（付録） 「電気感受率：半古典論（１）」 1. 波動関数 2. 古典論から半古典論へ 3. 電気感受率 4. 複素数表示と実数表示 5. 二準位系のハミルトニアン 6. パウリ行列 7. 密度行列 8. 演算子行列要素 9. 密度行列の運動方程式

暫定版 修正・加筆の可能性あり

付録（4１４、５）のアプローチ：半古典論（semiclassical theory） 1. 電気感受率（複素数）を半古典論で求める。古典論と半古典論の比較を行う。 2. 電磁波（光）は古典的に扱う。（振動電場Ｅ：実数） 3. 分極振動に関与する電子のみ量子的に扱う。（電子位置：演算子） 4. 本付録の内容は量子力学の基本的な知識を必要とします。 5. 参考文献：P. Meystre and M. Sargent III「Elements of Quantum Optics, Third Edition」p.103、Sptinger 6. 和訳版：矢島、清水（共訳）「量子光学の基礎」p.113、シュプリンガー・フェアラーク東京

４１４－1

４１４－2

波動関数

( ) ( )ˆti H t

tψ

ψ∂

=∂

エイチバー：ｈ/２π（プランク定数： Planck's constant ）

シュレーディンガー方程式 Schrodinger equation 本当は「ウムラルト：o」

ハミルトニアン：Hamiltonian ハット：演算子（operator）

自由電子（一個）の場合：簡単のためｚ成分のみ

22 2 2

2

ˆˆ2 2pH i im z t m z

ψ ψ∂ ∂ ∂ = → − ⇒ = − ∂ ∂ ∂

波動関数 wave function

( ) ( ), expz t i kz tψ ω∝ −

波動関数（物質波）：前進進行波（＋ｚ軸） アインシュタイン、ド・ブロイの関係式

お約束：本付録では • 虚数単位「ｉ」を使用 • 波動関数と電磁波（光）の複素数表示を

一致させる。参照：412-12

波動関数（物質波）と区別するため • 光波の角周波数（ν）：ニュー • 光波の波数Ｋ：大文字 • 振幅：赤色（正実数）、青色（複素数）

,E p kω= =

( )

( )

cos

expi i

Kz t

i KA

A A

z t

e e

A

Aφ φ

ν φ

ν− −

− −

−

= =

電子の運動エネルギー

2 2E p m=

４１４－3

古典論から半古典論へ（１）

古典論の分極振動 • 電気感受率χ： electric susceptibility • 誘電分極Ｐが電場Ｅに比例する場合に限定

0ε χ=P E

複素数表示：電場Ｅ、平面進行波（＋ｚ軸）

( ) ( ), expxE z t iA Kz tν= −

電気感受率：参照412-14 • 実部と虚部：媒質の屈折率と損失 • 虚数部の符号に注意（ーνのため）

' ''iχ χ χ= +

分極振動： • 振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の

集団運動（参照：411-20） • 電気双極子モーメントベクトルｐの向き：電

子から原子核（正電荷）

( )tr

伸縮する電気双極子 • 例：横並び（一次元） • 青丸：電子、赤丸：原子核 • 光の波長より短い微小領域

( ) 0t =r

時間経過

ｚ軸

( )e t=p r( )tr

４１４－4

古典論から半古典論へ（２）

半古典論のための準備（まだ、古典論ですが） • ある一個の原子に注目：電気双極子モーメントを

計算して最後に「Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。

• 原子核の位置ベクトル • 原子核の位置の座標系：大文字 • 原点は任意

• 原子核を基準とした束縛電子の位置ベクトル • 電子の位置の座標系：小文字 • 原点は原子核

( ), ,X Y Z=R

( ), ,x y z=r

( ), ,x y z=r原子核

座標系：イメージ

電子

原子核の位置座標の原点

O

( ), ,X Y Z=R

Z軸

X軸

Y軸

N=P p

• 簡単のため：「原子核の位置：Ｒ」の振動電場ＥはＸ成分のみ、平面進行波（＋Ｚ軸）とする。

• 原子核位置：大文字を使用 • 添字：大文字を使用

４１４－5

古典論から半古典論へ（３）

半古典論のための準備 • 電気双極子モーメント • 負符号の意味：ベクトルの向き • 古典論：電子から原子核（正電荷） • 半古典論：原子核から電子

古典論 半古典論への準備

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

, ,0,0

, , , ,

, exp

X

X X

X

t E

E t E X Y

A

Z t

E Z t i KZ tν

=

=

⇓

= −

E R

R

e e= → −p r r

• 誘電分極Ｐ：電気双極子モーメントに「Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。

• 振動電場Ｅが「位置Ｚと時間ｔのみに依存する」から、振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子も「Ｚと時間ｔのみに依存する」と考える。

ややこしいかな？ • 原子は電磁波（光）の波長よりも小さい • 原子は波長程度の微小領域内に蜜に存在する。 • 異なる場所（異なるＺ）に位置する原子は異なる電場Ｅを

感じる。 • 振動電場Ｅは「原子核の位置：Ｚ」に依存する。 • 原子核と束縛電子との距離（原子半径）は波長よりも十分

に短いから、両者は同じ電場を感じる。 • 以後、 「原子核の位置」を「原子の位置」と表記する。 • 原子全体が感じる振動電場Ｅは「原子の位置：Ｚ」に依存

する。

( ) ( ), , , ,t X Y Z t Ne= = −P R P r

( ) ( ), , ,Z t Ne Z t= − =P r r r

４１４－6

古典論から半古典論へ（４）

半古典論：束縛電子のみ量子的に扱う • 原子の位置：「Ｘ、Ｙ、Ｚ」は実数扱い

• 束縛電子の位置：位置演算子 • 「ｒ、ｘ、ｙ、ｚ」は演算子扱い • 演算子：「ハット」で区別 • シュレーディンガー像（Schrodinger picture）のた

め、演算子は時間に無依存

• 誘電分極Ｐも演算子：時間依存無

• ある一個の原子に注目：最後にＮを掛ける。 • 運動量ｐと区別せよ！（参照：414-2） • 以後、本付録では運動量ｐを使用しない。 • 「ｐ：小文字」は電気双極子モーメントを意味する。

密度行列（演算子）：density metrix

( ) ( ) ˆ, ,Z t Tr Z tρ = p p

半古典論：電気双極子モーメント

これからやりたいこと！ • 束縛電子（二準位系）のハミルトニアン • 半古典論における誘電分極、電気感受率 • 密度行列の運動方程式 • 電気感受率（古典論）と（半古典論）を比較

密度行列： • 束縛電子（一個）の状態 • シュレーディンガー像において時間依存する唯

一の演算子 • 慣例：「ハット」はつけない。 • 他の演算子は時間変化に対して独立 • 振動電場Ｅは「原子の位置Ｚ」に依存する。 • 電子状態を記述する密度行列も「原子の位置

Ｚ」に依存する。

トレース：trace

( ), ,X Y Z=R

( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x y z=r

ˆ ˆNe= −P r

ˆˆ ˆ ˆe N= − → =p r P p

４１４－7

電気感受率（１）：半古典論

古典論の場合：誘電分極

0ε χ=P E

• 複素数表示：誘電分極Ｐ、振動電場Ｅ • 複素数：電気感受率

半古典論の場合：誘電分極

[ ]ˆTr Nρ= → =p p P p

• 密度行列と電気双極子モーメント演算子との積のトレースで平均値を得る。但し、平均値は実数である。

• 振動電場Ｅも実数扱い。（ここがポイント！） • 最後に「Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。

( ) ( )0 00 0exp ,,Xi iE EE Z t Ki Z t eE Ee φ φν − −= − = =

赤色（正実数）、青色（複素数） 注意：特に強調したいときに色分けします。

振動電場Ｅ：複素数表示 簡単のため：Ｘ成分のみ非零

振動電場Ｅ：実数表示

( ) ( )

( ) ( )**00

2 . .

ex

,

pexp2 2

, XX c c

i Z ti Z

E Z t

Kt EKE

E Z t

νν

= +

− −− = +

複素共役：complex conjugate

半古典論の場合

４１４－8

電気感受率（２）：半古典論

( ) ( ) ˆ,, Tr ZZ t tρ = pp

電気双極子モーメント：実数

( ) ( ), 2 ., .X Xp Zp t cZ ct = +

対応関係：実数表示と複素数表示 簡単のため：Ｘ成分のみ非零

簡略化：Ｘ成分のみ • 電気感受率χ： electric susceptibility • 誘電分極Ｐが電場Ｅに比例する場合に限定

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , , , 2 ., .XX X XXP Z t P Z t Pp Z t E Z tN t cZ cε χ= = = +

電気感受率：複素数

なにが言いたいのかな？：半古典論 •密度行列と電気双極子モーメント演算子の積のトレースにより平均値（実数）を得る。 •複素数表示の電気双極子モーメントと「その複素共役」の和（÷２）が実数表示に対応する。

Ｎ：単位体積に存在する電気双極子数

誘電分極：実数

( ) ( ), ,X XNP Z t p Z t=

対応関係：実数表示と複素数表示

４１４－9

複素数表示と実数表示：波数

波数（複素数）：参照411-18

( )0 0 0 1K cν ν εµ ν ε µ χ= = = +

0 00

01 1 1 12 2 2

Kc

K χ ν χ χχ ν ε µ → + = + = +

電気感受率：近似

00

'''' '' ', '' 0 12 2

KKi K i χχχ χ χ χ χ = + > → + +

真空中の波数：実数

00 0

'''1 ,2 2

KK K K Kn iKχχ = + = Γ = → + Γ

媒質中の波数：実数 媒質中の損失：実数 媒質中の屈折率：実数

虚数部の符号に注意（－νのため） 真空中の光速

４１４－10

複素数表示と実数表示：振動電場

振動電場Ｅ：複素数表示

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

exp

exp exp

exp

,

,

X

X

i Z t

Z i Z

E Z t K

E Z t

K

E

E

E Z

t

i Z tK

ν

ν

ν

= −

= −Γ −

⇓

= −

関係を整理：複素数表示と実数表示

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

*0

0

*0

*

expexp2 2

expexp2 2

cos , e p

,

x

XE Z t

KK

E Z K E Z

KK

Z

E i Z ti Z t

i Z ti Z t

E

EE

E

Z

Z t Z

νν

νν

ν φ

− −− = +

− −− = +

= − − = −Γ

( ) ( )0 0

0

0

exp

i i

KE

KE E

E

ie

Z

e

ZE

φ φ− −

+ Γ

= =

= −Γ

屈折率と損失：振動電場Ｅと誘電分極Ｐの関係

•in-phase：分極振動が大きくなると屈折率が増大、out-of-phase：損失が増大

４１４－11

複素数表示と実数表示：誘電分極（１）

誘電分極Ｐ：電気感受率（複素数表示）

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

*

* *

* *

10 e 2 e 2

' '' e 2 ' '' e 2

' 2 e

,

e '' 2 e e

' 2 e e '' 2 e e

K KX

K K

K K K K

K K K

i Z t i Z t

i Z t i Z t

i Z t i Z t i Z t i Z t

i Z t i Z t i Z t i KZ t

E E

E E

E E E E

E E E E

i i

P Z

i

Z Zt

i

ν ν

ν ν

ν ν ν ν

ν ν ν ν

ε

χ χ χ

χ χ

χ χ

χ

χ χ

− − −−

− − −

− − − − − −

− − − − − −

= +

= + + −

= + + − = + − −

( ) ( ) ( )0 e p, xXP Z t Z KE i Z tε χ ν= −

関係を整理：複素数表示と実数表示

電気感受率：虚数部の符号に注意（－νのため）

' ''iχ χ χ= +

屈折率 損失

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' cos '' s, inX Z t ZP Z t E Z K E K tZε χ ν φ ε χ ν φ= − − − − −

屈折率と損失：振動電場Ｅと誘電分極Ｐの関係（ 前頁と同じ結果）

•「実数の世界で」同じ結果を得るために「複素電気感受率の虚数部の符号」を反転させています。

４１４－12

複素数表示と実数表示：誘電分極（２）

誘電分極Ｐ：電気感受率（複素数表示）

( ) ( ) ( )0 e p, xXP Z t Z KtE i Zε χ ν= −

関係を整理：複素数表示と実数表示

電気感受率：虚数部の符号に注意（νのため）

' ''iχ χ χ= −

屈折率 損失

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' cos '' si, nXP Z t E Z Kt Kt ZEZ Zε χ ν φ ε χ ν φ= − + + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

*

* *

* *

10 e 2 e 2

' '' e 2 ' '' e 2

' 2 e e '' 2 e e

' 2 e e '' 2 e e

, i t Z i t Z

i t Z i t Z

i t Z i t Z i t Z i t

K KX

K K

K Z

i t Z i t Z i t Z i t Z

K K K

K K K K

E E

E E

E E E E

E E E E

P Z Z Z

i

i

i

t

i

ν ν

ν ν

ν ν ν ν

ν ν ν ν

ε

χ χ χ χ

χ χ

χ

χ χ

χ− − −−

− − −

− − − − − −

− − − − − −

= +

= − + +

= + − − = + + −

４１４－13

二準位系のハミルトニアン（１）

ハミルトニアン：Hamiltonian

0ˆ ˆ ˆH H= −p E

右辺第一項：無摂動ハミルトニアン • ディラック（Dirac）表記を使用 • 二準位系

0

0

ˆ 2ˆ 2

a H a

b H b

ω

ω

=

= −

二準位系：two-level system

励起準位：上準位

基底準位：下準位

エネルギー差 ω

a

b

右辺第二項：相互作用ハミルトニアン

( )intˆ ˆ ˆ ˆH e e= − = − − =p E r E r E

( ) ( ) ( ), cosXE Z KEt tZ Z ν= −

電磁場（光）：Ｘ成分のみ（初期位相：零）

( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=

電気双極子と電磁波（光）の相互作用

お詫び：説明省略 • 電気双極子と電磁波（光）の相互作用ハミルト

ニアンの導出 • 参考文献：砂川「量子力学」p.327、岩波書店 注目：相互作用ハミルトニアン • 一様電場（電磁波：振動電場ではない！）と電

気双極子の相互作用エネルギーと同じ表現です。 • 参照：403-16

相互作用ハミルトニアン：interaction

４１４－14

二準位系のハミルトニアン（２）

( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=

電子遷移選択則：電子双極子遷移の場合 selection rules for an electric dipole transition • 波動関数の偶奇性 • 仮定：準位ａb間で電気双極子放射可

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ

a ex a b ex b

a ex b b ex a

= =

= =℘

( )( )

int

* *int

*

ˆ ,ˆ ,

ab X

ba X

ba ab

V a H b E Z t

V b H a E Z t

V V

= =℘

= =℘

=

行列要素：相互作用ハミルトニアン

複素共役

ハミルトニアン：行列表示

0 intˆ ˆ ˆH H H= +

0 3

1 0ˆ ˆ0 12 2

H ω ω σ

= = −

右辺第一項：無摂動ハミルトニアン

二準位系：two-level system

1 0,

0 1a b = =

ａ：励起準位：上準位 ｂ：基底準位：下準位

右辺第二項：相互作用ハミルトニアン

int

0ˆ0ab

ba

VH

V

=

次頁：パウリ行列

４１４－15

パウリ行列（１）

パウリ行列： Pauli matrices

( ) ( )

1

2

3

1 2

1 2

0 1ˆ ˆ ˆ ˆ

1 0

0ˆ ˆ ˆ ˆ

0

1 0ˆ ˆ

0 1

1 00 1

0 1ˆ ˆˆ0 02

0 0ˆ ˆˆ1 02

x

y

z

a b b a

ii b a a b i

i

a a b b

I a a b b

i a b

i b a

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σσ

σ σσ

+ −

− +

+

−

= = = + = +

−

= = = − = −

= = = − −

= = +

+= = =

−

= = =

特徴

2 2 21 2 3ˆ ˆ ˆ Iσ σ σ= = =

( ) ( )ˆ ˆ0, det 1i iTr σ σ= = −

1 2 3 2 3 1

2 1 3 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

i ii I

σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ

= == − =

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

a

b

４１４－16

パウリ行列（２）

1 0,

0 1a b = =

ａ：励起準位：上準位、ｂ：基底準位：下準位

複素共役

ハミルトニアン：Hamiltonian 相互作用ハミルトニアン：非対角要素が複素数

,ab baV i V iα β α β= − = +0 intˆ ˆ ˆH H H= +

int

1 2

0ˆ0

0 1 01 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆx y

iH

i

ii

α βα β

α β

ασ βσ ασ βσ

− = +

− = +

= + = +

ハミルトニアン：パウリ行列表示

0 int

3 1 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2 z x y

H H Hω σ ασ βσ

ω σ ασ βσ

= +

= + +

= + +

行列要素：相互作用ハミルトニアン

( )( )

int

* *int

*

ˆ ,ˆ ,

ab X

ba X

ba ab

V a H b E Z t

V b H a E Z t

V V

= =℘

= =℘

=

４１４－17

密度行列：誘電分極（１）

誘電分極

[ ]ˆN NTr ρ= =P p p

電気双極子モーメント

[ ] ( )( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

Tr Tr e

x y z

ρ ρ = = − =

p p r

r

Ｘ成分のみに注目

( ) ( )ˆ ˆ

ˆ

, ˆX Tr ex a ep Z t x a b ex b

a a a ex a

ρ ρ ρ

ρ

= − = − −

= − ˆ ˆ ˆa b b ex a b a a ex b b b b ex bρ ρ ρ− − −

( )* *

ˆ ˆ

. .ab ba

ab ba ab

b ex a a ex b

c c

ρ ρ

ρ ρ ρ

= − −

= − ℘ − ℘= − ℘ +

( ) ( )* ˆ. . ,, bX a cp Z t c a ex bρ= − ℘ + ℘=

電気双極子モーメント（実数）：Ｘ成分のみに注目

波動関数の偶奇性に由来：参照414-13

４１４－18

密度行列：誘電分極（２）

( ) ( )* ˆ. . ,, bX a cp Z t c a ex bρ= − ℘ + ℘=

電気双極子モーメント（実数）：Ｘ成分のみに注目

( ) ( ) ( )( )

* *

* *

ˆ ˆ2 ., , .

ˆ,

.

2 2X

bX

ab

a

X cc c cp Z t

p Z

p Z

t

t ρ σ σ

ρ σ− +

−

= + = − ℘ + = −℘ −℘

= − ℘ = − ℘

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

0 1ˆ ˆˆ0 02

0 0ˆ ˆˆ1 02

ba

ab

Tr Tr a b b a b b

Tr Tr b a a b a a

i a b

i b a

σ ρσ ρ ρ ρ

σ ρσ ρ ρ ρ

σ σσ

σ σσ

+ +

− −

+

−

= = = =

= = = =

+= = =

−

= = =

関係式：パウリ行列

電気双極子モーメント：パウリ行列

４１４－19

演算子行列要素：ハミルトニアン（１）

相互作用ハミルトニアン：参照414-13

( )int

0ˆ ˆ ,0ab

Xba

VH exE Z t

V

= =

行列要素

複素共役 注意：半古典論では振動電場Ｅは実数扱い！

( )intˆ ˆ ,XEx tH Ze=

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

cos

exp. .

2exp

. .2

,X Z t

i Z tc c

i Z tc c

E Z t E Z K

K

E Z

E Z

K

ν

ν

ν

= −

−= +

−= +

( ) ( )( ) ( )

00

0

0

0 exp

exp0

i iE E e e

Z

E

E Z E Z

E E Z

φ φ

φ

− −=

= −

= −Γ

=

Γ

=

簡単のため：初期位相は零

( )( )

int

* *int

*

ˆ ,ˆ ,

ab X

ba X

ba ab

V a H b E Z t

V b H a E Z t

V V

= =℘

= =℘

=

４１４－20

演算子行列要素：ハミルトニアン（２）

相互作用ハミルトニアン：非対角要素のみ

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

intˆ ˆ

ˆ

expex

,

p2 2

,

ˆ

,Xa

X

b

X

E Z t

E Z t

E Z

V a H b a ex b

a ex b

i Z ti Z t

t

a ex b

E Z KE Z K νν

= =

=

=℘

− −− =℘ +℘

℘=

( ) ( )exp2ab

i ZE Z tKV

ν−℘

回転波近似（rotating wave approximation） 詳細説明：415

４１４－21

ハミルトニアン

( )0 int 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,XE Z tH H H H ex= + = +

行列要素

01 0 2ˆ00 12

2

abab

baba

VVH

V V

ωω

ω

= + = −

演算子行列要素：ハミルトニアン（３）

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

a

b

非対角要素

( ) ( )exp2ab

i ZE Z tKV

ν−℘

*ba abV V=

回転波近似（rotating wave approximation） 詳細説明：415

４１４－22

密度行列の運動方程式（１）

運動方程式：密度行列 束縛電子（一個）の状態

ˆ,i Htρ ρ∂ = − ∂

aa ab

ba bb

ρ ρρ

ρ ρ

=

密度行列：エルミート行列

( )

*

1ab ba

aa bbTrρ ρ

ρ ρ ρ

=

= + =

密度行列要素：結果のみ（計算手順：次頁）

( )*

aaba ab ba ab

bbba ab ba ab

abab ab aa bb

ba ab

i V Vt

i V Vt

i Vt

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ωρ ρ ρ

ρ ρ

∂= −

∂∂

= −∂∂

= − −∂=

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

*

0

2

exp

,

, , ,

,

abX

X X X

X

p Z t

P Z t p Z t E Z t

E Z

N

i Z tE Zt K

ρ

ε χ

ν

= − ℘

= =

= −

' ''iχ χ χ= +

これからやりたいこと：415 •連立一次微分方程式を解いて密度行列要素を求める。 •電気双極子モーメントと誘電分極を計算する。 •電気感受率を求めて古典論と半古典論を比較する。

電気感受率：虚数部の符号に注意（－νのため）

電気双極子モーメントｐと誘電分極Ｐ

４１４－23

密度行列の運動方程式（２）

密度行列要素：連立一次微分方程式の導出

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2

aa

ab ba ab ba

bb

ba ab ba ab

ab

ab ab bb

i a H a a H at

a H a a a a H b b a a a a H a a b b H aV V

i b H b b H bt

b H a a b b H b b b b a a H b b b b H bV V

i a H b a H bt

a H a a b a H b b b a a a H b a b b H b

V

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ω ρ ρ ρ

∂= −

∂= + − −

= −∂

= −∂

= + − −

= −∂

= −∂

= + − −

= + −

( )2aa ab ab

ab ab bb aa

V

V

ωρ

ωρ ρ ρ

− −

= + −

ˆ ˆ ˆ, H H Hρ ρ ρ − = −