04-triángulos-1
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Es la figura geométrica formada por la reunión de tres segmentos determinadospor tres puntos no colineales.
ElementosB
A
CVértices
Lados:
AB , BC y AC
Angulos interiores:De medidas α , β , θ
α
β
θ
Angulos exteriores:De medidas x , y , z
x
y
z
Perímetro de un triángulo.- Es la suma de las longitudes de sus tres lados. Se representa por “ 2p”. El semiperímetro es la mitad del Perímetro. Se representa por “p”
2p= a +b + c
a
b
c
a+b+cp=
2
I) SEGÚN SUS ANGULOS
1) TRIANGULOS ACUTANGULOS
Los tres ángulos interiores son agudos
2) TRIANGULOS OBTUSANGULOS
Un ángulo interior obtuso
B) TRIANGULOS RECTANGULOS
Un ángulo interior es recto
A) TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS
II) SEGÚN SUS LADOS
1) TRIÁNGULOS EQUILATEROS
Los lados de la misma medida
2) TRIANGULOS ISOSCELES
Dos lados de igual medida
3) TRIANGULOS ESCALENOS
Los tres lados de diferentes medidas
A)Ceviana
Es el segmento de recta
que tiene por extremos
un vértice y un punto cualquiera del lado
opuesto o de su prolongación.
2) CEVIANA EXTERIOR
Es el segmento de recta
trazado desde un vértice
hacia la prolongación
del lado opuesto
3) ALTURAEs la ceviana perpendicular que se traza por uno de los
vértices hacia el lado opuesto o hacia su
prolongación.El punto de intersección de las 3 alturas del triángulo se llama
ORTOCENTRO
4) MEDIANA
Es la ceviana que une el punto medio de uno de suslados con el vértice opuesto.
El punto de intersección de las tres medianas se llama
BARICENTRO y divide a cada mediana en dos
segmentos,cuyas medidas están en relación
de 2 a 1
5) BISECTRIZ INTERIOR
Es la ceviana que divide al ángulo en dos ángulos
congruentesEl punto de intersección de las tres bisectrices interiores
del triángulo se llama INCENTRO y
es el centro de la circunferencia inscrita en un
triángulo
6) BISECTRIZ EXTERIOR
Es la ceviana que divide al ángulo exterior en dos ángulos de la misma
medida.El punto de intersección de dos bisectrices exteriores del triángulo
se llama EXCENTRO. También se llama excentro al punto de
intersección de una bisectriz interior y otra exterior. El excentro
es el centro de la circunferencia exinscrita y equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros
dos.
B) Mediatriz
Es la recta perpendicular a uno de los lados que
pasa por el punto medio.El punto de intersección de las 3 mediatrices se llama
CIRCUNCENTRO y es el centro dela circunferencia circunscrita a un
triángulo
1) Cuando nos piden calcular la altura, bisectriz, mediana o
la ceviana de un triángulo, nos referimos a la longitud
comprendida entre el vértice y el punto de intersección
con el lado opuesto.
2) Se llaman ángulos adyacentes a un lado, a los
ángulos que tienen sus vértices en los extremos del
lado.
1) Teorema de la suma de las medidas de los ángulos
interiores.
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º
2) Teorema del ángulo exterior
La medida de un ángulo exterior es igual a la
suma de las medidas de los ángulos interiores
no adyacentes
3) Teorema de la suma de lasmedidas de los ángulos
exteriores.
La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por
vértice) es igual a 360º.
4) Teorema de la suma de las medidas de dos ángulos
exteriores
La suma de las medidas de dos ángulos exteriores es igual a 180º más la medida del tercer ángulo
interior.
5) Teorema de la existencia de un triángulo
En un triángulo, la longitud de uno de sus lados es menor
que la suma de los otros dos, pero mayor que la diferencia
de dichos lados.
6) Teorema de la correspondencia
Cuando los lados de un triángulo no son congruentes, a la longitud
del mayor lado se opone la medida del mayor ángulo interior.
7) Teorema de la bisectriz interiorEn todo triángulo ABC, si BD es bisectriz interior, se cumple
xº - yº = aº - bº
1) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios
2) La medida de los ángulos agudos deun triángulo rectángulo isósceles miden 45º cada uno.
3) Ningún triángulo puede tener más de de un ángulo recto.
4) Ningún triángulo puede tener más de de un ángulo obtuso.
5) La medida de un ángulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas de los ángulos interiores que no le son adyacentes.
6) A la longitud del menor lado se le opone la medida del menor ángulo interior.
7) Al mayor lado le corresponde la menor altura, mediana y bisectriz
Dibuja (traza) un triángulo si sus lados miden, 5 cm, 8 cm y 6 cm
¿Qué clase de triángulo dibujo ?
¿Un triángulo acutángulo?
¿Un triángulo rectángulo?
¿Un triángulo obtusángulo?
¿O tal vez un…?
Paso 1 Aplicar el teorema de la existencia de un triángulo
Es decir determinar, si con las medidas dadas se puede trazar el triángulo
8-6<5<8+6 2 < 5 < 14
6-5<8<6+5 1 < 8 < 11
8-5<6<8+5 3 < 6 < 13
Entonces si se puede trazar el triángulo
Paso 2Ordenamos las medidas de los lados de mayor a menor y le asignamos una letra, elevamos cada una al cuadrado y sumamos solo las dos de la derecha.
(a)2 (b)2 + (c)2
(8)2 (6)2 + (5)2
64 36 + 25
64 61Luego escribo<, = ó >. En este caso pongo >
>
a) Si a2 < b2 + c2 será triángulo acutángulo
b) Si a2 = b2 + c2 será triángulo rectángulo
c) Si a2 > b2 + c2 será triángulo obtusángulo
Problema Nº 01Completa con los datos que creas necesario,identifica las figuras y escríbelas de acuerdo a lo indicadoa) Tres puntos no colinealesb) Un ángulo agudoc) Un ∆ acutángulo
d) Un ∆ isóscelese) Un ∆ rectángulof) Un ∆ escaleno
h) Un ángulo exterior de 60ºg) Un ∆ obtusángulo
Problema Nº 02
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) ( ) x = y + z
b) ( ) 2(a + x) = 180º
c) ( ) a + z = 90º
d) ( ) 2x = y + z
e) ( ) 2a + y + z = 180º
F
V
F
F
V
Problema Nº 03
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) ( ) Triángulo es la figura que resulta de reunir tres segmentos colineales.
F
b) ( ) Mediana es el segmento que uneun vértice con el punto medio de su lado opuesto.
V
c) ( ) En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de lasmedidas de los dos ángulos del triángulo no adyacentes a él.
V
Problema 01
Construye un triángulo obtusángulo isósceles sabiendo que sus lados Congruentes miden 4 cm cada uno.
Problema 02
Construye un triángulo sabiendo que las medidas de sus lados son a= 20 cm,b = 12 cm y c = 16 cm
Problema 03
Construye un triángulo sabiendo que un lado mide 6 cm y sus ángulos adyacentes miden 30º y 70º. Luego trace la altura del lado menor.
Problema Nº 01
En la figura AB = BC = AC, además AB = 2x + y,BC = 2y - 4x, AD = x + 2, CD = y - 1 y BD = x + y. Calcular el Perímetro ∆ DBC – Perímetro ∆ DBA
Solución
a) Colocamos las medidas de loslados
2x+y 2y-4x
x+2 y-1
x+yb) Como sus lados son congruentes, entonces2y-4x=2x+y. Luego y=6x
c) También 2x+y=x+2+y-1. Luego x=1, y=6
d) Reemplazamos y tenemos que AB=8,BC=8,CD=3,CD=5, BD=7.Entonces2p ∆ BDC-2p ∆ BDC=(8+7+5)-(8+7+3)= 2
* ** *
1) Se forman tres triángulos isósceles. Marcamos sus lados congruentes
2) Por lo tanto m<ACB=x
3) m<DBC= 2x .Por < exterior
x
2x
2x
3x 3x
4) Lo mismo 2x por ser isósceles y 3x por <exteriore isósceles
5) Entonces, también por < exterior del triángulo ADE en D, x + 3x = 119 – 3x. Por lo que x = 17
Solución
a)Colocamoslas marcas yvariables
a
a
a
b) Entonces m<EJH=aa
c) En el ∆EHJ, 2a+2x=180, a+x=90º a=90º-x
d) En el ∆EFG, x+9x+a=180º
e) Reemplazamos c) en d) y tenemos x+9x+(90º-x)=180º, x=10º
Solución
a) Colocamos lasMarcas y variables
40º
a
a a
a
b b x
b) En el ∆ABC2a+40º=180ºa=70ºc) En el ∆ACEa=2b 70º=2b, b=35º (<e)
d) En el ∆ADEx+a+b=180º
e) Reemplazando b) y c) en d)x+70º+35º=180º.Luego x=75º
Solución
b
5a+b
4a b) En el ∆ADC(isósceles)m<DAC= 4a
a) Colocamos las marcas
c) En el cuadrilátero cruzado ACBD: b+5a+b=4a+3aDe donde b=a, luego el∆BDC es isósceles y el ∆ABD es equilátero
d) Luego 5a+b= 6a,6a= 60ºa=10º
Problema Nº 06
En el interior de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se toma un punto F tal que la m<FAB = m<FCA, m<B = 20º. Calcular la m<AFC.
Solución
xα
αβ
β
a) Trazamos la figura,asignamos marcasy variablesb) Como m<A=m<C
d) En el ∆AFC
x+80º=180ºx=100º
c) Del ABC
α +β +20 +α +β = 180
α +β = 80x +α +β = 180
En el exterior de un triángulo escaleno ABC, se toma un punto “Q” relativo al lado BC, tal que las longitudes de QB, QC y QA son proporcionales a 3, 4, y 5. Se sabe que el perímetro del ∆ ABC es
24 cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede tomar
“QA”.
Problema Nº 07
Solución
a) Por el teorema de la existencia del triángulo∆BQC: x < a < 7x∆AQC: x < b < 9x∆BQA: 2x < c < 8x
b) Σ mam4x < a+b+c < 24x4x < 24 < 24x x < 6 < 6xx < 6 y 6 < 6x , 1 < xEntonces 1 < x < 6
c) Como QA= 5x. 5 < 5x < 30, de dondeValores enteros de QAson: mínimo=6 y máximo= 29d) La suma pedida es 6 +29= 35
Problema Nº 08
Dos lados de un triángulo miden 7 y 9 cm. Determinar la suma de los valores enteros mínimo y máximo que puede tener el tercer lado.
Solución
a) Por el teorema de la desigualdad triangular9-7<x<9+7, 2 < x <16
b) Valores enteros:Mínimo= 3Máximo= 15Luego la suma= 18
Solucióna) Colocamos losdatos
a
b) m<BRQ=2a(<e)
c) Entonces el ∆QBREs isósceles
2a
d) En el ∆ABQ,m<BAQ=m<BQA= 180º-3a,Por lo tanto también esisósceles
180º-3a
180º-3a
e) Tenemos tambiénque AP=2
2f) En el ∆ ABCm<ABC=2a (<e)
g) Como ∆PBR es Isósceles, PB=PR2+AB=PQ+QR2+BR=PQ+RC2+BR-RC=PQ2+3=PQ=5
Solución
a) m<DBC=5a(Cuadrilátero no convexo)
5a b) ∆ BCD esisósceles
c) ∆ABC es isóscelesm<ABC=m<ACB=3a.Entonces m<BCD=2a
2a
d) En el ∆BDC5a+5a+2a=180º
a=15
Solución
x
x
12ay
y
b
a)De acuerdo a los datos los triángulos POR y QOS sonIsósceles.
c) En el∆ POR, 2x+b+5a=180º∆ QOS, a+b+2y=180º
d) Sumando mam2x+2y+2b+6a=360º
x+y+b+3a=180º12a+3a=180º
a=12
b) En el cuadriláteroQORT, 12a=x+y+b
Solución
a) En el ABC, m<A = m<B = a
a
a
b) En el QCM, m<C = m<Q = b
c) En el ACQPor < exterior 2x= a +b
b
b
d) Luego 3x +a + b = 180º 3x + 2x = 180º
x = 36º
A B
C
x
x
2x 2x
3x
3x
4x 4x
5x
5x
Solución
a) En el triángulo ABC x + 5x = 90º
x = 15º
b) Luego 4x + a = 90º 4(15) + a = 90º
a = 30º
Solución
a) En el triángulo ABC, <y : < formado por dos bisectrices interiores. y = 90º + x/2
b) En el triángulo PQM : y + 90º+ x = 360º , por < exterior
c) Reemplazando “y”, tenemos 90º + x/2 + 90º + x = 360º Por lo tanto x = 120º
Solución
a) En el triángulo ABC , x = 90º + 4a/2. Por ser un ángulo formado por dos bisectrices interiores.
b) En el triángulo PQS, x + 4a = 180º. Porque la suma de las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo, es Igual a 180º.
Reemplazando tenemos 90º + 6ª = 180º, siendo por lo tanto a = 15º
a) En el triángulo ABCm<A + 90º = 90º + 2c.Entonces m<A = 2c
b) En el triángulo AHBm<A + c = 90º. Reemplazandotenemos que c = 30º
c) En el triángulo AHB “x” es la medida del ángulo formado por una bisectriz interior y otra interior.Por lo tanto x=c/2
Solución
x = 15º
y
a) y = 6a. Por ser la medida del ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior
b) En el triángulo MQP y + 3a = 90º
3a
c) Remplazando a = 10º
d) En el triángulo ABDm<A + 12a + 4a = 180m<A+120º+40º=180 m<A=20º
e) En el triángulo AMSy= 10º + x, de donde x= 50º
20º
20º
a) m<BAC=m<BCA= 80º
o o
o
b) m<BAP=m<BPA=80º-20º=60º.El ΔABDEs equilátero,m<CBP= 40º
60º
60º
80º
c) En ΔCBD m<CDB=m<BCD=70º
40º
70º
d) Luego x + 70º= 80 x= 10º
*
*
*
a)Ponemos las marcas de lados Congruentes,luego m<ACB=5x
5x
b) Trazamos BD
c) El ΔABD es isósceles. Luego m<ADB=m<ABD=a
a
a 14x-a
d) Por la regla de la mariposa a+5x=14x-a+3xDe donde a= 6x,14x-a=8x,siendo el ΔBDCisósceles
*
e) ΔABD es equilátero. 18x= 180, luego x= 10º
70 70 50
80
a) Completamos los datos
b) En el ΔBCEm<BEC=80º , luego en el ΔBED
m<BDC=40
40
c)ΔBCE y ΔBED son isósceles
6040
Problema Nº 23
Calcular el perímetro de un ∆ ABC enel cual AB=2x-1, BC= 6-x, AC= 3x-1.Se sabe que x es un entero positivo.