ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

Απλή συνάρτηση f(x) Σύνθετη συνάρτηση f(g(x)) Απλή συνάρτηση f(x) Σύνθετη συνάρτηση f(g(x))

RA0)(A1,)(x ∈=′=′ (x)fA][Af(x) ′=′ ∫ += cxdx dxf(x)AdxAf(x) ∫∫ =

Rααx)(x 1-αα ∈=′ [ ] (x)f)xf(α](x)[f1αα ′⋅=′ −

c1α

xdxx

1αα +

+=∫

+ α ≠ -1 c

1α

(x)f(x)dxf(x)f

1αα +

+=′

+

∫

x2

1)x( =′ (x)f

)x(f2

1])x(f[ ′⋅=′

cx2x

dx+=∫ c)x(f2dx

)x(f

(x)f+=

′∫

2

1

x

1)(x

x

1−=′=

′

− (x)f)x(f

1

)x(f

12

′⋅−=′

c

x

1dx

x

12

+−=∫ c)x(f

1dx

)x(f

(x)f2

+−=′

∫

xx e)(e =′ [ ] )x(fee )x(f)x(f ′=′ cdx +=∫ xx ee cedx)x(fe )x(f)x(f +=′∫

0>≠⋅=′ 1αnαα)(α xxℓ [ ] α)lnx(fαα )x(f)x(f ′=′

cdx +=∫ α

αα

n

xx

ℓ c

αn

αdx)x(fα

)x(f)x(f +=′∫ ℓ

0x,x

1)nx( >=′ℓ [ ] )x(f

)x(f

1)x(fln ′=′ c|x|ndx

x

1+=∫ ℓ c|)x(f|ndx

)x(f

)x(f+=

′∫ ℓ

cosx)(sinx =′ )x(fcos)x(f])x(f[sin ′=′ csinxdxcosx +=∫ c)x(fsindx)x(fcos)x(f +=′∫

sinx)(cosx −=′ )x(fsin)x(f])x(f[cos ′−=′ cxxs +−=∫ cosdxin c)x(fcosdx)x(fsin)x(f +−=′∫

xcos

1)(tanx

2=′ [ ] )x(f

)x(fcos

1)x(ftan

2′=′ ctanx

xcos

dx2

+=∫ c)x(ftandx)x(fcos

)x(f2

+=′

∫

xsin

1)(cotx

2

−=′ [ ] (x)f

f(x)sin

1cotf(x)

2′

−=′ ccotx

xsin

dx2

+−=∫ ccotf(x)dxf(x)sin

(x)f2

+−=′

∫

2x1

1)(arcsinx

−=′ [ ] )x(f

)x(f1

1)x(farcsin

2′

−=′ carcsinx

x1

dx

2+=

−∫ c)x(farcsindx

)x(f1

)x(f

2+=

−

′∫

2x1

1)(arccosx

−

−=′ [ ] (x)f

(x)f1

1arccosf(x)

2′

−

−=′ cxcosarc

x1

dx

2+−=

−∫ c)x(fcosarcdx

)x(f1

)x(f

2+−=

−

′∫

2x1

1(arctanx)

+= [ ] (x)f

(x)f1

1arctanf(x)

2′

+=′ carctanx

1x

dx2

+=+∫ carctanf(x)dx

(x)f1

(x)f2

+=+

′∫

coshx)(sinhx =′

[ ] )(x)coshf(xfsinhf(x) ′=′

csinhxdxcoshx +=∫

cf(x)sinh)dx(x)coshf(xf +=′∫

sinhx)(coshx =′ [ ] )(x)sinhf(xfcoshf(x) ′=′

ccoshxdxsinhx +=∫

cf(x)+=′∫ coshdx)x(fsinh)x(f

c|αxx|n

αx

dx 2

2+++=

+∫ ℓ α∈R c

αx

α-xn

α2

1

αx

dx22

++

=−∫ ℓ cx/α]sin[arctan

α

1

)x(α

dx3/222

+=+∫

cα

xarcsin

2

αxα

2

xdxxα

22222 +

+−=−∫ cαxxn

2

ααx

2

xdxαx 22

22222 +

++++=+∫ ℓ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Η έννοια της παραγώγου

Ας είναι η συνάρτηση f(x)y = µε γραφική παράσταση του

σχήµατος και τα σηµεία της Α ( )f(x)x, και Β ( ).h)f(xh,x ++

Η τέµνουσα ευθεία ΑΒ, έχει κλίση (εφαπτοµένη της γωνίας β) :

h

f(x)-h)f(x

ΑΓ

BΓtanβ

+==

Όταν το h γίνεται σχεδόν µηδέν ( )0h → , τότε το x+h πάει να

ταυτιστεί µε το x, το σηµείο Β της καµπύλης µε το Α και η τέµνουσα

ευθεία µε την εφαπτοµένη της καµπύλης.

Αυτή η διαδικασία περιγράφεται µε το όριο, που µας δίνει την έννοια

της παραγώγου στη θέση x :

tanθ(x)fµεh

)x(f)hx(fim)x(f

0h=′

−+=′

→ℓ

Συµβολισµοί της παραγώγου για την συνάρτηση y=f(x):

)x(fdx

d

dx

)x(df)x(f

dx

dy(x)y ==′==′

Η παραγώγιση της f ΄(x) ως προς x, δίνει την δεύτερη παράγωγο:

)x(fdx

d

dx

f(x)d(x)f

2

2

2

2

==′′

Όµοια η τρίτη παράγωγος είναι: 3

3(3)

dx

f(x)d)x(f(x)f ==′′′ κ.ο.κ.

Ερµηνεία της παραγώγου

• Η ταχύτητα – ρυθµός µεταβολής του διαστήµατος s(t) στη µονάδα του

χρόνου είναι η παράγωγος ως προς το χρόνο: υ(t)(t)s =′

• Η επιτάχυνση γ(t) είναι η µεταβολή της ταχύτητας στη µονάδα του

χρόνου: (t)sγ(t)ήγ(t)(t)υ ′′==′ (δεύτερη παράγωγος)

∆ηλαδή µε την παράγωγο δίνουµε τον ρυθµό – ταχύτητα µεταβολής

ενός µεγέθους ως προς τον παράγοντα που τον καθορίζει.

• Γεωµετρικά η (x)f ′ δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας,

(x)ftanθ ′= .

Εξίσωση εφαπτόµενης ευθείας

Στο σηµείο Α ( ))x(f,x 00 της καµπύλης )x(fy = , η εφαπτόµενη ευθεία

έχει κλίση )(xftanω ο′= και το τυχαίο σηµείο της ( )y,x ικανοποιεί την

εξίσωση:

)x(fxx

)f(x-yo

0

o ′=−

ή )xx)(x(f)f(xy ooo −′+=

Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης (Κανόνας Αλυσίδας)

Ας είναι η σύνθετη συνάρτηση y=f(g(x)). ∆ηλαδή για την τιµή του

x=xο βρίσκουµε την g(xo)=u και στη συνέχεια την y=f(u)=f(g(xo)).

π.χ. για την y=(x2+3x)5 έχουµε: u=g(x)=x2 +3x και f(u)=u5=g5(x).

Σύνθεση είναι η εξαγωγή του τελικού αποτελέσµατος βήµα – βήµα

από τη µια µεταβλητή στην άλλη. x yu →→

Σχηµατικά έχουµε :

Η παράγωγος της y=f(g(x)) είναι ίση µε το γινόµενο των παραγώγων

των συναρτήσεων της σύνθεσης:

)x(gdx

d)u(f

du

d

dx

duf(u)

du

d

dx

dy==

Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση y=f(x), αν λύσουµε την εξίσωση ως προς x

θεωρώντας το y γνωστό προκύπτει η αντίστροφη x=f -1 (y).

Από f -1 [f(x)]=x µε τον κανόνα της αλυσίδας η παράγωγος είναι :

)x(f

1])y(f[

dx

dx)x(f

dx

d)]y(f[

dy

d 11

′=′⇒=⋅ −−

Μονοτονία Συνάρτησης

Ας είναι η συνάρτηση y = f(x) µε Π.Ο. το R⊆Α . Για την εύρεση και

των διαστηµάτων που είναι αύξουσα ή φθίνουσα κάνουµε τα εξής :

1ο) Βρίσκουµε την πρώτη παράγωγο f΄(x) και τα σηµεία µηδενισµού

της (ρίζες ), από την λύση της εξίσωσης f΄(x)=0. Θυµίζουµε ότι µια

ρίζα xο (f΄(xo)=0), µπορεί να είναι σταθµός που αλλάζει πρόσηµο η

παράσταση της f΄(x).

2o) Στο διάστηµα ∆ του Π.Ο. που η f΄(x)>0 η συνάρτηση f(x) είναι

γνήσια αύξουσα. ∆ηλαδή αν x1<x2 στο ∆ προκύπτει f(x1)<f(x2). Αν

µεγαλώνει η µεταβλητή x τότε, µεγαλώνει και το αποτέλεσµα f(x).

Στο διάστηµα ∆ του Π.Ο. που η f΄(x)<0 η συνάρτηση f(x) είναι

γνήσια φθίνουσα. ∆ηλαδή αν x1<x2 στο ∆ προκύπτει f(x1)>f(x2). Αν

µεγαλώνει η µεταβλητή x τότε, µικραίνει το αποτέλεσµα f(x).

Ακρότατα Συνάρτησης Ας είναι µια ρίζα xο της πρώτης παραγώγου µε f΄(xo)=0 :

α) Όταν για x<xo ⇒ f΄(x)>0 και για x>xo ⇒ f΄(x)<0 τότε,

στο σηµείο (θέση) xο έχουµε τοπικό µέγιστο το f(xo) (βλ. σχήµα).

β) Όταν για x<xo ⇒ f΄(x)<0 και για x>xo ⇒ f΄(x)>0 τότε,

στο σηµείο (θέση) xο έχουµε τοπικό ελάχιστο το f(xo) (βλ. σχήµα).

Κριτήριο 2ης παραγώγου για Ακρότατα Εξετάσουµε αν στο xo (ρίζα της f΄(xo)=0) έχουµε τοπικό µέγιστο ή

ελάχιστο µε την 2η παράγωγο στο xο δηλαδή : f΄΄(xο).

α) Όταν στη θέση xo µε f΄(xo)=0 προκύπτει f΄΄(xο)<0,

τότε στο xο έχουµε τοπικό µέγιστο την τιµή y=f(xo).

β) Όταν στη θέση xo µε f΄(xo)=0 προκύπτει f΄΄(xο)>0,

τότε στο xο έχουµε τοπικό ελάχιστο την τιµή y=f(xo).

))x(f,x( ooΑ

ωtan)x(f o =′

)x(f o

ox