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Relator: Alejandro Cáceres

Modelamiento de variogramas

• PRIM 2015

Captura de

información

Modelamientoe interpretación

geológica

Estimación derecursos

minerales

Clasificación

de recursos

Factoresmodificantes

Geomet

 Análisis deriesgo y

evaluacióneconómica

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Motivación

El variograma experimental requiere ser modelado:

es imperfecto: valores obtenidos están sujetos a imprecisiones.

es incompleto: calculado para un número finito de distancias y de

direcciones del espacio.

Se ajusta un modelo de variograma, que es una función matemática

definida en todas las direcciones del espacio y para todas las distancias.

Los parámetros de esta función se basan/infieren del variograma

experimental de los datos.

Se usará este modelo como si fuera el “verdadero” variograma de la

función aleatoria que representa la variable en estudio.

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Motivación

Variograma teórico

Variograma experimental

Variograma experimental es un estimador del variograma teórico sinsesgo

})]()({[2

1

)}()(var{2

1)(

2 x Z  x Z  E 

 D x x Z  x Z 

h

hh 

)(

1

2)]()([)(2

1)(ˆ

h

hh

h

 N 

i

ii  x z  x z 

 N  

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Propiedades del variograma

Un modelo de variograma debe satisfacer varias restricciones

matemáticas:

Función positiva: (h) 0

Función par: (h) = (-h)

Nulidad en el origen: (0) = 0

En el infinito, crece más lentamente que una parábola

Función de tipo negativo condicional:

Buscamos funciones de este tipo para asegurar que sea posible

invertir la matriz del lado izquierdo del sistema de kriging

0)(,,...,0,...1 1

1

1

1    

k 

i

k 

 j

 ji jik 

k 

i

ik    x x x x            R/

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Rasgos importantes de un variograma

El comportamiento en el origen: suave / continuo / discontinuo

El comportamiento al infinito: alcance / meseta

El comportamiento direccional: isótropo / anisótropo

Otros: ciclicidad, efecto de hoyo, derivas

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Propiedades del variograma

Se modela el variograma experimental a partir de funciones

básicas preestablecidas que cumplen con las restriccionesmatemáticas de un variograma y reflejan comportamientos

normalmente encontrados en la naturaleza.

1. Modelo discontinuo en el origen efecto pepa

2. Modelos lineales en el origen esférico, exponencial…

3. Modelos parabólicos en el origen gaussiano, cúbico…

4. Modelos sin meseta: potencia …

5. Modelos cíclicos seno cardinal …

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MODELOS BÁSICOS DE VARIOGRAMAS

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Modelo efecto pepa

 

contrariocasoen

0si0)(

C 

hh

Refleja la total no correlación entre datos

Su nombre viene que las pepas de oro poseen un alto contenido de oro enrelación a su entorno

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Causas del efecto pepa

La presencia de “micro-estructuras” (variabilidad a escala muypequeña en comparación con la escala de observación)

La presencia de errores de medición (errores fundamental, desegregación, delimitación, extracción, preparación y análisis químico)

La presencia de errores en la ubicación de los datos (coordenadasequivocadas)

Soporte de la medición es muy pequeño (efecto de soporte la masa

es muy pequeña para asegurar su correcta medición)

Muestreo preferencial en zonas de altas leyes (y de alta variabilidaddebido al efecto proporcional)

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Modelo esférico

alcance = a

meseta = CcontrariocasoenC

||si ||

21||

23C

)(

3

aaa

 

  

  

  h

hh

h

El valor a es el alcance

C es la meseta o contribución

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Modelo esférico

La terminología “variograma esférico” se explica porque C  – (h)

es proporcional al volumen de la intersección de dos esferas dediámetro a, separadas por h:

 

  

 

ah

aha

h

a

ha

si0

0si2

1

2

31

6volumen   3

33

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Modelo exponencial

  

  

a

||3exp1C)(

  hh

Modelo similar al esférico pero asciende más abruptamente, tiene más curvatura y alcanza lameseta C sólo en forma asintótica

El alcance práctico está donde (h) vale 0.95 C y corresponde al parámetro a

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Modelo gaussiano

 

 

 

 

2

2||3exp1C)(

a

hh

Modelo con comportamiento parabólico en el origen, refleja regularidad a cortas escalas

El alcance práctico está donde (h) vale 0.95 C y corresponde al parámetro a

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El modelo implica continuidad de corta escala debido a su comportamientoparabólico en el origen.

 Adecuado para variables como elevaciones o espesor 

Útil para modelar bordes geológicos regulares

El alcance práctico se define cuando (h) vale 0.95 C y corresponde alparámetro a

Modelo gaussiano

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Modelo potencia

  hC h)(

• Este modelo se asocia a fractales (movimientos Brownianos fraccionarios)

• Está definido por una potencia 0<<2 y una pendiente positiva C.

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Modelo seno cardinal

 

  

  

  

 a

h

h

aC h   sen1)(

El modelo adecuado para procesos cíclicos o con periodicidad.alcance práctico = 20.4 a, semi-período = 4.5 a, meseta = C 

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Comparación de modelos variográficos

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MODELOS ANIDADOS

Combinando modelos básicos

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Modelos anidados

)(...)()()( 21   hhhh S 

Para obtener modelos más complejos, se puede sumar varios variogramaselementales. En este caso, se habla de “variogramas anidados”. Permitemodelar cambios de pendiente y formas en el variograma

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Modelos anidados

0.2 

0.3 

0.5 

 (h) = 0.2 *Gaussiano(50m) + 0.3*Esferico(100m) + 0.5*Exponencial(220m)

El orden de los modelos no importa es la suma total de suscaracterísticas la que sirve

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Ejemplos de variograma anidado

Pepa=0, Meseta =1, alcance 100 m, Modelo esférico

)100,100(*0.1*0.0)(   esf   Pepa h 

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Ejemplos de variograma anidado

Pepa=0.25, Meseta =1, alcance 100 m, Modelo esférico

)100,100(*75.0*25.0)(   esf   Pepa h 

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Ejemplos de variograma anidado

Pepa=0.5, Meseta =1, alcance 100 m, Modelo esférico

)100,100(*5.0*5.0)(   esf   Pepa h 

Ej l d i id d

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Ejemplos de variograma anidado

Pepa=0.75, Meseta =1, alcance 100 m, Modelo esférico

)100,100(*25.0*75.0)(   esf   Pepa h 

Ej l d i i t í

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Ejemplos de variogramas y anisotropías

Pepa=1, Meseta =1, alcance 100 m, Modelo Pepa

)100,100(*0.0*0.1)(   esf   Pepa h 

V i d l d t t id d

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Variograma modelado con estructuras anidadas

M d l 2 D 3 D

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Modelos en 2-D y 3-D

Más difícil que modelos 1-D ya que el modelo debe ser legítimo

(del punto de vista matemático) en todas las direcciones.

Comúnmente calculamos variogramas experimentales endirecciones ortogonales principales: direcciones vertical,horizontal mayor y horizontal menor.

Un modelo de variograma isótropo (que sólo depende de ladistancia, no de la orientación de h) es poco frecuente

Los tipos de anisotropía más comunes son la anisotropíageométrica y la anisotropía zonal

A i t í ét i

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Anisotropía geométrica

• El mapa variográfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). El

modelamiento sólo requiere especificar las direcciones principales(ortogonales entre sí) y los alcances correspondientes.

A i t í l

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Anisotropía zonal

• El mapa variográfico dibuja bandas. Se trata de un caso límite de

anisotropía geométrica, donde el alcance en una dirección se vuelve muygrande. A la escala de trabajo, la meseta cambia según la dirección.

A i t í l j

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Anisotropías complejas

• Se obtiene formas más complejas de anisotropía al mezclaranisotropías geométricas y/o zonales de orientación y razón diferentes

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AJUSTE DE MODELOS Y EJEMPLO DEAPLICACIÓN

Reglas de ajuste

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Reglas de ajuste

El modelo de variograma debe ser consistente en las distintas direcciones,

es decir, tener el mismo efecto pepita y el mismo número y tipo deestructuras anidadas.Por ejemplo, si el variograma fuera de tipo esférico en una dirección y exponencialen otra, ¿cuál sería su expresión en las direcciones diagonales?

¿Cómo asegurar un modelo consistente?Tomar un único (el más bajo) efecto pepita isótropo

Escoger el mismo número de estructuras anidadas para todas las direcciones,basado en la dirección más compleja

 Asegurar que el mismo parámetro de meseta se use para todas las estructurasanidadas en todas las direccionesPermitir un alcance diferente en cada direcciónModelar una anisotropía zonal definiendo un alcance muy grande en una o másde las direcciones principales

Consejos de modelamiento

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Consejos de modelamiento

Seleccionar la pepita de la

dirección vertical (o de ladirección mejor informada)

Escoger una constante pepitabaja

Determinar el número y tipo demodelos de variogramas

Prueba-y-error para establecerlos parámetros

Hay software flexible disponible

Ejemplo ajuste variográfico

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Ejemplo ajuste variográfico

EW

NS

Vertical

Reglas de ajuste:Visualizar aspectos del variograma experimental

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Reglas de ajuste:Visualizar aspectos del variograma experimental

Efecto pepa?Isótropo o anisótropo?

 Anisotropía geométrica o zonal?

Linear, parabólico en el origen? Alcances y mesetas en cada dirección.Que modelos básicos o estructuras básicas reflejan mejor el comportamiento.

EW

NSVertical

Reglas de ajuste: Efecto pepa

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Reglas de ajuste: Efecto pepa

El efecto pepa debe ser común para todas las direcciones, eneste caso existe y es cercano a 0.1

EW

NSVertical

Reglas de ajuste: Isótropo o anisótropo?

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Reglas de ajuste: Isótropo o anisótropo?

El variograma experimental es anisótropo , más continuo en ladireccione EW, que en NS y que en vertical

EW

NSVertical

Reglas de ajuste: Tipo de anisotropía/mesetas/alcances

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Reglas de ajuste: Tipo de anisotropía/mesetas/alcances

 Anisotropía geométrica o zonal?

El variograma experimental tiene anisotropia zona, se identifican 3

mesetas, de alcances entorno a 50, 120, y 200 m

M1

M1M1

Ejemplo ajuste variográfico

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Ejemplo ajuste variográfico

(h) = 0.1 *pepa + 0.9*Exp(200m,120m,50m) + 0.3*Exp(,120m,50m) + 0.2*Exp(,,50m)

0.1 

Efecto pepita de meseta C0=0.1, efecto pepa opera en todas direcciones

EW

NS

Vertical

Ejemplo ajuste variográfico

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Ejemplo ajuste variográfico

(h) = 0.1*pepa + 0.9 *Exp(200m,120m,50m) + 0.3*Exp(,120m,50m) + 0.2*Exp(,,50m)

0.9 

 Agregamos una 1ra estructura exponencial de meseta C1=0.9

EW

NS

Vertical

EW NS VRT

Ejemplo ajuste variográfico

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Ejemplo ajuste variográfico

(h) = 0.1*pepa + 0.9*Exp(200m,120m,50m) + 0.3 *Exp(,120m,50m) + 0.2*Exp(,,50m)

0.3 

 Agregamos una 2da estructura exponencial de meseta = 0.3

 Al dejar en infinito el alcance en laEW se genera anisotropía zonal

EW

NS

Vertical

Ejemplo ajuste variográfico

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Ejemplo ajuste variográfico

(h) = 0.1*pepa + 0.9*Exp(200m,120m,50m) + 0.3*Exp( ,120m,50m) + 0.2 *Exp( , ,50m)

0.2 

Efecto pepita de meseta C0=0.1

 Al dejar en infinito el alcance en laNS se genera anisotropía zon

EW

NS

Vertical

Consideraciones prácticas

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Consideraciones prácticas

Buscar anisotropías simples con 2 ó 3 direcciones principales, ortogonales entre sí

identificar la elipse o el elipsoide que mejor se acerca al mapa variográfico

El variograma experimental es poco confiable para distancias muy grandes.

No existe un modelo único.

La meseta del variograma (varianza teórica) puede diferir de la varianza delhistograma (varianza empírica)

Se debe prestar atención a la representatividad de los puntos experimentales, a lainformación disponible sobre la variable y a la escala de trabajo.

Desconfiar de los ajustes automáticos.

Resumen modelamiento variográfico

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Resumen modelamiento variográfico

Se requieren modelos variográficos debido a que necesitamos

una representación funcional del variograma experimental entodas direcciones y con propiedades que aseguren invertibilidadde matrices de covarianzas o variograma en el kriging.

Los modelos se construyen con combinaciones lineales deestructuras o modelos básicos como (efecto pepa, esférico,gaussiano, etc.) que son útiles para representarcomportamientos en la variable regionalizada reflejada en suvariograma experimental.