Классическая Электродинамика

О.В. Жиров

1 июня 2020 г.

Содержание

1 Микроскопические уравнения Максвелла. 101.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Электромагнитные заряды и токи. . . . . 121.1.2 Закон сохранения заряда (уравнение непре-

рывности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

1.1.3 Взаимодействие зарядов и токов. . . . . . 161.2 Электростатика: электрическое поле. . . . . . . . 231.3 Электростатика: скалярный потенциал. . . . . . . 331.4 Магнитостатика: магнитное поле. . . . . . . . . . 401.5 Поля, зависящие от времени, закон Фарадея, ток

смещения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6 Потенциалы в случае полей, зависящих от времени. 54

2 Релятивистская ковариантность классической элек-тродинамики. 622.1 Основы специальной теории относительности. . . 62

2.1.1 Основные постулаты. . . . . . . . . . . . . 622.1.2 Геометрическая интерпретация. . . . . . . 662.1.3 Собственное время, парадокс близнецов. . 702.1.4 Релятивистское сокращение длины. . . . . 732.1.5 Поворот в псевдоевклидовой плоскости (𝑥, 𝑐𝑡).

Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . 75

2

2.2 Ковариантная фомулировка СТО: скаляры и век-тора в 4-мерном пространстве-времени Минков-ского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2.1 Законы преобразования при поворотах. . . 792.2.2 Скалярное произведение 4-векторов, мет-

рический тензор. . . . . . . . . . . . . . . 822.2.3 4-градиент и 4-вектор энергии-импульса. . 86

2.3 Релятивистская ковариантность классической элек-тродинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.1 4-вектор тока, уравнение непрерывности. . 892.3.2 4-мерный вектор-потенциал 𝐴𝜇. . . . . . . 912.3.3 4-мерное представление для напряженно-

стей полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.3.4 Преобразования Лоренца для потенциалов

и полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3.5 Инварианты поля. . . . . . . . . . . . . . . 100

3

2.3.6 Релятивистская частица в электромагнит-ном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Статические поля. 1103.1 Условия применимости статического приближения.1103.2 Электрические поля на больших расстояниях, муль-

типольное разложение. . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3 Магнитные поля на больших расстояниях, маг-

нитный дипольный момент, гиромагнитный фак-тор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 Энергия поля. 1224.1 Плотность энергии поля и вектор Пойнтинга. . . 1224.2 Электростатическая энергия заряженной системы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3 Электростатическая собственная энергия точеч-

ного заряда. Классический радиус электрона. . . 128

4

4.4 Взаимодействие двух заряженных подсистем. . . 1304.5 Энергия системы зарядов во внешнем поле . . . . 1324.6 Магнитная энергия в статическом случае. . . . . 134

5 Тензор энергии-импульса электромагнитного по-ля. 138

6 Электромагнитные волны. 1466.1 Волновые уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2 Решение волновых уравнений. Избыточность ре-

шений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3 Сферические волны. . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4 Монохроматические плоские и сферические волны.1546.5 Волновые пакеты. Фазовая и групповая скорость. 1576.6 Эффект Доплера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 Запаздывающие потенциалы и поля. 1657.1 Поле равномерно движущегося заряда. . . . . . . 165

5

7.2 Решение уравнений Максвелла с заданными ис-точниками, учет запаздывания. . . . . . . . . . . 170

7.3 Поля произвольно движущегося точечного заряда. 1767.3.1 Потенциалы Лиенара-Вихерта. . . . . . . . 1767.3.2 Поля точечного заряда. . . . . . . . . . . . 1807.3.3 Поля в квазистатической зоне, связь с по-

лем равномерно движущегося заряда. . . . 1837.3.4 Поле в волновой зоне, излучение. . . . . . 186

8 Излучение электромагнитных волн. 1898.1 Характер излучения в нерелятивистском и уль-

трарелятивистском случаях, угловое распределе-ние. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2 Излучение при движении в ускорителях и нако-пителях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2.1 Потери в линейных ускорителях. . . . . . 195

6

8.2.2 Потери в циклических ускорителях, син-хротронное излучение. . . . . . . . . . . . 197

8.3 Тормозное излучение при рассеянии. . . . . . . . 2008.4 Реакция излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.5 Излучение гармонического осциллятора. . . . . . 209

9 Рассеяние электромагнитных волн. 2139.1 Рассеяние свободным зарядом. . . . . . . . . . . . 2149.2 Рассеяние осциллятором. . . . . . . . . . . . . . . 216

10 Электромагнитное поле в веществе. 21910.1 Строение вещества, микроскопические поля в ве-

ществе и уравнения Максвелла-Лоренца. . . . . . 21910.2 Усредненные уравнения Максвелла-Лоренца, мак-

роскопические поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 22110.3 Условия на границе раздела двух сред. . . . . . . 230

7

10.4 Потенциалы в среде. Плотность энергии и потокаэнергии в среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8

Список литературы

[1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 , Теория по-

ля.

[2] В.Г. Левич, Курс теоретической физики, т.1.

[3] В. Пановский, М. Филипс, Классическая электродинамика.

[4] Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс.Фейнмановские лекции по физике,

тт.5 и 6.

[5] И.Е. Тамм. Основы теории электричества.

[6] М.М. Бредов, В.В. Румянцев, И.Н. Топтыгин. Классическая элек-

тродинамика.

[7] И.Н. Мешков, Б.В. Чириков. Электромагнитное поле.

[8] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред.

http://www.inp.nsk.su/∼zhirov/em-lect.pdf

9

1 Микроскопические уравненияМакс-

велла.

1.1 Введение

.Электромагнитные взаимодействия лежат в основе большин-

ства наблюдаемых явлений. Они связывают электроны и атом-ные ядра, образуя атомы, из которых состоим мы и окружаю-щий нас мир. Они же дают электромагнитные волны и, в част-ности, свет — с помощью которого мы наблюдаем этот мир.

Электромагнитные взаимодействия очень сильны: кулонов-ское отталкивание двух электронов в 1040 (!) раз сильнее ихгравитационного притяжения!

10

Теория классического электромагнитного поля была зало-жена Дж. К. Максвеллом в 1873 году. Удивительным обра-зом в ней уже содержалась специальная теория относительно-сти (СТО), сформулированная А. Эйнштейном много позднее,лишь в 1905 году. Связи этих двух теорий в значительной сте-пени и посвящен предлагаемый курс лекций. В конце курса мызатронем также и электродинамику сплошных сред — поведе-ние электромагнитного поля в веществе.

Мы начнем с электростатики и магнитостатики, рассмотримполя, зависящие от времени и завершим этот раздел уравнения-ми Максвелла и определением электромагнитных потенциалов,описывающих как электрическое, так и магнитное поле.

11

1.1.1 Электромагнитные заряды и токи.

Встречающиеся в природе заряды кратны т.н. элементарномузаряду, совпадающему зарядом электрона

Элементарный заряд 𝑒 = 4.8 · 10−10CGSE = 1.6 · 10−19кулон

По этой причине говорят о дискретности заряда. 1

Дискретность заряда проявляется в аналоговых электрон-ных приборах в качестве т.н. “дробового эффекта”.

Задача 1 В современном процессоре число элементов достигает 1010, ра-

бочая частота 3 · 109 гц. В предположении, что потребляемый ток 100 А

делится поровну между элементами, оценить количество электронов, при-

ходящихся на один такт процессора.

1Заряды всех элементарных частиц кратны 𝑒. Заряды кварков кратны 𝑒/3, но в сво-бодном виде кварки не существуют, а заряд образующихся из них частицы всегда кратенцелому значению 𝑒.

12

Макроскопические заряженные тела состоят из большогочисла точечных зарядов. На практике более удобна идеали-зация непрерывного распределения зарядов — в тех случаях,когда расстояния между зарядами очень мало по сравнениюс масштабами задачи. В этом случае в рассматриваемом объ-еме количество носителей заряда велико, и дискретную функ-цию величины заряда можно аппроксимировать плавной, введямакроскопическую плотность заряда.

Макроскопическая плотность заряда определяетсякак предел отношения заряда Δ𝑞 к занимаемому им маломуобъему Δ𝑉 :

𝜌 = limΔ𝑉→0

Δ𝑞

Δ𝑉=

d𝑞

d𝑉; (1)

При этом предполагается, что заряд Δ𝑞 все же достаточно ве-лик по сравнению с элементарным зарядом 𝑒.

13

Электрический ток возникает при движении зарядов, и

макроскопическая плотность тока определяется как

�� = 𝜌��. (2)

Для точечного заряда плотность заряда

𝜌(��) = 𝑒𝛿(�� − ��0),

и микроскопическая плотность заряда для макроскопическо-го тела

𝜌(��) =∑𝑖

𝑒𝑖𝛿(�� − ��𝑖), (3)

есть сумма вкладов от отдельных зарядов.

14

1.1.2 Закон сохранения заряда (уравнение непрерыв-ности)

.Полный заряд сохраняется: изменение заряда внутри неко-

торого объема 𝑉 , ограниченного замкнутой поверхностью 𝑆,равно потоку заряда �� через эту поверхность:

d

d𝑡𝑞 =

d

d𝑡

∫𝑉

d𝑉 𝜌(��, 𝑡) =

∫𝑉

d𝑉𝜕

𝜕𝑡𝜌(��, 𝑡) = −

∮𝑆

��d�� = −∫𝑉

d𝑉 div ��,

что дает интегральную

d

d𝑡𝑞 +

∮𝑆

��d�� = 0 (4)

и дифференциальную форму закона сохранения заряда

𝜕

𝜕𝑡𝜌(��, 𝑡) + div �� = 0. (5)

15

1.1.3 Взаимодействие зарядов и токов.

Взаимодействие двух точечных зарядов 𝑞1 и 𝑞2 расположенныхна расстоянии 𝑅 = |��1 − ��2| друг от друга описывается зако-ном Кулона (Шарль Кулон, 1785г.):

𝐹12 = 𝑘1𝑞1𝑞2��2 − ��1|��1 − ��2|3

. (6)

здесь 𝐹12 ≡ 𝐹1→2 — сила, действующая со стороны первогозаряда на второй.

Зависимость кулоновской силы от расстояния |𝐹12| = const/𝑟𝑠

неоднократно проверялась экспериментально. В 1971 году былопоказано (Э. Р. Уильямс, Д. Е. Фоллер и Г. А. Хилл) что 𝑠 = 2с точностью (3.1± 2.7) · 10−16

16

Магнитостатическое взаимодействие двух электрических то-ков дается законом Ампера (Андре Мари Ампер,1820г.). Вформулировке Максвелла (для двух замкнутых рамок 1 и 2 стоками 𝐼1 и 𝐼2) он принимает вид:

𝐹12 = 𝑘2𝐼1𝐼2

∮2

∮1

[d𝑙2 × [d𝑙1 × (��2 − ��1)]]|��1 − ��2|3

(7)

здесь 𝐹12 ≡ 𝐹1→2 — сила, действующая со стороны первой рам-ки на вторую.

Коэффициенты пропорциональности 𝑘1 и 𝑘2 определяютсявыбором системы единиц (см. ФЛФ, т.5, стр.70).

17

Напомним две наиболее употребительные системы единиц,систему СИ, используемую преимущественно в технике, и си-стему CGSE, встречающуюся в научных исследованиях:

СИ CGSEОсновные единицы

длина м (метр) длина см (сантиметр)масса кг (килограмм) масса г (грамм)время сек время секток а (ампер) заряд: 1 ед. CGSE (1 Фр)

Производные единицы

сила н =кг·мсек2

(ньютон) сила дина = 1г·cмсек2

заряд кул=а · сек (кулон) ток статА=1 Фр/сек

Таблица 1: Основные и производные единицы

18

В системе СИ основной единицей является не единица за-ряда, а единица тока , что отражает прикладной характер си-стемы СИ: точное измерение тока осуществить намного легче,чем заряда.

Отсюда возникает определение единицы тока:

Два линейных параллельных проводника, по которым те-кут токи силой 1а и которые расположены на расстоянии 1мдруг от друга, взаимодействуют с силой 2 · 10−7 ньютона накаждый метр длины.

Единица заряда — кулон является в СИ производной еди-ницей: 1 Кл = 𝑎 · сек

19

В системе CGSE закон Кулона приобретает простой вид:

Два одинаковых единичных заряда, разделяемых рассто-янием 1 см отталкиваются с силой 1 дин.

В CGSE единица заряда, называемая также статкулоном(в зарубежной литературе франклином) имеет размерность

дина1/2 · см

Из нее выводятся определения для напряженности поля, сопро-тивления, индуктивности, емкости и других единиц.

Соответственно, запись многих формул в системе CGSE при-обретает особую простоту, ценимую в научной среде. . .

20

Значения коэффициентов 𝑘1 и 𝑘2:в СИ в CGSE𝑘1 =

14𝜋𝜀0

, 𝑘1 = 1, или 𝜀0 = 1/4𝜋

𝑘2 =𝜇04𝜋 𝑘2 = 1/𝑐2, 𝜇0 = 4𝜋/𝑐2

где 𝜀0, 𝜇0 — диэлектрическая имагнитная проницаемость вакуума:

𝜀0 = 107/4𝜋𝑐2a2·сек4кг·м3 = 107/4𝜋𝑐2ф

м

𝜇0 = 4𝜋 · 10−7 кгм2

а2·сек = 4𝜋 · 10−7гнм

Единица индуктивности – генри

1гн = кгм2

а2·сек2Единица емкости – фарада

1ф = a2·сек4кг·м2

Единица напряженности электриче-ского поля 1 н/кул = 1 в/мЕдиница индукции магнитного поля1 т (тесла) (≈ 104гаусс)

В частности , 𝜀0𝜇0 =1𝑐2

м2

сек2

21

Задача 2 Оценить силу магнитного притяжения двух проводов в шнуре

электроутюга, полагая ток 𝐼 ∼ 3 а, расстояние между жилами 𝑟 ∼ 2 мм.

Ответ: 𝐹 ∼ 0.45 н/м.

Задача 3 Оценить то же самое за счет электростатического взаимодей-

ствия.

Ответ: 𝐹 ∼ 4 · 10−5 н/м.

Задача 4 Выразить в вольтах единицу напряжения CGSE.

22

1.2 Электростатика: электрическое поле.

Понятие электрического поля . Рассмотрим пробный заряд𝑒 → 0 (настолько малый, что не влияет на движение другихчастиц) и, измеряя в каждой точке пространства действующую

на него со стороны электрического поля силу 𝐹 (��), определимвекторную функцию

��(��) = lim𝑒→0

1

𝑒𝐹 (��), (8)

называемою напряженностью электрического поля.Эта функция не зависит от величины пробного заряда; зная

ее, можно найти силу, действующую на любой заряд, помещен-ный в данную точку — при условии, что такой заряд достаточномал, чтобы не повлиять на положение других зарядов.

23

Пример: для точечного заряда 𝑞, исходя из закона Кулона, име-ем

𝐹 =1

4𝜋𝜀0

𝑒𝑞��

𝑅3(9)

Соответственно, для напряженности электрического поля оди-ночного заряда получим

�� =1

4𝜋𝜀0

𝑞��

𝑅3(10)

24

Принцип суперпозиции . Электрическое поле для систе-мы зарядов равно векторной сумме полей от каждого заряда:

��(∑𝑞𝑖)(��) =

∑𝑖

𝐸𝑞𝑖(��). (11)

Это очень нетривиальное свойство называется принципом су-перпозиции. Фактически оно означает, что

любое электростатическое поле может быть “набрано”как сумма полей точечных зарядов,

причем вклад от каждого точечного заряда в “общее” поле не зависитот наличия других зарядов и дается выражением (10).

25

Силовые линии . Для описания векторного электрическогополя удобно ввести т.н. силовые линии, таким образом, чтобыих плотность d𝑤

d𝑆 в любой точке равнялась нормальной к пло-

щадке d�� компоненте напряженности электрического поля:

d𝑤

d𝑆= 𝐸𝑛, или d𝑤 = ��d�� (12)

Потоком d𝑤 электрического поля называется количество си-ловых линий, пересекающих элемент поверхности d𝑆.

Для точечного заряда поток

d𝑤 =1

4𝜋𝜀0

𝑞��d��

𝑅3=

1

4𝜋𝜀0

𝑞d𝑆𝑅𝑅2

=𝑞

4𝜋𝜀0dΩ (13)

как и полный поток 𝑤,

𝑤 = 𝑞/𝜀0 (в системе СИ), 𝑤 = 4𝜋𝑞 (в системе CGSE)(14)

не зависит от 𝑅.

26

Это обстоятельство порождает для системы зарядов весь-ма важную и крайне полезную теорему Гаусса , связываю-щую поток электрического поля через замкнутую поверхность𝑆 с полным зарядом внутри объема 𝑉 , ограниченного поверх-ностью 𝑆 (в системе СИ):

∮𝑆

��d�� =1

𝜀0

∫𝑉

𝜌d𝑉 (15)

(интегральная форма).В дифференциальной форме это уравнение принимает вид

(в системе СИ):

div �� =1

𝜀0𝜌. (16)

27

Соответствующие формулы в системе CGSE получаются за-меной 𝜀0 → 1/4𝜋.

Замечание 1 Функция ��/𝑟3 по сути совпадает с умноженнымна 4𝜋𝜀0 электрическим полем (10) точечного единичного (𝑞 = 1)заряда. Прямое вычисление div ��/𝑟3 дает 0 при 𝑟 = 0, что ожи-даемо, т.к. плотность точечного заряда 𝜌(𝑟) = 𝛿(��) и отличнаот нуля лишь в точке 𝑟 = 0, где дивергенция не определена.Использование теоремы Гаусса 16 позволяет доопределить ди-вергенцию и в точке 𝑟 = 0, как

div ��/𝑟3 = 𝛿(��) (17)

28

В заключение подчеркнем важнейшиеСвойства силовых линий электрического поля :

1. Начинаются и кончаются только на зарядах.

2. Не пересекаются.

3. Не замкнуты в случае статических полей.

На последнем свойстве мы подробнее остановимся ниже.

29

Задача 5 Используя принцип суперпозиции и результат (13), доказать

теорему Гаусса (15).

Задача 6 Найти поле над бесконечной однородно заряженной плоскостью,

𝜎−плотность заряда на единицу поверхности.Ответ: �� = 𝜎/2𝜀0.

Задача 7 Найти поле однородно заряженной нити с линейной плотностью

заряда 𝜎.

Ответ: �� = 𝜎��/2𝜋𝜀0𝑅2.

Задача 8 Сфера радиуса 𝑅 равномерно заряжена по поверхности, пол-

ный заряд равен 𝑞. Найти зависимость поля от радиуса внутри и снаружи

сферы.

Задача 9 Шар радиуса 𝑅 равномерно заряжен по объему, полный заряд

равен 𝑞. Найти зависимость поля от радиуса внутри и снаружи шара.

Задача 10 Внутри шара радиуса 𝑅, равномерно заряженного по объему

(плотность заряда 𝜌) имеется сферическая полость радиуса 𝑎. Центр поло-

сти смещен по отношению к центру шара на вектор �� так, что |𝑏|+ 𝑎 < 𝑅.

Найти поле внутри полости.

30

Работа в электростатическом поле . Работа, соверша-емая электрическим полем над зарядом 𝑒 вдоль пути 𝑙 равна

𝒜 =

∫𝑙

𝐹 d𝑙 = 𝑒

∫𝑙

��d𝑙. (18)

Поле называется потенциальным, если работа 𝒜 не зависит отпути 𝑙 и определяется лишь начальным и конечным положе-нием заряда 𝑒. Это эквивалентно утверждению, что работа впотенциальном поле по любому замкнутому пути равна нулю:

𝒜 =

∮��d𝑙 = 0. (19)

Теорема Стокса позволяет получить дифференциальную фор-му этого уравнения:∮

𝑙

��d𝑙 =

∫𝑆

rot ��d�� = 0 =⇒ rot �� = 0. (20)

31

Потенциальность электрического поля точечного заряда лег-ко проверить прямым вычислением величины rot ��:

Задача 11 Доказать, что электрическое поле точечного заряда (10) по-

тенциально: rot(��/𝑅3) = 0.

Используя принцип суперпозиции, легко показать, чтоэлектростатическое поле, которое может быть “набрано” изполей покоящихся точечных зарядов, потенциально всегда.

Таким образом, уравнения электростатики в дифференциаль-ной и интегральной форме принимают вид:

div �� = 1𝜀0𝜌∮𝑆 ��d�� = 1

𝜀0

∫𝑉 𝜌d𝑉

rot �� = 0∮𝑙 ��d𝑙 = 0

(21)

32

1.3 Электростатика: скалярный потенциал.

В случае потенциального электрического поля можно ввестискалярную функцию — скалярный потенциал 𝜙 таким об-разом, что

�� ≡ −∇𝜙 ≡ − grad𝜙. (22)

В механике аналогичным образом вводится потенциальнаяэнергия 𝑈(��) — скалярная функция координат, градиент кото-

рой описывает силовое потенциальное поле 𝐹 = −∇𝑈 . Разу-меется, далеко не каждое силовое поле 𝐹 (��) является потенци-альным — необходимо, чтобы оно удовлетворяло условию по-тенциальности: ∮

𝐹 (��)d�� = 0. (23)

33

Выше мы уже показали, что электростатическое поле этим свой-ством обладает.

34

Основные свойства электростатического потенциала 𝜙:

1. Принцип суперпозиции:

𝜙∑𝑞(��) =

∑𝑞

𝜙𝑞(��) (24)

Потенциал системы зарядов равен сумме потенциалов, со-здаваемых каждым из зарядов.

2. Условие потенциальности электростатического поля выпол-нено автоматически: rot �� = ∇× (−∇𝜙) ≡ 0.

3. Теорема Гаусса приводит к уравнению Пуассона:

div �� = ∇(−∇𝜙) ≡ −Δ𝜙 =1

𝜀0𝜌 =⇒ Δ𝜙 = − 1

𝜀0𝜌 (25)

Таким образом, вместо двух уравнений Максвелла — причем,одного скалярного и одного векторного(!), мы получаем односкалярное уравнение (25).

35

Используя принцип суперпозиции и граничное условие набесконечности: 𝜙(∞) = 0, легко получить общее решение

𝜙(��) =1

4𝜋𝜀0

∫𝜌(�� ′)

|�� − �� ′|d𝑉 ′ (26)

Откуда для электрического поля имеем

��(��) = − grad𝜙(��) =1

4𝜋𝜀0

∫𝜌(�� ′)(�� − �� ′)|�� − �� ′|3

d𝑉 ′ (27)

Таким образом, зная распределения зарядов, мы всегда мо-жем вычислить по нему и потенциал 𝜙(��), и напряженность

электрического поля ��(��).

36

Полученный результат (26) может быть представлен в болееэлегантном виде, с использованием метода функций Грина.

Вводя функцию Грина как

𝐺(��, �� ′) ≡ 1

4𝜋𝜀0

1

|�� − �� ′|(28)

можно выразить потенциал как результат линейного инте-грального преобразования распределения плотности заряда, сядром 𝐺(��, 𝑟′):

𝜙(��) =

∫𝐺(��, �� ′)𝜌(�� ′)d𝑉 ′ (29)

С математической точки зрения это отражает свойство ли-нейности уравнений электродинамики по отношению к источ-никам полей, в данном случае — распределению плотности за-рядов.

37

С физической точки зрения — это проявление уже упомя-нутого принципа суперпозиции для электрического поля. Вве-денная функция Грина (28) по сути является потенциалом 𝜙(��)единичного заряда, помещенного в точку �� ′, а 𝜌(�� ′) — плот-ность (единичных) зарядов в этой точке.

Замечание 2 Для точечного заряда 𝜌(𝑟) = 𝑒𝛿(𝑟), а потенциал𝜙(𝑟) = 1

4𝜋𝜀0

1𝑟 , откуда следует полезное математическое тожде-

ство: Δ(1𝑟) = −4𝜋𝛿(𝑟).

38

Задача 12 Найти распределение потенциала и напряженности электри-

ческого поля, создаваемого равномерно заряженным толстым слоем тол-

щиной 𝑑.

Задача 13 а) Найти распределение потенциала и напряженности электри-

ческого поля внутри и снаружи сферы радиуса 𝑅, равномерно заряженной

по поверхности с плотностью заряда 𝜎.

б) То же — для шара радиуса 𝑅, равномерно заряженного по объему с

плотностью заряда 𝜌0.

Задача 14 Два заряда, равных по величине и противоположных по знаку

находятся на расстоянии 𝑎 друг от друга. Изобразить качественно картину

силовых линий и линий постоянного потенциала.

39

1.4 Магнитостатика: магнитное поле.

Изучение силового поля, действующего на пробный электри-ческий заряд, позволило ввести весьма полезное понятие на-пряженности электрического поля ��. К сожалению, буквальноповторить подобное для магнитного поля нельзя — магнитныхзарядов в природе не существует!

Тем не менее, проведенное Жаном Батистом Био и Фелик-сом Саваром в 1820 году экспериментальное изучение взаимо-действия двух токов различной формы, позволило Пьеру Ла-пласу ввести понятие силового магнитного поля —магнитной

индукции ��; роль пробного заряда в данном случае по сутисыграл пробный контур с током.

40

Детальный анализ эмпирических данных привел установле-нию эмпирической формулы, известной как законБио-Савара-Лапласа (в системе СИ):

��(��) =𝜇04𝜋𝐼

∫𝑙

[d𝑙′ × ��

]𝑅3

, �� ≡ |�� − ��′| (30)

Тогда, в соответствии с законом Ампера(7) сила, действую-

щая на элемент пробного тока 𝐼пd𝑙 (сила Ампера) равна

d𝐹п = 𝐼п

[d𝑙 × ��

](31)

41

В системе CGSE:

��(��) =1

𝑐𝐼

∫𝑙

[d𝑙′ × ��

]𝑅3

, причем d𝐹п =1

𝑐𝐼п

[d𝑙 × ��

](32)

Обратим внимание на то, что определение �� в CGSE отлича-ется от определения в СИ: в частности, в CGSE поля �� и ��имеют одинаковую размерность.

42

Принцип суперпозиции справедлив и для магнитных по-лей:

результирующее поле ��, создаваемое контуром 𝑙, равновекторной сумме полей от различных элементов 𝐼пd𝑙.

В свою очередь, рассматривая объемный ток как сумму ли-нейных токов, можно (30) обобщить и на случай объемных то-ков:

��(��) =𝜇04𝜋𝐼

∫ [𝑗(𝑟′)× (�� − �� ′)

]|�� − �� ′|3

d𝑉 ′. (33)

Здесь ��(𝑟) – плотность объемного тока.

43

Аналогично тому, как это было сделано для электрическогополя, для магнитного поля можно ввести понятиемагнитныхсиловых линий , направленных в каждой точке вдоль вектора

��, с плотностью равной��.

Так же, как и в случае электрического поля, ониа) непрерывны;б) замкнуты.Последнее есть следствие отсутствия в природе магнитных

зарядов. Математически это выражается как∮𝑆

��d�� = 0 (34)

т.е. число силовых линий входящих внутрь объема, огра-ниченного поверхностью 𝑆 равно числу линий выходящих.

или, в дифференциальной форме:

div �� = 0. (35)

44

Циркуляция статического магнитного поля , в отли-чии от случая статического электрического поля, при наличиитока отлична от нуля (теорема Ампера А.М. Ампер, 1826 г.):

∮��d𝑙 ≡

∫𝑆

d�� rot �� = 𝜇0

∫𝑆

��d�� = 𝜇0𝐼 (36)

(в системе СИ). В дифференциальной форме это уравнениеприобретает вид:

rot �� = 𝜇0𝑗 (37)

В системе CGSE имеем, соответственно

rot �� =4𝜋

𝑐�� (38)

45

Для описания магнитного поля �� можно ввести т.н. век-торный потенциал :

�� = rot ��, (39)

который, хотя и является (в отличии от электростатическогопотенциала!) векторной функцией, с плотностью тока связан

значительно более простым образом, чем магнитное поле ��:

��(𝑟) =𝜇04𝜋

∫��(�� ′)

|�� − �� ′|d𝑉 ′ (40)

(ср. с (26)). Непосредственным вычислением нетрудно убедить-

ся, что rot �� дает (33).

46

Столь же легко убедиться, что вектор-потенциал �� (как искалярный потенциал 𝜙 !) удовлетворяет уравнению Пуассо-

на :

Δ�� =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′𝑗(𝑟′)Δ

(1

|�� − ��′|

)=

=𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′𝑗(𝑟′) (−4𝜋𝛿(�� − ��′)) = −𝜇0𝑗 (41)

или

Δ�� = −𝜇0𝑗 (42)

В отличии от уравнения Пуассона для скалярного потенциа-ла 𝜙 (25), содержащего в правой части плотность зарядов 𝜌(��),

уравнение Пуассона для вектор-потенциала �� содержит плот-ность тока ��(��)

47

Задача 15 Найти вектор-потенциал �� для прямолинейного проводника

током 𝐼 .

Задача 16 Найти вектор-потенциал �� для кольцевого контура с током 𝐼 .

48

Итак, уравнения, описывающие магнитное статическое поляпринимают вид (в системе СИ):

div �� = 0,

∮𝑆

��d�� = 0; (43)

rot �� = 𝜇0𝑗,

∮𝑙

��d𝑙 = 𝜇0

∫d�� �� (44)

Первая пара уравнений в дифференциальной и интегральнойформе выражает факт отсутствия в природе магнитных заря-дов, вторая пара дает связь магнитного поля с задающими еготоками.

Для перехода в этих уравнениях к системе CGSE необхо-димо сделать замену 𝜇0 = 4𝜋/𝑐, 𝐵 → 𝐵/𝑐.

49

В заключение отметим также, что из закона сохранения за-ряда (5) также следует, что

в статическом случае линии электрического токазамкнуты :

div �� = 0, (45)

т.к. заряд не накапливается

𝜕𝜌/𝜕𝑡 = 0 (46)

50

1.5 Поля, зависящие от времени, закон Фара-

дея, ток смещения.

До сих пор мы рассматривали лишь случай статических полей.В случае, когда состояние источников поля (зарядов и токов)меняется во времени, возникает ряд новых эффектов.

В 1831 году Майкл Фарадей обнаружил, что переменноемагнитное поле может порождать т.н. вихревое (непотенциаль-ное) электрическое поле, циркуляция которого отлична от нуля:∮

𝑙

��d𝑙 = − 𝜕𝜕𝑡

∫��d�� (47)

и пропорциональна изменению потока магнитного поля. В диф-ференциальной форме

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡. (48)

51

В свою очередь, переменное электрическое поле порождаеттак называемый “ток смещения”, введенный Дж. Максвел-лом в 1865 г.

rot �� = 𝜇0𝑗 +1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡= 𝜇0(𝑗 + ��см) (49)

где величина

��см = 𝜀0𝜕��

𝜕𝑡=

1

𝜇0(𝜇0𝜀0)

𝜕��

𝜕𝑡=

1

𝜇0

1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡(50)

интерпретировалась Максвеллом как ток смещения зарядов,составляющих т.н. эфир — по сути, прототип современного фи-зического вакуума. Максвелл ввел “ток смещения”, в частности,и для объяснения прохождения переменного тока через конден-сатор, представляющий собою явный разрыв цепи по постоян-ному току.

52

Окончательно, полная система уравнений Максвелла при-нимает вид (в системе СИ):

div �� = 1𝜀0𝜌

∮��d�� = 1

𝜀0

∫𝜌d𝑉

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡

∮��d𝑙 = − 𝜕

𝜕𝑡

∫��d��

div �� = 0∮��d�� = 0

rot �� = 𝜇0𝑗 +1𝑐2𝜕��𝜕𝑡

∮��d𝑙 =

∫d��(𝜇0𝑗 +

1𝑐2𝜕��𝜕𝑡

)(51)

53

1.6 Потенциалы в случае полей, зависящих от

времени.

Появление у электрического поля вихревой составляющей в при-сутствии переменного магнитного поля означает, что вектор на-пряженности электрического поля �� не может быть сведен кградиенту от скалярной функции, т.е. не может выражатьсятолько через скалярный потенциал 𝜙.

В случае полей, зависящих от времени, связь электриче-ского поля с потенциалами (скалярным и векторным) должнабыть модифицирована.

Сформулируем основные требования, которым обязана удо-влетворить искомая связь.

54

Очевидно, что она должна быть модифицирована за счетдобавки, зависящей от векторного потенциала: именно вектор-потенциал при наличии магнитного поля несомненно содержиттребуемую ненулевую вихревую составляющую: rot �� = 0. Всилу линейности электродинамики эта связь обязана быть ли-нейной; кроме того, эта добавка должна исчезать в статическомпределе полей, не зависящих от времени.

Модификация этой связи в виде

�� = −∇𝜙− 𝜕��

𝜕𝑡(52)

вполне удовлетворяет всем перечисленным требованиям.Связь магнитного поля с вектор-потенциалом остается при

этом неизменной:�� = rot �� (53)

55

Легко убедиться, что уравнения Максвелла, не содержащие ис-точников выполняются при этом автоматически:

rot �� +𝜕��

𝜕𝑡= 0 (54)

div �� = 0, (55)

в силу математических тождеств:

rot grad(. . .) ≡ 0,

div rot(. . .) ≡ 0.

При подстановке потенциалов в оставшиеся два уравненияМаксвелла получим:

Δ𝜙 +𝜕

𝜕𝑡div �� = − 1

𝜀0𝜌 (56)

Δ��− 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2= −𝜇0𝑗 + ∇

(div �� +

1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡

)(57)

56

Эти уравнения можно упростить, используя неоднозначность

потенциалов, определяемых соотношениями �� = −∇𝜙 − 𝜕��𝜕𝑡 и

�� = rot �� (см. (53),(52)):

электрическое поле �� и магнитное поле �� остаются неизмен-ными (инвариантными) при преобразовании

�� → �� + grad 𝑓 (��, 𝑡) (58)

𝜙 → 𝜙− 𝜕

𝜕𝑡𝑓 (��, 𝑡) (59)

Это свойство называется калибровочной инвариантно-

стью уравнений электродинамики (уравнений Максвел-ла), а соотношения (58),(59) — калибровочными преобразо-

ваниями потенциалов .

57

Неоднозначность в выборе потенциалов можно устранить,например, накладывая дополнительное условие, называемое ка-либровочным условием Лоренца или лоренцевской ка-

либровкой :

div �� +1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡= 0. (60)

Замечание 3 Возможны и другие условия, наиболее популяр-ными из которых являются:

div �� = 0 (61)

(кулоновская калибровка), и

𝜙 = 0 (62)

(гамильтонова калибровка).

58

В лоренцевской калибровке уравнения для потенциалов (56),(57)в системе СИ принимают вид

1

𝑐2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2−Δ𝜙 = �𝜙 =

1

𝜀0𝜌 (63)

1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2−Δ�� = ��� = 𝜇0𝑗 (64)

Эти уравнения называются уравнениями Даламбера , адифференциальный оператор

� ≡ 1

𝑐2𝜕2

𝜕𝑡2−Δ (65)

называется оператором Даламбера .

59

Соответствующие уравнения в системе CGSE получаютсязаменой 𝜀0 → 1/4𝜋, 𝜇0 → 4𝜋/𝑐2, ��→ ��/𝑐 :

1

𝑐2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2−Δ𝜙 = 4𝜋𝜌

1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2−Δ�� =

4𝜋

𝑐��

причем 𝜙 и �� в этой системе оказываются одной и той же раз-мерности!

60

В следующем разделе мы увидим, что данная запись урав-нений классической электродинамики явным образом подчер-кивает ее релятивистскую ковариантность.

Другими словами, запись уравнений Максвелла в даннойформе отражает тот замечательный факт, что появившиеся в1884 году уравнения Максвелла в ныне принятой форме2 (уси-лиями Хевисайда, Герца и Гибсса) уже “знали” о релятивист-ской природе окружающего нас мира — и это более, чем за 20лет до создания Альбертом Эйнштейном специальной теорииотносительности!

2 Строго говоря, теория классической электродинамики была сформулирована Макс-веллом еще в 1864 году, в его знаменитом трактате “Динамическая теория электромаг-нитного поля” (“A dynamical theory of the electromagnetic field”, еще за двадцать лет дотого, как она была перефомулирована в ныне привычной форме.)

61

2 Релятивистская ковариантность клас-

сической электродинамики.

2.1 Основы специальной теории относитель-

ности.

2.1.1 Основные постулаты.

∙ Все инерциальные системы отсчета – движущиеся с по-стоянной относительной скоростью – равноправны.

∙ Существуетмаксимально возможная скорость и онаравна скорости света:

𝑐 = 2.99793 · 108м/сек. (66)

Принцип относительности:все законы природы одинаковыво всех инерциальных системах отсчета

62

Каждое событие характеризуется точкой (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) в 4-мерномпространстве-времени, где (𝑥, 𝑦, 𝑧) – его пространственное по-ложение, а 𝑡 – соответствующий ему момент времени.

Понятие интервала. Рассмотрим два события, связанныесветовым сигналом и отвечающие во времени и пространстведвум точкам (𝑡1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и (𝑡2, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Первая точка соот-ветствует испусканию светового сигнала, а вторая – его реги-страции. Тогда из

равенства скорости света во всех инерциальных системах от-счета одному и тому же универсальному значению 𝑐

легко убедиться, что величина 𝑠21, построенная как

(𝑠21)2 = 𝑐2(𝑡2− 𝑡1)2− (𝑥2−𝑥1)2− (𝑦2−𝑦1)2− (𝑧2−𝑧1)2 = 0 (67)

в этих системах инвариантна(и в данном случае равна нулю !).

63

А что будет, если взять два произвольных события?Справедливо общее утверждение:

Для любой пары событий (𝑡1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и (𝑡2, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) вели-чина 𝑠21, определяемая как

(𝑠21)2 = 𝑐2(𝑡2− 𝑡1)2− (𝑥2− 𝑥1)2− (𝑦2− 𝑦1)2− (𝑧2− 𝑧1)2 (68)

и называемая интервалом , также инвариантна во всех(инерциальных) системах отсчета.

Это очень нетривиальное утверждение, имеющее далеко иду-щие последствия.

В самом деле, в разных (инерциальных) системах отсчетакаждое из событий будет описываться разными наборами чет-верок (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧), характеризующих время и положение событияв пространстве.

64

Для пары событий пространственные расстояния между со-бытиями из этой пары могут быть разными: например, еслив одной из систем отсчета (обозначим ее 𝐴) события произо-шли в одной и той же пространственной точке, то в системе от-счета, движущейся относительно такой системы со скоростью𝑉 (обозначим ее 𝐵) расстояние между событиями будет равно𝑙 = 𝑉Δ𝑡𝐵, где Δ𝑡𝐵 — время, разделяющее эту пару событий всистеме 𝐵.

Из инвариантности интервала (68) по отношению к систе-мам 𝐴 и 𝐵 немедленно следует, что и время, разделяющее этидва события в системе 𝐴, будет другим:

(Δ𝑡𝐴)2 = (Δ𝑡𝐵)

2 − 𝑙2/𝑐2 < (Δ𝑡𝐵)2 (69)

Другими словами, это означает — в отличии от принципа от-носительности Галилея (!), чтовремя, разделяющее два события, инвариантом не яв-ляется и зависит от выбора системы отсчета.

65

2.1.2 Геометрическая интерпретация.

Инвариантность интервала имеет простую геометрическую ин-терпретацию, если предположить, что и временная, и 3 про-странственные переменные нашего мира являются компонен-тами 4-мерного псевдоевклидового 3 векторного пространства.

Определенный выше интервал приобретает в таком слу-чае смысл расстояния между двумя точками в псевдоэвкли-довом пространственно–временном континууме .

Каждое тело совершает в этом пространстве движение понекоторой траектории, называемой мировой линией .

3В евклидовом пространстве квадрат меры (расстояния) равен положительно опреде-ленной сумме квадратов разностей координат. В псевдоевклидовом пространстве в квад-рат меры квадраты разностей координат могут входить с произвольными знаками; числаквадратов входящих со знаком (+) и знаком (-) определяют сигнатуру псевдоевклидовапространства. В нашем случае сигнатура равна (1,3).

66

Даже покоящееся в некоторой системе отсчета тело движетсяво времени; очевидно, что в других системах отсчета (отвеча-ющих повороту 4-мерной системы координат) такое движениеполучит и пространственные составляющие.

Переход от одной инерциальной системы отсчета к другойв рамках геометрической картины интерпретируется как пово-рот системы координат в этом пространстве — очевидно, чторасстояние между точками от такого поворота системы коор-динат изменяться не должно.

Важная особенность псевдоевклидова пространства состоитв том, что знак квадрата интервала s212 может быть как поло-жительным, так и отрицательным. В силу инвариантностиинтервала инвариантом является и этот знак - соответственно,пары любых событий распадаются на две инвариантные груп-пы:

а)пары, для которых 𝑠212 > 0,б) пары, для которых 𝑠212 < 0.

67

В случае, когда для двух событий 𝑠212 > 0, возможен та-кой поворот системы координат, что оба события окажутся водной и той же пространственной точке, разделенные лишьвременным интервалом. В этом случае говорят о временипо-добном интервале между событиями.

Очевидно, что любые две точки, лежащие на одной ми-ровой линии всегда разделены времениподобным интервалом— чтобы в этом убедиться, достаточно перейти в систему от-счета, в которой рассматриваемое тело покоится.

Все причинно-связанные события отвечают 𝑠212 ≥ 0, причемзнак равенства достигается, например, для событий, связанныхсветовым сигналом.

68

Для двух событий возможно также, что 𝑠212 < 0, — в этомслучае, очевидно, не существует такого выбора системы отсчета(поворота системы координат), при котором события будут раз-делены лишь во времени, однако возможен такой поворот, прикотором они станут одновременными и будут разделены лишьпространственно. Такой интервал называют пространствен-ноподобным .

Очевидно, что пространственноподобные события не мо-гут быть причинно связанными, т.к. воздействие причины наследствие должно в таком случае передаваться с мгновеннойскоростью, что противоречит основному постулату о суще-ствовании предельной скорости, равной скорости света.

69

2.1.3 Собственное время, парадокс близнецов.

Пусть космонавт, находящийся на космическом корабле, изме-ряет отрезок времени Δ𝜏 . Интервал между началом и концомэтого отрезка, равный в системе покоя корабля

(Δ𝑠)2 = 𝑐2(Δ𝜏 )2, (70)

равен интервалу, измеренному в лабораторной системе, относи-тельно которой корабль летит со скоростью 𝑣:

𝑐2(Δ𝜏 )2 = 𝑐2(Δ𝑡)2 − (Δ𝑥)2, (71)

где Δ𝑡 — время, прошедшее между началом и концом измере-ния с точки зрения лабораторного наблюдателя, и Δ𝑥 = 𝑣 ·Δ𝑡— соответствующее расстояние, пролетаемое космическим ко-раблем за этот период времени. Тогда

Δ𝜏 = Δ𝑡√

1− (Δ𝑥/𝑐 ·Δ𝑡)2 = Δ𝑡√

1− (𝑣/𝑐)2 = Δ𝑡√

1− 𝛽2

(72)

70

где 𝛽 ≡ 𝑣/𝑐. Тем самым в лабораторной системе соответствую-щее время между событиями равно

Δ𝑡 = Δ𝜏𝛾, 𝛾 ≡ 1√1− 𝛽2

> 1, (73)

т.е. движущиеся часы идут медленнее. Время в системе покоячасов (т.е. в системе, где рассматриваемые события происходятв одной и той же пространственной точке) называется соб-ственным временем .

Собственное время в силу (71) с точностью до множителя𝑐 совпадает с интервалом и поэтому является релятивистскиминвариантом.

71

Собственное время всегда меньше времени, прошедшего сточки зрения наблюдателя, движущегося относительно рассмат-риваемых событий. Это лежит в основе известного “парадоксаблизнецов” : близнец, путешествующий на космическом кораб-ле с околосветовой скоростью, после своего возвращения ока-жется значительно более молодым, чем его брат, остававшийсяна Земле.

Замечание 4 На первый взгляд, парадокс близнецов наруша-ет принцип эквивалентности различных систем отсчета. В дей-ствительности, принцип эквивалентности относится лишь к инер-циальным системам отсчета, тогда как близнец-путешественникдвижется неинерциально: для того, чтобы вернуться на Землю,он должен менять и скорость, и направление своего движения.

Задача 17 Один близнец движется с постоянной скоростью 𝑣1, другой

покоится. Потом, через время 𝑡0 второй начинает движение со скоростью

𝑣2 > 𝑣1. По чьим часам к моменту встречи пройдет больше времени?

72

2.1.4 Релятивистское сокращение длины.

Пусть линейка движется в продольном направлении (вдоль сво-ей длины) со скоростью 𝑣 ‖ 𝑥, и в начальный момент времени𝑡 = 0 ее передний конец находится в точке 𝑥 = 0. Задний ко-нец линейки окажется в точке 𝑥 = 0 в момент 𝑡 = 𝑙′/𝑣, где 𝑙′

— длина линейки, видимая в лабораторной системе, а соответ-ствующий интервал между двумя событиями

𝑠2 = 𝑐2𝑡2 = 𝑐2 𝑙′ 2/𝑣2.

В системе, движущейся вместе с линейкой (в которой линейкапокоится), эти события разделены промежутком времени

𝜏 = 𝑙0/𝑣

(𝑙0 – длина линейки в системе ее покоя) и пространственнымпромежутком 𝑙0, что отвечает интервалу

𝑠2 = 𝑐2𝜏 2 − 𝑙20 = 𝑙20(𝑐2/𝑣2 − 1).

73

Сравнивая оба интервала, имеем

𝑙′ = 𝑙0√1− (𝑣/𝑐)2 = 𝑙0/𝛾 (74)

т.е. движущееся тело сокращается в продольном направлениив 𝛾 раз!

Легко сообразить, что поперечные размеры тела остаютсяпри этом неизменными.

74

2.1.5 Поворот в псевдоевклидовой плоскости (𝑥, 𝑐𝑡). Пре-образования Лоренца

.Как известно, преобразования поворота в евклидовой плос-

кости𝑥′ = 𝑥 cos𝛼− 𝑦 sin𝛼𝑦′ = 𝑦 cos𝛼 + 𝑥 sin𝛼

сохраняют инвариантной длину, квадрат которой определен как𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥′2 + 𝑦′2 = 𝑟′2.

В псевдоевклидовой плоскости (𝑥, 𝑐𝑡) при преобразованияхповорота

𝑥′ = 𝑥 ch 𝜂 − 𝑐𝑡 sh 𝜂𝑐𝑡′ = 𝑐𝑡 ch 𝜂 − 𝑥 sh 𝜂 (75)

(как нетрудно убедиться прямой подстановкой) инвариантнымостается интервал, квадрат которого определен как

𝑠2 = 𝑐2𝑡2 − 𝑥2 = 𝑐2𝑡′2 − 𝑥′2

75

Выясним теперь физический смысл параметра 𝜂. Пусть коор-дината 𝑥 = 0, т.е. в системе отсчета связанной с координатами𝑥, 𝑡 тело покоится в точке 𝑥 = 0. Тогда в системе отсчета, свя-занной с координатами 𝑥′, 𝑐𝑡′, имеем 𝑥′ = −𝑐𝑡 sh 𝜂 и 𝑡′ = 𝑡 ch 𝜂,откуда 𝑥′/𝑡′ = −𝑐 th 𝜂. Другими словами, в системе 𝑥′, 𝑡′ телодвижется с постоянной скоростью

𝑣′ = −𝑐 th 𝜂, (76)

поскольку 𝑥′ = −𝑐𝑡′ · th 𝜂 ≡ −𝑡′ · 𝑣′.

Таким образом, поворот в плоскости (𝑥, 𝑐𝑡) на угол 𝜂 эк-вивалентен переходу в систему отсчета (𝑥′, 𝑐𝑡′), двигающуюсяотносительно системы(𝑥, 𝑐𝑡) со скоростью 𝑉 = −𝑣′ = 𝑐 th 𝜂

Как и обычные повороты в евклидовом пространстве, неев-клидовы повороты в плоскости (𝑥, 𝑐𝑡) аддитивны:

(𝑥, 𝑐𝑡)𝜂1−→ (𝑥′, 𝑐𝑡′)

𝜂2−→ (𝑥′′, 𝑐𝑡′′) ≡ (𝑥, 𝑐𝑡)𝜂1+𝜂2−→ (𝑥′′, 𝑐𝑡′′) (77)

76

Далее, выражая параметр 𝜂 через скорость 𝑣, получим

ch 𝜂 =1√1− 𝑣2

𝑐2

≡ 𝛾, sh 𝜂 =𝑣𝑐√

1− 𝑣2

𝑐2

≡ 𝛾𝑣

𝑐(78)

в результате чего преобразования (75) примут вид

𝑥′ =𝑥− 𝑣𝑡√1− 𝑣2

𝑐2

, 𝑡′ =𝑡− 𝑣

𝑐2𝑥√

1− 𝑣2

𝑐2

. (79)

В этом виде они известны как преобразования Лоренца, описы-вающие преобразования координат и времени в случае, когдаодна система отсчета движется относительно другой вдоль оси𝑥 со скоростью 𝑣. Координаты 𝑦, 𝑧, перпендикулярные направ-лению движения остаются инвариантными.

Задача 18 Используя преобразования Лоренца, получить: а) релятивист-

ское замедление времени (73) и б) релятивистское сокращение длины (74).

77

Задача 19 Используя (77), получить релятивистский закон сложения ско-

ростей.

Решение: Пусть тело покоится в системе (𝑥, 𝑐𝑡). В системе (𝑥′, 𝑐𝑡′), поверну-

той относительно (𝑥, 𝑐𝑡) на угол 𝜂1 оно движется со скоростью 𝑣1 = 𝑐 th 𝜂1.

Перейдем теперь в систему (𝑥′′, 𝑐𝑡′′), повернутую относительно системы

(𝑥′, 𝑐𝑡′) на угол 𝜂2; в ней система (𝑥′, 𝑐𝑡′) движется со скоростью 𝑣2 = 𝑐 th 𝜂2,

а тело — с соответствующей “суммарной” скоростью

𝑉 = 𝑐 th(𝜂1 + 𝜂2) = 𝑐sh(𝜂1 + 𝜂2)

ch(𝜂1 + 𝜂2)= 𝑐

sh 𝜂1 ch 𝜂2 + ch 𝜂1 sh 𝜂2ch 𝜂1 ch 𝜂2 + sh 𝜂1 sh 𝜂2

=

=𝑣1 + 𝑣21 + 𝑣1𝑣2

𝑐2

(80)

�

78

2.2 Ковариантная фомулировка СТО: скаля-

ры и вектора в 4-мерном пространстве-

времени Минковского.

2.2.1 Законы преобразования при поворотах.

В обычном 3-мерном пространстве геометрические объекты клас-сифицируются по отношению к преобразованиям поворота как

a) скаляры, остающиеся неизменными при поворотах,

b) вектора 𝐴𝑖, преобразующиеся как соответствующие компо-ненты радиус-вектора 𝑥𝑖,

c) тензоры ранга 𝑚 𝐴𝑖1...𝑖𝑚 преобразующиеся как произведения𝑥𝑖1 . . . 𝑥𝑖𝑚.

79

Аналогично в 4-мерном пространстве-времени Минковскогообъекты могут быть классифицированы по отношению к пре-образованиям, включающим в себя обычные повороты и преоб-разования Лоренца:

a) релятивистский (лоренцевский) скаляр. Примером являетсяинтервал и любая функция от него — и то, и другое инвари-антно по определению;

b) релятивистский 4-вектор 𝑥𝜇 ≡ (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑥0, ��) = (𝑐𝑡, ��). Компоненты любого 4-вектора 𝐴𝜇 должныпреобразовываться по тем же правилам, что и компоненты4-вектора 𝑥𝜇:

𝐴′0 =𝐴0 − 𝛽𝐴1√

1− 𝛽2, 𝐴′1 =

𝐴1 − 𝛽𝐴0√1− 𝛽2

, 𝐴′2 = 𝐴2, 𝐴′3 = 𝐴3 (81)

80

Примером 4-вектора является также 4-скорость

𝑢𝜇 = 𝑐d𝑥𝜇

d𝑠, (82)

где d𝑠 = 𝑐d𝜏 = 𝑐√1− 𝛽2d𝑡.

4-скорость выражается через 3-скорость, как 𝑢𝜇 = 𝛾d𝑥𝜇

d𝑡 =(𝛾𝑐, 𝛾��), но преобразования Лоренца для 3-скорости — реля-

тивистский закон сложения скоростей — выглядятнесколько сложнее:

пусть космический корабль движется относительно наблю-дателя со скоростью 𝑉 , и пусть �� ′ – скорость тела отно-сительно космического корабля, тогда �� – “суммарная” ско-рость тела относительно наблюдателя

𝑣‖ =𝑣′‖ + 𝑉

1 + (��‖�� )/𝑐2, ��⊥ =

��⊥′√1− 𝑉 2/𝑐2

1 + (��‖�� )/𝑐2(83)

Легко видеть, что она никогда не превышает скорости света.

81

2.2.2 Скалярное произведение 4-векторов, метрическийтензор.

Обобщая определение интервала, как скалярное произведениерадиус-вектора с самим собой, для двух различных 4-векторов𝐴𝜇 и 𝐵𝜇 его следует определить как разность произведения вре-менных компонент и скалярного произведения трехмерных век-торов, отвечающих пространственным компонентам:

𝐴0𝐵0 − (𝐴1𝐵1 + 𝐴2𝐵2 + 𝐴3𝐵3). (84)

82

Удобно для каждого 4-вектора ввести два эквивалентныхопределения. Первое из них, называемое контравариантным(фактически оно было уже использовано выше) строится из

временной 𝐴0 и пространственных компонент �� = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧)как

𝐴𝜇 = (𝐴0, ��), (85)

тогда как определение ковариантного вектора 𝐴𝜇 отличаетсязнаком пространственных компонент:

𝐴𝜇 = (𝐴0,−��) (86)

В обозначениях эти определения отличаются положением ин-декса: индекс сверху обозначает контравариантный вектор иназывается контравариантным индексом, а индекс снизу обо-значает ковариантный вектор и называется соответственно ко-вариантным.

83

Тогда скалярное произведение (84) может быть записано как

𝐴𝜇𝐵𝜇 = 𝐴𝜇𝐵𝜇, (87)

где также подразумевается суммирование по паре повторяю-щихся индексов: 𝐴𝜇𝐵𝜇 ≡

∑3𝜇=0𝐴

𝜇𝐵𝜇.Использование контравариантного и ковариантного мет-

рического тензора

𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈 =

⎛⎜⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠дает другой, эквивалентный способ записи скалярного произве-дения

𝐴𝜇𝐵𝜇 = 𝐴𝜇𝐵𝜈𝑔𝜇𝜈 = 𝐴𝜇𝐵𝜈𝑔𝜇𝜈 (88)

Фактически роль метрического тензора сводится к “опусканию”

84

и “подниманию” индекса:

𝐴𝜇 = 𝑔𝜇𝜈𝐴𝜈, 𝐴𝜇 = 𝑔𝜇𝜈𝐴𝜈 (89)

Задача 20 Показать, что для 4-скорости 𝑢𝜇 скалярное произведение 𝑢𝜇𝑢𝜇 =

1.

85

2.2.3 4-градиент и 4-вектор энергии-импульса.

Вектор 4-градиента строится обычным образом:

𝜕

𝜕𝑥𝜇=

(1

𝑐

𝜕

𝜕𝑡, ∇)≡ 𝜕𝜇,

𝜕

𝜕𝑥𝜇=

(1

𝑐

𝜕

𝜕𝑡,−∇

)≡ 𝜕𝜇 (90)

Следует подчеркнуть, что

дифференцирование по контравариантному вектору даетковариантный вектор

и, наоборот:

дифференцирование по ковариантному вектору даетконтравариантный вектор.

86

4-вектор энергии-импульса определен как

𝑝𝜇 = (𝐸, 𝑐𝑝) ≡ (𝛾𝑚𝑐2, 𝛾𝑚𝑐��) (91)

Отметим, что

хотя энергия 𝐸 - скаляр по отношению к 3-мерным(пространственным) поворотам,по отношению к преобразованиям Лоренцаона неинвариантна, т.к.является временной компонентой 4-вектора энергии-импульса.

Задача 21 Показать, что 𝑝𝜇𝑝𝜇 = 𝑚2𝑐4.

87

2.3 Релятивистская ковариантность классиче-

ской электродинамики.

Различные представления уравнений Максвелла (дифференци-альное и интегральное) связывают между собою напряженно-

сти полей ��, �� и порождающие их источники – плотности за-рядов и токов 𝜌, ��. Однако непосредственно из этих уравненийувидеть релятивистскую ковариантность классической электро-динамики непросто. Не менее важная задача — установить пра-вильные преобразования соответствующих величин в зависимо-сти от системы отсчета.

88

2.3.1 4-вектор тока, уравнение непрерывности.

Проще всего начать с изучения законов преобразования дляисточников.

Пусть в покоящейся системе плотность зарядов равна 𝜌0. Всистеме, движущейся со скоростью 𝑣, соответствующий элементобъема 𝑉0 сокращается в продольном (вдоль скорости) направ-лении в 𝛾 раз:

𝑉 = 𝑉0/𝛾,

поэтому соответствующая плотность заряда

𝜌 = 𝜌0 · 𝛾, (92)

т.к. полный заряд инвариантен: 𝜌𝑉 = 𝜌0𝑉0.

Соответственно, для плотности тока получим

�� = 𝜌0𝛾�� (93)

89

Вспоминая, что 4-вектор скорости имеет вид 𝑢𝜇 = (𝑐𝛾, ��𝛾),легко сообразить, что и комбинация 𝑗𝜇 = (𝜌𝑐, ��) также является4-вектором, т.к.

𝑗𝜇 = 𝜌0𝑢𝜇 (94)

С учетом этого закон сохранения заряда (5) – уравнение непре-рывности — легко записывается в ковариантной форме:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ div �� = 𝜕𝜇𝑗

𝜇 = 0 (95)

По существу левая часть уравнения представляет собой 4-дивергенцию4-вектора тока (94) – т.е. скалярное произведение 4-векторов 𝜕𝜇

и 𝑗𝜇 и является при этом релятивистским скаляром.

90

2.3.2 4-мерный вектор-потенциал 𝐴𝜇.

Покажем, что комбинация

𝐴𝜇 = (𝜙/𝑐, ��), (96)

где 𝜙 и �� скалярный и векторный потенциалы, определенныесоотношениями (52) и (53), соответственно, образует 4-мерныйвектор-потенциал .

Действительно, определение (96) позволяет уравнения Да-ламбера для скалярного потенциала 𝜙 (63) и векторного потен-

циала �� (64) записать в виде одного уравнения (в системе СИ)

�𝐴𝜇 = 𝜇0𝑗𝜇 (97)

(где использовано 𝜌/𝜀0𝑐 = 𝜌𝑐/𝜀0𝑐2 = 𝜇0𝜌𝑐). Оператор Даламбе-

ра в 4-мерной записи представляет собой скалярный оператор� ≡ 𝜕𝜇𝜕

𝜇, и действие им на 𝐴𝜇 может дать 4-вектор 𝜇0𝑗𝜇 лишь

при условии, что 𝐴𝜇 является 4-вектором.

91

Уравнения Даламбера (63),(64) справедливы, если на потен-циалы наложено условие лоренцевской калибровки (60),которое (в свою очередь!) в 4-мерных обозначениях обретаетсмысл равенства нулю 4-мерной дивергенции от 𝐴𝜇:

div �� +1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡= 𝜕𝜇𝐴

𝜇 = 0. (98)

Калибровочные преобразования (58),(59) в этих же обозначе-ниях принимают вид

𝐴𝜇 → 𝐴𝜇 + 𝜕𝜇𝑓 (99)

92

2.3.3 4-мерное представление для напряженностей по-лей.

Поля �� и �� связаны с потенциалами 𝜙 и �� как

�� = −∇𝜙− 𝜕��

𝜕𝑡, �� = rot ��,

или в покомпонентной записи

𝐸𝑥 = −𝜕𝑥𝜙− 𝜕𝑡𝐴𝑥 𝐻𝑥 = 𝜕𝑦𝐴𝑧 − 𝜕𝑧𝐴𝑦

𝐸𝑦 = −𝜕𝑦𝜙− 𝜕𝑡𝐴𝑦 𝐻𝑦 = 𝜕𝑧𝐴𝑥 − 𝜕𝑥𝐴𝑧

𝐸𝑧 = −𝜕𝑧𝜙− 𝜕𝑡𝐴𝑧 𝐻𝑧 = 𝜕𝑥𝐴𝑦 − 𝜕𝑦𝐴𝑥

(100)

93

Вычисляя антисимметричный тензор 𝐹 𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇 исравнивая его компоненты с (100), легко увидеть, что

𝐹 𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇 =

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 1

𝑐𝜕𝐴𝑥𝜕𝑡 + 1

𝑐𝜕𝜙𝜕𝑥

1𝑐

𝜕𝐴𝑦𝜕𝑡 + 1

𝑐𝜕𝜙𝜕𝑦

1𝑐𝜕𝐴𝑧𝜕𝑡 + 1

𝑐𝜕𝜙𝜕𝑧

−1𝑐𝜕𝐴𝑥𝜕𝑡 −

1𝑐𝜕𝜙𝜕𝑥 0 −𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥 + 𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦 −

𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 + 𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧

−1𝑐

𝜕𝐴𝑦𝜕𝑡 −

1𝑐𝜕𝜙𝜕𝑦

𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥 −

𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦 0 −𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧 + 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦

−1𝑐𝜕𝐴𝑧𝜕𝑡 −

1𝑐𝜕𝜙𝜕𝑧

𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 −

𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧

𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧 −

𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

=

⎛⎜⎜⎝0 −1

𝑐𝐸𝑥 −1𝑐𝐸𝑦 −1

𝑐𝐸𝑧1𝑐𝐸𝑥 0 −𝐵𝑧 𝐵𝑦1𝑐𝐸𝑦 𝐵𝑧 0 −𝐵𝑥1𝑐𝐸𝑧 −𝐵𝑦 𝐵𝑥 0

⎞⎟⎟⎠ = −𝐹 𝜈𝜇. (101)

Тензор 𝐹 𝜇𝜈 называется тензором электромагнитного по-

ля .

94

Используя лоренцевскую калибровку (98) и уравнение Да-ламбера (97) и вычисляя 4-дивергенцию тензора 𝐹 𝜇𝜈:

𝜕𝜇𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝜕

𝜇𝐴𝜈⏟ ⏞ �𝐴𝜈

−𝜕𝜇𝜕𝜈𝐴𝜇 = �𝐴𝜈 − 𝜕𝜈 𝜕𝜇𝐴𝜇⏟ ⏞ =0

= 𝜇0𝑗𝜈

получим уравнения Максвелла в ковариантной 4-мерной запи-си:

𝜕𝜇𝐹𝜇𝜈 = 𝜇0𝑗

𝜈. (102)

Задача 22 Доказать, что тензор 𝐹 𝜇𝜈 калибровочно инвариантен.

Поскольку и левая, и правая часть уравнения (102) калиб-ровочно инвариантны, это уравнение справедливо в любой ка-либровке, а не только в лоренцевской, в которой оно было по-лучено.

Уравнения Максвелла (51) представляют собой систему из8-ми независимых уравнений, тогда как в (102) содержится

95

лишь 4 независимых уравнения, а именно:

div �� =1

𝜀0𝜌, rot �� = 𝜇0𝑗 +

1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡.

Где же остальные четыре:

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡, div �� = 0 ?

Эти уравнения содержатся в тождестве Бьянки:

𝐶𝜆𝜇𝜈 ≡ 𝜕𝜆𝐹 𝜇𝜈 + 𝜕𝜈𝐹 𝜆𝜇 + 𝜕𝜇𝐹 𝜈𝜆 = 0. (103)

Задача 23 Прямым вычислением доказать тождество (103), пользуясь

определением 𝐹 𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇.

Задача 24 Используя антисимметричность 𝐶𝜆𝜇𝜈 по любой паре индексов,

доказать, что тождество (103) представляет собой 4 независимых уравне-

ния.

96

2.3.4 Преобразования Лоренца для потенциалов и по-лей.

Напомним преобразования Лоренца (81) для координат �� и вре-мени 𝑡:

𝑡′ = 𝛾(𝑡− 1

𝑐2����‖) (104)

��′‖ = 𝛾(��‖ − ��𝑡) (105)

��′⊥ = ��⊥. (106)

Поскольку потенциалы 𝜙 и �� представляют собой компоненты4-вектора 𝐴𝜇 ≡ (𝜙/𝑐, ��) (96), они преобразуются аналогичнымстандартным образом :

𝜙′ = 𝛾(𝜙− ����‖), (107)

��′‖ = 𝛾(��‖ −��

𝑐2𝜙), (108)

��′⊥ = ��⊥. (109)

97

Напряженности полей являются компонентами 4-мерного тен-зора второго ранга

𝐹 𝜇𝜈 =

⎛⎜⎜⎝0 −1

𝑐𝐸𝑥 −1𝑐𝐸𝑦 −1

𝑐𝐸𝑧1𝑐𝐸𝑥 0 −𝐵𝑧 𝐵𝑦1𝑐𝐸𝑦 𝐵𝑧 0 −𝐵𝑥1𝑐𝐸𝑧 −𝐵𝑦 𝐵𝑥 0

⎞⎟⎟⎠ . (110)

и преобразуются как произведение соответствующих компонент4-вектора. В 3-мерной записи эти преобразования принимаютвид: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

�� ′‖ = ��‖, �� ′⊥ = 𝛾(��⊥ + [𝑣 × ��])

��′‖ = ��‖, ��′⊥ = 𝛾(��⊥ − 1𝑐2[𝑣 × ��])

(111)

В нерелятивистском пределе (𝑣 ≪ 𝑐)

�� ′⊥ = ��⊥ + [𝑣 × ��], ��′⊥ = ��⊥ −1

𝑐2[𝑣 × ��]

98

Задача 25 Объяснить, почему продольные компоненты поля остаются ин-

вариантными: �� ′‖ = ��‖ и ��′‖ = ��‖.

99

2.3.5 Инварианты поля.

Используя тензор 𝐹 𝜇𝜈 универсальный абсолютно антисиммет-ричный тензор 𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿 можно построить две скалярные величины

𝐹 𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 = ��2 − 𝑐2��2 = inv (112)

и𝜖𝜇𝜈𝜆𝜌𝐹

𝜇𝜈𝐹 𝜆𝜌 = ���� = inv . (113)

Являясь 4-мерными скалярами, они по отношению к преобра-зованиям Лоренца инвариантны.

Задача 26 Используя (111), явным вычислением доказать инвариантность

(112) и (113).

100

2.3.6 Релятивистская частица в электромагнитном по-ле.

Физическая траектория частицы отвечает минимуму действиянезависимо от системы отсчета. Поэтому действие должно бытьрелятивистским инвариантом.

Для свободной частицы единственным инвариантом, завися-щим от траектории частицы является интервал, поэтому есте-ственно ожидать, что действие равно

𝑆 = −𝑚𝑐∫

d𝑠 = −𝑚𝑐∫

d𝑠

d𝑡d𝑡 (114)

где интеграл берется между фиксированными мировыми точ-ками, определяющими начало и конец траектории.

Отсюда функция Лагранжа свободной частицы

𝐿0 = −𝑚𝑐d𝑠

d𝑡= −𝑚𝑐2

√1− 𝑣2

𝑐2(115)

101

Минимум действия для свободной частицы в простран-стве Минковского означает максимум длины мировой линиис фиксированными концами .

Длина мировой линии равна суммарному собственному вре-мени вдоль нее, умноженному на скорость света 𝑐. Рассмотримсистему отсчета, в которой пространственные координаты на-чальной и конечной точки мировой линии совпадают. Для сво-бодной частицы которая покоится в такой системе, мировая ли-ния представляет собой прямую, направленную вдоль времен-ной оси. Любая другая траектория, имеющая те же самые на-чало и конец, описывает движение близнеца-путешественника(вспомним парадокс близнецов!) и собственное время вдоль нееокажется меньше, а значит, меньше будет и суммарная длинасоответствующей мировой линии.

102

В пространстве Минковского среди всех линий, соединяю-щих две мировые точки наибольшей длиной обладает не кри-вая, а прямая линия!

Взаимодействие с электромагнитным полем дает свой вкладв действие

𝑆int = −∫𝑗𝜇𝐴

𝜇d𝑠 = (116)

= −∫𝑒𝑐d𝑡

d𝑠

𝜙

𝑐d𝑠 +

∫𝑒d��

d𝑠��d𝑠 =

= −𝑒∫𝜙d𝑡 + 𝑒

∫��d��

d𝑡d𝑡 =

∫𝐿intd𝑡 (117)

откуда лагранжиан взаимодействия частицы с элек-

тромагнитным полем

𝐿int = −𝑒𝜙 + 𝑒���� (118)

103

Таким образом,функция Лагранжа для частицы в элек-

тромагнитном поле

𝐿 = −𝑚𝑐2√1− 𝑣2

𝑐2+ 𝑒���� − 𝑒𝜙(в системе СИ) (119)

или

𝐿 = −𝑚𝑐2√1− 𝑣2

𝑐2+𝑒

𝑐���� − 𝑒𝜙(в системе CGSE) (120)

Обобщенный импульс – канонический импульс

�� =𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟=

𝑚��√1− 𝑣2/𝑐2

+ 𝑒�� = 𝑝 + 𝑒�� (121)

где 𝑝 = 𝑚��𝛾 “обычный” импульс. В присутствии электромаг-нитного поля канонический импульс отличается от “обычного”импульса добавкой, пропорциональной вектор-потенциалу ��.

104

Гамильтониан частицы в электромагнитном поле

строится обычным образом

ℋ = 𝐸 = ��𝜕𝐿

𝜕��− 𝐿 =

𝑚𝑐2√1− 𝑣2/𝑐2

+ 𝑒𝜙 (122)

На первый взгляд, зависимость от поля выпала из гамильтони-ана. На самом деле она возникнет, если гамильтониан следуетвыразить в терминах естественных канонических переменных— координаты и импульса: ℋ = ℋ(𝑥,𝒫).

Сначала выразим скорость через канонический импульс ��и вектор-потенциал ��, используя (121):

(𝑝)2 =(�� − 𝑒��

)2=

(𝑚��√

1− 𝑣2/𝑐2

)2

(123)

105

откуда

𝑣2 =

(�� − 𝑒��

)2𝑚2𝑐2 +

(�� − 𝑒��

)2 (124)

и

1− 𝑣2

𝑐2=

𝑚2𝑐2

𝑚2𝑐2 +(�� − 𝑒��

)2 (125)

Подставляя в выражение для гамильтониана (122), получим

ℋ(𝑥,𝒫) =√𝑚2𝑐4 + 𝑐2

(�� − 𝑒��

)2+ 𝑒𝜙 (126)

106

В нерелятивистском пределе (𝑣𝑐 ≪ 1) в системе СИ имеемхорошо известный результат

ℋ = 𝑚𝑐2 +1

2𝑚

(�� − 𝑒��

)2+ 𝑒𝜙 (127)

и в системе CGSE, соответственно

ℋ = 𝑚𝑐2 +1

2𝑚

(�� − 𝑒

𝑐��)2

+ 𝑒𝜙 (128)

107

Рассмотрим теперь уравнения движения частицы в электро-магнитном поле. Уравнения Лагранжа

d

d𝑡

𝜕𝐿

𝜕��=𝜕𝐿

𝜕��, где

d

d𝑡=𝜕

𝜕𝑡+ ��

𝜕

𝜕��(129)

дают уравнения движения релятивистской частицы в электро-магнитном поле:

˙𝑝 + 𝑒𝜕��

𝜕𝑡+ 𝑒(�� ∇)�� = 𝑒∇(����)− 𝑒∇𝜙, (130)

откуда

˙𝑝 = −𝑒𝜕��𝜕𝑡− 𝑒∇𝜙 + 𝑒∇(����)− 𝑒(�� ∇)�� =

= −𝑒𝜕��𝜕𝑡− 𝑒∇𝜙 + 𝑒

[�� ×

[∇ × ��

]]=

= 𝑒�� + 𝑒[�� × ��

]= 𝐹𝑒.

108

Таким образом, уравнения движения релятивистской ча-

стицы в электромагнитном поле принимают вид:

˙𝑝 = 𝑒�� + 𝑒[�� × ��

]= 𝐹𝑒. (131)

Первое слагаемое описывает действие электрического поля�� на заряд, второе – силу Лоренца , описывающее действиемагнитного поля �� на движущийся заряд. Изменение энергиичастицы в единицу времени равно

dℰd𝑡

= 𝐹𝑒�� ={𝑒�� + 𝑒

[�� × ��

]}�� = 𝑒���� (132)

т.е. работу над частицей совершает только электрическое поле��, и изменение энергии от магнитного поля �� не зависит.

109

3 Статические поля.

3.1 Условия применимости статического при-

ближения.

Согласно СТО, скорость распространения полей конечна и неможет превышать скорость света. Другими словами, изменениеположения зарядов и токов скажутся на величине поля для на-блюдателя, удаленного на расстояние 𝑅, через время

𝜏 = 𝑅/𝑐. (133)

Это время должно быть мало по сравнению с характерным вре-менем 𝑇 движения (или колебания) зарядов внутри системы,т.е. 𝜏 ≪ 𝑇 . В случае, когда наблюдатель находится вблизисистемы, т.е. 𝑅 ∼ 𝐿 (размеров системы), это приводит к ми-нимальному требованию – ограничению на скорость зарядов𝑣/𝑐≪ 1. При выполнении этого условия справедливо рассмот-

110

ренное ранее статическое приближение для зарядов, токов ипорождаемых ими полей (см. (26),(27) и (40),(33)):⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

�� = − grad𝜙

𝜙(𝑟) = 14𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′𝜌(𝑟

′)𝑅

��(𝑟) = 14𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′𝜌(𝑟′) ��

𝑅3

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

�� = rot ��

��(𝑟) = 𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′ ��(𝑟

′)𝑅

𝐵(𝑟) = 𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′𝑗(𝑟′) ��

𝑅3

(134)

т.е. с помощью статических функций Грина (28):

𝐺(��, �� ′) ≡ 1

4𝜋𝜀0

1

|�� − �� ′|(135)

потенциали (и поля) выражаются через распределения зарядов

и токов (здесь �� = �� − ��′).

111

3.2 Электрические поля на больших расстоя-

ниях, мультипольное разложение.

Рассмотрим наблюдателя, находящегося на расстоянии 𝑅≫ 𝐿,где 𝐿 — характерный размер системы зарядов. Выберем началокоординат внутри системы зарядов, �� ′ — радиус-вектор, указы-вающий на заряд, �� — радиус-вектор, указывающий на наблю-дателя. Поскольку |�� ′| ∼ 𝐿 ≪ |�� | ∼ 𝑅, для (134) справедливоразложение

1

𝑅=

1

𝑟−

3∑𝑖=1

𝑟′𝑖𝜕

𝜕𝑟𝑖

1

𝑟+1

2

3∑𝑖,𝑗=1

𝑟′𝑖𝑟′𝑗

𝜕2

𝜕𝑟𝑖𝜕𝑟𝑗

1

𝑟+ . . . (136)

что для скалярного потенциала дает

𝜙(𝑟) =1

4𝜋𝜀0

{𝑞

𝑟− 𝑑 grad 1

𝑟+1

6𝑄𝑖𝑗

𝜕2

𝜕𝑟𝑖𝜕𝑟𝑗

1

𝑟+ . . .

}(137)

112

где использовано

𝜕

𝜕𝑟𝑖

1

𝑟= −𝑟𝑖

𝑟3;

𝜕2

𝜕𝑟𝑖𝜕𝑟𝑗

1

𝑟=

3𝑟𝑖𝑟𝑗𝑟5− 𝛿𝑖𝑗𝑟3

и введены обозначения

𝑞 =

∫d𝑉 𝜌(��) — полный заряд системы,

𝑑 =

∫d𝑉 ��𝜌(��) — электрический дипольный момент системы,

𝑄𝑖𝑗 =

∫d𝑉

(𝑟𝑖𝑟𝑗 −

𝑟2

3𝛿𝑖𝑗

)𝜌(��) — квадрупольный момент системы.

Электрическое поле диполя

��(𝑟) = −∇𝜙 =1

4𝜋𝜀0

{𝑞��

𝑟3+

(3��(𝑑��)

𝑟5− 𝑑

𝑟3

)}. (138)

Легко видеть, что поле диполя спадает гораздо быстрее (∝ 1𝑟3),

чем поле заряда (∝ 1𝑟2)!

113

Задача 27 При каком условии дипольный момент не зависит от выбора

начала координат?

Решение. Сдвинем начало координат на вектор ��, тогда дипольный

момент

𝑑′ =

∫d𝑉 (𝑎 + ��)𝜌(��) =

∫d𝑉 ��𝜌(��) +

∫d𝑉 ��𝜌(��) = 𝑑 + �� · 𝑞

Дипольный момент не зависит от выбора начала координат при условии

𝑞 = 0.

Задача 28 Приведите пример диполя и квадруполя.

114

В общем случае разложение (136) при 𝑟′ < 𝑟 может бытьпредставлено в виде

1

|�� − �� ′|=

∞∑𝑙=0

4𝜋

2𝑙 + 1

𝑟′𝑙

𝑟𝑙+1

𝑙∑𝑚=−𝑙

𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝛼)𝑌*𝑙𝑚(𝜃

′, 𝛼′) (139)

где углы (𝜃, 𝛼) и (𝜃′, 𝛼′) отвечают направлениям векторов �� и �� ′

соответственно. Тогда соответствующее разложение скалярногопотенциала (137) примет вид

𝜙(𝑟, 𝜃, 𝛼) =1

4𝜋𝜀0

∞∑𝑙=0

1

𝑟𝑙+1

𝑙∑𝑚=−𝑙

𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝛼)𝑄*𝑙𝑚 (140)

где соответствующий мультиполь в представлении шаровых функ-ций принимает вид

𝑄𝑙𝑚 =4𝜋

2𝑙 + 1

∫𝑟′2d𝑟′dΩ′𝜌(𝑟′, 𝜃′, 𝛼′)𝑟′𝑙𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝛼) (141)

115

3.3 Магнитные поля на больших расстояни-

ях, магнитный дипольный момент, гиро-

магнитный фактор .

Рассмотрим вектор-потенциал системы токов на больших рас-стояниях 𝑟 ≫ 𝐿, где 𝐿 — размер области, занимаемой токами��(𝑟):

��(𝑟) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′

��(𝑟′)

𝑅(142)

(здесь �� = �� − �� ′). На больших расстояниях, как и в случаесистемы зарядов, можно воспользоваться разложением

1

𝑅=

1

𝑟+(�� ′��)

𝑟3+ . . .

по малому параметру (𝑟′/𝑟) (𝐿/𝑟)≪ 1.

116

Первый член разложения обращается в нуль

��(1) =𝜇04𝜋

1

𝑟

∫d𝑉 ′𝑗(𝑟′) =

𝜇04𝜋

1

𝑟𝑒∑𝑖

��𝑖′ =

=𝜇04𝜋

1

𝑟

d

d𝑡

(𝑒∑𝑖

��𝑖′

)=𝜇04𝜋

1

𝑟

d

d𝑡𝑑 = 0

поскольку в статической системе токов дипольный момент си-стемы не зависит от времени, т.к. заряд не накапливается, рас-пределение заряда стационарно и не зависит от времени.

Рассмотрим теперь второй член разложения

��(2) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′

��(𝑟′)(�� ′��)

𝑟3.

117

Преобразуем, выделяя полную производную по времени:

��(𝑟′)(�� ′��) = 𝑒∑𝑖

��𝑖′(�� �� ′)− ��𝑖 ′(�� ��𝑖 ′)

2+ 𝑒∑𝑖

��𝑖′(�� �� ′) + ��𝑖

′(�� ��𝑖′)

2=

= 𝑒∑𝑖

�� × [𝑣𝑖′ × ��𝑖 ′]2

+d

d𝑡𝑒∑𝑖

��𝑖′(�� �� ′)

2⏟ ⏞ =0

=�� × [𝑗 ′ × ��𝑖 ′]

2

Второе слагаемое также обращается в нуль для статическогораспределения зарядов и токов. Таким образом, в рамках дан-ного приближения

�� =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′

�� × [𝑗′ × ��𝑖 ′]2𝑟3

=𝜇04𝜋

{−[��×∇1

𝑟

]+ . . .

}(143)

где введен магнитный дипольный момент

�� =1

2

∫d𝑉 ′

[�� ′ × ��(𝑟′)

](144)

118

Соответствующее магнитное поле получается взятием рото-ра от полученного вектор-потенциала:

�� =𝜇04𝜋

rot

[��× ��

𝑟3

]=𝜇04𝜋∇ ×

[��× ��

𝑟3

]=

=𝜇04𝜋

(��

(∇, ��

𝑟3

)−(��, ∇

) ��

𝑟3

)=

=𝜇04𝜋

⎛⎝ ��4𝜋𝛿(��)⏟ ⏞ =0на больших ��

− 1

𝑟3

(��, ∇

)�� − ��

(��, ∇ 1

𝑟3

)⎞⎠ =

= −𝜇04𝜋

(��

𝑟3− 3

��(��, ��)

𝑟5

)(145)

Задача 29 Найти магнитный момент плоского контура с током 𝐼 .

Решение:

1

2

∫d𝑉 ′

[�� ′ × ��(𝑟′)

]=𝐼

2

∮ [�� ′ × d𝑙

]= 𝐼 · �� (146)

�

119

Для системы движущихся точечных зарядов в (системе СИ)магнитный момент может быть представлен в виде:

�� =1

2

∑𝑖

𝑒𝑖[��𝑖 × ��𝑖] (147)

(или 12𝑐

∑𝑖 𝑒𝑖[��𝑖× ��𝑖] в системе CGSE). В случае, когда для всех

зарядов 𝑒𝑖/𝑚𝑖 = const ≡ 𝑒/𝑚, и 𝑣 ≪ 𝑐, то магнитный моментсистемы оказывается пропорционален механическому:

�� =1

2

∑𝑖

𝑒𝑖𝑚𝑖

[��𝑖 × 𝑝𝑖] =𝑒

2𝑚

∑𝑖

[��𝑖 × 𝑝𝑖] = 𝑔�� (148)

где �� — механический момент импульса системы, и

𝑔 = 𝑒/2𝑚 (149)

называется гиромагнитным отношением или гиромагнитнымфактором . Гиромагнитный фактор может быть определен так-

120

же для любого тела, распределения плотности массы и зарядав котором совпадают.

121

4 Энергия поля.

4.1 Плотность энергии поля и вектор Пойн-

тинга.

Изучим для замкнутой системы и заряженных частиц, и элек-тромагнитного поля баланс энергии. Поскольку для замкнутойсистемы полная энергия сохраняется, изменение механическойэнергии заряженных частиц будет связано с изменением энер-гии взаимодействующего с зарядами поля.

Начнем с рассмотрения уравнений Максвелла, описываю-щих взаимодействие поля с источниками:

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡,

rot �� = 𝜇0𝑗 +1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡

122

Умножая первое на (−��), а второе – на (��) и складывая, по-лучим

1

2

𝜕

𝜕𝑡

{1

𝑐2𝐸2 +𝐵2

}+ 𝜇0 ·

(𝑗��)=(�� · rot ��

)−(�� · rot ��

)(150)

Покажем, что правая часть равна [− div(�� × ��)]:

div(�� × ��) = 𝜀𝑖𝑗𝑘∇𝑖(𝐸𝑗𝐵𝑘) =

= 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐵𝑘(∇𝑖𝐸𝑗) + 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐸𝑗(∇𝑖𝐵𝑘) =

= 𝐵𝑘 𝜀𝑘𝑖𝑗(∇𝑖𝐸𝑗)⏟ ⏞ rot ��

−𝐸𝑗 𝜀𝑗𝑖𝑘(∇𝑖𝐵𝑘)⏟ ⏞ rot ��

что и требовалось доказать. Далее, учтем, что слагаемое(𝑗��)

описывает скорость изменения кинетической энергии.(𝑗��)=∑𝑖

𝑒��𝑖�� =d

d𝑡𝜀кин

123

Интегрируя (150) по объему, получим

d

d𝑡

1

2

∫ {1

𝑐2𝐸2 +𝐵2

}d𝑉 + 𝜇0

d

d𝑡

∫𝜀кинd𝑉⏟ ⏞ ℰкин

= −∫

d𝑉 div(�� × ��) =

= −∮

d��[�� × ��] (151)

Таким образом, изменение кинетической энергии частиц, взаи-модействующих с электромагнитным полем

d

d𝑡ℰкин = − d

d𝑡

[1

2

∫ {𝜀0𝐸

2 +1

𝜇0𝐵2

}d𝑉

]−∮

d��1

𝜇0[�� × ��]

(152)

складывается из изменения энергии электромагнитного поля(первое слагаемое) и потока энергии через охватывающую по-верхность (второе слагаемое).

124

Тем самым мы установили, что поле обладает плотностьюэнергии

𝑤поля =1

2

{𝜀0𝐸

2 +1

𝜇0𝐵2

}(153)

и потоком энергии

�� =1

𝜇0[�� × ��] (154)

(вектор Пойнтинга). Т.е. поле выступает как материаль-ный объект, а не абстракция для описания дальнодействия.

125

4.2 Электростатическая энергия заряженной

системы .

Электростатическая потенциальная энергия системы заряжен-ных частиц по сути является энергией электрического поля, по-рождаемого зарядами этих частиц.

Вычисляя энергию электрического поля и выражая поля че-рез распределение индуцировавших их зарядов, получаем

𝑊э =

∫d𝑉 · 𝜀0𝐸

2

2=𝜀02

∫d𝑉 · �� ·

(−∇𝜙

)=

=𝜀02

∫d𝑉 𝜙 · div �� − 𝜀0

2

∫d𝑉 · div(𝜙��) =

=1

2

∫d𝑉 𝜙 · 𝜌− 𝜀0

2

∮d�� · 𝜙��⏟ ⏞

∝𝑟−3⏟ ⏞ →0 при 𝑟→∞

, (155)

последнее слагаемое можно отбросить, выбирая охватывающую

126

поверхность 𝑆 на бесконечности. Далее, используя

𝜙 =1

4𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′

𝜌(𝑟′)

|�� − �� ′|мы убеждаемся, что энергия поля тождественна потенциаль-ной энергии создающих поле зарядов:

𝑊э =1

2

∫d𝑉 𝜙 · 𝜌 = 1

8𝜋𝜀0

∫d𝑉 d𝑉 ′

𝜌(𝑟)𝜌(𝑟′)

|�� − �� ′|=

1

4𝜋𝜀0

∑𝑖>𝑗

𝑒𝑖𝑒𝑗|�� − �� ′|(156)

Задача 30 Найти энергию шара, равномерно заряженного по объему.

Ответ:

𝑊э =3

5

𝑞2

4𝜋𝜀0𝑎(157)

где 𝑞 – заряд шара, 𝑎 – радиус шара.

Задача 31 Найти энергию равномерно заряженной сферы радиуса 𝑎.

Ответ:

𝑊э =1

2

𝑞2

4𝜋𝜀0𝑎(158)

127

4.3 Электростатическая собственная энергия

точечного заряда. Классический радиус элек-

трона.

Допустим, вся масса электрона имеет электромагнитное про-исхождение, и электрон представляет собой сферу радиуса 𝑟𝑒,тогда

𝑟𝑒 =𝑒2

4𝜋𝜀0𝑚𝑐2= 2.8 · 10−13см (159)

Это принципиальная граница классической электродина-

мики — на меньших расстояниях 𝑟 < 𝑟𝑒 она противоречиваи неприменима.

На самом деле значительно раньше проявляются квантовыеэффекты, которые становятся существенными начиная с рас-стояний порядка комптоновской длины волны, определяемойкак

𝜆𝑐 =~𝑚𝑐

= 3.9 · 10−11см (160)

128

С учетом квантовых эффектов вычисление электромагнитнойэнергии электрона дает

𝑊э/𝑚𝑐2 =

3𝛼

2𝜋ln𝜆𝑐𝑎

(161)

где постоянная тонкой структуры 𝛼 = 𝑒2/4𝜋𝜀0~𝑐 ≈ 1/137. Усло-вие, что это отношение не превышает единицу, означает непро-тиворечивость квантовой электродинамики вплоть до рас-стояний

𝑟кв = 𝜆𝑐e−2𝜋/3𝛼 = 𝜆𝑐e

−287 = 8.9 · 10−136см (162)

На самом деле, граница эта практически недостижима, посколь-ку уже на расстояниях 𝜆КХД ∼ 10−13см начинают сказыватьсяэффекты сильных взаимодействий, а на расстояниях 𝜆weak ∼10−16см начинает работать объединенная теория электросла-бых взаимодействий и, наконец, на расстояниях 𝜆грав ∼ 10−33смвступает в игру квантовый характер пространства-времени.

129

4.4 Взаимодействие двух заряженных подси-

стем.

Взаимодействие двух заряженных подсистем может рассматри-ваться как результат своеобразной “интерференции” электро-статических полей этих подсистем.

Каждая из подсистем создает свое поле, ��(1) и ��(2). В соот-ветствии с принципом суперпозиции, суммарное поле есть век-торная сумма (��(1) + ��(2)), а плотность энергии суммарногополя, кроме плотности энергий каждого из полей содержит пе-рекрестный член, билинейный по каждому из полей. Именноэтот перекрестный член и ответственен за электростатическоевзаимодействие двух подсистем:

𝑤 =𝜀02(��(1) + ��(2))2 =

𝜀02(��(1))2 +

𝜀02(��(2))2 + 𝜀0��

(1)��(2)

Изучим его подробнее.

130

Аналогично (155), убеждаемся, что вклад этого члена в энер-гию поля

𝑊 (12)э =

∫d𝑉 · 𝜀0��(1)��(2) =

=

∫d𝑉 · 𝜌(1)𝜙(2) =

∫d𝑉 · 𝜌(2)𝜙(1) =

=1

4𝜋𝜀0

∫d𝑉 d𝑉 ′

𝜌(1)(𝑟)𝜌(2)(𝑟′)

|�� − �� ′|(163)

тождественен энергии кулоновского взаимодействия заряжен-ных подсистем.

131

4.5 Энергия системы зарядов во внешнем по-

ле

Рассмотрим теперь взаимодействие системы зарядов 𝜌(𝑟) с внеш-ним электрическим полем c потенциалом 𝜙ext(𝑟):

𝑊 extэ =

∫d𝑉 · 𝜌(�� )𝜙ext(�� ) (164)

В случае, когда на размерах системы поле меняется слабо, мож-но поле разложить на размерах системы в ряд Тейлора

𝜙ext(�� = ��0 + �� ′) = 𝜙ext(��0) + �� ′∇𝜙ext(��0) + . . .

𝜙ext(��0)− �� ′��ext(��0) + . . . (165)

где ��0 выбран в центре распределения зарядов системы.Подстановка разложения в (164) дает для энергии взаимо-

132

действия

𝑊 extэ = 𝜙ext(��0) ·

∫d𝑉 ′ · 𝜌(𝑟′)− ��ext(��0)

∫d𝑉 ′ · �� ′𝜌(�� ′) =

= 𝜙ext(��0) · 𝑞 − ��ext(��0)𝑑 (166)

В случае одиночного точечного заряда, расположенного вточке ��, его потенциальная энергия равна

𝑊 extэ = 𝑒𝜙ext(��) = 𝑈(��)

Для электрического диполя во внешнем поле

𝑊 extэ = −��ext(��)𝑑 = 𝑈(��) (167)

Сила и момент сил, действующих на диполь

𝐹 = − grad𝑊 extэ = (𝑑∇)��ext(��) (168)

�� = [𝑑× ��ext(��)] (169)

133

4.6 Магнитная энергия в статическом случае.

Используя rot �� = 𝜇0𝑗, получим

𝑊𝑀 =

∫d𝑉

��2

2𝜇0=

1

2𝜇0

∫d𝑉 �� rot �� =

= −12

∫d𝑉(�� ��)+1

2

∫d𝑉 div[��× ��]⏟ ⏞

→0

=

= −12

∫d𝑉 �� �� (170)

Подставляя ��(��) = 𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′ ��(��

′)|��−�� ′| (см. 40) видим, что энергия

магнитного поля сводится к энергии взаимодействия токов

𝑊𝑀 = −12

∫d𝑉 �� �� = −𝜇0

4𝜋

∫d𝑉 d𝑉 ′

��(𝑟)𝑗(𝑟′)

|�� − �� ′|(171)

134

Взаимодействие двух подсистем токов

𝑊𝑀 = −𝜇04𝜋

∫1

∫2

d𝑉1d𝑉2��(𝑟1)𝑗(𝑟2)

|��1 − ��2|= −

∫1

d𝑉 ��1𝑗2 = −∫2

d𝑉 ��2𝑗1

(172)

Энергия системы токов во внешнем поле

𝑊 ext𝑀 = −

∫d𝑉 ��ext(𝑟)𝑗(𝑟) = 𝑈(𝑟) (173)

Раскладывая вектор-потенциал относительно центра ��0 систе-мы (1), получим

��(�� = ��0 + �� ′) = ��(��0) + (�� ′ ∇)��(��0) + · · · ,Подставляя

−∫

d𝑉 ��ext(𝑟)𝑗(𝑟) = −��ext(𝑟0)

∫d𝑉 ′𝑗(𝑟′)⏟ ⏞ =0

−∫

d𝑉 ′𝑗(�� ′)(�� ′ ∇)��ext

(174)

135

−∫

d𝑉 ′(�� ′ ∇)��ext𝑗(�� ′) = −∫

d𝑉 ′𝑟′𝑖𝑗𝑘(𝑟′)∇𝑖𝐴

ext𝑘 =

= −∫

d𝑉 ′[1

2(𝑟′𝑖𝑗𝑘(𝑟

′) + 𝑟′𝑘𝑗𝑖(𝑟′))

]∇𝑖𝐴

ext𝑘 +

−∫

d𝑉 ′[1

2(𝑟′𝑖𝑗𝑘(𝑟

′)− 𝑟′𝑘𝑗𝑖(𝑟′))]

⏟ ⏞ 𝜀𝑖𝑘𝑙𝑟

′𝑖𝑗𝑘(𝑟

′)

[1

2

(∇𝑖𝐴

ext𝑘 −∇𝑖𝐴

ext𝑘

)]⏟ ⏞

𝜀𝑖𝑘𝑙∇𝑖𝐴ext𝑘

=

= −��ext

∫d𝑉 ′

1

2(𝑟′𝑖𝑗𝑘(𝑟

′)− 𝑟′𝑘𝑗𝑖(𝑟′)). (175)

Энергия магнитного диполя

𝑊 ext𝑀 = −��ext(𝑟)�� = 𝑈(𝑟) (176)

Сила, действующая на магнитный диполь в неоднородном маг-нитном поле

𝐹 = −∇𝑈 = (��∇)�� (177)

136

а момент сил�� = [��× ��] (178)

137

5 Тензор энергии-импульса электромаг-

нитного поля.

Выше мы получили, что плотность энергии электромагнитногополя выражается через напряженности �� и магнитную индук-цию �� как

𝑤 =1

2

{𝜀0��

2 +1

𝜇0��2

}(179)

а поток энергии (вектор Пойнтинга)

�� =1

𝜇0

{�� × ��

}(180)

В отличии от плотности заряда и тока, образующих 4-вектор𝑗𝜇 = (𝑐𝜌, ��), плотность энергии и ее поток 4-вектора не об-разуют, т.к. энергия – в отличии от заряда – релятивистскимскаляром не является.

138

Согласно (179),(180) плотность и поток энергии поля квад-ратичны по полю, поэтому естественно ожидать, что тензорэнергии-импульса формируется как

𝑇 𝜇𝜈 =1

𝜇0

(𝑎𝐹 𝜇𝜌𝑔𝜌𝜎𝐹

𝜎𝜈 + 𝑏𝑔𝜇𝜈𝐹 𝜆𝜌𝐹𝜆𝜌)

(181)

Выпишем покомпонентно

𝐹 𝜇𝜌𝑔𝜌𝜎𝐹𝜎𝜈 =⎛⎜⎜⎜⎝

1𝑐2��2 1

𝑐 [�� × ��]𝑥1𝑐 [�� × ��]𝑦

1𝑐 [�� × ��]𝑧

1𝑐 [�� × ��]𝑥

1𝑐2𝐸2𝑥 −𝐵2

𝑧 −𝐵2𝑦

𝐸𝑥𝐸𝑦𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑦𝐸𝑥𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑧1𝑐 [�� × ��]𝑦

𝐸𝑥𝐸𝑦𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑦1𝑐2𝐸2𝑦 −𝐵2

𝑧 −𝐵2𝑥

𝐸𝑦𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑦𝐵𝑧1𝑐 [�� × ��]𝑧

𝐸𝑥𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑧𝐸𝑦𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑦𝐵𝑧1𝑐2𝐸2𝑧 −𝐵2

𝑦 −𝐵2𝑥

⎞⎟⎟⎟⎠(182)

и 𝐹 𝜆𝜌𝐹𝜆𝜌 = −2(

1𝑐2��2 − ��2

). Требование, чтобы плотность энер-

гии 𝑇 00 совпадала с (179), дает 𝑎 = 1, 𝑏 = 1/4, откуда оконча-

139

тельно

𝑇 𝜇𝜈 =

⎛⎜⎜⎝𝑤 1

𝑐𝑆𝑥1𝑐𝑆𝑦

1𝑐𝑆𝑧

1𝑐𝑆𝑥1𝑐𝑆𝑦 𝑇 𝑖𝑘1𝑐𝑆𝑧

⎞⎟⎟⎠ (183)

где 3-мерный тензор натяжений

𝑇 𝑖𝑘 =1

2×⎛⎜⎜⎝

(𝐸2𝑥−𝐸2

𝑦−𝐸2𝑧 )

𝑐2+(𝐵2

𝑥−𝐵2𝑦−𝐵2

𝑧)𝐸𝑥𝐸𝑦𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑦𝐸𝑥𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑥𝐵𝑧

𝐸𝑦𝐸𝑥𝑐2

+𝐵𝑦𝐵𝑥(𝐸2

𝑦−𝐸2𝑧−𝐸2

𝑥)

𝑐2+(𝐵2

𝑦−𝐵2𝑧−𝐵2

𝑥)𝐸𝑦𝐸𝑧𝑐2

+𝐵𝑦𝐵𝑧

𝐸𝑧𝐸𝑥𝑐2

+𝐵𝑧𝐵𝑥𝐸𝑧𝐸𝑦𝑐2

+𝐵𝑧𝐵𝑦(𝐸2

𝑧−𝐸2𝑥−𝐸2

𝑦)

𝑐2+(𝐵2

𝑧−𝐵2𝑥−𝐵2

𝑦)

⎞⎟⎟⎠(184)

Закон сохранения энергии при этом принимает вид

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ div �� =

𝜕𝑇 0𝜇

𝜕𝑥𝜇= −���� = −𝑓�� = −𝜕𝜖

𝜕𝑡(185)

140

где 𝜖 – плотность энергии частиц. В интегральной форме

𝜕𝑊

𝜕𝑡+

∮��d�� = −𝜕ℰ

𝜕𝑡. (186)

Другими словами, сумма энергии частиц ℰ =∫𝑉 𝜖d𝑉 и энергии

поля 𝑊 =∫𝑉 𝑤d𝑉 сохраняется, если полный поток энергии

через охватывающую поверхность равен нулю:∮��d�� = 0. (187)

Если размер области 𝑅 → ∞, площадь поверхности ∝ 𝑅2 иполный поток стремится к нулю при условии, что вектор Пойн-тинга |��| убывает быстрее, чем 𝑅−2. В случае, когда |��| ∝ 𝑅−2,поток энергии распространяется сколь угодно далеко, и мы име-ем дело с излучением электромагнитной энергии.

141

Закон сохранения импульса для электромагнитного

поля𝜕

𝜕𝑡

1

𝑐2𝑆𝑖 +

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑇 𝑖𝑘⏟ ⏞

𝜕𝜕𝑥𝜇

𝑇 𝑖𝜇

= −𝑓 𝑖 = −𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑡(188)

где 𝑝 плотность импульса частиц, а �� = 1𝑐2�� = 1

𝑐2𝜇0[�� × ��] =

𝜀0[�� × ��] – плотность импульса поля.

142

Баланс импульса можно увидеть и непосредственно из урав-нений Максвелла. Запишем производную по времени от плот-ности импульса поля

𝜕

𝜕𝑡�� = 𝜀0

[𝜕��

𝜕𝑡× ��

]+ 𝜀0

[�� × 𝜕��

𝜕𝑡

]=

= −𝑐2𝜇0𝜀0[𝑗 × ��] + 𝑐2𝜀0[rot �� × ��]− 𝜀0[�� × rot ��]

где производные по времени от полей подставлены из уравненийМаксвелла

rot �� = 𝜇0𝑗 +1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡(189)

и

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡. (190)

Далее, используя тождество

𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑙𝑚𝑘 = 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑚 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑙𝑗,143

можно преобразовать

[�� × rot ��]𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐸𝑗(rot ��)𝑘 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐸𝑗𝜀𝑘𝑙𝑚𝜕𝑙𝐸𝑚 =

= 𝐸𝑗𝜕𝑖𝐸𝑗 − (𝐸𝑗𝜕𝑗)𝐸𝑖 =1

2∇(��)2 − (∇��)�� + �� (div ��)⏟ ⏞

1𝜀0𝜌

=

=1

2∇(��)2 − (∇��)�� +

��

𝜀0𝜌 (191)[

�� × rot ��]=

1

2∇(��)2 − (∇��)�� + �� (div ��)⏟ ⏞

=0

=

=1

2∇(��)2 − (∇��)�� (192)

144

В итоге получаем{𝜕

𝜕𝑡�� + 𝜌

(�� + [𝑣 × ��]

)}𝑖

=

= −∇𝑖1

2

{𝜀0��

2 +1

𝜇0��2

}+ 𝜀0∇𝑘(𝐸𝑖𝐸𝑘) +

1

𝜇0∇𝑘(𝐵𝑖𝐵𝑘)

(193)

Правая часть представляет собой полную производную и приинтегровании по объему сводится к интегралу от тензора на-тяжений по охватывающей объем поверхности:

∮d𝑠𝑘𝑇 𝑖𝑘. При

стремлении размеров области к бесконечности, при достаточ-но быстром убывании полей она обратится в ноль, что означа-ет сохранения суммарного импульса электромагнитного поля ивзаимодействующих с ним частиц.

145

6 Электромагнитные волны.

Рассмотрим уравнения Максвелла в пустоте в отсутствии ис-точников (или когда источники находятся на бесконечности):

div �� = 0, (194)

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡, (195)

div �� = 0, (196)

rot �� =1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡, (197)

где �� = rot ��, �� = −∇𝜙 − 𝜕��𝜕𝑡 . Отметим, что эти уравнения

симметричны относительно замены 𝐸 ←→ 𝑖𝐵𝑐, т.е. магнитноеи электрическое поле входят в них равноправным образом! Этасимметрия отсутствует, однако, на уровне потенциалов.

Легко увидеть, что нетривиальные решения возникают лишь

для полей, зависящих от времени: 𝜕��𝜕𝑡 = 0, 𝜕��𝜕𝑡 = 0.

146

6.1 Волновые уравнения.

Подстановкой одного уравнения в другое нетрудно получить:

rot rot �� = − 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2=⇒ Δ�� − 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2= 0, (198)

rot rot �� = − 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2=⇒ Δ�� − 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2= 0, (199)

где использовано тождество

rot rot �� = −Δ�� + ∇(div ��), (200)

и отсутствие зарядов, не только магнитных

div �� = 0,

но — в рассматриваемом случае свободного электромагнитногополя — и электрических тоже:

div �� = 0. (201)

147

Выражая поля через потенциалы, из уравнений Максвеллав отсутствии источников получим

div �� = div

(−∇𝜙− 𝜕��

𝜕𝑡

)= −Δ𝜙+ 1

𝑐2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2− 𝜕𝜕𝑡

(1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡+ div ��

)= 0,

rot rot �� = −Δ�� + ∇(div ��) = 1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡=

1

𝑐2𝜕

𝜕𝑡

(−∇𝜙− 𝜕��

𝜕𝑡

)

откуда −Δ�� +1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2= −∇

(1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡+ div ��

).

Выбирая калибровку Лоренца 1𝑐2𝜕𝜙𝜕𝑡 +div �� = 0, получим волно-

вые уравнения для потенциалов (см. (63), (64) и (97) ):

1

𝑐2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2−Δ𝜙 = 0, (202)

1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2−Δ�� = 0 (203)

148

6.2 Решение волновых уравнений. Избыточ-

ность решений.

Частным решением волновых уравнений являются т.н. плоскиеволны

𝜙(��, 𝑡) = 𝜙(𝑡− ����

𝑐), (204)

��(��, 𝑡) = ��(𝑡− ����

𝑐), (205)

где �� – единичный вектор в направлении распространения вол-ны. Аналогичные решения справедливы и для полей ��, ��.

На первый взгляд решение содержит 4 произвольных функ-ции. на самом деле степень произвола значительно меньше.

149

Пусть �� параллельно оси 𝑥, и пусть 𝜙 = 𝜙(𝑡− ����𝑐 ) = 0, тогда

из калибровочного условия Лоренца:

1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡=

1

𝑐2𝜙′ = −𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥=

1

𝑐𝐴′𝑥 откуда 𝐴𝑥 =

𝜙

𝑐(206)

Легко показать, что вклад продольной компоненты 𝐴‖ ≡ 𝐴𝑥 вполя равен нулю:

�� = rot ��𝑥 = 0; ��‖ = −𝜕𝜙

𝜕𝑥−𝜕𝐴‖𝜕𝑡

= 0.

Итак, в нашей калибровке можно без потери общности поло-жить

𝜙 ≡ 0, 𝐴‖ = 0; (207)

и отличными от нуля остается лишь поперечная часть вектор-потенциала ��⊥ = 0. Равенство нулю продольных компонент𝐸‖ = 𝐵‖ = 0 следует также из уравнений div �� = 0, div �� = 0.

150

Окончательно, в общем случае решения в виде плоской вол-ны можно представить в виде, содержащим лишь поперечныекомпоненты вектор-потенциала:

�� = ��⊥, (208)

�� = −𝜕��𝜕𝜏

, где 𝜏 = 𝑡− ����

𝑐, (209)

�� = −1𝑐

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

]=

1

𝑐

[��× ��

]. (210)

В такой записи магнитное поле заведомо поперечно, �� ⊥ ��.Можно также переписать выражение для электрического

поля в заведомо поперечном виде

�� = ��×

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

]. (211)

Последнее выражение остается справедливым и в калибровках,

151

в которых продольная составляющая вектор-потенциала отлич-на от нуля. Легко легко также увидеть, что в плоской волне ��и �� не только поперечны, но и взаимно перпендикулярны:

���� = 0; ���� = 0; ���� = 0. (212)

Плотность энергии в плоской волне

𝑤 =1

2

{𝜀0��

2 +1

𝜇0��2

}= 𝜀0��

2 =1

𝜇0��2 (213)

т.к.√𝜀0𝐸 = 𝐵/

√𝜇0. Очевидно также, что плотность потока

энергии

�� =1

𝜇0

[�� × ��

]= ��𝑐𝑤, (214)

т.е. электромагнитная энергия в плоской волне распространя-ется со скоростью света.

152

6.3 Сферические волны.

Для точечного источника, расположенного в начале координат,решение для потенциалов

𝜙(��, 𝑡) =1

𝑟𝑓 (𝑡− 𝑟

𝑐) (215)

��(��, 𝑡) =1

𝑟��(𝑡− 𝑟

𝑐) (216)

описывает расходящиеся сферические волны. Для напряженно-стей полей, аналогично случаю плоской волны, имеем

�� =1

𝑟

[��×

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

]](217)

�� = −1𝑐

1

𝑟

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

](218)

где 𝜏 = 𝑡− 𝑟/𝑐.

153

6.4 Монохроматические плоские и сфериче-

ские волны.

Пусть зависимость полей от времени и координат имеет вид

��(��, 𝑡) = ��0e𝑖(����−𝜔𝑡), (219)

��(��, 𝑡) = ��0e𝑖(����−𝜔𝑡), (220)

(где ��0 = 𝑐[�� × ��0]). Это решение описывает монохромати-

ческую плоскую волну с частотой 𝜔 и волновым вектором ��,𝑘 = 𝜔/𝑐, или �� = ��𝑘. Длина волны 𝜆 = 2𝜋/𝑘, а период𝑇 = 2𝜋/𝜔.

Аналогичное решение для сферической волны

��(��, 𝑡) = ��01

𝑟e𝑖(𝑘𝑟−𝜔𝑡), (221)

��(��, 𝑡) = ��01

𝑟e𝑖(𝑘𝑟−𝜔𝑡). (222)

154

Комплексные вектора ��0, ��0 и ��0, ��0 описывают амплитуду |𝐸0|и фазу 𝜙 волны:

��0 = |𝐸0| · e𝑖𝜙

Волновое уравнение является линейным уровнением второгопорядка, и два линейно независимых решения описываются какмнимая и действительная часть данного решения (еще односледствие линейности уравнений Максвелла!).

В определении квадратичных величин – таких, как плот-ность энергии, поток энергии при этом необходимо умножениеквадрат модуля амплитуды на дополнительный фактор 1

2 (сред-нее значение от cos2, sin2)

155

Несколько слов о поляризации волны.Вектора ��0, ��0 и ��0, ��0 лежат в двумерной плоскости, пер-

пендикулярной направлению распространения волны ��. Выбе-рем в качестве базиса два вектора ��1, ��2, так, что ��1⊥�� и ��2 =[𝑒1 × ��]. Пусть ��0 = 𝛼1��1e

𝑖𝜙1 + 𝛼2��2e𝑖𝜙2, где 𝛼1,2 и 𝜙1,2 – веще-

ственные числа.Тогда,а) при 𝜙1 = 𝜙2 Re ��(𝑡) колеблется вдоль некоторого направ-

ления – случай линейной поляризации;б) при 𝜙1 = 𝜙2+𝜋/2 Re ��(𝑡) колеблется по эллипсу – случай

эллиптической поляризации.

156

6.5 Волновые пакеты. Фазовая и групповая

скорость.

Рассмотрим для простоты одномерный волновой пакет, т.е. со-бранный из плоских монохроматических волн, распространяю-щихся в одном направлении

𝜙(𝑥, 𝑡) =1

2𝜋

∫ ∞−∞

d𝑘𝑔(𝑘)e𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡) (223)

В частности, в 3-мерном пространстве

𝜙(𝜉, 𝑡) =1

2𝜋

∫ ∞−∞

d𝑘𝑔(𝑘)e𝑖(𝑘𝜉−𝜔𝑡),

где 𝜉 = ����. Пусть амплитуда 𝑔(𝑘) = 0 сосредоточена в узкойобласти вблизи 𝑘 = 𝑘0.

157

Покажем, что огибающая (профиль) пакета распространя-ется с т.н. групповой скоростью

𝑣гр =

(𝜕𝜔(𝑘)

𝜕𝑘

)𝑘=𝑘0

, (224)

т.е.𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝐺(𝑥− 𝑣гр𝑡) · e𝑖(𝑘0𝑥−𝜔0𝑡) (225)

где 𝜔0 = 𝜔(𝑘0). Действительно, разлагая вблизи 𝑘 = 𝑘0

𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡 ≈ (𝑘0𝑥−𝜔(𝑘0)𝑡)+(𝑘−𝑘0) ·

[𝑥−

(𝜕𝜔(𝑘)

𝜕𝑘

)𝑘0

· 𝑡

]+ . . .

и подставляя в (223), получим

𝜙(𝑥, 𝑡) =

{1

2𝜋

∫ ∞−∞

d𝑘𝑔(𝑘)e𝑖(𝑘−𝑘0)·(𝑥−𝑣гр𝑡)}

⏟ ⏞ 𝐺(𝑥−𝑣гр𝑡)

·e𝑖(𝑘0𝑥−𝜔0𝑡),

что и требовалось доказать.

158

Подчеркнем, что групповая скорость отличается от фазо-вой скорости

𝑣ф =𝜔

𝑘(226)

которая описывает скорость распространения фронта постоян-ной фазы (𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡) = const. Для света в вакууме 𝑣ф = 𝑣гр =𝑐.

Задача 32 Найти фазовую и групповую скорости для электромагнитной

волны в волноводе сечением 𝑙𝑥 × 𝑙𝑦.

159

6.6 Эффект Доплера.

Распространение монохроматической волны описывается фор-мулой

𝜙 ∝ exp[𝑖(���� − 𝜔𝑡)

],

где |𝑘| = 𝜔/𝑐. Фаза волны

𝜃 ≡ ���� − 𝜔𝑡 = −𝑘𝜇𝑥𝜇

является релятивистским скаляром, и поскольку 𝑥𝜇 = (𝑐𝑡, ��)

– 4-вектор, 4-компонентный сомножитель 𝑘𝜇 = (𝜔/𝑐, ��) такжедолжен быть 4-вектором.

Применяя к нему преобразования Лоренца, получим

160

закон преобразования его компонент

��′‖ = 𝛾 ·(��‖ − ��

𝜔

𝑐2

)(227)

��′⊥ = ��⊥ (228)

𝜔′ = 𝛾 ·(𝜔 − ����

)=

= 𝛾 ·(𝜔 − 𝜔

𝑐𝑣 cos 𝜃

)= 𝛾𝜔 ·

(1− 𝑣

𝑐cos 𝜃

)(229)

Пусть источник волны c частотой 𝜔0 покоится в системе (𝑥′),движущейся относительно неподвижного в (𝑥) наблюдателя соскоростью 𝑣 (т.е. 𝜔′ ≡ 𝜔0), тогда из последнего уравнения вчастота в системе отсчета наблюдателя (𝑥) равна:

𝜔 =

√1− 𝑣2/𝑐2

1− 𝑣𝑐 cos 𝜃

𝜔0, (230)

(здесь 𝜃 — угол прихода волны также в системе отсчета наблю-дателя).

161

В нерелятивистском пределе 𝛽 ≡ 𝑣/𝑐≪ 1 эффект Доплерапринимает вид

𝜔 = (1 + 𝛽 cos 𝜃)𝜔0.

В поперечном направлении 𝜃 = 𝜋/2 нерелятивистский эффектДоплера отсутствует, а точная формула (230) дает

𝜔 =√1− 𝛽2𝜔0 = 𝜔0/𝛾, (231)

отражая простой факт замедления времени в движущейся от-носительно (𝑥) релятивистской системе отсчета (𝑥′).

162

Рассмотрим теперь преобразование угла распространенияволны. Пусть источник в системе (𝑥′) излучает под углом 𝜃′;найдем угол, под которым распространяется волна в системеотсчета наблюдателя (𝑥). Для этого поделим уравнение (228)на уравнение (227):

tg 𝜃′ =1

𝛾

sin 𝜃

(cos 𝜃 − 𝛽). (232)

Передняя полусфера в системе источника (𝑥′) 0 < 𝜃′ 6 𝜋/2отвечает в системе наблюдателя

1 > cos 𝜃 > 𝛽. (233)

причем угол в системе источника 𝜃′ = 𝜋/2 соответствует в си-стеме наблюдателя cos 𝜃 − 𝛽 = 0.

163

В ультрарелятивистском пределе 𝛾 ≫ 1, 𝛽 → 1, разлагаяcos 𝜃 ≈ 1− 𝜃2/2, имеем

cos 𝜃 − 𝛽 ≈ 1− 𝜃2/2− 𝛽 = (1− 𝛽)− 𝜃2/2 = 0

откуда𝜃2 = 2(1− 𝛽) ≈ (1 + 𝛽)(1− 𝛽) = 1/𝛾2.

Таким образом, передняя полусфера в системе источника вультрарелятивистском случае сжимается с точки зрения наблю-дателя в узкий конус 𝜃 . 1/𝛾 ≪ 1.

Задача 33 Как искажается карта звездного неба для космонавта, двига-

ющегося с ультрарелятивистской скоростью, 𝛾 ≫ 1?

Рекомендую: “Тау-ноль” (Пол Андерсон).ссылка 1 иссылка2 + отзывы

164

7 Запаздывающие потенциалы и поля.

7.1 Поле равномерно движущегося заряда.

Пусть точечный заряд 𝑒 движется в лабораторной системе (𝑥)(системе наблюдателя) со скоростью �� паралельно оси 𝑥. В соб-ственной системе отсчета (𝑥′) заряд покоится в начале системыкординат 𝑥′ = 𝑦′ = 𝑧′ = 0, и соответствующее поле заряда рав-но

𝜙′ =𝑒

4𝜋𝜀0𝑅′; ��′ = 0. (234)

Пусть также в момент 𝑡 = 0 начала обеих систем координатсовпадают:

𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥′ = 0, 𝑦(𝑡 = 0) = 𝑦′ = 0, и 𝑧(𝑡 = 0) = 𝑧′ = 0.

Используя преобразования Лоренца для потенциалов

𝜙 = 𝛾 · (𝜙′ + 𝑣𝐴′𝑥), 𝐴𝑥 = 𝛾 · (𝐴′𝑥 +𝑣

𝑐2𝜙′),

165

в лабораторной системе системе получим

𝜙 =𝑒

4𝜋𝜀0

1

𝑅′√1− 𝑣2/𝑐2

= 𝛾1

4𝜋𝜀0

𝑒

𝑅′,

𝐴𝑥 =𝑣

𝑐2𝑒

4𝜋𝜀0

1

𝑅′√1− 𝑣2/𝑐2

= 𝛾𝜇04𝜋𝑣𝑥𝑒

𝑅′,

где 𝑅′ =√𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 – расстояние до наблюдателя в систе-

ме покоя заряда. Учитывая преобразования

𝑥′ = 𝛾 · (𝑥− 𝑣𝑡), 𝑦′ = 𝑦, 𝑧′ = 𝑧,

выразим 𝑅′ через координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 в лабораторной системе(в системе наблюдателя):

𝑅′ = 𝛾√(𝑥− 𝑣𝑡)2 + (1− 𝛽2)(𝑦2 + 𝑧2), (235)

где 𝛽 ≡ 𝑣/𝑐.

166

Введение “эффективного расстояния” 𝑅* = 𝑅′/𝛾, определяемо-го как

𝑅* =√(𝑥− 𝑣𝑡)2 + (1− 𝛽2)(𝑦2 + 𝑧2), (236)

позволяет потенциалы записать в виде, напоминающем соот-ветствующий результат в нерелятивистском пределе

𝜙 =1

4𝜋𝜀0

𝑒

𝑅*, �� =

𝜇04𝜋��𝑒

𝑅*. (237)

“Эффективное расстояние” 𝑅* можно выразить также черезугол между �� и ��:

𝑅* = 𝑅

√1− 𝛽2 sin2 𝜃 (238)

где 𝑅 — расстояние до заряда в лабораторной системе (𝑥):

𝑅 =√(𝑥− 𝑣𝑡)2 + 𝑦2 + 𝑧2 (239)

167

Аналогичным образом можно найти поля быстро движуще-гося заряда. Записывая в системе покоя заряда выражения дляполей

�� ′ =𝑒��′

4𝜋𝜀0𝑅′3; ��′ = 0,

и используя соответствующие релятивистские преобразованиядля полей

��‖ = �� ′‖; ��⊥ = 𝛾(�� ′⊥ − [𝑣 × ��′]) = 𝛾�� ′⊥,

��‖ = ��′‖; ��⊥ = 𝛾(��′⊥ +1

𝑐2[𝑣 × �� ′]) = 𝛾

1

𝑐2[𝑣 × �� ′] = 1

𝑐2[𝑣 × ��](240)

в лабораторной системе имеем

𝐸𝑥 =𝑒𝑥′

4𝜋𝜀0𝑅′3=

1

4𝜋𝜀0

𝑒

𝛾3𝑅*3𝛾 · (𝑥− 𝑣𝑡) = 1

4𝜋𝜀0

𝑒 · (𝑥− 𝑣𝑡)𝛾2𝑅*3

,

��⊥ = 𝛾�� ′⊥ =1

4𝜋𝜀0𝛾𝑒��⊥𝑅′3

=1

4𝜋𝜀0

𝑒��⊥

𝛾2𝑅*3

168

Объединяя эти формулы, получим

�� =1

4𝜋𝜀0(1− 𝛽2)

𝑒��

𝑅*3=

1

4𝜋𝜀0

𝑒��(1− 𝛽2)

𝑅3(1− 𝛽2 sin2 𝜃)3/2, (241)

что, в соответствии с (240) для магнитного поля дает:

�� =1

𝑐2[𝑣 × ��]. (242)

Напомним, что радиус-вектор �� = (𝑥 − 𝑣𝑡, 𝑦, 𝑧) = �� − ��𝑒(𝑡),где �� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) и ��𝑒 = (𝑣𝑡, 0, 0) – положение в лабораторнойсистеме наблюдателя и точечного заряда, соответственно.

169

7.2 Решение уравнений Максвелла с задан-

ными источниками, учет запаздывания.

В лоренцевской калибровке

div �� +1

𝑐2𝜕𝜙

𝜕𝑡= 0 (243)

потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют волновомууравнению с правой частью:

∇2𝜙− 1

𝑐2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2= − 1

𝜀0𝜌 (244)

∇2��− 1

𝑐2𝜕2��

𝜕𝑡2= −𝜇0𝑗 (245)

170

Для решения этих уравнений полезно перейти от временного(𝑡) к спектральному (или частотному) представлению (𝜔):

𝜙(𝑟, 𝑡) = 12𝜋

∫∞−∞ d𝜔e−𝑖𝜔𝑡𝜙𝜔(𝑟), 𝜌(𝑟, 𝑡) = 1

2𝜋

∫∞−∞ d𝜔e−𝑖𝜔𝑡𝜌𝜔(𝑟),

��(𝑟, 𝑡) = 12𝜋

∫∞−∞ d𝜔e−𝑖𝜔𝑡��𝜔(𝑟), ��(𝑟, 𝑡) = 1

2𝜋

∫∞−∞ d𝜔e−𝑖𝜔𝑡𝑗𝜔(𝑟),

в котором уравнения (243),(244),(245) принимают вид

∇2𝜙𝜔 + 𝑘2𝜙𝜔 = − 1

𝜀0𝜌𝜔, (246)

∇2��𝜔 + 𝑘2��𝜔 = −𝜇0𝑗𝜔, (247)

div ��𝜔 −𝑖𝑘

𝑐𝜙𝜔 = 0. (248)

и где использовано 𝑘 = 𝜔𝑐 .

Полученные уравнения не содержат зависимости от време-ни, напоминая обсуждавшиеся ранее уравнения для статиче-ского распределения зарядов и токов.

171

Как и в статическом случае, решения этих уравнений ввидулинейности могут быть получены методом функции Грина:

𝜙𝜔(��) = − 1

𝜀0

∫d𝑉 ′𝐺𝜔(�� − �� ′)𝜌𝜔(�� ′) (249)

��𝜔(��) = −𝜇0∫

d𝑉 ′𝐺𝜔(�� − �� ′)𝑗𝜔(�� ′) (250)

где функция Грина 𝐺𝜔(��− �� ′) удовлетворяет уравнению Гельм-гольца для “точечных” источников:

∇2𝐺𝜔(��) + 𝑘2𝐺𝜔(��) = 𝛿(��). (251)

По сути, это отражение того факта, что произвольное распреде-ление плотности (например, зарядов) может быть “набрано” източечных источников, и соответствующие им потенциалы и по-ля являются суммой от потенциалов и полей соответствующихточечных источников.

Тем самым, решение исходной задачи для произвольных ис-точников свелось к задаче (251) для точечного источника.

172

Дальнейший переход в (251), теперь уже к импульсномупредставлению при подстановке в (251)

𝐺𝜔(��) =1

(2𝜋)3

∫d3𝑘′e𝑖𝑘

′��𝐺𝜔(𝑘′) (252)

дает

𝐺𝜔(𝑘′) =

1

𝑘2 − 𝑘′2(253)

Это выражение имеет полюса 𝑘′2 = 𝑘2. Для удовлетворенияпринципа причинности необходимо доопределить правило об-хода полюсов. Выбор

𝑘′ = ±√𝑘2 + 𝑖𝜀

𝜔

𝑐(254)

где бесконечно малая 𝜀 > 0 дает нам требуемую запаздываю-щую функцию Грина.

173

“Запаздывающая” функция Грина описывает решение в видерасходящихся волн:

𝐺ret𝜔 (��) = lim

𝜀→0

1

(2𝜋)3

∫d3𝑘′e𝑖𝑘

′�� 1

𝑘2 − 𝑘′2 + 𝑖𝜀𝜔𝑐=

= − 1

4𝜋

e𝑖𝑘𝑅 𝜔

|𝜔|

𝑅= − 1

4𝜋

e𝑖𝜔𝑐𝑅

𝑅. (255)

Фактически она описывает решение для единичного заряда,умноженное на фазовый множитель e𝑖

𝜔𝑐𝑅, учитывающий набег

фазы на расстоянии 𝑅, при распространении волны с частотой𝜔 из точки испускания в точку наблюдения.

174

Именно этот набег фазы отличает соответствующее решениедля запаздывающих потенциалов в спектральном представле-нии:

𝜙𝜔(��) =1

4𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′e𝑖

𝜔𝑐𝑅𝜌𝜔(��

′)

𝑅(256)

��𝜔(��) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′e𝑖

𝜔𝑐𝑅��𝜔(��

′)

𝑅(257)

от статических решений (26).Переходя от спектрального к временному представлению, по-лучим запаздывающие потенциалы

𝜙(��, 𝑡) =1

4𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′

𝜌(�� ′, 𝑡−𝑅/𝑐)𝑅

(258)

��(��, 𝑡) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′

��(�� ′, 𝑡−𝑅/𝑐)𝑅

(259)

в правую часть которых явным образом вошло время распро-странения волны от источника до наблюдателя, равное 𝑅/𝑐.

175

7.3 Поля произвольно движущегося точечно-

го заряда.

7.3.1 Потенциалы Лиенара-Вихерта.

Рассмотрим случай произвольно движущегося точечного заря-да

𝜌(��, 𝑡) = 𝑒𝛿(�� − ��0(𝑡)); (260)

��(��, 𝑡) = 𝑒��(𝑡)𝛿(�� − ��0(𝑡)); (261)

где ��(𝑡) ≡ d��0(𝑡)/d𝑡.Переходя к спектральному представлению для плотности

движущегося точечного заряда и тока

𝜌𝜔(��) =

∫ ∞−∞

d𝜏e𝑖𝜔𝜏𝑒𝛿(�� − ��0(𝜏 )) (262)

��𝜔(��) =

∫ ∞−∞

d𝜏e𝑖𝜔𝜏𝑒��𝛿(�� − ��0(𝜏 )) (263)

176

и подставляя их в (256),(257), для потенциалов в спектральномпредставлении, получим

𝜙𝜔(��) =1

4𝜋𝜀0

∫d𝑉 ′e𝑖

𝜔𝑐𝑅

1

𝑅

∫ ∞−∞

d𝜏e𝑖𝜔𝜏𝑒𝛿(��′ − ��0(𝜏 ))⏟ ⏞ 𝜌𝜔(𝑟′)

=

=𝑒

4𝜋𝜀0

∫ ∞−∞

d𝜏1

𝑅(𝜏 )e𝑖(𝜔𝜏+

𝜔𝑐𝑅(𝜏)), (264)

��𝜔(��) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′e𝑖

𝜔𝑐𝑅

1

𝑅

∫ ∞−∞

d𝜏e𝑖𝜔𝜏𝑒��𝛿(�� − ��0(𝜏 ))⏟ ⏞ 𝑗𝜔(𝑟′)

=

=𝜇0𝑒

4𝜋

∫ ∞−∞

d𝜏��(𝜏 )

𝑅(𝜏 )e𝑖(𝜔𝜏+

𝜔𝑐𝑅(𝜏)). (265)

177

Потенциалы во временном представлении получаются с по-мощью обратного преобразования Фурье:

𝜙(��, 𝑡) =

∫ ∞−∞

d𝜔

2𝜋e−𝑖𝜔𝑡𝜙𝜔(��) =

𝑒

4𝜋𝜀0

∫ ∞−∞

d𝜔

2𝜋

∫ ∞−∞

d𝜏1

𝑅(𝜏 )e𝑖(𝜔(𝜏−𝑡)+

𝜔𝑐𝑅(𝜏)) =

=𝑒

4𝜋𝜀0

∫ ∞−∞

d𝜏1

𝑅(𝜏 )𝛿

(𝜏 − 𝑡 + 𝑅(𝜏 )

𝑐

)=

1

4𝜋𝜀0

𝑒

𝑅(𝜏 )

1dd𝜏 (𝜏 +𝑅(𝜏 )/𝑐)

==

𝑒

4𝜋𝜀0

1

𝑅(𝜏 ) (1− ����/𝑐), (266)

где использовано

d

d𝜏𝑅(𝜏 ) ≡ (�� − ��0(𝜏 ))

|�� − ��0(𝜏 )|d

d𝜏(�� − ��0(𝜏 )) = −����

178

Аналогично, для векторного потенциала имеем

��(��, 𝑡) =

∫ ∞−∞

d𝜔

2𝜋e−𝑖𝜔𝑡��𝜔(��) =

=𝜇04𝜋

𝑒��

𝑅(𝜏 ) (1− ����/𝑐)=��

𝑐2𝜙 (267)

В правой части (266) и (267) зависящие от времени величиныберутся в момент времени 𝜏 , определяемый из уравнения

𝑡− 𝜏 = 𝑅(𝜏 )/𝑐 (268)

Полученные выражения (266) и (267) называются потенциала-ми Лиенара-Вихерта.

179

7.3.2 Поля точечного заряда.

Напряженности полей могут быть вычислены непосредственноиз потенциалов (266) и (267), однако при вычислении произ-водных необходимо учесть, что потенциалы в момент времени𝑡 на самом деле выражены через величины, заданные в моментвремени 𝜏 , где 𝑡 = 𝜏 +𝑅(𝜏 )/𝑐:

𝜕

𝜕𝑡=𝜕𝜏

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝜏=

1

(1− ����/𝑐)𝜕

𝜕𝜏(269)

∇|𝑡=const = ∇|𝜏=const + (∇𝜏 ) 𝜕𝜕𝜏

=

= ∇|𝜏=const −��

𝑐 · (1− ����/𝑐)𝜕

𝜕𝜏(270)

180

Вычисления дают

�� =𝑒

4𝜋𝜀0

1− 𝑣2/𝑐2

(1− ����/𝑐)3��− ��/𝑐𝑅2

+

+𝑒

4𝜋𝜀0

1

𝑐2 (1− ����/𝑐)3[��× [(��− ��/𝑐)× ��]]

𝑅, (271)

�� =1

𝑐[��× ��] (272)

Напомним, что положение, скорость и ускорение в этих фор-мулах берутся в момент времени 𝜏 = 𝑡− 𝑅(𝜏 )/𝑐, где 𝑅(𝜏 )/𝑐 —время, необходимое для распространения поля от источника донаблюдателя.

Поле распадается на два слагаемых: первое зависит от ко-ординаты заряда ��0 и его скорости �� и убывает с расстоянием∝ 𝑅−2, второе же зависит еще и от ускорения �� = ˙𝑣, но убываетс расстоянием как ∝ 𝑅−1.

181

Первое слагаемое доминирует в области вблизи движуще-гося заряда, называемой квазистатической зоной, второе – вобласти на больших расстояниях, называемой волновой зоной.

182

7.3.3 Поля в квазистатической зоне, связь с полем рав-номерно движущегося заряда.

Основной вклад в квазистатической зоне дает слагаемое

��(��, 𝑡) =𝑒

4𝜋𝜀0

1− 𝑣2/𝑐2

(1− ����/𝑐)3��− ��/𝑐𝑅2

𝜏=𝑡−𝑅(𝜏)/𝑐

, (273)

�� =1

𝑐[��× ��].

Итак, в квазистатической зоне поля не зависят от ускорения испадают ∝ 𝑅−2.

Поле в точке наблюдения �� в момент времени 𝑡 определяет-ся, согласно (273), положением заряда ��0 и его скоростью �� вмомент времени 𝜏 = 𝑡−𝑅(𝜏 )/𝑐.

183

Введем радиус-вектор𝑅 описывающий “эффективное поло-

жение” заряда, в котором заряд оказался бы в момент вре-мени 𝑡, если, начиная с момента 𝜏 , он продолжал бы двигатьсяс постоянной скоростью �� = ��(𝜏 ):𝑅 = ��−[��0(𝜏 ) + (𝑡− 𝜏 )��] = �� − ��0(𝜏 )⏟ ⏞

��(𝜏)

− (𝑡− 𝜏 )⏟ ⏞ 𝑅(𝜏)/𝑐

�� = 𝑅(𝜏 )·(��− ��

𝑐

)Выразим поля в квазистатической зоне через

𝑅:

��(��, 𝑡) =1

4𝜋𝜀0

𝑒𝑛��2

1− 𝑣2/𝑐2(1− 𝑣2

𝑐2sin2 𝜃

)3/2 , (274)

��(��, 𝑡) =𝜇04𝜋

𝑒 · [𝑣 × 𝑛]��2

1− 𝑣2/𝑐2(1− 𝑣2

𝑐2sin2 𝜃

)3/2 = 1

𝑐[��× ��]. (275)

Эти выражения по виду совпадают с результатами (241),(242)для заряда, движущегося с постоянной скоростью �� = ��(𝜏 ).

184

В нерелятивистском пределе (𝑣/𝑐≪ 1)

��(��, 𝑡) =1

4𝜋𝜀0

𝑒𝑛��2, (276)

��(��, 𝑡) =𝜇04𝜋

𝑒 · [𝑣 × 𝑛]��2

, (277)

электрическое поле сферически симметрично, а магнитное полемало: 𝑐|��|/|�� � 𝑣/𝑐≪ 1.

В ультрарелятивистском случае (𝑣/𝑐 → 1) поля велики вузкой области Δ𝜃 ∼ 1/𝛾 вблизи плоскости, перпендикулярнойскорости частицы и проходящей через ее эффективное положе-ние в момент 𝑡.

Квазистатическое поле перемещается вместе с зарядом,не отрываясь от него, и не дает вклада в излучение.

185

7.3.4 Поле в волновой зоне, излучение.

На достаточно больших расстояниях, в т.н. волновой зоне, поляопределяются вторым слагаемым в (271):

��(��, 𝑡) =𝑒

4𝜋𝜀0

1

𝑐2 (1− ����/𝑐)3[��× [(��− ��/𝑐)× ��]]

𝑅, (278)

��(��, 𝑡) =1

𝑐[��× ��]. (279)

которое описывает расходящиеся сферические волны: поля ��и �� убывают пропорционально 𝑅−1, а полный поток энергии∝ 4𝜋𝑅2 · 1

𝜇0[�� × ��]→ const.

186

Согласно (217), (218) для сферической волны поля могутбыть выражены также и через производную вектор-потенциала(267) по времени

��(��, 𝑡) =

[��×

[��× 𝜕��

𝜕𝑡

]]=

1

1− ����/𝑐

[��×

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

]],

(280)

��(��, 𝑡) = −1𝑐

[��× 𝜕��

𝜕𝑡

]=

1

1− ����/𝑐

[��× 𝜕��

𝜕𝜏

]. (281)

Интенсивность излучения (поток энергии, измеряемый наблю-дателем) в заданный телесный угол dΩ равна

d𝐼(𝜃, 𝜙) = 𝑐𝜀0𝐸2 ·𝑅2dΩ =

𝑒2

4𝜋𝜀0

[��× [(��− ��/𝑐)× ��]]2

𝑐3 (1− ����/𝑐)6dΩ

4𝜋. (282)

187

Изменение энергии заряженной частицы 𝑊 в единицу вре-мени за счет излучения в заданный телесный угол dΩ соответ-ственно равно:

− d2𝑊

dΩd𝜏dΩ =

d𝑡

d𝜏· d𝐼(𝜃, 𝜙) = (1− ����/𝑐) d𝐼(𝜃, 𝜙) =

=𝑒2

4𝜋𝜀0

[��× [(��− ��/𝑐)× ��]]2

𝑐3 (1− ����/𝑐)5dΩ

4𝜋. (283)

Интегрирование по всем направлениям дает

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑎2 −[��𝑐 × ��

]2𝑐3(1− 𝑣2

𝑐2)3

(284)

188

8 Излучение электромагнитных волн.

8.1 Характер излучения в нерелятивистском

и ультрарелятивистском случаях, угловое

распределение.

В нерелятивистком пределе выражение (283) для излуча-емой мощности дает

− d2𝑊

dΩd𝜏dΩ =

𝑒2

4𝜋𝜀0

[��× ��]2

𝑐3dΩ

4𝜋=

1

4𝜋𝜀0

[��× ¨𝑑]2

𝑐3dΩ

4𝜋, (285)

где 𝑑(𝑡) ≡ 𝑒��(𝑡) — дипольный момент заряда, движущегося потраектории �� = ��(𝑡).

Мы видим, что в нерелятивистском приближении излу-чение точечного заряда носит дипольный характер.

189

Угловое распределение зависит от конкретной зависимости𝑑(𝑡). В частности, пусть зависимость 𝑑(𝑡) = 𝑑0 cos𝜔0𝑡, и пусть

𝑑0‖𝑧, тогда интенсивность излучения

d𝐼(𝜃, 𝜙) =1

4𝜋𝜀0

𝜔4|𝑑0|2

𝑐3cos2 𝜔0𝑡 sin

2 𝜃dΩ

4𝜋(286)

Задача 34 Пусть дипольный момент 𝑑 вращается в плоскости 𝑥𝑦, с ча-

стотой 𝜔0. Найти распределение интенсивности по углам, а также полную

интенсивность излучения.

Полная мощность дипольного излучения дается интегриро-ванием по углам:

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑎2

𝑐3=

2

3

1

4𝜋𝜀0

¨𝑑 2

𝑐3(287)

190

В ультрарелятивистском пределе основная мощностьизлучения сосредоточена в узком конусе Δ𝜃 ∼ 1/𝛾.

Если ��‖��, то

− d2𝑊

dΩd𝜏dΩ =

1

4𝜋𝜀0

[��× ¨𝑑 ]2

𝑐3 (1− ����/𝑐)5dΩ

4𝜋(288)

а полная мощность излучения

−d𝑊d𝜏

=2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑎2

𝑐3 (1− 𝑣2/𝑐2)3= (289)

=2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

| ¨𝑑|2

𝑐3 (1− 𝑣2/𝑐2)3(290)

пропорциональна 𝛾6 ! (Лиенар, 1898г)

191

Если же ��⊥�� (пусть ��‖𝑧, ��‖𝑥)

− d2𝑊

dΩd𝜏dΩ =

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑎2

𝑐3

(1− 𝑣

𝑐 cos 𝜃)2 − (1− 𝑣2

𝑐2

)sin2 𝜃 cos2𝜙(

1− 𝑣𝑐 cos 𝜃

)5 dΩ

4𝜋

(291)

и полная мощность излучения в этом случае

−d𝑊d𝜏

=2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑎2

𝑐3 (1− 𝑣2/𝑐2)2(292)

пропорциональна 𝛾4 !Обратим внимание, что при том же ускорении 𝑎 мощность

излучения в этом случае в 𝛾2 раз меньше.

192

8.2 Излучение при движении в ускорителях и

накопителях.

Ускорение частицы, движущейся во внешнем электромагнит-ном поле равно (см. (131)):

�� =1

𝑚

√1− 𝑣2

𝑐2

{𝐹 𝑒 − ��

𝑐2

(��𝐹 𝑒

)}(293)

где

𝐹 𝑒 = 𝑒(��𝑒 +

[�� × ��𝑒

])(294)

Подстановка ускорения в (284) дает полную мощность потерьна излучение

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

(𝐹 𝑒)2 − 1𝑐2

(��𝐹 𝑒

)2𝑚2𝑐3 (1− 𝑣2/𝑐2)

. (295)

193

Удобно этот результат выразить через энергию и импульс ча-стицы

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑚4𝑐7

{(𝐹 𝑒)2𝑊 2 − 𝑐2

(𝑝𝐹 𝑒

)2}(296)

Весьма важным является факт, что излучение быстро падает сростом массы частицы: при той же самой энергии частиц потериэлектронов на излучение оказываются в ∼ 109 раз больше4, чемпротонов!

4для циклических ускорителей.

194

8.2.1 Потери в линейных ускорителях.

В линейных ускорителях основным является ускоряющее элек-трическое поле:

��𝑒‖𝑝, ��𝑒 = 0. (297)

Мощность потерь

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

|��𝑒|2

𝑚2𝑐3(298)

в этом случае не зависит от энергии частицы 𝑊 . Максималь-ная энергия, приобретаемая частицей 𝑊max ≈ 𝑒𝐸𝑒𝐿, где 𝐿 –длина, на которой действует ускоряющее поле. Полная потеряэнергии за все время ускорения

−Δ𝑊 ∼ −d𝑊d𝜏

𝐿

𝑐=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

��𝑒2

𝑚2𝑐3𝐿

𝑐=

2

3

1

4𝜋𝜀0

𝑊 2max

𝑚2𝑐4𝐿. (299)

Ускорение становится неэффективным при −Δ𝑊 ∼ 𝑊max, от-куда следует, что длина ускорителя, необходимая для ускорения

195

частицы до энергии 𝑊max:

𝐿 ∼ 2

3

1

4𝜋𝜀0

𝑊max

𝑚2𝑐4(300)

растет с 𝑊max линейно.

196

8.2.2 Потери в циклических ускорителях, синхротрон-ное излучение.

В циклическом ускорителе (накопителе) электрическое поле от-

сутствует ��𝑒 = 0, и движение по замкнутой орбите обеспечива-ется постоянным по времени магнитным полем ��𝑒⊥𝑝. Соответ-ствующая мощность потерь на излучение, называемое в этомслучае синхротронным

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑝2𝐵𝑒2

𝑚2𝑐3(301)

в отличии от потерь в линейном ускорителе (298) растет пропор-ционально квадрату импульса частицы. В ультрарелятивист-ском случае 𝑝2 → 𝑊 2/𝑐2, и

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝐵𝑒2𝑊 2

𝑚2𝑐5. (302)

197

Частота обращения и радиус орбиты связаны с магнитным по-лем как

𝜔обр = 𝑒𝐵𝑒𝑐2/𝑊,𝑅обр = 𝑊/𝑒𝐵𝑒𝑐; (303)

а поле, отвечающее заданному радиусу

𝑒𝐵𝑒 = 𝑊/𝑐𝑅обр.

В результате при фиксированном радиусе накопительного коль-ца 𝑅обр мощность синхротронного излучения растет с энергиейкак

− d𝑊

d𝜏=

2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑊 4

𝑚4𝑐7𝑅2обр

=2

3

𝑒2𝑐

4𝜋𝜀0𝑅2обр

𝛾4 (304)

Потери за один оборот составляют

−Δ𝑊 =𝑒2

3𝜀0𝑅обр𝛾4 (305)

Использование циклических ускорителей становится бессмыс-ленным, если потери энергии за оборот сопоставимы с полной

198

энергией частицы: −Δ𝑊 ∼ 𝑊 , соответственно, требуемый ми-нимальный радиус ускорителя

𝑅обр &𝑒2

3𝜀0𝑚𝑐2𝛾3 =

𝑒2

3𝜀0𝑚4𝑐8𝑊 3 (306)

растет как куб энергии ускоряемых частиц!

199

8.3 Тормозное излучение при рассеянии.

Пусть частица рассеивается на некотором рассеивающем цен-тре, расположенном в начале координат �� = 0. Предположимтакже, что размеры области рассеяния малы, и изменение им-пульса частицы 𝑝1 → 𝑝2 происходит быстро. Для простоты мыбудем считать это изменение мгновенным.

Ниже нас будет интересовать спектральный состав излуче-ния. Энергия, излученная в телесный угол dΩ, может быть вы-числена через электрическое поле ��(𝑡) (или магнитное ��(𝑡)движущегося заряда на больших расстояниях (в волновой зоне),как

d𝑊

dΩdΩ =

∫ ∞−∞

d𝑡 𝑐 𝜀0𝐸2(𝑡) ·𝑅2dΩ = 𝑐𝜀0𝑅

2dΩ1

𝜋

∫ ∞0

d𝜔|��𝜔|2

=

∫ ∞−∞

d𝑡𝑐

𝜇0𝐵2(𝑡) ·𝑅2dΩ =

𝑐

𝜇0𝑅2dΩ

1

𝜋

∫ ∞0

d𝜔|��𝜔|2

(307)

200

В свою очередь, спектральная плотность тормозного излу-чения равна

d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔· dΩd𝜔 =

1

𝜋𝑐𝜀0|��𝜔|2𝑅2dΩd𝜔

=1

𝜋

𝑐

𝜇0|��𝜔|2𝑅2dΩd𝜔 (308)

В волновой зоне поля выражаются (сравни с (211)) через вектор-

потенциал ��𝜔 как

��𝜔 = −𝑖𝑐2

𝜔[𝑘 × [𝑘 × ��𝜔]], (309)

��𝜔 = 𝑖[𝑘 × ��𝜔],

и задача сводится к вычислению вектор-потенциала ��𝜔.

201

Используя (257), имеем

��𝜔(��) =𝜇04𝜋

∫d𝑉 ′

��𝜔(��′)

𝑅e𝑖𝜔𝑐𝑅 ≈

≈ 𝜇04𝜋

e𝑖𝑘𝑅0

𝑅0

∫d𝑉 ′e−𝑖𝑘·��

′��𝜔(��

′) =

=𝜇04𝜋

e𝑖𝑘𝑅0

𝑅0��𝜔(��). (310)

Здесь предполагается, что наблюдатель находится на рассто-яниях 𝑅 очень больших по сравнению с 1/𝑘 – размером об-ласти, в которой формируется излучение с частотой 𝜔. Вводя𝑅0 = |�� | – расстояние от центра рассеяния (находящегося вначале координат) до наблюдателя ��, мы использовали разло-

жение 𝑅𝑘 ≈ (𝑅0 − �� · �� ′)𝑘 = 𝑅0𝑘 − �� · �� ′.

202

Таким образом, спектральное и угловое распределение тор-мозного излучения (308) выражаются через фурье-образ ��𝜔(��)пространственно-временного распределение токов:

d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔· dΩd𝜔 =

1

4𝜋2𝜀0𝑐

[𝑘 × ��𝜔(𝑘)]

2 dΩ4𝜋

d𝜔 (311)

Вычисляя ��𝜔(��) для движущегося заданным образом точечногозаряда, получим

��𝜔(��) =

∫d𝑉

∫ ∞−∞

d𝑡 𝑒𝛿(�� − ��0(𝑡)) · ��(𝑡)⏟ ⏞ ��(𝑡)

·e𝑖(𝜔𝑡−����) =

= 𝑒

∫ ∞−∞

d𝑡

∫d𝑉 · 𝛿(�� − ��0(𝑡)) · ��(𝑡) · e𝑖(𝜔𝑡−����) =

= 𝑒

∫ ∞−∞

d𝑡��(𝑡) · e𝑖(𝜔𝑡−����0(𝑡)) (312)

Для малых частот 𝜔 ≪ 1/𝜏𝑐, где 𝜏𝑐 – время соударения можносчитать, что траектория частицы состоит из двух участков: до

203

рассеяния 𝑡 < 0, и после рассеяния 𝑡 > 0:

��0(𝑡) =

{��1𝑡, 𝑡 < 0;��2𝑡, 𝑡 > 0.

Подставляя в (312), получим

��𝜔(��) = 𝑒

∫ 0

−∞d𝑡��1 · e𝑖(𝜔−����1)𝑡 + 𝑒

∫ ∞0

d𝑡��2 · e𝑖(𝜔−����2)𝑡 =

= 𝑖𝑒

(��2

𝜔 − ����2− ��1

𝜔 − ����1

)=

= 𝑖𝑒

(𝑚��2𝛾

𝜔𝑐𝑚𝑐𝛾 − ��𝑚��2𝛾

− 𝑚��1𝛾𝜔𝑐𝑚𝑐𝛾 − ��𝑚��1𝛾

)=

= 𝑖𝑒

(𝑝2𝑘𝑝2− 𝑝1𝑘𝑝1

)(313)

Здесь 𝑘𝑝 ≡ 𝜔𝑐𝑚𝑐𝛾 − ��𝑚��𝛾 обозначает скалярное произведение

204

двух 4-векторов, 𝑘 = (𝜔𝑐 , ��) и 𝑝 = (𝑚𝑐𝛾,𝑚��𝛾). В итоге

d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔=

1

4𝜋𝜀0

1

4𝜋2𝑐

[𝑘 × 𝑝2]𝑘𝑝2

− [𝑘 × 𝑝1]𝑘𝑝1

2

(314)

Очевидно, что при 𝑝2 = 𝑝1 излучение отсутствует.Легко также убедиться, что интенсивность тормозного из-

лучения не зависит от частоты – вплоть до частот 𝜔 ∼ 1/𝜏𝑐, где𝜏𝑐 –характерное время соударения, величиной которого мы вы-ше при вычислении (313) пренебрегли.

Число излученных квантов частоты 𝜔 равно отношению из-лученной энергии к энергии одного кванта:

d𝑁 =1

~𝜔d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔=

𝛼

(2𝜋)2

[𝑘 × 𝑝2]𝑘𝑝2

− [𝑘 × 𝑝1]𝑘𝑝1

2d𝜔

𝜔

Полное число излучаемых фотонов бесконечно, т.к.∫

d𝜔𝜔 → ∞

.

205

8.4 Реакция излучения.

Потери энергии частицы, связанные с излучением, можно свя-зать с наличием силы радиационного трения 𝐹𝑟, вызывающейторможение частицы

− d𝑊

d𝑡= −𝐹𝑟��. (315)

Выражение для мощности излучения (287)5 можно преобразо-вать к такому виду следующим образом:

−d𝑊d𝑡

= 𝐼 =2

3

1

4𝜋𝜀0

(¨𝑑 )2

𝑐3= (316)

=d

d𝑡

(2

3

1

4𝜋𝜀0𝑐3¨𝑑˙𝑑

)−(2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑐3¨𝑣

)⏟ ⏞

𝐹𝑟

�� (317)

5Мы ограничиваемся нерелятивистским пределом – в противном случае определениеи силы, и мощности, и формулы для мощности излучения становятся сложными дляанализа.

206

Первое слагаемое представляет собой полную производную повремени и в случае периодического движения в результате усред-нения по периоду обращается в нуль. Второе слагаемое дает

𝐹𝑟 =2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑐3¨𝑣 (318)

Этот результат применим лишь тогда, когда сила радиацион-ного трения 𝐹𝑟 мала по сравнению с остальными силами 𝐹 𝑒,определяющими движение частицы

𝐹𝑟

≪𝐹 𝑒

(319)

В случае периодического движения, например, в переменномэлектрическом поле с частотой 𝜔, данное условие дает

𝜔 ≪ 4𝜋𝜀0𝑚𝑐3

𝑒2, (320)

или 𝜆≫ 𝑟𝑒 (𝑟𝑒 – классический радиус электрона).

207

Для иллюстрации этого ограничения предположим, что начастицу действует лишь сила радиационного трения, а осталь-ные силы равны нулю. Тогда уравнение движения примет вид

˙𝑣 =𝐹𝑟𝑚

=2

3

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑐3𝑚¨𝑣 = (321)

=2

3

𝑟𝑒𝑐¨𝑣, 𝑟𝑒 =

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑚𝑐2(322)

Это уравнение помимо тривиального решения �� = const имеетлишь абсурдное решение

˙𝑣 ∝ �� ∝ �� ∝ exp

{3

2

𝑐𝑡

𝑟𝑒

}(323)

что демонстрирует, что пользоваться понятием силы радиаци-онного трения надо с осторожностью.

208

8.5 Излучение гармонического осциллятора.

Рассмотрим излучение заряженного осциллятора, предполагаязаряд точечным:

��0(𝑡) = ��0 cos(𝜔0𝑡 + 𝛼). (324)

Воспользуемся дипольным приближением (286), применимымпри условии

𝑘𝑟0 = 2𝜋𝑟0𝜆≪ 1, или

𝑣0𝑐≪ 1. (325)

Подставляя дипольный момент 𝑑(𝑡) = 𝑒��0(𝑡) = 𝑒��0 cos(𝜔0𝑡 + 𝛼)в (285), получим интенсивность излучения

d2𝐼(𝜃, 𝜙; 𝑡)

dΩdΩ =

1

4𝜋𝜀0

|[��×−→𝑑 ]|2

𝑐3dΩ

4𝜋=

=1

4𝜋𝜀0

𝜔40𝑒

2𝑟20𝑐3

cos2 𝜔0𝑡 sin2 𝜃

dΩ

4𝜋, (326)

209

Усреднение по времени дает дополнительный множитель cos2 𝜔0𝑡 =1/2.

Легко видеть, что спектральная интенсивность излучения

d2𝐼(𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔dΩd𝜔 =

1

4𝜋𝜀0

𝜔4𝑒2𝑟202𝑐3

sin2 𝜃dΩ

4𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0)d𝜔,(327)

пропорциональна 𝜔4. Полная интенсивность дипольного излу-чения

𝐼 =𝑒2

4𝜋𝜀0

𝜔40𝑟

20

2𝑐3(328)

Учет силы радиационного трения приводит к затуханию коле-баний осциллятора

𝑑(𝑡) = 𝑒��0e−𝛾𝑡e−𝑖𝜔0𝑡, (329)

где

𝛾 =𝑒2

4𝜋𝜀0

𝜔20

3𝑚𝑐3=

1

3𝑟𝑒𝜔20

𝑐(330)

210

В этом случае движение осциллятора уже не является монохро-матичным:

𝑑𝜔 =

∫ ∞0

d𝑡e𝑖𝜔𝑡𝑑(𝑡) = (331)

=

∫ ∞0

d𝑡e𝑖𝜔𝑡𝑒��0e−𝛾𝑡e−𝑖𝜔0𝑡 =

𝑒𝑟0𝛾 − 𝑖(𝜔 − 𝜔0)

(332)

а угловое и спектральное распределение излученной энергии вэтом случае

d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔dΩd𝜔 =

1

4𝜋𝜀0

𝜔4𝑒2𝑟202𝑐3

sin2 𝜃dΩ

4𝜋

𝜔40

(𝜔 − 𝜔0)2 + 𝛾2d𝜔.

(333)Проинтегрировав по углам, получим спектральное распределе-ние излученной энергии

𝑊 (𝜔) = 𝑊 · 1𝜋

𝛾

(𝜔 − 𝜔0)2 + 𝛾2(334)

211

где

𝑊 =

∫dΩ

d2𝑊 (𝜃, 𝜙;𝜔)

dΩd𝜔=

=𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑟20𝜔40

6𝛾𝑐3=

𝑒2

4𝜋𝜀0

𝑟20𝜔40

3𝑐3𝜏, (335)

где 𝜏 = 1/2𝛾 – время жизни (высвечивания) возбужденногосостояния осциллятора, а 𝛾 – естественная ширина линии из-лучения.

212

9 Рассеяние электромагнитных волн.

Рассеяние электромагнитных волн удобно характеризовать се-чением рассеяния (переизлучения), определяемым как отноше-ние интенсивности d𝐼 рассеянной волны к вектору Пойнтингападающей волны

d𝜎 =d𝐼

𝑆(336)

213

9.1 Рассеяние свободным зарядом.

В нерелятивистском приближении сила, действующая на заряд

в поле электромагнитной волны �� = ��0e𝑖(����−𝜔𝑡) равна

𝐹 = 𝑒�� = 𝑒��0e−𝑖𝜔𝑡

в дипольном приближении 𝑘𝑟 ≪ 1, тогда из уравнения дви-

жения 𝑚¨𝑟 = 𝑒�� имеем для дипольного момента¨𝑑 = 𝑒2��/𝑚.

Используя дипольное приближение

d𝐼 =1

4𝜋𝜀0

|[��× ¨𝑑]|2

𝑐3dΩ

4𝜋

с учетом потока энергии падающей волны 𝑆 = 𝑐𝜀0𝐸20 получим

d𝜎 =

(𝑒2

4𝜋𝜀0𝑚𝑐2

)2

sin2𝜓dΩ = 𝑟2𝑒 sin2𝜓dΩ (337)

214

Здесь 𝜓 – угол между направлением вектора ��0 в падающейволне и направлением �� рассеянной волны. В частности, cos𝜓 =sin 𝜃 cos𝜙, где 𝜃 угол рассеяния, 𝜙 угол поляризации падающейволны. Если падающая волна неполяризована, то после усред-нения по поляризациям

d𝜎𝑇 =1

2𝑟2𝑒(1 + cos2 𝜃)dΩ (338)

Полное сечение

𝜎𝑇 =8

3𝜋𝑟2𝑒, (339)

известное кактомсоновское сечение рассеяния , не зависитот частоты.

215

9.2 Рассеяние осциллятором.

Уравнение движения осциллятора в поле волны имеет вид

¨𝑟 + 2𝛿 ˙𝑟 + 𝜔20�� =

𝑒

𝑚�� =

𝑒

𝑚��0e

−𝑖𝜔𝑡 (340)

где 𝛿 = 13𝑟𝑒

𝜔20𝑐 (оценка радиационного трения). Решая уравнение,

имеем

𝑑 =1

𝜔20 − 𝜔2 − 2𝑖𝜔𝛿

𝑒2

𝑚��.

Далее, для амплитуды и фазы второй производной дипольногомомента

¨𝑑 = Re

{−𝜔2

𝜔20 − 𝜔2 − 2𝑖𝜔𝛿

𝑒2

𝑚��

}=

= − 𝜔2√(𝜔2

0 − 𝜔2)2 + 4𝜔2𝛿2𝑒2

𝑚��0 cos(𝜔𝑡− 𝛽),

где tg 𝛽 =2𝜔𝛿

𝜔20 − 𝜔2

,

216

а сечение рассеяния

d𝜎 =𝜔4

(𝜔20 − 𝜔2)2 + 4𝜔2𝛿2

· d𝜎𝑇 . (341)

Интегрируя по углам, для полного сечения получим аналогично

𝜎 =𝜔4

(𝜔20 − 𝜔2)2 + 4𝜔2𝛿2

· 𝜎𝑇 ≈1

4

𝜔2

(𝜔0 − 𝜔)2 + 𝛿2· 𝜎𝑇 . (342)

Здесь d𝜎𝑇 , 𝜎𝑇 дифференциальное и полное томсоновское сече-ние рассеяния на свободной частице.

Сечение рассеяния на осцилляторе d𝜎, 𝜎 носит резонансныйхарактер. В резонансе (𝜔 = 𝜔0) сечение велико и не зависитот свойств осциллятора и определяется лишь длиной рассе-иваемой волны:

𝜎(𝜔 = 𝜔0) =𝜔20

(2𝜋𝛿)2· 𝜎𝑇 =

3

2𝜋𝜆2 ≫ 𝑟2𝑒,

(здесь 𝜆 –длина волны).

217

В пределе малых частот 𝜔 ≪ 𝜔0 (рэлеевское рассеяние) се-чение рассеяния

𝜎 =

(𝜔

𝜔0

)4

· 𝜎𝑇 (343)

быстро растет с частотой.Это, в частности, обеспечивает голубой цвет неба – корот-

коволновая (голубая) часть спектра рассеивается сильнее, чемдлинноволновая (красная). Этот же эффект приводит к крас-ному оттенку заходящего солнца.

218

10 Электромагнитное поле в веществе.

10.1 Строение вещества, микроскопические по-

ля в веществе и уравнения Максвелла-

Лоренца.

Внутри вещества электромагнитное поле есть сумма полей, со-здаваемых внешними зарядами и токами, и полей, создаваемыхзарядами среды.

Заряды среды возникают в результате поляризации средыпространственного смещения микроскопических зарядов средыи возбуждении в ней микроскопических токов порождаемыхвоздействием этого суммарного электромагнитного поля.

219

Точные микроскопические уравнения Максвелла-Лоренца

div �� =1

𝜀0𝜌𝑡, (344)

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡, (345)

div �� = 0, (346)

rot �� = 𝜇0𝑗𝑡 +1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡, (347)

и уравнение непрерывности

𝜕𝜌𝑡𝜕𝑡

+ div ��𝑡 = 0. (348)

связывают микроскопические поля ��, �� – электрическое и маг-нитное, соответственно, с 𝜌𝑡 – полной плотностью всех зарядов(включая заряды среды) и с ��𝑡 – полной плотностью всех соот-ветствующих токов.

220

10.2 Усредненные уравненияМаксвелла-Лоренца,

макроскопические поля.

Микроскопические поля испытывают большие флуктуации нарасстояниях порядка атомных. На практике представляют ин-терес сглаженные – макроскопические поля, усредненные поразмеру много больше атомного, но малому по сравнению с мас-штабом изменения макроскопического поля

�� = ⟨�� ⟩, �� = ⟨𝑏 ⟩ (349)

для напряженности электрического поля и индукции магнит-ного поля, соответственно.

В силу линейности микроскопических уравнений по по-лям и порождающим их источникам оказывается возможнымэти усредненные поля выразить через усредненные распреде-ления зарядов в среде.

221

Уравнения Максвелла для макроскопических полей в среде

div �� =1

𝜀0⟨𝜌𝑡⟩, (350)

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡, (351)

div �� = 0, (352)

rot �� = 𝜇0⟨𝑗𝑡⟩ +1

𝑐2𝜕��

𝜕𝑡, (353)

а усредненные заряды и токи среды удовлетворяют уравнениюнепрерывности:

𝜕⟨𝜌𝑡⟩𝜕𝑡

+ div⟨𝑗𝑡⟩ = 0. (354)

Среда может относиться либо к проводникам, заряды в которыхобладают подвижностью и могут перетекать из одной части вдругую, либо к диэлектрикам, в которых заряды “связаны” имогут лишь смещаться на расстояния порядка атомных разме-ров. Ниже мы ограничимся лишь рассмотрением диэлектриков.

222

Полная плотность заряда складывается из плотности внеш-них заданных зарядов 𝜌 и плотности связанных зарядов ди-электрика 𝜌связ:

⟨𝜌𝑡⟩ = 𝜌 + 𝜌связ, (355)

⟨𝑗𝑡⟩ = �� + ��связ (356)

Вычисление наведенных плотностей связанных зарядов и токовв диэлектрике задача достаточно нетривиальная, и ниже мырассмотрим величины, связанные с наведенными зарядами итоками, но более удобные для описания.

223

Смещение зарядов диэлектрика под воздействием электри-ческого поля приводит к появлению плотности дипольного мо-мента 𝑃 в диэлектрике, называемому также вектором по-

ляризации среды . Дипольный момент диэлектрического теласоздается как объемной, так и поверхностной плотностью заря-дов ∫

d𝑉 𝑃 =

∫d𝑉 (𝜌связ��) +

∮𝑆

d𝑆(𝜎связ��) (357)

В свою очередь, и объемная, и поверхностная плотность заря-дов может быть выражена через вектор поляризации

𝜌связ = − div𝑃 , 𝜎связ = 𝑃𝑛, (358)

что, как мы увидим ниже, значительно удобнее для описания.Тем самым, вместо плотности наведенных зарядов мы исполь-зуем вектор поляризации среды 𝑃 .

224

Далее, таким же образом вместо токов связанных зарядов��связ, складывающихся из поляризационных токов ��𝑃 и токовнамагничивания ��𝑀 :

��связ = ��𝑃 + ��𝑀 , (359)

удобно использовать вектор поляризации 𝑃

��𝑃 =𝜕𝑃

𝜕𝑡(360)

и вектор намагниченности �� :

��𝑀 = rot �� (361)

имеющий смысл магнитного момента единицы объема веще-ства). Поверхностная плотность токов намагниченности также

может быть выражена через вектор намагниченности �� как��𝑀 = [�� × ��], где �� – вектор нормали к поверхности тела.

225

Введем теперь вектор электрической индукции �� опре-деленный как

�� = 𝜀0�� + 𝑃 (362)

и вектор напряженности магнитного поля �� :

�� =1

𝜇0�� − �� (363)

Определенные таким образом величины удовлетворяют уравне-ниям Максвелла в среде:

div �� = 𝜌, (364)

div �� = 0, (365)

rot �� = −𝜕��𝜕𝑡, (366)

rot �� = �� +𝜕��

𝜕𝑡(367)

226

и уравнению непрерывности – закону сохранения зарядов.

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ div �� = 0,

из которых наведенные в среде плотности зарядов 𝜌связ и то-ков ��связ выпали полностью, правда ценой введения векторныхполей 𝑃 и �� , определить которые нам еще предстоит.

227

Поскольку каждое из этих полей характеризует локальнуюэлектрическую и магнитную поляризацию среды, естественнопредположить, что электрическая поляризация вещества опре-деляется электрическим полем: 𝑃 = 𝑃 (��), а намагниченность

– магнитным: �� = ��(��). Для достаточно слабых полей этасвязь должна быть линейной:

𝑃 𝑖 = 𝜀0𝜅𝑖𝑗𝑒 𝐸

𝑗, (368)

𝑀 𝑖 = 𝜅𝑖𝑗𝑚𝐻𝑗 (369)

а величины 𝜅𝑖𝑗𝑒 и 𝜅𝑖𝑗𝑚 называются тензорами соответственно ди-электрической и магнитной восприимчивости.

В случае изотропной среды 𝑃‖�� и ��‖�� , и эти тензора

сводятся к скалярным функциям 𝜅𝑒(��) и 𝜅𝑚(��):

𝜅𝑖𝑗𝑒 = 𝜅𝑒𝛿𝑖𝑗, 𝜅𝑖𝑗𝑚 = 𝜅𝑚𝛿

𝑖𝑗. (370)

228

Заряды всегда смещаются по направлению поля, поэтомудля всех диэлектриков 𝜅𝑒 > 0.

В случае магнитного поля наведенный магнитный моментможет быть направлен как по полю: 𝜅𝑚 > 0 (парамагнетизм),так и против поля: 𝜅𝑚 < 0 (диамагнетизм).

Поля 𝑃 и �� можно исключить вовсе, вводя диэлектриче-скую и магнитную проницаемость

𝜀 = (1 + 𝜅𝑒), 𝜀 > 1; (371)

𝜇 = (1 + 𝜅𝑚), 𝜇 > 0; (372)

�� = 𝜀𝜀0��, (373)

�� = 𝜇𝜇0�� (374)

Вместе с уравнениями Максвелла в среде это дает замкнутуюсистему уравнений.

229

10.3 Условия на границе раздела двух сред.

В случае, когда среда состоит из нескольких областей, разде-ленных границами, уравнения электродинамики можно решатьв каждой из этих областей, на границе между областями необ-ходимо эти решения “сшить”.

Условия сшивки для нормальной компоненты электрическойиндукции имеют вид имеют вид

��2𝑛 − ��1𝑛 = 𝜎 (375)

где 𝜎 – поверхностная плотность внешних (не путать с наве-денными!) зарядов на границе раздела. Ввиду отсутствия маг-нитных зарядов соответствующие условия для магнитной ин-дукции

��2𝑛 − ��1𝑛 = 0. (376)

230

Для тангенциальной компоненты электрического поля усло-вие

��2𝑡 − ��1𝑡 = 0 (377)

следует из потенциальности электрического поля ��. Наконец,для тангенциальной компоненты напряженности магнитного по-ля имеем условие

��2𝑡 − ��1𝑡 = 𝑖, (378)

где 𝑖 – поверхностная плотность внешних токов на границе раз-дела, следует из уравнения Максвелла (367).

231

10.4 Потенциалы в среде. Плотность энергии

и потока энергии в среде.

В среде связь потенциалов с полями 𝐸,𝐵 остается неизменной

�� = −∇𝜙− 𝜕��

𝜕𝑡, (379)

�� = rot ��. (380)

В однородной изотропной среде уравнения для потенциаловимеют вид (𝑣2 ≡ 1/(𝜀𝜀0𝜇𝜇0)):

∇2𝜙− 1

𝑣2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2= − 1

𝜀𝜀0𝜌, (381)

∇2��− 1

𝑣2𝜕−→2𝐴

𝜕𝑡2= −𝜇𝜇0𝑗, (382)

div �� +1

𝑣2𝜕𝜙

𝜕𝑡= 0. (383)

232

Последнее уравнение представляет собою условие лоренцевскойкалибровки для потенциалов в среде.

Плотность энергии и импульса в среде определена как

𝑤 =1

2

(���� + ����

), (384)

�� =1

𝑐2��, (385)

где �� = [�� × �� ] — вектор Пойнтинга, описывающий потокэнергии электромагнитного поля в среде.

233