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INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1

1. Trigonometría

4º ESO-B

Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM

Nombre y apellidos …………………………………………………………......


RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

OBJETIVO 1: Conocer la definición de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y saber utilizar la calculadora para calcular los lados y los ángulos en un triángulo rectángulo.

2. Resolución de triángulos rectángulos.

OBJETIVO 2: Saber utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas para calcular ángulos y medidas desconocidas en un triángulo rectángulo de un contexto real.

3. El seno y el coseno de un ángulo cualquiera.

OBJETIVO 3: Conocer la circunferencia trigonométrica y la definición del seno y el coseno de una ángulo cualquiera.

4. Razones exactas de ángulos notables.

OBJETIVO 4: Conocer los valores exactos de las razones trigonométricas de algunos ángulos notables.


5. Las tres relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.

OBJETIVO 5: Conocer las tres relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de cualquier ángulo y saber utilizarlas para calcular dos de ellas cuando se conoce la otra.

6. Los teoremas del seno y el coseno en un triángulo cualquiera.

OBJETIVO 6: Conocer las dos relaciones fundamentales entre los tres lados y los tres ángulos de un triángulo cualquiera y saber utilizarlas para resolver triángulos que no sean rectángulos.


1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

OBJETIVO 1: Conocer la definición de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y saber utilizar la calculadora para calcular los lados y los ángulos en un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

1. ��

2. �� 180�

3. ��

��

�

�

4. ��

��

�

�

5. ��

��

�

�

Ejercicio 1.1 Escribe las razones trigonométricas del ángulo que se indica.

1) Las razones trigonométricas del ángulo

��

��

" �

2) Las razones trigonométricas del ángulo ��

��

��

" ��



��

��

" ��

4) Las razones trigonométricas del ángulo

��

��

" �


��

��

" ��

6) Las razones trigonométricas de 77.3o

�� 77.3� �

�� 77.3� �

" 77.3� �

7) Las razones trigonométricas de 46.4o

�� 46.4� �

�� 46.4� �

" 46.4� �


1.2. Calcula la medida del ángulo agudo marcado con X. Redondea el resultado a las décimas.

1)

2)

3)

4)

5)


1.3. Calcula la medida del lado marcado con X. Redondea el resultado a las décimas.

1)

2)

3)

4)

5)


2. Resolución de triángulos rectángulos.

OBJETIVO 2: Saber utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas para calcular ángulos y medidas desconocidas en un triángulo rectángulo de un contexto real.

Ejercicio 2.1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. Redondea los resultados a las centésimas.

1) La hipotenusa mide 10cm y uno de los catetos, 6cm.

Soluciones:

2) Los catetos miden 3 y 4 cm.

Soluciones:



1) La hipotenusa mide 12cm y � 35�.

Soluciones:

2) La hipotenusa mide 15m y � 20�.

Soluciones:

3) El cateto b=102.4 metros y � 55�

Soluciones:



1) La distancia desde el punto de observación O hasta el cohete es de 250 metros y el ángulo de la visual desde ese punto hasta la cúspide es de 25º 30’ ¿Qué altura tiene el cohete?

Soluciones:

2) Calcula la altura del edificio de la figura.

Soluciones:

3) El ángulo de inclinación en A es de 10o y desde A hasta B, la

carretera mide 5km. ¿Cuál es la diferencia de altura h entre esos

dos puntos?

Soluciones:



1) Si las dos patas de un compás forman un ángulo de 60o y cada pata tiene 12 cm de

longitud, halla el radio de la circunferencia que se traza con el compás en esta posición.

Soluciones:

2) Los dos brazos de un compás forman un ángulo de 50o y cada uno de ellos mide 11

cm. Encuentra el radio de la circunferencia que podemos dibujar en esta posición del

compás.

Soluciones:

3) Atendiendo a las medidas de la figura, ¿a qué altura del suelo está la cúspide de la

escalera? ¿Qué ángulo forma la escalera con su soporte?

Soluciones:



1) Calcula el área de este triángulo.

Soluciones:

2) Calcula el área de este triángulo.

Soluciones:

3) Calcula el perímetro y el área de este triángulo isósceles.

Soluciones:



1) Desde un faro situado a 40 metros sobre el nivel del mar se observa

un barco bajo un ángulo de depresión de 55o. ¿A qué distancia de la

parte superior del faro se encuentra el barco?

Soluciones:

2) Calcula la profundidad de un pozo de 1,5 m de diámetro, conociendo el ángulo

señalado en la figura.

Soluciones:

3) Desde la azotea de un edificio de 35 m de alto se observa una fuente bajo un

ángulo de 660. ¿A qué distancia se encuentra la fuente del pie del edificio?

Soluciones:



1) Una moneda de 2€ mide 2.5 cm de diámetro. Halla el ángulo que

forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm

de su centro.

Soluciones:

2) Con los datos de la figura adjunta, calcula la distancia desde la cuerda hasta el centro

y el radio de la circunferencia.

Soluciones:

3) Desde una nave espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 20o. El radio de

la Tierra de 6370 km. Halla la distancia entre la nave y la superficie

terrestre.

Soluciones:



1) Desde un cierto punto se ve la parte más alta de la torre de un castillo bajo

un ángulo de 60o. Retrocediendo 100 metros, el ángulo es de 40

o. ¿Cuál es la

altura de la torre?

Soluciones:

2) Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con

el suelo un ángulo de 30°, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser

de 45°. Calcular la altura del edificio.

Soluciones:



1) Desde una orilla de un río se un árbol en la otra bajo un ángulo de 45o, y si se

retrocede 40 metros, se ve bajo un ángulo de 30o. Halla la altura del árbol y el ancho

del río.

Soluciones:

2) Un foco está sujeto a un muro vertical en el punto P. Con ese foco se

ilumina una zona AB de anchura 7 metros, bajo un ángulo de 30o. El rayo de

luz más próximo al muro forma un ángulo de 10o con el muro. ¿A qué altura

del suelo está el foco?

Soluciones:



1) Un globo, para ir desde A hasta B, pasa por encima de un observador, situado en

el punto P. Los puntos A y B están separados por 2 km. Los ángulos de elevación del

globo, respecto a P, en esos puntos A y B son 43° y 23°, respectivamente. ¿A qué

altura va el globo?

Soluciones:

2) Una escalera de bomberos de 10 metros de longitud se ha anclado fija a

un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un

ángulo con el suelo de 45o y se apoya en la otra fachada forma un ángulo

con el suelo de 30o. ¿A qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada

una de las fachadas?

Soluciones:



1) Dos amigos han creído ver un ovni, desde dos puntos A y B, separados

por 800 metros, con ángulos de elevación de 30 y 75, respectivamente.

Halla la altura a la que está el ovni, sabiendo que se encuentra en una

vertical entre ambos amigos.

Soluciones:

2) Calcula el valor de x en la siguiente figura.

Soluciones:


Ejercicio 2.13. Resuelve los siguientes problemas.

1. Calcula el área de un hexágono regular de 10 cm de radio.

Solución:

2. Calcula el área de un pentágono regular de 10 cm de radio.

Solución:


3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

OBJETIVO 3: Conocer la circunferencia trigonométrica y la definición del seno y el coseno de una ángulo cualquiera.

La circunferencia trigonométrica (de radio 1) nos permite definir el seno y el coseno de un ángulo cualquiera (aunque no sea agudo)

�� 130 � 0.766

cos 130 � -0.6428

Ejercicio 3.1. Representa en la circunferencia trigonométrica el ángulo �� y su correspondiente triángulo de razones trigonométricas. Utiliza la calculadora para conocer su seno y su coseno, redondea a las milésimas y anótalos en los correspondientes catetos.

1. �� 30� 2. �� 45� 3. �� 90�

�� 30 �

cos 30 �

�� 45 �

cos 45 �

�� 90 �

cos 90 �


4. �� 120� 5. �� 135� 6. �� 180�

�� 120 �

cos 120 �

�� 135 �

cos 135 �

�� 180 �

cos 180 �

7. �� 225� 8. �� 260� 9. �� 270�

�� 225 �

cos 225 �

�� 260 �

cos 260 �

�� 270 �

cos 270 �

10. �� 300� 11. �� 315� 12. �� 360�

�� 300 �

cos 300 �

�� 315 �

cos 315 �

�� 360 �

cos 360 �


Ejercicio 3.2. Representa un ángulo 0 que cumpla las condiciones que se indican, dibuja su triángulo de razones trigonométricas y señala el signo de las mismas.

1) 0� 1 0 1 45� 2) 45� 1 0 1 90�

3) 90� 1 0 1 180�

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0

4) 180� 1 0 1 225� 5) 225� 1 0 1 270�

6) 270� 1 0 1 360�

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0

7) -45� 1 0 1 0� 8) -90� 1 0 1 -45�

9) 720� 1 0 1 810�

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0

Sen 0

Cos 0


Ejercicio 3.3. Calcula ��65 y ��65, sabiendo que ��25 � 0.423 y ��25 � 0.906

Ejercicio 3.4. Calcula ��165 y ��165, sabiendo que ��15 � 0.259 y ��15 � 0.966

Ejercicio 3.5. Calcula ��20 y ��20, sabiendo que ��110 � 0.940 y ��110 � -0.342


Ejercicio 3.6. Representa en cada circunferencia el ángulo relacionado con el ángulo de 25o que se indica y dibuja su

triángulo de razones trigonométricas. Escribe su seno y su coseno.

1) A = 65o

2) A = 115o

3) A = 155o

Sen 65o =

Cos 65o =

Sen 115o =

Cos 115o =

Sen 155o =

Cos 155o =

4) A = 205o

5) A = 245o

6) A = 295o

Sen 205o =

Cos 205o =

Sen 245o =

Cos 245o =

Sen 295o =

Cos 295o =

7) A = 335o

8) A = 385o

9) A = -1015o

Sen 335o =

Cos 335o =

Sen 385o =

Cos 385o =

Sen -1015o =

Cos -1015o =


Ejercicio 3.7. Representa, en cada circunferencia, un ángulo del 1er

cuadrante relacionado con el ángulo que se da y

expresa la relación entre sus razones trigonométricas.

1)

2)

3)

Sen 150o =

Cos 150o =

Sen 125o =

Cos 125o =

Sen 165o =

Cos 165o =

Ejercicio 3.8. Sabiendo que ��30� �2

� y que cos 30� � √4

�, utiliza la representación en la circunferencia

trigonométrica para calcular las razones que se solicitan.

1)

2)

3)

Sen 120o =

Cos 120o =

Sen 210o =

Cos 210o =

Sen 300o =

Cos 300o =

Ejercicio 3.9. Sabiendo que ��45� � √�

� y que cos 45� � √�

�, utiliza la representación en la circunferencia

trigonométrica para calcular las razones que se solicitan.

1)

2)

3)

Sen 225o =

Cos 225o =

Sen 315o =

Cos 315o =

Sen 135o =

Cos 135o =


4. Razones exactas de ángulos notables.

OBJETIVO 3: Conocer los valores exactos de las razones trigonométricas de algunos ángulos notables.

Ejercicio 4.1. Calcula las razones trigonométricas exactas de 45o, (utilizando la definición, no la calculadora) y completa la tabla de razones trigonométricas exactas de 135o, 225o y 315o.

sen cos tan

45o

135o

225o

315o


Ejercicio 4.2. Calcula las razones trigonométricas exactas de 30o y 60o, (utilizando la definición, no la calculadora) y completa la tabla de razones trigonométricas exactas de 30o, 60o, 120o, 150o, 210o, 240o, 300o y 330o.

sen cos tan

30o

60o

120o

150o

210o

240o

300o

330o


5. Las tres relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.

OBJETIVO 3: Conocer las tres relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de cualquier ángulo y saber utilizarlas para calcular dos de ellas cuando conoces la otra.

Para cualquier ángulo 0 (sea agudo o no) se cumplen siempre estas tres relaciones fundamentales:

1. 5��0.� � 5��0.� � 1

2. ��0 ��6

789 6

3. 5 ��0.� � 1 �2

5��6.:

Ejercicio 5.1. Conociendo el seno, calculamos el coseno y la tangente (sin utilizar la calculadora)

0� 1 ; 1 90� y ��5;. � √4

�

Solución:


Ejercicio 5.2. Conociendo el coseno, calculamos el seno y la tangente (sin utilizar la calculadora)

; �� "<=� y ��5;. �2

4

Solución:

Ejercicio 5.3. Conociendo la tangente, calculamos el seno y el coseno (sin utilizar la calculadora)

180� 1 ; 1 270� y "5;. � √2

Solución:


Ejercicio 5.4. Sin calcular el ángulo, calcula las razones trigonométricas que faltan.

1. 180� 1 ; 1 270� y ��5;. � -0.5

Solución:

2. 270� 1 ; 1 360� y ��5;. �2

4

Solución:

3. ��5;. 1 0 y "5;. � -√2

Solución:


Ejercicio 5.5. Sin calcular el ángulo, calcula las razones trigonométricas que faltan.

1. 180� 1 ; 1 270� y ��5;. �>?

24

Solución:

2. 0� 1 ; 1 90� y ��5;. ��@

�?

Solución:

3. ��5;. A 0 y "5;. �B

2C

Solución:


6. Los teoremas del seno y el coseno.

OBJETIVO 6: Conocer las dos relaciones fundamentales entre los tres lados y los tres ángulos de un triángulo cualquiera y saber utilizarlas para resolver triángulos que no sean rectángulos.

Teoremas del seno y el coseno en un triángulo cualquiera.

6. �

��D �

�

��E �

�

��F�

7. �� - 2�� G ��

EJERCICIO 6.1. Resuelve el siguiente triángulo (no rectángulo).

1. �� 50� ; � 52� ; � � 44I

� � ��

� � �

� � ��

Solución: � � ; � � ; � � 44I ; �� 50� ; � 52� ; �� .


EJERCICIO 6.2. Resuelve el siguiente triángulo (no rectángulo).

1. �� 50� ; � � 15I ; � � 22I

� � ��

� � �

� � ��

Solución: � � ; � � 15I ; � � 22I ; �� 50� ; � � ; �� .

2.

� � ��

� � �

� � ��

Solución: � � I ; � � I ; � � I ; �� ; � � ; �� .


EJERCICIO 6.3. Resuelve los siguientes triángulos no rectángulos.

1. � � 15I ; � � 20I ; � � 22I

� � ��

� � �

� � ��

Solución: � � 15I ; � � 20I ; � � 22I ; �� ; � � ; �� .

2. � 30� ; � � 16I ; � � 12I

� � ��

� � �

� � ��

Solución: � � 16I ; � � 12I ; � � ; �� ; � 30� ; �� .


EJERCICIO 6.4. Calcula la distancia que hay entre cada uno de los chicos y el globo.

� � ��

� � �

� � ��

Solución:


EJERCICIO 6.5. a) Representa, denota y acota adecuadamente el triángu lo representado en la figura. b) Calcula, con esos datos, la anchura del río, escrib iendo la forma teórica del

teorema que utilices.

� � ��

� � �

� � ��

Solución:


EJERCICIO 6.6. Halla la medida de la diagonal menor de este paral elogramo.

Solución:


EJERCICIO 6.7. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tiene n forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situar las en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún á ngulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimen siones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto nece sario?

Solución:


EJERCICIO 6.8. Para conocer la distancia entre varios puntos se re aliza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados. Calcula las distancias que faltan en el dibujo.

Solución:


EJERCICIO 6.9. Para conocer la altura inaccesible x del segmento CD, se miden con el teodolito los ángulos anotados en la figura y la distancia AB. ¿Cuál es el valor de x?

Solución:


EJERCICIO 6.10. Para construir un puente que salve el río es neces ario conocer las distancias AC y BC. Utilizando un teodolito y u na cinta métrica se han tomado las medidas anotadas en la figura. ¿Qué dist ancia separa a los puntos A y B del punto C?

Solución:


EJERCICIO 6.11. Para construir un puente que salve el río es neces ario conocer las distancias AC y BC. Utilizando un teodolito y u na cinta métrica se han tomado las medidas anotadas en la figura. ¿Qué dist ancia separa a los puntos A y B del punto C?

Solución:

00 ejercicios jrm trigonometría 4esob septiembre2013...

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