11

ALGEBRĂ 1. Ecuaţii funcţionale Problema determinării expresiei prin care este dată o funcţie care îndeplineşte o egalitate este o ecuaţie funcţională. Chiar dacă există clasificări ale ecuaţiilor funcţionale, soluţionarea problemelor de acest tip lasă o libertate destul de mare gândirii şi ingeniozităţii rezolvatorului. Aceste probleme dezvoltă gândirea abstractă, obligând de multe ori elevii să facă artificii algebrice destul de delicate. Prezentăm în cele ce urmează câteva probleme de acest tip. Probleme rezolvate R1.1. Să se determine funcţia f : R→R care verifică egalitatea f(3x–1) = x2 + 2, ∀x∈R.

Soluţie.

Facem înlocuirea 3x – 1 = t, 3

1tx += şi obţinem:

37t2t2

31t)t(f

22 ++=+

+

= .

Deci am obţinut funcţia f : R→R, 3

7x2x)x(f2 ++

= .

R1.2. Fie f : R→R, astfel încât 5x3)x3(fb)x(fa +−=−⋅+⋅ , a, b∈R.

a) Determinaţi a, b∈R, dacă f(1) = 2 şi f(2) = 5. b) Aflaţi f(x), oricare ar fi x real cu a şi b determinaţi la a).

[C.M. 1994] Soluţie.

a)

=

−=⇒

−=+=+

⇒−=+=

=+=

74b

73a

1b2a52b5a2

1)1(bf)2(af,2x2)2(bf)1(af,1x

b) Facem înlocuirea 3 – x = t ⇒ x = 3 – t. Obţinem: 5)t3(3)t(bf)t3(af +−−=+− . Revenim la variabila x şi înlocuim pe a şi b cu valorile obţinute anterior:

4x3)x(f74)x3(f

73

−=+−−

Se ajunge la sistemul de ecuaţii:

+−=−+−−=+−−

35x21)x3(f4)x(f328x21)x(f4)x3(f3

12

şi apoi f(x) = 3x + 1.

R1.3. Fie f : R→R, care verifică relaţia: 10x6)yx2(f)yx(f +=++− , oricare ar fi x, y∈R.

Să se determine funcţia f. [C.M. 1992]

Soluţie. Dacă x = y = 0, avem 2f(0) = 10 ⇒ f(0) = 5. Dacă x = y, avem f(0) + f(3x) = 6x + 10 Deci f(3x) = 6x + 5 ⇒ f(x) = 2x + 5.

R1.4. Să se determine funcţiile f şi g: R→R ştiind că 2f(x) + f(1 – y) + g(x) – g(y) = 3(x + 1)2 – 6y, ∀x, y∈R. Soluţie. Dacă y = x, obţinem 2f(x) + f(1 – x) + g(x) – g(x) = 3(x + 1)2 – 6x ⇒ 2f(x) + f(1 – x) = 3x2 + 3 (1) Dacă înlocuim pe x cu 1 – x în relaţia (1) se va obţine: 2f(1 – x) + f(x) = 3(1 – x)2 + 3 (2) Din (1) şi (2) avem f(x) = x2 + 2x. Determinăm funcţia g: facem y = 0, atunci 2f(x) + f(1) + g(x) – g(0) = 3(x + 1)2 ⇒ 2(x2 + 2x) + 3 + g(x) – g(0) = 3(x + 1)2 ⇒ g(x) = x2 + 2x + g(0) Dacă g(0) = k, k∈R, atunci g(x) = x2 + 2x + k, k∈R. Observaţie: În timp ce funcţia f este unic determinată, pentru g există o mulţime de

funcţii care verifică relaţia dată. R1.5. Să se determine funcţia f: R\{–1,1}→R, care verifică relaţia:

xx13xf

x13xf)x(f =

+−

−

−+

− , ∀x∈R\{–1,1}.

[C.M. 1986] Soluţie.

Facem înlocuirea 1t3txt

x13x

+−

=⇔=−+

.

t13t

1t3tf)t(f

t13tf

+−

=

−+

−−

+−

.

Revenim la variabila x şi obţinem relaţia:

x13x

1x3xf)x(f

x13xf

+−

=

−+

−−

+−

, (1)

Aplicăm aceiaşi substituţie în relaţia (1) şi obţinem:

x13x

1x3xf)x(f

x13xf

−+

=

+−

−−

−+

, (2)

13

Adunând relaţiile (1) şi (2) se găseşte relaţia prin care este dată funcţia f:

1xx4)x(f

1x3x

1x3x)x(f2 2 −

=⇒−+

−+−

=− .

R1.6. Determinaţi funcţia f: N→Q care îndeplineşte condiţiile:

1001x)x(f)1x(fşi2003)2002(f +=+= , ∀x∈N.

Soluţie.

10011)1(f)2(f,1x +==

10012)2(f)3(f,2x +==

.............................................

10011n)1n(f)n(f,1nx −

+−=−=

După adunarea egalităţilor avem:

2002)1n(n)1(f

10011n...21)1(f)n(f −

+=−+++

+= .

Pentru x = 2002, ⇒⋅

+=2002

20012002)1(f)2002(f

⇒ 2003 = f(1) + 2001 ⇒ f(1) = 2. Revenind la variabila x şi folosind rezultatele anterioare putem scrie funcţia f:

f: N→Q, 2002

)1x(x2)x(f −+= .

Bibliografie 1. Pop Vasile “Ecuaţii funcţionale”, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002. 2. B.M.Bătineţu Giurgiu, I.Crângaşu, M.Bătineţu Giurgiu, C.Ursu “Culegere de

probleme, clasa a IX-a”, Ed.Portofranco, Galaţi, 1992.