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University of Liège
Aerospace & Mechanical Engineering
La propagation des fissures : la quintessence de la mécanique des
matériaux expliquée simplement
Propagation des fissures
Ludovic Noels
Computational & Multiscale Mechanics of Materials – CM3
http://www.ltas-cm3.ulg.ac.be/
Allée de la découverte 9, B4000 Liège
Table des matières
• Tenseurs contraintes / déformations
• Critère de rupture sur base des contraintes
• Introduction à l’approche de durée de vie totale
• Limite de l’approche de durée de vie totale
• Origine de la mécanique de la rupture
• Rupture fragile/ductile
• Mécanique linéaire de la rupture
• Limites de la mécanique linéaire de la rupture
• Cuve de réacteur nucléaire
• Méthodologie d’analyse
• Propagation de fissures sous chargement cyclique
• Conception en résistance à la fatigue
Propagation des fissures
Tenseurs Contraintes / Déformations
• Chargement uni-axial
– La force dépend de la section
– Le déplacement dépend de la longueur
– Définition de la contrainte
• Contrainte d’ingénieur
• Contrainte réelle (Cauchy)
• Unités : N/m2 or Pa
– Définition de la déformation
• Unités : -
• Propriétés matériaux
– Courbe contrainte-déformation
• Module de Young E
• Limite élastique sp0 : Déformation au delà
de laquelle le comportement est
irréversible
• Limite en tension sTS
Propagation des fissures
X
L
l
F A0
A
s
e
E E
sTS
sp0
e p e e
Tenseurs Contraintes / Déformations
• Vecteurs de traction surfacique
– Tx, Ty, Tz
– 𝑻𝑖 = 𝑗 𝜎𝑖𝑗𝒆𝑗
– Unités : N/m2 ou Pa
• Tenseur des contraintes
– 𝝈 = 𝜎𝑖𝑗 𝒆𝑖⊗𝒆𝑗– 𝝈T = 𝝈
– Unités: N/m2 ou Pa
Propagation des fissures
xy
z
syy
syx
syz
Ty
sxxsxy
sxz
Tx
szx szy
szz
Tz
Rupture Fragile / Ductile
• 2 types de comportement
– Fragile :
• (Presque) pas de déformation
avant la rupture (macroscopique)
– Ductile :
• Déformations plastiques avant la
rupture (macroscopique) True e
Tru
es
sTS
sp0
sTS
sp0
Propagation des fissures
Avant la mécanique de la rupture
• Conception en limitant les contraintes
– Limite élastique (sp0) ou
– Limite de rupture (sTS)
• ~1860, Wöhler
– Technicien aux chemins de fer allemands
– A étudié la rupture des axes
• La rupture se produit
– Après différents temps de service
– Pour des charges plus faibles que prédites
• La rupture vient du chargement cyclique
– Approche de durée de vie totale
• Approche empirique de la fatigue
w/2 w/2
w/2 w/2
t
s
1 cycle =
2 reversals
Propagation des fissures
Approche empirique de durée de vie totale
• Caractérisation du chargement
– Contraintes minimales & maximale : smin & smax
– Contrainte moyenne : sm=(smax + smin)/2
– Amplitude : sa = Ds/2 = (smax - smin)/2
– Rapport de chargement : R = smin / smax
– Pour certaines conditions environnementales particulières (humidité, hautes températures, …) :
• Fréquence des cycles
• Formes des cycles (sinus, rampes, …)
t
smax
smin
Ds = smax-smin
sa = Ds/2
sm
1 cycle =
2 reversals
Propagation des fissures
Approche empirique de durée de vie totale
• Caractérisation du matériaux (faibles contraintes)
– Pour sm = 0 & Nf cycles identiques avant rupture
• Courbes de Wöhler
• se : limite d’endurance (vie >107 cycles)
• 1910, Loi de Basquin
– sf’ coefficient de fatigue
– b exposant de fatigue
– Paramètres venant de tests expérimentaux
• Très couteux en temps
Nf
se
sa = Ds/2
103 104 105 106 107
Propagation des fissures
Conception par approche de durée de vie totale
• 1952, De Havilland 106 Comet 1, UK (1)
– Premier avion de transport à réaction
– Cabine pressurisée (0.58 atm)
– Conception du fuselage par approche de
durée de vie totale
• 1952, un fuselage a été testé en fatigue
– Chargement statique à 1.12 atm, puis
– 10 000 cycles à 0.7 atm
– 1953-1954 : accidents par dépressurisation
brutale
• Avril 1954, tests sur un autre fuselage
– Simulation des cycles de pressurisation de la cabine
– Rupture après seulement 3057 cycles à partir d’un coin de hublot
Propagation des fissures
• 1952, De Havilland 106 Comet 1, UK (2)– Août 1954, toit d’un Comet repêché
• Origine de fissure à la fenêtre de communication
• Fenêtres carrées rivetées concentration de
contraintes
• Rivets perforants Défauts initiaux
• Approche de durée de vie totale
– Prédit l’initiation de fissure par fatigue
– Ne tient pas compte des défauts initiaux
– Test initial du fuselage
• Ecrouissage du métal autour des défauts a cause du
test statique à 1.12 atm fermeture des défauts
• Fuselages de production sans ce pré-chargement
• 1958, Comet 3 et 4 – Fenêtres rondes et collées
Conception par approche de durée de vie totale
Propagation des fissures
Origine de la mécanique de la rupture
• Limites de l’approche de durée de vie totale
– Ne prends pas en comptes les défauts
– Que se passe-t-il quand un défaut existe?
• Exemple : Le Comet
• Théorie de la concentration de contraintes
– Plaque infinie avec un trou ellipsoïdal (1913, Inglis)
– b→ 0 smax → ∞ rupture pour s∞ → 0
• En contradiction avec les expériences de Griffith et Irwin
– Eprouvette en verre avec une fissure de surface (griffe)
– La limite en tension dépend
» De la taille de la fissure a et
» De l’énergie de surface gs
– Soit
2a2b x
y
s∞
s∞
syysyy
Propagation des fissures
a
W
L
t
P
P
Rupture fragile/ductile
• Mécanisme de la rupture fragile
– (Presque) Pas de déformation plastique
avant la rupture (macroscopique)
– Clivage: séparation selon les plans
cristallographiques
• En général a l’intérieur des grains
• Directions préférentielles (à faibles
énergies de liaison)
• Parfois entre les grains : corrosion, H2, …
– Critère de rupture
• 1920, Griffith:
True e
Tru
essTS
sp0
Propagation des fissures
Rupture fragile/ductile
• Mécanisme de la rupture ductile
– Déformations plastiques avant la rupture
(macroscopique)
• Mouvement des dislocations
• Nucléation de vides autour des inclusions
• Coalescences de microcavités
• Initiation et croissance de fissures
– Critère de rupture
• Qu’en est-il du critère de Griffith?
• 1950, Irwin, le travail plastique en pointe de
fissure doit être ajouté
True e
Tru
es
sTS
sp0
Propagation des fissures
Rupture fragile/ductile
• “WWII liberty ships”
– Acier à basse T° : fragile
•
• gs ~ 3400 J m-2
– Acier à T° ambiante : ductile
•
• 2gs + Wpl ~ 200 kJ m-2
– Température de transition :
• DBTT (Ductile-Brittle Transition
Temperature)
– Utilisation d’un acier de faible
qualité
• Hiver : DBTT~ température de l’eau
• Lors de la mise à l’eau, les défauts
existants sont devenus critiques
• 30% des « liberty ships » ont
souffert de rupture
Propagation des fissures
Rupture fragile/ductile
• Développement de la mécanique de la rupture
– Comment prédire la ruine quand une fissure est présente?
– Comment prédire l’évolution d’une fissure sous chargement cyclique?
• Différentes analyses
– Rupture fragile Mécanique linéaire de la rupture
(Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM)
– Rupture avec plasticité confinée en front de fissure
Corrections à la théorie de la
mécanique linéaire de la rupture
– Rupture ductile avec zones plastiques non-confinées
Mécanique non-linéaire de la rupture
(Non Linear Fracture Mechanics NLFM)
– Chargements cycliques en deçà du chargement limite
Propagation de fissures (loi de Paris)
Propagation des fissures
asp
x
rp
y
Rupture fragile/ductile
• Développement de la mécanique de la rupture
– Comment prédire la ruine quand une fissure est présente?
– Comment prédire l’évolution d’une fissure sous chargement cyclique?
• Différentes analyses
– Rupture fragile Mécanique linéaire de la rupture
(Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM)
– Rupture avec plasticité confinée en front de fissure
Corrections à la théorie de la
mécanique linéaire de la rupture
– Rupture ductile avec zones plastiques non-confinées
Mécanique non-linéaire de la rupture
(Non Linear Fracture Mechanics NLFM)
– Chargements cycliques en deçà du chargement limite
Propagation de fissures (loi de Paris)
Propagation des fissures
asp
x
rp
y
Mécanique linéaire de la rupture
• Singularité en pointe fissure pour un matériau élastique linéaire– 1957, Irwin, 3 modes de rupture
– Définis par les conditions limites
Mode I Mode II Mode III
(ouverture) (glissement) (Cisaillement)
y
x
rq
Mode I Mode II Mode III
or or
y x
z
y x
z
y x
z
Propagation des fissures
• Singularité en pointe fissure pour un matériau élastique linéaire (2)
– Solutions asymptotiques
– Introduction des facteurs d’ intensité de contraintes (Pa m1/2) - Stress
Intensity Factors – SIF
– Les Ki dépendent
• De la géométrie &
• Du chargement
Mécanique linéaire de la rupture
Mode I Mode II Mode III
Propagation des fissures
• 1957, Irwin : Nouveau critère de rupture
– smax → ∞ s ne peut pas être utilisé
– Comparer le facteur d’intensité de contraintes Ki (dépendant du problème)
à une valeur propre au matériau : la ténacité KiC
• Si Ki ≥ KiC la fissure se propage
• Ténacité Kic (toughness)
– Métaux : voir figure
– Béton : 0.2 - 1.4 MPa m1/2
Mécanique linéaire de la rupture
Propagation des fissures
Yield s0Y [MPa]
Toughness KIC [MPa 𝑚]
0 500 1000 1500 2000
140
100
60
20
0
Pure Al
Mild
steel Low steel
alloys
Trip
steels
Al alloys
Ti alloys
Composites
Aisi 403 12 cr
Brittle
Ductile
Temperature T [C]
Toughness KIC [MPa 𝑚]
-200 -100 0 100 200
200
160
120
80
40
0
Ductile/brittle
transition regime
• Evaluation des facteurs d’intensité de contrainte (SIF)
– Analytique (fissure 2a dans un plan ∞)
– Numérique
• bi dépendent
– De la géométrie
– De la taille de fissure
Mécanique linéaire de la rupture
s∞s∞
y
2a
x
s∞
s∞
y
2a
x
t∞
t∞
y
2a
x
t∞
t∞
Propagation des fissures
• Mesure expérimentale de la ténacité KIc
– En suivant la norme ASTM E399
– Préparation
• Par exemple en considérant un Single Edge
Notch Bending (SENB) spécimen
• Usiné avec une encoche
pour initier la fissure
• Chargement cyclique pour initier la fissure
– Mesure de la ténacité
• Mesure la courbe P - d
• Crack Mouth Opening Displacement (CMOD=v)
mesuré en tête de fissure
• Pc obtenu par les courbes P-v
• KIc est déduit de Pc à partir de formules
de référence (éléments-finis)
• f(a/W) dépend du test (SENB, …)
Mécanique linéaire de la rupture
P, d
v/2v/2
L=4W
WThickness t
CMOD, v
v
P
tg 0.95 tg
Pc
P
tg 0.95 tg
Pc
Propagation des fissures
Limites de la mécanique linéaire de la rupture
• La contrainte prédite est singulière
– Il existe des non-linéarités
(plasticité en pointe de fissure)
– Solution asymptotique non-valide
loin de la pointe de fissure
• Hypothèse de plasticité confinée
– Valide si la zone de plasticité est petite par rapport à la fissure
– Zone cohésive rp en pointe de fissure
– 1960, Dugdale-Barenblatt
• Mode I
• Contrainte nominale est supérieure à la moitie de la limite élastique
– Hypothèse ne tient pas mécanique non linéaire de la rupture (NLFM)
syy
x
Asymptotic syy
True syy
Zone of asymptotic
solution (in terms of
1/r1/2) dominance
asp
x
rp
y
Méthode iterative
Propagation des fissures
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Pressurized Water Reactor (PWR)
– Conditions d’utilisation typiques d’une cuve : 15 MPa, 300º C
Propagation des fissures
Image from US. Nuclear Regulatory Commision,
Quadrennial Technology Review 2015, U.S. Department of EnergyImage from US. Nuclear Regulatory Commision,
http://www.eia.doe.gov/cneaf/nuclear/page/nuc_reactors/pwr.html
Ø ~ 3-5 m
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Matériaux de la cuve
– Matériau de base
• Alliage Manganèse–nickel–molybdène
• E.g. SA508 Cl. 3
– Revêtement
• Inox
Propagation des fissures
tbase ~ 0.2 m tclad ~ 0.01 m
27
Image from US. Nuclear Regulatory Commision,
http://www.eia.doe.gov/cneaf/nuclear/page/nuc_reactors/pwr.html
Ø ~ 3-5 m
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Matériaux de la cuve : présente une transition ductile/fragile
– Définition de T100 : Température de référence pour laquelle 50% des
spécimens normalisés rompent avec une ténacité de 100 [MPa 𝑚]
Propagation des fissures 28
Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment of irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels. International Atomic Energy Agency, 2009.
(IAEA nuclear energy series), ISSN 1995-7807, ISBN 978-92-0-101709-3
Conditions
d’utilisationNécessite
NLFM
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Pressurized Thermal Shock (PTS)
– Perte de liquide de refroidissement (LOCA)
– Injection d’eau froide
– Chute brutale de la température de paroi
– Chute de la ténacité
– N.B. chute de la pression, mais existence de
contraintes thermiques
Propagation des fissures 29
Christopher Boyd, Interactions of Thermal-Hydraulics with Fuel Behavior,
Structural Mechanics, and Computational Fluid Dynamics
Office of Nuclear Regulatory Research Nuclear Regulatory Commission
Fictitious material
Aisi 403 12 cr
Brittle
Ductile
Temperature T [C]
Toughness KIC [MPa 𝑚]
-200 -100 0 100 200
200
160
120
80
40
0
Ductile/brittle
transition regime
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Fragilisation par irradiation
– Irradiation durant l’utilisation du RPV
– Fragilisation augmente avec
• La fluence (nombre de neutrons/unité de surface) décalage température
• L’énergie des neutron (>1MeV) de transition avec l'âge
Propagation des fissures 30
Brittle
Ductile
Temperature T [C]
Toughness KIC [MPa 𝑚]
-200 -100 0 100 200
250
200
150
100
50
0
Ductile/brittle
transition regime
Shift
Loss
Un-irradiated
Irradiated
Fictitious material
Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur
• Fragilisation par irradiation
– Définie par un décalage de T100
• T0 = T100 + DT100
– Evaluée en termes de
• La composition chimique
• La fluence (Fn)
– Mesurée
• Spécimens de surveillance
• Proches de la paroi
Propagation des fissures 31
Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment
of irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels.
International Atomic Energy Agency, 2009. (IAEA nuclear energy series),
ISSN 1995-7807, ISBN 978-92-0-101709-3
PTS
DT100
Evaluation
• Méthodologie
Propagation des fissures 32
Caractérisation des
défautsConditions de
chargementPropriétés matérielles
• Défauts supposés
(suivant la norme)
• Inspections non-
destructives en
service (Ultrasonique
…)
• Evaluation des facteurs d’intensité de contrainte
• Méthodes analytiques
• Méthodes numériques
• Conditions critiques
• Evaluation des
températures,
contraintes
• Conditions
environnementales
(fluence en fin de vie..)
• Ténacité en service
• Modèles
• Expériences
• Ténacité du matériau
de base (expériences)
Références
• Notes
– Lecture Notes on Fracture Mechanics, Alan T. Zehnder, Cornell University,
Ithaca, http://hdl.handle.net/1813/3075
– Fracture Mechanics Online Class, L. Noels, ULg, http://www.ltas-
cm3.ulg.ac.be/FractureMechanics
– Fracture Mechanics, Piet Schreurs, TUe,
http://www.mate.tue.nl/~piet/edu/frm/sht/bmsht.html
• Livres
– Fracture Mechanics: Fundamentals and applications, D. T. Anderson. CRC
press, 1991.
• RPV
– Documents
• Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment of
irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels. International
Atomic Energy Agency, 2009. (IAEA nuclear energy series), ISSN 1995-7807,
ISBN 978-92-0-101709-3
• Pressurized thermal shock in nuclear power plants: good practices for
assessment, International Atomic Energy Agency, 2010 (iaea-tecdoc-1627), ISSN
1011-4289, ISBN 978-92-0-111109-8
Propagation des fissures
Chargement cyclique
• Rupture par fatigue
– Tests pour différents DP = Pmax - Pmin
– Nucléation : fissure initiée pour K < Kc
• Surface : déformations résultant
de la propagation des dislocations
P
P
a
N cycles
PminPmax
Persistent slip
band (PSB)
Propagation des fissures
Chargement cyclique
• Rupture par fatigue (2)
– Etape I de croissance de fissures
• Le long d’un plan cristallin
– Etape II de croissance de fissures
• A travers plusieurs grains
– Le long des plans cristallins
– Droit macroscopiquement
• Striation de la surface de rupture :
correspond aux cycles
Perfect crystal
Propagation des fissures
Chargement cyclique
• Rupture par fatigue (3)
– Hypothèse de plasticité confinée
• Paramètres d’influence
– DP &
– Pmin / Pmax
• Fatigue décrite par
– DK = Kmax- Kmin &
– R = Kmin/Kmax
• Il existe DKth tel que si DK ~< DKth : la fissure est dormante
Intervalle de striation
P
P
a
a(c
m)
Nf (105)1 2 3 4 5 6 7
5
4
3
2
DP1
DP2 > DP1
Inspection structurelle
possible (pour DP1)Croissance
rapide
Rupture
Propagation des fissures
Chargement cyclique
• Taux de croissance
– Zone I
• Etape I de croissance de fissure
• DKth dépend de R
– Zone II
• Etape II de croissance de fissure
• 1963, Paris-Erdogan
– Dépend de la géométrie, du chargement, de la fréquence
– Acier : DKth ~ 2-5 MPa m1/2 , C ~ 0.07-0.11 10-11 [m (MPa m1/2)-m], m ~ 4
– Acier en environnement salin : DKth ~ 1-1.5 MPa m1/2, C ~ 1.6 10-11 [idem],
m ~ 3.3
• Attention : K dépend de a intégration requise pour avoir a(Nf)
– Mode I :
– Zone III
• Croissance rapide jusque rupture
• Rupture statique (clivage) sous Kmax(a): il existe une taille critique af telle que
Kmax(af) = Kc
da
/ d
Nf
logDKDKth
Zone I Zone II Zone III
R
1
m
Propagation des fissures
Conception
• « Infinite life design »
– sa < se : vie « infinie »
– Non économique
• « Safe life design »
– Pas de fissure avant un nombre défini de cycles
• Le composant est remplacé à la fin de la vie
prédite, même s’il n’y a pas de fissure apparue
• Emphase sur la prévention d’initiation
• Approche empirique par nature
– Suppose que la structure est vierge de
défauts
– Se base sur les courbes sa – Nf
• Ajouter un facteur de sécurité
– Application : aubes de rotors/stators
• Une fois qu’une fissure apparait, la durée de vie
en heures est très courte
Propagation des fissures
Conception
• « Fail safe design »
– Même si un composant rompt, la structure doit garder assez d’intégrité pour être utilisée en toute sécurité
– Prédéfinition de chemins de fissuration et d’arrêt de fissure
– Nécessite des inspections périodiques
– Exemple: 1988, B737, Aloha Airlines 243
• 2 coques de fuselage non collées
• Environnement marin rouille et augmentation du volume
• Fatigue des rivets
• La fissure a suivi le chemin prédéfini
Propagation des fissures
Conception
• « Damage tolerant design »
– Suppose l’existence de défauts au début des opérations
– Caractériser l’effet des défauts sur la vie de la structure
• Evaluation des défauts initiaux (A partir
du procédé de fabrication et
d’inspections non-destructives
• Estimation de la croissance &
élaboration des campagnes d’inspection
(e.g. en années, en nombre de vol…)
• Vérifier la croissance durant les
inspections
• Prédire la fin de vie (af)
• Retirer ou réparer la structure avant
– Inspections non-destructives
• Optique
• Rayons-X
• Ultrasonique (réflexion sur les surfaces de fissure)
Propagation des fissures