ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАpersonalii.spmi.ru/sites/default/files/pdf/tom_6_1.pdf2 УДК...
TRANSCRIPT
Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В ШЕСТИ ТОМАХ
Том 6
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
УЧЕБНИК
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2015
ISBN 978-5-94211-720-7 (Том 6)
ISBN 978-5-94211-709-2
2
УДК 517.1 + 517.2 (075.8) ББК 22.161+22.171+22.1 B 723
B723
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В шести томах. Том 6. Специальные функции. Основные задачи математической физики. Основы линейного программи-рования: Учебник / А.П.Господариков, И.Б.Ерунова, Г.А.Колтон, И.А.Лебедев, О.Е.Карпухина, В.В.Тарабан. Национальный минерально-сырьевой университет «Горный». СПб, 2015. ISBN 978-5-94211-720-7 (Том 6) ISBN 978-5-94211-709-2
УДК 517.1 + 517.2 (075.8)
ББК 22.161+22.171+22.172
Авторы А.П.Господариков, И.Б.Ерунова, Г.А.Колтон, И.А.Лебедев, О.Е.Карпухина,
В.В.Тарабан
Том 6 учебника дает возможность получить теоретические знания по разделам курса высшей математики: «Специальные функции», «Основные задачи математической физи-ки» и «Линейное программирование».
Учебник предназначен для аудиторных и самостоятельных занятий студентов днев-ной и заочной форм обучения специальностей вузов горного профиля.
Научный редактор проф. А.П.Господариков Рецензенты: кафедра управления медико-биологическими системами, проф.
С.И.Перегудин (Санкт-Петербургский государственный университет).
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», 2015 А.П.Господариков, И.Б.Ерунова, Г.А.Колтон, И.А.Лебедев, О.Е.Карпухина, В.В.Тарабан, 2015
3
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 18. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ......................................................................... 5 18.1. Интеграл Эйлера. Гамма-функция ................................................................... 5 18.2. Свойства гамма-функции.................................................................................. 7 18.3. Логарифмическая производная гамма-функции............................................. 10 18.4. Таблица значений гамма-функции................................................................... 11 18.5. Бэта-функция и ее свойства.............................................................................. 12 18.6. Приложения гамма- и бэта-функций к вычислению определенных инте-
гралов.................................................................................................................................. 15 18.7. Уравнение Бесселя. Функция Бесселя I рода .................................................. 16 18.8. Общее решение уравнения Бесселя при нецелых значениях параметра p ... 20 18.9. Построение функции Бесселя II рода предельным переходом...................... 21 18.10. Некоторые рекуррентные соотношения для функций Бесселя ................... 24 18.11. Интегрирование функций Бесселя ................................................................. 26 18.12. Функции Бесселя с полуцелым индексом ..................................................... 28 18.13. Асимптотические представления функций Бесселя I и II рода ................... 30 18.14. Интегральное представление функций Бесселя I рода................................. 30 18.15. Интеграл Вебера – Липшица .......................................................................... 33 18.16. Интегралы Ломмеля ........................................................................................ 34 18.17. Ряды Бесселя – Фурье ..................................................................................... 36 18.18. Функции Бесселя мнимого аргумента ........................................................... 39
Вопросы для самопроверки .............................................................................................. 42 Тесты................................................................................................................................... 43
Глава 19. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ............................ 46 19.1. Линейные уравнения с частными производными первого порядка. Урав-
нение переноса................................................................................................................... 46 19.1.1. Решение линейных уравнений с частными производными первого
порядка ............................................................................................................................... 46 19.1.2. Задача Коши............................................................................................... 46 19.1.3. Вывод уравнения переноса ....................................................................... 47
19.2. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка ............................................................................................................................... 48
19.3. Математическое моделирование колебаний струны. Волновое уравнение. Метод Даламбера............................................................................................................... 49
19.3.1. Физическая и математическая постановки .............................................. 49 19.3.2. Метод Даламбера ....................................................................................... 53 19.3.3. Физическая интерпретация решения Даламбера .................................... 56
19.4. Метод Фурье. Задача Штурма – Лиувилля ..................................................... 58 19.4.1. Метод Фурье для решения уравнения колебаний струны конечных
размеров.............................................................................................................................. 58 19.4.2. Физическая интерпретация решения Фурье ............................................ 61 19.4.3. Сравнение методов Даламбера и Фурье .................................................. 62
19.5. Уравнение теплопроводности. Классификация краевых задач..................... 63 19.5.1. Уравнение теплопроводности................................................................... 63 19.5.2. Классификация краевых задач.................................................................. 68 19.5.3. Распространение тепла в неограниченном стержне ............................... 69
19.6. Уравнения Лапласа и Пуассона. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа............................................................................................. 72
4
19.7. Электрические колебания в длинных линиях................................................. 76 19.7.1. Общие положения...................................................................................... 76 19.7.2. Вывод телеграфного уравнения................................................................ 77 19.7.3. Частные случаи телеграфного уравнения. Установившиеся процессы... 80 19.7.4. Линия без потерь........................................................................................ 81 19.7.5. Линия без искажений................................................................................. 83 19.7.6. Линии конечной длины ............................................................................. 85
Вопросы для самопроверки .............................................................................................. 86 Тесты................................................................................................................................... 87
Глава 20. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................... 90 20.1. Основные понятия............................................................................................. 90 20.2. Задача линейного программирования.............................................................. 91 20.3. Примеры постановки задач линейного программирования .......................... 92 20.4. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
Графическое решение........................................................................................................ 94 20.5. Основные формы задачи линейного программирования............................... 96 20.6. Симплексный метод и приведение задачи линейного программирования к
правильной форме ............................................................................................................. 98 20.7. Признаки оптимальности начального допустимого плана ............................ 101 20.8. Метод искусственного базиса .......................................................................... 104 20.9. Двойственные задачи линейного программирования .................................... 108 20.10. Транспортная задача и метод потенциалов................................................... 111
Вопросы для самопроверки .............................................................................................. 117 Тесты................................................................................................................................... 118 Ответы к тестам ............................................................................................................... 120 Рекомендательный библиографический список ............................................................. 121
5
Глава 18. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
18.1 ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Определение. Интегралом Эйлера называется интеграл
.e 1
0dtt st
(18.1)
Интеграл Эйлера – несобственный интеграл I рода. Кроме того, при 1s по-дынтегральная функция разрывна при 0t и интеграл (18.1) является несоб-ственным интегралом II рода.
Исследуем сходимость интеграла (18.1). Положим
211
0e IIdttI st
, (18.2)
где
dttI st 11
01 e , (18.3)
dttI st 1
12 e
. (18.4)
Интеграл 2I является несобственным интегралом I рода. Заметим, что
0elim 12
st
ttt при любом s . Так как функция, имеющая конечный пре-
дел, ограничена, имеем )0,const(e 12 kkktt st при всех .1 t Отсюда
21e
tkt st . (18.5)
Интеграл
1
2 dttk
сходится. Интеграл (18.4) сходится при любых s в силу
неравенства (18.5) и теоремы сравнения для несобственный интегралов. Рассмотрим интеграл (18.3) при значениях 1s . В противном случае, он
является определенным интегралом. По определению
6
dttI st 11
01 elim
.
Применяя к определенному интегралу теорему о среднем,
)(,)()()()( bcadxxgcfdxxgxfb
a
b
a ,
получим
.1),1(elim1elimelim1
0
11
01
c
sstdttI sc
o
scsc
Очевидно, что при 0s предел существует и конечен. При 0s предел бесконечен. При 0s интеграл (18.3) можно записать в виде
.lnelimelim 1
0
11
01
tdttI cc
Таким образом, интеграл (18.3) сходится при s > 0 и расходится при s 0. Окончательно заключаем, что интеграл Эйлера (18.1) сходится при 0s
и расходится при 0s . Из определения интеграла Эйлера (18.1) следует, что он зависит от вели-
чины s и его можно рассматривать как функцию параметра s. Введем обозначение
dtts st 1
0e)(
. (18.6)
Функция )(s – гамма-функция, определяемая равенством (18.6), впервые была рассмотрена Эйлером.
Пример 18.1. Доказать, что 1)1( . Решение. Полагая в интеграле (18.1) 1s и интегрируя, получим
.1)e1(lim]e[limelime)1( 000
A
A
At
A
At
A
t dtdt
Пример 18.2. Доказать, что
21 .
Решение. Интегрируя, получим
.e22;ee
21
0
2
00
221
dz
zdzdtztdt
tdtt z
tt
Здесь использован интеграл Эйлера – Пуассона .2
e0
2
dxx
Здесь и далее в фигурных скобках даны необходимые пояснения
7
18.2. СВОЙСТВА ГАММА-ФУНКЦИИ 1. Основное свойство гамма-функции. Интегрируя по частям, получим
.e)1(ee;e
;)1(;e)( 2
001
211
0dttst
vdtdv
dttsdutudtts stts
tt
ssst
При 1s внеинтегральный член обращается в нуль. Следовательно,
)1()1(e)1(e)1()( 1)1(
0
2
0ssdttsdttss stst
)1()1()1()( ssss .
Заменяя s на 1s , окончательно имеем
).()1( sss (18.7)
Рекуррентное соотношение (18.7) выражает основное свойство гамма-функции.
2. Выражение гамма-функции через факториал. Полагая в формуле (18.7) ns (целое положительное число) и применяя формулу (18.7) n раз, получим
)1(123)...2)(1(...)1()1()()1( nnnnnnnnn или
,!)1( nn так как .1)1(
Итак, !)1( nn (18.8)
Функция )(s , определяемая интегралом (18.1), для целочисленных зна-чений аргумента s n , совпадает с обычным факториалом:
)!1()( nn
Замечание. Полагая в (18.8) 0n , получим !01)1( Таким образом, это равенство определяет символ !0 , а именно 1!0 .
Пример 18.3. Найти 1 .2
n
Решение. Применяя последовательно формулу (18.7), получим
23
23
21
21
21
21 nnnnnn
21
21
23...
25
23
21...
25
25
23
21
множителей
n
nnnnnnn
8
.21
2135)...52)(32)(12(
n
nnn
Умножая числитель и знаменатель на произведение
,!2!)!2(2)22...(642 nnnn n
окончательно найдем
!2)!2(
21
!)!2(2!)!2(!)!12(
21
2 nn
nnnn nn .
3. Определение гамма-функции для отрицательных значений ар-
гумента. Интеграл Эйлера dtts st 1
0e)(
определяет )(s только для
значений параметра 0s . Используя соотношение (18.7), можно опреде-лить )(s для любых отрицательных значений параметра s . Перепишем (18.7) в виде
sss )1()(
. (18.9)
Пусть 1 0s . Тогда 0 1 1s и, следовательно, )1( s – извест-ная функция. Значит, при значениях 01 s правая часть (18.9) представ-ляет собой известную функцию. Тем самым оказывается известным значение
)(s для 01 s . Пусть 12 s . Функция )(s для значений 01 s уже известна.
По формуле (18.9) получим )(s для значений 12 s . Следовательно, соотношение (18.9) позволяет последовательно найти
)(s для любых s , не равных целому отрицательному числу.
Пример 18.4. Вычислить 5 .2
Решение. Найдем
.15
8
21
23
25
21
23
25
21
2523
25
Пусть теперь s – целое отрицательное число. Перейдем в (18.9) к обрат-ным величинам:
.)1()(
1
s
ss
(18.10)
9
Введем в рассмотрение функцию ssГ
1Ф . Тогда в силу (18.10)
1ФФ sss . Таким образом, можно определить sФ при любых целых отрицательных .s Положим здесь 0s . Получим
01Ф;00Ф 0)1(
0
.
Далее 00Ф11Ф и т.д. Таким образом,
...),2,1,0(0Ф nn . Отсюда
s
snsns Ф
1lim)(lim при ...,2,1,0 n
4. Формула дополнения. Приведем без доказательства следующее со-отношение для гамма-функции, называемое формулой дополнения:
.sin
)1()(s
ss
Пример 18.5. Вычислить 1 .2
Решение. Положив 12
s в формуле дополнения, получим
1 1 12 2 2sin
2
, что соответствует ранее установленно-
му результату.
Пример 18.6. Вычислить .65
61
Решение. Заметим, что .611
65
Тогда по формуле дополнения
имеем
.2
6sin6
561
Замечание. Можно показать, что гамма-функцию можно представить в виде предела произведения
))...(1(!lim)(
nsssnns
s
n
. (18.11)
10
Если положить в формуле 11.18 s m (целое положительное число), то получим
))...(1()!1()!1(!lim
))...(1(!lim)(
nmmmmmnn
nmmmnnm
m
n
m
n
,)!1(1...11
)!1(lim))...(1(!
)!1(!lim)!(
)!1(!lim
m
nm
n
mnmnn
mnnnm
mnnn
m
n
m
n
т.е. установлена уже известная зависимость )!1()( mm
18.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ГАММА-ФУНКЦИИ
Выведем формулу для логарифмической производной )1()1(
ss . Исполь-
зуя представление )(s в виде предела произведения, получим
))...(1(!lim)()1(
nsssnnssss
s
n
.
Логарифмируя обе части этого равенства, найдем
.)ln(...)1ln(ln!lnlnlnlim)1(ln nsssnnsssn
Далее дифференцируем полученный результат по параметру :s
nssn
ss
n
1...1
1lnlim)1()1( .
Если s – целое положительное число, то выражение, стоящее справа, можно упростить:
snsssn
ss
n
1...2111...
111...
211lnlim
)1()1(
ssnsn
n
1...2111...
2111...
211lnlim
.ln1...211)ln(lim
snn
nssn
n (18.12)
Известно, что
Ckkk
ln1...
211lim , (18.13)
11
причем ...577,0C (постоянная Эйлера). Используя (18.13) в (18.12), получим
.1...211
)1()1(
sC
ss
Замечание. Существование предела (18.13) можно легко установить, рассмотрев ряд
,1ln11
n n
nn
сходимость которого проверяется, например, по интегральному признаку Коши. Сумма указанного ряда, очевидно, совпадает с постоянной Эйлера С.
18.4. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ГАММА-ФУНКЦИИ
Основное свойство гамма-функции, выражаемое формулой (18.7) )()1( sss , показывает, что если )(s табулирована для 21 s
(табл.18.1), то любые другие значения ( )s легко вычисляются.
Таблица 18.1
s )(s s )(s
1,0 1 1,6 0,89352 1,1 0,95135 1,7 0,90864 1,2 0,91817 1,8 0,93138 1,3 0,89747 1,9 0,96177 1,4 0,88726 2 1 1,5 0,88623 2,1 1,04648
Из табл.18.1 следует, что
)(s на отрезке [1; 2] имеет мини-мум при .5,1s Можно показать точнее, что указанный минимум достигается при 46163,1s и равен
85560,0 . График функции Г(s) пред-
ставлен на рис.18.1.
Пример 18.7. Вычислить Г(4,3). Решение. По формуле (18.6)
получим
)3,2(3,23,3)3,3(3,4)3,4(
.85534,8)3,1(3,13,23,3
Рис.18.1
1
3
5
1 3 –1 –3 –5 –1
–3
–5
0 x
y
12
18.5. БЭТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Бэта-функция ),( qp определятся несобственным интегралом II рода
.)1(),(1
0
11 dxxxqp qp (18.14)
Подынтегральная функция имеет разрыв при 1p на нижнем и при 1q на верхнем пределах интегрирования. Интеграл (18.14) сходится при 0p и
0q и расходится при 0p и 0q . Это можно доказать аналогично дока-зательству сходимости интеграла Эйлера (18.1).
Основные свойства ( , )p q следующие:
1.
01;;10;1
)1(),(22
111
0
11
txdtdxtxtx
dxxxqp qp
),()1(1
0
11 pqdttt pq .
Таким образом, имеем
),,(),( pqqp (18.15)
т.е. бэта-функция симметрична относительно своих аргументов p и q. 2. Тригонометрическая форма записи бэта-функции имеет вид
21;cossin2
;00;sin)1(),(
22
112
1
0
11
xddx
xxdxxxqp qp
2
0
2222 cossincossin2 dqp
или
.cossin2),(2
0
1212
dqp qp
(18.16)
Учитывая симметрию бэта-функции относительно ее аргументов, можно записать
.cossin2),(2
0
1212
dqp pq
(18.17)
3. Установим связь между гамма- и бэта-функциями. Для этого рассмот-рим интегралы
0
1
0
1 e)(;e)( dttqdttp tqtp
13
Осуществим в этих интегралах замену переменных, положив в первом инте-грале 2t x , а во втором интеграле 2t y . Тогда
0
12
0
12 .e2)(;e2)(22dyyqdxxp yqxp
Их произведение
0 0
1212 .ee4)()(22dyydxxqp yqxp
Правую часть этого соотношения можно рассматривать как результат вычисления в декартовой системе координат двойного интеграла от функции
)(1212 22e yxqp yx
по первой четверти плоскости xOy . Поэтому можем на-писать
dxdyyxqpD
yxqp )(1212 22e4)()( , (18.18)
где D – первая четверть плоскости xOy . Перейдем в интеграле (18.18) к полярным координатам
.;,sin;cos 222
dddxdyyxyx
В соответствии с правилом расстановки пределов в двойном интеграле в по-лярной системе координат, получим
ddqp qp 2e)sin()cos(4)()( 12
2
0 0
12
или
ddqp qpqp 2e2sincos2)()(
2
0 0
1)(21212 .
Первый из интегралов справа, согласно (18.16), есть ),( qp . Во втором интеграле сделаем замену переменной, положив .2 t Тогда
.e),()()(0
1)(
dttqpqp tqp
(18.19)
Заметим, что по определению гамма-функции
)(e0
1)( qpdtt tqp
. (18.20)
Соотношение (18.19) с учетом (18.20) можно переписать в виде
14
)(),()()( qpqpqp
или
)()()(),(
qpqpqp
. (18.21)
Замечание 1. Поскольку интегралы Эйлера для )( p и )(q сходятся при 0p , 0q и расходятся при 0,0 qp , то согласно (18.21) инте-гральное представление (18.14) бэта-функции имеет смысл только при 0p и 0q .
Замечание 2. Формула (18.21) показывает, что для вычисления ),( qp не требуется специальных таблиц, а можно использовать значения и извест-ные свойства гамма-функции.
Пример 18.8. Найти
21,
21 kn , ,...2,1,0, kn
Решение. Применяя формулы (18.21), (18.8) и найденную в примере 18.3
формулу
!2)!2(
21
2 nnn n , получим
2 21 1 (2 )! (2 )!,2 2 ( 1)2 ! 2 !n k
n kn kn kn k
или
2( )1 1 (2 )!(2 )!, .2 2 2 ! !( )!n k
n kn kn k n k
Пример 18.9. Показать, что значение бэта-функции при nq есть це-лое положительное число.
Решение. Полагая в формуле (18.21) nq , получим
)2()1)((
)!1)(()1()(
)!1)(()()()(),(
npnpnpnp
npnpnp
npnpnp
.)()1)...(1)((
)!1)((...ppnpnp
np
Окончательно имеем
( 1)!( , ) .( 1)( 2)...( )
np np p p n
15
18.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ГАММА- И БЭТА-ФУНКЦИЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
При помощи гамма- и бэта-функций можно во многих случаях вычис-
лить определенные интегралы, которые обычным путем по формуле Нью-тона – Лейбница не вычисляются из-за отсутствия первообразной среди из-вестных элементарных функций. Также весьма часто применение этих функ-ций значительно сокращает объем вычислений по сравнению с традицион-ными способами.
Пример 18.10. Вычислить интеграл .e0
3
dxx
Решение. Сделаем замену переменной:
3
131e
31e
31
31
;;e
0
1
0
3
0
31
32
32
31
3dttdtt
dttdx
txtxdx ttx
.6789,2343
31
Пример 18.11. Вычислить интеграл 1
3 3
01 .x x dx
Решение. Используя замену переменной, получим
0
31
0
3 3 31
31
32
31
)1(31
31
;;1 dtt
dttdx
txtxdxxx
234
32
31
34,
32
31)1(
31 1
0
11 34
32
dttt
.39
2
3sin9
131
32
91
31
31
32
31
Пример 18.12. Вычислить интеграл 3 2 2
0
.(1 )
dx
x x
Решение. Имеем
16
0;2
;10;1;11
)1(2
2
0
23 2tx
tdtxdx
txt
txt
x
xx
dx
1
1 5 11 16 656 0
0
1 1 12 21
dt t t dttt
t
.
6sin2
1)1(
61
65
21
61,
65
21
Пример 18.13. Вычислить площадь одного лепестка кривой 3 8cos3 (с точностью до 310 ).
Решение. Применяя формулу для площади плоской фигуры в полярной системе координат, получим
2
0
326/
6/
322 .cos343cos4
21)(
21 tdtddS
Используя представление ),( qp в тригонометрической форме (18.16), найдем
2 5 12 1 , 2 1 0 .3 6 2
p p q q
Тогда
.491,1)33.1()83.1(
54
534Г
611Г6
32
34Г
65Г
21Г
32
21,
65
32
S
18.7. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ I РОДА
Решение многих прикладных задач приводит к дифференциальному уравнению
.0222 ypxyxyx (18.22)
Соотношение (18.22) называется уравнением Бесселя. Оно является линей-ным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэф-фициентами.
17
Решение уравнения Бесселя (18.22) будем искать в виде обобщенного степенного ряда
k
kxcxcxccxy
k
0
22110 ...)( , (18.23)
где 00 c . Таким образом, задача сводится к определению числа и коэффициен-
тов ряда ,...,...,, 10 kccc Найдем производные y и y из (18.23):
0
2
0
1
.)1)((
;)(
k
kk
k
kk
xkkcy
xkcy (18.24)
Подставим (18.23) и (18.24) в (18.22). Тогда
.0)()()1)((0
22
0
1
0
22
k
kk
k
kk
k
kk xcpxxkcxxkkcx
Сгруппируем суммы с общим множителем kx :
.0)()1)((0
2
0
2
k
kk
kkkk
k xccpkckkcx
Отсюда
0
2
0
22 .0)(k
kk
k
kk xcxpkc
Данное равенство должно быть выполнено при всех x . Поэтому сумма коэф-фициентов при одинаковых степенях x должна равняться нулю. Выпишем последовательно коэффициенты при x , 1x , ...2x Получим следующую систему равенств:
...
...
...0)])[(
....0)])3[(0)])2[(
0])1[(0)(
3
2
1
222
122
3
022
2
221
220
kkk x
xxxx
cpkc
cpccpc
pcpc
Так как по первоначальному предположению 00 c , из первого равен-ства имеем .22 p Отсюда p или .p Положим
p . (18.25)
18
Второе равенство 0])1[( 221 pc при p будет выполнено (при
любом 0p ), если положим коэффициент .01 c Так как с учетом (18.25)
,)2()(
222
2
kpkc
pkpcc kk
k
(18.26)
то ,...0,...,0,0 1253 kccc Таким образом, в ряде (18.23) равны нулю все коэффициенты с нечет-
ными индексами. Полагая в (18.26) последовательно ,...6,4,2k получим формулы для
четных коэффициентов в виде
;)22(2
02
pcc
;)42(4
24
pcc
;)62(6
46
pcc
Отсюда последовательно найдем
;)22(2
02
pcc
;)42(4
1)42(2
04
pp
cc
;)62(6
1)42(4
1)22(2
06
ppp
cc
Этот результат можно записать в общем виде:
)22()42)(22(2642)1( 0
2 kpppkcc
k
k
или
.)()2)(1(!2
)1(2
02 kpppk
cc k
k
k
Подставим эти коэффициенты в ряд (18.23):
.)()2)(1(!2
)1( 2
02
0 kp
kk
k
xkpppk
cy
(18.27)
19
Ряд (18.27) представляет собой решение уравнения Бесселя (18.22) при любом 0c . Для того чтобы придать коэффициентам этого ряда наиболее про-стой вид, выберем константу 0c в виде
)1(21
0
pc p .
Подставив это значение 0c в (18.27), получим
.)()2)(1(!2)1(2
)1( 2
02
2kp
kkp
kpk
xkpppkp
xy
По основному свойству гамма-функции )( p
).1())((...))...(2)(3)(3( kpkpkpkpppp
Поэтому
.2)1(!
)1( 2
0
pk
k
k xkpk
y
Полученное решение уравнения Бесселя называется функцией Бесселя I рода порядка p и обозначается ).(xJ p
Таким образом, по определению
.2)1(Г!
)1()(0
2
k
pkk
px
kpkxJ (18.28)
Замечание 1. Ряд (18.28), определяющий ),(xJ p сходится при любом x, что легко проверить по признаку Даламбера:
.10)1)(1(
12
lim
2)2()!1(
2)1(!
limlim2
2
22
1
kpkx
xkpk
xkpk
aa
kpk
pk
kk
kk
Замечание 2. Ряды, определяющие наиболее часто встречающиеся функ-ции )(),( 10 xJxJ , согласно (18.28), имеют вид
...;)!3(2)!2(2)!1(2
1)( 26
6
24
4
22
2
0 xxxxJ
...,!4!32!3!22!222
)( 7
7
5
5
3
3
1 xxxxxJ
20
где . x Функции )(0 xJ четная, а )(1 xJ нечетная, причем ,1)0(0 J
0)0(1 J . Графики )(0 xJ и )(1 xJ приведены на рис.18.2 (сплошная и штриховая кривые соответст-венно).
Замечание 3. Функции )(xJ p табулированы для различных значений параметра p. Напри-мер, обширные таблицы для функций )(0 xJ и )(1 xJ имеются
в книге Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш «Специальные функции. Формулы, графи-ки, таблицы.» (М.: Наука, 1968. 344 с.).
18.8. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ ПРИ НЕЦЕЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА р
Пусть в уравнении Бесселя
2 2 2 0x y xy x p y
параметр 0p и отличен от целого положительного числа. Одно частное решение этого уравнения было построено
.2)1(Г!
)1()(2
01
pk
k
k
px
kpkxJy
Другое частное решение можно получить в виде обобщенного степенно-го ряда, полагая в вычислениях .p Однако проще получить это решение, заменив в (18.28) p на p :
.2)1(Г!
)1()(2
02
pk
k
k
px
kpkxJy
(18.29)
Так как 0p , выражение (18.29) содержит отрицательные степени x (не-сколько первых членов ряда). Поэтому )0(pJ . Решение (18.28) этим свойством не обладает (все степени x положительные). Отсюда вытекает ли-нейная независимость )(xJ p и )(xJ p .
Общее решение уравнения (18.22) есть линейная комбинация двух част-ных линейно независимых решений:
2211 ycycy .
Рис.18.2
21
Таким образом, общее решение уравнения (18.22) при значениях np имеет вид
)()( 21 xJcxJcy pp . (18.30)
Замечание. Если np , то решение )(xJ n оказывается линейно зави-симым с решением )(xJn и, следовательно, выражение вида (18.30) в этом случае не является общим решением уравнения (18.22).
Докажем линейную зависимость )(xJn и )(xJ n . Имеем
.2)1(Г!
)1()(2
0
nk
k
k
nx
knkxJ
(18.31)
Заметим, что сумма фактически начинается с nk , так как при значениях )1(,...,2,1,0 nk имеет место равенство
.0)1(
1
kn
Здесь использовано свойство гамма-функции: 0)(
1
s, если ,...2,1 s
Следовательно, формула (18.31) примет вид
.2)1(Г!
)1()(2 nk
nk
k
nx
knkxJ
Изменим индекс суммирования, положив lnk . При значениях ,...2,1, nnnk , индекс l принимает значения ,...2,1,0 , и согласно (18.8)
и (18.28), получим
).()1(2!)1(Г
)1()1(2)1(Г)!(
)1()(2
0
)(2
0xJx
llnx
llnxJ n
nnl
l
ln
nln
l
ln
n
Таким образом, окончательно имеем
),()1()( xJxJ nn
n
т.е. функции )(xJ n и )(xJ n линейно зависимы.
18.9. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ II РОДА ПРЕДЕЛЬНЫМ ПЕРЕХОДОМ
Уравнение Бесселя (18.22) при np имеет два линейно независимых
решения: )(xJ p и )(xJ p . Образуем следующую линейную комбинацию ука-занных решений:
22
.sin
)(cos)()(
pxJpxJ
xY ppp
(18.32)
Очевидно, что при любом np (целому положительному числу) функция )(xYp является решением уравнения Бесселя. При np выражение (18.32)
представляет собой неопределенность вида
00 . Найдем предел функции
)(xYp при np по правилу Лопиталя:
00
sin)(cos)(
lim)(lim)(p
xJpxJxYxY pp
nppnpn
.cos
)(sin)(cos
)(
lim
pp
xJpxJp
pxJ p
pp
np
Заметим, что при np 0sin;)1(cos pp n . Тогда
.)(
)1()(
lim1)(
pxJ
pxJ
xY pnp
npn (18.33)
Далее имеем
;2)1(Г!
)1()(2
0
pk
k
k
px
kpkxJ
;2)1(Г!
)1()(2
0
pk
k
k
px
kpkxJ
;2)1(Г
)1(Г)1(Г!
)1(2
ln)()( 2
0
pk
k
k
pp x
kpkp
kpkxxJ
pxJ
.2)1(Г
)1(Г)1(Г!
)1(2
ln)()( 2
0
pk
k
k
pp x
kpkp
kpkxxJ
pxJ
В дальнейших вычислениях для простоты будем считать 0n , т.е. найдем предел (18.33) при 0p . Последние два равенства при 0p примут вид
.2)1(Г
)1()!()1(
2ln)(
)(lim
;2)1(Г
)1(Г)!()1(
2ln)(
)(lim
2
0200
2
0200
k
k
kp
p
k
k
kp
p
xkkГ
kxxJ
pxJ
xkk
kxxJ
pxJ
(18.34)
23
Известно, что
kC
kk 1...
211
)1(Г)1(Г
, (18.35)
где ...577,0C – постоянная Эйлера. Подставив (18.35) в (18.34) и (18.34) в (18.33), получим
.2
1...211
)!()1(
2ln)(2)(
2
0200
k
k
k xkk
CxxJxY (18.36)
В общем случае при np
)37.18(.1...2111...
211
)1(!2
)1(1
2!)!1(1
2ln)(2)(
0
2
21
0
knkknk
x
xkknxCxJxY
k
nkk
knn
knn
Решения уравнения Бесселя, определяемые формулами (18.36) и (18.37), называются функциями Бесселя II рода. Эти функции табулированы, свой-ства их хорошо изучены.
Замечание 1. Ряды, определяющие функции Бесселя II рода )(xYn , схо-дятся для любого x .
Графики функций Бесселя II рода представлены на рис.18.3. Замечание 2. Общее ре-
шение уравнения Бесселя при np можно записать в виде
).()( 21 xYcxJcy nn
Замечание 3. В качестве решения, линейно независимо-го с )(xJ p , можно брать функ-цию )(xYp , определяемую по формуле (18.32). Тогда при лю-бых p имеем линейно незави-симые решения )(xJ p и )(xYp , не различая случаи np и
np .
Рис.18.3
24
18.10. НЕКОТОРЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Установим некоторые полезные формулы, связывающие функции Бессе-
ля I рода различных порядков. 1. Найдем производную по x от произведения )(xJx p
p :
02
22
2)1(Г!)1()(
kpk
pkk
pp x
kpkdxdxJx
dxd
02
122
02
122
2)(Г)(!)(2)1(
2)1(Г!)22()1(
kpk
pkk
kpk
pkk xkpkpk
kpxkpk
pk
).(2)1)1((Г!
)1(2)1)1((Г!
)1(1
0
)1(2
012
122
xJxxkpk
xxkpk p
p
k
pkkp
kpk
pkk
Таким образом, доказана формула
).()( 1 xJxxJxdxd
pp
pp
(18.38)
2. Аналогично предыдущему найдем производную по x от дроби pp
xxJ )(
:
.2)1(Г!
2)1(2)1(Г!
)1()(0
2
12
02
2
k
pk
kk
kpk
kk
pp x
kpkkx
kpkdxd
xxJ
dxd
Суммирование фактически начинается с 1k , так как член суммы, от-вечающий 0k , обращается в нуль. Учитывая это, получим
.2)1(Г)!1(
2)1()(1
2
12
k
pk
kk
pp x
kpkxxJ
dxd
Заменим индекс суммирования, положив 1 lk :
.2)2(Г!
)1(2)(1
22
121
l
pl
ll
pp x
lplxxJ
dxd
Умножим и разделим правую часть на сомножитель px . Тогда
012
121
2)2(Г!)1(1)(
lpl
pll
ppp x
lplxxxJ
dxd
.)(
2)1)1((Г!)1(1 1
0
)1(2
pp
l
pll
p xxJx
lplx
25
В итоге установлена формула
.)()( 1
pp
pp
xxJ
xxJ
dxd
(18.39)
3. Развернем производные в левых частях формул (18.38) и (18.39). По-лучим
;)()()( 11 xJxxJxxJpx p
pp
pp
p
).()()( 11 xJxxJxxJpx p
pp
pp
p
Результат можно переписать в виде
).()()(
);()()(
1
1
xJxJxpxJ
xJxJxpxJ
ppp
ppp (18.40)
Из системы (18.40) найдем
2)()(
)( 11 xJxJxJ pp
p
(18.41)
и
).(2)()( 11 xJxpxJxJ ppp (18.42)
Замечание 1. Для функции Бесселя II рода )(xYn имеют место аналогич-ные формулы, так как функция )(xYn получена как предел линейной комби-нации функций )(xJ p и )(xJ p , а сами формулы (18.41) и (18.42) линейны относительно )(xJ p и )(xJ p .
Замечание 2. Формулы (18.41) и (18.42) позволяют выразить )(xJ n и )(xJ n через функции )(0 xJ и )(1 xJ . Это существенно упрощает задачу табу-
лирования функций Бесселя целых порядков и их производных.
Пример 18.14. Выразить xJ3 через xJ0 и xJ1 . Решение. Полагая в (18.42) 1p , найдем
.22012120 xJxJ
xxJxJ
xxJxJ
Далее, полагая 2p , получим
xJxJx
xJxJx
xJxJ 12323144 .184
120 xJx
xJx
26
Пример 18.15. Доказать, что ).(10 xJxJ Решение. В (18.40) положим 0p . Получим
.2
)()( 110
xJxJxJ
Так как ),()1()( xJxJ nn
n то ).(11 xJxJ Используя этот результат, найдем
).(10 xJxJ
Эта формула часто используется при различных преобразованиях с функциями Бесселя.
18.11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Для вычисления интеграла )1()(0
pdxxJx
p воспользуемся формулой
(18.41):
2)()(
)( 11 xJxJxJ pp
p
.
Заменим в ней p на 1p и перепишем это соотношение в виде
)()()(2 21 xJxJxJ ppp .
Проинтегрируем полученное равенство по x от 0 до x , учитывая, что 0)0( pJ при значениях 0p :
.)()()(20
20
1 x
p
x
pp dxxJdxxJxJ (18.43)
Заменив в (18.43) последовательно p на 2p , 4p и т.д., получим систе-му равенств
...
;)()()(2
;)()()(2
06
045
04
023
x
p
x
pp
x
p
x
pp
dxxJdxxJxJ
dxxJdxxJxJ
(18.44)
Складывая (18.43) и (18.44) почленно, найдем
.)(2...)()()(2)(0
120
531
kkp
x
pppp xJxJxJxJdxxJ (18.45)
Ряд (18.45) быстро сходится и удобен для вычислений.
27
Замечание. При вычислениях с использованием ряда (18.45), а также при любых других вычислениях с функциями Бесселя, следует иметь в виду, что функция )(xJ p становится пренебрежимо малой, если индекс p значи-
тельно больше значения аргумента х. Например, ;100148,0)1( 518
J .2511,0)20(;03464,0)15(;1001524,0)10( 1818
318 JJJ
Пример 18.16. Вычислить интеграл x
dttJt0
04 .
Решение. Интегрируя по частям, запишем
xxx
dttJttJtttJvdtttJdvdttdutudttJt
01
3
01
4
10
23
00
4 3;
;3;
xx
dttJttJtxJxtJtvdttJtdv
dtdutu
02
2
02
31
4
22
12 33
;;;
xJxxJxxJx
tJtvdttJtdvtdtdu
tu
32
23
14
33
23
2 33;
;;1
xJxxJx
tJtvdttJtdvtdtdu
tudtttJ
x
23
14
44
34
43
03 3
;
;3;13
xJxxJxxJxdttJxxJxJxx
32
23
14
0443
2 33933
4 2 12
3 18 .nn
xJ x J x
При вычислении интеграла использованы формулы (18.38) и (18.45).
Пример 18.17. Вычислить 1
02
7 dxxJx .
Решение: При вычислении интеграла используем формулу (18.38) и таб-личные значения функций Бесселя I рода нулевого и первого порядков. Имеем
1;
;2;4
;;4;
34
43
4
21
03
6
1
03
7
33
23
341
02
7
JxJxvdxxJxdv
xdxduxudxxJx
xJxxJxvdxxJxdv
dxxduxudxxJx
28
171814124 1543
1
04
51
04
6 JJJJdxxJxxJx
12351118013138123140414 101010 JJJJJJ
.1247,07652,013524401,0235111352 0 J
Пример 18.18. Вычислить интеграл dxx
xJ4
22
5 .
Решение: При вычислении интеграла используем формулу (18.39) и табличные значения функций Бесселя I рода нулевого и первого порядков. Получим
dxx
xJx
xJ
xxJv
xdxxJdv
xdxduxudx
xxJ
4
2
34
4
22
4
44
45
24
2
25 2
2
2239,075767,03414182
12416812
4
20123
02122
4
23
32
4
xJx
xJxx
xJx
xJxxxx
xJx
xJ
.0097,0066,0833971,0
41
18.12. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
Найдем )(21 xJ прямым суммированием соответствующего ряда
.21
21!
)1()(21
21
2
0
k
k
k x
kkxJ
Заметим, что
.!2
)!2(21
21
211
21
2
kkkkkk k
Здесь использована формула (18.8) для
21k . Поэтому имеем
29
02
222
0
2
2)21()!2(22)1(
21
2)!2(21!
!2)1()(21
21
21
kk
kkkk
k
kk xkk
xx
kkk
kxJ
.)!12(
)1(2
12)12()!2(
)1(2
20
12
0
221
21
k
kk
k
kk
kxx
xx
kkx
Так как
,sin)!12(
)1(0
12
xk
xk
kk
окончательно имеем
.sin2)(21 x
xxJ
(18.46)
Совершенно аналогично можно получить формулу
.cos2)(21 x
xxJ
(18.47)
Рекуррентную формулу
)(2)()( 11 xJxpxJxJ ppp
запишем в виде
.)()(2)( 11 xJxJxpxJ ppp (18.48)
Положив в ней 21
p и используя (18.46) и (18.47), найдем
.cossin2)(23
x
xx
xxJ (18.49)
Последовательно полагая в (18.48) 25,
23p и т.д., найдем, используя уже
полученные результаты (18.46), (18.47) и (18.49), в конечном виде ),...(),(
27
25 xJxJ
Итак, функция Бесселя с полуцелым индексом )(21 xJ
n всегда выражает-
ся через элементарные функции.
30
18.13. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ I И II РОДА
Функции Бесселя )(,)( xJxJ pp и )(xYn для больших по абсолютной
величине значений аргумента удобно вычислять по следующим приближен-ным формулам
,cos)(sin)(2)(
;sin)(cos)(2)(
xQxPx
xY
xQxPx
xJ
n
p
(18.50)
где .
8!114)(;
8!234141)(;
221 222222
xpxQ
xppxPpx
(18.51)
Формулы (18.50) называются асимптотическими представлениями функ-ций Бесселя. Вывод этих соотношений достаточно сложен и поэтому здесь не приводится.
Замечание 1. Удовлетворительная точность вычисления по формулам (18.50) получается даже для не очень больших значений x. Так, )3(1J и )3(1Y уже можно вычислять по указанным формулам, причем ошибка получается меньше 410 .
Замечание 2. При 21
p первая из формул (18.50) дает уже известный
результат
.cos2)(;sin2)(21
21 x
xxJx
xxJ
Замечание 3. Если x очень большая величина, то, согласно (18.51) мо-жем положить 0)(,1)( xQxP . Тогда
.4
12sin2)(;4
12cos2)(
nxx
xYpxx
xJ np
18.14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ I РОДА
Докажем, что для функции )(xJ p справедлива формула
1
0
2 cos1
21
22
)( 21
xtdttp
x
xJp
p
p (18.52)
31
при 21
p .
Доказательство проведем непосредственной проверкой. Обозначим пра-вую часть (18.52) буквой A. Тогда, учитывая известное разложение
,)!2(
)1(cos0
2
k
kk
kzz
получим
.)!2(
)1(1
21
22 1
0 0
222 2
1
dtktxt
p
x
Ak
kkkp
p
Произведем перестановку операций суммирования и интегрирования. Это можно сделать, так как на отрезке ]1;0[ ряд в правой части равномерно схо-дится. Тогда
.1)!2(
)1(
21
22 1
0
22
0
221
dtttk
x
p
x
A kp
k
kk
p
(18.53)
Преобразуем интеграл в правой части, используя определение ),( qp , ее
связь с гамма-функцией и выражение для
21k :
1
0
21
0
22 21
21
212
1
121
21;
1 duuuduudt
utdttt kpkp
21,
21
211
21 1
0
11
21
21
kpduuuk
p
.!2)1(2
)!2(21
)1(221
21
2 kkp
kp
kp
kp
k
Подставив полученный результат в (18.53), получим
!2)1(2
)!2(21
)!2()1(
21
22
20
2
kkp
kp
kx
p
x
A kk
kk
p
32
).(2)1(!
)1(2)1(!
)1(2
2
002
2
xJxkpkkpk
xxp
pk
k
k
kk
kk
p
Этим завершается доказательство формулы (18.52). При выводе было
использовано выражение для
21,
21 kp через гамма-функцию, откуда
видно, что интегральное представление (18.52) имеет место только при
21
p .
Пример 18.19. Получить )(21 xJ , используя интегральное представление
)(xJ p в виде (18.52).
Решение: Положим 21
p . Тогда
.sin2sin
22cos
12
2)(
1
0
1
0
21
21 x
xxxtxxtdt
x
xJ
Итак,
.sin2)(21 x
xxJ
Для получения другого интегрального представления )(xJ p сделаем в интеграле (18.52) замену переменной, положив sint . Тогда
.)sincos(cos
21
22
)(2
0
2
dxp
x
xJ p
p
p (18.54)
Здесь, как и в выражении (18.52), 21
p .
Отметим важный частный случай интегрального представления для функции )(0 xJ . Полагая в (18.54) 0p , получим
.)sincos(2)(2
00
dxxJ
Отсюда, учитывая, что 1)sincos( x , имеем оценку )(0 xJ :
.1)(0 xJ
33
Замечание. Из формулы (18.54) можно получить для )(xJ p оценку
)1(2/
)(
p
xxJ
p
p
21p .
Это соотношение выводится из интегрального представления, если учесть, что 1)sincos( x и
)1(21
2cos
2
0
2
p
pdp
(последний интеграл сводится к бэта-функции подстановкой z2cos ).
18.15. ИНТЕГРАЛ ВЕБЕРА – ЛИПШИЦА
Рассмотрим интеграл
00 .)(e dtbtJat (18.55)
Если 0a , то этот интеграл сходится при любом b. Действительно, в силу известной оценки 1)(0 btJ имеем
00
0 ,1e)(ea
dtdtbtJ atat
откуда сходимость интеграла (18.55) следует по теоремам сравнения о схо-димости несобственных интегралов.
Для вычисления (18.55) воспользуемся известной формулой
.)sincos(2)(2
00
duuJ
Тогда
.)sincos(e2)(e2
0000
dbtdtdtbtJ atat (18.56)
Переменим порядок интегрирования в правой части:
.)sincos(e2)(e2
0 000
dtbtddtbtJ atat (18.57)
34
Заметим, что переход от (18.56) к (18.57) возможен в силу равномерной схо-
димости интеграла
0
)sincos(e dtbtat по параметру на отрезке
2,0 .
Далее используем известную формулу
220
cose
tdtat , (18.58)
справедливую при 0 и любом (эту формулу легко получить интегри-рованием по частям). Вычислив внутренний интеграл в правой части (18.57) по формуле (18.58), получим
dzdz
d
baad
baadtbtJat
2
2
02
22
2
2
0222
00
sin
;ctg
sinsin
12sin
2)(e
0
22
220
22220
22222
)1(2
za
badz
azabadza
bzadza
.1arctg222
02222 baba
az
ba
aa
Итак, доказана формула
)0(1)(e220
0
aba
dtbtJat . (18.59)
Это соотношение называется интегралом Вебера – Липшица.
18.16. ИНТЕГРАЛЫ ЛОММЕЛЯ
Функция )(xJ p является решением дифференциального уравнения
.0112
2
y
xpy
xy (18.60)
Если в уравнении (18.60) преобразовать независимую переменную по форму-ле tx , то получим
.012
22
2
2
y
tp
dtdy
tdtyd (18.61)
35
Решением этого уравнения будет функция )( tJ p . В дальнейших вычислениях вместо t в (18.61) будем писать x.
Таким образом, функции
)()(
;)()(
xJxv
xJxu
p
p (18.62)
удовлетворяют соответственно уравнениям
;012
22
2
2
u
xp
dxdu
xdxud (18.63)
.012
22
2
2
v
xp
dxdv
xdxvd (18.64)
Умножим (18.63) на v, (18.64) – на u и произведем почленное вычитание:
.0)()(1)( 22 uvvuuvx
vuuv
Полученное соотношение умножим на x и проинтегрируем по x от 0 до 1:
.0)()()(1
0
221
0
1
0 xuvdxdxvuuvdxvuuvx (18.65)
Заметим, что
.)()()()(1
0
10
1
0
1
0 dxvuuvvuuvxdxvuuv
dxdxdxvuuvx
Подставив этот результат в (18.65), получим
.0)()(1
0
2210 xuvdxvuuvx
Таким образом,
).1()1()1()1()()( 10
1
0
22 vuuvvuuvxxuvdx (18.66)
На основании (18.62) имеем
).()1();()1(
);()1();()1(
pp
pp
JvJv
JuJu
Подставив эти выражения в (18.66), найдем
.)()()()(
)()( 22
1
0
pppppp
JJJJdxxJxxJ (18.67)
36
В этой формуле следует считать 1p ; в противном случае на нижнем пре-деле получим расходящийся несобственный интеграл II рода.
Формула (18.67) при в правой части теряет смысл. Поэтому най-дем предел выражения
),()()()()(
22
F
JJJJ pppp
при по правилу Лопиталя:
2)()()()()()(
lim),(lim pppppp JJJJJJF
.
2)()()()()( 2
ppppp JJJJJ
68.18
Переходя в (18.67) к пределу при и используя (18.68), получим
).1(
2)()()()()(
)(21
0
2
p
JJJJJdxxxJ ppppp
p (18.69)
Соотношения (18.67) и (18.69) называются интегралами Ломмеля. Они играют важную роль при построении ортогональных систем функций, свя-занных с функциями Бесселя.
18.17. РЯДЫ БЕССЕЛЯ – ФУРЬЕ
Можно доказать, что уравнение
0)( xJ p . (18.70)
имеет бесчисленное множество положительных корней первой кратности. Этот факт становится очевидным, если принять во внимание асимптотиче-ское представление )(xJ p :
.4
12cos2)(
pxx
xJ p
Пусть ,...,...,, 21 n – последовательность корней уравнения (18.70), пронумерованных в порядке возрастания. Рассмотрим систему функций
,...2,1),()( kxJx kpk (18.71)
Так как имеет место тождество 0)( kpJ , то, пользуясь интегралами Лом-меля, найдем
37
);(0)()(1
0nkdxxJxxJ npkp (18.72)
.)(21)(
1
0
2 2
kpkp JdxxxJ (18.73)
Допустим, что функция )(xf задана при значениях 10 x и разлагает-ся в ряд по функциям (18.71):
...)(...)()()( 2211 xJcxJcxJcxf npnpp (18.74)
Для определения коэффициентов kc умножим (18.74) на )( xJx kp и проин-тегрируем результат по х от 0 до 1:
1
01
1
0)()()()( dxxJxJxcdxxxJxf kpnp
nkkp .
Согласно (18.72) справа отличен от нуля только один интеграл, для ко-торого kn :
.)()()(1
0
21
0 xdxxJcdxxxJxf kpkkp
Далее используя (18.73), получим
.)()()(
2 1
02
dxxJxxf
Jc kp
kpk (18.75)
Таким образом, коэффициенты разложения (18.74) можно найти по фор-мулам (18.75). Ряд (18.74) называется рядом Бесселя – Фурье для функции
)(xf . Заметим, что для сходимости этого ряда функция )(xf должна удов-летворять некоторым условиям, аналогичным условиям Дирихле.
Замечание. Наиболее часто приходится иметь дело со случаем 0p . При этом оказывается ).()( 10 kk JJ Поэтому в указанном случае для под-счета коэффициентов (18.75) можно использовать табл. 18.2 для корней урав-
нения 0)(0 J и значений нормирующего множителя
.)(
22
1 kJ
Таблица 18.2
k k .
)(2
21 kJ
1 2,4041 7,4208 2 5,5201 17,2741 3 8,6537 27,1420 4 11,7915 37,0113 5 14,9309 46,8808
38
Пример 18.20. Функцию 2
2
1)(bxxf на отрезке ],0[ b разложить в ряд
по функциям Бесселя: ;...,;...;; 02
01
0
bxJ
bxJ
bxJ n где n – корни урав-
нения .0)(0 xJ Решение: Искомое разложение имеет вид
.11
02
2
k
kk b
xJcbx (18.76)
Для определения коэффициентов kc почленно умножим равенство (18.76) на
произведение
bxxJ n
0 и проинтегрируем результат по x на отрезке ],0[ b .
Получим
10
000
0
2
2
.1k
b
nkk
n
b
dxb
xJb
xxJcdxb
xxJbx (18.77)
Для использования интегралов Ломмеля (18.72) и (18.73) сделаем замену переменной интегрирования, положив btx . Тогда соотношение (18.77) примет вид
dttJttJbcdtttJtb n
n
kkkn )()()()1( 0
1
0 1
1
00
20
22
или
.)()(
)(2 1
00
32
1
dttJtt
Jc n
nn (18.78)
Рассмотрим интегралы 1
00 )( dtttJ n и
1
00
3 )( dttJt n . При их вычислении
полезна формула
.)()( 111 CxJxdxxJx p
pp
p
1.
n
n
n
n
nnn
nn
JyyJdyyyJdydt
ytdtttJ
0
101202
1
00 ;)()(1)(1;
)(
2.
n
dyyJydydt
ytdttJt
nn
nn
00
34
1
00
3 )(1;)(
nn dyyJyyJy
nn 01
2401
34 )(2)(1
)(;)(;2;
10
2
yyJvdyyyJdvydyduyu
39
).(2)()(2)(22
102
24
1n
nn
n
nn
n JJyJyJ n
Заметим, что по рекуррентной формуле (18.42) при 1p , имеем
).(2)()( 120 xJx
xJxJ
Тогда
),(4)()()(22)()( 131
0121
1
00
3n
nn
nnn
nnn
nn JJJJJdttJt
так как .0)(0 nJ Формула (18.78) для коэффициентов окончательно может быть записана
в виде
.)(
8)(4)()()(
2
1313
112
1 nnn
nn
n
n
n
nn J
JJJJ
c
Итак,
1 1
3
0
2
2
)(81
n nn
n
Jb
xJ
bx .
18.18. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим уравнение Бесселя
.0222 ypxyxyx (18.79)
Оно имеет следующие решения: )(xJ p и )(xJ p или )(xJ n и )(xYn . Поло-
жим в (18.79) )1( 2 iitx . Пересчитаем производные по новой независи-мой переменной:
.1)(
;1
2
2
2
2
2
2
dtyd
idtydi
dxyd
dtdyi
idtdy
dxdt
dtdy
dxdy
Подставив их в (18.79), найдем
0)()( 222
22
ypit
dtdyiit
dtydit
40
или
.0)( 222
22 pt
dtdyt
dtydt
Это уравнение имеет решения )(itJ p и )(itJ p или )(itJ n и )(itYn . Будем вместо t писать x. Таким образом, уравнение
0)( 222
22 px
dxdyx
dxydx (18.80)
имеет решения
)(ixJ p и )(ixJ p или )(ixJn и )(ixYn . (18.81)
Так как уравнение (18.80) имеет вещественные коэффициенты, то, используя (18.81), для него можно получить вещественные линейно независимые реше-ния. В равенстве
,2)1(Г!
)1()(2
0
pk
k
k
px
kpkxJ
заменив x на ix , получим
pkpk
k
k
p ixkpk
ixJ
2
2
0 2)1(Г!)1()(
или
.2)1(Г!
1)(2
0
pk
k
pp
xkpk
iixJ
Обозначим
.2)1(Г!
1)(2
0
pk
kp
xkpk
xI
(18.82)
Тогда имеем решение уравнения (18.80) в виде
).()( xIiixJ pp
p (18.83)
Из (18.83) следует, что вещественная функция )(xI p , определяемая рядом (18.82), удовлетворяет уравнению (18.80). Функция )(xI p называется моди-фицированной функцией Бесселя I рода (или функцией Бесселя мнимого аргумента).
Если заменить параметр p на p , получим второе решение )(xI p , ли-нейно независимое с решением )(xI p при значениях np (n – целое). В этом случае общее решение уравнения (18.79) имеет вид
41
).()( 21 xIcxIcy pp
Если np , то решения )(xIn и )(xI n линейно зависимы. Действительно, полагая в (18.83) np и np , найдем
),()( ixJixI nn
n ).()( ixJixI n
nn
Заметим также, что ).()1()()()1()( ixJixJxJxJ nn
nnn
n Тогда
).()()1()()1()()( xIxIiiixJiixJixI nnnnn
nnn
nn
n
Итак, )()( xIxI nn , т.е. эти решения линейно зависимы. Решение, линейно независимое с )(xJ n , ищется тем же методом, что и
решение )(xYn :
pxIxI
xK pp
npn
sinlim
2)( .
Функция )(xKn называется функцией Макдональда. Эта функция имеет логарифмическую особенность в точке 0x . Функция Макдональда нулево-го порядка имеет вид
k
mk
k
mkxxICxxK
00
22
0011Г/
22ln ,
где С – постоянная Эйлера. Итак, при np уравнение (18.80) имеет линейно независимые решения )(xIn и )(xKn . В этом случае общее решение уравнения (18.79) можно запи-
сать в виде ).()( 21 xKcxIcy nn
Для функций )(xI p и )(xKn справедливы следующие формулы: а) рекуррентные
;)(2)()( 11 xIxpxIxI ppp
;)(
2)()( 11
dxxdIxIxI ppp
;)()(;)()( 1010 xKxKxIxI
Аналогичные формулы верны и для функций Макдональда )(xKn ; б) асимптотические формулы для случая, когда х – положительная и
большая величина
;e2
)(;2e)( x
n
x
p xxK
xxI
42
в) второй интеграл Вебера – Липшица
.1cos)(2220
0ba
btdtatK
Графики функций )(0 xI , )(1 xI и )(0 xK изображены на рис.18.4 (соот-ветственно а и б).
Таблицы функций )(0 xI , )(1 xI , )(0 xK , )(1 xK имеются, например, в книге Б.И.Сегала и К.А.Семендяева «Пятизначные математические таблицы» (М: Госфизматиздат, 1962).
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение гамма-функции с помощью интеграла Эйлера. 2. В каком случае несобственный интеграл, определяющий гамма-функ-
цию, сходится? 3. Каково основное рекуррентное соотношение для гамма-функции? 4. Дайте определение бэта-функции с помощью второго интеграла Эйлера. 5. В каком случае несобственный иетеграл, определяющий бэта-функцию,
сходится? 6. Запишите бэта-функцию в тригонометрической форме. 7. Какова связь между гамма- и бэта- функциями? 8. Какое уравнение называется уравнением Бесселя? 9. Как определяется функция Бесселя I рода? 10. Как определяется функция Бесселя II рода? 11. Постройте общее решение уравнения Бесселя при нецелом и целом
значениях параметра p. 12. Какие рекуррентные соотношения для функций Бесселя I рода вы
знаете? 13. Укажите интегральное представление функции Бесселя I рода по-
рядка p.
20
10
30
40
y
0 1 2 3 4 5 6
I0(x) I1(x)
a С
х 0 1 2 3 4 5 6
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 y б
K0(x)
Рис.18.4
43
14. Укажите интегральное представление функции Бесселя I рода нуле-вого порядка.
15. Как оцениваются функции Бесселя I рода нулевого порядка? 16. Какие соотношения называют интегралами Ломмеля? 17. Когда используются интегралы Ломмеля? 18. Приведите формулы функций Бесселя чисто мнимого аргумента (мо-
дифицированные функции). 19. Как построить общее решение уравнения 0)( 222 pxyxyx
при нецелых значениях параметра р? 20. Как построить общее решение уравнения 0)( 222 pxyxyx
при целых значениях параметра р? Как определяются функции Макдональда?
Тесты
№ п/п Вопрос Варианты ответа
1 Указать верное соотношение
1. xJxJ nn
n 1 2. xJxJ nn 3. xJxJ nn 4. 11 xJxJ n
nn
2 По какой формуле определя-ется функция Бесселя II рода порядка p ?
1. p
xJpxJ pp
sin)(cos)(
2. p
xJpxJ pp
sin)(cos)(
3. p
xJpxJ pp
cos)(cos)(
4. p
xJpxJ pp
sin)(cos)(
3 Интеграл dxxJx p
p )(1 равен 1. СxJx pp )(1
2. СxJx pp )(
3. СxJx pp
4. СxJx pp )(1
44
Продолжение таблицы
№ п/п Вопрос Варианты ответа
4 Общее решение уравнения
Бесселя 0922 yxyxyx
имеет вид
1. )(3 xCJy 2. )(3 xCJy 3. )()( 23 xJxJy 4. )()( 3231 xYCxJCy
5 Указать общее решение урав-
нения Бесселя 0922 yxyxyx
1. )()( 3231 xICxICy 2. )()( 3231 xJCxJCy 3. )()( 3231 xJCxICy 4. )()( 3231 xKСxIСy
6 Указать верное соотношение
1.
0 2201)(
badtbtJeat
2.
0220
1)(ba
dtbtJeat
3.
0 2201)(
badtbtJe at
4.
0 2201)(
badtbtJe at
7 Какая из формул верна?
1. xIiixJ p
pp
2. xIiixJ pp
p
3. xIiixJ pp
p
4. xIiixJ pp
p 8
Выражение xx
sin2
равно
1. )(x 2. ),1( xB 3. )(
21 xJ
4. 0
45
Окончание таблицы
№ п/п Вопрос Варианты ответа
9 Какая функция определяет
функцию Бесселя I рода нуле-вого порядка?
1.
0 !22
2
2!k k
k
kx
2.
0!2
12
2)!1(!1
kk
kk
kkx
3.
0 122
12
2!11
k k
kk
kx
4.
012
12
2)!1(!kk
k
kkx
10 Указать, какая из функций оп-ределяется рядом
0
2
2)1(!1
k
pkxpkk
1. Функция Бесселя I рода порядка р 2. Функция Бесселя I рода порядка –р 3. Функция Бесселя II рода порядка р 4. Модифицированная функция Бес-селя порядка р
46
Глава 19. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава посвящена изучению математических моделей естественно-науч-
ных явлений и процессов. Это явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, акустике, электродинамике и т.д. Математические модели пред-ставляют собой краевые задачи для дифференциальных уравнений с частны-ми производными. Особую роль в физических задачах играют дифференци-альные уравнения с частными производными первого и второго порядков.
19.1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
19.1.1. Решение линейных уравнений с частными производными первого порядка
Дифференциальное уравнение с частными производными первого по-
рядка относительно неизвестной искомой функции nxxxu ,...,, 21 имеет вид
.0,...,,,,,...,,21
21
nn x
uxu
xuuxxxF
Если F является линейной функцией относительно старших производ-ных, т.е.
),,...,(),,...,(),,...,(
...),,...,(),,...,,(
111
212
1211
nnn
nn
nn
xxquxxPxuuxxX
xuuxxX
xuuxxxX
то уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением. Если функции nXX ,...,1 не зависят от ,u а зависимость P от u линейна,
т.е. nn xxQuxxP ,...,,,..., 11 , то уравнение называется линейным. Если пра-вая часть 0),...,( 1 nxxq , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным.
19.1.2. Задача Коши
Само дифференциальное уравнение с частными производными содержит в себе общую информацию об описываемом этим уравнением физическом процессе. Для изучения конкретного процесса нужны дополнительные усло-вия, которым искомая функция удовлетворяет в начальный момент времени. Таких условий должно быть столько, сколько произвольных функций входит в общее решение уравнения, т.е. число дополнительных условий должно рав-няться порядку уравнения.
47
Начальными условиями называются условия, которые определяют по-ведение искомой функции в некоторый заданный момент времени во всех точках области изменения пространственных независимых переменных.
Задачей Коши, или задачей с начальными условиями, называется задача отыскания решения дифференциального уравнения с частными производны-ми первого порядка, удовлетворяющего начальному условию.
Решение задачи Коши состоит в получении общего решения уравнения и в использовании начального условия для определения входящей в него про-извольной функции.
19.1.3. Вывод уравнения переноса
По трубе постоянного поперечного сечения движется с заданной скоро-стью ),( txv поток воздуха (рис.19.1). Переносимое воздухом вещество, (на-пример, водяной пар), имеет концентрацию ),( txu и непрерывно осаждается на стенках трубы. Функция ),( txf – плотность распределения осаждающе-гося вещества, такова, что произведение Sdxdttxutxf ,, представляет со-бой количество вещества, осевшее за время dt на участке трубы длиной dx (здесь S – площадь нормального сечения трубы). Количество вещества, со-держащееся в рассматриваемом объеме трубы, заключенном между двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии dx , рав-но Sdxtxu , . По истечении времени dt количество вещества станет Sdxdttxu , .
В течение времени dt через левое сечение трубы внутрь выделенного объема с потоком воздуха вошло количество вещества SdttxvtxudQ ,, , через правое сечение ушло количество вещества Sdttdxxvtdxxu ,, .
В силу закона сохранения массы
.,,,,,,
,,
SdxdttxutxfSdttxvtxutdxxvtdxxu
Sdxtxudttxu
Деля обе части равенства на произведение Sdxdt и вспоминая определе-ние частной производной, приходим к уравнению
0)(
fu
xuv
tu .
Уравнение данного вида называется урав-нением переноса. Вводя обозначение
txfxvtxc ,,
, перепишем уравнение
переноса в виде
Рис.19.1
v
x
x x + dx
S
48
0),(),(
utxc
xutxv
tu ,
где txv , и txc , – заданные функции. Уравнение переноса является линейным дифференциальным уравнением
с частными производными первого порядка. Это уравнение играет важную роль в математической физике, описывая конвективный перенос произволь-ной субстанции, распределение которой в пространстве характеризуется функцией u . В частности, если u интерпретировать как температуру, то этим уравнением описывается конвективный поток тепла.
19.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнением с частными производными второго порядка относительно
функции двух независимых переменных x и y называется соотношение меж-ду независимыми переменными x и y , неизвестной функцией yxu , и ее частными производными до второго порядка включительно:
.0,,,,,,,,,,,,, yxuyxuyxuyxuyxuyxuyxF yyxyxxyx
Здесь F – заданная функция своих переменных. Это уравнение называется линейным, если оно имеет вид
,,,,,2 yxyyxyxx uuuyxFCuBuAu
где CBA ,, – функции только независимых переменных; F – линейная функ-ция относительно аргументов .,, yx uuu Если F не линейна относительно этих аргументов, то уравнение называется квазилинейным.
Определим тип заданного уравнения
.,,,,2 yxyyxyxx uuuyxFCuBuAu
Используя коэффициенты уравнения А, В, С, вычислим число D = B2 – – AC и определим тип уравнения:
1) уравнение называется гиперболическим, если 0D ; 2) уравнение называется эллиптическим, если 0D ; 3) уравнение называется параболическим, если 0D . Итак, чтобы установить тип линейного дифференциального уравнения с
частными производными второго порядка надо по его заданным коэффици-ентам построить функцию ., 2 ACByxD При тех значениях независимых переменных, где 0D , уравнение имеет гиперболический тип; где 0D , – эллиптический; где 0D , – параболический тип.
49
Например, уравнение 2
22
2
2
xua
tu
(волновое уравнение) принадлежит к
гиперболическому типу. Действительно, считая ty (время), ,2aA ,1C
0 FB , получим .02
2
2
22
tu
xua Очевидно, 0)1(40 22 aD .
Уравнение 2
22
xua
tu
(уравнение теплопроводности) принадлежит к
параболическому типу. Аналогично, считая ty (время), ,2aA
,0CB получим 0040 22 aD .
Уравнение 02
2
2
2
yu
xu (уравнение Лапласа) принадлежит к эллипти-
ческому типу. Действительно, если ,0,1 FBCA то 0402 D .
19.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. МЕТОД ДАЛАМБЕРА
19.3.1. Физическая и математическая постановки задачи
Рассмотрим тело, длина которого значительно превышает его попереч-
ные размеры (рис.19.2). Волнистой линией изображена внешняя силовая на-грузка. Пусть тело растянуто осевыми силами T
, величина которых равна T0.
Пусть T0 велико в том смысле, что любыми другими внутренними силами можно пренебречь по сравнению с T0.
Таким образом, физическая модель рассматриваемого тела – сильно рас-тянутая нить; силы, действующие в каждом сечении нити, являются силами растяжения. Такая физическая модель называется струной. Будем считать, что струна - тонкая упругая нить - имеет конечную длину l и в состоянии равновесия совпадает с отрезком l,0 оси Ox. В точках 0x и lx струну закрепим так, чтобы она находилась под действием сильного натяжения T0. Если вывести струну из состояния равновесия, а потом отпустить, то струна начнет колебаться.
Струну можно заставить звучать тремя способами: как при игре на гитаре, оттягивая и отпуская без начальной скоро-сти; как на фортепиано, ударяя молоточком и сообщая точкам струны начальные скорости; комбинированным способом – сообщая начальные скорости
Рис.19.2
l О
x Т
Т
u f (x)
50
точкам струны в ее оттянутом положении. Математически указанные три способа возбуждения колебаний соответствуют заданию следующих на-чальных условий:
,0, xfxu (19.1)
).()0,( xgtxu
(19.2)
В первом случае ,0xg во втором ,0xf в третьем и f, и g отличны от нуля.
Струна закреплена на концах. Это значит, что граничные точки, которые имеют координаты 0x и ,lx во все время колебаний не отклоняются от своего начального положения:
,0,0 tu (19.3)
.0, tlu (19.4)
Будем рассматривать следующие виды колебаний: 1) плоские, когда струна колеблется в одной плоскости; 2) поперечные, когда точка с абсциссой x перемещается перпендику-
лярно к оси; 3) плавные, когда струна может свободно изгибаться. Эти виды колебаний струны полностью описываются функцией txu , ,
представляющей собой отклонение от оси Ox точки с абсциссой x в момент времени t . Зафиксировав t , получим форму струны в момент времени t , т.е. мгновенный профиль струны. Зафиксировав х, получим функцию от t, описы-вающую отклонение от оси Ox точки с фиксированной абсциссой x в разные моменты времени.
Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю.
Будем рассматривать плавные колебания струны около положения равнове-сия. Плавность колебаний означает, что угол (рис.19.3) между касательной к мгновенному графику кривой и осью x мал в любой точке кривой. Считаем, что угол настолько мал, что можно пренебречь квадратом его тангенса по сравне-нию с единицей, т.е. 1tg1 2 в любой момент времени. Согласно геометри-
ческому смыслу производной xu
tg и плавность колебаний означает, что
.112
xu
Задача состоит в том, чтобы найти функцию u(x, t). Для этого составим уравнение, которому удовлетворяет функция u(x, t).
Рис.19.3
x
u
51
Выделим малый элемент ММ' струны, занимавший в состоянии равнове-
сия положение xxx , , и применим к этому элементу принцип Даламбера. Согласно принципу Даламбера, все силы, действующие на элемент ММ' струны, должны уравновешиваться (рис.19.4). Посмотрим, что представляют собой эти силы.
Во-первых, на элемент ММ' действуют силы натяжения 0T , приложен-ные на его концах в точках М и М' и направленные по касательным, так как струна может свободно изгибаться. Обозначим острый угол, который каса-тельная в точке М образует с осью Ox, , а острый угол, который образует с осью Ox касательная в точке М', . Тогда проекция сил на ось Ои
.sin)sin( 00 TT Здесь
,tgtg1
tgsin2
так как мы рассматриваем малые колебания струны, следовательно,
.,,tg)(tgsin)sin( 0000
x
txux
txxuTTTT
Разность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение функции
xu , вызванное приращением аргумента х на x .Заменяя это приращение
дифференциалом, получим
xx
txux
txux
txxu
2
2 ,,,
в предположении, что частная производная 2
2 ,x
txu
существует и непрерыв-
на. Таким образом,
.,sin)sin( 2
2
000 xx
txuTTT
ℓ x О
+ М
М
x
u
х + х Рис.19.4
52
С другой стороны, на элемент ММ' действует сила инерции. По определе-нию, сила инерции равна произведению массы элемента ММ' на его ускорение, взятое с противоположным знаком. Предположим, что струна однородна и имеет линейную плотность , т.е. – это масса единицы длины струны. Длину элемента ММ' приближенно можно считать равной x , так как, пренебрегая
величиной 2
xu по сравнению с единицей, будем иметь
.11'2
xdxdxxuMM
xx
x
xx
x
Следовательно, масса элемента ММ' приближенно равна x . Скорость точ-
ки М равна tu , а ускорение 2
2
tu
. Поэтому сила инерции элемента ММ' бу-
дет равна 2
2
tux
(в предположении, что 2
2
tu
существует).
Так как, согласно принципу Даламбера, все силы, действующие на уча-сток ММ' струны, должны уравновешиваться, то
.0),(),(2
2
2
2
0
t
txuxx
txuxT
Разделив последнее равенство на x и положив /02 Τa , получим урав-
нение свободных колебаний струны, или одномерное волновое уравнение
2
22
2
2
xua
tu
. (19.5)
Как и вообще в динамике, одного уравнения движения недостаточно для полного определения движения струны; нужно еще задать ее состояние в на-чальный момент 0t , т.е. надо задать положение точек струны и их скорость
tu при t = 0 как известные функции х:
).(),(0
0x
tuxu
tt
Условия, которым искомая функция и должна удовлетворять при 0t , называются начальными условиями. Так как струна закреплена в точках на концах, то отклонение от оси абсцисс в этих точках в любой момент времени равно нулю и, следовательно, .0),(,0),0( tlutu Это граничные условия.
Граничными условиями называются условия, которые задают поведе-ние искомой функции во всех точках границы области для любого момента времени.
53
Будем искать то решение, которое удовлетворяет поставленным началь-ным и граничным условиям.
Для очень длинной струны влияние концов на поведение центральных точек ничтожно, и для изучения колебаний части струны, сильно удаленной от концов, используют так называемую задачу Коши, которая состоит в оты-скании функции txu , , удовлетворяющей волновому уравнению (19.5) и на-чальным условиям (19.1) и (19.2).
Теоретически можно рассматривать и бесконечную струну. В этом слу-чае для нахождения решения достаточно уравнения и начальных условий.
Задача по нахождению решения уравнения
0,,2
22
2
2
tx
xua
tu
при начальных условиях
xxtuxu
tt
),(),(0
0
называется задачей Коши для одномерного волнового уравнения. Если моделировать механические колебания в случае, когда концы не
закреплены, а свободны (свободность концов означает, что их перемещение не вызывает внешней силы, такому перемещению препятствующей), то ма-тематически условия на свободных концах (свободная граница) записыва-ются в виде
.0),(),0(
x
tlux
tu (19.6)
Краевая задача с граничными условиями типа (19.3), (19.4), когда на гра-нице области задана искомая функция, называется первой краевой задачей.
Краевая задача с граничными условиями типа (19.6), когда в дополнение к дифференциальному уравнению на границе области задана нормальная к границе производная, называется второй краевой задачей.
Волновое уравнение возникает при решении и многих других физиче-ских задач. Обратимся, например, к задаче о продольных колебаниях одно-родного стержня. Ось Ox направим по оси стержня и предположим, что в со-стоянии равновесия стержень совпадает с отрезком [0, l] оси Ox. Процесс продольных колебаний стержня будем описывать функцией u(x, t), представ-ляющей собой смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу х в момент времени t. При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. Тогда можно показать, что функция u(x, t) удовлетворяет вол-новому уравнению, где а2 = k/; k – модуль Юнга; – плотность стержня.
19.3.2. Метод Даламбера
Когда концы струны достаточно удалены от места рассмотрения и в си-лу этого их влияние на ситуацию незначительно, приходят к модели «беско-нечной струны». Задача Коши в данном случае представляет собой систему уравнений (19.1), (19.2) и (19.5):
54
;0, xfxu
).()0,( xgtxu
.),(),(2
22
2
2
xtxua
ttxu
Решение проведем по методу Даламбера: 1) приведем (19.5) к каноническому виду; 2) найдем общее решение, в которое войдут две произвольные функции; 3) воспользуемся двумя условиями (19.1) и (19.2) для нахождения двух
неизвестных произвольных функций. Введем новые независимые переменные по формулам
., ;, atxtxratxtxs (19.7)
Решая систему линейных уравнений (19.7) относительно x и t , получим
.2
;2
rsxarst
Вторые частные производные функций s и r равны нулю, а первые по-стоянны:
. ,1 , ,1 arrass txtx (19.8)
В задаче (19.1), (19.2), (19.5) ищется функция .,txuu При переходе к новым переменным мы имеем, конечно, другую функцию .,~ rsu Но сохра-ним за новой функцией старое обозначение tsu , .
Преобразуя производные к новым переменным, получим в силу формул (19.8):
;, rstrtstrsxrxsx uuarusuuuurusuu
.,2 2rrrssrssttrrsrssxx uuuuauuuuu
Подставляя найденные значения вторых производных по старым пере-менным в (19.5), приводя подобные и сокращая обе части уравнения на 4, получим
0sru .
Решением последнего уравнения является функция ,, rGsFrsu где F и G – произвольные функции своих аргументов. Подставляя вместо s и r их выражения через x и t по формулам (19.7), приходим к общему реше-нию уравнения (19.5):
., atxGatxFtxu (19.9)
55
Для нахождения функций F и G воспользуемся условиями Коши (19.1) и (19.2). Вычислим частную производную:
.)()(),( aatxGaatxFt
txu
(19.10)
Подставляя в (19.9) и (19.10) 0t и пользуясь условиями Коши (19.4) и (19.5), получим систему уравнений
,xfxGxF
).(1)()( xga
xGxF
Интегрируя второе уравнение в пределах от 0 до x , получим систему
),()()(,)(1)()(0
xfxGxFCdxxga
xGxFx
решив которую, найдем неизвестные функции xF и xG :
.2
)(21)(
21)(;
2)(
21)(
21)(
00 xx Cdxxg
axfxGCdxxg
axfxF
Заменяя в первой из этих формул x на atx , а во второй – на atx и подставляя полученное в (19.9), запишем искомое решение
.)(21
2)()(),(
atx
atxdyyg
aatxfatxftxu (19.11)
Решение (19.11) носит название формулы Даламбера, а изложенный здесь метод построения решения краевых задач для уравнений гиперболиче-ского типа носит название метода Даламбера, или метода распространяю-щихся волн.
Пример 19.1. Найти решение волнового уравнения
0,100 2
2
2
2
tx
xu
tu
с начальными условиями
.sin6,0,cos06,00
0 xtuxu
tt
Решение. Подставим начальные условия ,cos06,0)( xxf xxg sin6,0)( в формулу Даламбера:
atx
atxdyyg
aatxfatxftxu .)(
21
21,
56
Учитывая, что 10a , имеем
atx
atxydytxtxtxu sin))10cos()10(cos(03,0,
atxatxytxtx cos03,0)10cos(03,0)10cos(03,0
)10cos(03,0)10cos(03,0)10cos(03,0)10cos(03,0 txtxtxtx
).10cos(06,0 tx
Окончательно ).10cos(06,0, txtxu
19.3.3. Физическая интерпретация решения Даламбера
Функция txu , , определяемая формулой (19.11), описывает процесс рас-пространения по материалу рассматриваемого тела возмущения его «дона-чального» состояния.
Напомним, что «доначальное» состояние таково, что все точки струны совпадают с отрезком l,0 оси Ох 0u и находятся в состоянии покоя 0tu . В некоторый начальный момент времени правые части равенств, стоящих в скобках, получают малые добавки – возмущения: xf0 и
xg0 . Эффекты этих возмущений, как показывает формула (19.11), сум-мируются.
Если обозначить x
dxaxgx
0
)( , то решение Даламбера (19.11) можно
переписать в виде ,,,, 21 txutxutxu
где
)()(21,1 atxatxftxu ; )()(
21,2 atxatxftxu .
Функция txu ,2 представляет собой волну, распространяющуюся в на-правлении оси Ох со скоростью а. Аналогично, txu ,1 – волна, распростра-няющаяся с той же скоростью в противоположном направлении. Там, где проекции на ось х графиков функций 1u и 2u имеют непустое пересечение, эти графики складываются.
Как показывают две последние формулы, обе волны (прямая и обратная) состоят из двух слагаемых. Первое слагаемое вызвано начальным отклоне-нием точек струны, второе – тем, что этим точкам сообщены начальные скорости.
57
Например, пусть 0xg , а xf задана графически, как показано жир-ной линией на рис.19.5, а), тонкой линией изображены совпадающие в на-чальный момент прямая и обратная волны, которые в сумме (по правилу сложения графиков) дают возмущенное положение струны в «доначальное» время натянутой вдоль оси Ох.
а u
l – l A
x
б
x A
t = 1
в
x
A t = 3
г
A
x t = 4
д
x
A t = 5
е
A
x
t = 7
ж
t = 9
x
A
Рис.19.5
58
Решение задачи Коши о колебаниях точек бесконечной струны задается с помощью формулы
.21, atxfatxftxu
Как видно из рис.19.5, а, начальное отклонение задано на симметричном относительно начала координат интервале ll, . В примере 4l ед., а ско-рость волны а принята равной 1 ед./с. Следовательно, левая граница зоны возмущения достигнет отмеченной точки А с координатой 5x через 9 с. Правая граница достигает точки А уже через 1 с, и точка начинает свое коле-бательное движение. Это движение продолжается в течение времени прохо-ждения прямой волны. Жирной линией изображена форма струны, по кото-рой перемещается волна начального возмущения. В общем случае это время равно al /2 . В нашем примере это время равно 8 с. Как видно из рис.19.5, а-г, в течение некоторого времени (4 с) прямая и обратная волны взаимодейству-ют друг с другом, а затем распространяются независимо, оставляя за собой состояние покоя. Прослеживая вертикальное перемещение «поплавка» (точ-ки А), можно определить его вертикальную скорость и ускорение.
19.4. МЕТОД ФУРЬЕ. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
19.4.1. Метод Фурье для решения уравнения колебаний струны конечных размеров
Метод Фурье является универсальным и применим ко всем типам ли-
нейных уравнений. Рассмотрим краевую задачу, представляющую собой математическую
модель колебаний струны конечной длины l с закрепленными концами:
,),(),(2
22
2
2
xtxua
ttxu
(19.12)
,0, ,0,0 tlutu (19.13)
,0, ),()0,( xfxuxgtxu
(19.14)
Ненулевое решение txu , ищем в виде суммы частных решений
1),(,
kk txutxu , каждое из которых находим методом разделения перемен-
ных и представляем в виде произведения функции только от x на функцию только от t :
., tTxXtxu (19.15)
59
Подставляя (19.15) в (19.12), получим TXaTX 2 или, деля обе части ра-венства на XTa2 ,
.)()(
)()(1
2 xXxX
tTtT
a
(19.16)
Левая часть равенства (19.16) не зависит от x , а правая часть равенства не
зависит от t . Это возможно только при условии, что xX
xX и
tTtT
a
21 равны
одной и той же постоянной, которую обозначим . Равенство (19.16) при этом распадается на два уравнения
,0 xXxX .0" 2 tTatT (19.17)
Из граничных условий следует, что ,00,0 tTXtu 0, tTlXtlu . Отсюда функция xX должна удовлетворять условиям ,00 lXX так как иначе имели бы 0tT .
При 0 общее решение первого уравнения (19.17) имеет вид xCCxX 21 . Граничные условия дают 0021 CC , 021 lCC . Отсюда
,01 C 02 C и 0xX . При 0 общим решением первого уравнения (19.17) будет
xx CCxX ee 21 . Удовлетворяя граничным условиям, получим
.0ee
;
0ee
;0
1
12
21
21
llll C
CC
CC
CC
Значит, решением системы будут только 021 CC и им соответствует 0xX .
Таким образом, ненулевые решения xX и tT из уравнения (19.16) возможны только при 0 . Заменив на 2 , получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
.0 ,0)( 222 tTatTxXxX
В результате приходим к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: найти те значения пара-метра 2 , при которых однородная краевая задача
0 ,00 ,02 lXXxXxX (19.18)
имеет на интервале l,0 ненулевые решения, и найти эти решения. Так по-ставленная задача носит название задачи Штурма – Лиувилля. Значения параметра 2 , при которых краевая задача (19.18) имеет решения, называют-ся собственными числами задачи Штурма – Лиувилля, а сами ненулевые решения – собственными функциями задачи Штурма – Лиувилля.
60
Общее решение дифференциального уравнения (19.18) известно:
,sincos xDxCxX
где C и D – произвольные постоянные. Первое граничное условие дает 00 CX . Из второго граничного ус-
ловия имеем 0sin lDlX . Если 0xX , то 0D , а следовательно, 0sin l и приходим к спектру собственных чисел и собственных функций:
.sin ,lxkxX
lk
kk
(19.19)
При найденных l
kk
общее решение второго уравнения (19.17)
имеет вид
,sincos)(l
tkaBl
tkaAtT kkk
(19.20)
где kA и kB – произвольные постоянные. Подставляя (19.19) и (19.20) в (19.15), придем к бесконечной последова-
тельности функций
,...3,2,1,sinsincos,
klxk
latkB
latkAtxu kkk (19.21)
Эти функции при любом натуральном значении k удовлетворяют дифферен-циальному уравнению (19.12) и граничным условиям (19.13). В силу линей-ности уравнений (19.12) и (19.13) им удовлетворяет и сумма любого числа функций txuk , . Таким образом, решение уравнений (19.12) и (19.13):
.sinsincos,1 l
xklatkB
latkAtxu
kkk
(19.22)
В этом уравнении две неизвестные бесконечные числовые последова-тельности kA и kB . Найдем эти последовательности из условия (19.14). Подставляя (19.22) в (19.14) в силу единственности разложения функции в ряд Фурье, получим
.sin)(2,sin)(200
l
k
l
k dxlxkxg
lBdx
lxkxf
lA (19.23)
Замечание. Для общего случая граничных условий
0),(),(
,0),(),(
22
11
x
x
xtxutxu
xtxutxu
61
сохраняется аналогичный подход. Решение ищем в виде )()(),( tTxXtxu . В результате получим граничные условия для функции )(xX :
.0)()( β,α xii xXxX
Подстановка решения u(x,t) в начальные условия приводит к формулам разложения функций )(xf и )(xF в ряды Фурье по системе собственных
функций 1)}({ kk xX :
),()(
,)()()0,(
10
1
xXBaxFtu
xXAxfxu
kkk
kt
kkk
откуда
,)()()(
1
,)()()(
1
2
2
xdxXxFxXa
B
dxxXxfxX
A
kkk
k
kk
k
где
dxxXxX kk )()( 22 – норма собственной функции )(xX k . Отметим, что
система 1)}({ kk xX ортогональна на отрезке , и полна в классе непре-
рывных функций.
19.4.2. Физическая интерпретация решения Фурье
Перепишем формулу для функций (19.21) в виде
lkxta
lk
lxk
latkB
latkAtxu kkkkk
sincossinsincos, ,
где
.arctg,22
k
kkkkk A
BkalBA
Отсюда видно, что каждая точка струны lxx ,00 совершает гармониче-
ское колебание )(cossin, 00 kkk ta
lk
lkxtxu
с амплитудой
lkx
k0sin .
Причем такое колебание, при котором все точки струны одновременно дос-тигают своих экстремальных, амплитудных значений. Разумеется, каждая точка – своего амплитудного значения. Колебания такого типа называются
62
стоячей волной (гармоникой). Профиль каждой стоячей волны (каждому зна-чению k отвечает своя волна) в каждый момент времени tt представляет синусоиду
)(cos)(,sin)(),( ****kkkkkk ttC
lkxtCtxu
,
где lka
k
.
Как видно из приведенных формул, каждой стоячей волне (каждому значению k ) отвечает своя частота k , т.е. все точки струны колеблются в данной стоячей волне с одинаковой частотой. Эти частоты называются соб-ственными частотами. Самая низкая частота, а значит самый низкий звук,
соответствует 1k . Звучание на этой частоте
0
1Т
l называют основным
тоном струны. Заметим, что основной тон тем выше, чем сильнее натянута струна (чем больше 0T ) и чем меньше длина l . Коэффициенты ряда (19.22) убывают достаточно быстро с ростом номера k . Таким образом, решение (19.22), т.е. звук, издаваемый струной, складывается из отдельных тонов. Тоны,
соответствующие более высоким частотам, чем
0
1Т
l, называются
обертонами. Так как амплитуды тонов, а потому и влияние их на звук, изда-ваемый струной, быстро убывают с ростом k , то роль обертонов сводится к созданию тембра, различного для разных музыкальных инструментов.
19.4.3. Сравнение методов Даламбера и Фурье
Нетрудно обнаружить полное тождество формул (19.11) и (19.22). Для применения формулы (19.11) к случаю конечной струны требуется продол-жение функций xf и xg , заданных изначально на интервале l,0 , снача-ла нечетным образом на симметричный интервал 0,l , а затем с периодом
l2 на всю числовую прямую. Это равносильно разложению функций xf и xg в ряд Фурье по синусам, т.е. равносильно замене функций xf и xg
на тригонометрические ряды по формулам
,sin)(,sin)(1 1
k kkk l
xklakBxg
lxkAxf
в которых правые части, очевидно, обладают требуемыми в методе Даламбе-ра (для бесконечной струны) свойствами: заданы на всей числовой прямой и являются 2l-периодическими. Подставляя эти выражения для xf и xg в формулу Даламбера (19.11), мы приходим к решению (19.22):
63
atx
atxdyyg
aatxfatxftxu )(
21
2)()(),(
atx
atx kk
k kkk dy
lyk
lakB
alatxkA
latxkA
11 1sin
21)(sin)(sin
21
.)(cos)(cos)(sin)(sin21
11
latxk
latxkB
latxk
latxkA
kk
kk
Теперь, если воспользуемся формулами для суммы синусов и разности коси-нусов, непосредственно получим (19.22).
Таким образом, видим, что применительно к краевой задаче для волно-вого уравнения оба способа принципиально равносильны. Очевидна глубокая физическая содержательность решения Фурье. В остальном решение Далам-бера предпочтительней. В самом деле, ряд (19.22) сходится в большинстве случаев медленно и не годится для вычислений. Зависимость решения от на-чальных данных xf и xg , выражаемая рядом (19.22), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость, представляемая формулой Даламбера.
19.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. КЛАССИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
19.5.1. Уравнение теплопроводности
Существуют три механизма передачи тепла: молекулярная теплопровод-
ность, конвекция и излучение. Здесь мы получим дифференциальное уравнение, которому подчиняется
температура в среде, когда тепло от одной части к другой передается только за счет молекулярной теплопроводности.
Так как в данном случае, как и в случае диффузии, перенос вызван дей-ствием одного и того же механизма – движением молекул, то и уравнение получится такое же. Рассмотрим однородный стержень, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температура во всех точках любого поперечного сечения, измеряемая имеющимися в нашем распоряжении приборами, была одинаковой.
Введем систему координат следую-щим образом: начало совместим с одним из концов стержня, ось Ох направим по его оси в сторону другого конца, ось тем-ператур Ou направим перпендикулярно оси Ох. Наш стержень в выбранной сис-теме координат будет совпадать с отрез-ком (0, l) оси Ох (рис.19.6).
Рис.19.6
О x
l u
64
Пусть в «доначальное» время некими внешними причинами температура в стержне поддерживалась равной xf , lx ,0 . В какой-то момент време-ни, который мы принимаем за начало отсчета, причины, поддерживавшие стержень при температуре xf , lx ,0 , исчезли, а концы стержня 0x и
lx соединили с термостатом с температурами 21 uu соответственно. Согласно закону теплопроводности Фурье, в случае нелинейного рас-
пределения температуры вдоль стержня количество тепла, прошедшего за время dt через перпендикулярное оси x сечение площади S ,
,)( SdtxuxQ
где – постоянная, зависящая от физических свойств материала стержня и называемая коэффициентом теплопроводности.
Теперь, чтобы проследить эволюцию температурного поля u(x,t) от на-чального состояния
),()0,( xfxu (19.24)
нам понадобится закон сохранения энергии, который в самой общей форме носит название первого начала термодинамики.
В первом начале термодинамики утверждается, что количество теплоты, пришедшее в некоторый объем за какой-то промежуток времени, идет на из-менение внутренней энергии объема и на совершение им работы. Примени-тельно к рассматриваемому нами случаю математическая запись первого на-чала термодинамики имеет вид
,SdudxcdQ
где dQ – количество теплоты; – плотность; Sdx – объем; c – удельная теплоемкость; du – частный дифференциал температуры txu , .
Понятно, что эволюция температуры стержня будет протекать по-разному в зависимости от температур границ. Будем предполагать, что гра-ницы поддерживаются при постоянной температуре
.,,,0 21 utluutu (19.25)
Найдем величину dQ . За время dt через левое сечение xx в объем Sdx стержня, расположенный между поперечными сечениями xx и
dxxx , протечет согласно закону Фурье количество тепла
.),(1 Sdt
xtxudQ
За тот же промежуток времени через правое сечение dxxx из рассмат-риваемого объема вытечет количество тепла
.),(2 Sdt
xtdxxudQ
65
Количество тепла .21 dQdQdQ
Подставляя полученные результаты в закон сохранения энергии, имеем
.),(),( cSdxdux
txux
tdxxuSdt
Разделив обе части этого равенства на произведение cSdxdt и учитывая оп-ределение частной производной, получим искомое уравнение
.,),(),( 22
22
ca
xtxua
ttxu (19.26)
Введенный здесь коэффициент а называется коэффициентом температуро-проводности.
Дифференциальное уравнение с частными производными (19.26) носит название уравнения теплопроводности. Согласно полученным результатам, приходим к краевой задаче
,,),(),( 22
22
ca
xtxua
ttxu
),()0,( xfxu
., ,,0 21 utluutu
Краевая задача (19.24)-(19.26) представляет собой математическую мо-дель эволюции одномерного температурного поля txu , в теплоизолирован-ном стержне, концы которого поддерживаются при заданных температурах
1u и 2u , первоначально нагретом до температуры, распределение которой характеризуется функцией xf .
Если бы распределение температуры имело большую размерность, на-пример tyxuu ,, или tzyxuu ,,, , пришлось бы при подсчете количества тепла, пошедшего на нагревание рассматриваемого объема, дополнительно к тепловому потоку через плоскости xx и dxxx , учесть и тепловые по-токи через две пары плоскостей: yy , dyyy и zz , dzzz . Тогда вместо уравнения (19.26) имели бы уравнение
., 2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
zu
yu
xua
tu
yu
xua
tu
Пример 19.2. Решить методом Фурье задачу о распространении тепла в ограниченном стержне
0,0,2
22
tlx
xua
tu
66
при начальном условии
lxlL
xl
lxLx
xxu
2,
,2
0,)()0.(
и граничных условиях 0,,0 tlutu . Решение. Будем искать решение в виде суммы частных решений, каж-
дое из которых представляется в виде произведения tTxX , где функция Х(х) зависит только от х, а функция tT только от t . Подставляя tTxX в уравнение теплопроводности, имеем tTxXatTxX 2 или после деле-
ния на tTxXa2 :
tTtT
axXxX
2
1 . Полученное равенство должно удовле-
творяться при любых значениях ),0( lx и t . Это возможно только при ус-
ловии, что xX
xX и
tTtT
a
21 равны одной и той же постоянной, которую обо-
значим –. Это равенство при этом распадается на два уравнения
,0 xXxX (19.27)
.02 tTatT (19.28)
Из граничных условий следует, что 00,0 tTXtu ; 0, tTlXtlu и функция Х(х) должна удовлетворять дополнительным
условиям ,00 lXX так как иначе имели бы 0tT . Если 0 , то общее решение уравнения (19.27) имеет вид
xCCxX 21 . Граничные условия дают 0021 CC , 021 lCC . Отсюда 021 CC и 0xX .
Если 0 , то общим решением уравнения (19.27) будет xx CCxX ee 21 . Из граничных условий, получим
.0ee
,
,0ee
,0
1
12
21
21
llll C
CC
CC
CC
Решение 021 CC и 0xX . Если > 0, то общее решение уравнения (19.27) можно записать в виде
xCxCxX sincos)( 21 , а граничные условия дают ,00 1 CX 0sin2 lClX . Если 0xX , то 02 C , поэтому 0sin l или
,...2,1,2
n
lnnl n
67
Частные решения, соответствующие найденным n с точностью до по-стоянного множителя, который можно считать равным единице, задаются как
,...2,1,sin
nlxnX n
Подставив n в уравнение (19.28), найдем общее решение уравнения с разделяющимися переменными:
tTlantT
2
.
Общее решение ,...,2,1,e
2
nCtTt
lan
nn где nC – произвольные по-стоянные.
В результате получим семейство ненулевых частных решений исходного уравнения теплопроводности, удовлетворяющих граничным условиям,
,..2,1,sine,
2
n
lxnCtTxXtxU
tl
an
nnnn .
Решение исходной задачи будем искать в виде
.sine,,11
2
lxnCtxUtxU
n
tl
an
nn
n
Постоянные nC подберем так, чтобы удовлетворить начальному условию
.sin0,1
xlxnCxU
nn
Последнее выражение представляет собой разложение функции x в ряд Фурье по синусам на промежутке l,0 . Следовательно,
dxlxnx
lC
l
n
sin20
.
Чтобы вычислить nC , интеграл в последнем выражении представим в виде
суммы двух интегралов по промежуткам
2,0 l и
ll ,
2:
l
l
l
n dxlxnxldx
lxnx
LlC
2
2
0sinsin12
.
Применим к каждому интегралу формулу интегрирования по частям
. vduuvudv Для первого интеграла ,xu ,dxdu ,sin dxlxndv
68
lxn
nlv
cos , для второго интеграла xlu , ,dxdu ,sin dxlxndv
lxn
nlv
cos .
Интегрируя по частям каждый из интегралов, найдем
l
l
l
l
ll
n dxlxn
nl
lxn
nxlldx
lxn
nl
lxn
nlx
LlC
22
2
0
2
0
coscoscoscos2
l
l
l
lxn
nln
nl
lxn
nln
nl
Ll2
22
222
022
22
sin2
cos2
sin2
cos2
2
,2
sin42
sinsin2
sin22222
2
22
2
22
2
nLn
lnn
lnn
lnn
lLl
так как 0sin n .
При n четном 0sin222
kLk
lCC kn , при n нечетном, т.е. 12 kn ,
,...2,1,0,1
124
212sin
124
222212
k
kLlk
kLlCC k
kn
Окончательно, подставляя полученное выражение в формулу для иско-мого решения txu , , получим
.12sine12
14,0
12
22
2
k
tl
kak
lxk
kLltxu
19.5.2. Классификация краевых задач
Краевые задачи математической физики классифицируются по виду гра-ничных условий. Если на границе области задана функция, то соответствую-щая краевая задача называется краевой задачей первого рода. Если на грани-це задана производная искомой функции (на самом деле производная по на-правлению нормали к границе), тогда говорят о краевой задаче второго рода. Если на границе задана линейная комбинация искомой функции и ее произ-водной (нормальной), приходим к краевой задаче третьего рода. Наконец смешанной краевой задачей называется краевая задача, в которой на разных частях границы задаются разные условия, например, если в задаче о распре-делении температуры в тонком стержне на одном конце задана функция, а на другом – ее производная.Так задача (19.24)-(19.26) является краевой задачей первого рода: в этой задаче граница состоит из двух точек, и во всех точках
69
границы задана искомая внутри отрезка функция. Физически это означает, что, наблюдая (измеряя) температуру на концах стержня, можно вычислить температуру внутри него посредством математической модели.
Пусть измеряется не температура границы, а функции th1 и th2 , представляющие собой потоки тепла от левого и правого концов стержня со-ответственно. Поток с правого торца стержня th2 – тепло, которое подошло
к правому концу изнутри, и по закону Фурье оно равно xu
. Таким обра-
зом, получим равенство, которое должно выполняться на правом конце:
).(),(2 th
xtlu
(19.29)
Аналогично на левом конце, учитывая, что там производная положи-тельна, имеем
).(),0(1 th
xtu
(19.30)
Таким образом, приходим ко второй краевой задаче, которую образует система уравнений (19.24), (19.26), (19.29) и (19.30). Она позволяет по изме-ренным тепловым потокам с концов восстановить температуру внутри стержня. Система уравнений (19.24), первого из уравнений (19.25) и уравне-ний (19.26), (19.30) дает пример смешанной краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.
Наконец, пусть неизвестна ни температура концов стержня, ни тепловые потоки, а известно, что охлаждение (или нагревание) концов происходит в результате конвекции воздуха, температура которого равна 0u . Тогда тепло-вой поток, покидающий торцы стержня, вычисляется по закону, установлен-ному Ньютоном: 0uuk . Величина k носит название коэффициента теп-лообмена. Используя закон теплообмена Ньютона, приходим к граничным условиям
).),0((),0();),((),(00 utuk
xtuutluk
xtlu
(19.31)
Каждым из этих уравнений, очевидно, задана линейная комбинация ис-комой функции и ее первой производной на соответствующем конце стерж-ня. Поэтому система уравнений (19.24), (19.26) и (19.31) представляет пример краевой задачи третьего рода.
19.5.3. Распространение тепла в неограниченном стержне
Рассмотрим тонкий длинный теплопроводящий стержень, боковая по-верхность которого теплоизолирована. Если стержень длинный, эволюция температурного поля в его средней части протекает главным образом под
70
влиянием начального распределения. В задачах такого типа используют идеализацию неограниченного стержня, математической моделью темпера-турного поля в котором служит система уравнений
,2
22
xua
tu
(19.32)
),()0,( xxu (19.33)
где )(x определена на всей числовой оси )( x . Задача, состоящая в решении системы уравнений (19.32), (19.33), называется задачей с начальны-ми условиями или задачей Коши. Для упрощения сделаем замену переменной по формуле t = a2t. Тогда
.)( 2
2
2
2
22
2
22
22
xu
tu
xu
tau
xu
tau
xua
tu
Время не входит в начальное условие (19.33), поэтому при сделанной замене переменной это условие не изменяется и вместо задачи (19.32), (19.33) приходим к задаче
,2
2
xu
tu
(19.34)
).()0,( xxu (19.35)
Можно показать, что решение этой задачи может быть получено с по-мощью формулы
,e)(2
1),( 4)( 2
d
ttxu t
x
а решение задачи (19.32) и (19.33) при замене t на ta2 имеет вид
.e)(2
1),( 2
2
4)(
d
tatxu ta
x
(19.36)
Равенство (19.36) носит название интеграла Пуассона. В качестве приложения рассмотрим следующий пример. Пусть два
длинных теплоизолированных с боков полубесконечных стержня с одинако-выми физическими свойствами нагреты так, что температура одного равна
1T , а температура другого 2T , где 21 TT и Т1 и Т2 постоянны. Пусть в некото-рый начальный момент стержни плотно соединили торцами. Задача состоит в определении дальнейшей эволюции начального разрыва температуры в бес-конечном стержне. Математической моделью рассматриваемого процесса теплопроводности служит краевая задача
71
2
22 ),(),(
xtxTa
ttxT
,
.0x,T,0x,T
)x()0,x(T2
11 (19.37)
Введя вместо реальной температуры T безразмерную температуру
21
2
TTTTu
, а вместо реального времени t подставив время ta2 , получим в
новых переменных температуру первого стержня равной единице, а темпера-туру второго равной нулю.
В новых переменных задача (19.37) примет вид (19.34) и (19.35), где
функция 21
21 )()(TT
Txx
.
Итак, пусть в начальный момент времени два одинаковых стержня, один из которых имеет температуру равную единице, а второй равную нулю, плот-но соединили торцами.
Введем систему координат: ось x направим от места соединения в сторо-ну горячего стержня. Тогда начальное распределение температуры )(x да-ется формулой
.0,0,0,1
)(xx
x
Подставляя это значение начальной температуры в (19.36) при 1a имеем
0
4)(0
4)(
4)(
2e10e
21)(e1
21),(
222
td
tdd
ttxu t
xt
xt
x
.2
e10
4)( 2
t
dtx
Введем новую переменную по формуле tx
2)( . Тогда
,2
)0( ,2t
xdtd
)( и выражение для температуры примет вид
.e1e1e1),(0
0
22
222
dddtxu
tx
tx
Рассмотрим функцию Лапласа:
72
.e2)(0
2
z
dz
Известно, что
.21e1
0
2
d
Используя этот результат и вводя новую переменную t
xz2
, запишем
).(21
21e1
21),(
0
2zdtxu
z
Для получения решения поставленной задачи (19.37) надо безразмерную температуру ),( txu подставить в формулу
).( 212 TTuTT
Таким образом, заменив t на ta 2 , окончательно имеем
.222
),( 2121
taxTTTTtxT
19.6. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Лапласа. Масса вещества, помещенная в начало координат, порождает во всем
пространстве поле, интенсивность u которого в точке ),,( zyx вычисляется по формуле
.),,(222 zyx
Mzyxu
(19.38)
Здесь – некоторая постоянная; M – масса. Чтобы вычислить координаты силы, которая будет действовать со сто-
роны массы M на единичную массу, помещенную в произвольную точку пространства, отличную от начала координат, надо положить
.,,zuF
yuF
xuF zyx
(19.39)
Функцию (19.38), обладающую свойством (19.39), называют потенциа-лом векторного поля .,, zyx FFF
Лаплас предложил для изучения тяготения пользоваться не самой функ-цией u , а тем дифференциальным уравнениям, которым эта функция удовле-творяет.
73
Найдем это уравнение. Обозначим 222 zyxr и вычислим вторые производные функции )(ruu как сложной функции координат. При этом несущественный для дальнейшего постоянный множитель M положим равным единице и будем считать ru /1 . Используя частные производные от радиуса-вектора
,,,rz
zr
ry
yr
rx
xr
по правилу дифференцирования сложной функции получим
.132 rx
rx
rxr
ru
xu
Откуда 3 2
2 3 3 3 2 2
2 3 6 6 6 3 5
3( ) 3 1 3 .
xr x ru x x r x r x r x r r xrx x r r r r r r
Таким образом,
.315
2
32
2
rx
rxu
Но независимые переменные входят в выражение потенциала u абсо-лютно равноправно. Следовательно, можно написать
.31;315
2
32
2
5
2
32
2
ry
rzu
ry
ryu
Сложим полученные вторые производные:
.033)(335
2
35
222
32
2
2
2
2
2
rr
rrzyx
rzu
yu
xu
Дифференциальное уравнение с частными производными второго по-рядка вида
,02
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
называется уравнением Лапласа. Как было показано, потенциал сил тяготения, называемый ньютонов-
ским потенциалом, является решением уравнения Лапласа. Более общее уравнение
),,(2
2
2
2
2
2
zyxfzu
yu
xu
называется уравнением Пуассона.
74
Следствие. Так как закон Кулона о взаимодействии электрических заря-дов аналогичен закону всемирного тяготения, то потенциал электрического поля также является решением уравнения Лапласа, как и потенциал поля тя-готения.
Задача на собственные значения для оператора Лапласа состоит в на-хождении тех числовых значений , для которых уравнение
uzu
yu
xu
2
2
2
2
2
2
в области имеет ненулевые решения ),,( zyxu . Ненулевые решения u на-зываются собственными функциями оператора Лапласа, соответствующими этому собственному значению .
Задачей Дирихле называется краевая задача первого рода для уравнения Лапласа (Пуассона). Краевая задача второго рода для этих уравнений назы-вается задачей Неймана.
Если имеем теплопроводное тело, температура границы которого изме-рена, то определение температуры во внутренних точках такого тела приво-дит к задаче Дирихле. Если температура границы тела неизвестна, а известна информация о тепловых потоках с границы тела, то для прогноза температу-ры во внутренних точках нужно решать задачу Неймана.
Пример 19.3. Найти собственные функции и собственные значения за-дачи Дирихле
0,,,,2
2
2
2
suyxuy
yxux
yxuu
в области, являющейся прямоугольником на плоскости 20,2/0:, yxyx с границей s. Решение. Применим метод разделения переменных. Решение будем ис-
кать в виде yYxXyxu , . Из граничных условий
yuyu ,
2,0
02,0, xuxu получим
.02,00
,02
,00
YxXYxX
yYXyYX
Подставляя yYxX в уравнение Лапласа, имеем
.yYxXyYxXyYxX
Разделим левую и правую части уравнения на yYxX :
yYyY
xXxX или
.
yYyY
xXxX
75
Последнее равенство выполняется при всех 2/,0 x и 2,0y , только если левая и правая часть равны одной и той же постоянной, которую обо-значим μ.
Таким образом, имеем два уравнения
.0
,0
yYyY
xXxX
Рассмотрим случаи 1) 0 ; 2) 0 ; 3) 0 . 1. При μ < 0 общее решение первого уравнения имеет вид xX
xx cc ee 21 . Имеем граничные условия 02
,00
yYXyYX .
Так как 0yY , то выполняются условия 02
,00
XX . Отсюда
,0ee
,
,0ee2
,00
221
12
22
21
21
C
CC
CCX
CCX
а следовательно, 021 cc . 2. При 0 решением уравнения 0 xX является 21 cxcxX .
Так как 02
0
XX , то 012 cc .
3. При 0 общее решение уравнения 0 xXxX имеет вид xcxcxX sincos 21 , а из граничных условий следует, что
00 1 cX и 02
sin2 2
cX . Если 0sin2 xcxX , то 02 c и
поэтому 02
sin
или n
2, ,...3,2,1,4,2 2 nnn
Подставим 24n во второе уравнение 04 2 yYnyY . Со-гласно граничным условиям 02,00 YxXYxX или ,00 Y 002 xXY , получим решение 0yY только в случае 04 2 n
и yncyncyY 22
21 4sin4cos . Так как 00 Y , то 01 c и
.4sin 22 yncyY
Из условия 02 Y имеем 024sin2 22 ncY или
mn 24 2 , ,...2,1,4
422
2
mmn
76
В результате собственные числа имеют вид
44
222 mnnm , а со-
ответствующие собственные функции
ymnxcyYxXyxu nmmnnm 2sin2sin,
.
Используя свойство ортонормированности собственных функций
2
0
2
0
2 1, dxdyyxunm , вычислим
2
0
2
0
222 12
sin2sin ydxdymnxcnm
2
0
2
0
222 12sin2
sin nxdxdyymcnm
184sin
21
2sin
21 2
0
2
0
2
nnxx
mymycnm
2
0
2
0
2 12
4cos12
cos1 dxnxdyymcnm
182sin
422sin12
nn
mmcnm .
Учитывая, что ,...,3,2,1,0,0sin nn окончательно имеем коэффи-циенты
2nmc и ,...3,2,1,...,2,1,
2sin2sin2,
nmymnxyxunm
19.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ
19.7.1. Общие положения
С электрическими колебаниями в проводах мы сталкиваемся повсемест-но. Например, суть принципа действия проводной телефонной связи такова. В электрическую цепь встроен преобразователь звуковых сигналов в элек-трические колебания – микрофон. Звуковые сигналы вызывают колебания
77
мембраны, воздействие которой на угольный порошок приводит к пульси-рующему изменению сопротивления. По проводу бегут волны напряжения и тока, которые в дальнейшем вновь преобразуются в звуковые колебания.
Основное требование к передающей сигнал цепи – цепь в идеале не должна сильно ослаблять сигнал и уж тем более его искажать.
Теоретически удовлетворить эти требования можно с помощью теле-графного уравнения.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и в теоретической электротехнике изучается расчет электрических цепей переменного тока, содержащих сосредоточен-ные параметры. Примером таких цепей является колебательный контур, со-стоящий из последовательно соединенных сопротивления, емкости и индук-тивности. При этом считают, что ни катушка индуктивности, ни подводящие провода при прохождении тока не выделяют тепла. Полагают, что изменение магнитного потока индуцирует электродвижущую силу только в катушке ин-дуктивности, а токи смещения возникают только между обкладками конден-сатора. Все вышесказанное допустимо, если линейные размеры всех элемен-тов цепи малы по сравнению с длиной электромагнитной волны в окружаю-щем цепь диэлектрике.
Если протяженность цепи сравнима с длиной электромагнитной волны (например, телеграфные линии или линии передачи электроэнергии на прак-тически используемых частотах), то физическая модель цепи с сосредото-ченными параметрами становится неприемлемой и используется физическая модель длинных линий или линий с распределенными параметрами. Наконец, если длина волны еще более уменьшается (соответственно растет передаю-щая частота), то приходится для расчета цепей использовать систему уравне-ний Максвелла.
Будем рассматривать электрическую цепь в приближении «длинных линий».
19.7.2. Вывод телеграфного уравнения
Рассмотрим однопроводную линию (рис.19.7). Пусть ),( txii – ток в точке, находящейся на расстоянии x от начала в момент времени t, а
),( txuu – напряжение между проводом и землей, измеренное в той же точке и в тот же момент времени. Пусть ),( txxi и ),( txxu – соответ-ственно ток и напряжение в точке, отстоящей от рассматриваемой точки на
Рис.19.7
),(
),(
txi
txu
),(
),(
txxi
txxu
x
A B 0
78
расстоянии x. Равенства dxx
txutxutxxu
),(),(),( и ),( txxi
dxx
txitxi
),(),( имеют место с точностью до бесконечно малых более вы-
сокого порядка, чем dxx .
Основные параметры цепи: сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость утечки – равномерно распределены вдоль провода с плотно-стями распределения R, L, C и G соответственно. Плотность распределения есть такая величина, что сопротивление, индуктивность, емкость и проводи-мость утечки участка провода длиной x равны xR , xCxL , и xG со-ответственно.
Применяя закон Ома к участку цепи между точками A и ,B имеем
,)(tiLdxRdxidx
xuuu
т.е.
.0
tiLRi
xu (19.40)
По закону сохранения заряда ток, вошедший на рассматриваемый участок через точку A , равен сумме тока, вышедшего с участка через точку B , тока, пошедшего на зарядку «конденсатора», и тока утечки. Другими словами,
,)( GdxutuCdxdx
xiii
откуда
.0
tuCGu
xi (19.41)
Система (19.40), (19.41) представляет собой систему уравнений с част-ными производными первого порядка и носит название системы телеграф-ных уравнений.
Замечание. Эти уравнения являются приближенными в рамках теории электромагнитного поля, поскольку они не учитывают электромагнитных колебаний в среде, окружающей провод.
Из этой системы следует уравнение с частными производными второго порядка, называемое телеграфным уравнением. Для получения телеграфного уравнения, определяющего, например, функцию u, продифференцируем пер-вое уравнение по x :
.02
2
ti
xL
xiR
xu
Изменим в последнем слагаемом порядок дифференцирования
79
02
2
xi
tL
xiR
xu
и заменим частную производную xi
на ее значение из уравнения (19.41):
.02
2
tuCGu
tL
tuCGuR
xu
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, окончательно получим
.012
2
2
2
xu
LCu
LCRG
tu
LCLGRC
tu (19.42)
Уравнение (19.42) называется телеграфным уравнением.
Дифференцируя уравнение (19.41) по х и подставляя в него xu из урав-
нения (19.40), получим аналогичное (19.42) уравнение для тока
.012
2
2
2
xi
LCi
LCRG
ti
LCLGRC
ti
Уравнения тождественны, поэтому дальше будем говорить только об уравнении (19.42).
Телеграфное уравнение (19.42) является гиперболическим дифференци-альным уравнением. Оно имеет второй порядок по обеим независимым пере-менным, поэтому постановка краевых задач для него в общем случае потре-бует двух начальных и двух граничных условий. Из физических соображений ясно, что всегда должно быть известно исходное состояние, т.е.
).()0,(),()0,( xxixfxu (19.43)
Начальные условия (19.43) должны давать приборы. Перейдем в (19.41) к пределу при 0t . Если левая часть уравнения непрерывна, то получим равенство
.0)0,()0,()0,()(lim0
txuCxGu
xxi
tuCGu
xi
t
Откуда второе начальное условие для (19.42)
).(1)(0
xC
xfCG
tu
t
(19.44)
Аналогично
).(1)(0
xfL
xLR
ti
t
(19.45)
80
На левом конце линии расположен источник напря-жения, на правом происходит короткое замыкание, тогда
tEu x
sin0
(в частности,
Eu x 0
), .)0lxu
Если на правом конце линии – электроизоляция, то
0
lxxu . Часто встречается случай, когда на конце имеется приемник энер-
гии с сопротивлением lR и индуктивностью lL (рис.19.8). Тогда, рассуждая так же, как при выводе уравнения (19.40), получим
ttliLtliRtlu ll
),(),(),( .
19.7.3. Частные случаи телеграфного уравнения. Установившиеся процессы
Процесс со временем становится установившимся, когда внешние фак-
торы, действующие на рассматриваемую систему (в данном случае, электри-ческую цепь) либо постоянны, либо являются синусоидальными величинами. Рассмотрим первый случай и будем считать u и i не зависящими от време-ни: )(),( xiixuu .
В этом случае телеграфное уравнение (19.42) имеет вид
.02
2
RGudx
ud
Общее решение этого обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
,ee)( bxbx NMxu (19.46)
где RGb ; M и N – произвольные постоянные. Найдем эти постоянные при условии, что на левом конце цепи действует
источник постоянной ЭДС, равной E , а на правом – либо заземление (в слу-чае однопроводной линии), либо короткое замыкание (в случае линии двух-проводной). В этом случае граничные условия
.0)(,)0( luEu
Подставляя (19.46) в граничные условия, приходим к системе алгебраи-ческих уравнений
Рис.19.8
x x = l
Re
Le
x = 0
u = E(t)
81
.0ee
;
NM
ENM
blbl
Решив систему, получим
,ee
,ee1e2 blbl
bl
blbl
bl
blEeNEeEM
и, подставив эти решения в формулу (19.46), найдем
.sh
)(sheeee)(
)()(
blxlbEExu blbl
xlbxlb
(19.47)
Здесь использовано определение гиперболических функций
.2ee=ch,
2ee=sh
Отметим случай практического применения полученной формулы. Пусть где-то произошел пробой (или короткое замыкание). Замерим в произ-вольной точке xx напряжение )( xu и получим согласно (19.47) уравнение
,sh
)(sh)(bl
xlbExu
в которое входит одна неизвестная величина l – расстояние до места пробоя. Решив это уравнение, найдем место, где произошел пробой.
19.7.4. Линия без потерь
Если сопротивление провода мало и он хорошо изолирован, то естест-венно считать, что .0GR Уравнение (19.42) при этом условии переходит в обычное волновое уравнение
,12
2
2
2
xu
LCtu
(19.48)
подробно рассмотренное в разделе 19.3. Общее решение уравнения (19.48) имеет вид )(),( atxFtxu
)( atxG и представляет собой результат наложения прямой )( atxF и
обратной )( atxG волн, распространяющихся со скоростью ./1 LCa Произведенные измерения величин L и C для воздушных линий пока-
зали, что скорость распространения волн в этих линиях практически совпада-ет со скоростью света в воздухе. Это в свое время явилось убедительным до-казательством электромагнитной природы света.
82
Рассмотрим линию бесконечной протяженности. Тогда (19.48) следует дополнить только начальными условиями из (19.43) и (19.44):
).(1),()0,(0
xCt
uxfxut
Воспользовавшись формулой Даламбера (19.11), сразу получим напря-жение
.)(2
12
)()(),( dxxaC
atxfatxftxuatx
atx
Вычислив интеграл, с учетом LCLCCaC // найдем
.2
)()(2
)()(),( atxatxCLatxfatxftxu
(19.49)
Для тока получим аналогичное выражение
.2
)()(2
)()(),( atxfatxfLCatxatxtxi
(19.50)
Формулы (19.49) и (19.50), каждая из которых представляет собой сумму прямой и обратной волн, полностью описывают колебания тока и напряже-ния в нашей цепи. Посмотрим, как изменяются ток и напряжение, например, в прямой волне:
.)()(21),(
,)()(21),(
atxfLCatxtxi
atxCLatxftxu
np
np
Вынося, например, в первой формуле CL за скобку, получим
.)()(21),(
atxf
LCatx
CLtxunp
Сравнивая ток и напряжение в прямой волне, видим, что отношение
CL
txitxu
np
np ),(),(
есть величина постоянная. Она имеет размерность сопротив-
ления и носит название волнового сопротивления линии. Возникновение волн в линиях на практике очень часто связано с атмосферными разрядами. Если на некотором участке линии внезапно возникает индуцированный заряд, то вдоль линии начинают распространяться волны напряжения и тока в соответ-
83
ствии с формулами (19.49) и (19.50). Так как начальный ток равен нулю, то 0)( x . Функция )(xf будет отлична от нуля только на том участке, на
котором возник индуцированный заряд. Из полученного решения (19.49) видно, что линия без потерь идеальна
для осуществления телефонной связи. Голос без искажений и не ослабевая доходит до того, кому он предназначен.
19.7.5. Линия без искажений
Линией без искажения называется линия, параметры которой связаны соотношением
.CG
LRLGRC (19.51)
Покажем, что в такой линии волны напряжения и тока распространяются так же, как и в линии без потерь, но с той разницей, что амплитуда волны не со-храняет своей величины, а монотонно убывает со временем.
Рассмотрим телеграфное уравнение (19.42) и введем в рассмотрение но-вую неизвестную функцию ),( txv по формуле
).,(e),( txvtxut
LR
(19.52)
Вычислим производные:
,e ;e 2
2
2
2
tvv
LR
tu
xv
xu t
LRt
LR
(19.53)
.2ee 2
2
2
2
2
2
tv
tv
LRv
LR
tvv
LR
ttu
ttu t
LR
tLR
После подстановки этих формул в (19.42), сокращения на общий множитель t
LR
e и группировки слагаемых найдем
.0122
2
2
2
2
2
xv
LCv
LCRG
LCLGRC
LR
LR
tv
LCLGRC
LR
tv
Так как согласно (19.51) выражения в скобках равны нулю, то придем к урав-нению
.1,0 22
22
2
2
LCa
xva
tv
Как всегда в таких задачах следует считать ток и напряжение в началь-ный момент известными: ).()0,(),()0,( xxixfxu Тогда из формулы (19.52) имеем
84
).()0,()0,( xfxuxv
Из формулы (19.53), записанной для случая 0t , следует
).()0,()0,()0,()0,( xfLR
txuxv
LR
txu
txv
Подставив в это уравнение значение txu
)0,( из равенства (19.44), полу-
чим второе начальное условие для искомой функции ),( txv :
).(1)(1)()()0,( xC
xC
xfCGxf
LR
txv
Уравнение и начальные условия для функции txv , такие же, какими они были при отыскании напряжения для линии без потерь. Следовательно, txv , дается формулой (19.49), а функция
.2
)()(2
)()(e),(
atxatxCLatxfatxftxu
tLR
Аналогично получим закон изменения электрического тока в рассматри-ваемой цепи:
.2
)()(2
)()(e),(
atxfatxfLCatxatxtxi
tLR
Таким образом, в линии без искажений, как и в линии без потерь, имеет место постоянное отношение напряжения к току, равное CL / (волновое сопротивление). Волны напряжения и тока распространяются в обоих на-правлениях от места начального возмущения, но с существенной разницей по сравнению с линией без потерь. Эта разница состоит в том, что в случае ли-нии без искажений 0R и 0G , и следовательно, имеет место рассеяние энергии (в частности, за счет выделения джоулева тепла). Вследствие рассея-ния энергии амплитуда прямой и обратной волн со временем затухает, при-чем затухание происходит достаточно быстро – по показательному закону
(множитель t
LR
e ).
Ослабление сигнала линией без искажений на практике компенсируется применением промежуточных усилителей.
Линии, для которых условие (19.51) нарушается, порождают так назы-ваемую дисперсию волн, состоящую в том, что фазовая скорость каждой гар-моники зависит от частоты. Это приводит к тому, что отдельные гармониче-ские составляющие сигнала смещаются друг относительно друга, вызывая его существенное искажение. Такие линии непригодны для использования в антеннах, телефоне, телеграфе.
85
19.7.6. Линии конечной длины
Наиболее часто встречающиеся граничные условия в линиях конечной длины описывают ситуацию, когда на одном конце линии ( 0x ) действует источник электродвижущей силы, в общем случае переменной во времени, а другой конец замкнут (заземлен) или изолирован. Тогда граничные условия имеют вид (в случае замкнутого правого конца)
,0),( ,),0( tluEtu
или (в случае изолированного правого конца)
.0),(,),0(
x
tluEtu
Встречаются ситуации, в которых для получения граничного условия на конце линии приходится записывать закон сохранения заряда или закон Ома. Например, если на конце двухпроводной линии включен приемник энергии с сопротивлением R и индуктивностью L , то получим граничное условие вида
.),(),(),(x
tliLtlRitlu
Пусть однопроводная линия длиной l , свободная от искажений LGRC , заряжена до потенциала E (по отношению к земле). Один конец линии )( lx изолирован, а другой )0( x в начальный момент заземляется. Найдем распределение потенциала вдоль линии.
Пусть искомое распределение потенциала описывается функцией ),( txu . Составим начальные условия для этой функции. Так как 0)0,(,)0,( xiExu ,
то согласно (19.43) и (19.44) ECG
txu
)0,( . Введем в рассмотрение новую
функцию ),( txv по формуле
).,(e),( txutxvt
LR
(19.54)
Подставив 0t , получим Exv )0,( . Дифференцируя (19.54), запишем
.),(e),(e),(t
txutxuLR
ttxv t
LRt
LR
Подставив 0t и пользуясь полученным выше значением производной
txu
)0,( , в силу условия LGRC имеем
.0)0,(
ECGE
LR
txv
Таким образом, приходим к следующей краевой задаче для определения колебаний напряжения. Найти решение дифференциального уравнения
86
,1,2
22
2
2
LCa
xva
tv
с начальными условиями
0)0,(,)0,(
txvExv
и граничными условиями
.0),(,0),0(
x
tlvtv
Применив метод разделения переменных, придем к ряду по собственным функциям
lxk
latkb
latkatxv
kkk 2
)12(sin2
)12(sin2
)12(cos),(1
.
Применив формулы (19.23), найдем
.0;)12(
42
)12(sin20
k
l
k bkEdx
lxk
lEa
Окончательно
0 12
2)12(sin
2)12(cos
e4),(k
tLR
kl
xkl
atkEtxu .
Вопросы для самопроверки
1. Какой физический процесс описывает уравнение переноса? 2. Какое дифференциальное уравнение называется квазилинейным? 3. Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным? 4. В чем состоит задача Коши? 5. Какое уравнение называется уравнением с частными производными
второго порядка? 6. Какие типы линейных дифференциальных уравнений с частными про-
изводными второго порядка вы знаете? 7. Что нужно вычислить, чтобы установить тип линейного уравнения с
частными производными второго порядка? 8. Как записывается волновое уравнение? 9. Какой физический процесс моделируется уравнением теплопровод-
ности? 10. Как записывается уравнение теплопроводности? 11. Что называется краевой задачей? 12. Чем отличаются начальные и граничные условия?
87
13. Как записываются условия на свободных концах (свободных гра-ницах)?
14. Чем отличаются краевые задачи первого и второго рода? 15. Какая формула называется формулой Даламбера? 16. В чем состоит метод разделения переменных или метод Фурье? 17. Какая задача носит название задачи Штурма – Лиувилля? 18. Какие уравнения называются уравнениями Лапласа и Пуассона? 19. К каким типам уравнений относятся волновое уравнение, уравнение
теплопроводности и уравнение Лапласа? 20. Что такое собственные числа и собственные функции оператора
Лапласа?
Тесты
№ п/п Вопрос Варианты ответов
1 Уравнением переноса в мате-матической физике называется уравнение с частными произ-водными вида
1. 2
22
xua
tu
2. 0,
xutxv
tuu
3. 0,,2
utxcxutxvu
4. 0,,
utxc
xutxv
tu
2 Дифференциальное уравнение вида
yuuyxb
xuuyxa ),,(),,(
),,( uyxc является
1. Квазилинейным уравнением перво-го порядка 2. Линейным уравнением первого по-рядка 3. Неквазилинейным уравнением пер-вого порядка 4. Нелинейным уравнением второго порядка
3 Задачей Коши называется задача отыскания решения дифферен-циального уравнения, удовле-творяющего условиям
1. Граничным 2. Начальным и граничным 3. Начальным 4. Правильного ответа нет
88
Продолжение таблицы
№ п/п Вопрос Варианты ответов
4 Условия, которые задают пове-дение искомой функции в за-данный момент времени во всех точках области изменения про-странственных переменных, на-зываются
1. Граничными условиями 2. Начальными условиями 3. Условиями Коши – Римана 4. Правильного ответа нет
5 Если для уравнения yyxyxx CuBuAu 2
yx uuuyxF ,,,, число
02 ACBD , то уравнение называется
1. Эллиптическим 2. Параболическим 3. Гиперболическим 4. Правильного ответа нет
6 Физический процесс колебаний струны моделируется уравне-нием вида
1. xxt uau 2 2. txfuau xxtt ,2 3. txfuu xxtt , 4. xt uau 2
7 Задача о поиске значений пара-метра и функций )(xX , при которых задача
0)()(" xXxX , 0)(,0)0( lXX
имеет ненулевые решения, на-зывается задачей
1. Дирихле 2. Неймана 3. Краевой задачей второго рода 4. Штурма – Лиувилля
8 Решение уравнения колебаний струны конечных размеров методом Фурье имеет вид
),( txu
1. ))()((21 atxfatxf
atx
atxdyyg
a)(
21
2.lxnA
n
tlan
n
sine
1
2
3.
1
sin)sincos(n
nn lxn
latnB
latnA
4.
1
sinn
n lxnB
89
Окончание таблицы
№ п/п Вопрос Варианты ответов
9 Начальным условием для уравнения теплопроводности
2
22
xua
tu
является
1. )(),0( ttu 2. )()0,( xxu 3. 0),( tlu
4. 0),0(
ttu
10 Стационарный процесс или процесс, не зависящий от вре-мени, моделируется уравнени-ем
1. Волновым 2. Теплопроводности 3. Переноса 4. Лапласа
90
Глава 20. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
20.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Математическое программирование занимается построением алгоритмов или программ конструктивного решения задач оптимизации, т.е. задач на наибольшее или наименьшее значения функции нескольких переменных при заданных ограничениях. В общем виде такие задачи можно описать следую-щим образом:
max),...,,()( 21 nxxxfxf ,
т.е. максимизировать функцию при условии Gxxxx n ),...,,( 21 , или Gxxf max,)( ;
min),...,,()( 21 nxxxfxf ,
т.е. минимизировать функцию при условии Gxxxx n ),...,,( 21 , или Gxxf min,)( .
Оптимизируемая функция )(xf называется целевой, а область ограни-чений (или допустимое множество) G является областью в многомерном евклидовом пространстве nR , векторы которого ),...,,( 21 nxxxx или
),...,,( 21 nyyyy имеют n декартовых координат, а скалярное произведение определяется как nn yxyxyxyx ...; 2211 , что аналогично обычному
скалярному произведению в пространстве 3R . В евклидовом пространстве nR , как и в трехмерном пространстве, определяются такие понятия, как ба-
зис, разложение по базису, свойство ортогональности и т.п. Так как аналити-чески области в nR задаются системами неравенств или равенств, то условие
Gx означает, что
...,,0)(1 xg ,0)(1 xgs ...,,0)( xgs
,0)( xgm ...,,0)(1 xgm 0)( xgr ,
где rixgi 1 ),( – некоторые заданные функции. При этом в ограничениях можно рассматривать только неравенства, так как равенство есть частный случай неравенств вида ) 0g и 00( gg . Отметим что, если все нера-венства нестрогие, то область G будет замкнутой, т.е. содержащей все точки своей границы.
Если область ограничений непустая G( ), ограничена и замкнута, а целевая функция непрерывна, то по теореме Вейерштрасса задача оптими-зации всегда имеет решение, т.е. существуют такие точки Gxx и *
* , для
которых **)()( max fxfxfGx
и **)()( min fxfxfGx
. Отметим, что таких оп-
91
тимальных точек ** или xx может быть несколько (альтернативные реше-
ния), но оптимальное значение ** или ff всегда одно.
При нарушении условий теоремы Вейерштрасса решения задачи оптимизации может не существовать.
Если целевая функция )(xf и все функции )(xgi линейны, то сформулированная задача оптимизации называется задачей линейного про-граммирования (ЛП). Если хотя бы одна из этих функций нелинейна, то это случай задачи нелинейного программирования. Стандартный метод решения задач оптимизации при большом числе переменных и ограничений неэффек-тивен. Для конкретного вида задач, например задач ЛП, созданы эффектив-ные специальные методы.
20.2. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задачу ЛП можно записать в виде
)min(max;...)( 002211 cxccxcxcxcxf nn ,
,...)(
...)(...)(
...)(
2211
2211
112121111
112121111
nnmnmmm
snsnsss
snnssss
nn
bxaxaxaxg
bxaxaxaxgbxaxaxaxg
bxaxaxaxg
где ),...,,( 21 ncccc . Введем матрицу коэффициентов ограничений A и векторы переменных
X и правых частей B :
mnmm
n
aaa
aaaA
...............
...
11
11211
,
nx
xX ...
1
,
mb
bB ...
1
.
За счет изменения знака в обеих частях неравенств приведем их к неравенст-вам одного вида и запишем систему ограничений в матричном виде: BXA .
Так как )min(maxи)max(min ffff , (20.1)
то вместо задачи минимизации функции f (рис.20.1) можно рассматривать максимизацию функции )( f . Поэтому задачу ЛП всегда можно привести к стандартной форме: BXAcxcxf max,;)( 0 .
92
Экономические задачи оптимизации, связан-ные с планированием производства или распреде-лением продуктов (изделий), являются задачами ЛП. Если рассматривать доходы, то это будут за-дачи максимизации, а если расходы – задачи ми-нимизации. При этом значения переменных
xxxx n ),...,,( 21 имеют смысл планируемого ко-личества разных продуктов и являются неотрица-тельными: )...,,2,1(0 nkxk . В дальнейшем эти ограничения (смысловые) считаются выпол-
ненными. Если задача ЛП приведена к стандартной форме, то )...,,,( 21 ncccc является вектором цен на соответствующие продукты, 0c –
постоянная составляющая дохода (или расхода), а целевая функция )(xf вы-ражает величину дохода (расхода). Матрица ограничений A является матри-цей коэффициентов использования набора ресурсов, запасы которых заданы вектором ресурсов )...,,,( 21 mbbbb .
В силу такой экономической интерпретации вектор )...,,,( 21 nxxxx на-
зывается планом. При BXA этот план допустимый. Если *x – допустимый план и )()(max *xfxf
BXA
, то этот план *x – оптимальный.
При непрерывности целевой функции и нестрогости всех ограничений (область ограничений замкнута) такая задача оптимизации может не иметь решения только в двух случаях:
1) область ограничений пуста: G (ограничения несовместны); 2) целевая функция не ограничена на неограниченной области G
(
)(max xfGx
или
)(min xfGx
).
20.3. ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задача о производстве. Мастерская изготавливает столы и шкафы. В за-
пасе имеется 15 и 10 м3 древесины 1-го и 2-го сорта соответственно, а также ресурсы труда – 200 человеко-ч. Расходы ресурсов на производство одного изделия следующие:
Изделие Стол Шкаф Расход древесины сорта, м3
1-го 0,5 1,2 2-го 0,2 1,0
Ресурсы труда, человеко-ч 10 15 Доход от продажи одного стола равен 100 условным единицам, а от про-
дажи одного шкафа – 150 условным единицам.
ОГ
у
min
max
f
– f
х
Рис.20.1
93
Найти план производства, максимизирующий доход. Поставим задачу математически. Пусть запланированное количество
столов 1x , а шкафов – 2x , т.е. план производства ),( 21 xxx . Тогда ограни-чения по ресурсам, использованным для производства, по древесине 1-го и 2-го сорта и по труду, примут вид неравенств
.2001510;1012,0;152,15,0
21
21
21
xxxxxx
Ясно, что выполняются и смысловые ограничения 0,0 21 xx . Доход, т.е. целевая функция этой задачи, при выполнении плана
),( 21 xxx равен 21 150100 xx . Таким образом, математически задача опти-мизации плана производства сводится к задаче ЛП:
max;150100)( 21 xxxf
.0,0;2001510
;1012,0;152,15,0
21
21
21
21
xxxxxxxx
Задача о диете. Из двух продуктов A и B надо составить диету, которая удовлетворяет ежесуточной потребности организма в белках, жирах, углеводах и требует наименьших затрат. Распределение белков, жиров и углеводов по продуктам, потребности организма и стоимость продуктов следующие:
Продукты Белки Жиры Углеводы Стоимость 1 кг
A а1 а2 а3 S1 B b1 b2 b3 S2
Потребность a b c Если 1x – количество продукта A и 2x – количество продукта B, т.е. ра-
цион ),( 21 xxx , то затраты min)( 2211 xSxSxf , а ограничения состоят в покрытии потребностей соответственно по белкам, жирам и углеводам:
,;;
2313
2212
2111
cxbxabxbxaaxbxa
где 0,0 21 xx .
94
20.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В многомерном пространстве Rn линейное уравнение
bxaxaxa nn ...2211 или bxa ; задает гиперплоскость с вектором нормали ),...,,( 21 naaaa , которая является аналогом плоскости для R3 (или прямой для R2). Соответственно линейное неравенство
bxaxaxa nn ...2211 или bxa ; задает замкнутое полупространство. Тогда система таких неравенств задает пересечение соответствующих полупространств, т.е. геометрически область ограничений G для задачи ЛП есть некоторый многомерный многогранник, называемый симплексом. Симплекс, как и обычные многогранники, является выпуклым телом и лежит по одну сторону от любой своей грани (содержит весь отрезок, соединяющий любые две свои точки).
Для целевой функции 02211 ...)( cxcxcxcxf nn 0; cxc градиент
grad f =
nxf
xf
xf ...,,,
21сccc n )...,,,( 21
является постоянным вектором. Поэтому при движении от любой допусти-мой точки 0x (для G ) по направлению градиента в области ограничений (в симплексе) значения целевой функции увеличиваются до тех пор, пока не будет достигнута граница симплекса (грань). Таким образом, в стандартной форме задачи ЛП оптимальное решение, если оно есть, достигается на грани-це симплекса, а так как к этой форме можно привести любую задачу ЛП, то это верно и для любой задачи ЛП.
Если градиент перпендикулярен достигнутой грани, то она является множеством уровня целевой функции, где функция принимает одно и то же значение (постоянна). Поэтому движение дальше в направлении градиента (в сторону увеличения значения целевой функции) по этой грани невозможно как и по другим граням в силу выпуклости симплекса (рис.20.2, а).
Эта грань и будет множеством оптимальных решений (бесконечное множество альтернативных решений).
grad f N
grad f
а б х2 grad f 2N
3N 1
1N
0 1 2 x1
Рис.20.2
95
Если градиент не пер-пендикулярен грани, то воз-можно движение по этой гра-ни в направлении градиента, а точнее – в направлении про-екции градиента на эту грань (рис.20.2, а) и, следовательно, увеличение значения целевой функции до перехода на сле-дующую грань, для которой следует повторить эту проце-дуру. В итоге либо движение по симплексу не ограничено, т.е. неограниченно увеличи-вается целевая функция и у нее нет наибольшего значения (задача ЛП не имеет реше-ния), либо через несколько шагов попадем на грань, перпендикулярную grad f (множество решений), либо окажемся в вершине, из которой невозможно движение в направлении градиента для увеличения значения целевой функ-ции (вершина A на рис.20.3). В последнем случае получим единственное реше-ние. Таким образом, оптимальное значение, если оно есть, достигается всегда по крайней мере в одной из вершин симплекса.
Такое геометрическое (графическое) решение практически возможно только для случая двух переменных, т.е. на плоскости R2. Тогда, находясь на стороне многоугольника (двумерный симплекс), следует определить направ-ление движения по ней (влево или вправо). Для этого достаточно определить расположение градиента относительно нормали N стороны (см. рис.20.2, б).
Пример 20.1. Решить задачу ЛП max23 21 xxf при ограничениях вида
.82;5
;82
21
21
21
xxxx
xx
Решение. Здесь 82 21 xx – уравнение стороны I (см. рис.20.3)
1;
212)2;1(1N ; х1 + х2 = 5 – уравнение стороны II )1;1(2 N ; 2х1 + х2 =
= 8 – уравнение стороны III )1;2(3 N ; 0, 21 xx , grad f =
1;
232)2;3( .
По диаграмме взаимного расположения нормалей и градиента (см. рис.20.2, а) и по проекциям градиента на оси координат (см. рис.20.3) опре-делим направления движения по границам области ограничений (стрелки на сторонах на рис.20.3) и оптимальное решение, т.е. вершину A (рис.20.3), яв-ляющейся точкой пересечения сторон II и III:
х2
grad f
х1
I
II
III
А
0
1
2
3
4
1 3/2 2 3 4 Рис.20.3
96
825
21
21
xxxx
23
2
1
xx
13Af .
Заметим, что для построения области ограничений достаточно найти точки пересечения сторон I и II, II и III и точки пересечения осей координат и границы I (наименьшая точка пересечения на оси Ох2) и границы II (наи-меньшая точка пересечения на оси Ох1).
20.5. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задача минимизации ЛП, для которой все ограничения являются равен-
ствами с неотрицательными ресурсами и смысловыми ограничениями, назы-вается канонической задачей.
Каноническая задача имеет вид
min...,)( 0110 cxcxccxcxf nn ,
0 bхA , 0x ( 0kx и 0ib ).
Любую задачу ЛП можно свести к канонической форме, если использо-вать следующие приемы:
1) )min(max ff , т.е. свести задачу максимизации к задаче мини-мизации;
2) за счет изменения знака или представления переменной разностью двух новых неотрицательных переменных можно добиться выполнения смы-словых ограничений.
Если 0kx , то 0)( kk xx , а если знак переменной kx неизвестен (например, может меняться!), то snkk xxx ~~ , где 0~ kx , 0~ snx ;
3) за счет изменения знака в обеих частях ограничений можно получить все ресурсы 0ib ;
4) за счет прибавления или вычитания в левой части неравенства неот-рицательных дополнительных (балансирующих) переменных можно сделать все ограничения равенствами.
Пример 20.2. Привести к канонической форме задачу ЛП
max13 321 xxxf ,
.0;1
;33;2
2
31
21
1
xxxxx
x
Решение. Имеем min1~~~313)( 4321321 xxxxxxxf ;
97
,0,,,~,~,,~;1~~~
;3~3;2~
01)~~(
332~
7654321
7431
621
51
2
431
21
11
xxxxxxxxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
где 5x , 6x и 7x – дополнительные (балансирующие) переменные и коэффици-енты целевой функции c = (3, 1, –1, 1, 0, 0, 0), 10 c .
Матрица ограничений
100110101000130010001
A
состоит из столбцов коэффициентов ограничений при соответствующих пе-ременных 1
~x , 2x , 3~x , 4
~x , 5x , 6x , 7x ; вектор ресурсов )1,3,2(b . Канонические задачи ЛП удобно записывать в виде расширенной матри-
цы, если представить целевую функцию равенством, аналогичным равенствам ограничений 011 )(... cхfxcxc nn и поместить это равенство в дополни-тельную строку без указания символа функции. Таким образом, расширенная матрица канонической задачи ЛП min;)( 0 cхсхf , 0 bхA , 0х
имеет вид
0ccbA .
В частности, для примера 20.2 имеем расширенную матрицу
10001113132
100110101000130010001
.
Рассмотрим каноническую задачу ЛП в матричном виде. Пусть в матри-це ограничений А имеется максимальное число различных столбцов, состоя-щих из одной единицы и нулей (правильные или базисные столбцы). Такие правильные столбцы линейно независимы и поэтому их число As rang . Ес-ли элементарными преобразованиями, например методом Гаусса, получить нули под этими правильными столбцами матрицы А и в дополнительной строке расширенной матрицы, т.е. исключить соответствующие переменные из целевой функции (получить правильные столбцы в расширенной матрице), то полученная форма задачи ЛП является правильной или базисной. Таким образом, расширенная матрица правильной задачи с точностью до переста-новки столбцов имеет вид
98
0
01
2
1
0
...0...001...00
...............0...100...01
ccbAE
cссb
bb
ns
s
,
где )( ,...,1 ns ccc , т.е. ),0...,,0( cc и nnss xcxcхf ...)( 11 . Перемен-ные, соответствующие правильным столбцам, называются базисными
)...,( ,2,1 sб xxxx , а остальные переменные – свободными ( )...,,( 1 ns xxx . В правильной задаче базисные переменные выражаются через свободные:
xAbxbAxE бб , (20.2)
и в целевую функцию входят только свободные переменные. В правильной задаче ЛП легко выписать начальный допустимый план, если взять свобод-ные переменные равными нулю: 0x )0...( 1 ns xx . Тогда по (20.2)
11 bxbx б , 22 bx , …, ss bx . Базисные переменные равны правым частям (ресурсам), стоящим напротив единицы в соответствующем правиль-ном столбце. Таким образом, начальный допустимый план
)0...,,0,...,,()0,( 10 sbbbx . При этом значение целевой функции
...)( 110 ss xcxf 00 0ccxc xnn .
Следствие 1. В правильной задаче ЛП ограничения всегда совместны. Следствие 2. Так как нулевые значения свободных переменных вектора
x являются крайними, то геометрически начальный допустимый план соот-ветствует некоторой крайней точке симплекса (некоторой его вершине).
20.6. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД И ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЕ
Для приведения канонической задачи ЛП к правильной форме и улуч-
шения начального допустимого плана (перехода к другому начальному до-пустимому плану, значение целевой функции которого меньше) используется симплексный метод (фактически метод Жордана – Гаусса при особом выборе разрешающего или ключевого элемента).
Пусть в столбце 0j матрицы A, где необходимо получить нули и едини-цу (ключевой столбец), минимум отношения ресурсов ib к соответствующим положительным элементам этого столбца 0
0ija достигается в строке 0i
(ключевая строка): для ключевого элемента 000jia выполняется
99
000
0
0000
0
0min
ij
i
ji
i
ij
iaji
i
ab
ab
ab
ab
ij
для любого 0
0ija .
Тогда при исключении 0ija при помощи ключевого элемента 0
00jia полу-
чим новую правую часть 000
00 ji
iijii a
babb при 0
0ija , а при 0
0ija также
000
0
00
ji
i
ij
iiji a
babab .
Таким образом, при таком выборе ключевого элемента не нарушается каноничность задачи, и после использования преобразования Жордана – Га-усса получим правильный столбец. Такое преобразование называется сим-плексным. Обычно при приведении к правильному виду в качестве ключево-го столбца выбирается тот, у которого в дополнительной строке стоит наи-меньший коэффициент
0jc целевой функции, если над ним в столбце имеется
00ija . При этом новая ключевая строка не должна совпадать с полученной
ранее, чтобы не испортить уже полученные правильные столбцы. Проводя такие преобразования, приходим либо к правильной форме (отбрасывая как в методе Гаусса нулевые строки-тождества), либо получим (как в методе Гаус-са) невозможное равенство вида
ininiiinii bxaxabaaa ...)0 ..., ,,( 1121 ,
где 0...,,1 ini aa , 0ib и 0kx . В последнем случае ограничения задачи несовместны (область G ) и
задача ЛП неразрешима. Если симплексное преобразование применяется к правильной задаче для
улучшения начального допустимого плана, то, выбрав новый ключевой стол-бец (новую базисную переменную из числа старых свободных переменных) и проведя симплексное преобразование, изменим какой-нибудь старый пра-вильный столбец. Фактически будет осуществляться переход к новой верши-не симплекса, и если решение есть, то, перебрав несколько вершин (а их в симплексе конечное число!), найдется вершина, где значение целевой функ-ции будет оптимальным (наименьшим).
Замечание. Если при наличии некоторых значений 0ib , возникает по-втор правильных столбцов (зацикливание), то выход из цикла осуществляется выбором ключевого столбца, не совпадающего со столбцами из цикла.
Пример 20.3. Привести к правильной форме каноническую задачу ЛП
)1,3,1,3(min133 4321 сxxxxf , 10 c ,
где ограничения
100
.0,,,;62
;93322;02
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxxxxxx
Решение. Расширенная матрица этой задачи записывается в виде
0ccbA
11313612119332201121
.
Выберем первый столбец за ключевой и ключевой элемент а11 из минимума отношений
1,10
16,
29,
10min 11
a .
Проведем симплексное преобразование над первым столбцом (Si -строки):
414313212 )3(;)1(;)2( SSSSSSSSS .
Следовательно, новая форма
12070623309156001121
.
В матрице снова находим новый ключевой столбец и ключевой элемент а23:
min59
36,
59
.
Получив на месте а23 единицу, имеем матрицу
1207062330
59511
560
01121
323
121
)3( SSSSSS
1207053
5130
530
59
511
560
59
560
541
.
101
В качестве ключевого возьмем второй столбец, потому что выбор чет-
вертого столбца, где
5659
5159
,
5659
min
, и ключевой элемент 56 , изменит пер-
вый правильный столбец.
Так как
5353
5353
,
5459
min
, то в качестве ключевого элемента примем
а32 = 53 .
Проведем симплексные преобразования:
12070
13
1301059
511
560
59
560
541
434
232
131
)7(5654
SSS
SSS
SSS
83
97000
13
1301035100
13
14001
.
Таким образом, получена правильная форма со свободной переменной 4x и базисными переменными 1x , 2x , 3x . Начальный допустимый план
)0,3,1,1(0 x , значение целевой функции 8)8()( 00 cxf . Проверим вычисления, найдя значения исходной целевой функции
)0,3,1,1(43210 0133)(
xxxxxxf 8103313 .
20.7. ПРИЗНАКИ ОПТИМАЛЬНОСТИ НАЧАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО ПЛАНА
Теорема 1. Пусть в правильной задаче ЛП целевая функция
011 ...)( cxcxcхf nnss , где 1x , 2x , …, sx – базисные, а 1sx , …, nx – свободные переменные. Тогда:
1) если все 0kc )1( sk , то начальный допустимый план 0x – един-ственный оптимальный, т.е. 00 )()(min cxfxf ;
2) если все 0kc )1( sk , то оптимальные планы имеют вид: для 0kc свободная переменная 0kx ; для 0kc свободная переменная kx –
произвольная, но удовлетворяющая всем ограничениям; базисные перемен-ные выражаются через свободные переменные из ограничений.
102
Следствие. Если все 0kc и есть коэффициенты 0kc (k ≥ s+1), то по формуле (20.2) имеем бесконечное множество решений (альтернативные оптимальные планы), для которых оптимальное значение одинаково
0)(min cxf . Теорема 2. Если в правильной задаче ЛП в целевой функции есть коэф-
фициент при свободной переменной 00jc , возможны следующие случаи:
1) при наличии среди коэффициентов ограничений соответствующего столбца 0j хоть одного положительного 0
0ija начальный допустимый план
можно улучшить, взяв этот столбец 0j за ключевой и сделав симплексное преобразование;
2) если все коэффициенты ограничений этого столбца 00ija , задача ЛП
не имеет решения ))((min xf . Следствие. Если в правильной задаче ЛП все коэффициенты целевой
функции при свободных переменных неотрицательны, то оптимальность дос-тигнута. В этом случае имеется одно решение при условии, что все коэффи-циенты 0kc , и множество решений при условии, что есть хоть одно 0kc . Если же есть отрицательный коэффициент целевой функции при свободной переменной, то оптимальности нет. В этом случае или возможно симплексное преобразование (которое улучшит начальный допустимый план), или проде-лать симплексное преобразование невозможно и задача ЛП неразрешима.
Например, для правильной формы примера 20.3 для единственной сво-бодной переменной 4x коэффициент в целевой функции 03/974 c и по-этому оптимальное решение )0,3,1,1(0 x единственно и 8)(min xf .
Пример 20.4. Найти решение для задачи ЛП
min35 64 xxf , где ограничения
.0,,,,,;10232
;58;72
654321
6543
6542
6541
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Решение. Расширенная матрица задачи
510300010232100
58110107112001
имеет правильную форму. При свободных переменных 4x , 5x и 6x коэффи-циенты неотрицательные, а значит, оптимальность достигнута, но так как ко-
103
эффициент 05 c (при 5x ), то имеются альтернативные оптимальные реше-ния. Коэффициенты 034 c и 016 c , и поэтому свободные переменные
04 x и 06 x . Свободная переменная 5x , у которой 05 c , должна удовле-творять всем ограничениям )0( 64 xx :
0,0,0,0;103
;5;7
5321
53
52
51
xxxxxx
xxxx
0;0310
;05;07
5
53
52
51
xxx
xxxx
5
5
5
3105
0
x
xx
3
100 5 x .
Выражая базисные переменные 1x , 2x и 3x через свободную 5x , получим общий вид оптимальных решений (общее решение)
)0;;0;310;5;7(),,,,( 5555опт65,4321опт хххxxxxxxxx ,
где 3/100 5 x . Оптимальное значение 5min f . Пример 20.5. В условиях примера 20.1 найти оптимальное решение
симплексным методом. Решение. Приведем задачу к каноническому виду
min23max23 2121 xxfxxf ,
0,,,,82
582
54321
521
421
321
xxxxxxxx
xxxxxx
000023810012501011800121
.
Это правильная форма с отрицательными коэффициентами при свобод-ных переменных в целевой функции.
Проведем симплексные преобразования (согласно теореме 2, п.1). Найдем минимум отношений для первого столбца
2,28
28,
15,
18min
31a .
После симплексных преобразований для этого ключевого элемента получим
00002342100211501011800121
434
232
131
)3()1()1(
SSSSSSSSS
122300210421002111211021042101230
.
104
Снова найдем минимум отношений для второго столбца (отрицательный ко-эффициент целевой функции –1/2):
2/1,1/21
1/24,
1/21,
3/24min
22a .
Симплексные преобразования для этого ключевого элемента приведут мат-рицу к виду
1223002104210021121201042101230
424
323
121
212123
SSS
SSS
SSS
1311000311001212010113100
.
Так как все коэффициенты целевой функции при свободных переменных х4, х5 больше нуля, по теореме 1 имеем единственное оптимальное решение
)0,0,1,2,3(0 x , для которого 31 x , 22 x и 13max13)min( ff .
20.8. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА
Для того чтобы получить правильную форму задачи ЛП без предвари-тельного приведения к ней, используется метод искусственного базиса. В канонической задаче ЛП введем в левую часть уравнений системы огра-ничений по одной неотрицательной (базисной) искусственной переменной
0...,,1 rnn xx с коэффициентом равным единице так, чтобы матрица ог-
раничений A~ для новой задачи стала правильной. Для этого достаточно ввести столько искусственных переменных в уравнения, чтобы число пра-вильных столбцов (с учетом уже бывших в исходной матрице А) стало рав-но числу уравнений, т.е. строк матрицы системы А. Для переменных
);()...,,,...,,,( 121 xxxxxxxy rnnn , где )...,,( 1 rnn xxx – искусственные переменные, составим новую целевую функцию – )()(~ xfyf
)...( 1 rnn xxM , где параметр 0M должен выбираться достаточно большим по сравнению со всеми величинами, которые могут получиться при конечном числе шагов при решении задачи ЛП. Таким образом, наряду с исходной f -задачей: min)( xf , 0, xbxA , сформулирована новая f~ -задача: min)(~
yf , byA ~ , 0),( xxy .
105
Новая задача с искусственными переменными имеет правильную A~ матрицу и легко приводится к правильному виду, если исключить базисные переменные из новой целевой функции. Очевидно, если x – допустимый план f -задачи, следовательно, )0...;;0;(xy x – допустимый план для f~ -задачи.
Теорема 3. 1. Если для f~ -задачи оптимальный план )0...,,0,...,,( 1 nу , т.е. все искусственные переменные равны нулю, то соответствующий план
)...,,( 1 nyx будет оптимальным для f -задачи.
2. Если в оптимальном плане f~ -задачи есть искусственные переменные, не равные нулю, то ограничения для f -задачи несовместны (исходная задача неразрешима).
Теорема 4. Если целевая функция f~ -задачи не ограничена снизу (см. теорему 2, п.2), то f -задача неразрешима.
Пример 20.6. Для канонической задачи min23 321 xxxf с огра-ничениями
,1022;402
321
321
xxxxxx
где 01 x , 02 x , 03 x , найти оптимальный план. Решение. Введем искусственные переменные 0,0 54 xx . Ограниче-
ния и целевая функция теперь имеют вид
,1022;402
5321
4321
xxxxxxxx
min)(23~54321 xxMxxxf .
Расширенная матрица f~ -задачи
021310102214001112
MM
011000000213
10102214001112
,
где для коэффициентов целевой функции при параметре M введена вторая дополнительная строка. Если в дополнительных строках в каком-то столбце
стоят два числа
ba
, коэффициент при соответствующей переменной в
целевой функции равен bMa . Тогда удобно производить действия с
106
параметром М, вычисляя только коэффициент при этом параметре М, с кото-рым он входит в целевую функцию f~ -задачи.
Эта задача становится правильной, если исключить базисные (искусст-венные) переменные 4x и 5x из целевой функции:
011000000213
10102214001112
424
414
)1()1(
SSSSSS
5000333000213
10102214001112
.
Так как при достаточно больших 0M коэффициенты при свободных пе-ременных 0)33( M , 0)31( M , 0)32( M , то оптимальности нет. Выбрав самый маленький коэффициент )31( M , для достижения оптималь-ности проведем симплексные преобразования:
5000333000213521011214001112
35230002352101025
52101121352110023
35230002352101025
1010221352110023
20303303030450
10102212021330
.
Поскольку 0M , все коэффициенты при свободных переменных 2x ,
3x и 5x целевой функции будут положительны: 0)35( M , 0)34( M , 0)33( M . Оптимальность достигнута. Причем оптимальный план
один: )0,20,0,0,10(),,,,( 54321 xxxxxy и в нем искусственная переменная 0204 x . Поэтому согласно п.2 теоремы 3 исходная задача неразрешима
(ограничения исходной задачи несовместны). Отметим, что оптимальное зна-чение целевой функции MMyf 2030)2030()(~
содержит параметр М, что свидетельствует об отсутствии оптимального значения у исходной целевой функции.
Пример 20.7. Решить методом искусственного базиса задачу ЛП:
max21 321 xxxf ;
.0,0,0 ;122321
321
21
21
31
xxxxx
xxxx
107
Решение. Предварительно приведем задачу к канонической форме, вве-дя балансирующие переменные 0,, 654 xxx и перейдя к минимизации:
min21)( 321 xxxf ,
.1223;2;1
621
521
431
xxxxxxxxx
Так как с коэффициентом 1 переменная 3x входит только в первое уравне-ние, а переменная 6x – только в третье уравнение, эти переменные могут быть базисными. Введем еще одну искусственную базисную переменную
07 x во второе уравнение, чтобы матрица A~ стала правильной. Тогда
f~ -задача имеет вид
min21~7321 Mxxxxf ;
.1223;2
;1
621
7521
431
xxxxxxx
xxx
Расширенная матрица этой задачи записывается в виде
10001211201000232101001110001101
M
0100000010000121
1201000232101001110001101
2001001120001022
1201000232101001110001101
.
Это правильная форма f~ -задачи со свободной переменной 1x , в кото-рой коэффициент целевой функции 0)2( M (оптимальности нет). Про-ведем симплексные преобразования:
108
2001001120001022
1201000232101001110001101
1001111000001220901033201101111010001101
0100000011010110631300101101111021010011
010000001101011021311003101101111021010011
010000003031001340213110031030310113204031000321
.
Коэффициенты при свободных переменных 7632 ,,, xxxx в целевой функции положительны и оптимальность достигнута. Оптимальный план один: )0,0,2,3,0,0,4(),,,,,,( 7654321 xxxxxxxy . Все искусственные пере-менные 07 x . При этом оптимальное значение 3)(~
yf и согласно п.1 теоремы 3 оптимальный план )0,2,3,0,0,4(x 0,0,4 321 xxx и
3max3)()min( ** xx ffff .
20.9. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Рассмотрим следующую задачу. Пусть мебельная мастерская произво-
дит столы и шкафы из древесины 1, 2 или 3-го сорта. Расход материалов и их запасы следующие:
Сорт древесины 1 2 3 Расход: на один стол
0,15
0,2
0,05
на один шкаф 0,3 0,1 0,25 Запас, м3 60 40 50
Цена одного стола 12 условных единиц, а цена одного шкафа
15 условных единиц. Если х1 – количество производимых столов и х2 –
109
количество производимых шкафов, то план производства ),( 21 xxх и по-лучим задачу ЛП по оптимизации дохода:
max1512 21 xxf ,
.0,0;5025,005,0
;401,02,0;603,015,0
21
21
21
21
xxxx
xxxx
В матричном виде
max, xcf , bxA , 0x ,
где
25,005,01,02,03,015,0
A , )15;12(c , )50,40,60(b , это стандартная задача ЛП.
Владельцу мастерской предложили продать древесину (без изготовления мебели). Пусть 1y , 2y и 3y – цена 1 м3 древесины соответственно 1, 2 и 3-го сорта. Чтобы продавец не потерял своего дохода от продажи древесины, стоимость древесины, расходуемой на один стол и один шкаф, должна быть не меньше продажной цены древесины этих изделий:
,1525,01,03,0;1205,02,015,0
321
321
yyyyyy
(20.3)
где 0),( 3,21 yyyy . В интересах покупателя стоимость всей древесины необходимо миними-
зировать: min504060 321 yyyF . (20.4)
Таким образом, получена двойственная задачу ЛП (20.3), (20.4), в кото-рой максимум заменился на минимум, знаки неравенства изменились на про-тивоположные, столбцы ограничений перешли в соответствующие по поряд-ку строки, правые части ограничений (ресурсы) стали соответствующими по порядку коэффициентами целевой функции и, обратно, коэффициенты целе-вой функции стали ресурсами, причем число ограничений одной задачи рав-но числу переменных в другой.
В матричном виде такая взаимная двойственность между задачами ЛП описывается следующим образом:
0,
max,,)(
xbxA
xcxf
,0,
min,,)(
ycyA
ybyFT
110
где АТ – транспонированная матрица А (столбцы становятся на место строк в соответствующем порядке). При этом за счет смысловых ограничений
)0,( xy выполняются неравенства:
)(,,,,, xfxccxyAxyxAybyF T .
Теорема 1 (о минимаксе). Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая, причем экстремальные значения целевых функций обеих задач равны Ff minmax .
Следствие. Спрос и предложение могут уравновешиваться (возможно равновесие рынка).
Теорема 2 (соотношения двойственности). 1. Если оптимальный план одной из двойственных задач удовлетворяет
некоторому ограничению как строгому неравенству, то соответствующая (по номеру ограничения) переменная в оптимальном плане двойственной задачи равна нулю.
2. Если в оптимальном плане двойственной задачи какая-то компонента больше нуля, то соответствующее ограничение исходной задачи выполняется как равенство для ее оптимального плана.
Пример 20.8. Рассмотрим двойственные задачи ЛП:
max2min552 214321 yyFxxxxf ;
0;22
;13
4321
4321
xxxxx
xxxx
.0,1
;53;52
;2
21
21
21
21
yyyyy
yyyy
Вторую задачу с двумя переменными легко решить (например, графиче-ски на плоскости) и получить оптимальный план )0,1(),( 21 yyy . Так как первым трем ограничениям этот план удовлетворяет как строгим неравенст-вам, то по первому соотношению двойственности в оптимальном плане двой-ственной задачи (первой задачи) имеем 0321 xxx . Так как в оптималь-ном плане )0,1(y второй задачи, двойственной к первой задаче, первая компонента 011 y , то по второму соотношению двойственности первое ограничение первой задачи выполняется как равенство
13 4321 xxxx 14 x . Следовательно, оптимальный план первой зада-чи )1,0,0,0(),,,(* 4321 xxxxx и при этом 1maxmin Ff .
Компоненты ky оптимального плана y двойственной задачи называ-ются оценками (или объективно обусловленными ценами) и по соотношени-ям двойственности показывают, какие ресурсы kb исходной задачи исчерпы-
111
ваются, а какие – нет. Кроме того, с помощью этих оценок можно выяснить как изменяется оптимальное значение целевой функции исходной задачи при изменении ресурсов kkk bbb на . В силу линейности функций
m
kkk ybybyFxff
10 ,)()( .
Отсюда следует, что kk
ybf
0 .
Приращение целевой функции
m
k
m
kkkkkkk
kk byffbyb
bff
1 100
00
m
kkk byff
10 .
Таким образом, зная оптимальное значение 0f , можно определить опти-мальное значение и для изменившихся значений ресурсов.
20.10. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
Одной из основных задач ЛП является транспортная задача. Она форму-лируется следующим образом.
В пунктах mPPP ...,,, 21 производится некоторый продукт. Этот продукт следует доставить в пункты nQQQ ...,,, 21 . В пункте iP производится количе-ство продукта 0ia , а потребность пункта kQ равна количеству продукта
0kb . Обозначим стоимость перевозки единицы продукта из iP в kQ через 0ikc . Тогда транспортные расходы задаются матрицей стоимостей
nmikcc . Если 0ikx – количество продукта, перевозимого из iP в kQ , план перевозок задается матрицей nmikx )( и для данного плана суммар-
ные транспортные расходы
n
k
m
iikik xcf
1 1. Эту целевую функцию следует ми-
нимизировать при условиях удовлетворения потребностей для любого пункта
потребления kQ
m
ikik bx
1 и непревышения производства при вывозе из лю-
бого пункта производства iP
n
kiik ax
1. Таким образом, транспортная зада-
ча имеет вид
min1 1
n
k
m
iikik xcf ;
m
ikik bx
1;
n
kiik ax
1 ( mi 1 , nk 1 ),
где 0)( ikx .
112
Для возможности решения такой задачи необходимо выполнение усло-
вия
m
iia
1
n
kkb
1. Во всех ограничениях ставят знак равенства, потому что из-
лишний продукт (запас) можно складывать и никуда не перевозить, т.е. полу-чим nm уравнений для mn неизвестных. Задача имеет смысл при mn ≥ m+n, что заведомо выполнено для m ≥ 2 и n ≥ 2.
Таким образом, транспортная задача в стандартной записи имеет вид
min1 1
n
k
m
iikik xcf ,
m
ikik bx
1,
n
kiik ax
1 ( mi 1 , nk 1 ),
где 0)( ikx ;
n
k
m
iik ab
1 1.
Такие ограничения достаточно просто привести к правильной форме, хо-тя и громоздко в силу большого числа переменных. При этом в силу равенства
n
k
m
iik ab
1 1 число базисных переменных на единицу меньше числа уравнений,
т.е. равно m+n−1. Для такой задачи легко построить начальный допустимый план (ограничения всегда совместны): например, по методу наименьшей стои-мости ввести перевозки, обеспечивающие потребности с меньшей стоимостью. Отметим, что данные задачи удобно записывать в виде таблицы
ik
iki
k
xс
P
Q
,
где ikc – стоимость; ikx – величина перевозки. Пример 20.9. Построить начальный допустимый план для данных зада-
чи (табл.20.1), где т = 3, п = 4. Решение. Возьмем клетку 13, QP , т.е. (3; 1), с нулевой стоимостью 031 c и перевезем из 3P , где 103 a , весь необходимый для 1Q продукт
41 b ( 431 x ) и заполним клетку (3; 1). Итак, первый столбец ( 1Q ) закрыт. Возьмем клетку (2; 4), где 024 c , и закроем потребность 4Q ( 64 b ) перевозкой 624 x из
2P , где 82 a , т.е. заполним клетку (2; 4). Итак, столбец 4Q закрыт. Оставшиеся в 2P две единицы продукта перевезем в 3Q , где стоимость 223 c – наименьшая в строке 2P ( 223 x ), и строка 2P закрыта. В строке 3P остались клетки для 2Q и 3Q , где 23332 cc , и поэтому удобно оставшиеся в 3P
Таблица 20.1
Q1 Q2 Q3 Q4 ai
Р1 1 2 3 6
4
6
Р2 4 3 2 2
0 6
8
Р3 0 4
2 6
2 0
1 10
bk 4 6 8 6 = 24
113
шесть единиц продукта вывезти в 2Q ( 632 x ) и закрыть 2Q . Осталось вывез-ти из 1P шесть единиц продукта в 3Q ( 613 x ) и закрыть последние 1P и 3Q .
Получилось пять базисных переменных (базисных клеток), а необходи-мо иметь 61431 nm базисных переменных. Поэтому добавим одну базисную переменную с нулевой перевозкой, например, положим 033 x в клетке (3; 3). Транспортные расходы по этому начальному плану
342026040622360 f . Отметим, что если производство 0ia для какого-то пункта iP или по-
требность 0kb для какого-то пункта kQ , то их можно не рассматривать, вычеркнуть соответствующую строку или столбец из таблицы данных и уменьшить размеры задачи (сделав задачу невырожденной!).
Базисные клетки, где расположены базисные переменные, называются опорными.
Транспортную задачу можно решать обычным симплексным методом, но в силу большого числа переменных гораздо проще решать специальными методами, например методом потенциалов. Для каждого пункта введем по-тенциалы i для iP и k для kQ так, чтобы для опорных клеток выполня-лось kiikc . Таким образом, мы имеем 1 nm линейное уравнение для nm потенциалов. Эту систему уравнений легко решать, если выбрать какое-нибудь «начальное» значение потенциала, например 01 . Опреде-лим для всех остальных, т.е. свободных, клеток (i, k) псевдостоимость
kiikP и косвенную стоимость ikikik pcc , которая является коэффи-циентом при соответствующей свободной переменной ikx в целевой функ-ции правильной формы этой транспортной задачи. Следовательно, если есть косвенная стоимость 0ikc , то этот допустимый план не оптимален (п.1 тео-ремы 2 раздела 20.7). Выберем самый большой отрицательный коэффициент (косвенную стоимость) 0
00kic и образуем цикл пересчета плана, начиная с
этой клетки (i0, k0) с вершинами в каких-то опорных клетках, проходимых по одному разу. Меняем каждый раз направление в вершине на 90, т.е. со стро-ки переходя в столбец и обратно. Так как вершин в цикле всегда четное чис-ло, то в каждой клетке цикла запишем величину пересчета 0 с чередую-щимися знаками: или , начиная с в начальной вершине цикла в клетке (i0, k0) . Выбираем наибольшую величину * так, чтобы не нарушить смысловые ограничения в тех клетках вершин цикла, где стоит , т.е.
)0:max(* ikx . Эта величина * называется пересчетом цикла, а ве-личина
00kic – ценой цикла. Пересчитав план с использованием * , получим новый допустимый план, удалив из опорных (базисных) клеток ту клетку или одну из тех клеток, где новое значение перевозки 0*ikx .
Если величина транспортных расходов по старому плану равна 0f , то для нового плана расходы 00 *
00fcff ki .
114
Пример 20.10. В рамках примера 20.9 построить оптимальный план перевозок.
Решение. Для начального допустимого плана перевозок, построенного в примере 20.9, определим потенциалы i и k при 01 :
1331 3 c ; 2332 2 c ; 2442 0 c ;
3113 0 c ; 3223 2 c ; 3333 2 c .
Из этих уравнений находим потенциалы 1,3 23 ; 1,1 34 ; 1,3 12 .
Запишем потенциалы в новую таблицу, для которой определим псевдо-стоимости и косвенные стоимости (табл.20.2).
Таблица 20.2
1Q
11 2Q
32 3Q
33 4Q
14
1P 01
1 0
1
2 –1 +
3
3 3 6-
4 3
1
2P 12
4 4
0
3 1
2
2 2
0 6
3P 13
0 4
2 6-
2 0+
1 1 0
Тогда для свободных клеток имеем псевдостоимости kiikp , ко-
торые записываем в левом нижнем углу клетки: 11111 P ; 32112 P ; 14114 P ; 01221 P ; 22222 P ; 04334 P . Косвенные стоимости ikikik Pcc запишем в правом верх-
нем углу клетки: 0111111 Pcc ; 01121212 Pcc ; 3141414 Pcc ; 4212121 Pcc ; 1222222 Pcc ; 1343434 Pcc .
В клетке (1; 2) имеем единственную отрицательную косвенную стои-мость 0112 c и поэтому образуем цикл пересчета, начиная с этой клетки 2;12;33;33;12;1 , чередуя знаки величины пересчета (табл.20.2). В нашем случае пересчет цикла 6)06,06:max(* . Пересчитаем план по величине 6* и удалим одну лишнюю базисную пере-менную, равную нулю ( 0*613 x ). Затем снова восстановим потенциалы ( 01 ), псевдостоимости и косвенные стоимости, записав их в нужные углы клеток новой таблицы (табл.20.3): 21221 c , 3223 2 c ,
3113 0 c , 3333 2 c , 2332 2 c , 2442 0 c
115
0321 , 041 , 232 011 P , 213 P , 014 P , 021 P , 222 P , 034 P 111 c , 113 c , 414 c , 421 c , 122 c , 134 c .
Таблица 20.3
1Q 01
2Q 22
3Q 23
4Q 04
1P
01
1 1
0
2 6
3 1
2
4 4
0
2P
02
4 4
0
3 1
2
2 2
0 6
3P
03
0 4
2 0
2 6
1 1
0 Все косвенные стоимости новой таблицы неотрицательны. Данный план
перевозок 612 x , 223x , 624 x , 431x , 032 x , 633 x оптимален. Расходы по этому новому плану 286)1(34*120 cff .
Замечание 1. Потенциалы, псевдостоимости и косвенные стоимости для проверки оптимальности начального плана (см. пример 20.10) можно ставить прямо в таблицу этого начального плана, не переписывая ее лишний раз.
Замечание 2. Стороны цикла могут пересекаться, но точки пересечений не могут служить вершинами цикла (рис.20.4).
Замечание 3. Если начальный допустимый план составлен удачно, то оптимальность может достигаться сразу, без пересчета по циклам, что и ус-танавливается с помощью метода потенциалов.
Пример 20.11. Пусть транспортная задача и ее начальный допустимый план перевозок заданы таблицей (табл.20.4), в которую вписан начальный допустимый план ( 714 nmnm ).
Решение. Расходы по этому плану 5635010150f 116942545 . Найдем потенциалы (при 01 ): 11441 c ;
23443 c ; 43333 c ; 53113 c ; 94114 c ; 32332 c ; 02222 c
14 , 13 , 33 , 41 , 54 , 02 , 02 . Определим псевдостоимости и косвен-
ные стоимости для свободных клеток: 411 P , 012 P , 313 P , 421 P , 124 P , 132 P , 542 P , 843 P , 644 P 211 c , 212 c , 013 c , 121 c , 424 c , 732 c , 0242 c .
+ –
–
– +
+
Рис.20.4
116
Таблица 20.4
1Q
41 2Q
02 3Q
33 4Q
14
аi
1P
01 6 2
4
2 2
0
3 0
3
1 5
5
2P
02 5 1
4
0 10–
3 5+
5 4
1
15
3P
13 5
6+
8 7
1
4 5–
2 5
16
4P
54 9
4–
3 –2 +
5
6
8
8 6
4
bk 10 10 10 10 = 40 Следовательно, план не оптимален и поэтому образуем цикл пересчета,
начиная с клетки (4; 2) (табл.20.5). Пересчет цикла 4)010,05,04:max(* . Пересчитаем по величине 4* и
удалим лишнюю базисную переменную 0*441 x . Затем снова восста-новим потенциалы ( 01 ), псевдостоимости и косвенные стоимости, запи-сав их в нужные углы клеток: 11441 c , 23443 c , 433 ,
513 , 32332 c , 022 14 , 13 , 41 , 33 , 02 , 02 411 P , 012 P , 313 P , 421 P , 124 P , 132 P , 741 P , 643 P , 444 P 211 c , 212 c , 013 c , 121 c , 424 c , 732 c , 241 c , 041 c , 444 c .
Таблица 20.5
1Q
41 2Q
02 3Q
33 4Q
14
1P
01 6 2
4
2 2
0
3
3
1 5
2P
02 5 1
4
0 6
3 9
5 4
1
3P
13 5
10 8 7
1
4 1
2 5
4P
34 9 2 7
3 4
6 0 6
8 4
117
Все косвенные стоимости неотрицательны, и данный план перевозок 514 x , 622 x , 923 x , 1031 x , 133 x , 534 x , 442 x оптимален. Расходы
по этому плану 1084)2(116*420 cff .
Вопросы для самопроверки
1. Какие задачи являются задачами ЛП? 2. Какой геометрический объект задают ограничения в задаче ЛП? 3. При каких условиях задача ЛП всегда имеет решение? 4. Каким образом задачу максимизации можно свести к задаче мини-
мизации? 5. В чем состоит экономическая интерпретация задачи ЛП? 6. В чем заключаются смысловые ограничения на переменные в зада-
че ЛП? 7. Как формулируется стандартная задача ЛП? 8. Как можно привести задачу ЛП к стандартной форме? 9. В чем заключается геометрический метод решения стандартной зада-
чи ЛП? 10. При каком геометрическом условии задача ЛП имеет бесконечное
множество решений? 11. Как формулируется каноническая задача ЛП? 12. Как задача ЛП приводится к канонической форме? 13. Как формулируется правильная (базисная) задача ЛП? 14. В чем заключается симплексный метод преобразования канониче-
ской задачи ЛП? 15. Как можно привести каноническую задачу к правильной (базисной)
форме? 16. Как найти начальный допустимый план в правильной (базисной) за-
даче ЛП? 17. В чем заключается метод искусственного базиса? 18. Как связано решение по методу искусственного базиса с решением
исходной задачи? 19. Что такое транспортная задача и какова ее запись в виде таблицы
перевозок? 20. В чем заключается метод потенциалов для решения транспортной
задачи?
118
Тесты
№ п/п Вопросы Варианты ответа
1 Что представляет собой область мно-гомерного пространства, определяе-мая ограничениями задачи ЛП?
1. Комплекс 2. Конус 3. Симплекс 4. Параболоид
2 Для геометрического решения за-дачи ЛП необходимо найти
1. Дифференциал целевой функции 2. Интеграл целевой функции 3. Градиент целевой функции 4. Якобиан
3 Какая область ограничений гаранти-рует существование решения задачи ЛП?
1. Ограниченная 2. Замкнутая 3. Открытая 4. Ограниченная и замкнутая
4 xfmin равен 1. xfmax
2. xfmax
3. xfmin
4. xfmin
5 Правые части ограничений в кано-нической задаче ЛП
1. Неотрицательные 2. Неположительные 3. Разных знаков 4. Любые
6 Если градиент целевой функции перпендикулярен некоторой грани области ограничений, то задача ЛП
1. Имеет одно решение 2. Имеет два решения 3. Имеет бесконечное множе-ство решений 4.Не имеет решений
7 Значения свободных переменных в начальном допустимом плане пра-вильной (базисной) задачи ЛП рав-ны
1. 1 2. 0 3. 1 4. 1
119
Окончание таблицы
№ п/п Вопросы Варианты ответа
8 Число базисных переменных в зада-че ЛП с матрицей ограничений А после приведения к правильной (ба-зисной) форме равно
1. Следу А 2. Числу строк А 3. Числу столбцов А 4. Рангу А
9 Если в целевой функции правиль-ной (базисной) задачи ЛП не участ-вует некоторая свободная перемен-ная, то задача
1. Не имеет решений 2. Имеет бесконечное множе-ство решений 3. Имеет одно решение 4. Имеет два решения
10 Если iu и jv – потенциалы свобод-ной клетки, то ее псевдостоимость
ijp равна
1. jivu 2. ji vu 3. ji vu 4. ji vu /
120
ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ Глава 18
Номер вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер правильного ответа 1 3 2 2 4 1 4 3 1 4
Глава 19
Номер вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер правильного ответа 4 1 3 2 3 2 4 3 2 4
Глава 20
Номер вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер правильного ответа 3 3 4 2 1 3 2 4 2 3
121
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основной 1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев.
М.: Лань, 2010. 2. Васильев Ф.П. Линейное программирование / Ф.П.Васильев, А.Ю.Иваницкий. М.:
Факториал Пресс, 2008. 3. Высшая математика. Теория поля. Ряды Фурье. Операционное исчисление. Мате-
матическая физика. Математическая статистика. Линейное программирование: Учебно-методическое пособие / А.П.Господариков, В.В.Ивакин, О.Е.Карпухина, Г.А.Колтон, И.А.Лебедев, Т.С.Обручева, А.А.Яковлева.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевников. М.: Высшая школа, 1999. Ч.1, 2.
5. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. Лань, СПБ, 2010. 6. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М.: Физ-
матлит, 2005. 7. Математический практикум. Учебно-методическое пособие / А.П.Господариков,
Б.З.Безмозгин, А.Н.Бестужева, О.Е.Карпухина, Г.А.Колтон, С.А.Хачатрян, А.А.Яковлева. Ч.6. СПб, 2010.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Интеграл-пресс, 2007. Т.1, 2.
9. Самаров К.Л. Линейное программирование: Учеб. пособие. Екатеринбург: ООО «Резольвента» 2009.
10. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. М.: Наука, 2004
11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Лань, 2010. Т.1,2. 12. Холодова С.Е. Специальные функции в задачах математической физики /
С.Е.Холодова, С.И.Перегудин. СПБ, 2012. 13. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2003. 14. Юдин Д.В. Линейное программирование / Д.В.Юдин, Е.Г.Гольнштей. М. Наука,
2012. Дополнительный 15. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям / М.Абрамовиц, И.Стиган.
М.: Наука, 1979. 16. Габасов Р. Методы линейного программирования / Р.Габасов, Ф.М.Кириллова.
М.: Либрком, 2010. Ч.1-3. 17. Жукова В.И. Специальные функции / B.И.Жукова, Н.В.Кузнецов. Хабаровск, 2005. 18. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2011. 19. Карпухина О.Е. Специальные функции. Математическая физика. Л., 1984. 20. Кафтанов Ю.В. Специальные функции математической физики. Ч.1. Функции
Бесселя и цилиндрические функции в элементарном изложении с программами вычисле-ний. Харьков: Новое слово, 2009.
21. Лабазин В.Г. Специальные функции: Конспект лекций / А.Е.Виноградова, В.Г.Лабазин. Л., 1969.
22. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2005.
122
Все права на размножение и распространение в любой форме принадлежат Национальному минерально-сырьевому университету «Горный»
Учебное электронное издание
ГОСПОДАРИКОВ Александр Петрович ЕРУНОВА ИРИНА БОРИСОВНА
КОЛТОН Гарри Абрамович ЛЕБЕДЕВ Игорь Алексеевич
КАРПУХИНА Ольга Ефремовна ТАРАБАН Владимир Всеволодович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В шести томах
Том 6
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
УЧЕБНИК
Редактор Л.А.Левина Оригинал-макет выполнен авторским коллективом
О
Лицензия ИД № 06517 от 09.01.2002
Подписано в свет 17.07.2015. Уч.-изд.л. 5. Заказ 586. С 87.
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный» РИЦ Национального минерально-сырьевого университета «Горный» Адрес университета и РИЦ: 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, 2