第二章波函数和 schroinger 方程

第二章波函数和 Schroinger 方程

质子在钯中的波函数 http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in

%20palladium.shtml

http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml

薛定谔ERWIN SCHRODINGER

(1887-1961)

§2.1 波函数的统计解释波粒二象性的矛盾和解释 1. 波和粒子的关系波由粒子组成 , 波是大量粒子运动的表现与减少入射粒子流密度 , 让粒子近似地一

个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符

粒子由波组成 , 粒子 = 波包

§2.1 波函数的统计解释反例 :i) 自由粒子平

面波 , 占据整个空间 ii) 色散

群速度 :

相速度 : 必有色散 -> 粒子解

体

§2.1 波函数的统计解释粒子性颗粒性 (V)

轨道 (X) 波动性物理量周期分布 (V and X)

将”粒子分布”视为物理量叠加性 -> 干涉 , 衍射 (V)

§2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释

时间为 t 时刻 , 粒子出在位置 r 的几率

§2.1 波函数的统计解释波函数的讨论的平方可积除了个别孤立奇点外 , 波函数单值 , 有界 , 连续不确定性 :

i) 表示同一个态 -> 归一化 ii) 相角不确定性 ( 常数相角 ) 经典 , 态确定性量子 : 几率性 => 可用以计算平均值

§2.1 波函数的统计解释波函数的讨论平面波

多粒子体系的推广

§2.1 波函数的统计解释动量几率分布函数 =>Fourier 变换频谱

展开

§2.1 波函数的统计解释可描写体系状态 ,

也可描写体系状态

是同一个态 , 不同自变量

§2.1 波函数的统计解释代表在态中 ,

出现单色平面波

的几率

§2.1 波函数的统计解释处在的粒子 , 动量无确定值

相当于晶体衍射

如若则

§2.1 波函数的统计解释坐标表象和动量表象

§2.2 态叠加原理波叠加经典合成的波中有各种成分相干性量子相干性新特点

§2.2 态叠加原理

新特点• 可能性和概率• 干涉项的概率性• 是粒子运动状态概率波自身的干涉 , 不是不

同粒子之间的干涉

§2.2 态叠加原理波叠加原理的表述 a) 如果是可能态

则也是一个可能态

b) 在中 , 体系出现的几率是

§2.2 态叠加原理讨论 a)

b) 光子偏整态 :Malus 定律

§2.2 态叠加原理讨论但任何时候观测到的都是一整个光子 ,

而不是个光子

=> 概率相干

§2.2 态叠加原理讨论 c) 线性叠加 d) 叠加次序并不重要

§2.3 薛定谔方程经典力学

• 牛顿方程特点 :

• 线性方程• 二阶全微分方程 , 只有一个独立变量 t

• 唯一性• 方程系数不含状态参数 , 有普适性

§2.3 薛定谔方程量子力学

• 要求 :

• 线性方程 ( 态叠加原理的直接要求 )

• 系数也不含状态参数• t 与 x,y,z 均为变量 => 只能是偏微分方程• 解的唯一性 => 两阶正规方程

§2.3 薛定谔方程量子力学 • 进入方程式 , 体现微观世界的特点 ( 量子化 )• ->0, 过渡到牛顿方程

§2.3 薛定谔方程建立方程的启示

自由粒子

已知解 => 方程式 ( 不唯一 )

§2.3 薛定谔方程已知解 => 方程式 ( 不唯一 )

§2.3 薛定谔方程一般情况 :

§2.3 薛定谔方程说明 :

a) 波动力学的基本假定 , 表征量子体系特征的量h 进入了方程式 , 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当

b) 算符形式

§2.3 薛定谔方程力学量用算符表示两个惯例 1) 只在直角坐标中适用 , 因为微商不协变例 : 二维极坐标下的薛定谔方程

§2.3 薛定谔方程

两个惯例 2) 将 H 分成三部分 :

i) 与坐标无关的动量二次式 ii) 只依赖于坐标的函数 iii)


因为有波函数统计解释 , 因此概率流守恒定律自动包含在薛定谔方程中


为什么而与 t 无关 ?


定态 U=U(r), 不显含 t


=>

几率流密度变不变 ?


本征值方程


边界条件的讨论 :• U 连续 , 波函数及其一阶导数连续• U 不连续 , 波函数及其一阶导数连续• U 趋向无穷大 ( 一阶 ) 波函数连续 , 一阶导

数不连续• U 趋向无穷大 ( 二阶及以上 ) 波函数不连

续 , 一阶导数亦不连续

§2.4 一维方势阱

一维无限深势阱

一维方势阱波函数图象


思考题 :

• 将势能为零的区间放大或者缩小一倍 ( 分是足够缓慢的变还是突变两种情况 ) 时 , 波函数和能级怎么变 ?

• 将势场曲线正题右移 a, 波函数和能级怎么变 ?

§2.4 一维方势阱一维方势阱

§2.4 一维方势阱a)偶宇称波函数为 cos(kx)

关键 : 用在连续以代替波函数

以及导数的连续 .好处在于去掉波函数中常数的影响


结论 : 无论 Ua^2取何值 , 都有解 (见下一页图 )

一维方势阱偶宇称能谱图

§2.4 一维方势阱b) 奇宇称波函数为 sin(kx)

结论 : 当时才有解 (见下一页图 )

一维方势阱奇宇称能谱图

§2.4 一维方势阱c) 当势场趋于无穷时 ,回到一维无限深势阱的特例

具有不同的深度但是宽度相同的方势阱 (1)

具有不同的深度但是宽度相同的方势阱 (2)

具有相同的深度但是宽度不同的方势阱 (1)

具有相同的深度但是宽度不同的方势阱 (2)

§2.4 一维方势阱思考题 :

半壁无限势阱时的解如何 ?

§2.5 一维谐振子 Motivation: 物理上 :• 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2• 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合• 辐射场简谐波的叠加• 原子核表面振动 , 理想固体 ( 无穷个振子 )• 真正可以严格求解的物理势 ( 不是间断势 )• 描述全同粒子体系产生 ,湮灭算符

§2.5 一维谐振子 Motivation: 数学上 :

• 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案• 通过数学 ,看物理

§2.5 一维谐振子

§2.5 一维谐振子求解 1D Schrodinger Eq with harmonic

oscillator 无量纲化• 优点• 单位在物理学上并不重要 , 重要的是一些无

量纲数• 可使方程的系数变得最简单

§2.5 一维谐振子 “抓两头 ,带中间”• 抓两头 :看方程在两边边界上的渐进行为 ( 三维 :0 点与无穷远点 , 一维 : 正负无穷远

点 )

• 带中间 :使函数在两头有与渐近行为相同的形式


使之变成关于 H 的方程式

§2.5 一维谐振子• 求级数解 ,找递推关系

• 看解在无穷远处的渐近行为 ,”斩断魔爪” ,无限求和截断为有限的多项式 , 从而得到能谱及解

• 求出波函数 => 归一化

aH

0121 2

aaa

aa21

122

22

va

a

!12

!2

!21

2422

e

12 n ,2,1,0n

22

2

42

2!

2

!1

2!2

321212

nn

n

nnnn

nn

nnnnnnH

为奇数为偶数n

n

n

nn )(

2/1

2/

2{

,2,1,02

1

nnEn

nn EE 1

2

10 E

xHeNx n

x

nn 22

2

1

2/1

2/1 !2

nN

nn

§2.5 一维谐振子厄米多项式的讨论

• 别名

• 母系 (母函数 )

• 仇家 ( 正交性 )

§2.5 一维谐振子厄米多项式的讨论

• 兄弟姊妹 (递推关系 )

• 对称性

• 节点

§2.5 一维谐振子最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数

§2.5 一维谐振子产生湮灭算符

§2.5 一维谐振子思考题 :

• 半壁振子 ( 两种情况 )( 图 )(暂缺 )


• 对称性动量表象


• n 维谐振子体系等间距能级 n 个粒子元激发 (elementary exitation) 集合产生湮灭算符

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态波函数可取为实数

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态本征函数的图象 (图见后 )

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态本征函数的图象

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质能量本征函数性质 , 以 x 趋近正无穷大为例

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质能量本征谱性质

• 振荡解 , 连续谱 , 二度简并 , 散射态• 指数衰减解振荡解本征谱连续 , 无简并 ,非束缚态解

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质• 两端均指数衰减 ,束缚态解 , 分立谱 ,

无简并

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质节点数 :

基态无节点 , 第 n 个激发态有 n 个节点

对称性 :

若 U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称

正交归一性

§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质上述结论均可用的性质证明

• 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的Wronskian行列式有关

§2.7 势垒贯穿经典图象 :眼前无路好回头量子图象 :眼前无路穿着走势阱有无穿透 ? 什么条件下全透射无反射 ? 势垒高度和宽度的影响 ?

§2.7 势垒贯穿

§2.7 势垒贯穿

在非相对论情况下 , 粒子不可能穿透无限高位垒

§2.7 势垒贯穿如果讨论的是势阱而不是势垒 ,那么只需要作代换

§2.7 势垒贯穿共振透射的条件和共振能量

§2.8 三维薛定谔方程 (辏力场情况 )

• 辏力普遍性质• 若 U(r) 处处有界 => 波函数处处有界• 若 U(r) 有极小值 , 则体系平均能量必大于势场的极小值

• 能量算符的本征值比大于势场的极小值• 若无穷远处势场为零 , 则能量本征值小于零

的能谱必定是分立谱 ,对应束缚态


普遍性质• Landau fall


Landau fall• s<2: r 趋于零 ,斥力为主 ;r 趋于无穷 ,吸引力为主束缚态

• s>2: r 趋于零 ,吸引力为主 ;r 趋于无穷 ,斥力为主 Landau fall

• s=2: 决定于 c 和 \alpha 的数值 \alpha_critical=\bar{h}^2/8m


角度部分的解


• 勒让德多项式的性质

别名


母系

兄弟姊妹


仇家

对称性


几个最低阶的勒让德多项式如下


综上所述 ,球对称场中薛定谔方程角度部分的解


最低的几个球谐函数是

§2.9 氢原子

二体问题二体问题

质心运动质心运动相对运动相对运动

相当于自由粒子运动M=m1+m2

相当于自由粒子运动M=m1+m2

相当于一个质量为折合质量m 的粒子的运动

m=m1*m2/(m1+m2)

相当于一个质量为折合质量m 的粒子的运动

m=m1*m2/(m1+m2)

Et=Ec+EEt=Ec+E

§2.9 氢原子库仑场中的径向方程

§2.9 氢原子

§2.9 氢原子

作代换

得到

令

§2.9 氢原子

§2.9 氢原子为切断无穷级数 ,取

由得到

§2.9 氢原子

§2.9 氢原子由此 ,氢原子的镜像波函数是

最低阶的几个径向波函数

§2.9 氢原子讨论• 简并度

§2.9 氢原子讨论• 能级

对一般有心力场 , 能级与角动量量子数 l

与磁量子数 m有关

径向分布函数与半径的关系 (a)

径向分布函数与半径的关系 (b)

径向分布函数与半径的关系 (c)

§2.9 氢原子讨论• 径向分布函数 :

节点数

§2.9 氢原子讨论• 角分布

特点 : 对 z轴旋转对称 ( 因为是 Lz 的本征态 )

波函数角分布的图象 (a)

波函数角分布的图象 (b)

波函数角分布的图象 (c)

§2.9 氢原子讨论• 电流分布与磁矩

§2.9 氢原子

通过小面元 dS的电流

§2.10 薛定谔方程的经典极限目的• 证明当时 ,准确到薛定谔方程哈密顿 -雅可比方程薛定谔方程连续性方程

原因在于存在波函数统计解释

§2.10 薛定谔方程的经典极限找出经典近似满足的条件

§2.10 薛定谔方程的经典极限

§2.10 薛定谔方程的经典极限

对一维情况

即

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第二章 波函数和 schroinger 方程

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