Числові послідовностіЧислові послідовності ( 9 ( 9 класклас))

““Вивчення математики подібне до Нілу, Вивчення математики подібне до Нілу, що починається невеликим струмком, а що починається невеликим струмком, а закінчується великою річкою”закінчується великою річкою”

Ч. К. КолтонЧ. К. Колтон

МЕТА МЕТА :: Введемо поняття арифметичної та геометричної Введемо поняття арифметичної та геометричної

прогресії, нескінченно спадної геометричної прогресії, нескінченно спадної геометричної прогресії прогресії ( І ( І q q ІІ< 1< 1 ). ).

Сформулюємо властивості цих прогресій.Сформулюємо властивості цих прогресій. Виведемо формули Виведемо формули пп-го члена та суми перших -го члена та суми перших пп – –

членів арифметичної та геометричної прогресії. членів арифметичної та геометричної прогресії. Суми нескінченної спадної прогресії.Суми нескінченної спадної прогресії.

Навчимось розв’язувати вправи і задачі на Навчимось розв’язувати вправи і задачі на застосування вивченого матеріалу та прикладні застосування вивченого матеріалу та прикладні задачі.задачі.

Вивчимо:Вивчимо: означення та властивості арифметичної та означення та властивості арифметичної та

геометричної прогресії;геометричної прогресії; формули формули пп – го члена арифметичної та – го члена арифметичної та

геометричної прогресії;геометричної прогресії; формули суми формули суми пп – перших членів – перших членів

арифметичної та геометричної арифметичної та геометричної прогресії ;прогресії ; означення нескінченної геометричної означення нескінченної геометричної

прогресії прогресії ( І ( І q q ІІ< 1< 1 ) та формулу її суми. ) та формулу її суми.

Навчимося:Навчимося:

розпізнавати прогресії серед інших розпізнавати прогресії серед інших послідовностей;послідовностей;

знаходити будь – який член прогресії за знаходити будь – який член прогресії за формулою формулою пп – го члена; – го члена;

знаходити суму перших знаходити суму перших пп- членів арифметичної - членів арифметичної та геометричної прогресії; та геометричної прогресії;

розв’язувати базові задачі;розв’язувати базові задачі; записувати періодичний десятковий дріб у записувати періодичний десятковий дріб у

вигляді вигляді звичайного дробу; звичайного дробу; розв’язувати прикладні задачірозв’язувати прикладні задачі

ПланПлан1.1. Означення арифметичної та геометричної Означення арифметичної та геометричної

прогресіїпрогресії

2. 2. Властивості арифметичної та геометричної Властивості арифметичної та геометричної прогресіїпрогресії

3.3. Сума перших Сума перших пп - членів арифметичної та - членів арифметичної та геометричної прогресіїгеометричної прогресії

4.4. Нескінченна спадна геометрична прогресія та її Нескінченна спадна геометрична прогресія та її сумасума

5.5. Застосування геометричної прогресії до Застосування геометричної прогресії до перетворення нескінченних періодичних перетворення нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайнідесяткових дробів у звичайні

Історична довідкаІсторична довідка У давньоруському юридичному збірнику «Руська У давньоруському юридичному збірнику «Руська

правда» містяться відомості про приплід від правда» містяться відомості про приплід від худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу, худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу, про кількість зерна, зібраного з визначеної про кількість зерна, зібраного з визначеної ділянки землі та ін.ділянки землі та ін.

Вперше задачі на прогресії виникли зі Вперше задачі на прогресії виникли зі спостережень над явищами природи і з спостережень над явищами природи і з досліджень суспільно-економічних явищ, до яких досліджень суспільно-економічних явищ, до яких можна застосувати закон прогресії. можна застосувати закон прогресії.

Зміст ряду історичних задач на прогресії Зміст ряду історичних задач на прогресії відбувається за законом арифметичної прогресії, а відбувається за законом арифметичної прогресії, а інше — за законом геометричної. інше — за законом геометричної.

Числова послідовність заданаЧислова послідовність задана, , якщо будь – якщо будь – якому натуральному якому натуральному п п поставлено у поставлено у відповідність деяке числовідповідність деяке число

Числова послідовність (Числова послідовність ( aann ), кожен член якої, ), кожен член якої,

починаючи з другого, дорівнює починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додане одне й те саме попередньому, до якого додане одне й те саме число,число, називаєтьсяназивається арифметичною арифметичною прогресієюпрогресією..

Це число позначається буквоюЦе число позначається буквою dd і і називається називається різницею арифметичної прогресіїрізницею арифметичної прогресії

ФормулаФормула п- го п- го члена члена арифметичної арифметичної прогресіїпрогресії Nnndaan ),1(1

Послідовність (Послідовність ( ) ) є є арифметичною прогресієюарифметичною прогресією тоді і тоді і тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого, тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів:членів:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії , Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії , рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх членів.членів.

Формула суми перших Формула суми перших п п членів арифметичної членів арифметичної прогресії:прогресії:

na

Nnnaa

a nnn

;2,

211

Nnnnda

Snaa

S nn

n

,2

)1(2;

211

Геометричною прогресієюГеометричною прогресією називається називається послідовність, кожний член якої, починаючи з послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число.помноженому на одне й те саме число.

Це стале для даної послідовності число Це стале для даної послідовності число qq називають називають знаменником геометричної прогресії;знаменником геометричної прогресії;

(( )) — геометрична прогресія, — геометрична прогресія,

У геометричній прогресії перший член і У геометричній прогресії перший член і знаменник відмінні від нуля.знаменник відмінні від нуля.

1

n

n

b

bq

nb

qbbqbbqbb nn 13212 ;...;;

Геометрична прогресія називається Геометрична прогресія називається зростаючою чи спадноюзростаючою чи спадною в залежності від в залежності від того, зростає чи спадає абсолютна величинатого, зростає чи спадає абсолютна величина

У будь-якій геометричній прогресії квадрат У будь-якій геометричній прогресії квадрат кожного члена, починаючи з другого, кожного члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

112

nnn bbb

Зауваження.Правильне і обернене твердження: якщо в послідовності квадрат кожного члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів, то ця послідовність — геометрична прогресія.

Знаючи перший членЗнаючи перший член та знаменник (та знаменник (qq)) геометричної геометричної прогресії, можна знайти будь-який член прогресії, можна знайти будь-який член (( ), ), суму (суму (Sп)Sп) пп - - перших її членів за допомогою формул:перших її членів за допомогою формул:

1,1

1,1

)1(

1

1

11

qq

bqbS

qq

qbS

qbb

nn

n

n

nn

nb1b

Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію, Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію, продовжується необмежено, то прогресія продовжується необмежено, то прогресія називається називається нескінченною.нескінченною.

— — геометрична прогресія, .геометрична прогресія, .

сума нескінченно спадної геометричної прогресії.сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

q

bS

11

.1q

nn bbbbb ;...;;;)( 321

1.1. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).

...1000000

66

10000

66

100

66а) 0, (6)=0,666666…=

3

2)66(,0.

3

2

99

66

1000

11

100

66

.1

),1.(100

1;

100

66 11

S

q

bSqqb

Математичний диктантМатематичний диктант теоретичний заліктеоретичний залік

1. Арифметична прогресія -...1. Арифметична прогресія -...2. Геометрична прогресія -... 2. Геометрична прогресія -... 3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть 3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть

знаменник ?знаменник ?4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть 4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть

різницю арифметичної прогресії.різницю арифметичної прогресії.5. Властивості арифметичної прогресії:5. Властивості арифметичної прогресії:6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?7. Властивості геометричної прогресії:7. Властивості геометричної прогресії:8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...9 . Формула 9 . Формула пп-го члена арифметичної прогресії така…-го члена арифметичної прогресії така…10. Формула 10. Формула пп-го члена геометричної прогресії така…-го члена геометричної прогресії така…11. Сума 11. Сума п п перших членів арифметичної прогресіїперших членів арифметичної прогресії12. Сума 12. Сума п п перших членів геометричної прогресії.перших членів геометричної прогресії.

Самостійна робота базового рівняСамостійна робота базового рівня1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:

Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3; Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3; 55

1.1. Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:

Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32

1.1. Укажіть знаменник геометричної прогресії :Укажіть знаменник геометричної прогресії :

Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5

1.1. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:

Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4

1.1. Чи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … числоЧи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … число

Варіант І -160 Варіант ІІ -153Варіант І -160 Варіант ІІ -153

6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :

Варіант І Варіант ІІВаріант І Варіант ІІ

2

1;21 qb

3

1;91 qb

3

1

4

1

8,2,384 nqbn6,3,486 nqbn

Застосування прогресійЗастосування прогресій

1. 1. Геометрична прогресія в токарному цеху.Геометрична прогресія в токарному цеху.

У 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точних У 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точних математичних розрахунків довів, що верстати слід математичних розрахунків довів, що верстати слід будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють геометричну прогресію.геометричну прогресію.

1.1. Застосування геометричної прогресії в Застосування геометричної прогресії в машинобудуванні.машинобудуванні.

Виявляється, геометрична прогресія відіграє Виявляється, геометрична прогресія відіграє велику роль у машинобудуванні. За законом велику роль у машинобудуванні. За законом геометричної прогресії побудовано розмірність геометричної прогресії побудовано розмірність металорізальних верстатів та інструментів, металорізальних верстатів та інструментів, встановлено нормальні діаметри і довжини в встановлено нормальні діаметри і довжини в машинобудуванні. Тому геометрична прогресія машинобудуванні. Тому геометрична прогресія становить математичну основу стандартизації становить математичну основу стандартизації різноманітної промислової продукції.різноманітної промислової продукції.

3.3. Геометрична прогресія в будівельній справі.Геометрична прогресія в будівельній справі.

В архітектурі, будівельній справі використовуються В архітектурі, будівельній справі використовуються колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження рівномірності від тиску довжини колони потрібно рівномірності від тиску довжини колони потрібно збільшувати площі її поперечних перерізів. Площі збільшувати площі її поперечних перерізів. Площі поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного, поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного, становлять геометричну прогресію. становлять геометричну прогресію.

Історичні задачіІсторичні задачіЗадача 1. Задача 1. Легенда про винахід шахівЛегенда про винахід шахів..

Шахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликав Шахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородити до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородити тебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоє тебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоє бажання».бажання».«Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу «Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».«Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.». «Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.». «Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен. «Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен. Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі.».просторі Землі.». «Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.«Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством до теперішнього часу.до теперішнього часу.

Задача 2. Задача 2. Купівля коня.Купівля коня.Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав і Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав і

повернув коня продавцю. Тоді продавець запропонував повернув коня продавцю. Тоді продавець запропонував йому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержиш йому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержиш безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях заплати мені заплати мені

копійки, за другийкопійки, за другий - копійки, за третій — 1 - копійки, за третій — 1

копійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. На копійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. На скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).

4

1

2

1

Задача 3Задача 3. . Поширення чутокПоширення чуток.. До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку

прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям. відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям. Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?

( 2 год 30 хв )( 2 год 30 хв )

Тематична контрольна роботаТематична контрольна робота Початковий і середній рівень ( 6 балів)Початковий і середній рівень ( 6 балів)1. 1. Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності, Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності,

що дорівнюєщо дорівнює Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 42. Послідовність задана формулою . Знайдіть:2. Послідовність задана формулою . Знайдіть: Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 35Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 353. Яка з поданих послідовностей є:3. Яка з поданих послідовностей є: Варіант І геометричною прогресією ? Варіант І геометричною прогресією ? Варіант ІІ арифметичною прогресією?Варіант ІІ арифметичною прогресією? А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 10А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 101.1. Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії:Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії: Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; … Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; … А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 44А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 441.1. Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій:Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій: Варіант І Варіант І Варіант ІІ Варіант ІІ А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 45А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 456. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо6. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо Варіант І Варіант ІІ Варіант І Варіант ІІ А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135

52 nan

15a 20a

3;51 qb 4;51 qb

15;20 61 aa 5;40 61 aa

5;8,0 115 aa

Достатній рівень( 3бали)7. Знайдіть суму шістнадцяти перших членів арифметичної прогресії,

якщо: Варіант І Варіант ІІ

8. Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії, якщо: Варіант І Варіант ІІ

Високий рівень( 3бали)9. Знайти суму всіх від’ємних членів арифметичної прогресії: Варіант І -6,2; -5,9; -5,6;… Варіант ІІ -5,2; -4,8; -4,4; …

10 Сума трьох чисел, що утворюють геомет ричну прогресію, дорівнює 25. Якщо до цих чисел додати відповідно 1; 6 і 3, то отримаємо три числа, що утворюють арифметичну професію. Знайти ці числа.

8,2;1 96 aa

192;6 94 bb 324;12 63 bb

ЛІТЕРАТУРА 1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ Ірпінь. 2005 2. Г.П. Бевз « Алгебра 7-9» Освіта 2001 3. М.І. Бурда , О. Л. Біляніна, О. П. Валушенко,Н. С. Прокопенко Збірник завдань для державної підсумкової атестації 9 клас. Гімназія. Харків . 2007 4. Т. Г. Роєва. Алгебра. Геометрія. 9 клас. Навчальний посібник. Харків « Країна мрій» 2002 5. Л. В, Колесникова , Г. Й. Коротіна « Алгебра дидактичні матеріали» 9 клас Харків « Світ дитинства» 2000 6. Бібліотека журналу « Математика в школах України» Учитель року – 2004 . Відкриті уроки з математики. Харків Видавнича група « Основа» 2006 7. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2, 14, 2005; № 6 2007. 8. Журнал « Все для вчителя» № 22-23 20039. Каплун О. І. Тест – контроль . Алгебра = геометрія. 9 клас: Зошит для поточного та тематичного оцінювання. – Харків: ФОП Співак Т. К., 2009