ФУНКЦІОНАЛЬНИ ПОСЛІДОВНОСТІ І...

12 ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОСЛІДОВНОСТІ І РЯДИ

Н.М. Д’яченко 344

n

12 ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОСЛІДОВНОСТІ І РЯДИ 12.1. Поняття функціональної послідовності і функціональ-

ного ряду та їх рівномірної збіжності

Означення. Якщо у відповідність до кожного натурального ставиться деяка функція , задана на множині {x}, то мно-

жина занумерованих функцій утворює функціо-нальну послідовність.

n∈ ( )nf x

1 2( ), ( ),.., ( ),...nf x f x f x

Множина {x} на якій задана кожна із функції називається множиною визначення функціональною послідовності.

( )nf x

Означення. Нехай функціональна послідовність за-дана на {x}. Формально утворена сума вигляду

- називається функціональним ря-

дом, а множина {x}- множиною визначення функціонального ряду.

{ ( )}nu x

1 21

( ) ( ) ... ( ) ... ( )nn

u x u x u x u x∞

=

+ + + + = ∑

- загальний член функ. ряду. ( )nu x

( )nS x =1

( )n

kk

u x=∑ - часткові суми функ. ряду.

Функціональна послідовність (ряд) в т. 0 { }x x∈ називається збіжною, якщо числова послідовність збігається. 0{ ( )} ({ ( )})n nf x S x0

Означення. Множина точок 0 { }x x∈ , в яких функціональна послідовність (ряд) збігається називається областю збіжності послі-довності (ряду).

Зрозуміло, що область збіжності Х є підмножиною множини визначення {x} функ. послідовності (ряду), тобто { }X x⊆

Означення. Якщо 0x X∈ , де Х – область збіжності послі-довності (ряду), то їй можна співставити єдине значення границі по-

слідовності (суми ряду ). Таким чином утвори-

лась функція, що задана на області збіжності Х. Ця функція наз. гра-ничною функцією (сумою) відповідної послідовності (ряду). А саме:

0lim ( )nnf x

→∞0

1( )n

nu x

∞

=∑

( ) lim ( )X

nnf x f x

→∞= ( ( )

XS x =

1( )n

nu x

∞

=∑ ).

Щоб підкреслити збіжність функ. посл. (ряду) в кожній окремій точці із множини визначення ці функції називають поточковою границею



функ. послідовності (поточковою сумою функ. ряду). Інше позначен-ня:

( ) ( )n Xf x f x⎯⎯→ ( ), де 1

( )nn

u x∞

=∑ ( )

поточк

XS x= { }X x⊆ .

На мові означення поточкової збіжності на множині 0nε − A X⊆ (тут Х – область її збіжності) можна записати так:

0 0 0( ) ( ) 0 ( , ) : ( ) ( )def

n nXf x f x x A n n x n n f x f x⎯⎯→ ⇔∀ ∈ ∀ε > ∃ = ε ∈ ∀ ≥ − < ε . (☺)

Приклад. Розглянемо послідовність ( ) nnf x x= . Множина її ви-

значення: {x}= . Дослідимо її на збіжність в кожній точці множини визначення.

1, . .. . lim ( )( ) 0nnn

x то x н м п f x x→∞

< − ⇒ = + 1, . .. . lim ( )n

nnx то x н в п f x

→∞> − ⇒ = ∞ −

+

1, 1 lim ( ) 1n

nnx то x f x

→∞= = ⇒ =

1, ( 1) lim ( )n nnn

x то x f x→∞

= − = − ⇒ ∃ −/ Висновок: область збіжності – (-1,1]. Гранична функція (поточ-

кова границя) визначена на цій множині:

{0, ( 1,1)( ) lim ( ) 1, 1nn

xf x f x x→∞

∈ −= = = .

Означення. Функ. послідовність називається рів-номірно збіжною до функції на множині

0{ ( )}nf x( )f x A X⊆ (тут Х – об-

ласть її збіжності) – позначення ( ) ( )nX

f x f x→ –, якщо

0 0 00 ( ) ( ) ( )nn n n n x A f x f x∀ε > ∃ = ε ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − < ε . (☺☺) Зверніть увагу на місце розташування виразу « x A∀ ∈ » в (☺) і

(☺☺)! Поставимо запитання: чи завжди для будь-якого 0ε > можна знайти один, спільний для всіх значень x A∈ , номер , що залежить лише від , починаючи з якого буде виконуватися нерівність

0nε

( ) ( )nf x f x− < ε ? У випадку рівномірної збіжності послідовності від-повідь на це запитання позитивна.

Приклад 1. Дослідимо послідовність ( ) nnf x x= на рівномірну

збіжність на відрізку до функції [0,1] {0, [0,1)( ) 1, 1xf x x∈= = , яка є поточ-

ковою її границею на цьому відрізку.



Рис. 12.1.

На рис. 12.1 зображено декілька членів даної послідовності на [0 . ,1]

І спосіб. Нам потрібно перевірити, чи можливо для будь-якого 0ε > знай-ти один, спільний для всіх значень

[0,1]x∈ , номер , що залежить лише від

0nε , починаючи з якого буде викону-

ватися нерівність ( ) ( )nf x f x− < ε ? Той факт, що для кожного фіксованого [0,1]x∈ можна знайти свій номер , який залежить і від 0n ε і від x , випливає із означення грани-ці послідовності при фіксованому { ( )}nf x x . Якщо знайти для кож-ного фіксованого [0,1]x∈ свій номер , то спільним буде номер .

0 0 ( , )n n x= ε* *0 0 0

[0,1]( ) sup ( , )

xn n n

∈ε = = ε x

Доведемо, що для даної послідовності *0n = ∞ . Це буде озна-

чати нерівномірну збіжність функ. послідовності на . Роз-глянемо нерівність

[0,1]( ) ( )nf x f x− < ε : для маємо [0,1)x∈

ln(1/ )( ) ( ) 0ln(1/ )

n nnf x f x x x n

xε

− = − = < ε ⇔ > ;

1[0,1)

ln(1/ ) ln(1/ )sup limln(1/ ) ln(1/ )xx x x→∈

ε ε= = ∞ ,

Що і доводить потрібне. ІІ спосіб. Розглянемо заперечення логічного висловлювання 0 0 00 ( ) [0,1] ( ) ( )nn n n n x f x f x∀ε > ∃ = ε ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − < ε . Маємо: 0 00 [0,1] ( ) ( )n nn n n x f x f x∃ε > ∀ ∈ ∃ ≥ ∃ ∈ − ≥ ε .

Розглянемо послідовність 11 [0nxn

= − ∈ ,1] . Для неї

1 1( ) ( ) 1 0n

n n nf x f xn e

⎛ ⎞− = − − →⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

для 12e

ε < 0 011 [0,1] ( ) ( )n nn для n n для x вірно f x f xn

∀ ∈ = = − ∈ − ≥ ε .

Отже, виконується заперечення рівномірної збіжності, тобто послід. збігається нерівномірно на [0 . ,1]



Приклад 2. Дослідимо послідовність 2 2( )1n

xf xn x

=+

на рівно-

мірну збіжність на відрізку . [0,1]

Рис. 12.2.

На рис. 12.2 зображено декілька членів даної послідо-вності на [0 . ,1]

Знайдемо поточкову границю:

2 2lim ( ) lim 0 [0,1]1nn n

xf x xn x

= = ∀ ∈+

.

Доведемо, що , тобто [0,1]

( ) ( ))nf x f x→

0 0 00 ( ) [0,1] ( ) ( )nn n n n x f x f x∀ε > ∃ = ε ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − < ε . Розглянемо нерівність ( ) ( )nf x f x− < ε : для [0,1)x∈ маємо

2

2 22 2 2 2

2 2

(1 ) 01 2 1( ) ( ) 1 2 12 21 1 2 1

1

n

nxx nxf x f x n x nxn nn x n x nx

n x

− ≥ ⇔− = = ⋅ ≤ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ ⋅ <

+ +⇔ ≤

+

ε .

Остання нерівність здійснюється, починаючи з номера 01 12

n ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ε⎣ ⎦.

Знайдено номер, що залежить лише від , а від ε [0,1]x∈ не залежить. Тому дана послідовність рівномірно збігається на [0 . ,1]

Приклад 3. Дослідимо послідовність 2 2( )1n

nxf xn x

=+

на рівно-

мірну збіжність на відрізку до функції [0,1] ( ) 0f x = , яка є поточко-вою її границею на цьому відрізку.

Рис. 12.3.

На рис. 12.3 зображено декілька членів даної послідо-вності на [0 . ,1] Спробуємо оцінити різницю ( ) ( )nf x f x− зверху для [0,1)x∈ :



02 2 2 2

1 1( ) ( ) ( , ) 1.1n

nx nxf x f x n xnx xn x n x

− = < = < ε ⇒ ε = +ε+

Це підтверджує той факт, що функція ( ) 0f x = є границею послідов-ності в кожній окремій точці відрізка. Однак, спільного номера серед

знайти не можна, оскільки 0 0 ( , )n n x= ε[0,1]

1supx x∈

= ∞ε

.

З зазначеної оцінки не можна зробити висновків щодо нерів-номірної збіжності. Для цього потрібно оцінювати знизу:

2 2 2 2 1

1( ) ( )21 1n

xn

nx nxf x f xn x n x =

− = ≥ =+ +

⇒

для 12

ε < 0 01 [0,1] ( ) ( )n nn для n n для x вірно f x f xn

∀ ∈ = = ∈ − ≥ ε .

Зауваження 1. ( ) ( )) lim sup ( ) ( ) 0n nnXf x f x f x f x

→∞→ ⇔ − = .

Сформульоване зауваження є наслідком означення рівномірної збіжності на множині. Зауваження 2. За означенням ( ) ( ))n

Xf x f x→ означає, що

0 0 00 ( ) [0,1] ( ) ( )nn n n n x f x f x∀ε > ∃ = ε ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − < ε .

Рис. 12.4.

В термінах ε -околів це означає, що усі члени функціональної послідовності, починаючи з де-якого номера, знаходяться в ε -околі функції . При цьому вони у всіх точках множини за-довольняють нерівності

( )f x

( ) ( ) ( )nf x f x f x− ε < < + ε . Графіки функцій ( ) ( )f x i f x− ε + ε

можна отримати зсувом графіка функції відповідно на ( )f x ε вгору і вниз, що зображено на рис. 12.4. Геометрично на декартовій площині отримано об’єкт, який має назву « ε -труби» функції . ( )f x Можна бачити, що у випадку прикладу 2 функції із послідов-ності все ближче наближаються усіма точками до функції ( ) 0f x = , потрапляючи у її « ε -трубу». Цього не можна стверджувати для при-кладів 1 і 2, в яких незалежно від 1/ 2ε < поза межами « ε -труби» бу-дуть завжди знаходитися деякі точки графіків усіх функцій-членів



послідовності. Так, для прикладу 1 це будуть точки графіків функ-цій-членів з абсцисами, близькими до 1, а для другого прикладу ті точки графіків, ординати яких близькі до ½.

Означення. Функціональний ряд наз. рівномірно

збіжним до якщо функціональна послідовність його часткових сум рівномірно збігається на Х, тобто

1( )n

nu x

∞

=∑

( )S x

1( ) ( )n

Xnu x S x

∞

=

→∑ def

⇔ ( )nX

S x → )(xS .

Приклад. Ряд 0 !

n

n

xn

∞

=∑ на [-a,a] є рівномірно збіжним до

( ) xS x e= . Дійсно,

0( ) ;

!( ) ( ) ( ),

kn

nk

n n

xS xk

S x S x R x=

=

= +

∑

де залишковий член в формулі Маклорена; −)(xRn

( ) ( ) ( )n nS x S x R x− = ; ( 1)

1 1( )( )( 1)! ( 1)!

n xn n

nf x eR x x x

n n

+ θ+ +θ

= ⋅ = ⋅+ +

;

1

[ , ]0 sup ( ) ( )

( 1)!

na

na a

aS x S x e

n

+

−≤ − = ⋅

+ ⇒

⇒[ , ] [ , ]0

( ) ( )!

nx

na a a an

xS x S x en

∞

− −=

→ ⇔ →∑ .

Теорема (критерій Коші рівномірної збіжності функціональ-ної послідовності).

0 0

( ) ( )

0 (n

X

n p n

f x f x i

n n n p x X f x f x+

→ ⇒ ⇐

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ − < ε ∗) ( ) ( )

Доведення. Необхідність.

0 0

( ) ( )

0 : ( ) ( ) / 2n

X

n

f x f x

n n n x X f x f x

→ ⇔

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − < ε ⇒

тим більше ( ) ( ) / 2n pp f x f x+∀ ∈ − < ε . Звідси



( ) ( )n p nf x f x+ − ( ) ( ) ( ) ( )2 2n p nf x f x f x f x+

ε ε≤ − + − ≤ + = ε .

Достатність. Нехай виконується (*) у кожній точці ⇒x X∈ -фіксов. - фундаментальна⇒ числова послідовність

збігається в кожній точці { ( )}nf x

{ ( )}nf x x X∈ . Знайдемо її поточкову гра-ничну функцію : lim (nn

)f x f→ x .

Здійснимо граничний перехід в (*): 0n n x X∀ ≥ ∀ ∈ lim ( ) ( ) ( ) ( )n p n np

f x f x f x f x+→∞− = − ≤ ε .

Маємо 0 00 ( nn n n x X f x f x∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ − ≤ ε) ( )

⇐

. ■ Теорема (критерій Коші рівномірної збіжності функціональ-

ного ряду).

1( ) ( )n

Xnu x S x i

∞

=

→ ⇒∑

0 01

0 : ( )n p

kk n

n n n p x X u x+

= +

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ <∑ ε .

Наслідок. 1

( )nXn

u x∞

=

→∑ послідовність його залишків рів-

номірно збігається до нульової функції , тобто .

i⇒ ⇐

( ) 0xθ ≡ ( ) ( )nX

r x x→θ

12.2 Достатні ознаки рівномірної збіжності рядів

Теорема (ознака Вейєрштрасса).

Якщо для функ. ряду існує числовий збіжний ряд

, що мажорує функціональний, тобто

1( )n

nU x

∞

=∑

1:n n

nC C

∞

=

≥∑ 0

( )n nU x C x X≤ ∀ ∈ , тоді 1

( )nXn

U x∞

=

→∑ .

Ряд наз. мажорантний рядом. 1

nn

C∞

=∑

(Можна сформулювати цю ознаку інакше. А саме. Якщо функ-ціональний ряд на множині X можна мажоруваати числовим знако-додатним збіжним рядом, то функціональний ряд на X рівномірно збігається.)



ε

Доведення.

0 01

. 0 0n p

n n kk n

C зб C n n n n p C+

= +

− ∧ ≥ ∀ ∈ ⇒ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ <∑ ∑ .

За умовою і нерівністю трикутника отримаємо

01 1 1 1

( ) ( ) ( )n p n p n p

k k k nXk n k n k n n

n n p U x U x C x X u x+ + + ∞

= + = + = + =

∀ ≥ ∀ ∈ ≤ ≤ < ε ∀ ∈ ⇒ →∑ ∑ ∑ ∑ . ■

Приклад. 1) Дослідити ряд на рівномірну збіжність на множині Х:

21

sin ,n

nx Xn

∞

=

=∑ .

Оскільки

2 2

. .

sin 1

.озн В

nx xn n

зб

⎫≤ ∀ ∈ ⎪⇒⎬

→ ⇐ ⎪⎭

ряд 21

sinn

nxn

∞

=∑ рівн. зб. на .

У даному прикладі мажорантним виступає узагальнений гармоніч-

ний ряд 21

1n n

∞

=∑ із показником степеня знаменника 2, тому він збіжний.

2) Не завжди ознаку Вейєрштрасса можна застосовувати. Ряд може рівномірно збігатися, але не завжди його можна мажорувати числовим збіжним рядом. Наприклад, розглянемо ряд

1 2 3 4

1

( 1) ... ln(1 ) [0,1]2 3 4

n n

n

x x x xx xn

+∞

=

−= − + − + = + ∀ ∈∑ x .

Його члени можна оцінити таким чином 1

[0,1]

( 1) 1supn n nx xn n

+−≤ =

n.

Оскільки числовий ряд оцінки 1

1n n

∞

=∑ розбігається, тожоднлого висно-

вку про рівномірну збіжність зробити не можна. Тому ознаку Вейєр-штрасса не можна застосовувати. Доведемо його рівномірну збіжність в інший спосіб. Цей ряд має залишок, який можна представити як залишковий член в формулі Маклорена в формі Лагранжа:

( ) ln(1 ) ( ) ( )n nS x x S x R x= + = + ; ( ) ( ) ( )n nS x S x R x− = ;



( 1)1( )( ) , 0 1

( 1)!

nn

nf xR x x

n

++θ

= ⋅ <+

θ < - загальний вигляд залишкового члену

в формі Лагранжа; знайдемо його для функції ( ) ln(1 )f x x= + : 1( )

1f x

x′ =

+; 2

1( )(1 )

f xx

′′ = −+

; 3

( 1) ( 2)( ) ;(1 )

f xx

− ⋅ −′′′ =+

( 1)1

( 1) !(1 )

nn

n

nfx

++

− ⋅=

+

1

1

( 1) !( )( 1)(1 )

n n

n n

n xR xnx

+

+

−⇒ = ⋅

++ θ !.

Оцінимо його 11

1 1

( 1) ! 1( ) [0,1]( 1)! 1(1 ) (1 ) ( 1)

nn n

n n n

xn xR x xn nx x n

++

+ +

−= ⋅ = ≤ ∀ ∈

+ ++ θ + θ +.

Отже, [0,1]

1lim sup ( ) ( ) lim 01nn nx

S x S xn∈

− ≤+

= . Це означає, що

1

[0,1] [0,1]1

( 1)( ) ( ) ( ) ln(1 )n n

nn

xS x S x S x xn

+∞

=

−→ ⇒ → = +∑ .

Висновок: однієї лише ознаки Вейєрштрасса не достатньо для дослідження рядів на рівномірну збіжність. Пригадаємо пертворення Абеля і лему щодо нього. Якщо -монотон., 1{ }m

n i=α

1{ }mn i=β така, що множина

- обмежена зверху

за модулем числом L>0 1 1

mn

n kk n

B= =

⎧= β⎨

⎩ ⎭∑ ⎫

⎬

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

( )11

2 .m

i i mi

L=

⇒ α β ≤ ⋅ α + α∑

Теорема (ознака Абеля).

1

1

( ) ;

( ){ ( )} . .;{ ( )} ,

0 : ( ) ,

nXn

n nnXn

n

n

b x

a b xa x поточково на Х нестр монотa x рівномірно обмежена на Х тобто

n x X a x

∞

∞=

=

⎫→ ⎪

⎪⇒ →− ⎬⎪−⎪∃µ > ∀ ∈ ∀ ∈ ≤ µ ⎭

∑∑ .

Доведення. Оскільки 1

( )nXn

b x∞

=

→∑ , то за критерієм Коші

0 01

0 : ( )n p

kk n

n n n p x X b x+

= +

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ <∑ ε .

Застосуємо лему, яку наведено вище:



( )1 1

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) 3 .

n p pi i n

k k n i n ii i nk n i

n n p

m pa xa x b x a x b x a x

La x a x

++

+ ++= + =

+ +

=α =≤ ≤ β == ε

≤ ε ⋅ + ≤ µε

∑ ∑ ≤

Отже, згідно до критерію Коші маємо 1

( )n nXn

a b x∞

=

→∑ . ■

Теорема: ознака Діріхле

Якщо така, що - рівно-

мірно обмежена на Х, тобто

{ ( )}nb x1

( ) ( )n

n kk

B x b x=

= ∑

0 : ( )nn x X B x∃µ > ∀ ∈ ∀ ∈ ≤ µ , { ( )}na x - поточково на Х не зростаюча і

, ( ) ( )nX

a x x→θ

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

1

( )n nXn

a b x∞

=

⇒ →∑ .

Доведення. Оскільки , то за означенням ( ) ( )nX

a x x→θ

0 00 : ( ) ( )nn n n x X a x x∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ −θ < ε ,

тим більше p∀ ∈ ( )n pa x+ < ε . Застосуємо лему, яку наведено вище:

( )1 01

( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3( )

n pi i n

k k n n pi i nk n

m pa xa x b x a x a x x X n na x

L

++

+ ++= +

=α =≤ ≤ µ + < µε ∀ ∈ ∀β == µ

∑ ≥ .

Отже, згідно до критерію Коші маємо 1

( )n nXn

a b x∞

=

→∑ . ■

Зауваження. Іноді функціональний ряд можна представити так, що його члени є добутками якоїсь числової і якоїсь функціона-льної послідовностей. Тоді те, що стосується числової послідовності не треба розглядати з точки зору рівномірного виконання, тому що числова послідовність не залежить від .x

Приклад. Розглянемо ряди sinnn

a nx∑ і cosnn

b nx∑ на множині

тих x X∈ , для яких sin 02x x X≠ ∀ ∈ . Наприклад, на множині



,2

X π⎛ ⎞= δ⎜ ⎟⎝ ⎠

, де 0δ > . Додатково припустимо, що

не зростаючі і . { }{ } :n

n

a числові послідовностіb⎫−⎬

⎭0, 0n na b→ →

Застосуємо ознаку Діріхле:

1

1 1

1

1 1sinsin sin

2 2 sin cos1 1cos

sin sin2 2

n

kn n

nk k

k

kxx

kx i kxkx

x

=

= =

=

⎫≤ ≤ ⎪δ ⎪

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪⇒⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩⎪≤ ≤

⎪δ⎪⎭

∑

∑ ∑∑ ⎭

- рівном. обмежені.

Послідовності { }{ }

n

n

ab

⎫⎬⎭

заздалегідь задовольняють умові ознаки Діріхле.

Отже, ряди і sinnn

a n∑ x xcosnn

b n∑ рівномірно збігаються на Х в за-

значених припущеннях.

Наприклад, ряди sinp

n

nxn∑ і cos

pn

nxn∑ при рівномірно

збігаються на

0p >

,2

X π⎛= δ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , де 0δ > .

12.3 Функціональні властивості сум рядів

Зауваження: Функціональна послідовність і ряд взаємо

пов’язані. Наступна властивість здійснюється, як для послідовностей, так і для рядів. Однак, для випадку рядів застосовується частіше. То-му саме для цього випадку ми її спочатку детально вивчимо.

12.3.1. Неперервність суми функ. ряду. Теорема (про неперервність суми функціонального ряду). Розглянемо функціональний ряд на ∑

nn xU )( ],[ ba

0

0

[ , ]1

( ) . . [ , ];( ) . .( ) ( ),

n

na bn

n U x неп в т x a bS x неп в т xU x S x

∞

=

∀ ∈ − ∈ ⎫⎪⇒ −⎬→ ⎪⎭∑

Доведення.



0( ) . .nU x неп в т x− ⇒ 1

( ) ( )n

n kk

S x U x=

= ∑ 0. .неп в т x− ⇒

0 00 0 : [ , ] ( ) ( )3n nx a b x x S x S x ε

⇒ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ − < δ⇒ − < ; (1)

[ , ] [ , ]1( ) ( ) ( ) 0n n

a b a bnU x r x x

∞

=

→ ⇒ → θ ⇔ ∀ε >∑ 0n∃ ∈

0 [ , ] ( )3nn n x a b r x ε

∀ ≥ ∀ ∈ < . (2)

Зокрема, 0 0( )3nn n r x ε

∀ ≥ <

0

. (3)

Знаючи, що

0 0

( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),

n n

n n

S x S x r xS x S x r x

= += +

застосуємо нерівності (1), (2) і (3) і нерівність трикутника:

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3n n n nS x S x S x S x r x r x ε ε ε

− ≤ − + + − < + + = ε .

Отже, 0 00 0 : [ , ] ( ) ( )x a b x x S x S x∀ε > ∃δ > ∀ ∈ − < δ⇒ − < ε , тобто . ■ 0( ) . .S x неп в т x−

Із теореми випливають необхідні умови рівномірної збіжності ряду з неперервними членами на відрізку, а саме: неперервність суми такого ряду на цьому відрізку.

Наслідок. Якщо сума функціонального ряду з неперервними членами не є неперервною в т. , тоді і функціональний ряд не буде рівномірно збігатись.

0x

В той же час ця теорема дає достатні умови неперервності суми функціонального ряду, такими умовою є рівномірна збіжність цього ряду і неперервність його членів.

Розглянемо випадок, коли рівномірна збіжність являється не-обхідною.

Теорема Діні. .

[ , ]1

[ , ]

( ) ( );

( ) ( )( ) . [ , ];( ) . [ , ] ;

!!! ( ) 0 [ , ] ,

Поточ

n a bn

na bn

n

n

U x S x

U x S xS x неп на a bU x неп на a b n

U x x a b n

∞

=

⎫= ⎪

⎪⇒ →− ⎬⎪− ∀ ∈⎪≥ ∀ ∈ ∀ ∈ ⎭

∑∑ .

Доведення. Розглянемо послідовність залишків



⇒1

( ) ( ) , ( ) 0 [ , ]n n nk n

r x U x U x x a b∞

= +

= ≥ ∀ ∈∑

⇒ 1 2( ) ( ) ... ( ) ...nr x r x r x≥ ≥ ≥ ≥ [ , ]x a b∀ ∈ ⇒

{ ( )} [ , ]nr x поточково на a b⇒ . За умовою функ. ряд ( )n

nU x∑ поточково збігається (до

- поточкові на [ , . ( )) ( ) ( )nS x r x x⇒ →θ ]a b Довести:

[ , ] [ , ]( ) ( ) ( ) 0n n

a b a bnU x S x r x→ ⇔ → ⇔∑

0⇔∀ε > знайти хоча б один номер . Одно-го номера достатньо, оскільки для в силу не зростання по-слідовності залишків будемо мати .

00 : [ , ] ( )nn x a b r x∈ ∀ ∈ < ε

0n 0n n≥

0 0( ) ( ) ( )n n nr x r x r x n n≤ < ε⇒ < ε ∀ ≥

Пп.: { }( )nr x − збіжна, але нерівномірно на [ ] [ ], 0 , : (n n na b n x a b r x⇒ ∃ε > ∀ ∈ ∃ ∈ ≥ ε) .

Розглянемо { } [ ] { }. .

, : limk kn n kth Б В nx a b x x x

−⊂ ⇒ ∃ = . Оскільки

[ ][ ] [ ]

1

( ) . , ; ( ) ( ) ( ) . ,( ) . , ,

nn

n kk

n U x непер на a b r x S x U x непер на a bS x непер на a b =

⎫∀ ∈ −⇒ = − −⎬− ⎭

∑ ,

тоді [ ] *

*( ) ,

lim ( ) ( )lim kk

mm n mkn

k

r x неперервна на a br x r xx x

⎫− ⎪⇒ =⎬=⎪⎭

.

Для будь-якогоm∈ існує k ∈ , що . Тоді в силу не зростан-ня послідовності залишків . Зокрема,

. За побудовою послідовності {

km n<( ) ( ) [ . ]

km nr x r x x a b≥ ∀ ∈

( ) ( )k k km n n nr x r x≥

knx } маємо , тому . Здійснимо граничний перехід:

( )k kn nr x ≥ ε

( )km nr x ≥ ε

*lim ( ) ( )km n mk

r x r x m= ≥ ε ∀ ∈ .

Отримане суперечить поточковій збіжності до нульової функції, зок-рема в точці *x . ■

12.3.2. Почленний граничний перехід. Розглянемо приклад ряду, з якого видно, що не завжди мож-

ливо робити почленний перехід до границі.

Розглянемо ряд на [0 . Його члени 1

0 0(1 ) ( )n n n

n nx x x x

∞ ∞+

= =

− = −∑ ∑ ,1]



( ) (1 )nnU x x x= − - неп. на [0 . Знайдемо суму цього ряду: ,1]

2 2 3 1 1( ) 1 ... 1n n nnS x x x x x x x x x+ += − + − + − + + − = − ⇒

[ )1, 0, 1( ) lim ( )0, 1nn

xS x S xx→∞

⎧ ∈⇒ = = ⎨ =⎩.

Функція , що є сумою цього ряду розривна. Тому за теоремою про неперервність суми функ. ряду, цей ряд збігається нерівномірно.

( )S x

Здійснимо граничний перехід при : 1 0x → −

для суми ряду 1

1 0 1 00lim ( ) lim ( ) 1n n

x xnx x S x

∞+

→ − → −=

− = =∑ ,

почленний 1

1 00 0lim ( ) (1 1) 0n n

xn nx x

∞ ∞+

→ −= =

− = − =∑ ∑ .

Отже, . 1 1

1 0 1 00 0

0 1

lim ( ) lim ( )n n n n

x xn nx x x x

∞ ∞+ +

→ − → −= =

= =

− ≠ −∑ ∑

Причина цього в нерівномірній збіжності ряду на [0 . ,1]Розглянемо [ ]0, α , ( )0, 1α∈ . Застосуємо теорему Діні

.

[0, ]0 1

[0, ]0

( ) ( ),

( )( ) . [0, ],( ) . [0, ] {0},( ) 0 [0, ] {0},

Поточ

nn n n

nn

n

U x S x

( )x x SS x неп наU x неп на nU x x n

∞

α ∞= +

α=

⎫= ⎪

⎪⇒ − →− α ⎬⎪− α ∀ ∈⎪≥ ∀ ∈ α ∀ ∈ ⎭

∑∑

∪∪

x .

Розглянемо можливість граничного переходу в точці [ ]0,β∈ α :

1

0

1 1 2 2 3

0 0

lim ( ) lim ( ) ( ) 1,

lim( ) ( ) 1 ... 1,

n n

x xn

n n n n

xn n

x x S x S

x x

∞+

→β →β=

∞ ∞+ +

→β= =

⎫− = = β = ⎪⎪⇒⎬⎪− = β −β = −β+β−β +β −β + =⎪⎭

∑

∑ ∑

⇒ . 1 1

0 0

1 1

lim( ) lim ( )n n n n

x xn nx x x x

∞ ∞+ +

→β →β= =

= =

− = −∑ ∑

Граничний перехід у будь-якій точці відрізка [ ]0, α можливий, і має місце рівномірна збіжність ряду на [ ]0, α .

Теорема (почленний граничний перехід під знаком суми функ. ряду).



1

1

1) ( ) ( );1) ;

2) ;2) lim ( ) .3) lim ( ) ,

nXn

nn

n n x ax a

U x S xC C

a точка скучення множини XS x CU x C

∞

∞=

=

→→

⎫→ ⎪ ⎧ =⎪ ⎪− ⇒⎬ ⎨== ⎪ ⎪⎩⎪

⎭

∑∑

Другий висновок теореми можна переписати в такий спосіб:

1 1lim ( ) lim ( )n nx a x an n

U x U x∞ ∞

→ →= =

=∑ ∑ ,

що і означає почленний граничний перехід.

Доведення. За умовою , тому 1

( ) ( )nXn

U x S x∞

=

→∑

0 00 n n n p x X∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈1

( ) / 2n p

kk n

U x+

= +

< ε∑ ,

тобто

1 2( ) ( ) . . . ( )2n n n pu x u x u x+ + +

ε+ + + < . (1)

Здійснимо граничний перехід під знаком нерівності (1): ax→

lim

1 2 . . .2n n n p

nC C C C+ + +

ε+ + + ≤ < ε ⇒ n∑ - збігається (критерій Коші);

значення границі позначимо через . Тоді C

nC C= + γn , де 1

n

n kk

C C=

= ∑ , 1

n kk n

C∞

= +

γ = ∑ .

Оскільки , то 1

( ) ( )nXn

U x S x∞

=

→∑ )()()( xrxSxS nn += , і після

граничного переходу в (1) при отримаємо p →∞

1 2( ) ( ) . . . ( )2n n nu x u x x+ +

ε+ + = γ ≤ .

Аналогічно можна отримати: 2nε

γ ≤ .

Має місце оцінка: ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nS x C S x C x S x C− ≤ − + γ + γ ≤ − + ε . (2)

Оскільки )(...)()( 1 xuxuxS nn ++= , то

1lim ( ) . . .n nx aS x C C C

→= + + = n .

За означенням границі функції в точці



0 0: 0 ( )n nx X x a S x C∀ε > ∃ δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε .

Підставимо останнє в (2): ( ) 2S x C− < ε + ε = ε .

Маємо: 0 0: 0 ( )x X x a S x C∀ε > ∃ δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε2 .

Це означає, що lim ( )x a

S x C→

= . ■ 12.3.3. Почленне інтегрування і диференціювання функ.

рядів. Теорема (почленне інтегрування функ. рядів).

[ ]

[ , ]1

( ) - неперервна на , ;

( ) ( ) ,

n

na bn

n U x a b

U x S x∞

=

⎫∀ ∈⎪⇒⎬→ ⎪⎭

∑1

1 1

1) ( ) ;2) ( ) .;

3) ( ) ( ) .

b b

nna a

b b

n nn na a

S x dx U x dx зб

U x dx U x dx

∞

=∞ ∞

= =

∃ −

=

∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

Доведення. [ ]

[ , ]1

( ) - непер. на , ;

( ) ( ) ,

n

na bn

n U x a b

U x S x∞

=

⎫∀ ∈⎪⇒⎬→ ⎪⎭

∑ ( )S x - непер. на [ ],a b інтегр. на ⇒

[ ],a b . ⇒ ( )b

a

S x dx∃∫Почленно проінтегруємо рівність

1 2( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )n nS x u x u x u x r x= + + + + , отримаємо

1( ) ( ) . . . ( ) ( )b b b b

n na a a a

S x dx u x dx u x dx r x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫

Для того, щоб отримати останні два висновки теореми, потрібно до-

вести: . Оскільки ( ) 0b

n na

r x dx→∞→∫

[ ]0 0[ , ] [ , ]1

( ) ( ) 0 0 : , ( )n n na b a bn

U x r x n n n x a b r xb a

∞

=

ε→ ⇒ → ⇒∀ε > ∃ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ <

−∑ ,

тому за властивостями інтеграла, пов’язаними із знаком нерівності

( )( ) ( )b b

n na a

r x dx r x dx b ab aε

≤ ≤ ⋅ −−∫ ∫ = ε . ■



( 1)−

Приклад. В наступному прикладі перевіримо можливість по-членного інтегрування на під знаком суми ряду

.

[0,1]

( )2 2 2 22 2

12 2 ( 1)n x n x

nxn e x n e

∞− −

=

− −∑Дослідимо цей ряд на рівномірну збіжність за означенням.

Для цього знайдемо його часткові суми:

( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 ( 1)

12 2 2 3 2 2

2 2 ( 1) 2

( ) 2 2 ( 1)

2 2 2 2 2 3 2 2 ...

2 2 ( 1) 2 .

nk x k x

nk

x x x x x

n x n x n x

S x xk e x k e

xe x e xe x e x e

xn e x n e xn e

− − −

=− − − − −

− − − −

= − − =

= + − + − +

+ − − =

∑+

Тепер дослідимо на рівномірну збіжність послідовність { }( )nS x . Спочатку знайдемо поточному границю послід. { }( )nS x :

2 2

2 2

22 2( ) lim 2 lim 0n x

n xn n

xnS x xn ee

−

→∞ →∞= = = .

Далі перевіримо здійсненність рівності ?

[0,1]lim sup ( ) ( ) 0nn

S x S x→∞

− = .

Знайти ( )2 22

[0,1]sup 2 0 ?n xxn e− − −

Супремум неперервної функції досягається або в критичних точках відрізка, або на його кінцях. Знайдемо критичні точки:

( )2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

' 2 22 2 2 2

2 2

2 (1 22 2 2 2n x n x n x

n xn x n x n x

x e x n xe e n xxn e n n ne e e

− − −′ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ) 0 ;

2 2 11 2 02

x n xn

− = ⇒ = .

Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка:

2 222 n xxn e−

2 2

2 2 2

2

22 2 2

2

02

2 2

11

2 2 21

2

2 0;

22 2 ;

1 22 22

n x

x

n x nnx

nn x n

xn

xn e

nxn e n ee

nxn e n en e

−

=

− −

=

−−

=

=

= =

= = .

Отже, ( )2 22

[0,1]

2sup 2 0n x nxn ee

− − = , тому [0,1]

lim sup ( ) ( ) 0nnS x S x

→∞− ≠ .

Висновок: ряд збігається нерівномірно.



2) =

Бувають такі випадки, коли нерівномірно збіжний ряд можна почленно інтегрувати. Перевіримо, чи належить цей ряд до таких. Здійснимо почленне інтегрування формально:

( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2

1 0 0 0

2 2 ( 1) ( ) ( ( 1)n x n x n x n x

n

xn e x n e dx e d n x e d x n∞

− − − − − −

=

⎛ ⎞− − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2 21 1( 1) ( 1)00 1

( )n x n x n n

ne e e e

∞− − − − − −

=

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ .

Знайдемо часткові суми отриманого ряду та їх границю: 2 21 0 4 1 ( 1). . . 1 1n n n

n nS e e e e e e e− − − − − − −

→∞= − + − + + − + = − → .

Оскільки раніше було знайдено ( ) 0S x = , то і цю функцію проінтег-

руємо: 1 1

0 0

( ) 0 0S x dx dx= =∫ ∫Загальний висновок: в цьому випадку нерівномірно збіжний

ряд не можна інтегрувати почленно.

Приклад. Ряд 0

(1 )n

nx x

∞

=

−∑ на нерівномірно збігається, але

його можна почлено інтегрувати. Перевірте це !

[0,1]

Теорема (узагальнена теорема про почленне інтегрування). [ ]

[ , ]1

( )- інтегровна на , ;

( ) ( ),

n

na bn

n U x a b

U x S x∞

=

⎫∀ ∈⎪⎬→ ⎪⎭

∑ ⇒1 1

( ) ,

( ) ( ( ))b b

n nn na a

S x інтегровна

u x dx u x dx∞ ∞

= =

−

=∑ ∑∫ ∫

Доведення. За умовою , тому 1

( ) ( )nXn

U x S x∞

=

→∑

0 00 n n n x X∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ( ) ( ) /(2( ))nS x S x b a− < ε − .

Оскільки [ ]( )- інтегровна на ,nn U x a b∀ ∈ , то - інте-

гровна на . Так як

0

01

( ) ( )n

nk

S x u x=

= ∑ k

[ , ]a b ( ) ( ) /(2( ))nS x S x b a− < ε − , то

0 0( ) ( ) ( )

2( ) 2( )n nS x S x S xb a b aε ε

− < < +− −

.

Розглянемо [ , ] [ , ]a bα β ⊂ . Позначимо

0 0[ , ][ , ]sup ( ) , inf ( )n nM S x m S x

α βα β= = ,

Тоді ( )2( ) 2( )

m S x Mb a b aε ε

− < < +− −

, а коливання на [ ,( )S x ]α β



02( ) 2( ) nS SM m M mb a b a b a b aε ε ε

ω < + − + = − + = ω +− − −

ε−

.

Якщо [ , відповідає відрізку розбиття [ , , то ]α β ]a b

0 0

1 1 1

n nN N NS S

k k k k k kk k k

x xb a= = =

ε⎛ ⎞ω ∆ < ω + ∆ = ω ∆ + ε⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑ ∑ x

x

.

Функція - інтегрована на [ , , тому 0( )nS x ]a b

0 0

1 1lim 0 0 0 : { }n n

N NS Sk k k k kN k k

x x d→∞

= =

ω ∆ = ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ < δ⇒ ω ∆ < ε∑ ∑ .

Із двох останніх нерівностей отримаємо 0

1 10 0 : { } 2n

N NS

k k k k kk k

x d x x= =

∀ε > ∃δ > ∀ < δ⇒ ω ∆ < ω ∆ + ε < ε∑ ∑ .

Це означає за критерієм Дарбу інтегрованість функції на [ , . ( )S x ]a b Завершення доведення, щодо другого висновку теореми здій-снюється аналогічно попередній теоремі. ■

Теорема (почленне диференціювання функ. рядів). n∀ ∈ неперервно дифе-

ренційовані на ; ( )nU x

[ , ]a b

поточково на ; 1

( ) ( )nn

U x S x∞

=

=∑ [ , ]a b

'

[ , ]1( )n

a bnU x

∞

=

→∑ ;

⎫⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎭

'1) ( )S x∃ на [ , ]a b' '2) ( ) ( )

( )

n

nn

U x S x

U x

= =′⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑.

В позначенні Коші друге співвідношення можна записати в інший спосіб, якщо ввести позначення : '( ) ( )Df x f x=

1 1( ) ( )n n

n nD U x DU x

∞ ∞

= =

=∑ ∑ .

Доведення. Нехай . Довести: . *

[ , ]1( ) ( )n

a bnU x S x

∞

=

′ →∑ * '( ) ( )S x S x=

Оскільки і *

[ , ]1( ) ( )n

a bnU x S x

∞

=

′ →∑ n∀ ∈ неперервно ди-

ференційовні на , то

( )nU x

[ , ]a b*1) ( )S x - неперервна на (теорема про неперервність суми фу-

нкціонального ряду); ],[ ba

2) ряд можна почленно інтегрувати, а саме: 1

( )nn

U x∞

=

′∑


Н.М. Д’яченко

' *

1

1 1 1

( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

x x

nn a a

n n n nn n n

U x dx S x dx

U x U a U x U a S x S a

∞

=∞ ∞ ∞

= = =

⎫= ⎪⎪⇒⎬

⎪− = − = −⎪⎭

∑∫ ∫

∑ ∑ ∑і за формулою

Ньютона-Лейбніца . ' ( ) ( ) ( )x

n n n* ( ) ( ) ( )

x

a

S x dx S x S a⇒ = −∫a

U x dx U x U a= −∫*

*[ , ]1

( ) ( ) ; ( ) . [ , ]( ) . [ , ],

na bn

n

U x S x S x непер на a bU x непер на a b

∞

=

⎫′ ⎪→ ⇒ −⎬⎪′ − ⎭

∑ .

Оскільки - неперервна, то (за властивістю інтеграла із змін-

ною верхньою межею) - диференційована, тому

)(* xS* ( )

x

a

S x dx∫

( )* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

a

S x S x dx S x S a S x S x′⎛ ⎞ ′ ′= = − ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

Отже, . ■ ' '

1( ) ( )n

nU x S x

∞

=

=∑

Приклад. Ряд 2

21

cosn

n xn

∞

=∑ рівномірно збіжний, оскільки

2

2 2

..

cos 1

збозн B

n xn n→ ⇒

≤ .

Формально його почленно продиференціюємо: '2 2 2

22 2

1 1 1

cos sin sinn n n

n x n x n n xn n

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞ − ⋅= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ .

Ряд розбіжний, так як не виконується необхідна умова збі-

жності ряду. Отже, даний ряд був рівномірно збіжним, однак не був рівномірно збіжним ряд із його похідних, і його не можна диферен-ціювати почленно.

2

1sin

nn x

∞

=∑

Теорема (узагальнена про почленне диференціювання). n∀ ∈ диференційо-

вані на ; ( )nU x

[ , ]a b '

[ , ]11) ( );

2) ( )n

a bnU S x

S x визначається

∞

=

→∑⎫⎪⎪⎪

363


Н.М. Д’яченко

ряд збіжна хоча б в од-

ній точці ; 1

( )nn

U x∞

=∑

[ , ]a b '

[ , ]1( )n

a bnU x

∞

=

→∑ ;

За бажанням вивчити доведення самостійно !

12.4 Функціональні властивості граничних функцій фун-кціональних послідовностей

Теорема (про неперервність границі функціональної послід.). 0

0[ , ]

( ) . . [ , ]( ) . .( ) ( )

n

na b

n f x неп в т x a bf x неп в т xf x f x

∀ ∈ − ∈ ⎫⎪⇒ −⎬→⎪⎭

.

Теорема Діні.

[ , ]

[ , ]lim ( ) ( ),( ) . [ , ], ( ) ( ).( ) . [ , ] ,

!!! ( ) ( )

nn

na bn

n

Поточково на a b f x f xf x неп на a b f x f xf x неп на a b n

f x

= ⎫⎪⎪− ⇒ →⎬− ∀ ∈ ⎪⎪⎭

.

Теорема (почленний граничний перехід). 1) ( ) ( );

1) lim ; 2) lim ( );2) ; 3) lim ( ) .3) lim ( ) ,

nX nn x a

x an nx a

f x f xC C f x

a точка скучення множини X f x Cf x C→

→→

→ ⎫∃ = ∃⎪

− ⇒⎬ == ⎪⎭

Другий висновок теореми можна переписати в такий спосіб: lim lim ( ) lim lim ( )n nx a n n x a

f x f x→ →

= ,

що і означає почленний граничний перехід. Теорема (почленне інтегрування функ. послід.).

[ ][ , ]

( ) - інтегровна на , ;( ) ( );

n

na b

n f x a bf x f x

⎫∀ ∈ ⎪⇒⎬→⎪⎭

1) ( ) ;2) ( ) .;

3) lim ( ) ( ) lim ( ) .

b b

na a

b b b

n nn na a a

f x dx f x dx зб

f x dx f x dx f x dx

∃ −

= =

∫ ∫

∫ ∫ ∫.

Теорема (почленне диференціювання функ. послід.). n∀ ∈ ( )nf x диференційовані

на ; [ , ]a bпослід. { ( )n }f x збіжна хоча б в одній точці ; [ , ]a b

[ , ]1) ( ) ( )n

a bf x f x→ ;

2) - диф. на ; ( )f x [ , ]a b

'3) ( )

( ) lim ( )nn

f x визначаєтьсярівністю f x f x= .

364

⎫⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪



[ , ]( )n

a bf x′ → ;

В позначенні Коші друге співвідношення можна записати в інший спосіб:

( ) ( )lim ( ) lim ( )n nn nD f x D f x= .

ФУНКЦІОНАЛЬНИ ПОСЛІДОВНОСТІ І...

Documents