0904_3-tenseurs
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TENSEURS
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• Un espace vectoriel physique permet de représenter un état du système étudié comme un point de l’espace.
• L’espace vectoriel représente l’ensemble des états possibles que peut prendre le système : c’est l’espace des états
• Cela détermine la dimension de l’espace à utiliser
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• A cet espace vectoriel E de dimension n, on associe un corps scalaire K.
• Dans cet espace on a choisi un système de coordonnées
• Au système de coordonnées correspond une base (e1, e2, …, en) de n vecteurs
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• A partir de E et de K on peut construire un ensemble de fonctions constitué des homomorphismes de E dans K
• Les coordonnées d’une de ces fonctions sont obtenues en appliquant la fonction sur chacun des vecteurs de base de E
ΛΛΛΛ(ei) = Λi
Si u est un vecteur de E alors u= ui ei
ΛΛΛΛ(u) = ΛΛΛΛ(ui ei) = ui ΛΛΛΛ(ei) = ui Λi
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• On distingue n homomorphismes particuliers à l’aide de la relation canonique
ei (ej) = δij
• On peut alors décomposer tout homomorphisme sur cette famille libre et génératrice
ΛΛΛΛ = Λi ei
• Nous obtenons un nouvel espace vectoriel de dimension n : l’espace dual E* défini sur le corps scalaire K
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• E* étant un espace vectoriel, nous pouvons alors définir son dual en utilisant la même démarche
• Il est impossible de distinguer E** de E. Le bidual est donc confondu avec l’espace vectoriel initial E.
u(ΛΛΛΛ) = u(Λi ei) = Λi u(ei) = Λi uj ej(ei)u(ΛΛΛΛ) = Λi uj δi
j = Λi ui
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• En utilisant E et E* on est alors capable de définir des ensembles de fonctions T définies sur Ep x E*q dans K qui sont linéaires par rapport à chaque argument .
• Chacun de ces ensembles forme un espace vectoriel défini sur le corps K
• Les éléments de ces espaces vectoriels sont appelés tenseurs
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• Les coordonnées de T sont obtenues par la relation suivante :
• T(ei1,…, eip,ej1, …,ejq) = Ti1 …ip j1 …jq
• Les indices i1 à ip et les exposants j1 à jq varient de 1 à n la dimension de E
• T possède donc n p+q composantes
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• Chacun de ces espaces se différencie des autres par sa dimension et donc par la somme : p+q qui détermine le rang du tenseur
• Mais surtout par ses arguments et donc par le couple (q, p) qui détermine le type du tenseur
• La position des indices et des exposants dans l’écriture des coordonnées du tenseur traduit l’appartenance de T à un de ces espaces
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• On connaît les coordonnées d’un tenseur mais comment détermine-t-on la base correspondante ?
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• Prenons un tenseur Tde rang 2 et de type (1, 1)
• Ses coordonnées sont : Tij =T(ei, ej)
T(u, ΛΛΛΛ) = T(ui ei, Λj ej) =ui Λj T(ei, ej)
T(u, ΛΛΛΛ) = ui Λj Tij
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• Opération produit tensoriel
• Soient µµµµ une forme linéaire et v un vecteur
µµµµ ⊗ v (u, ΛΛΛΛ) = µµµµ(u) v(ΛΛΛΛ) = µi ui vj Λj
Cette opération définit une application bilinéaire et constitue bien un tenseur de type (1,1)
Elle est anticommutative
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• Utilisons maintenant les vecteurs et les formes linéaires de base
ei ⊗ ej (u, ΛΛΛΛ) = ei(u) ej(ΛΛΛΛ) = ui Λj
• Nous pouvons définir n2 formes bilinéaires différentes
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• En utilisant les n2 coordonnées Tij nous
pouvons définir un nouvelle forme bilinéaire
T’ = Tij ei ⊗ ej
T’(u, ΛΛΛΛ) = Tij ei ⊗ ej (u, ΛΛΛΛ) = Ti
j ui Λj = T(u, ΛΛΛΛ)
• Les ei ⊗ ej forment donc une base de l’espace des tenseurs de type (1, 1)
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• La démarche est identique pour tous les espaces constitués par les fonctionnelles multilinéaires
• Un élément de la base des tenseurs de type (q, p) s’écrit donc
el1 ⊗ … ⊗ elp ⊗ ek1 ⊗ … ⊗ ekq
D’où
T = Tl1 …lpk1 …kq el1 ⊗ … ⊗ elp ⊗ ek1 ⊗ … ⊗ ekq
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• Le choix du système de coordonnées dans l’espace vectoriel E (et par conséquent de sa base) fixe de façon unique les bases des espaces de tenseurs (et par conséquent leurs coordonnées)
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• Comment déterminer si un objet représenté par une « collection » de n p+q
nombres est un tenseur ?
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• Conséquences d’un changement de système de coordonnées dans E
• base (e1, e2, …, en) → coordonnées (x1, x2, …, xn)
• base (E1, E2, …, En) → coordonnées (y1, y2, …, yn)
• Changement de base Ej= eij
i
yx
∂∂
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• Dans le dual E* nous obtenons alors :
El (Ej) = δlj
( ) lji
lj
i
ij
il
yx
yx δ=
∂∂=
∂∂ eeeeEEEEeeeeEEEE
ljs
j
il
j
i
s
j
xy
yx
xy δ
∂∂=
∂∂
∂∂
)(eeeeEEEE
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On remarque que :
il vient alors :
d’où :
isj
i
s
j
yx
xy δ=
∂∂
∂∂
jj
ll
xy eeeeEEEE
∂∂=
)()( sj
j
lj
sj
l
s
l
sl
xy
xy
xy eeeeeeeeeeeeEEEE
∂∂=
∂∂=
∂∂= δ
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• Reprenons l’exemple du tenseur de type (1, 1)
T = Tij ei ⊗ ej
Dans la nouvelle base on obtient
T = T’lk El ⊗ Ek
• T est un élément d’un espace vectoriel• Ces deux expressions sont donc équivalentes
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• En écrivant cette égalité on détermine la relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées.
• On obtient alors :
i
l
k
jkl
ji x
y
y
xTT
∂∂
∂∂= '
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• Pour déterminer la loi de transformation des coordonnées d’un tenseur de type quelconque il suffit d’appliquer la même démarche.
• On remplace dans l’expression de T les nouveaux vecteurs de base par leur expression en fonction des anciens et les nouvelles formes linéaires de base par leur expression en fonction des anciennes
• Il ne reste plus qu’à identifier terme à terme les coordonnées de T
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Es1 ⊗ … ⊗ Esq ⊗ Ek1 ⊗ … ⊗ Ekp
• Est un élément de base des tenseurs de type (p, q)
•On remplace chaque élément en utilisant ces deux relations
j1
k1
eeeeEEEE
eeeeEEEE
1
1
11
11
k
j
ii
ss
yx
xy
∂∂→
∂∂→
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• La loi de transformation suivie par les coordonnées est donc caractéristique d’une fonctionnelle multilinéaire et dépend directement de son type.
• Tout objet représenté par une collection de nh éléments qui vérifie une de ces lois de transformation est un tenseur
• L’écriture de la loi donne le type (p, q) du tenseur, h= p +q
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• Nous venons de définir une « famille » d’espaces vectoriels.
• Le choix du système de coordonnées dans l’espace géométrique modélisé E fixe les bases pour l’ensemble de la « famille »
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• Quelles opérations peut-on effectuer sur les éléments de cette « famille » ?
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• Un tenseur de type (p, q) appartient à un espace vectoriel.
• On peux donc sommer deux tenseurs de même type (opération interne)
• On peux multiplier ce tenseur par un élément du corps scalaire (opération externe)
• Le résultat de ces opérations est un élément de l’espace vectoriel des tenseurs de type (p, q)
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• A ces deux opérations on ajoute 3 opérations algébriques :
• Le produit tensoriel
• La permutation
• La contraction
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Le produit tensoriel
• L’opération a été introduite dans le but d’expliciter les éléments de base des espaces de fonctions multilinéaires
• Soient µµµµ une forme linéaire et v un vecteurµ µ µ µ ⊗ v (ei, ej) = µµµµ(ei) v(ej) = µi vj
Les coordonnées de la forme bilinéaire sont(µ (µ (µ (µ ⊗ v) i
j = µi vj
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• Cette opération se généralise sous la forme suivante
• Soient T un tenseur de type (p, q) et S un tenseur de type (k, l)T = Ta1 …aq
b1 …bp ea1 ⊗ … ⊗ eaq ⊗ eb1 ⊗ … ⊗ ebp
S = Sc1 …cld1 …dk ec1 ⊗ … ⊗ ecl ⊗ ed1 ⊗ … ⊗ edk
T ⊗ S = Ta1 …aqb1 …bp Sc1 …cl
d1 …dk
(ea1 ⊗ … ⊗ eaq ⊗ eb1 ⊗ … ⊗ ebp)⊗ (ec1 ⊗ … ⊗ ecl ⊗ ed1 ⊗ … ⊗ edk)
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• Le résultat de cette opération est un nouveau tenseur de type (p+k, q+l)
• Les coordonnées du tenseur résultant sont :
• (T ⊗ S) a1 …aqb1 …bp
c1 …cld1 …dk
=
Ta1 …aqb1 …bp Sc1 …cl
d1 …dk
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• Cette opération n’est pas commutative
(T ⊗ S) ≠ (S ⊗ T)
• Il faut donc faire attention à l’ordre des indices et des exposants dans l’écriture des coordonnées
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La permutation
• Les opérations de permutation vont servir à rechercher les symétries (ou antisymétries) que présente un tenseur.
• Une forme bilinéaire est symétrique si :Bi1i2 = Bi2i1
Cette relation doit être vérifiée pour tous les indices i1 et i2
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• Pour que cette relation ait un sens, nous devons écrire l’égalité des n2 composantes de 2 tenseurs
• L’inversion des indices est la traduction d’une permutation particulière définie par :
12
21σ
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• L’opération précédente se traduit alors par :
(σT)i1i2 = Tiσ(1)iσ(2) = Ti2i1 coordonnée i1 i2 de(σT)
=Ti1i2 coordonnée i1 i2 de T
• On a appliqué la permutation σ au tenseur T• Le résultat est un tenseur de même type• La propriété de symétrie est obtenue en
comparant coordonnée à coordonnée les deux tenseurs
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• La généralisation de cette opération à des tenseurs de type (p, q) est :
(σT) a1 …aqb1 …bp = Taσ(1) …aσ(q)
b1 …bp
σ est un permutation du groupe Sq des permutations de q indices
Il n’est pas possible de permuter des indices et des exposants entre eux
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La contraction
• Cette opération sert à définir les quantités invariantes associées aux tenseurs
• C’est la généralisation de la notion de trace d’une application linéaire.
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• Une application linéaire est un tenseur de rang 2 et de type (1,1)
T = Tij ei ⊗ ej
T (el, el) = Tij ei ⊗ ej (el, el) = Tl
l
• Le résultat de cette opération est un scalaire. Il est invariant par changement de système de coordonnées (ie de base)
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• L’opération trace met en relation un tenseur de type (1, 1) avec un tenseur de type (0, 0) = (1-1,1-1)
• L’opération contraction met en relation un tenseur de type (p, q) avec un tenseur de type (p-1,q-1)
• Pour effectuer cette opération on doit préciser quel indice et quel exposant on va utiliser
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• Prenons comme exemple un tenseur de rang 3 de type (2,1)
• Ses coordonnées sont Tijk i,j et k prennent
des valeurs de 1 à la dimension de l’espace
• Il est possible d’effectuer 2 contractions différentes sur T
Tj=Tsjs contraction entre le 1er exposant et l’indice
Ti=Tiss contraction entre le 2ème exposant et
l’indiceDans les deux cas le résultat est un vecteurLes deux vecteurs ne sont pas identiques
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Résumé• Tenseur est un autre nom pour forme
multilinéaire• Il est caractérisé par son type qui précise à quel
espace vectoriel il appartient• Les coordonnées d’un tenseur de type (p, q)
possèdent p exposants et q indices• On caractérise un tenseur par la loi de
transformation de ses coordonnées lors d’un changement de base de l’espace des états
• En plus de l’addition interne et de la multiplication par un scalaire on définit 3 nouvelles opérations.