1 bildtransformationen new worlds, new opportunities, new challenges. 4
TRANSCRIPT
1
Bildtransformationen
“New worlds, new opportunities, new challenges.”
4
2
Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue
Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der
Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den
Bildbereich
3
Bildtransformation
Unitäre Bildtransformationen Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation ...
Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation ...
4
Wichtige Anwendungsgebiete Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation
Speziell Bildfilterung
Filterung im Frequenzraum
Bildkompression JPEG, etc
Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung
5
Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822 Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen
Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen
Verlustfreie, invertierbare Transformation
6
Fourier-Reihe
7
Fourier-Reihe))sin()cos(()(
10 tnbtnaatf n
nn
T
dttfT
a0
0 )(1
für 0 < t < T
T
n
T
n
dttntfT
b
dttntfT
a
0
0
)sin()(2
)cos()(2
für n ≥ 1
für n ≥ 1
Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen an und bn einbezogen
Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen
8
Fourier-Reihe
n
tinn
nnn
nnn
nnn
nnn
ega
tnda
tnca
tnbtna
tnbtnaatf
0
10
10
0
10
)sin(
)cos(
)sin()cos(
)sin()cos()(
xjxe xj 2sin2cos2
9
Beispiel Rechteck-Signal
10
11
12
13
14
15
16
17
Beispiel Sägezahn-Signal
18
19
20
21
22
23
24
25
Fourier-Reihe
n
tinn
nnn
nnn
nnn
nnn
ega
tnda
tnca
tnbtna
tnbtnaatf
0
10
10
0
10
)sin(
)cos(
)sin()cos(
)sin()cos()(
xjxe xj 2sin2cos2
26
Fourier Transformation
F f x e dx
f x F e d
j x
j x
( ) ( )
( ) ( )
2
2
xjxe xj 2sin2cos2
ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen
27
Fourier Transformation
Fourier Transformierte ist komplex
F F e j( ) ( ) ( )
Aufspaltung in Betrag und Phase
F F F( ) ( ) ( ) 2 2
( ) arctan
( )
( )
F
F
“Spektrum”
“Phase”
F F j F( ) ( ) ( )
28
Fourier Transformation
Beispiel
F f x e dx
A e dx
A
je
A
je
A
je e e
AX e
j x
j x
X
j x X
j X
j X j X j X
j X
( ) ( )
sin( )
2
2
0
20
2
2
21
2
FA
X e
AXX
XAX X
j X( ) sin( )
sin( )
( )
sinc
X
A
AX
X 1
f x( )
F( )
29
Impuls & sinc
30
2D Fourier Transformation
F f x y e dxdy
f x y F e d d
j x y
j x y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( )
( )
1 22
1 22
1 2
1 2
1 2
F F F( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2
2
1 2
2
( , ) arctan
( , )
( , )
1 2
1 2
1 2
F
F
31
Abtastungf n f x n x n N[ ] ( ), { , , } 0 0 1
Abtastungsgröße
32
Diskrete Fourier Transformation
uN x
1F u
Nf n e
f nN
F u e
n
Nj
un
N
u
Nj
un
N
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
10
1 2
0
1 2
33
Diskrete 2D Fourier Transformation
F v uMN
f m n e
f m nMN
F v u e
n
Nj
un
N
vm
M
m
M
u
Nj
un
N
vm
M
v
M
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
1
1
0
12
0
1
0
12
0
1
34
Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild)
wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier-Koeffizienten transformiert
Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken:
F F e j( ) ( ) ( )
F F F( ) ( ) ( ) 2 2
( ) arctan
( )
( )
F
F
“Amplituden Spektrum”
“Phasen Spektrum”
35
Fourier Spektrum
N x M Pixel N x M Frequenzen
real komplex
Bild Spektrum
Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle
Amplitude = Höhe einer Welle (=„Wichtigkeit“)
Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung
Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle
Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt
36
Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t)
werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen!
ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt
Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen!
JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv
37
Fourier Wellen
38
Fourier Wellen
39
Fourier-Wellen
40
Fourier-Wellen
41
Fourier-Wellen
42
2D Fourier Transformation
f x y( , ) F( , ) 1 2
43
Spektrum-Abtastdichte Relation
44
Fourier Spektra
45
Fourier Spektra
46
Fourier Spektra
47
Fourier Spektra
48
Eigenschaften
f m m n n
F v u ej
un
N
vm
M
[ , ]
[ , ]
0 0
2 0 0
Translation
0
49
Eigenschaften
f r r
F
[ sin , cos ]
[ sin , cos ]
0 0
0 0
Rotation
50
Eigenschaften
F v u F v u N F v M u F v M u N[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
Periodizität
die DFT eines Bildes ist periodisch
Symmetrie
],[],[ uvFuvF
reel ][ falls ][ ][ m,nf,-v, -uF*v,uF
die DFT eines Bildes ist symmetrisch
51
Eigenschaften
Separierbarkeit
f m n[ , ]
n
m
F m u[ , ]
u
m
F v u[ , ]
u
v
Transformation Transformation
der Zeilen der Spalten
F v uMN
e f m n e
f m nMN
e F v u e
jvm
M
n
Nj
un
N
m
M
jvm
M
u
Nj
un
N
v
M
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
1
1
2
0
1 2
0
1
2
0
1 2
0
1
52
Eigenschaften
F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert)
Linearität:
53
Fourier Spektra
54
Fourier Spektra
55
Fourier Spektra
56
Fourier Spektra
57
Fourier Spektra
58
Translation & Rotation: Power
59
Translation & Rotation: Phase
60
Manipulation des Fourier Spektrums
Amplitude AmplitudePhase
r eaj a
r eaj b r eb
j a
r ebj b
61
Manipulation des Fourier SpektrumsPhase
Amp = 1Phase = Frau
Amp = Frau Phase = 0
Amp = RechteckPhase = Frau
Amp = FrauPhase = Rechteck
62
Bildtransformation
Fourier Transformation+ Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen
(Manipulation)– Transformierte komplex (Spektrum & Phase)– Fließkomma Koeffizienten – Transformierte redundant (Symmetrie)
Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung
63
Parametrische Transformation Darstellung der Bildinformation anhand von
veränderten Ortsraumparametern, z.B.
Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar)
Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen
f m n f r[ , ] [ , ]
64
Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des
Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels
R x f x y x y dy ( ) ( cos sin , sin cos )
x x y
y x y
cos sin
sin cos
65
Radon Transformation
x
y
R x0 ( )
R x45 ( )
R x90 ( )
66
Radon Transformation
x
x
x
67
Radon Transformation
x
max ( ) ,R x xo 94 101
x
68
Radon Transformation
69
Radon Transformation
70
Unitäre Bildtransformation
G A FA
F A GA
M N
M
T
N
T* *
Definition einer separablen & symmetrischen Transformation
A A I A A IN N
T
M M
T* *, Orthonormalität
ZeilentransformationBild
Transformiertes Bild
Spaltentransformation
dim( ) , dim( )
dim( ) , dim( )
F G
A A
M N M N
N N M MN M
71
Unitäre Bildtransformation Basisbilder (2D Basisvektoren)
A a ak l k l
T
,* * *
F G A , ,*k l
Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen
F
A a A aM k N l
,
72
Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums0 1 3 1 2 0 1 2
2 3 2 0 1 2 2 2
1 1 3 0 2 2 0 1
1 1 1 1 1 2 2 2
0 2 1 1 0 0 0 2
3 0 3 1 0 0 2 2
3 3 0 1 2 1 2 0
2 2 1 1 1 1 1 0
, =
• Lege jede Maske über das Bild• Multipliziere Maske & Pixel paarweise• Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl• Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild
=> ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!
73
Walsh-Hadamard Transformation Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation
A
1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
74
Walsh-Hadamard Transformation
75
Haar Transformation
A
1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 2 2
2 2 0 0 0 0 0 0
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2
Reelle Transformation Schnell Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation
76
Haar Transformation
77
Cosinus Transformation
11,2
)12(cos
2
0,1
][Nu
N
un
N
uNua
Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung
(DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW
78
Cosinus Transformation