03 função quadrática - parte iii (gráfico)
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Função Quadrática – Parte III
Ângelo Moreira dos Reis
Função Quadrática
Gráfico da Função QuadráticaGráfico da Função Quadrática Toda Função Quadrática, do tipo descreve, geometricamente, uma parábola.
cbxaxxf 2)(
O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes fundamentais:
01) Zeros da função: é ou são os pontos onde o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x).
02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y). Obs: x = 0
Vamos construir o gráfico da função y = x2 – 2x – 3 calculando os pontos citados anteriormente:
01) Zeros da função:
y = y = 00xx22 – 2x – 3 = 0 – 2x – 3 = 0
x = 3 x = 3 x = – x = – 1 1
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
-2
-3
x
y
-4(-1 , 0) (3, 0)(-1 , 0) (3, 0)
Função Quadrática
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
-2
-3
x
y
-4
02) Vértice da função: y = x2 – 2x – 3
a2
bxv
a4yv
12
2xv
2
2xv
1xv
14
16yv
4
16yv
4yv
)4,1(V V
Função Quadrática
Função Quadrática
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
-2
-3
x
y
-4 V
03) Termo Independente: y = x2 – 2x – 3
x = 0
y = x2 – 2x – 3
y = (0)2 – 2(0) – 3 y = 0 – 0 – 3
y = – 3 (0, – 3)
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
-2
-3
x
y
-4 V
Observações:I: Perceba que o gráfico possui uma eixo de simetria vertical, que passa exatamente pelo vértice.
II: Pelo eixo de simetria percebemos que o xv é o ponto médio entre os zeros da função, podendo ser calculado pela média aritmética dos zeros!
2
31xv
1xv
Função Quadrática
Vamos construir o gráfico da função
-1 2 3
1
2
3
4
5
-2 410
-1
x
y
9
8
7
6
01) Zeros da função:
y = – x2 + 2x + 8
– x2 + 2x + 8 = 0
x = – 2
x = 4 02) Vértice:
a2
bxv
)1(2
2xv
1xv
a4yv
)1(4
36yv
9yv
03) Termo independente:y = – x2 + 2x + 8 (0, ) + 8
y = –x2 + 2x + 8:
x=0
Função Quadrática
(-2,0)
(4,0)
Observações:I: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do valor de a:
a > 0 a < 0
II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função, podendo ser mínimo ou máximo:
a > 0 a < 0
mínimo
máximo
Função Quadrática
Função Quadrática
diferentesreais
raízesduas0realraiz
existenão0iguaisreais
raízesduas0
x
0a
0ax
x
x
x
x
III:III: Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais diferentes: diferentes:
Função Quadrática – Parte III
Ângelo Moreira dos Reis