividir, etc.

En esta sección vamos a ver cómo sumar y restar fracciones. En ambas operaciones distinguiremos dos casos:

el denominador de las fracciones es el mismo el denominador de las fracciones es distinto

En cualquier caso, no olvidemos que siempre tenemos que simplificar el resultado.

Con el Mismo Denomindor

Como la suma

Suma

El denominador se mantiene. Sólo tenemos que sumar los numeradores.

Ejemplo:

Representación gráfica:

Resta

Sólo tenemos que restar los numeradores.

Ejemplo:

Representación gráfica:

Con Distinto Denominador

Como la suma

Tanto para la suma como para la resta, si los denominadores de las fracciones no

son el mismo, entonces tenemos que lograr que lo sean.

Lo que haremos en estos casos es escribir una fracción equivalente a cada uno de

los sumandos. Veamos cómo:

Suma

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores (factores

comunes y no comunes al mayor exponente)

Ejemplo:

La descomposición de 14 en números primos es:

14=7⋅214=7⋅2

El número 7 no se puede descomponer en primos ya que él mismo es un

primo.

Los factores que aparecen en las descomposiciones son 2 y 7, ambos con

exponente 1.

El mínimo común múltiplo es el producto de todos los factores al mayor exponente. Por tanto, el mínimo común múltiplo de 7 y 14 es

2. En el denominador de cada fracción escribimos el mínimo común múltiplo

obtenido:

Ejemplo (continuación):

3. En el numerador de cada fracción escribimos el resultado de dividir el

mínimo común múltiplo (el nuevo denominador) entre el denominador

inicial y multiplicarlo por el numerador inicial:

Ejemplo (continuación):

El denominador inicial de la primera fracción era 7 y el numerador inicial era 4:

El denominador inicial de la segunda fracción era 14 y el numerador inicial era 3:

Por tanto,

Como los denominadores son iguales, sumamos los numeradores:

Representación gráfica:

Resta

Del mismo modo que en la suma, hacemos que los denominadores sean el mismo:

Como los denominadores son iguales, restamos los numeradores:

Representación gráfica:

Método alternativo (distintos denominadores)

Otro método alternativo para conseguir el mismo denominador es multiplicar en el

numerador y el denominador de cada fracción por el denominador de la otra fracción.

Ejemplo:

Recomendamos el método anterior (el del mínimo común múltiplo) ya que en el que acabamos de ver

tenemos que calcular productos y sumas de números que normalmente son

grandes la mayoría de las veces los resultados son fracciones que se tienen que

simplificar

No obstante, podemos escoger el método que prefiramos ya que ambos son igual

de válidos.

Suma de Fracciones Negativas

Cuando las dos fracciones a sumar son negativas se procede el mismo modo que

en los casos anteriores pero en el numerador tendremos la suma de dos números negativos.

Tenemos que realizar las operaciones al igual que hacemos con los números

enteros.

Ejemplo (mismo denominador):

Ejemplo (distinto denominador):

Operaciones entre Fracciones con signos Negativos

Como

Una fracción puede tener un signo negativo en el numerador y/o en el denominador

y/o delante de la fracción:

Si sólo tiene un signo negativo, la fracción es negativa:

Si tiene dos signos negativos, la fracción es positiva:

Si los signos son positivos, la fracción es positiva (normalmente, no

encontraremos fracciones escritas de este modo ya que el signo positivo suele reservarse para indicar una suma):

Los casos anteriores son el resultado de aplicar la regla de los signos (del producto).

35 Ejercicios; Resuélvelos en hojas blancas

Ejercicio A

Calcular las siguientes sumas y restas de fracciones con denominador común y

simplificar, si es posible, el resultado.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio B

Calcular las siguientes sumas y restas de fracciones con distinto denominador y

simplificar, si es posible, el resultado.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Multiplicación y División de Fracciones

Multiplicación de Fracciones División de Fracciones

Notas y Consejos Producto/División de un Entero por una Fracción

Ejercicios

Introducción

Como sabemos, las fracciones representan números. Entonces es lógico que se

puedan sumar, restar, multiplicar y dividir al igual que hacemos con los números enteros o los decimales.

En esta sección vamos a ver cómo multiplicar y dividir fracciones. A diferencia de

la suma (o resta), estas operaciones no requieren que los denominadores sean iguales.

Finalmente, como es de esperar, el resultado de las operaciones es una fracción, aunque es recomendable escribir su forma irreductible (fracción simplificada al

máximo), por lo que puede acabar siendo un número entero (por ejemplo, al reducir

la fracción 4/2 obtenemos el entero 2).

Multiplicación de Fracciones

El resultado del producto de dos fracciones es la fracción que:

en el numerador tiene el producto de los numeradores

en el denominador tiene el producto de los denominadores

Ejemplo (el punto · representa la operación multiplicación):

En este ejemplo el resultado ya es irreductible.

Como regla mnemotécnica, suelen escribirse las flechas Paralelas (Producto) para indicar los números que deben multiplicarse; para el Cociente (división) se utilizan

las felchas Cruzadas.

División de Fracciones

La división de dos fracciones es la fracción que:

su numerador es el producto del numerador de la primera fracción y del denominador de la segunda

su denominador es el producto del denominador de la primera fracción y

del numerador de la segunda

Ejemplo (los dos puntos : representan la división):

Notas y Consejos

Regla mnemotécnica: el Producto se calcula multiplicando en Paralelo y

elCociente (división) se calcula multiplicando en Cruz.

La división puede representarse como un cociente de fracciones. Por

ejemplo,

Regla mnemotécnica: en el numerador multiplicamos el de arriba, 2, por el

de abajo, 7; y en el denominador los dos del medio, 7 y 5.

Producto por el inverso: el producto de una fracción por su inverso (cambiamos numerador por denominador) es 1.

Ejemplo:

El inverso de 2/7 es

Entonces,

Nota: no ocurre lo mismo con la división. Si dividimos la fracción por sí

misma, obtenemos 1; pero no si la dividimos por su inversa (obtenemos su

cuadrado):

El producto es conmutativo:

Pero la división NO es conmutativa:

Excepto en el caso en el que

Producto y División de una Fracción por un Entero

Si queremos calcular el producto o la división de una fracción por un entero,

podemos escribir el entero como una fracción (cuyo denominador es 1) y aplicar

las reglas que hemos visto.

Ejemplo: consideremos el entero 3 y la fracción

Podemos escribir el entero como

Su producto es:

Las divisiones son:

Nota: el producto (o división) de una fracción por un real se calcula del mismo

modo.

Interpretación del Producto de Fracciones

Habitualmente nos encontramos con problemas (de aplicación de las fracciones)

en los que tenemos que calcular sumas y restas de fracciones, o bien, fracciones de una cierta cantidad. Recordemos que cuando queremos calcular la fracción de una

cantidad multiplicamos la fracción por dicha cantidad.

Por ejemplo, dos tercios de 27 son

Aunque pueda parecer extraño, en ocasiones las cantidades de las cuales queremos conocer su fracción es también una fracción (ver ejercicio 9). Entonces, tenemos

que calcular el producto de las dos fracciones.

Por ejemplo, dos tercios de tres cuartos son:

(en la última igualdad hemos reducido la fracción)

La División escrita como un Producto

Puesto que dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso, podemos transformar las divisiones de fracciones en productos de fracciones.

Esto se consigue multiplicando por el inverso de la fracción que divide.

Ejemplo:

(en la última igualdad hemos reducido la fracción)

10 Ejercicios Resuélvelos en hojas blancas

Ejercicio 1

Calcular los siguientes productos de un entero por una fracción:

Ejercicio 2

Calcular las siguientes divisiones de una fracción y un entero:

Ejercicio 3

Calcular los siguientes productos de fracciones:

Ejercicio 4

Calcular las siguientes divisiones de fracciones:

Ejercicio 5

Calcular x para que se cumplan las igualdades:

Ejercicio 6

¿Qué fracción del total es la mitad de una tercera cuarta parte?

Ejercicio 7

Calcular cuánto son dos tercios de tres quintas partes.

Ejercicio 8

Calcular la división de fracciones

Ejercicio 9

Usamos tres quintas partes del agua de un depósito que sólo contiene tres octavas

partes de su capacidad total.

Calcular la fracción de agua que hemos usado con respecto a la capacidad del

depósito.

Ejercicio 10

Calcular el siguiente cociente de cocientes: