1. ความสัมพันธ์ · เรนจ์ คือ...
TRANSCRIPT
สงทจะไดในวนน
1. ความสมพนธ
2. การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
สมบตทส ำคญ
1. )()( CABA )( CBA =
2. )( CBA = )()( CABA
3. )( CBA = )()( CABA
ควำมสมพนธ (relation)
นยำม r เปนควำมสมพนธ จำก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B
ตวอยำง ก ำหนดให A = { 1, 2 ,3 ,4 } , B = { 0, 2 ,4 ,6 } ให r แทนควำมสมพนธ “ มำกกวำ” จำก A ไป B
จะได r = { (1,0) ,(2,0) ,(3,0) ,(3,2) ,(4,0) ,(4,2) }
หรอ r = { (x,y) A x B | x > y }
ตวอยำง
ถำ r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }
ก ำหนด A = { 0,1,5 } และ B = { 1,3,6} จงหำ
ถำ r2 = { (x,y) A x B | x+y > 4}
ถำ r3 = { (x,y) A x B | x+y เปนจ ำนวนค}
ตวอยำง จงหำควำมสมพนธระหวำงสมำชกตวหนำ และตวหลงของทกคอนดบในแตละควำมสมพนธ
ถำ r1 = { (1,2) , (3,4) , (5,6) }
ถำ r3 = { (1,2) , (2,4) , (3,6) , (4,8)}
ถำ r4 = { (1,1) , (2,4) , (3,9), (4,16) }
ตวอยำง ก ำหนด A = { x | x เปน จ ำนวนเตม }
B = { x | x เปน จ ำนวนเตมบวก }
ถำ r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }
เขยน r1 แบบแจกแจงสมำชกไดดงน
r1 = { (1,1) ,(-1,1) ,(2,4) ,(-2,4) ,(3,9) ,(-3,9) , . . . }
โดเมนและเรนจ บทนยำม
ให r แทนควำมสมพนธจำก A ไป B โดเมนของ r คอสมำชกตวหนำของคอนดบใน r เขยนแทนโดเมนของ r ดวย Dr
เรนจของ r คอสมำชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนเรนจของ r ดวย Rr
𝑫𝒓 = 𝑥 ∈ 𝐴 |ม 𝑦 ∈ 𝐵 ซง 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑟
𝑹𝒓 = 𝑦 ∈ 𝐵 |ม 𝑥 ∈ 𝐴 ซง 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑟
เมอ r เปนความสมพนธจาก A ไป B
ตวอยำง ก ำหนด r = { (1,2) ,(2,3) ,(3,4) ,(4,5) }
จะได Dr = { 1 ,2 ,3 ,4 }
Rr = { 2 , 3 , 4, 5 }
ก ำหนด r = { (x,y) I+x I+ | y = 2x }
เขยน r แบบแจกแจงได r = {(1,2),(2,4),(3,6) ,(4,8) , . . . }
{ 1, 2 ,3, …} = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวก }
Rr = { 2 ,4, 6 ,…} = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวกค} ดงนน Dr =
สรปกำรหำโดเมนและเรนจ
1.แบบแจกแจงสมำชก
โดเมน คอ เซตของสมำชกตวหนำของคอนดบทกคในควำมสมพนธ
เรนจ คอ เซตของสมำชกตวหลงของคอนดบทกคในควำมสมพนธ
2.แบบบอกเงอนไข
กำรหำโดเมน 1. เขยนเงอนไขใหอยในรป y = เทอมของ x
2. พจำรณำวำ คำ x ใดบำงทท ำให y หำคำได
3. โดเมนคอ เซตของคำ x ทงหมด ทท ำให y หำคำได
กำรหำเรนจ 1. เขยนเงอนไขใหอยในรป x = เทอมของ y
2. พจำรณำวำ คำ y ใดบำงทท ำให x หำคำได
3. เรนจคอ เซตของคำ y ทงหมด ทท ำให x หำคำได
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | xy-x-3y+1 = 0 }
วธท ำ 1. หำ Dr
1. จด y = เทอมของ x จากสมการ xy-x-3y+1 = 0
xy- 3y = x -1
y(x-3) = x-1
y =
𝑥 − 1
𝑥 − 3
เศษสวน ตวสวนหำมเปนศนย x ไมเทำกบ 3
ดงนน Dr = R – { 3}
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | xy-x-3y+1 = 0 }
วธท ำ 1. หำ Rr
1. จด x = เทอมของ y จากสมการ xy-x-3y+1 = 0
xy- x = 3y-1
x(y-1) = 3y-1
x =
3𝑦 − 1
𝑦 − 1
เศษสวน ตวสวนหำมเปนศนย y ไมเทำกบ 1
ดงนน Rr = R – { 1}
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 92 xy
วธท ำ หาโดเมน จาก 92 xy
จะหาคา y ไดกตอเมอ x2 - 9 0
(x-3)(x+3) 0
ดงนน x -3 หรอ x 3
ดงนน Dr = }33|{ xxRx
จด y ในเทอมของ x
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 92 xy
วธท ำ
y2 = x2 - 9
หาเรนจ พจารณาเปน 2 กรณ
จาก x2 - 9 0
จะได 092 x
ดงนนเรนจ r = }0|{ yRy
กรณท 1 จด x ในเทอมของ y กรณท 2 พจำรณำจำกโจทย
y2 + 9= x2
X = ± 𝑦2 + 9
∴ 𝑅𝑟 = 0, ∞ ∴ 𝑦 ∈ 𝑅
กรณ 1 ∩ กรณ 2 ∴ 𝑅𝑟 = 0, ∞
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 2416 xy
วธท ำ หาโดเมน จาก 2416 xy
จะหาคา y ไดกตอเมอ 16-4x2 0
0
ดงนน
ดงนน Dr = 2,2
จด y ในเทอมของ x
4x2 -16 x2 -4 0
(x-2)(x+2) 0
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 2416 xy
วธท ำ
y2 = 16-4x2
หาเรนจ พจารณาเปน 2 กรณ
x จะหาคาไดกตอเมอ 16−𝑦2
4 ≥ 0
016 2 y
}0|{ yRy
กรณท 1 จด x ในเทอมของ y
4x2 = 16- y2
X = ±16−𝑦2
4
∴ 𝑅𝑟 = 0,4
044 yy
−4 ≤ 𝑦 ≤4
16-4x2 0จะได
0416 2 x
กรณท 2 พจำรณำจำกโจทย
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด
r = { (x,y) | 𝒙 − 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 = 4 } วธท ำ หาโดเมน จะได 𝒚 − 𝟑 = 4 - 𝒙 − 𝟐
เนองจาก 𝒚 − 𝟑 ≥ 𝟎 จะได 4 - 𝒙 − 𝟐 ≥ 0
𝒙 − 𝟐 ≤ 4
-4 ≤x-2≤ 4 -2 ≤ x≤ 6
∴ 𝐷𝑟 = −2,6
ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด
r = { (x,y) | 𝒙 − 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 = 4 } วธท ำ หาเรนจ จะได 𝒙 − 𝟐 = 4 - 𝒚 − 𝟑
เนองจาก 𝒙 − 𝟐 ≥ 𝟎 จะได 4 - 𝒚 − 𝟑 ≥ 0
𝒚 − 𝟑 ≤ 4
-4 ≤ y-3≤ 4 -1 ≤ y ≤ 7
∴ 𝑅𝑟 = −1,7
ฝกทกษะ
จงหำ โดเมนและเรนจ ของควำมสมพนธตอไปน
1. r = { (x,y) | 𝒚 =𝟓𝒙+𝟑
𝟐𝒙+𝟒 }
2. f = { (x,y) | 𝐲 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 } 3. r = { (x,y) | 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 5 }
กรำฟควำมสมพนธ
บทนยำม
ให R เปนเซตจ ำนวนจรง r เปนสบเซตของ R x R กรำฟของควำมสมพนธ r คอ เซตของจดในระนำบ โดยทแตละจดแทนสมำชกของควำมสมพนธ r
ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }|),{( 2xyIIyx
(1,1) (0,0)
(2,4)
(-1,1)
(-2,4)
( กราฟมลกษณะเปนจด )
ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }|),{( 2xyRRyx
(1,1)
(0,0)
(2,4)
(-1,1)
(-2,4)
( กราฟมลกษณะเปนเสน เนองจากโดเมนคอ R )
ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }31|),{( xRRyx
(กราฟมลกษณะเปนพนท)
ตวอยำง ก ำหนดกรำฟ r ดงรป จงหำโดเมน และเรนจของ r
O 9
3
โดเมนของ r คอ
เรนจของ r คอ
(เงากราฟทแกน X )
(เงากราฟทแกน Y )
[0,9] [0,3]
สรปกำรหำโดเมนและเรนจ
3. กรำฟ
โดเมน คอ พจำรณำคำของ x ทงหมดบนแกน X ทใชในกำรเขยนกรำฟ
เรนจ คอ พจำรณำคำของ y ทงหมดบนแกน Y ทใชในกำรเขยนกรำฟ
สรปกำรหำโดเมนและเรนจ
1.ควำมสมพนธในรปสมกำรเชงเสน
r ={(x,y)∈R×R } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = R 2.ควำมสมพนธทมเงอนไขอยในรปเศษสวน
r ={(x,y)∈R×R𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑เปนคาคงตว} แลว
𝐷𝑟 = {x𝜖R ≠-𝑑
𝑐} = R -{−
𝑑
𝑐}
𝑅𝑟 = {x𝜖R ≠𝑎
𝑐} = R -{𝑎
𝑐}
3.ควำมสมพนธทมเงอนไขอย คำสมบรณ
r ={(x,y)∈R×R 𝑥 + 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = [0, ∞)
สรปกำรหำโดเมนและเรนจ
4.ควำมสมพนธทมเงอนไขอยในรปกรณฑอนดบค
1. r ={ (x,y)∈R×R 𝑥2 − 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 =(-,- 𝑎] ∪ [ 𝑎 ,∞) , 𝑅𝑟 = [0, ∞)
𝒙𝒏 เมอ x เปนจ ำนวนจรง และ n เปนจ ำนวนคบวก หำคำไดเมอ x ≥ o
2. r ={ (x,y)∈R×R 𝑎 − 𝑥2 } แลว 𝐷𝑟 = [− 𝑎 , 𝑎] , 𝑅𝑟 = [0, 𝑎]
3. r ={ (x,y)∈R×R 𝑥2 + 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = [ 𝑎,)
จงหาโดเมนและเรนจ ของความสมพนธตอไปน
จงหาโดเมนและเรนจ ของความสมพนธตอไปน
ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันstaff.cs.psu.ac.th/pennee/344-281/04-RelFun-Lec.pdf · การเท่ากันของคู่อันดับ
· เงามืด . คือ บริเวณที่แสงเดินทางไปไม่ถึงทั้งหมด. 2. เงามัว . คือ บริเวณที่มีแสงบางส่วนเดินทางไปถึง