05 statistics week medidas tend central

5/25/2018 05 Statistics Week Medidas Tend Central

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Estadstica y

Probabilidades

M.Sc.Ing. Jorge Luis Huere PeaDocente Asociado del Departamento Acadmico de Ciencias Bsicas FCIWeb Page : www.unh.edu.pe e-mail :[email protected]

Fifth weekMeasures of Central Tendency

Medidas de Tendencia central

Universidad Nacional de HuancavelicaFacultad de Ciencias de Ingeniera

Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera Civil

Departamento Acadmico de Ciencias Bsicas
http://www.unh.edu.pe/http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://chispis.blogia.com/upload/20060619143602-foto-estadistica-blog.jpeg.bmp&imgrefurl=http://chispis.blogia.com/2006/junio.php&h=225&w=220&sz=146&hl=es&start=17&tbnid=T3aEvO7aRj1gLM:&tbnh=108&tbnw=106&prev=/images%3Fq%3Destadistica%26gbv%3D2%26svnum%3D10%26hl%3Des%26sa%3DGhttp://www.unh.edu.pe/


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2

Un motivo para hacer sospechar

que la Estadstica es ms un arte

que una ciencia, gira en torno a la

ambigedad con que se usa el

trmino promedio.

Averages

Promedios


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LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.En general se denominan promedios.

2.Los ms importantes son la media, la mediana y lamoda.

AritmticaMedia Geomtrica

Medidas de Mediana Armnica

tendencia central Moda


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The Mean La Media

(A) Arithmetic Mean ( )La media aritmtica

a) Obtencin:Se obtiene sumando los valoresregistrados y dividindolos entre el nmero de

datos.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra el nmero de faltas de losobreros de una empresa de construccin a lo largo de unasemana. Calcule e interprete la media.

Da/Semana Lun Mar Mier Jue Vier Sab

Faltas/da 8 10 5 12 10 15

x


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Media aritmtica =

= 10 faltas

b) Interpretacin:Si elige al azar un da de la semana,se espera que los trabajadores de la empresa deconstruccin se produzca 10 faltas en ese da.

c) Simbologa:

Tamao Media aritmticaMuestra n (equis barra)

Poblacin N (mu)

660

61510125108

x

x


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d) Clculosa partir de datos no agrupados, seutilizan las siguientes formulas.Para una muestra

donde: : media muestral

: suma de todos los datos

: nmero de datos (muestra)n

n

i ix 1X

Para una poblacin

donde: : media poblacional: suma de todos los datos

: nmero de datos (poblacin)

iXx

n

iX

N

N

i i

1X

N


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Media

aritmetica

Se puede calcular la media aritmtica utilizando Excel.


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e) Clculo a partir de datos agrupados.

El clculo de la media aritmtica, cuando los datos disponiblesse encuentran en tablas de distribucin de frecuencias, serealiza utilizando la formula siguiente

donde: :media muestral:frecuencia absoluta de la clase i

:marca de la clase i

nf

nf

i

i

i

ii

x

1

1

X

x

if

iX


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Ejemplo:

La distribucin de frecuencias siguiente, representa los puntajes

obtenidos en una evaluacin del desempeo, aplicado alpersonal tcnico de una obra de construccin. El puntajemximo en la prueba es 50. Calcule e interprete en media.

Desempeo Nmero de

(puntos) tcnicos

[12 - 16] 4

[17 - 21] 8

[22 - 26] 15

[27 - 31] 23

[32 - 36] 10

TOTAL 60


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Primero se calcularn las marcas de clase ( );

es decir, el valor intermedio de cada clase

Marca de Frecuenciaclase ( ) absoluta(fi)

[12 16] 14 4[17 21] 19 8[22 26] 24 15

[27

31] 29 23[32 36] 34 10

Total 60

14(4) + 19 (8) + 24 (15) + 29 (23) + 34 (10)4 + 8 + 15 + 23 + 10

iX

ix

x xx

clase

157560

26.25


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Interpretacin: Si se elige al azar a un trabajador tcnico de esaobra de construccin, se espera que tenga un puntaje de 26,25

en su evaluacin de desempeo.

f) La media aritmtica ponderada( )

donde:

=factor de ponderacin= datos

n

i

i

n

i

ii

w

w

px

1

1

X

px

iw

iX


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Ejemplo:Una empresa comercializadora de Seguros Mdicosdispone de 3 representantes para la zona de Miraflores, cada

uno de los cuales cobra diferente comisin por pliza vendiday realiza diferente nmero de contratos. Calcule e interprete evalor medio de la comisin

N de polizas de Comisin

Vendedor Seguro Mdico por venta $

Pedro 30 30

Juan 25 40Pablo 20 50

iw iX


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Interpretacin:

Si se elige al azar un representante se espera que cobreuna comisin de $38.67 por pliza vendida.

67.38$75

2900202530

)50(20)40(25)30(30 px


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g)Ventajas y desventajasde la media aritmtica

Ventajas:Concepto familiar para muchas personas

Es nica para cada conjunto de datosEs posible comparar medias de diferentes muestras

Desventajas

Se ve afectada por los datos extremosSi la muestra es grande y los datos no estn

agrupados, su clculo es tediosoSi los datos estn agrupados en clases con extremos

abiertos, no es posible calcular la media.


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(B) Geometric Mean ( )Media geomtrica

Se utiliza para calcular tasas medias de variacin, comola tasa media de crecimiento poblacional, la tasa mediade inflacin mensual, la tasa media de mortalidad, entreotros.

a) ObtencinSe obtiene extrayendo la raz ensimadel producto de los nvalores de una serie.

gx

ng nx XXXX .........321


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Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las quejasdurante los ltimos meses. Calcule e interprete la tasa mediamensual.

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo

Aumento de

quejas2.6% 5.4% 3.8% 0.5% 1.4%

La tasa 2,6% tambin se puede expresar como 0,026 , ypuesto que se refiere a un aumento a partir de una base de100%, el factor de variacin ser 1,026. Para los otros datosse opera igual.


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Por lo tanto, la media geomtrica se calcula:

5 )014.1)(005.1()038.1()054.1()026.1(

)(0272540,1 medioocrecimientdeFactor

5143903377.1

100)1( Tasa mediade variacin =

b) Clculos

n xxxxx g ,......,, 321

gx

gx

gx

gx


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c) Interpretacin

Si se selecciona al azar un mes entre enero y mayo,se espera que las quejas se hayan incrementado2.72% con respecto al mes anterior.

= (1,0272540 - 1) x 100 = 2,72%


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Se puede calcular la media geomtrica utilizando Excel.


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(C) La media armnica ( )La Media Armnica

Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad yaceleracin media, como por ejemplo, el tiempo mediopara realizar determinada ciruga.

a) Obtencin: se obtiene calculando el inverso de lamedia aritmtica de los inversos de una serie.

hx

n

n

i i

hx

1X1

1


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Ejemplo:

Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro

tcnicos al realizar un cierto dibujo en autocad. Calcule einterprete el tiempo medio.

Tcnico A B C D

Tiempo(minutos) 45 38 52 40

Conocer el tiempo medio permite contar con una herramienta tilen la planeacin de los recursos, como el departamento de

dibujo. Adems de poder comparar nuestro desempeo con losestndares de calidad internacionales.


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b) Interpretacin:

Si se selecciona al azar a uno de los cuatro tcnicos,se espera que realice este tipo de dibujo en 43 minutosaproximadamente.

88920

2223171023401976

4

40

1

52

1

38

1

45

1

4

hx

minutos117953.438249

889204

h

x

segundos7minutos43h

x


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Se puede calcular la media armnica utilizando Excel.


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The MedianLa Mediana

Es la medida que divide en dos subconjuntos igualesa datos, de tal manera que 50% de los datos esmenor a la mediana y el otro 50% es mayor a lamediana.

a) Obtencin: Se obtiene ordenando la serie de datos(en forma ascendente o descendente) y ubicando eldato central.


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Ejemplo:

Los siguientes datos se refieren al nmero de pacientesque llegaron a su cita, despus de la hora programadadurante los ltimos 11 das en el Servicio de Pediatra.Calcule e interprete la mediana.

12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16

Primero se ordenan lo datos:

5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17

5 datos menores 5 datos mayores

mediana


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b) Interpretacin: Durante 5 das llegaron menos de 11pacientes tarde a su cita y durante 5 das, ms de 11

pacientes llegaron tarde a su cita.

c) Reglas

1 Si la serie es impar, la mediana ocupa el lugar central de

la serie previamente ordenada.

Ejemplo:5, 10, 10, 12, 15 , 17, 20, 21, 24


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Ejemplo:8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

3 Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar, de laserie previamente ordenada.

21n

5.202

2318

mediana

2 Si la serie es par, la mediana se obtiene de la semisuma delos dos valores centrales de la serie previamente ordenada.


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Se puede calcular la mediana utilizando Excel.


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d) Clculo a partir de datos agrupados.

Me= Li + Cin/2 - Fi-1

Fi- Fi-1

Frmula

Me Mediana Li Limite inferior de la clase mediana

Ci ancho de clase de la clase mediana n Nmero total de datos

Fi-1 Frecuencia Absoluta Acumulada de la clase anterior a la clase mediana

Fi Frecuencia Absoluta Acumulada de la clase mediana


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1.00nTotal

F1

F2F3

...

...

Fk

h1

h2h3

...

...

hk

f1

f2f3

...

...

fk

[ Li1Ls1 ]

[ Li2

Ls2 ][ Li3Ls3 ]

...

...

[ LikLsk ]

FihifiINTERVALO

n/2

Primerpaso:

Fi-1

Fi

Segundopaso:

Tercerpaso:

Pasos a seguir para encontrar la Mediana:

Cuartopaso: Li= ( Ls2+ Li3 ) / 2

Quinto paso: Hallar la amplituddel intervalo Ci


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EjemploLa siguiente tabla muestra las edades de 30 trabajadores atendidos en la salade urgencias de un hospital, calcular la mediana

a os arcas e

clase )( iY if iF

1018

1927

283637454654

55

64

9

23324150

59.5

2

4693

6

2

612 Fi-121 Fi24

30T OTAL 30


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1. Determinamosel valor de .152/302 n

2. Ubicamos lamayor frecuencia absolutaacumulada que resultemenor

que2n , en este caso es 12

1

iF

3. Lafrontera de clase de la clasemediana, en este caso, es: 36.5.

4. Lafrecuenciade la clase mediana es: 9if

5. Hallamos la amplitud A= 45.5- 36.5 =9


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pcamos a rmua:

i

i

iif

Fn

cLMe

1

2

9

3

95.369

1215

95.36Me

5.39Me

Interpretacin: El 50% de los edades de ese grupo de trabajadores de un centro desalud son iguales o inferiores a 39.5 aos en tanto que el 50% restante sonmayores a 39.5 aos.


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En resumen:

LA

MEDIANA

1. DATOS NO

AGRUPADOS

2. DATOS

AGRUPADOS

PMe =[(n+1)/2]

Me =Li + Cin/2 - Fi-1

Fi- Fi-1


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e) Ventajas y desventajasVentajas:

Los valores extremos no afectan a la medianacomo en el caso de la media aritmtica.Es fcil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos,

registrados bajo una escala ordinal.Desventajas:

Como valor central, se debe ordenar primero laserie de datos.

Para una serie amplia de datos no agrupadosel proceso de ordenamiento de los datosdemanda tiempo y usualmente provocaequivocaciones.

The Mode


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The ModeLa Moda

La moda es el valor que ms se repite dentro de un

conjunto de datos.

a) Obtencin:se obtiene organizando la serie de datos yseleccionando el o los datos que ms se repiten.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38

Ejemplo:


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b) Clculoa partir de datos agrupados

donde:

: moda

: limite real (o frontera) inferior de la clase

modal (la de mayor frecuencia)

: frecuencia de la clase modal menos la

frecuencia de la clase anterior

: frecuencia de la clase modal menos lafrecuencia de la clase siguiente

: amplitud de clase

ci

21

1

LoM

oM

i

L

1

2

c


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Las clases mediana y modal pueden coincidir peroconceptualmente son diferentes.

Ejemplo:La tabla siguiente muestra los errores de facturacindurante un mes, en una Ferretera. Calcule e interprete la moda.

Interpretacin: Durante un mes, el nmero ms frecuente deerrores de facturacin en esta ferretera es 6.

Errores de

facturacin Das

0 - 3 6

4 - 7 12

Clase

Modal

8 - 11 8

12 - 15 3

16 - 19 1

Total 30

Clase moda : (4 - 7)

Mo = 5,9

61

42

446

65.3Mo


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Ejemplo:

La siguiente tabla muestra las edades de 30 trabajadores atendidos en la salade urgencias de un hospital, calcular la moda

a os arcas e

clase )( iY if iF

1018

19272836

374546545564

9

2332415059.5

2

469 fi

36

2

612212430

T OTAL 30


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1. Ubicamos lafrecuencia ms alta 93 f .

2. Ubicamos la frontera inferior de la clase modal 5.36iL .

3. Calculamos laamplitud de laclase modal .95.365.45 ic

4. Calculamos 369 i .

5. Calculamos 6391 i .


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or mo apcamosaormua:

.5.39

35.36

9395.36

63

395.36

1

Mo

Mo

Mo

Mo

cLMoii

iii

Interpretacin:La edad modal es: 39.5 aos.


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En resumen:

LA

MODA

1. DATOS NO

AGRUPADOS

2. DATOS

AGRUPADOS

Dato que con mayorfrecuencia se repite

Mo=Li + Ci

fi - fi-1(fifi-1) + (fifi+1 )

1ii

i

iio cLM

05 statistics week medidas tend central

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