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Apuntes de Anlisis Estructural Dr. Mauricio Gamboa-Marrufo

Unidad 1. Energa de deformacin y desplazamientos en estructuras. 1/24

ASIGNATURA: Anlisis Estructural UNIDAD: 1. Energa de deformacin y desplazamientos de estructuras. OBJETIVO: Calcular la energa de deformacin y los desplazamientos en vigas. CONTENIDO: 1.1 Conceptos de trabajo y energa interna 1.2 Energa de deformacin de una partcula 1.2.1 Esfuerzo normal 1.2.2 Esfuerzo cortante 1.2.3 Estado general de esfuerzos 1.3 Energa de deformacin en barras 1.3.1 Fuerza axial 1.3.2 Fuerza cortante 1.3.3 Momento flexionante 1.3.4 Momento torsionante 1.4 Teoremas de Betti y Maxwell 1.5 Teorema de Castigliano 1.6 Mtodo de la carga unitaria 1.6.1 Planteamiento del mtodo 1.6.2 Clculo de desplazamientos lineales 1.6.3 Clculo de desplazamientos angulares BIBLIOGRAFA: 1.- Beaufait F. (1991). Anlisis estructural, Prentice Hall Internacional, Espaa. 2.- Gonzlez C. O. (2001). Anlisis estructural, Limusa Willey, Mxico. 3.- Hibbeler R. C. (1998). Structural analysis, Prentice Hall Hispanoamericana, Mxico. 4.- Kasimali A. (2001). Anlisis estructural, Ciencias e ingeniera. Mxico. 5.- Laible J. P. (1992). Anlisis estructural, Mc Graw-Hill, Mxico. 6.- Lee K. (1988). Fundamentals of structural analysis, Prentice Hall International. USA. 7.- Luthe R. (1975). Anlisis estructural representaciones y servicios de ingeniera. Mxico. 8.- Rumman W. S. (1991). Analysis of indeterminated structures, Willey Interscience, USA.



1.1 Conceptos de trabajo y energa interna.

El trabajo realizado por una fuerza que acta sobre una estructura se define sencillamente como esa fuerza multiplicada por el desplazamiento de su punto de aplicacin en la direccin de la misma fuerza. Se considera que el trabajo es positivo cuando la fuerza y el desplazamiento en la direccin de sta tienen el mismo sentido y negativo cuando la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos [1].

El clculo de las deformaciones en este captulo se basa en consideraciones energticas, es

decir, en la energa (externa) que se requiere para deformar un miembro estructural y en la energa interna que se desarrolla dentro de un miembro al deformarse. Los mtodos energticos estn basados en el Principio de la Conservacin de la Energa que establece que el trabajo externo desarrollado por fuerzas que actan sobre un cuerpo se transforma en trabajo interno o energa de deformacin elstica. Esto puede expresarse matemticamente como: [2]

We = -Wi = U (La magnitud del trabajo externo realizado por las fuerzas aplicadas es igual al

del trabajo interno y de sentido contrario, ya que acta en direccin contraria a la de la fuerza aplicada, e igual a la energa potencial de deformacin elstica).

La energa se define como la capacidad para realizar un trabajo, por lo tanto, la energa de

deformacin elstica es la capacidad que tiene un cuerpo de realizar un trabajo debido a su deformacin.

Fig. 4 Trabajo externo realizado por una carga axial (Gonzlez Cuevas,

Anlisis Estructural, Edit. Limusa, Pg. 157).

P0 +

0 0

0

0



Para ejemplificar el clculo del trabajo externo y del trabajo interno, en la figura 4(a) se

muestra una barra recta de longitud l a la que se le aplica una fuerza F que aumenta uniformemente su valor desde cero hasta P0, produciendo en la barra un alargamiento de magnitud 0. La grfica en la figura 4(b) muestra el valor de la carga en cualquier momento contra el alargamiento de la barra. El trabajo total realizado por la fuerza, cuya magnitud aumenta desde cero hasta alcanzar el valor de P0, es F dx, que viene siendo el rea del tringulo oab, en el caso de las estructuras elstico-lineales que son de especial inters en este curso [1].

W0 = P0 0

En las figura 4(c) y 4(d) se ilustra que, si despus de haber alcanzado la deformacin 0, se

aplica otra fuerza P1 que aumente su magnitud uniformemente desde cero, y manteniendo aplicada la fuerza P0, de tal manera que se produzca una deformacin adicional 1, la fuerza P0 realizar un trabajo externo adicional igual al rea del rectngulo adeb, y la nueva fuerza aplicada P1, un trabajo igual al rea del tringulo acd [1].

W0 = P0 1

W1 = P1 1

Siendo el trabajo total realizado por ambas fuerzas:

W0,1 = W0 + W1 + W0 = P0 0 + P1 1 + P0 1 Ntese que (ver Fig. 5): i) en ambos casos en los que la magnitud de la fuerza se increment de cero hasta su valor final, la expresin del trabajo contiene el factor , en tanto que la expresin para una fuerza constante (aplicada de manera incremental con anterioridad) no contiene este factor. ii) si la fuerza P1 hubiese sido aplicada primero, el trabajo externo adicional realizado por esta fuerza sera: W1 = P1 0 equivalente a W0 = P0 1 y el trabajo total realizado por ambas fuerzas sera:

W0,1 = W1 + W0 + W1= P1 1 + P0 0 + P1 0

iii) si ambas fuerza hubieran sido aplicadas simultneamente de manera incremental, el trabajo total realizado por ambas fuerzas sera:

W0,1 = P0,1 0,1 equivalente a: P0 0 + P1 1 + P0 1 y a: P1 1 + P0 0 + P1 0 donde: P0,1 = P0 + P1 y: 0,1 = 0 + 1 Por lo tanto: W0,1 = (P0 + P1) 0,1 = P0 0,1 + P1 0,1



P0,1

0,1

P0

P1

0 1

P0

P1

01(a) Aplicando P0 y posteriormente P1

(b) Aplicando P1 y posteriormente P0

(c) Aplicando P0 y P1 simultneamente

(d) Aplicando P0 y P1 simultneamente

P0,1

0,1

=

=

=

+P1

01

P0

0 1

Fig. 5 Trabajo externo realizado por dos cargas axiales.

Los prrafos anteriores se resumen en el Teorema de Clapeyron que dice: El trabajo desarrollado durante la carga de un slido elstico, por un sistema de cargas en equilibrio, es independiente del orden aplicacin de las cargas y su valor es igual a la mitad de la suma de los productos de los valores finales de las fuerzas por los valores finales de los desplazamientos de sus puntos de aplicacin, medidos en las direcciones de las fuerzas [3].

Wtotal = Pi itotal

1.2 Energa de deformacin de una partcula.

Considrese una unidad de volumen diferencial (dV = xyz) definida en un sistema coordenado (x, y, z) como se ilustra en la figura 6. La partcula puede estar sometida a un estado general de esfuerzos (normales xx, yy, zz y cortantes xy, xz, yx, yz, zx, zy). De acuerdo con la definicin de las componentes del esfuerzo cortante, i j representa la componente del esfuerzo cortante en direccin del eje j ejercido sobre la cara perpendicular al eje i [5]. Por equilibrio, en las caras opuestas existen valores iguales y de sentido contrario y los valores presentados en la figura deben cumplir que xy =yx, yz =zy, zx =xz.

Esta unidad de volumen diferencial puede experimentar deformaciones unitarias normales

xx, yy, zz y por cortante xy, yx, yz, zy, zx, xz, que son funcin de las deformaciones () que presenta el diferencial de volumen:

xx = x/x yy = y/y zz = z/z

xy = x/y yz = y/z zx = z/x

yx = y/x zy = z/y xz = x/z



x

y

z

x

y

z

z

y

x

xy

xz zx

zy yz yx

Fig. 6 Esfuerzos normales y cortantes en un diferencial de volumen (Beer

& Johnston, Mecnica de Materiales, Pg. 26).

1.2.1 Esfuerzo normal Para el caso del diferencial de volumen ilustrado en la figura 6, la energa de deformacin

asociada al esfuerzo normal xx es, de acuerdo con el teorema de Clapeyron:

U = W = P = (xx A) (xx x)

= (xx y z) (xx x)

= ( xx xx ) ( x y z ) = xx xx dv

donde dv es la unidad diferencial de volumen que, si se considera unitaria, proporciona la

energa de deformacin especfica () asociada al esfuerzo normal xx:

= xx xx

1.2.2 Esfuerzo cortante De igual manera, la energa de deformacin asociada al esfuerzo cortante xy es, de acuerdo

con el teorema de Clapeyron:

U = W = P = (xy A) (xy y)

= ( xy x z ) ( xy y ) = xy xy dv



donde igualmente dv es la unidad diferencial de volumen que, si se considera unitaria, proporciona la energa de deformacin especfica () asociada al esfuerzo cortante xy:

= xy xy

Del mismo modo se puede calcular la energa de deformacin especfica correspondiente a

cada uno de los otros esfuerzos normales y cortantes.

1.2.3 Estado general de esfuerzos Para una partcula de volumen unitario constituida de un material elstico lineal se puede

utilizar el principio de superposicin para obtener su energa de deformacin especfica cuando se encuentra bajo un estado general de esfuerzos (xx, yy, zz, xy, xz, yx, yz, zx, zy):

= (xx xx + yy yy + zz zz + xy xy + xz xz + yx yx + yz yz + zx zx + zy zy)

E integrando la energa de deformacin especfica en el volumen de un cuerpo se puede

obtener la energa de deformacin del mismo sujeto a un estado general de esfuerzos:

U = W = dx dy dz

U=W= (xx xx + yy yy + zz zz + xy xy + xz xz + yx yx + yz yz + zx zx + zy zy) dx dy dz

1.3 Energa de deformacin en barras 1.3.1 Fuerza axial

Fig. 7 Barra sometida a una fuerza axial y deformacin axial correspondiente.

(Beer, F. P., Johnston E.R. Mecnica de Materiales, 3a Ed. Pg. 670).

Considrese una barra de rea A y longitud L, empotrada en un extremo y libre en el otro como se ilustra en la figura 7. En el extremo libre de la barra se aplica una carga axial P que produce un desplazamiento en la direccin del eje x. La carga axial P produce nicamente esfuerzos x, por lo que la energa de deformacin de esta barra se puede calcular como:



= dzdydxU xxN 21

El esfuerzo x y la deformacin unitaria x se pueden calcular como:

Ey

AP x

xx ==

Donde E es el mdulo de elasticidad. La energa de deformacin (U) para una barra sometida a fuerzas axiales se puede calcular

sustituyendo estas dos ltimas ecuaciones en la anterior, as:

= dzdydxAEPAPU N 21 Como = dzdyA , entonces:

= dxAEPU N 22

1.3.2 Fuerza cortante

Fig. 8 Seccin diferencial (dx) de una barra sometida a fuerza cortante y deformacin

tangencial correspondiente. (Heinz, M. (2006). Gua de Apoyo Didctico, Ctedra Anlisis Estructural I, Universidad Tecnolgica Nacional. Facultad Regional Santa Fe. Unidad Temtica No. 2: Deformacin de Barras Flexionadas. Argentina. Pg. 3).

Considrese una seccin diferencial (dx) de una barra sujeta a una fuerza cortante (V) como

se ilustra en la figura 8. Estas fuerzas cortantes producen esfuerzos cortantes xy y deformaciones tangenciales xy, por lo que la energa de deformacin de esta barra se puede calcular como:

= dzdydxU xyxyC 21 El esfuerzo xy y la deformacin unitaria xy se pueden calcular como:

Gy

IbVQ xy

xyxy

==



Donde V es la fuerza cortante; Q es el momento esttico (Q=A y ); A es el rea de la seccin transversal; y es la coordenada en y del centroide de la seccin; I es el momento de inercia con respecto al eje z; b es el ancho de la seccin transversal; G es el mdulo de cortante ( ))1(2/( += EG ); E es el mdulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson.

La energa de deformacin (U) para una barra sometida a fuerza cortante se puede calcular


= dzdydxGIbVQU C

121 2

Sustituyendo en esta ecuacin el concepto de radio de giro AIr /= , entonces:

= dzdydx

IbrQ

AGVU C 22

22

2

Utilizando ahora el concepto de coeficiente de forma:

= dzdy

IbrQCK 22

2

Se obtiene la expresin final para calcular la energa de deformacin para una barra sometida

a fuerza cortante:

= dxAGVCU KC 22

En la bibliografa se puede obtener valores de Ck para barras con distintas secciones, por

ejemplo: para una seccin rectangular maciza, Ck=1.2; para una seccin circular maciza, Ck=10/9; para una seccin I, Ck= ASECCIN/AALMA [2].

1.3.3 Momento flexionante

Considrese un segmento de una barra cuyo eje longitudinal es paralelo al eje x y se

encuentra sometida a un momento flexionante M que acta alrededor del eje z como se ilustra en la figura 9. El momento flexionante M produce esfuerzos normales x y desplazamientos en la direccin del eje x por lo que la energa de deformacin de esta barra se puede calcular como:

= dzdydxU xxF 21 El esfuerzo x y la deformacin unitaria x se pueden calcular como:

Ey

IyM x

xx ==

Donde y es la distancia de la fibra en estudio al eje neutro de la seccin; I es el momento de

inercia de la seccin respecto al eje z y E es al mdulo de elasticidad del material constituyente.



Fig. 9 Seccin de una barra sometida a momento flexionante y deformacin axial

correspondiente. (Beer, F. P., Johnston E.R. Mecnica de Materiales, 3a Ed. Pg. 214). La energa de deformacin (U) para una barra sometida a momentos flexionantes se puede

calcular sustituyendo estas dos ltimas ecuaciones en la anterior, as:

= dzdydxEI

yMU F

121 2

Como = dzdyyI 2 , entonces:

= dxEIMU F 22

1.3.4 Momento torsionante

Considrese una barra circular sujeta a una momento torsionante como se ilustra en la figura 10. Este momento torsionante produce esfuerzos cortantes y esfuerzos tangenciales , por lo que la energa de deformacin de esta barra se puede calcular como:

= dzdydxUT 21 El esfuerzo y la deformacin unitaria se pueden calcular como:

Gy

JTc ==



Fig. 10 Barra circular sometida a momento torsionanate y deformacin tangencial

correspondiente. (Beer, F. P., Johnston E.R. Mecnica de Materiales, 3a Ed. Pg. 136). Donde c es la distancia de la fibra en estudio al centroide de la seccin (c2 = 22 xy + ) y J es

el momento polar de inercia (J=A( 22 xy + ); A es el rea de la seccin transversal; y y x son las coordenadas del centroide de la seccin; G es el mdulo de cortante ( ))1(2/( += EG ); E es el mdulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson (cociente de la deformacin en direccin perpendicular a la aplicacin de una carga entre la deformacin en la direccin de la aplicacin de dicha carga).

La energa de deformacin (U) para una barra sometida a torsin se puede calcular


= dzdydxGJTcUT

121 2

Sustituyendo en esta ecuacin el concepto de Momento Polar de Inercia = dAcJ 2 y que

el momento torsionante T es constante para una misma seccin diferencial dx, entonces:

= dxJGTUT 22



La energa de deformacin de una barra sujeta a distintos elementos mecnicos se calcula como la suma de la contribucin de energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos a los que est sujeta:

U = UN + UC + UF + UT

+++= LLL L KTOTAL dxJGTdxEIMdxAGVCdxAENU 02

0

2

0 0

22

2222

Para ejemplificar el clculo de la energa de deformacin en una viga sujeta a carga axial,

cortante y momento flexionante se presenta la figura 11, con la condicin de carga y caractersticas de la viga A-B-C-D.

Fig. 11 Viga sujeta a una condicin de carga y caractersticas de la viga.

Calculando las reacciones y ecuaciones de elementos mecnicos:



Obteniendo la energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos y total de la viga:

Ntese cmo, dependiendo de la condicin de carga y de las caractersticas de la estructura, los diferentes elementos mecnicos contribuyen de manera desigual en la generacin de energa de deformacin de la viga:

Siendo usualmente el momento flexionante el causante de la mayor parte de la energa de deformacin en elementos de estructuras comunes.

1.4 Teoremas de Betti y Maxwell Considrese una viga similar a la de la figura 4, cuya informacin se complementa en la

figura 5; pero en este caso (Fig. 12), se trata de una viga simplemente apoyada sujeta a dos cargas aplicadas en los puntos 1 y 2 de la misma.

Ntese que, al igual que la viga empotrada de la figura 4, la energa de deformacin total de

la viga sometida a dos cargas no depende del orden en que se apliquen las mismas, siempre que el material que la compone tenga un comportamiento elstico-lineal.



y1 y2

y11 y21

y12 y22

y11 y21

y12 y22

x

y

Fig. 11 Viga simplemente apoyada sujeta a dos cargas. (Beer, F. P., Johnston E.R.

Mecnica de Materiales, 3a Ed. Pg. 709). Por lo tanto, como se demostr en los incisos ii) y iii) de la pgina 9 de estos apuntes, que

describen el comportamiento manifestado por la viga de la figura 4 en la figura 5:

W1,2 = W2,1 = W1,2 (SIMULT)

W1,1 + W2,2 + W1,2 = W2,2 + W1,1 + W2,1 = W1,12 (SIMULT) + W2,12(SIMULT)

P111+P222+P112 = P222+P111+P221 = P1(11+12)+P2(22+21) Es decir, el trabajo externo adicional realizado por la fuerza P1 si esta fuerza hubiese sido

aplicada primero (W1,2 = P1 12 ) es equivalente al trabajo externo adicional realizado por la fuerza P2 si esta fuerza hubiese sido aplicada primero (W2,1= P2 21 ) e igual al trabajo adicional realizado por ambas fuerzas por aplicar simultneamente la otra ( P1 12 + P2 21), por lo tanto

P1 12 = P2 21 = P1 12 + P2 21

Los prrafos anteriores se resumen en el Teorema de Betti (tambin conocido como el

Teorema de los Trabajos Recprocos) que dice: El trabajo que realiza un sistema de fuerzas A debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicacin le produce un sistema de fuerzas B, es igual al trabajo que realiza el sistema de fuerzas B debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicacin le produce el sistema de fuerzas A, en donde el desplazamiento de una estructura es medido tanto de manera lineal como angular (rotaciones). Por lo tanto, se pueden sustituir en las ecuaciones anteriores P por M y por .



El Teorema de Betti es una generalizacin del Teorema de Maxwell que a la letra dice El

desplazamiento en un punto A (en direccin de PA) debido a la aplicacin de una fuerza PB en un punto B, es igual al desplazamiento en el punto B (en la direccin de PB) debido a la aplicacin de una fuerza PA en el punto A, dado que PA es igual a PB, es decir, dado:

PA = PB = PA AB + PB BA (Teorema de Betti)

Si: PA = PB,

entonces, =

1.5 Teorema de Castigliano Para la determinacin de las deflexiones de las estructuras, se considera un mtodo

relacionado con la energa que solamente se puede aplicar a estructuras linealmente elsticas. Este mtodo fue presentado inicialmente por Alberto Castigliano en 1873, de manera comn, se le conoce como Segundo Teorema de Castigliano y a la letra dice:

Para las estructuras linealmente elsticas, la derivada parcial de la energa de deformacin

con respecto a una fuerza aplicada (o par de fuerzas aplicado) es igual al desplazamiento (o rotacin) de la fuerza (o par) a lo largo de su lnea de accin.[5]

ii

ii M

UPU =

=

Donde, U es la energa de deformacin; i, es la deflexin en el punto de aplicacin de la

fuerza Pi, en la direccin de Pi; i, es la rotacin del punto de aplicacin del par de fuerzas Mi en la direccin de Mi.

La derivada de la energa de deformacin de una barra sujeta a distintos elementos mecnicos

requerida por el Teorema de Castigliano se calcula como la suma de las derivadas de las contribuciones de energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos a los que est sujeta, as:

TOTAL = N + V + F + T

+++=LLL L K

TOTAL dxJGT

Pdx

EIM

Pdx

AGVC

Pdx

AEN

P 02

0

2

0 0

22

2222

+

+

+

= LLL L KTOTAL dxJGP

TTdxEIP

MMdxAGC

PVVdx

AEPNN

000 0

111

Para ejemplificar el clculo de la deflexin (y) y pendiente (z) en el extremo final (nodo

D) de una viga sujeta a carga axial, cortante y momento flexionante se presenta la figura 13, con la condicin de carga y caractersticas de la viga A-B-C-D.

Ntese que el desplazamiento (lineal o angular) obtenido es positivo si se genera en la misma

direccin de la carga (fuerza o momento) aplicado y ser negativo en caso contrario.



Fig. 13 Viga sujeta a una condicin de carga y caractersticas de la viga, P y M son cargas

virtuales aplicadas para la obtencin de los desplazamientos linear y angular respectivamente.

Para obtener el desplazamiento lineal se toma la carga de 3 Tn como P (o se aplica una carga

P en el punto en que se desea calcular el desplazamiento) y se calculan las reacciones y ecuaciones de elementos mecnicos:



Obteniendo la energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos y total de la

viga en funcin de la carga P:

Aplicando el teorema de Castigliano, se deriva la energa de deformacin con respecto a la

carga P y para obtener el desplazamiento se sustituye el valor de P (P = 0 si no exista una carga aplicada en el punto en el que se deseaba obtener el desplazamiento).

Ntese que el valor de que se tom para P es 3 y no -3, ya que las ecuaciones de elementos

mecnicos fueron planteadas con la direccin de P hacia abajo; y que el desplazamiento tiene un valor positivo indicando que el desplazamiento se produce en la misma direccin que la fuerza P aplicada. Tambin, puede apreciarse en la resolucin anterior que las ecuaciones que no quedan en funcin de la fuerza P (en este caso N(x)), no producen desplazamiento en el punto en estudio, en la direccin de la fuerza aplicada (lo que no quiere decir que no puedan producir desplazamiento en alguna otra direccin).



Para obtener el desplazamiento angular se aplica el momento M (o de existir algn momento aplicado en el punto en que se desea calcular el desplazamiento, se toma ste como M) y se calculan las reacciones y ecuaciones de elementos mecnicos:

Obteniendo la energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos y total de la viga en funcin de la carga M:

Aplicando el teorema de Castigliano, se deriva la energa de deformacin con respecto al

momento M y para obtener el desplazamiento se sustituye el valor de M=0 (M = MAPLICADO si exista un momento aplicado en el punto en el que se deseaba obtener el desplazamiento).



Ntese que el desplazamiento tiene un valor negativo indicando que el desplazamiento se realiza en direccin contraria al del momento M aplicado. Tambin, puede apreciarse en la resolucin anterior que las ecuaciones que no quedan en funcin del momento M (en este caso N(x), V3(x,P) y M3(x,P), no producen desplazamiento en el punto en estudio, en la direccin de la fuerza aplicada (lo que no quiere decir que no puedan producir desplazamiento en alguna otra direccin)

1.6 Mtodo de la carga unitaria

El mtodo de la carga unitaria se basa en el principio del trabajo virtual, introducido por John Bernoulli en 1717. Este principio tiene dos formulaciones, el principio de los desplazamientos virtuales para los cuerpos rgidos y el principio de las fuerzas virtuales para los cuerpos deformables.

El principio de las fuerzas virtuales para los cuerpos deformables se puede enunciar como

sigue: Si una estructura deformable est en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquier deformacin real pequea, coherente con las condiciones de apoyo y continuidad de la estructura, entonces el trabajo externo virtual realizado por las fuerzas externas ( y pares externos) virtuales que actan a travs de los desplazamientos (y rotaciones) externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas (y pares internos) virtuales que actan a travs de los desplazamientos (y rotaciones) internos reales.[1]

En este enunciado el trmino virtual sencillamente significa imaginario, no real, y se asocia

con las fuerzas para indicar que el sistema de stas es arbitrario y no depende de la accin que causa la deformacin real.

En el mtodo de la carga unitaria se plantea una ecuacin que exprese el trabajo realizado por

una carga, que es el trabajo externo, y otra que exprese el trabajo desarrollado internamente. La primera queda en funcin de la deflexin en el punto de aplicacin de la carga, y la segunda, en funcin de los elementos mecnicos producidos por la fuerza aplicada. Al igualar ambos trabajos queda una ecuacin cuya incgnita es la deflexin que se desea conocer. [2] 1.6.1 Planteamiento del mtodo

Con el fin de desarrollar la expresin del mtodo de la carga unitaria considrese la viga de la figura 14 sujeta a un sistema de cargas arbitrario (Fig. 14 a) y la aplicacin de dos sistemas de cargas virtuales, uno para la determinacin del desplazamiento debido a la flexin en un punto B (Fig. 14 b) y otro para la determinar la pendiente debido a la flexin de un punto C (Fig. 14 c)



Fig. 14 Viga sujeta a una condicin de carga arbitraria y virtuales para determinar los

desplazamiento y (Kassimali A., Anlisis Estructural, 2a Ed. Pg. 240). .

Los sistemas de cargas virtuales son unitarios y se aplican en los puntos y en las direcciones en las que se desea conocer el desplazamiento. El trabajo virtual externo efectuado por esta carga virtual unitaria a medida que recorre la deflexin real es: Wu = 1 ().

Para obtener el trabajo virtual interno debido a la flexin producida por la carga unitaria,

UuF, se enfoca la atencin en el elemento diferencial dx de la viga, localizado a una distancia x del apoyo izquierdo A (Fig 14 b y 14 c). Debido a que la viga con la carga virtual se encuentra sujeta a la deformacin debida a la carga real, el momento flexionante virtual interno, Mu, que acta sobre el elemento dx, efecta trabajo virtual interno a medida que describe la rotacin real d, como se muestra en la figura 14 c. Por tanto, el trabajo interno realizado sobre el elemento dx se da por: dUuF = Mu d; pero d se puede expresar como: d = (Mr/EI)dx, donde Mr es el momento flexionante debido a la carga real que causa la rotacin d. As,

= L ruf dxEIMMUu 0 El trabajo interno debido a una carga unitaria recorriendo desplazamientos axiales, cortantes

y torsionantes (d, d y d), puede calcularse del mismo modo, obtenindose:

dUuN = Mu d, con d = (Nr / EA) dx = L ruN dxAENNUu 0 dUuV = Mu d, con d = (Ck Vr / AG) dx = L ruV dxAGVVUu 0 dUuT = Mu d, con d = (Tr / GJ) dx = L ruT dxGJTTUu 0



As, la energa de deformacin total debido a una carga unitaria es:

+++=+++=

L ruL ruL ruL ru

TFVNTOTAL

dxGJ

TTdxEI

MMdxAG

VVCkdxAE

NN

UuUuUuUuUu

0000

E igualando el trabajo virtual externo de la carga unitaria, Wu, al trabajo virtual interno de la

misma, UuTOTAL, se obtiene la expresin para calcular las deflexiones por el mtodo de la carga unitaria o mtodo del trabajo virtual.

+++= L ruL ruL ruL ru dxGJTTdxEIMMdxAGVVCkdxAENN 0000)(1 Si se desea encontrar la pendiente en un punto C de la viga (Fig. 14 a), entonces se usa un

sistema virtual que consta de un par virtual que acte en ese punto, como se muestra en la figura 14 d. Cuando la viga con el par unitario virtual se sujeta a las deformaciones debidas a la carga real, el trabajo virtual externo efectuado por el par unitario virtual, conforme describe la rotacin real es: Wu = 1().

El trabajo interno debido al par unitario virtual recorriendo desplazamientos axiales, cortantes

y rotaciones debido a la flexin y torsin (d, d, d y d), puede calcularse como se hizo con anterioridad, obtenindose:

+++=+++=

L ruL ruL ruL ru

TFVNTOTAL

dxGJ

TTdxEI

MMdxAG

VVCkdxAE

NN

UuUuUuUuUu

0000

E igualando el trabajo virtual externo del par unitario, Wu, al trabajo virtual interno del

mismo, UuTOTAL, se obtiene la expresin para calcular las rotaciones por el mtodo de la carga unitaria o mtodo del trabajo virtual.

+++= L ruL ruL ruL ru dxGJTTdxEIMMdxAGVVCkdxAENN 0000)(1 Expresin muy semejante a la anterior obtenida para la deflexin, excepto que ahora los

elementos mecnicos de la carga unitaria denotan aquellos debido al par unitario virtual.

1.6.2 Clculo de desplazamientos lineales 1.6.3 Clculo de desplazamientos angulares

Para ejemplificar el clculo de la deflexin (y) y pendiente (z) en el extremo final (nodo D) de una viga sujeta a carga axial, cortante y momento flexionante se presenta la figura 15, con la condicin de carga y caractersticas de la viga A-B-C-D.



Fig. 15 Viga sujeta a una condicin de carga y caractersticas de la viga.

Para obtener el desplazamiento lineal se calculan las reacciones y ecuaciones de elementos

mecnicos de las cargas reales aplicadas en la viga que generan los desplazamientos en ella y se aplica una carga unitaria virtual en el punto y direccin en que se desea conocer el desplazamiento (Figura 16):



Fig. 16 Viga sujeta a una condicin de carga virtual para la determinacin del

desplazamiento lineal en el nodo D.

Se calculan las reacciones y ecuaciones de elementos mecnicos de la carga unitaria virtual aplicada para calcular el trabajo interno o energa de deformacin que realiza la carga unitaria al recorrer los desplazamientos generados por la carga real (que quedan en funcin de los elementos mecnicos de las cargas reales calculados con anterioridad).

Obteniendo la energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos y total de la viga en funcin de los elementos mecnicos de la carga unitaria y las cargas reales:



Aplicando el principio del trabajo virtual, se iguala el trabajo externo realizado por la carga

virtual al recorrer los desplazamientos generados por las cargas reales, Wu = 1 (y) = y, al trabajo interno o energa de deformacin total de la carga virtual al recorrer los desplazamientos generados por las cargas reales, UuTotal.

Ntese que el desplazamiento lineal tiene un valor positivo indicando que el desplazamiento se produce en la misma direccin que la fuerza unitaria aplicada.

Para obtener el desplazamiento angular se aplica un momento unitario virtual en el punto en

que se desea conocer la rotacin (Figura 17) y se calculan las reacciones y ecuaciones de elementos mecnicos del momento unitario virtual aplicado para calcular el trabajo interno o energa de deformacin que realiza el momento unitario al recorrer los desplazamientos generados por la carga real (que quedan en funcin de los elementos mecnicos de las cargas reales calculados con anterioridad):

Fig. 15 Viga sujeta a una condicin de carga virtual para la determinacin del

desplazamiento lineal en el nodo D.



Obteniendo la energa de deformacin de cada uno de los elementos mecnicos y total de la

viga en funcin de los elementos mecnicos de la carga unitaria y las cargas reales:

Aplicando el principio del trabajo virtual, se iguala el trabajo externo realizado por la carga

virtual al recorrer los desplazamientos generados por las cargas reales, Wu = 1 (z) = z, al trabajo interno o energa de deformacin total de la carga virtual al recorrer los desplazamientos generados por las cargas reales, UuTotal.

Ntese que el desplazamiento angular tiene un valor negativo indicando que ste se produce

en la direccin contraria en que fue aplicado el momento unitario virtual.

REFERENCIAS: 1. Kassimali A. (2001). Anlisis estructural, 2da Ed., Thomson Learning, Mxico. Pgs. 226-273. 2. Gonzlez C. O. (2001). Anlisis estructural, Limusa Willey, Mxico. Pgs. 156-202. 3. Heinz, M. (2006). Gua de Apoyo Didctico, Ctedra Anlisis Estructural I, Universidad

Tecnolgica Nacional. Facultad Regional Santa Fe. Unidad Temtica No. 2: Deformacin de Barras Flexionadas. Argentina. Pgs. 3 y 7

4. Laible J. P. (1992). Anlisis estructural, Mc Graw-Hill, Mxico. Pgs. 2-40. 5. Beer F.P, Johnston E. R., DeWolf J. T. Mecnica de Materiales, 3a Ed., McGraw-Hill,

Mexico, Pg. 24-27, 256, 670-678. 6. Hibbeler R. C. (2002). Structural analysis, 5ta Ed., Prentice Hall Inc., E.U.A., pgs. 297-300.

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