θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
TRANSCRIPT
www.askisopolis.gr
1
Θέματα Πανελλαδικών 2000 -2015 στις Παραγώγους
Εφαπτομένη
1. Έστω η συνάρτηση f : 1, με f x 2000 ln x 1 . Έστω c > 2000 και έστω ότι η
ευθεία y = c και η Cf τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι
οι εφαπτόμενες της Cf στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους.
(2000)
2. Έστω η συνάρτηση
2
1 x, x 1f x
x 1 , x 1
.
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι:
i. συνεχής στο 0x 1 ii. παραγωγίσιμη στο 0x 1
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 2,1
(Εσπερινά 2008)
3. Δίνεται η συνάρτηση f : α,β με α 0 β , η οποία είναι συνεχής στο α,β και
παραγωγίσιμη στο α,β . Αν ισχύει f α 5β και f β 5α , να αποδείξετε ότι:
α) Η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β .
β) Υπάρχει σημείο M ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία
ε : x 5y 2010 0 .
γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 5
α β2
. (Εσπερινά 2010)
4. Δίνεται η συνάρτηση f : , με
3
2
x α, x 1f x
x β , x 1
α,β . η οποία είναι συνεχής
στο 0x 1 .
α) Να αποδείξετε ότι 2β 2β α και ότι α 1 .
β) Αν 1 α 1 , να αποδείξετε η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
1,1 .
γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να βρείτε τα α και β.
δ) Αν 5
α4
και 1
β2
να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
1,f 1 (Ε 2012)
Θ.Rolle – Θ.Μ.T.– Συνέπειες Θ.Μ.Τ
5. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 και ισχύει f x 0 για κάθε x 0,1 .Αν
f 0 2 και f 1 4 , να δείξετε ότι:
α) Η ευθεία y 3 τέμνει τη fC σ΄ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0x 0,1 .
β) υπάρχει 1x 0,1 , τέτοιο ώστε 1
1 2 3 4f f f f
5 5 5 5f x
4
www.askisopolis.gr
2
γ) υπάρχει 2x 0,1 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο 2 2M x ,f x να
είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 2000 . (2000)
6. Έστω η συνάρτηση f : α,β η οποία είναι συνεχής στο α,β , παραγωγίσιμη στο α,β και
f α 2β , f β 2α .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε : 1 2f ξ f ξ 4 . (2001)
7. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f x 0 για κάθε x .
α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία A 1,2005 και B 2,1 , να λύσετε την εξίσωση
1 2f 2004 f x 8 2 .
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της fC , στο οποίο η εφαπτομένη
είναι κάθετη στην ευθεία ε: 1
y x 2005668
. (2005)
8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι:
f x xf x ημx για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x xf x συνx είναι σταθερή στο .
β) Να αποδείξετε ότι 1 συνx
f xx
, x 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 συνx x ημx έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο π 3π
,2 2
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,π τέτοιο, ώστε
2
2
2ξημξ συνξ 1 ξ
π . (2011)
Μονοτονία - Ακρότατα
9. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: 2 x2xf x x 1 f x e για
κάθε x με f 0 1 .
α) Να αποδείξετε ότι x
2
ef x ,x
x 1
β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. (2000)
10.Tη χρονική στιγμή t0 χορηγείται σ΄ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου
στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση 2
αtf t ,t 0,α,β
t1
β
και t ο χρόνος
σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 15 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες
μετά τη χορήγηση του φαρμάκου.
α) Να βρείτε τις τιμές των α, β.
www.askisopolis.gr
3
β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της
συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με 12 μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα
που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. (2000)
11. Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f t η συνάρτηση που περιγράφει τη
συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή
του, όπου t 0 . Αν ο ρυθμός μεταβολής της f t είναι 8
2t 1
α) Να βρείτε τη συνάρτηση f t .
β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον
οργανισμό γίνεται μέγιστη;
γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου
στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 10 η επίδρασή του στον οργανισμό
έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln11 2,4 ) (2000)
12. Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών , ισχύει
ότι: 3 2 3 2f x βf x γf x x 2x 6x 1 για κάθε x ,
όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με 2β 3γ .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0 στο ανοικτό διάστημα (0,1).
(2001)
13.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3f x x 2x 1 ημ2x ,x , είναι γνησίως
αύξουσα.
β) Η εξίσωση 3x 2x 1 ημ2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0,1 . (2001)
14.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το .Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog
είναι 1-1.
α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: 3g f x x x g f x 2x 1 έχει ακριβώς δύο θετικές και
μία αρνητική ρίζα. (2002)
15. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι
σχέσεις: f x f 2 x και f x 0 για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.
γ) Έστω η συνάρτηση
f xg x
f x
.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο .
(2003)
16. Δίνεται η συνάρτηση 2kx x
f x4
, x , της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης στο σημείο O 0,0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 1 .
α) Να αποδείξετε ότι k 4 .
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε.
γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα 2,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ , στο οποίο η
www.askisopolis.gr
4
εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου A 2,f 2 και B 4,f 4 .
(Εσπερινά 2005)
17. Δίνεται η συνάρτηση f x x ln x 1 x 1 ln x , x > 0.
α) i. Να αποδείξετε ότι: 1
ln x 1 ln xx
, x > 0.
ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .
β) Να υπολογίσετε το x
1lim x ln 1
x
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α 0, τέτοιος ώστε α α 1α 1 α .
(2006)
18. ∆ίνεται η συνάρτηση x 1
f x ln xx 1
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της.
γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x ln x στο σημείο
A α,ln α με α 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
xh x e στο σημείο βB β,e με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α
είναι ρίζα της εξίσωσης f x 0 .
δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν
ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες. (2006)
19. Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση 3 2f x 2x kx 10 ,x
α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x ΄x.
β) Για k = 3
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα ,0 .
iii. για κάθε α 14,15 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α – 5 έχει ακριβώς μία
λύση στο διάστημα 0,1 . (Εσπερινά 2006)
20. Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:
3 3 2f x f x 8x 12x 8x 2 για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μία μόνο ρίζα στο 0,1 .
γ) Αν για τη συνάρτηση g : ισχύει ότι 2f g x 3x f x 2 , για κάθε x ,
να βρείτε το 0x στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο. (Εσπερινά 2007)
21. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει xf x x 2ημx για κάθε x 0 .
α) Να βρείτε το f 0 .
β) Να αποδείξετε ότι f x 3 για κάθε π
x 0,2
.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο π
,π2
.
(Εσπερινά 2007)
www.askisopolis.gr
5
22. Δίνεται η συνάρτηση 1
f x ln x4x
, x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι 5
1f 0
e
,
1f 0
4
και 5f e 0 .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
M 1,f 1 .
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 0, .
(Ομογενείς 2007)
23. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x λx 3x 1 , λ,x .
α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 1 , να βρείτε την τιμή του λ.
β) Για λ 0
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι
παράλληλες στην ευθεία y 9x .
iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 0 , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο
διάστημα 0,1 . (Εσπερινά 2009)
24. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x 3x συνx 2 , x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα 0,π .
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2f x 8 f 6x .
δ) Να βρείτε το όριο
x 0
f x 1lim
x
. (Εσπερινά 2010)
25. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 3 9 x .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β) Να βρείτε την παράγωγο της f:
i. στο διάστημα 3,3 . ii. στο 0x 3 .
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. (Εσπερινά 2010)
26. Δίνεται η συνάρτηση 2
α 1f x
x x β
, όπου α,β ακέραιοι αριθμοί. Η γραφική παράσταση
της f στο σημείο της 5
A 2,12
δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι
5
18.
α) Να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 2kx 1 4k x x 4 0 (1) είναι ισοδύναμη με την
f x k , k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για
τις διάφορες τιμές του k . (Εσπερινά 2011)
www.askisopolis.gr
6
27.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν:
f x 2 ,
2x 0
f x ημxlim 2
x x
και f 1 f 0
α) Να αποδείξετε ότι 0 0 και 1 3- .
β) Αν η 2
α 1 , x και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,1 , να βρείτε τον αριθμό α.
γ) Για α 1 να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ξ 0,1 τέτοιο ώστε
΄ ξ 2 ξ 1 -
δ) Για α 1 να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου
ερωτήματος. (Εσπερινά 2012)
28. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με τύπο 2f x x x x 1 . Να αποδείξετε ότι:
α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.
β)Η εξίσωση 3f x x 1 f 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα 1,3 .
γ) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης
Τιμής στα διαστήματα 1,2 , 2,3 και 1,3 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχουν
1 2ξ 1,2 , ξ 2,3 και ξ 1,3 τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: 1 22f ξ f ξ f ξ .
(Εσπερινά 2013)
29. Έστω f : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
2
2
xf xx 1f x 1 0
x 1
για κάθε χ και f 0 0 .
α) Να βρείτε την f.
β) Αν 2
xf x
x 1
, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2f x 1 f 3x 2x 3x έχει μία τουλάχιστον ρίζα
στο 0,1 και μια τουλάχιστον ρίζα στο 1,4 .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 24x 9x 4x 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,4 .
(Επ. Εσπερινά 2013)
30. Δίνεται η συνάρτηση 2
f x x 3 x 1 , x .
α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η
f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία:
i. είναι παράλληλη προς την ευθεία y 4x 3 και
ii. η τετμημένη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος
αριθμός.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x x 1 f x , x έχει δύο θέσεις τοπικών
ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου. (Εσπερινά 2014)
31. Δίνεται η συνάρτηση 3f x αx x, x , α 0 .
α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία ε: y 4x 2 να εφάπτεται στη γραφική
παράσταση της f στο σημείο A 1,f 1 .
Στη συνέχεια, για α 1
β) i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.
www.askisopolis.gr
7
ii. Να λύσετε στο την ανίσωση 3f x x 10 .
γ) Να υπολογίσετε το όριο 2x 0
f x 1lim ημ
x 1 x
. (Επ. Εσπερινά 2014)
32. Δίνεται η συνάρτηση 2
1f x , x
x 1
.
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) Να αποδείξετε ότι 2
f f x2
για κάθε x .
γ) Να υπολογίσετε το όριο
x 0
2f 1 x
2limx
.
δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που
διέρχονται από το σημείο 3,0 .
(Εσπερινά 2015)
33. Δίνεται η συνάρτηση 2
2
1f x x , x 0,
x .
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g x f x 2 .
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3
f f x 2, x 0,2
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 1
,12
τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο ,f να διέρχεται από το σημείο 5
0,2
.
(Επ. Εσπερινά 2015)
Κυρτότητα
34. Έστω η συνάρτηση 3 2 2 2f x x 3x συν2α 2xσυν 2α ημ 2α ,x,α . Να αποδείξετε ότι για
οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για
τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. (2001)
35. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο
(α,β). Αν ισχύει α β 0 και υπάρχουν αριθμοί γ α,β , δ α,β , έτσι ώστε
f γ f δ 0 , να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f x 0 στο διάστημα α,β .
β)Υπάρχουν σημεία 1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε 1f ξ 0 και 2f ξ 0 .
γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (2003)
36. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x ln x .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να
βρείτε τα ακρότατα της.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (2004)
www.askisopolis.gr
8
37. Δίνεται η συνάρτηση x ln x, x 0
f x0, x 0
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης α
xx e για όλες
τις τιμές του πραγματικού αριθμού α.
δ)Να αποδείξετε ότι f x 1 f x 1 f x για κάθε x 0 . (2008)
38. Δίνεται η συνάρτηση xf x α ln x 1 , x 1 , α 0 με α 1 .
α) Αν f x 1 για κάθε x 1 , να αποδείξετε ότι α e .
β) Για α e ,
i. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.
ii. να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,0 και γνησίως αύξουσα στο
0, .
iii. αν β,γ 1,0 0, , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f β 1 f γ 1
0x 1 x 2
έχει
τουλάχιστον μια ρίζα στο 1,2 . (2009)
39. Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 1 , x ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.
γ) Να αποδείξετε ότι: xf x f x ln 2 , για κάθε x 0, . (Ομογενείς 2011)
40. Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα 1,1 συνάρτηση f με f 0 3 και η συνάρτηση
2
1g x f x
1 x
, x 1,1 με g(x) βx 3, - x 1,1 ,όπου β .Δίνεται επιπλέον ότι η
παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1,1 .
α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό
σημείο με τετμημένη x0=0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό.
β) Να δείξετε ότι g 0 β και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων
των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x0=0 είναι η
y βx 3 .
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f x β , x 1,1 , έχει μοναδική ρίζα το 0
δ) Να δείξετε ότι f x βx 3 , για κάθε x 1,1 . (Εσπερινά 2012)
41. Δίνεται η συνάρτηση 2x
f x ln x x, x 02
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, και να μελετήσετε την f
ως προς τη κυρτότητα.
β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα α,α 1 η εξίσωση
4f x 2x f 4 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την ανίσωση 2xln x 2 2x . Ομογενείς 2013
www.askisopolis.gr
9
42. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:
xf x 2xe f x για κάθε x και
1f 1 e .
α) Να αποδείξετε ότι 2
x
xf x , x
e .
β)Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
διάστημα 0, .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x 2x 2e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των
πραγματικών αριθμών.
δ) Δεδομένου ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα ,0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 1,f 1 και να αποδείξετε ότι
f x 2e 3ex 0 για κάθε x 0 .
Ομογενείς 2015
Ασύμπτωτες- De l Hospital
43. Έστω f ,g : συνεχείς συναρτήσεις με f x g x x 4 για κάθε x . Έστω ότι η
ευθεία y 3x 7 είναι ασύμπτωτη της Cf στο .
α) Να βρείτε τα όρια: i.
x
g xlim
x και ii.
2x
g x 3x ημ2xlim
xf (x) 3x 1
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3 είναι ασύμπτωτη της Cg στο . (2000)
44. Έστω η συνάρτηση 2αx βx
f x ,x - 2 ,α,βx 2
.Αν η ευθεία ε: y 2x 1 είναι
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , να βρείτε τα α,β. (2001)
45.Δίνεται η συνάρτηση -x 1
x α ,x 1f x ,α
1- e ln x 1 ,x 1,2
.
α) Να υπολογίσετε το όριο x 1
x 1
1 elim
x 1
.
β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x 1 .
γ) Για α 1 να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοια, ώστε η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο A ξ,f ξ να είναι
παράλληλη στον άξονα x΄x. (2001)
46. Δίνεται η συνάρτηση
2x , x 0
f x αx β , 0 x 1
1 x ln x, x 1
όπου α,β .
α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: α 1 και β 0 , τότε:
i. Να υπολογίσετε το
2x
f xlim
x
www.askisopolis.gr
10
ii. Να υπολογίσετε τα όρια:
x 1
f x f 1lim
x 1
,
x 1
f x f 1lim
x 1
(2004)
47. Δίνεται η συνάρτηση 22 α x kx 2
f xx 3
, α,k και x 3 .
α) Αν η ευθεία y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο , να αποδείξετε ότι α 1
και k 3 .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 1,2 , στο οποίο η εφαπτομένη της fC
είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 .
(Εσπερινά 2005)
48. Δίνεται η συνάρτηση 2
3x λ , x 1
4f x
x 8x 4 ,x 1
4x
με λ
α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1 .
β) Για λ 0
i. να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο .
ii. να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο .
(2006)
49. Δίνεται η συνάρτηση
2
2
1 1x , x 2
8 2f x
x 5x 6 , x 2
2 x 1
.
α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0x 2 .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
M 0,f 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 1
y x 22
είναι ασύμπτωτη της fC στο .
(Εσπερινά 2007)
50. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2ln x , x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι f x 1 για κάθε x 0 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Έστω η συνάρτηση ln x
, x 0f xg x
k, x 0
.
i. Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής.
ii. Αν 1
k2
, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,e . (2008)
51. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2x k
f xx
, k .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 1,f 1 είναι
παράλληλη στον άξονα x΄x, να βρείτε το k.
www.askisopolis.gr
11
γ) Για k 1 ,
i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα 1, .
(Εσπερινά 2008)
52. Δίνεται η συνάρτηση 2f x ln λ 1 x x 1 ln x 2 , x 1 , λ 1 .
α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο xlim f x
και να είναι
πραγματικός αριθμός.
β) Έστω ότι λ 1
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii. να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f x α 0 έχει μοναδική λύση για κάθε α 0 . (2009)
53.Δίνεται η συνάρτηση 2αx β, x 1
f x2x 3, x 1
α,β .
α) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α β 5 .
β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .
γ) Για α 1 και β 4 , να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f x
g x ,x
x 0 . (Εσπερινά 2009)
54. Δίνεται η συνάρτηση x αf x xe , α .
α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 0,f 0 να είναι παράλληλη
στην ευθεία y ex .
β) Για α 1 ,
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο .
55. Δίνεται η συνάρτηση 2x 3
f x 2xx
, x 0 . Να βρείτε:
α) Τα τοπικά ακρότατα της f.
β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 1,f 1 .
δ) Το σημείο M ξ,f ξ , ξ 0 , της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η
εφαπτομένη είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A 1,f 1 και B 3,f 3 .
(Εσπερινά 2010)
56. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x – 3ln x , x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα 1,e .
(Ομογενείς 2010)
57.Δίνεται η συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με f 0 f 0 0 , η οποία
ικανοποιεί τη σχέση: xe f x f x 1 f x xf x για κάθε x .
www.askisopolis.gr
12
α) Να αποδείξετε ότι: xf x ln e x , .
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xln e x συνx έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα
π
0,2
. (2011)
58. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ,για την οποία ισχύει: xxf x 1 e , για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι
xe 1, x 0
f x x
1, x 0
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση –1 f και να βρείτε το πεδίο
ορισμού της.
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
A 0,f 0 . Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η
εξίσωση 2f x x 2 , x έχει ακριβώς μία λύση.
δ) Να βρείτε το x 0lim x ln x ln f x
.
(Επαναληπτικές 2012)
59. Δίνεται η συνάρτηση 22f x αx β
x , x 0 με α,β .
α) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .
β) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, .
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f:
έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε.
έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και β , την οποία και να βρείτε.
δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0x 1 τοπικό
ακρότατο, το 0f x 7 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού.
(Εσπερινά 2012)
60. Δίνεται η συνάρτηση 4
f x αx, x 1, αx 1
.
α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
A 2,f 2 να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): x 3y 6 0 .
Αν α 1 , τότε:
β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.
δ) να βρείτε το όριο
2x 1
x 1 f x 6lim
x 1
. (Εσπερινά 2013)
61. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:
22xf x x f x 3 f x για κάθε x
1
f 12
α) Να αποδείξετε ότι 3
2
xf x , x
x 1
και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
www.askisopolis.gr
13
στο .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του προηγούμενου
ερωτήματος.
γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
3 22 2f 5 x 1 8 f 8 x 1
δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε xlim f x κ 5
. (Επ. Εσπερινά 2013)
62. Δίνεται η συνάρτηση 2αx x 2
h x , x 1, αx 1
. Αν η ευθεία με εξίσωση y x 2
είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο , τότε
α) Να αποδείξετε ότι α 1 .
β) i. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y x 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της h στο .
ii. Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
4x 3
h x 0x
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
1,0 . (Εσπερινά 2014)
63. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , για την οποία ισχύουν:
f x xf x 2x για κάθε x 0,
f 1 10
α) Να αποδείξετε ότι 2x 9
f x , x 0x
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f .
δ) Να αποδείξετε ότι f x 10 x 1 f x για κάθε x 1 .
(Επ. Εσπερινά 2014)
64. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι 2 1xf x x 1 x
x
για κάθε x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι 1 x 1
x , x 0f x x x
, x 0
.
β) Να υπολογίσετε την παράγωγο f x της συνάρτησης f για κάθε x 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1 .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1
,
.
(Εσπερινά 2015)
65. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 2f x 3x 4x x , x , όπου α είναι πραγματικός αριθμός. Αν η f
παρουσιάζει στο 0x 1 τοπικό ακρότατο, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι 12 .
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές
του , ώστε f x για κάθε x .
γ) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
www.askisopolis.gr
14
3
f xg x , x 0
x 1
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
2x
f x 1lim
x x
για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν.
(Επ. Εσπερινά 2015)
Στέλιος Μιχαήλογλου